第03
讲
线的中点弦问题
抛物
目 录
思维导图................................................................................................................................................................. 2
高考分析................................................................................................................................................................. 2
学习目标................................................................................................................................................................. 2
知识要点................................................................................................................................................................. 3
解题策略................................................................................................................................................................. 4
题型归纳................................................................................................................................................................. 5
题型01：求弦所在直线方程.................................................................................................................................. 5
题型02：求直线斜率............................................................................................................................................. 7
题型03：求与弦中点有关的轨迹方程...................................................................................................................8
题型:04：求中点坐标问题.....................................................................................................................................9
题型:05：求参数问题...........................................................................................................................................10
题型06：中点弦的弦长....................................................................................................................................... 11
题型07: 与中点弦有关的面积问题..................................................................................................................... 12
题型08：曲线上两点关于直线对称问题.............................................................................................................13
一. 高考地位
1. 属于圆锥曲线高频基础考点，常出现在选择填空、解答题第一问，是解决中点弦、斜率、弦中点轨迹、存在性
问题的核心通法。
2.全国卷、新高考卷几乎每年都会间接或直接考查：
① 已知中点求直线斜率/方程
② 已知直线求中点坐标
③ 中点存在性、轨迹方程、定点定值综合
3. 难度：中档偏易，计算量小、套路极强，是必须拿满分的题型。
二. 命题特点
1. 抛物线标准方程
2. 常与韦达定理、判别式、直线与抛物线位置关系结合考查。
3. 易错点：忽略判别式检验、斜率不存在、点差法适用条件（直线与抛物线有两个交点）。
1. 掌握抛物线点差法核心公式推导，不用死记硬背，能快速写出斜率与中点的关系。
2. 熟练用点差法解决4 类基础题：
①已知弦中点，求直线斜率/方程
②已知直线，求弦中点坐标
③求中点轨迹方程
④判断中点是否存在
3. 区分椭圆/双曲线/抛物线点差法异同，避免公式混淆。
4. 养成最后检验判别式的规范，规避丢分陷阱。
知识点一：点差法
利用中点弦求解圆锥曲线问题的核心思路是通过 “点差法” 或 “韦达定理法” 建立中点坐标与直线斜率的关
系，进而推导所需结论。无论何种中点弦问题（求直线方程、轨迹、存在性等），均遵循 “设点→代入→作差 /
联立→推导关系→验证” 的基本流程，关键是建立中点坐标与弦所在直线斜率的联系。
知识点二：圆锥曲线点差法
其本质是利用圆锥曲线的对称性和方程的整体性：设弦的两端点在曲线上，代入方程后作差，可通过平方差公
式分解出含中点坐标和直线斜率的表达式，直接搭建二者的桥梁。
椭 圆：设圆锥曲线x
2
a
2 +y
2
b
2 =1（a>b>0）与直线AB 交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，弦AB 中点为M(x0,y0)
。
则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
。将A,B 两点代入x
2
a
2 +y
2
b
2 =1得：x1
2
a
2 +y1
2
b
2 =1
，x2
2
a
2 +y2
2
b
2 =1
两
式
作
差
得
：
x1
2−x2
2
a
2
+y1
2−y2
2
b
2
=0 进一步
⇔
(x1−x2)(x1+x2)
a
2
+(y1−y2)(y1+y2)
b
2
=0 进一步
⇔
(x1−x2)2
∙x0
a
2
+k(x1−x2)2
∙y0
b
2
=0
所以得：x0
a
2 +ky0
b
2 =0，即kAB=−b
2
a
2 ∙x0
y0
双曲线：设圆锥曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>b>0）与直线AB 交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，弦AB 中点为M(x0,y0)
。
则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
。将A,B 两点代入x
2
a
2 −y
2
b
2 =1得：x1
2
a
2 −y1
2
b
2 =1
，x2
2
a
2 −y2
2
b
2 =1
两
式
作
差
得
：
x1
2−x2
2
a
2
−y1
2−y2
2
b
2
=0 进一步
⇔
(x1−x2)(x1+x2)
a
2
−(y1−y2)(y1+y2)
b
2
=0 进一步
⇔
(x1−x2)2
∙x0
a
2
−k(x1−x2)2
∙y0
b
2
=0
所以得：x0
a
2 −ky0
b
2 =0，即kAB=b
2
a
2 ∙x0
y0
抛物线：设圆锥曲线y
2=2px（p>0）与直线AB 交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，弦AB 中点为M(x0,y0)。
则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
。将A,B 两点代入y
2=2px
得：y1
2=2px1
，y2
2=2px2
两式作差得：(y1−y2)(y1+y2)=2p(x1−x2) 进一步
⇔
k(x1−x2)2
∙y0=2p(x1−x2)
所以：k=p
y0
知识点三：弦中点性质
椭
圆：则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之积为定值−b
2
a
2 ，即：
kAB·kOM =−b
2
a
2 ∙x0
y0
×y0
x0
=−b
2
a
2
双曲线：则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之积为定值b
2
a
2 ，即：
kAB·kOM = b
2
a
2 ∙x0
y0
×y0
x0
= b
2
a
2
抛物线：则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之积为定值b
2
a
2 ，即：kAB·kOM=p
y0
×y0
x0
=p
x0
知识点四：弦中点坐标或斜率求离心率
椭 圆：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则e = ❑√
1−b
2
a
2 = ❑√1+kAB·kOM= ❑√1+kAB·y0
x0
双曲线：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则e = ❑√
1+ b
2
a
2 = ❑√1−kAB·kOM= ❑√1−kAB·y0
x0
知识点五：弦长公式
设直线l:y=kx+ m 与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，则A，B 两点间距离为：
|AB|=
❑√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2=
❑√1+k
2|x1−x2|=
❑√1+k
2∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2
；
|AB|= ❑√1+(
1
k)
2
∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2
；
特殊情况（焦点弦）：
椭 圆：|A B|=
2ab
2
a
2−c
2cos
2θ
；其中θ
为直线的倾斜角。
双曲线：|A B|=
2ab
2
|a
2−c
2cos
2θ|
；其中θ
为直线的倾斜角。
抛物线：|A B|=
2 p
sin
2θ
；其中θ为直线的倾斜角。
注意：以上情况为焦点在x 轴情况，若焦点在y 轴，则cosθ与sinθ互换
通用解题步骤
步骤 1：明确已知条件与目标
确定圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）及其标准方程；明确中点坐标（或中点满足的条件）、待求量
（直线方程、轨迹方程、参数范围等）。
步骤 2：设点与表示中点
设弦的两个端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，弦的中点为M(x0,y0)；
根据中点坐标公式，得到：x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
步骤 3：代入曲线方程并作差（点差法核心）
代入方程：将A，B两点坐标代入圆锥曲线方程，进行作差化简。
步骤 4：结合条件求解目标
求直线方程：已知中点(x0,y0)，用点斜式写出直线方程（斜率由步骤 3 得）；
求中点轨迹：设中点为(x,y)，用斜率关系（如直线过定点、斜率满足某条件）消去参数，得到轨迹方
程；
存在性判断：求出直线方程后，联立曲线方程，通过判别式Δ>0验证是否有实根。
步骤 5：验证特殊情况与范围
检查直线斜率不存在的情况（如垂直x轴的直线是否符合条件）；
限制轨迹范围：确保中点对应的弦与曲线有两个交点（利用判别式或曲线范围）。
题型01：求弦所在直线方程
【典型例题1】设斜率为
的直线与抛物线
交于
，
两点，若
为线段
的中点，则直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，
，则
，由
作差得
，
得
，所以直线方程为
，即
.
故选：C
【典型例题2】已知抛物线
，过点
的直线交抛物线
于
两点，若
为
的中点，则直线
的方程为 .
【答案】
【分析】设出
，
的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点
斜式方程即可得到结论.
【详解】设
，
，由题意
，
因为
，
在抛物线上，所以
，
，两式相减得，
，整理得，
，
即直线
的斜率
，
直线
的中点为
，
，
，
所以直线
的方程为
，化简得
.
故答案为：
.
【变式训练1-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q 在抛物线C 上，且线段PQ 的中点
为（﹣2，4），则直线PQ 的方程为（ ）
A．x+2y﹣6＝0
B．x+3y﹣10＝0
C．2x+y＝0
D．2x+3y﹣8＝0
【变式训练1-2】已知动点P 到定点
的距离比它到直线
的距离大1，直线与动点
的轨迹交于A，
B 两点，且线段AB 的中点为
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】已知抛物线
，过点
的直线l 与C 相交于A，B 两点，且M 为弦
的中点，
则直线l 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-4】已知抛物线
上的点
到其准线的距离为
，直线交抛物线于
，
两点，且
的中点
为
，则
到直线的距离为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【变式训练1-5】已知抛物线
的顶点为坐标原点，准线为
，直线与抛物线
交于
两点，若线段
的中点为
，则直线的方程为 ．
【变式训练1-6】已知A，B 是抛物线
上的两点，线段AB 的中点为
，则直线AB 的方程为
．
【变式训练1-7】已知抛物线C : y
2=2 px( p>0)
的焦点为F，点A(6, y0)
在抛物线C上，且|AF|=10．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M , N两点，且点(4,2)为线段MN的中点，求直线l的方程．
【变式训练1-8】已知抛物线C : x
2=−2 py( p>0)
的焦点为F , A(x0,−9)
是抛物线C上的点，且|AF|=15．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M , N两点，且MN的中点为(6,−4)，求直线l的方程．
【变式训练1-9】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，且
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）已知直线交抛物线
于
两点，且点
为线段
的中点，求直线的方程．
题型02：求直线斜率
【典型例题1】已知直线l交抛物线C : x
2=−18 y于M , N两点，且MN的中点为(3,−2)，则直线l的斜率为
（ ）
A．−3
B．−1
6
C．1
9
D．−1
3
【答案】D
【分析】设出直线l
的斜率为k
，点M , N
两点的坐标，代入抛物线方程x
2=−18 y
，作差，可得y1−y2
x1−x2
=−x1+ x2
18
，
又MN的中点为(3,−2)，即求出k.
【详解】易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k , M (x1, y1), N (x2, y2)
，
则¿
两式相减得x1
2−x2
2=−18( y1−y2)
，整理得y1−y2
x1−x2
=−x1+ x2
18
，
因为MN的中点为(3,−2)，则x1+ x2=2×3=6，
所以k = y1−y2
x1−x2
=−6
18 =−1
3
，即直线l
的斜率为−1
3
.
故选：D.
【典型例题2】已知
为抛物线
上的两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，则直线AB 的斜率为 .
【答案】
/0.5
【分析】设出点
的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB 的斜率.
【详解】由题意，
为抛物线
上的两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，
设
，线段AB 中点为
，
∴
，
，
∴
即
∴直线AB 的斜率为：
故答案为：
【变式训练2-1】已知直线l 交抛物线C : y
2=18 x于M，N 两点，且MN 的中点为(5,3)，则直线l 的斜率为（ ）
A．9
5
B．3
2
C．3
D．18
5
【变式训练2-2】已知抛物线C：
，过点
的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，若
，则
直线l 的斜率是（ ）
A．
B．4 C．
D．
【变式训练2-3】已知抛物线C : y
2= 4 x
，过点M(
3
2 ,−1)
的直线l
与C
相交于A，B 两点，且M
为弦AB 的中点，
则直线l的斜率为（ ）
A．−1
2
B．−3
4
C．−1
D．−2
【变式训练2-4】已知直线
与抛物线
相交于
、
两点，点
是抛
物线
的准线与以
为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
的面积为
D．
【变式训练2-5】已知抛物线Γ：y2＝2x，直线l 与Γ 交于A，B 两点，M（2，1）为弦AB 的中点，则直线l 的斜
率为 ．
【变式训练2-6】已知抛物线
上两点A，B 关于点
对称，则直线AB 的斜率为 .
【变式训练2-7】已知F是抛物线C : x
2=2 py( p>0)
的焦点，M (4 , y0)
是抛物线C上一点，且| MF |= 4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A ,B两点，且线段AB的中点坐标为(8,12)，求直线l的斜率.
题型03：求与弦中点有关的轨迹方程
【典型例题1】已知斜率为2 的直线与曲线
交于
两点，则线段
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用点差法，即可求得
，设直线
的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围.
【详解】设
,则
，
两式相减得：
，
即
，
因为直线
的斜率为2，所以
，所以
，
因为
，所以
.
设直线
的方程为
，由
,
可得：
，
，解得：
.
在直线
上，则
，
，所以
.
所以
.
故选：C
【典型例题2】直线
（
是参数）与抛物线
的相交弦是
，则弦
的中点轨
迹方程是 .
【答案】
【解析】设
，
中点
，则
.
，
过定点
，
.
又
，（1）
，（2）
得：
，
. 于是
，即
.
又弦中点轨迹在已知抛物线内，
联立
故弦
的中点轨迹方程是
故直线的方程为
，即
．
【变式训练3-1】已知抛物线
（
），过其焦点且斜率为2 的直线交抛物线于A，B 两点，若线段AB
的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】已知抛物线C : y
2=2 x的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2分别交C 于A，B 两点，交C 的
准线l 于P，Q 两点.
(1)若F 在线段AB上，R 是PQ的中点，AR与FQ平行吗？
(2)若△PQF的面积是△ABF的2 倍，求AB中点的轨迹方程.
题型:04：求中点坐标问题
【典型例题1】直线
被抛物线
截得的线段
的中点坐标是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解.
【详解】联立
，则
，
设直线
与抛物线交点
，
则
，故
，
所以线段
的中点坐标是
.
故选：B.
【变式训练4-1】若直线经过抛物线
焦点，且与抛物线相交于
两点，且
，则
的中点横坐标
为 .
【变式训练4-2】已知抛物线C：y
2=2 px（p>0）上一点M (1,m)（m>0）与焦点的距离为2.
(1)求p 和m；
(2)若在抛物线C 上存在点A，B，使得MA ⊥MB，设AB的中点为D，且D 到抛物线C 的准线的距离为15
2
，求
点D 的坐标.
题型:05：求参数问题
【典型例题1】过抛物线
的焦点F，且倾斜角为
的直线与抛物线交于A，B 两点，若弦
的垂
直平分线经过点
，则p 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】写出弦
所在直线方程为
，可设
，
，
，
，直线
的方程和抛物线方程联立消
去
可得到关于
的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦
的中点坐标为
，而弦
的垂直平分线方程可
写出为
，弦中点坐标带入该方程便可求出
的值．
【详解】抛物线的焦点
坐标是
,直线
方程为:
,
设
,联立
,则
,
所以
,
,
故
中点坐标为
,由两直线互相垂直有
,得
.
故选：C.
【典型例题2】斜率为1 的直线与双曲线C ：x
2
a
2 −y
2=1(a＞0)交于A，B 两点，若线段AB 的中点为（3，
1），则a＝（ ）
A．❑√2
B．❑√3
C．❑√6
D．2❑√3
【考点】抛物线的中点弦．版权所有
【分析】先求出直线AB 的方程，再与双曲线联立，并结合韦达定理，以及中点坐标公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，直线AB 的方程为y﹣1＝x﹣3，即x＝y+2，
联立{
x
2
a
2 −y
2=1
x = y +2 )
，化简整理可得，y2（1﹣a2）+4y+4﹣a2＝0，
若线段AB 的中点为（3，1），
则−4
1−a
2 =1×2，解得a= ❑√3（负值舍去）．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的中点弦，属于基础题．
【变式训练5-1】已知抛物线
与直线
交于
，
两点，且线段
中点的横坐标
为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】已知抛物线
，直线
与抛物线相交于
两点，且
的中点为
，则
.
【变式训练5-3】已知抛物线
，直线
与抛物线相交于
，且
的中点为
，
则
．
【变式训练5-4】过抛物线C : y
2=2 px( p>0)
的焦点的直线与抛物线C 相交于A，B 两点，若线段AB
中点的坐标
为(4,2❑√2)，则p=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
题型06：中点弦的弦长
【典型例题1】过抛物线
的焦点作直线，交抛物线于
，
两点.若线段
中点的横坐标为6，则
等
于（ ）
A．20
B．16
C．12
D．8
【答案】B
【详解】由题设，抛物线的焦点为
，可设
，
联立
，可得
，则
，
所以
，
，则
，得
，
所以
.
故选：B
【典型例题2】已知抛物线
与过焦点的一条直线相交于A，B 两点，若弦
的中点M 的横坐标为
，则弦
的长
【答案】
【解析】由题意抛物线焦点
，且直线
斜率不为0，设
，
联立抛物线得
，
，故
，
，
所以
，即
，
则
.
【变式训练6-1】已知斜率为
的直线过抛物线
的焦点，且与抛物线
交于
两点，抛物线
的准线上一点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【变式训练6-2】已知抛物线
上的点
到其准线的距离为
，直线交抛物线于
，
两点，且
的中点
为
，则
到直线的距离为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【变式训练6-3】过抛物线
的焦点的直线与该抛物线交于
两点，若线段
的中点的纵坐标为1，则
（ ）
A．12
B．
C．
D．
【变式训练6-4】已知直线
与抛物线
相交于
、
两点，点
是抛
物线
的准线与以
为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
的面积为
D．
【变式训练6-5】设经过点
的直线与抛物线
相交于
，
两点，若线段
中点的横坐标为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-6】已知抛物线
，直线与抛物线交于
两点，满足
，设线段
的中点为
，则
到
轴的最小距离为 ．
【变式训练6-7】若A，B 是抛物线
上不同的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点
，则
的
最大值为 ．
题型07:与中点弦有关的面积问题
【典型例题】已知拋物线C : y
2=2 px( p>0)
的焦点为F
，点P(
1
2 ,t)
在抛物线C
上，且|PF)= 5
2
.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点Q (4,2)的直线l与抛物线交于A ,B两点，且点Q是线段AB的中点，求△ABF的面积.
【答案】(1)y
2=8 x
(2)2❑√7
【分析】（1）将点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，求出p，得抛物线方程；
（2）利用点差法，求出直线AB 的方程，与抛物线联立，求出三角形的面积.
【详解】（1）由定义知|PF)= xP+ p
2 = 1
2 + p
2 = 5
2
，解得p= 4，
所以抛物线C的方程为y
2=8 x.
（2）设A(x1, y1)
，B(x2, y2)
，
因为Q (4,2)是线段AB的中点，所以y1+ y2= 4，
{
y1
2=8 x1
y2
2=8 x2)
，则( y2−y1)( y2+ y1)=8(x2−x1)，
所以直线AB 的斜率k AB= y2−y1
x2−x1
=
8
y1+ y2
= 8
4 =2，
所以直线l的方程为2 x−y −6=0，设直线l与x轴交于点M，则M (3,0)，
联立{
2 x−y −6=0
y
2=8 x )
，得y
2−4 y −24 =0
，所以y1+ y2= 4，y1 y2=−24，
所以|y1−y2)= ❑√( y1+ y2)
2−4 y1 y2= 4 ❑√7，S△ABF = 1
2 ×|FM )×|y2−y1)= 1
2 ×1×4 ❑√7=2❑√7.
【变式训练】已知直线x−2 y +2=0
与抛物线C：y
2=2 px ( p>0)
交于M，N 两点，|MN )=8 ❑√15
，O 为坐标原
点．
(1)求p；
(2)过点P(3,2)作直线l 交抛物线C于A，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求三角形OAB 的面积．
题型08：曲线上两点关于直线对称问题
【典型例题】若抛物线
上存在不同的两点关于直线
对称，求实数
的取值范围.
