第05讲利用导数求函数的单调性讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）（新高考通用）-教师版_高考一二三轮复习_数学_2026年-数学高考二轮复习

第05 讲 导数与函数的单调性
目   录
思维导图......................................................................................................................................................2
高考分析......................................................................................................................................................2
学习目标......................................................................................................................................................3
知识要点......................................................................................................................................................3
解题策略......................................................................................................................................................5
题型归纳......................................................................................................................................................6
题型01：导函数与原函数函数图象.......................................................................................................6
题型02： 不含参数的函数的单调性...................................................................................................12
题型03： 含参数的函数的单调性......................................................................................................17
（一）导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）...................................................................17
（二）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数不含参.............19
（三）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数含参................25
（四）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型.......................................31
题型04： 已知单调性求参数值..........................................................................................................35
（一）已知函数y = f ( x)在区间D上单调.....................................................................................35
（二）已知函数f (x)在区间D上存在单调区间.............................................................................42
（三）已知函数f (x)在区间D上不单调........................................................................................45
（四）已知函数y = f ( x)有三个单调区间....................................................................................48
题型05：单调性的应用——构造函数比较大小...................................................................................50
题型05:单调性的应用——构造函数解不等式.....................................................................................55
题型07：利用导数的运算法则构造函数..............................................................................................60
题型08：通过变量构造具体函数........................................................................................................65
题型09：通过数值构造具体函数........................................................................................................69
题型10：切线放缩与泰勒展开式........................................................................................................72
巩固提升....................................................................................................................................................78
1. 考纲定位
数与函数的
性是高考数学核心考点，属于
数
用的基
模
，
接
数的几何意
与函数极
导
单调
导
应
础
块衔
导
义
、最
，在
、填空、解答
中均有分布，解答
常作
数
合
的第一
，分
占比
值
值问题
选择
题
题
为导
综
题
问
值
约5-12 分。
2. 命题趋势
①基
型：直接考
利用
数求解不含参函数的
区
，或已知
区
求参数的取
范
，
重
础题
查
导
单调
间
单调
间
值
围侧
对
数运算、不等式求解的基本能力考
。
导
查
②
合
型：与含参函数的分
合，需根据参数范
分析
数符号的
化；或与函数的奇偶性、周期
综
题
类讨论结
围
导
变
性、不等式
明、零点
，考
推理与
合
用能力。
证
问题联动
查逻辑
综
应
③
新方向：
合
用
（如
化
），通
分析函数
性确定最
；或引入分段函数、抽象函数
创
结
实际应
问题
优
问题
过
单调
值
，
增加思
度。
维难
3. 高频考点分布
①选择/填空
：求函数
区
、判断
性与参数的关系、比
函数
大小（利用
性）。
题
单调
间
单调
较
值
单调
②解答
：含参函数
性的分
、已知
性求参数范
、
性在极
题
单调
类讨论
单调
围单调
值/零点
中的
用。
问题
铺垫应
4. 易错点警示
①忽略函数定
域
区
的限制，直接求解
数大于零（或小于零）的不等式。
义
对单调
间
导
②含参
，
漏参数的
界
（如
数
零的点是否在定
域内）。
讨论时遗
临
值
导
为
义
③混淆“函数在区
上
”与“函数的
区
包含
区
”的区
。
间
单调
单调
间
该
间
别
1. 知识目标
①理解
数与函数
性的核心关系：函数在区
内可
，
导
单调
间
导时f'(x)>0 
函数
增，
则
单调递
f'(x)<0 
函数
减
则
单调递
；
明确 f'(x)≥0（或 ≤0）且等号
在有限个点成立
，函数仍
。
仅
时
单调
②掌握不含参函数
区
的求解步
，能准确
理定
域
区
的限制。
单调
间
骤
处
义
对单调
间
③学会含参函数
性的分
方法，能根据参数范
分析
数零点的存在性、零点的大小关系及零点是否
单调
类讨论
围
导
在定
域内。
义
2. 能力目标
①提升
数运算能力，熟
多
式函数、分式函数、指数
数函数、三角函数等常
函数求
。
导
练对
项
对
见
导
②培养
推理能力，能利用函数
性解决比
函数
大小、
明不等式、分析函数零点个数等衍生
。
逻辑
单调
较
值
证
问题
③
化分
与数形
合思想的
用，能借助
数
像分析函数
性的
化
律。
强
类讨论
结
应
导
图
单调
变
规
3. 素养目标
①渗透数学抽象素养，理解
数符号与函数增减性之
的本
系。
导
间
质联
②提升数学运算与
推理素养，在含参
中做到条理清晰、不重不漏。
逻辑
讨论
知识点一：函数的单调性的概念
在某个区间(a,b)内，如果f
' (x)≥0，那么函数y = f (x)在
个区
内
增；
这
间
单调递
如果f
' (x)≤0，那么函数y = f (x)在
个区
内
减．
这
间
单调递
【注意】
（1）在某区
内
间
f
' (x)>0（f
' (x)<0）是函数f (x)在此区
上
增（减）函数的充分不必要条件；
间
为
（2）可
函数
导
f (x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f
' (x)≥0（f
' (x)≤0）且f
' (x)在
(a,b)上的任何子区
内都不恒
零．
间
为
知识点二：函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f
'( x)>0
f(x)在(a，b)上
增
单调递
f
'( x)<0
f(x)在(a，b)上
减
单调递
f
'( x)=0
f(x)在(a，b)上是常数函数
1.在某区
内
间
f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区
上
增
间
为
(减)函数的充分不必要条件．
2.   (1)在函数定
域内
数的符号．
义
讨论导
(2)两个或多个增(减)区
之
的
接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”．
间
间
连
知识点三：由函数的单调性求参数的取值范围：
条件
结论
可
函数
导
f(x)在(a，b)上
增
单调递
f
'( x)>0在(a，b)上恒成立
减
单调递
f
'( x)<0在(a，b)上恒成立
常数函数
f
'( x)=0在(a，b)上恒成立
存在
增区
单调递
间
f
'( x)>0在(a，b)上有解
存在
减区
单调递
间
f
'( x)<0在(a，b)上有解
（1）函数

f x 在区间D 上
增（
减）
单调
单

）
（
0
0
)
(


x
f
在区间D 上恒成立；
（2）函数

f x 在区间D 上存在
增（
减）区
单调
单
间
）
（
0
0
)
(


x
f
在区间D 上能成立；
（3）已知函数

f x 在区间D 内单调
)
(x
f 
不存在
号零点
变
（4）已知函数

f x 在区间D 内不单调
)
(x
f 
存在
号零点
变
含参函数单调性讨论依据：
（1）
函数有无零点
（或零点有无意
）；
导
讨论
义
（2）
函数的零点在不在定
域或区
内；
导
义
间
（3）
函数多个零点
大小的
。
导
时
讨论
知识点四：利用导数判断函数单调性的步骤：
方法一：第1 步，确定函数的定
域，求出
函数
义
导
f′(x)；
第2 步，求出
函数
导
f′(x)的零点；
第3 步，用f′(x)的零点将f(x)的定
域划分
若干个区
，列表
出
义
为
间
给
f′(x)在各区
上的正
，由
间
负
此得出函数y＝f(x)在定
域内的
性
义
单调
.
方法二：第1 步，确定函数的定
域，求出
函数
义
导
f′(x)；
第2 步，解不等式f
'( x)>0，
合定
域得到
增区
；
结
义
递
间
或解不等式f
'( x)<0得到
减区
；
递
间
知识点五：单调性的应用
1.比
大小：若自
量不在同一
区
内，
要
化到同一个
区
上，再
行比
．
较
变
单调
间
则
转
单调
间
进
较
2.利用
性比
大小或解不等式，关
是构造
助函数，利用构造的函数的
性
行比
．
单调
较
键
辅
单调
进
较
3.恒成立
的
理思路
问题
处
(1)f (x)>0恒成立⇔f (x)min>0；f (x)<0恒成立⇔f (x)max<0．
(2)f (x)>a恒成立⇔f (x)min>a；f (x)<a恒成立⇔f (x)max<a．
(3)f (x)> g(x)恒成立
[f (x)−g(x)]min>0；f (x)<g(x)恒成立
[f (x)−g(x)]max<0．
(5)∀x1∈M ,∀x2∈N ,f (x1)>g(x2)⇔f (x1)min>g(x2)max．
4.“有解”
的
理思路
问题
处
(1)f (x)>0有解⇔f (x)max>0；f (x)<0有解⇔f (x)min<0．
(2)f (x)>a有解⇔f (x)max>a；f (x)<a有解⇔f (x)min<a．
(3)f (x)> g(x)有解⇔[f (x)−g(x)]max>0；f (x)<g(x)有解⇔[f (x)−g(x)]min<0．
(4)
，使得f (x1)> g(x2)⇔f (x1)max>g(x2)min
1. 基
型：不含参函数
区
的求解
础题
单调
间
步骤1：确定函数 f(x) 的定
域（关
前提，避免因忽略定
域
致区
）。
义
键
义
导
间错误
步骤2：求
函数 
导
f'(x)，并将其化
便于判断符号的形式（如因式分解）。
简为
步骤3：解不等式 f'(x)>0 和 f'(x)<0，
合定
域确定函数的
增、
减区
。
结
义
单调递
递
间
2. 核心
型：含参函数的
性
题
单调
讨论
①策略1：
数
一次函数型
导
为
若 f'(x)=kx+b（k 含参），先
 
讨论k=0 
 
时f'(x) 的符号；再
 
讨论k\neq0 
，
数零点 
时导
x=-\frac{b}{k} 
是否在定
域内，
合定
域分区
判断符号。
义
结
义
间
②策略2：
数
二次函数型
导
为
若 f'(x)=ax^2+bx+c（a 含参），先
 
讨论a=0 
化
一次函数；再
 
转
为
讨论a\neq0 
，
算判
式 
时计
别
\Delta，根据 \Delta\le0（
数符号不
）和 
导
变
\Delta>0（求零点，比
零点与定
域的位置关系）分
，逐区
较
义
类
判断
数符号。
间
导
③关
原
：先定零点，再看区
，分
不重不漏。
键
则
间
类
3. 拓展
型：已知
性求参数范
题
单调
围
①等价
化：函数 
转
f(x) 在区
 
间D 上
增
单调递
f'(x)≥0 在 D 上恒成立；
减 
单调递
f'(x)≤e0 在 D 上恒成
立（等号
在有限个点成立）。
仅
②求解方法：分离参数法（
先）或分
法，将恒成立
化
求函数最
。
优
类讨论
问题转
为
值问题
题型01：导函数与原函数函数图象
【典型例题1】设f
' (x)是函数f (x)的
函数，
导
y = f
' (x)的
象如
所示，
图
图
则f (x)的
象可能是（    ）
图
A．
          B．
C．
          D．
【答案】D
【解析】解法一：因
在
为
(−3,−1)和
上f
' (x)>0，在(−1,0)和(1,3)上f
' (x)<0，
所以函数f (x)在(−3,−1)，
上
增，在
单调递
(−1,0)，(1,3)上
减，
单调递
察各
知，只有
观
选项
D 符合
意
题
.
解法二：由
知，
题图
y = f
' (x)在x =−1的左
大于
侧
0、右
小于
侧
0，
所以函数f (x)在x =−1
取得极大
，
察各
知，只有
处
值观
选项
D 符合
意
题
.故
：
选D.
【典型例题2】已知函数
的
象是下列四个
象之一，且其
函数
图
图
导
y = f
' (x)的
象如下
所示，
图
图
则该
函数的大致
象是（
图
    ）
A．
     B．
     C．
     D．
【答案】B
【解析】由
函数
象知，
导
图
x∈(−1,1)，f
'( x)>0恒成立，即函数y = f ( x)在[−1,1]上
增，
单调递
而函数
在
上
增，在
单调递
[0,1]上
减，
单调递
因此在
上，函数y = f ( x)的
化率逐
增大，
变
渐
即函数
象逐
由
陡，
图
渐
缓变
选项AD 不
足，
满
在[0,1]上，函数y = f ( x)的
化率逐
减小，即函数
象逐
由陡
，
变
渐
图
渐
变缓
选项C 不
足，
满
选项B 符合
意
题
.故
：
选B.
【典型例题3】如
是函数
图
的
函数
导
y = f
' (x)的
象，若
图
f (2)=0，则
的
象大致
（
图
为    ）
A．
      B．
      C．
      D．
【答案】D
【解析】由y = f
'( x)的
象可知，当
图
0< x<1
，
时( A ,C2)，
在区
则
间(0,1)上，
函数y = f ( x)上各点
切
的斜率在区
处
线
间(0,1)内，
于
对
A，在区间(0,1)上，函数y = f ( x)上各点
切
的斜率均小于
处
线
0，故A 不正确；
于
对
B，在区间(0,1)上，函数y = f ( x)上存在点，在
点
切
的斜率大于
该
处
线
1，故B 不正确；
于
对
C，在区间(0,1)上，函数y = f ( x)上存在点，在
点
切
的斜率大于
该
处
线
1，故C 不正确；
于
对
D，由y = f
'( x)的
象可知，当
图
0< x<1
，
时( A ,C2)，
当1< x<3
，
时f
'( x)<0，当x>3
，
时f
'( x)>0，
所以函数y = f ( x)上各点
切
的斜率在区
处
线
间(0,1)内，在(0,1)上
增，
单调递
在(1,3)上
减，在
单调递
(3,+∞)上
增，
单调递
而函数y = f ( x)的
象均符合
些性
，故
图
这
质
D 正确.故
：
选D
【典型例题4】已知函数f ( x)的
函数
导
像如
所示，
图
图
则f ( x)的
像是
四个
像中的（
图
图
图
    ）．
A．
      ．
C．
     D．
【答案】A
【解析】由
意可知，当
题
−2< x<0
，
时f
' (x)>0，则f (x)在(−2,0)上
增，
单调递
当0< x<2
，
时f
' (x)<0，则f (x)在(0,2)上
减，
单调递
当−2< x<−1
，
时f
' (x)
增，
单调递
则f (x)在(−2,−1)上增的越来越快，
当−1< x<0
，
时f
' (x)
减，
单调递
则f (x)在(−1,0)上增的越来越慢，
当0< x<1
，
时f
' (x)
减，
单调递
则f (x)在
上减的越来越快，
当1< x<0
，
时f
' (x)
增，
单调递
则f (x)在(1,2)上减的越来越慢，
只有A
符合
选项
.故
：
选A.
【典型例题5】已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的
函数，
函数
导
则
f′(x)的
象大致是
图
(　　)
　　　　
　　　　　    　　A　　　　　　 　　B　　　　　  　　　C　　　 　　　　　D
【答案】A
【解析】设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，则g′(x)＝2－2cos x≥0．所以f′(x)在R 上
增，故
单调递
选A．
【变式训练1-1】已知函数y = f ( x)的
像如
所示，
其
函数
图
图
则
导
y = f
' (x)的
像可能是
图
(    )
 A． 
 B． 
 C． 
 D． 
【答案】A
【解析】根据函数的
像、
性以及
数等知
确定正确答案
图
单调
导
识
.
由
可知，当
图
x>0
，
时f (x)
减，
单调递
f
' (x)<0，由此排除BD 选项.
当x<0
，从左向右，
时
f (x)是
增、
减、
增，
数的符号
递
递
递
对应导
为+,−,+，由此排除C
，
选项
所以A
正确
选项
;故
：
选A
【变式训练1-2】已知函数y = x f
' (x)的
象如
所示（其中
图
图
f
' (x)是函数f (x)的
函数），下面四个
象中可
导
图
能是
象的是（
图
    ）
A．
      B．
      C．
      D．
【答案】C
【解析】由y = x f
' (x)的
象知，当
图
x∈(−∞,−1)
，
时x f
' (x)<0，故f
' (x)>0，f (x)
增；
单调递
当x∈(−1,0)
，
时x f
' (x)>0，故f
' (x)<0，当x∈0,1)，x f
' (x)≤0，故f
' (x)≤0，
等号
有可能在
仅
x＝0
取得，
处
所以x∈(−1,1)
，
时f (x)
减；
单调递
当x∈(1,+ ∞)
，
时x f
' (x)>0，故f
' (x)>0，f (x)
增，
合
只有
单调递
结
选项
C 符合.故
：
选C.
【变式训练1-3】
函数
设
f (x)的
函数
导
为f
' (x)，y = f
' (x)的部分
象如
所示，
（
图
图
则    ）
A．函数f (x)在
上
增
单调递
B．函数f (x)在(0,4)上
增
单调递
C．函数f (x)在x =3
取得极小
处
值
D．函数f (x)在x =0
取得极大
处
值
【答案】B
【解析】由
象可知，函数
图
f (x)在(−1
2 ,0)上
减，
单调递
A
；函数
错误
f (x)在(0,4)上
增，
单调递
B 正确，C
；
错误
函数f (x)在x =0
取得极小
，
处
值D 错误.
故
：
选B.
【变式训练1-4】如
是函数
图
的
函数
导
y = f
' (x)的
象，
下列判断正确的是（
图
则
    ）
A．在区
（－
间
2，1）上，f (x)是增函数
B．当
，
时f (x)取到极小值
C．在区
（
间1，3）上，f (x)是减函数
D．在区
（
间4，5）上，f (x)是增函数
【答案】D
【解析】由
函数
象知，在
导
图
−2< x<−3
2
，
时f
'( x)<0，f ( x)
减，
递
A
；
错
，
时f ( x)取得极大
（函数是先增后减），
值
B
；
错
1< x<2
，
时f
'( x)>0，f ( x)
增，
递
C
；
错
4< x<5
，
时f
'( x)>0，f ( x)
增，
递
D 正确．
故
：
选D．
【变式训练1-5】已知函数
的
象是下列四个
象之一，函数
图
图
y = f ' (x)的
象如
所示，
函数
图
图
则
象是（
图
    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
函数与横
的交点
设导
轴
为x1, x2，设−1< x1<0< x2<1，
由
函数的
象可知：当
导
图
，
时f ' (x)<0⇒f ( x)
减，
单调递
当x∈( x1, x2)
，
时f ' (x)>0⇒f ( x)
增，
单调递
当x∈( x2,+ ∞)
，
时f ' (x)<0⇒f ( x)
减，由此可以确定
单调递
选项C 符合，
故
：
选A
【变式训练1-6】函数f (x)的
函数
导
f
' (x)的
象如
所示，
函数
图
图
则
f (x)的
象（
图
    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
函数
导
f
' (x)的
象，
图
函数有三个极
点，一个小于
值
0，两个大于0，设x1<0< x2< x3，
当x< x1或x2< x< x3，f
' (x)<0，f (x)
减；
单调递
当x1< x< x2或x> x3，f
' (x)>0，f (x)
增；
单调递
只有D 符合
意，
题
故
：
选D
【变式训练1-7】 设
是f ( x)的
函数，将
导
y = f ( x)和y = f
'( x)的
象画在同一个直角坐
系中，不可
图
标
能的是( )
A．
 B．
 C．
 D．
【答案】D
【解析】
易知
检验
A、B、C 均适合，不存在选项D 的
象所
的函数，在整个定
域内，不具有
性，但
图
对应
义
单调
y=f(x)和y=f′(x)在整个定
域内具有完全相同的走
，不具有
的函数，故
义
势
这样
选D．
【变式训练1-8】已知函数f ( x)= x
α( x>0)，α
数，
为实
f ( x)的
函数
导
为
，在同一直角坐
系中，
标
f ( x)
与
的大致
象不可能是
图
(    )
A．
 B．
 C．
 D．
【答案】C
【解析】先通
特
代入易得
过
值
A
符合，
于
项
对
B, C, D
，通
象
察分析可得
项
过图
观
α >1，
合两函数
象交点的
结
图
位置舍去C 项.
由f ( x)= x
α ,可得f
' (x)=α x
α −1
于
对
A，当α =−1
，在第一象限上
时
f (x)= x
−1
减，
递
对应f
' (x)=−x
−2=−1
x
2
象在第四象限且
增，故
图
递
A 正
确；
于
对
B ,C , D ,在第一象限上f (x)与
的
象在
图
(0,+∞)上都
增，故
单调递
α >0且α −1>0，则α >1.
又由f (x)= f
' (x)可得x =α >1，即
与f
' (x)=α x
α −1的
象交点横坐
大于
图
标应
1，
然
显
C
，
错误B, D 正
确；故
：
选C.
【变式训练1-9】已知函数y＝f(x)的
函数
导
y＝f′(x)的
象如
所示，
函数
图
图
则
y＝f(x)的
象可以是
图
(　　)
     
 
【答案】C
【解析】根据
函数的正
与原函数的
性的关系，
合
函数
导
负
单调
结
导
f′(x)的
象可知，原函数
图
f(x)先
增，再
减，最后
慢
增，
单调递
单调递
缓
单调递
选项C 符合
意，故
题
选C．
【变式训练1-10】已知函数的
函数的
象如
所示，
函数的
增区
是        ．
导
图
图
则
单调
间
【答案】(−1,2)和(4 ,+∞)【分析】根据
函数的
象得到
数大于零的
导
图
导
x的取
范
，得解
值
围
.
【解析】
函数
设
为y = f (x)，由
象可得，当
图
x∈(−1,2)∪(4 ,+∞)，f
' (x)>0，
所以函数f (x)的
区
是
单调
间
(−1,2)和(4 ,+∞).故答案
：
为(−1,2)和(4 ,+∞).
【变式训练1-11】函数y＝f(x)的
象如
所示，
图
图
则y＝f′(x)的
象可能是
图
(　　)
　
【答案】D
【解析】由函数f(x)的
象可知，
图
f(x)在(－∞，0)上
增，
单调递
f(x)在(0，＋∞)上
减，所以
单调递
在(－∞，0)上，f′(x)＞0；在(0，＋∞)上，f′(x)＜0，选项D
足．
满
【变式训练1-12】已知函数y = x f
'( x)的
象如
所示
图
图
(其中
是函数f ( x)的
函数
导
)，
下面四个
象
则
图
中，
的
象大致是
图
(    )
 A．
 B．
 C．
 D．
【答案】C
【解析】先利用函数y = x f
'( x)的
象求得函数
图
f ( x)的
区
，
而得到正确
单调
间进
选项.
当x<−1
，
时x f
'( x)<0，则f
'( x)>0，则f ( x)
增；
单调递
当−1< x<0
，
时x f
'( x)>0，则f
'( x)<0，则f ( x)
减；
单调递
当0< x<1
，
时x f
'( x)<0，则f
'( x)<0，则f ( x)
减；
单调递
当x>1
，
时x f
'( x)>0，则f
'( x)>0，则f ( x)
增；
单调递
则f ( x)
增区
单调递
间为(−∞,−1)，(1,+ ∞)；
减区
单调递
间为(−1,1)；故仅选项C 符合要求；故
：
选C
题型02： 不含参数的函数的单调性
【典型例题1】函数f (x)= x e
x的
增区
是（
单调递
间
    ）
A．
B．(−∞,0)
C．(0,+ ∞)
D．
【答案】D
【解析】f
' (x)=e
x+ x e
x=e
x(x +1)，由f
' (x)>0，得x>−1，
所以函数f (x)的
增区
是
单调递
间
．
故
：
选D.
【典型例题2】函数f (x)= x
2ln x的
增区
（
单调递
间为    ）
A．(0,❑√e)
B．(
❑√e
e ,+ ∞)
C．(❑√e ,+∞)
D．(0,
❑√e
e )
【答案】B
【解析】函数f (x)的定
域
义
为(0,+ ∞)，
f
' (x)=2 x ln x + x
2⋅1
x =2 x ln x + x = x (2ln x +1)，
令f
' (x)>0，得2ln x +1>0，解得x>
❑√e
e
，
故函数f (x)= x
2ln x的
增区
单调递
间为(
❑√e
e ,+∞)．
故
：
选B．
【典型例题3】若函数f ( x)= ln x +1
e
x
，
函数
则
f ( x)的
减区
单调递
间为        .
【答案】(1,+ ∞)
【解析】因为f ( x)的定
域
义
为(0,+∞)，则f
'( x)=
1
x −ln x−1
e
x
，
令φ(x)= 1
x −ln x−1，x∈(0,+∞)，则φ
' (x)=−1
x
2 −1
x <0，
φ(x)在(0,+ ∞)上
减，且
单调递
φ(1)=0，
∴当x∈(0,1)
，
时φ(x)>0，即f
'( x)>0，
当x∈(1,+∞)
，
时φ(x)<0，即f
'( x)<0，
∴f (x)在
上
增，在
单调递
(1,+∞)上
减，
单调递
即函数f ( x)的
减区
单调递
间为(1,+∞).
【典型例题4】函数y = x
2+2
x
+ ln x的
增区
（
单调递
间为    ）
A．
        B．(0,1)        C．(2,+∞)        D．
【答案】D
【解析】函数的定
域
义
为(0,+ ∞).
y = x
2+2
x
+ ln x = x + 2
x + ln x，则y
' =1−2
x
2 + 1
x = x
2+ x−2
x
2
= ( x +2)( x−1)
x
2
.
令{
y
'>0
x>0
，解得x∈(1,+∞).故
：
选D
【变式训练2-1】函数
的
增区
是
单调递
间
(    )
A．(−∞,−1),(0,+∞)     B．(−∞,−1)∪(0,+∞)     C．(−1,0)     D．(−∞,0),(1,+∞)
【答案】A
【解析】求出函数
数，解不等式即可得出
增区
导
递
间.
因
函数
为
，所以f
'( x)= x
2+ x，
令f
'( x)>0，解得x<−1或x>0，所以函数的
增区
单调递
间为(−∞,−1),(0,+ ∞)；故
：
选A
【变式训练2-2】函数f (x)= x
2+ln x−3 x的
减区
是
单调递
间
(    )
A．
B．(
1
2 ,1)
C．(1,+∞)
D．(−∞, 1
2)
【答案】B
【解析】求
，令
导
f
' (x)<0，利用
数求
导
f (x)的
减区
单调递
间.
由
意可知：
题
f (x)的定
域
义
为(0,+ ∞)，且f
' (x)=2 x + 1
x −3= (x−1)(2 x−1)
x
，
令f
' (x)= (x−1)(2 x−1)
x
<0，解得1
2 < x<1，所以函数f (x)的
减区
是
单调递
间(
1
2 ,1).故
：
选B.
【变式训练2-3】函数f (x)= x−1
e
x
的
增区
是
单调
间
(    )
A．(0,2)
B．(−∞,2)
C．(1,+∞)
D．(2,+∞)
【答案】B
【解析】通
求
，令
函数大于
过
导
导
0，即可求解.
函数的定
域
义
为R，f
' (x)= (x−1)
' e
x−(x−1)(e
x)
'
(e
x)
2
= e
x−(x−1)e
x
(e
x)
2
= 2−x
e
x
，
令f
'( x)>0，解得x<2，所以函数的
增区
单调递
间为(−∞,2).故
：
选B
【变式训练2-4】已知x∈(0,π )，函数f (x)=e
xcos x的
增区
（
单调递
间为   ）
A．(0, π
2)
B．(0, 3 π
4 )
C．
D．(
3 π
4 ,π)
【答案】C
【解析】求
，通
导
过f
' (x)>0即可求解.
因为f (x)=e
xcos x，所以f
' (x)=(cos x−sin x)e
x，令f
' (x)=0，解得x = π
4
，
当x∈(0, π
4)
，
时f
' (x)>0，
当x∈(
π
4 ,π)
，
时f
' (x)<0，
所以f (x)在(0, π
4)上
增，在
单调递
(
π
4 ,π)上
减，
单调递
所以f (x)在(0,π )上的
增区
单调递
间为(0, π
4)，
故
：
选C．
【变式训练2-5】已知函数f (x)=2sin x−ax ,a∈R，若曲线
在点( π
2 ,f ( π
2 ))
的切
方程
处
线
为
x + y + k =0，
函数
则
在(0,2π )内的
减区
是（
单调递
间
    ）
A．[ π
3 , 5 π
3 ]
B．(0,π ]
C．[ π ,2π )
D．(0, π
3 ],[ 5
3 π ,2π )
【答案】A
【解析】根据
定条件，利用
数的几何意
求出
给
导
义
a，再利用
数求出
减区
导
单调递
间.
函数f ( x)=2sin x−ax，求
得
导
f
'( x)=2cos x −a，则f
'( π
2 )=2cos π
2 −a=−a，
由曲线
在点( π
2 ,f ( π
2 ))
的切
方程
处
线
为x + y + k =0，得−a= f
'( π
2 )=−1，解得a=1，
于是f
'( x)=2cos x −1，由f
'( x)=2cos x −1<0，得
，而x∈(0,2π )，解得
π
3 < x< 5 π
3 ，
所以函数
在(0,2π )内的
减区
是
单调递
间
[ π
3 , 5 π
3 ].
故
：
选A
【变式训练2-6】函数
的
增区
（
单调
间为    ）
A．(−∞,1)
B．(0,1)
C．(1,e)
D．(1,+∞)
【答案】B
【解析】求出
数，利用
数大于
导
导
0 可得答案.
函数 
 的定
域
 
义
为(0,+ ∞) ，
y
' = (ln x +1)
' x−(ln x +1) x
'
x
2
= 1−(ln x +1)
x
2
= −ln x
x
2
 ，
由 y
'>0 得ln x<0，解得 0< x<1 ，
所以 
 的
增区
 
单调
间为(0,1) .
故
：
选B.
【变式训练2-7】函数f ( x)= ln x + e
x+1
x
的
增区
（
单调
间为    ）
A．(0,1)
B．(0,e)
C．(1,+∞)
D．(e ,+∞)
【答案】C
【解析】根据
意，求得
题
f
' (x)= (x−1)(e
x+1)
x
2
，
合
结
f
' (x)>0的解集，即可求得函数的
增区
递
间.
由函数
，可得其定
域
义
为
(0,+ ∞)
，
且f
' (x)= 1
x + x e
x−(e
x+1)
x
2
= (x−1)(e
x+1)
x
2
，
令f
' (x)>0，解得x>1，所以函数f (x)的
增区
单调
间为(1,+∞)．
故
：
选C.
【变式训练2-8】函数f (x)=e
−xcos x , x∈(0,π )的
增区
单调递
间为        .
【答案】(
3 π
4 ,π)
【解析】f (x)=e
−xcos x，f
' (x)=−e
−x(cos x +sin x)=−❑√2e
−xsin(x + π
4)，
当x∈(0, 3 π
4 )
，
时π
4 < x + π
4 <π，sin( x + π
4 )>0，e
−x>0，所以f
' (x)<0，f ( x)
减；
单调递
当x∈(
3 π
4 ,π)
，
时π < x + π
4 < 5 π
4
，sin(x + π
4)<0，e
−x>0，所以f
' (x)>0，f ( x)
增；
单调递
所以f ( x)在(0,π )的
增区
单调递
间为(
3 π
4 ,π)，故答案
：
为(
3 π
4 ,π)
【变式训练2-9】函数y =−1
x +3 ln x的
增区
单调递
间为________．
【答案】(0,+∞)
【解析】y
' = 1
x
2 + 3
x = 3 x +1
x
2
令y
' = 3 x +1
x
2
>0，解得x>−1
3
又函数y =−1
x +3ln x的定
域
义
为(0,+∞)
函数的
增区
则
单调递
间为(0,+ ∞)．
故答案
：
为(0,+ ∞)．
【变式训练2-10】已知函数f (x)=
sin x
2+cos x , x∈(0,2π )，写出函数f (x)的
减区
单调递
间            ．
【答案】
【解析】利用
数判断函数的
性即可
导
单调
.
f '( x)= cos x(2+cos x)+sin
2 x
(2+cos x)
2
= 2cos x +1
(2+cos x)
2，x∈(0,2π )，
令f
' (x)= 2cos x +1
(2+cos x)
2 =0，即2cos x +1=0，解得x = 2π
3
或x = 4 π
3
.
当x∈(0, 2π
3 )
，
时f
' (x)>0，则f (x)在(0, 2π
3 )上
增；
单调递
当x∈(
2π
3 , 4 π
3 )
，
时f
' (x)<0，则f (x)在
上
减；
单调递
当x∈(
4 π
3 ,2π)
，
时f
' (x)>0，则f (x)在(
4 π
3 ,2π)上
增
单调递
.
上可知，函数
综
f (x)
的
减区
单调递
间为
.
故答案
：
为
.
【变式训练2-11】已知函数f (x)= ln x−2 x.
(1)求f (x)的
区
；
单调
间
【答案】
解析
见
【解析】(1)
增区
单调递
间为
，
减区
单调递
间为(
1
2 ,+∞)；
(1)由已知f (x)= ln x−2 x，所以f
' (x)= 1
x −2= 1−2 x
x
(x>0)，
令f
' (x)>0，可得
，f
' (x)<0，可得x> 1
2，
所以当
，
时f (x)
增，
单调递
当x> 1
2
，
时f (x)
减，
单调递
所以f (x)的
增区
单调递
间为
，
减区
单调递
间为(
1
2 ,+∞).
【变式训练2-12】已知函数f ( x)= ln x−ax +a(a>0).
(1)当a=2
，求
时
f ( x)的
区
；
单调
间
【答案】
解析
见
【解析】(1)增区间为(0, 1
2)，减区间为(
1
2 ,+ ∞)；
（1）当a=2
，
时f ( x)= ln x−2 x +2.
∴f
'( x)= 1
x −2= 1−2 x
x
，令f
'( x)=0，得x = 1
2
.
∴当
，
时f
'( x)>0，函数f ( x)
增；
单调递
当x> 1
2
，
时f
'( x)<0，函数f ( x)
减
单调递
.
故函数f ( x)的减区间为(
1
2 ,+ ∞)，增区间为(0, 1
2)；
题型03： 含参数的函数的单调性
（一）导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
【典型例题1】若g( x)= 1
x −f ( x)，讨论g(x)的
性．
单调
【答案】答案
解析
见
【解析】由
知
题
g(x)= x−a ln x的定
域
义
为(0,+∞)，g
'( x)=1−a
x = x−a
x
．
（i）若a＜0，则g
' (x)>0，所以g(x)在(0,+ ∞)上
增．
单调递
（ii）若a＞0，
当
则
x∈(0,a)
，
时g
' (x)<0；当x∈(a,+ ∞)
，
时g
' (x)>0．
所以g(x)在
上
减，在
单调递
(a,+ ∞)上
增．
单调递
【典型例题2】已知函数f ( x)=ae
x−4 x，a∈R求函数f (x)的
区
单调
间.
【答案】当a≤0
，
时f ( x)的增区间为(−∞,+ ∞)；
当a>0
，
时f ( x)的增区间为(ln 4
a ,+ ∞)，减区间为(−∞,ln 4
a).
【解析】因为f
'( x)=ae
x−4
当a≤0
，
时f
' (x)<0,f (x)在R上
减；
单调递
当a>0
，令
时
f
' (x)<0，可得x<ln 4
a
，令f
' (x)>0，可得x>ln 4
a
，
所以f (x)在(−∞,ln 4
a)上
减，在
单调递
(ln 4
a ,+ ∞)上
增．
单调递
上所述：
综
当a≤0
，
时f ( x)的增区间为(−∞,+ ∞)；
当a>0
，
时f ( x)的增区间为(ln 4
a ,+ ∞)，减区间为(−∞,ln 4
a).
【变式训练3-1-1】已知函数f (x)= x−mln x−m，
函数
讨论
f (x)的
性
单调
.
【答案】答案
解析
见
.
【解析】函数f ( x)的定
域
义
为(0,+ ∞)，且f
'( x)=1−m
x
，
当m≤0
，
时f
'( x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以此时f ( x)在(0,+∞)上
增函数，
为
当m>0
，由
时
f
'( x)=1−m
x >0，解得x>m，
由f
'( x)=1−m
x <0，解得0< x<m，
所以f ( x)在(0,m)上
减函数，在
为
[m,+∞)上
增函数，
为
上：当
综
m≤0
，
时f ( x)在(0,+ ∞)上
增函数，
为
当m>0
，
时f ( x)在(0,m)上
减函数，在
为
[m,+∞)上
增函数；
为
【变式训练3-1-2】已知函数f (x)=ax−a
2 ln x−3，其中a≠0，求函数f (x)的
区
单调
间.
【答案】答案
解析
见
.
【解析】由
意知函数
题
f (x)的定
域
义
为(0,+ ∞),f
' (x)=a−a
2 x = a(2 x−1)
2 x
，
①当a>0
，令
时
f
' (x)>0，可得x> 1
2
，此
函数
时
f (x)的增区间为(
1
2 ,+ ∞)，
令f
' (x)<0，可得x< 1
2
,此
函数减区
时
间为
；
②当a<0
，令
时
f
' (x)>0，可得
，此
函数
时
f (x)的增区间为
，
令f
' (x)<0，可得x> 1
2
，此
函数减区
时
间为(
1
2 ,+∞)
上所述：当
综
a>0
，函数
时
f (x)的增区间为(
1
2 ,+ ∞)，减区间为
；
当a<0
，函数
时
f (x)的增区间为
，减区间为(
1
2 ,+ ∞).
【变式训练3-1-3】已知函数f (x)=a x
4+7 x
3.
(1)讨论f (x)的
性
单调
.
【答案】(1)答案
解析
见
【解析】f
' (x)= 4 a x
3+21 x
2= x
2(4 ax +21).
当a=0
，
时f (x)在R上
增
单调递
.
当a>0
，若
时
x∈(−∞,−21
4 a),f
' (x)<0；若x∈(−21
4 a ,+∞),f
' (x)≥0.
则f (x)在(−∞,−21
4 a)上
减，在
单调递
(−21
4 a ,+ ∞)上
增
单调递
.
当a<0
，若
时
x∈(−∞,−21
4 a),f
' (x)≥0；若x∈(−21
4 a ,+∞),f
' (x)<0.
则f (x)在(−∞,−21
4 a)上
增，在
单调递
(−21
4 a ,+ ∞)上
减
单调递
.
【变式训练3-1-4】已知函数
．
(2)讨论
的
性．
单调
【答案】
解析
见
【解析】（2）求
得
导
，
当
，
时
在
上恒成立，所以
在
上
增；
单调递
当
，令
时
，解得
，
当
，
时
，
在
上
减；
单调递
当
，
时
，
在
上
增．
单调递
上所述，当
综
，
时
在
上
增；
单调递
当
，
时
在
上
减，在
单调递
上
增．
单调递
（二）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数不含参
【典型例题1】已知函数f (x)= 1
3 x
3−a+ 4
2
x
2+ 4 ax．
(1)若a=2，求曲线
在点(1,f (1))
的切
方程．
处
线
(2)讨论f (x)的
性．
单调
【答案】(1)9 x−3 y +7 =0 (2)
解析
见
【解析】（1）当a=2
，
时f (x)= 1
3 x
3−3 x
2+8 x，则f (1)= 1
3 −3+8= 16
3 ，
∴
，
∴f
' (1)=1−6+8=3，
所以曲线
在点(1,f (1))
的切
方程
处
线
为y −16
3 =3(x−1)，
即9 x−3 y +7 =0.
（2）函数f (x)的定
域
义
为
，
f
' (x)= x
2−(a+ 4) x + 4 a=(x−4)(x−a),
当
，由
时
f
' (x)>0得x<a或x>4，由f
' (x)<0得a< x<4，
所以f (x)在(−∞,a)上
增，在
单调递
(a,4)上
减，在
单调递
(4 ,+∞)上
增；
单调递
当a= 4
，由
时
f
' (x)≥0恒成立，
所以f (x)在
上
增；
单调递
当
，由
时
f
' (x)>0得x<4或x>a，由f
' (x)<0得4< x<a，
所以f (x)在(−∞,4)上
增，在
单调递
(4 ,a)上
减，在
单调递
(a,+ ∞)上
增；
单调递
上可知：当
综
，
时f (x)在(−∞,a)上
增，在
单调递
(a,4)上
减，在
单调递
(4 ,+ ∞)上
增；
单调递
当a= 4
，
时f (x)在
上
增；
单调递
当
，
时f (x)在(−∞,4)上
增，在
单调递
(4 ,a)上
减，在
单调递
(a,+ ∞)上
增；
单调递
【典型例题2】已知函数f (x)= 1
3 x
3+a x
2−3a
2 x +1(a∈R)．
(1)当a=1
，求函数
时
f (x)在[−4,4]上的最大
和最小
；
值
值
(2)
函数
试讨论
f (x)的
性．
单调
【答案】(1)最大值为79
3
，最小值为−2
3
(2)答案
解析
见
【解析】（1）由
意
题
a=1
，函数
时
f (x)= 1
3 x
3+ x
2−3 x +1，
所以f
' (x)= x
2+2 x−3=(x +3)(x−1)，
令f
' (x)=0得x =−3或x =1，x∈[−4,4]，
当−4< x<−3或1< x<4
，
时f
' (x)>0；
当−3< x<1
，
时f
' (x)<0；
所以f (x)在(−4 ,−3)和(1,4)上
增，在
单调递
(−3,1)上
减
单调递
.
所以函数f (x)在x =−3
取得极大
，且
时
值
f (−3)=10；
f (x)在x =1
取得极小
．且
时
值
f (1)=−2
3
，
又f (−4)= 23
3
，f (4)= 79
3
，
所以函数f (x)在区间[−4,4]上取得最大值为79
3
，最小值为−2
3
；
（2）f
' (x)= x
2+2ax−3a
2=(x +3a)(x−a)，且
，
当a=0
，
时f
' (x)= x
2≥0，此时f (x)在
增；
单调递
当a<0
，
时
，
时f
' (x)>0，此时f (x)
增；
单调递
，
时f
' (x)<0，此时f (x)
减；
单调递
当a>0
，
时x∈(−∞,−3a)∪(a,+ ∞)
，
时f
' (x)>0，此时f (x)
增；
单调递
，
时f
' (x)<0，此时f (x)
减；
单调递
上所述：当
综
a=0
，函数
时
f (x)
增区
单调递
间为
，
当a<0
，函数
时
f (x)的
增区
单调递
间为(−∞,a)，
；函数f (x)的
减区
单调递
间为(a,−3a)．
当a>0
，函数
时
f (x)的
增区
单调递
间为
，(a,+ ∞)；函数的f (x)
减区
单调递
间为
．
【典型例题3】已知函数f ( x)=(x
2−ax)ln x−3
2 x
2+2ax．
(1)记f
'( x)= g( x)，若
定
域内任意的
对
义
x，g( x)≥0恒成立，求
数
实
a的范
；
围
(2)
函数
试讨论
f ( x)的
性．
单调
【答案】(1)a=2e
(2)
解析
见
【解析】（1）
然
显
x>0，f
'( x)=(2 x−a)ln x +(x
2−ax) 1
x −3 x +2a=(2 x−a)(ln x−1)
即g( x)=(2 x−a)(ln x−1)≥0，对x>0恒成立，
当0< x ≤e
，
时ln x−1≤0,∴2 x−a≤0,∴a≥(2 x)max =2e；
当x ≥e
，
时ln x−1≥0,∴2 x−a≥0,∴a≤(2 x)min =2e．
上，
综
a=2e．
（2）由（1）知g( x)=(2 x−a)(ln x−1)
①当a≤0
，
时2 x−a>0，
当x>e
，
时f
'( x)>0,f ( x)
增，
单调递
当0< x<e
，
时f
'( x)<0，f ( x)
减，
单调递
即当a≤0时f ( x)在(0,e)上
减，
递
(e ,+ ∞)上
增
递
 
②当a>0
，
时
当a=2e
，由（
时
1）知f
'( x)≥0,f ( x)在(0,+∞)
增
单调递
 
当a>2e
，当
时
，
时2 x−a>0,ln x>0，当0< x<e时2 x−a<0,ln x<0,故当0< x<e和
，
时
f
' (x)>0，当e< x< a
2
，
时f
' (x)<0,因此f ( x)在(e , a
2)上
减，在
单调递
(0,e),(
a
2 ,+ ∞)上
增
单调递
 
当0<a<2e
，当
时
x< a
2
，
时2 x−a<0,ln x<0，当x>e时2 x−a>0,ln x>0,故当x>e和x< a
2
，
时f
' (x)>0，
当a
2 < x<e
，
时f
' (x)<0,f ( x)在(
a
2 ,e)上
减，
递(0, a
2),(e ,+∞)上
增
递
【典型例题4】已知函数f ( x)= 1
2 x
2−2ax−3a
2ln x．
(1)
函数
讨论
f ( x)的
性；
单调
【答案】(1)答案
解析
见
【解析】（1）f (x)的定
域
义
为(0,+ ∞)，f
' (x)= x−2a−3a
2
x = ( x−3a)( x +a)
x
.
当a<0
，
时f (x)在区间(0,−a),f
' (x)<0,f (x)
减；在区
递
间(−a,+∞),f
' (x)>0,f (x)
增
递
.
当a=0
，
时f
' (x)= x>0,f (x)在(0,+ ∞)上
增
递
.
当a>0
，
时f (x)在区间(0,3a),f
' (x)<0,f (x)
减；在区
递
间(3a,+∞),f
' (x)>0,f (x)
增
递
.
【变式训练3-2-1】已知函数f (x)=e
2 x+(a+2)e
x+ax．
(1)讨论f ( x)的
性；
单调
【答案】(1)
解析
见
【解析】(1)设f
' (x)=2e
2 x+(a+2)e
x+a=(2e
x+a)(e
x+1)．
当a≥0
，
时则f
'( x)>0，f ( x)在R 上
增，
单调递
当a<0
，令
时
f
'( x)=0，则x = ln(−a
2)，
当x∈(−∞,ln(−a
2))
，
时f
'( x)<0，f ( x)
减，
单调递
当x∈(ln(−a
2),+∞)
，
时f
'( x)>0，f ( x)
增．
单调递
上，当
综
a≥0
，
时f ( x)在R 上
增；当
单调递
a<0
，
时f ( x)在(−∞,ln(−a
2))上
减，在
单调递
(ln(−a
2),+∞)
上
增．
单调递
【变式训练3-2-2】已知函数f (x)= 1
3 x
3−1
2 a x
2+2，a∈R.讨论f (x)的
性
单调
.
【答案】答案
解析
见
【解析】因为f (x)= 1
3 x
3−1
2 a x
2+2，故可得
= x
2−ax = x (x−a)，
令
=0，可得x =0或x =a；
当a=0
，
时
≥0，此时f (x)在R上
增；
单调递
当a>0
，当
时
x<0
，
时
>0，f (x)
增；
单调递
当x∈(0,a)
，
时
<0，f (x)
减；
单调递
当x>a
，
时
>0，f (x)
增；
单调递
当a<0
，当
时
x<a
，
时
>0，f (x)
增；
单调递
当x∈(a,0)
，
时
<0，f (x)
减；
单调递
当x>0
，
时
>0，f (x)
增
单调递
.
上所述：当
综
a=0
， 
时
f (x)在R上
增；
单调递
当a>0
，
时f (x)在(−∞,0)和(a,+ ∞)
增，在
单调递
减；
单调递
当a<0
，
时f (x)在(−∞,a)和(0,+ ∞)
增，在
单调递
(a,0)
减
单调递
.
【变式训练3-2-3】已知函数f (x)= 1
2 x
2−(a+a
2) x−a+a
3ln x，若a
2−a≠0，讨论f (x)的
性
单调
.
【答案】答案
解析
见
【解析】f
' (x)= x−(a+a
2)+ a
3
x = x
2−(a+a
2) x +a
3
x
= (x−a
2)(x−a)
x
, x>0，
f
' (x)=0⇒x1=a，x2=a
2，
a
2−a≠0⇒a≠0且a≠1，
①当a>1
，
时a
2>a>1，
0< x<a或x>a
2
，
时f
' (x)>0，f (x)
增，
单调递
a< x<a
2
，
时f
' (x)<0，f (x)
减；
单调递
②当
，
时0<a
2<a<1，
0< x<a
2或x>a
，
时f
' (x)>0，f (x)
增，
单调递
a
2< x<a
，
时f
' (x)<0，f (x)
减；
单调递
③当a<0
，
时a
2>0>a，
0< x<a
2
，
时f
' (x)<0，f (x)
减，
单调递
x>a
2，f
' (x)>0，f (x)
增；
单调递
上，当
综
a<0
，
时f (x)在(0,a
2)
减，在
单调递
(a
2,+∞)
增；
单调递
当
，
时f (x)在(0,a
2)，(a,+ ∞)
增，在
单调递
(a
2,a)
减；
单调递
当a>1
，
时f (x)在
，(a
2,+∞)
增，在
单调递
(a,a
2)
减
单调递
.
【变式训练3-2-4】已知函数f (x)=aln x−(2a+1) x + x
2．
(2)若a>0，试讨论f (x)的
性．
单调
【答案】
解析
见
【解析】（2）f (x)的定
域
义
为(0,+ ∞)，f
' (x)= (2 x−1)(x−a)
x
，
当0<a< 1
2
，由
时
f
' (x)>0可得x<a或x> 1
2
；由f
' (x)<0可得a< x< 1
2
，
所以函数f (x)的
增区
单调递
间为(0,a),(
1
2 ,+∞)，
减区
单调递
间为(a, 1
2)；
当a= 1
2
，
时f
' (x)≥0恒成立，∴函数f (x)的
增区
单调递
间为(0,+∞)；
当a> 1
2
，由
时
f
' (x)>0可得x< 1
2
或
；由f
' (x)<0可得1
2 < x<a
所以函数f (x)的
增区
单调递
间为(0, 1
2),(a,+ ∞)，
减区
单调递
间为(
1
2 ,a)．
【变式训练3-2-5】已知函数f (x)=e
x(x
2+ax +1).
(2)当a≠0
，求函数
时
f (x)的
区
单调
间.
【答案】
解析
见
【解析】（2）当a≠0
，
时f (x)=e
x(x
2+ax +1)，f
' (x)=e
x(x +1)(x +a+1)，
令f
' (x)=0，得x =−1，
，
当a>0
，
时−1>−1−a，
令f
' (x)>0，得x>−1或x<−1−a，
令f
' (x)<0，得−1−a< x<−1，
所以函数f (x)的
增区
单调
间为(−∞,−1−a)和(−1,+∞)，
减区
单调
间为(−1−a,−1)
当a<0
，
时−1<−1−a，
令f
' (x)>0，得x>−1−a或x<−1，
令f
' (x)<0，得−1< x<−1−a，
所以函数f (x)的
增区
单调
间为(−1−a,+∞)和(−∞,−1)，
减区
单调
间为(−1,−1−a)；
上所述，当
综
a>0
，
时f (x)的
增区
单调
间为(−∞,−1−a)和(−1,+∞)，
减区
单调
间为(−1−a,−1)；
当a<0
，
时f (x)的
增区
单调
间为(−1−a,+ ∞)和(−∞,−1)，
减区
单调
间为(−1,−1−a)．
【变式训练3-2-6】已知函数
．
(2)讨论f (x)的
性．
单调
【答案】
解析
见
【解析】（2）求
得
导
，
当m≤0
，
时f
' (x)>0在R上恒成立，所以f (x)在R上
增；
单调递
当m>0
，令
时
f
' (x)=0，解得
，
当
，
时f
' (x)<0
，f (x)
在
上
减；
单调递
当
，
时f
' (x)>0
，f (x)
在
上
增．
单调递
上所述，当
综
m≤0
，
时f (x)在R上
增；
单调递
当m>0
，
时f (x)
在
上
减，在
单调递
上
增．
单调递
【变式训练3-2-7】已知函数f (x)=(x−1)e
x−a
2 x
2.
(2)讨论f (x)的
性
单调
.
【答案】
解析
见
【解析】（2）f
' (x)= x e
x−ax = x(e
x−a).
①当a>0
，由
时
f
' (x)=0，得x =0或x = ln a.
若0<a<1，
当
则
x<ln a
，
时f
' (x)>0，f (x)
增；
单调递
当ln a< x<0
，
时f
' (x)<0，f (x)
减；
单调递
当x>0
，
时f
' (x)>0，f (x)
增
单调递
.
所以当0<a<1
，
时f (x)在(−∞,ln a)和(0,+∞)上
增，在
单调递
(ln a,0)上
减
单调递
.
若a=1，则f
' (x)≥0，f (x)为R 上的增函数.
若a>1，
当
则
x<0
，
时f
' (x)>0，f (x)
增；
单调递
当
，
时f
' (x)<0，f (x)
减；
单调递
当
，
时f
' (x)>0，f (x)
增
单调递
.
所以当a>1
，
时f (x)在(−∞,0)和(ln a,+∞)上
增，在
单调递
(0,ln a)上
减
单调递
②当a≤0
，由
时
f
' (x)=0，得x =0.
当x ≤0
，
时f
' (x)≤0，f (x)
减；
单调递
当x>0
，
时f
' (x)>0，f (x)
增
单调递
.
所以当a≤0
，
时f (x)在(−∞,0)上
减，在
单调递
(0,+∞)上
增
单调递
.
【变式训练3-2-8】已知函数f (x)= 1
3 x
3+ a
2 x
2+(a−1) x +1
(1)
函数
讨论
f (x)的
性
单调
.
【答案】
解析
见
【解析】
函数因式分解，分
对导
1−a<−1，1−a=−1和1−a>−1三种情况，
得到函数的
性
讨论
单调
.
f (x)= 1
3 x
3+ a
2 x
2+(a−1) x +1定
域
义
为R，f
' (x)=(x +a−1)(x +1)，令f
' (x)=0得x =1−a或x =−1
①当1−a<−1即a>2
，令
时
f
' (x)>0得x>−1或x<1−a，令f
' (x)<0得
，
故f (x)在(1−a,−1)
减，在
单调递
(−∞,1−a)，
上
增；
单调递
②当1−a=−1即a=2
，
时
恒成立，故f (x)在R 上
增；
单调递
③当1−a>−1即a<2
，令
时
f
' (x)>0得x>1−a或x<−1，令f
' (x)<0得−1< x<1−a，
f (x)在(−1,1−a)上
减，在
单调递
，(1−a,+∞)上
增；
单调递
上，当
综
a>2
，
时f (x)在(1−a,−1)
减，在
单调递
(−∞,1−a)，
上
增；
单调递
当a=2
，
时f (x)在R 上
增；
单调递
当a<2
，
时f (x)在(−1,1−a)上
减，在
单调递
，(1−a,+ ∞)上
增；
单调递
（三）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数含参
【典型例题1】已知函数
(a∈R).
(1)若a=−1，
明：
证
f (x)≥1−x−3
x
；
(2)讨论f (x)的
性
单调
.
【答案】(1)
明
解析
证
见
(2)答案
解析
见
【解析】（1）当a=−1
，令
时
g(x)= f (x)−(1−x−3
x)= ln x−1+ 1
x ,(x>0)，
g
' (x)= 1
x −1
x
2 = x−1
x
2 ，
可得
，
时g
'( x)<0，此
函数
时
g( x)
减；
单调递
x∈(1,+∞)
，
时g
'( x)>0，此
函数
时
f ( x)
增，
单调递
∴x =1
，函数
时
g( x)取得极小
即最小
，
值
值g(1)=0．
∴g(x)≥0，即f (x)≥1−x−3
x
（2）函数的定
域
义
为(0,+∞)，
f
' (x)=a−2a+1
x
+ 2
x
2 = (ax−1)(x−2)
x
2
，
a≤0
， 
时
，
时f
' (x)>0，此
函数
时
f ( x)
增，
单调递
，
时f
' (x)<0，此
函数
时
f ( x)
减；
单调递
a= 1
2
，
时f
' (x)= (x−2)
2
2 x
2
，f
' (x)≥0，此
函数
时
f ( x)在(0,+∞)
增；
单调递
a> 1
2
，
时x∈(0, 1
a )∪(2,+ ∞)
，
时f
' (x)>0，此
函数
时
f ( x)
增区
单调递
间为(0, 1
a ),(2,+∞)；x∈( 1
a ,2)
，
时f
' (x)<0，此
函数
时
f ( x)
减．
单调递
0<a< 1
2
，
时x∈(0,2)∪(
1
a ,+ ∞)
，
时f
' (x)>0，此
函数
时
f ( x)
增区
单调递
间为(0,2),(
1
a ,+∞)；
，
时f
' (x)<0，此
函数
时
f ( x)
减．
单调递
上，当
综
a≤0
，函数
时
f ( x)在
增，在
单调递
(2,+∞)
减；
单调递
当a= 1
2
，函数
时
f ( x)在(0,+∞)上
增；
单调递
当a> 1
2
，函数
时
f ( x)在(0, 1
a ),(2,+∞)上
增，函数
单调递
f ( x)在
上
减；
单调递
当0<a< 1
2
，函数
时
f ( x)在(0,2),(
1
a ,+∞)上
增，函数
单调递
f ( x)在(2, 1
a )上
减
单调递
.
【典型例题2】求函数f (x)= 1
x
2 +aln x (a∈R)的
减区
单调递
间.
【答案】答案
解析
见
【解析】求
后，分
判定
数
的情况即可
导
类讨论
导
值为负
.
函数f (x)的定
域是
义
(0,+ ∞)，f
' (x)=−2
x
3 + a
x = a x
2−2
x
3
.
①当a≤0
，
时f
' (x)<0在(0,+ ∞)上恒成立，故f (x)在(0,+∞)上
减
单调递
.
②当a>0
，若
时
0< x<❑√
2
a
，则f
' (x)<0；
若x>❑√
2
a
，则f
' (x)>0，
所以f (x)在(0,❑√
2
a)上
减，在
单调递
(
❑√
2
a ,+∞)上
增
单调递
.
上可知，当
综
a≤0
，
时f (x)的
减区
单调递
间为
，当a>0
，
时f (x)的
减区
单调递
间为(0,❑√
2
a).
【典型例题3】已知函数
，讨论
的
性
单调
.
【答案】答案
解析
见
【解析】求出函数的
数，
导
讨论a 的取
范
，
合二次函数的性
判断
数正
，即可求得答案
值
围结
质
导
负
.
函数
的定
域
义
为
.
.
当
，
时
，若
，则
；
若
，则
0，所以
在
上
增，在
单调递
上
减
单调递
.
当
，
时
，所以
在
上
增
单调递
.
当
，
时
，若
或
，则
，
若
，则
.
所以
在
上
增，在
单调递
上
减
单调递
.
当
，
时
，若
或
，则
；
若
，则
.
所以
在
上
增，在
单调递
上
减
单调递
.
上所述，
综
，
时
在
上
增，在
单调递
上
减；
单调递
，
时
在
上
增；
单调递
，
时
在
上
增，在
单调递
上
减；
单调递
，
时
在
，
上
增，在
单调递
上
减
单调递
.
【变式训练3-3-1】已知函数
，a≤R．
(1)若f (x)在x =1
取得极
，求
处
值
a的
；
值
(2)设g(x)= f (x)+(a−4) x，
函数
试讨论
g(x)的
性．
单调
【答案】(1)3
2
(2)答案
解析
见
【解析】（1）因
 
为f (x)=ln x +2 x−a x
2, 所以f
' (x)= 1
x +2−2ax
因为f (x)在x =1
取得极
处
值, 所以f
' (1)=1+2−2a=0, 解得: a= 3
2
.
验证: 当a= 3
2
时,f
' (x)= 1
x +2−3 x =−(3 x +1)(x−1)
x
( x>0)
易得f (x)在x =1
取得极大
处
值.
（2）
因为g(x)= f (x)+(a−4) x =ln x−a x
2+(a−2) x
所以g
' (x)=−(ax +1)(2 x−1)
x
( x>0),
① 若a⩾0, 
当
则
x∈(0, 1
2) 时, g
' (x)>0
所以函数g(x)
在 
上
增
单调递
;
当x∈(
1
2 ,+ ∞)时, g
' (x)<0,
∴函数g(x)在(
1
2 ,+ ∞)上
减
单调递
.
②若a<0,
g
' (x)=−
a(x + 1
a)(2 x−1)
x
( x>0)
当 a<−2 时, 易得函数g(x)在 
 和(
1
2 ,+ ∞)上
增
单调递
, 在
上
减
单调递
; 
当a=−2时, g
' (x)⩾0 恒成立, 所以函数g(x)在(0,+ ∞)上
增
单调递
;
当−2<a<0时, 易得函数g(x)在 
和(−1
a ,+∞)上
增
单调递
, 在
上
 减
单调递
.
【变式训练3-3-2】已知函数f ( x)=a x
2−(a+2)x + ln x（a>0）．
(1)若x =1是函数f ( x)的极
点，求
值
f ( x)在区间[
1
2 ,2]上的最
；
值
(2)求函数f ( x)的
增区
．
单调
间
【答案】(1)最小值为−2，最大值为−2+ ln 2
(2)答案
解析
见
【解析】（1）因为f ( x)=a x
2−(a+2)x + ln x，所以f
'( x)=2ax−(a+2)+ 1
x
，
因
已知
为
x =1是函数f ( x)的极
点．
值
所以1是方程f
'( x)=2ax−(a+2)+ 1
x =0的根，
所以a−1=0，故a=1，
符合
意，
经检验
题
 
所以f ( x)= x
2−3 x + ln x，则f
'( x)= (2 x−1)( x−1)
x
，
所以当1
2 < x<1时f
'( x)<0，当1< x ≤2时f
'( x)>0，
所以函数f ( x)在
上
减，在
单调递
上
增；
单调递
 
又f ( 1
2 )=−5
4 −ln 2，f (1)=−2，f (2)=−2+ ln 2， 
且f ( 1
2 )−f (2)=−3
4 −2ln 2<0，
所以f ( x)在区间[
1
2 ,2]上的最小值为f (1)=−2，
最大值为f (2)=−2+ ln 2；
（2）
解：f
'( x)=2ax−(a+2)+ 1
x
，
所以f
'( x)= 2a x
2−(a+2)x +1
x
= (2 x−1)(ax−1)
x
，
因为x>0，a>0，
当a>2
，令
时
f
'( x)>0，解得0< x< 1
a
或x> 1
2
，
所以函数f ( x)的
增区
单调
间为(0, 1
a )，( 1
2 ,+∞)， 
当a=2
，
时f
'( x)= (2 x−1)(2 x−1)
x
≥0恒成立，所以函数f ( x)的
增区
单调
间为(0,+ ∞)， 
当0<a<2
，令
时
f
'( x)>0，解得
或x> 1
a，
所以函数f ( x)的
增区
单调
间为(0, 1
2 )，
，
上可得，当
综
a>2
增区
时单调
间为(0, 1
a )，( 1
2 ,+∞)；
当a=2
增区
时单调
间为(0,+∞)；
当0<a<2
增区
时单调
间为(0, 1
2 )，
.
【变式训练3-3-3】若函数f ( x)= k x
2+ x−1
e
x
，k >−1
2
，讨论f (x)的
性．
单调
【答案】答案
解析
见
【解析】因为f (x)= k x
2+ x−1
e
x
，所以f
' (x)= −(kx +1)(x−2)
e
x
，
当k =0
，
时f
' (x)= −(x−2)
e
x
，
令f
' (x)= −(x−2)
e
x
=0，解得
，且x<2
，
时f
' (x)>0，x>2
，
时f
' (x)<0，
所以当k =0
，
时f (x)在(−∞,2)上
增，在
单调递
(2,+∞)上
减；
单调递
当−1
2 <k <0
，令
时
f
' (x)= −(kx +1)(x−2)
e
x
=0，解得x =−1
k
或
，
又−1
k >2，所以当x<2或x>−1
k
，
时f
' (x)>0，当2< x<−1
k
，
时f
' (x)<0，
所以当−1
2 <k <0
，
时f (x)在(−∞,2)，(−1
k ,+ ∞)上
增，在
单调递
(2,−1
k)上
减；
单调递
当k >0
，令
时
f
' (x)= −(kx +1)(x−2)
e
x
=0，解得x =−1
k
或
，
又−1
k <0，所以当x<−1
k
或x>2
，
时f
' (x)<0，当−1
k < x<2
，
时f
' (x)>0，
所以当k >0
，
时f (x)在(2,+ ∞)，(−∞,−1
k)上
减，在
单调递
(−1
k ,2)上
增；
单调递
上得：当
综
k =0
，
时f (x)在(−∞,2)上
增，在
单调递
(2,+∞)上
减；
单调递
当−1
2 <k <0
，
时f (x)在(−∞,2)，(−1
k ,+ ∞)上
增，在
单调递
(2,−1
k)上
减；
单调递
当k >0
，
时f (x)在(2,+ ∞)，(−∞,−1
k)上
减，在
单调递
(−1
k ,2)上
增；
单调递
【变式训练3-3-4】已知函数f ( x)=2ln x−(2−a)x−1
2 a x
2，讨论
的
性
单调
.
【答案】答案
解析
见
【解析】求出函数的
数，
导
讨论a 的取
范
，
合二次函数的性
判断
数正
，即可求得答案
值
围结
质
导
负
.
函数f ( x)=2ln x−(2−a)x−1
2 a x
2的定
域
义
为
.
f
'( x)= 2
x −(2−a)−ax = 1
x [2−(2−a)x−a x
2]=
.
当a≥0
，
时ax +2>0，若0< x<1，则f
'( x)>0；
若x>1，则f
'( x)< 0，所以
在(0,1)上
增，在
单调递
上
减
单调递
.
当a=−2
，
时f
'( x)≥0，所以
在
上
增
单调递
.
当−2<a<0
，
时−2
a >1，若0< x<1或x>−2
a
，则f
'( x)>0，
若1< x<−2
a
，则f
'( x)<0.
所以
在(0,1),(−2
a ,+ ∞)上
增，在
单调递
(1,−2
a)上
减
单调递
.
当a<−2
，
时0<−2
a <1，若0< x<−2
a
或x>1，则f
'( x)>0；
若−2
a < x<1，则f
'( x)<0.
所以
在(0,−2
a),(1,+ ∞)上
增，在
单调递
(−2
a ,1)上
减
单调递
.
上所述，
综
a≥0
，
时
在(0,1)上
增，在
单调递
上
减；
单调递
a=−2
，
时
在
上
增；
单调递
−2<a<0
，
时
在(0,1),(−2
a ,+ ∞)上
增，在
单调递
(1,−2
a)上
减；
单调递
a<−2
，
时
在(0,−2
a)，
上
增，在
单调递
(−2
a ,1)上
减
单调递
.
【变式训练3-3-5】已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，
函数
试讨论
y＝f(x)的
性．
单调
【答案】
解析
见
【解析】定
域
义
为(0，＋∞)，f
'( x)=ax−(a+1)+ 1
x = a x
2−(a+1)x +1
x
= (ax−1)( x−1)
x
；令f′(x)＝0，得
x＝或x＝1.
①当0<a<1
，
时1
a
>1，∴x∈(0,1)和( 1
a ,+ ∞)
，
时f′(x)>0；x∈(1, 1
a )
，
时f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0,1)和( 1
a ,+∞)上
增，在
单调递
(1, 1
a )上
减；
单调递
②当a＝1
，
时1
a
＝1，∴f′(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上
增；
单调递
③当a>1
，
时0<1
a
<1，∴x∈(0, 1
a )和(1，＋∞)
，
时f′(x)>0；x∈( 1
a ,1)
，
时f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0, 1
a )和(1，＋∞)上
增，在
单调递
( 1
a ,1)上
减．
单调递
上，当
综
0<a<1
，函数
时
f(x)在(0,1)和( 1
a ,+∞)上
增，在
单调递
(1, 1
a )上
减；
单调递
当a＝1
，函数
时
f(x)在(0，＋∞)上
增；
单调递
当a>1
，函数
时
f(x)在(0, 1
a )和(1，＋∞)上
增，在
单调递
( 1
a ,1)上
减．
单调递
（四）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
【典型例题1】已知函数f ( x)= ln x + 1
2 x
2−ax，
函数
讨论
f ( x)的
性．
单调
【答案】答案
解析
见
.
【解析】因为f ( x)= ln x + 1
2 x
2−ax，所以f
'( x)= 1
x + x−a( x>0)，
而x + 1
x ≥2 （当且
当
仅
x =1
取等号），
时
当a≤2
，
时f
'( x)= 1
x + x−a≥2−a≥0，此时f ( x)的增区间为(0,+∞)，
当a>2
，令
时
f
'( x)= 1
x + x−a= x
2−ax +1
x
=0，
则
，
令f
'( x)>0，则0< x< x1或x> x2，f
' (x)<0
，
时则x1< x< x2，
上：当
综
a≤2
，
时f ( x)的增区间为(0,+∞)；
当a>2
，
时f ( x)的增区间为(0, a−
❑√a
2−4
2
)和(
a+
❑√a
2−4
2
,+∞)，减区间为(
a−
❑√a
2−4
2
, a+
❑√a
2−4
2
).
【典型例题2】已知函数
(a>0)，讨论f (x)的
性．
单调
【答案】f (x)在(0, a+
❑√a
2+ 4 a
2
)上是
减，在
单调递
(
a+
❑√a
2+ 4 a
2
,+∞)上
增
单调递
.
【解析】f
' (x)= x−a
x −a= 1
x (x
2−ax−a)，令f
' (x)=0，得x
2−ax−a=0．
因为a>0，则Δ=a
2+ 4 a>0，即原方程有两不等根，设为x1, x2，
由x>0，所以x1= a−
❑√a
2+ 4 a
2
<0（舍去），x2= a+
❑√a
2+ 4 a
2
．
当
则
x∈(0, a+
❑√a
2+ 4 a
2
)
，
时f
' (x)<0，当x∈(
a+
❑√a
2+ 4 a
2
,+ ∞)
，
时f
' (x)>0，
∴f (x)在(0, a+
❑√a
2+ 4 a
2
)上是
减，在
单调递
(
a+
❑√a
2+ 4 a
2
,+∞)上
增
单调递
【变式训练3-4-1】已知函数f (x)=ln(x +1)+ 1
2 x
2+mx (m∈R),g(x)=ae
x−1
2 x
2
+lna−1(a∈R).
(1)求f (x)的
区
；
单调
间
【答案】(1)答案
解析；
见
【解析】（1）
函数f (x)=ln(x +1)+ 1
2 x
2+mx (m∈R)定
域
义
为(−1，+∞).
f
' (x)=
1
x +1 + x +m=
1
x +1 (x
2+mx + x +m+1).
令h(x)= x
2+mx + x +m+1，
有
则
Δ=(m+1)
2−4 (m+1)=(m+1)(m−3).
i.当−1≤m≤3
，
时Δ≤0恒成立，有f
' (x)≥0，所以f (x)在(−1，+ ∞)上
增，无减区
；
单
间
ii. 当Δ>0
，令
时
x
2+mx + x +m+1=0解得：x1= −(m+1)+ ❑√(m+1)(m−3)
2
，
x2= −(m+1)−❑√(m+1)(m−3)
2
.
当m>3
，
时h(x)的
称
对
轴x = −(m+1)
2
<−2，所以h(x)在(−1，+∞)上
增
单
.
又h(−1)=1−m−1+m+1=1>0，所以h(x)>0恒成立，所以有f
' (x)>0，所以f (x)在(−1，+∞)上
增，
单
无减区
；
间
当m<−1
，
时h(x)的
称
对
轴x = −(m+1)
2
>0，且h(−1)=1−m−1+m+1=1>0，
−1< x2<−m+1
2
< x1.
由二次函数的性
可得：
质
在(−1，x2)上h(x)>0；在(x2, x1)上h(x)<0；在(x1,+∞)上h(x)>0.
所以在(−1，x2)上，有f
' (x)>0，f (x)
增；在
单
(x2, x1)上有f
' (x)<0，f (x)
减；在
单
(x1,+ ∞)上有f
' (x)>0，
f (x)
增
单
.
即f (x)在(−1，−(m+1)−❑√(m+1)(m−3)
2
)上
增，
单
f (x)在(
−(m+1)−❑√(m+1)(m−3)
2
，−(m+1)+ ❑√(m+1)(m−3)
2
)上
减，
单
f (x)在(
−(m+1)+ ❑√(m+1)(m−3)
2
，+∞)上
增
单
.
上所述：当
综
m<−1
，
时f (x)的
增区
递
间为(−1，−(m+1)−❑√(m+1)(m−3)
2
)，
(
−(m+1)+ ❑√(m+1)(m−3)
2
，+ ∞)，
减区
递
间为(
−(m+1)−❑√(m+1)(m−3)
2
，−(m+1)+ ❑√(m+1)(m−3)
2
)，
当m≥−1
，
时f (x)的
增区
递
间为(−1，+∞)，无减区间.
【变式训练3-4-2】
函数
设
f (x)= 1
x −x +aln x
(1)求函数f ( x)的
区
；
单调
间
【答案】(1)
解析
见
【解析】f (x)= 1
x −x +a ln x的定
域
义
为(0,+ ∞)，
，令m(x)=−x
2+ax−1，Δ=a
2−4，
①当−2≤a≤2
，
时f
' (x)≤0，所以f ( x)在(0,+ ∞)上
减，
单调递
②当a<−2
，
时f
' (x)<0，所以f ( x)在(0,+ ∞)上
减，
单调递
③当a>2
，令
时
f
' (x)=0
，则
，
且0< x1< x2，所以f (x)在(0, a−
❑√a
2−4
2
),(
a+
❑√a
2−4
2
,+∞)上
减，在
单调递
(
a−
❑√a
2−4
2
, a+
❑√a
2−4
2
)上
增
单调递
.
上：
综
a≤2，f ( x)的
减区
单调
间为(0,+∞)，
a>2，f (x)的
减区
单调
间为(0, a−
❑√a
2−4
2
),(
a+
❑√a
2−4
2
,+∞)，
增区
单调
间为
(
a−
❑√a
2−4
2
, a+
❑√a
2−4
2
).
【变式训练3-4-3】已知函数f (x)= 1
2 x
2−2 x +aln x(a>0).
(1)讨论f (x)的
性；
单调
【答案】(1)答案
解析
见
【解析】f (x)的定
域是
义
(0,+ ∞)，
f
' (x)= x−2+ a
x = x
2−2 x +a
x
= ( x−1)
2+a−1
x
，
当a≥1
，
时f
' (x)≥0在定
域上恒成立，
义
f (x)在(0,+∞)
增
单调递
.
当
，令
时
f
' (x)=0得x1=1−❑√1−a, x2=1+ ❑√1−a，
当x∈(0,1−❑√1−a)和x∈(1+ ❑√1−a,+∞)
，
时f
' (x)>0，当x∈(1−❑√1−a,1+ ❑√1−a)
，
时f
' (x)<0，
所以f (x)在区间(0,1−❑√1−a)和(1+ ❑√1−a,+∞)上
增，在区
单调递
间(1−❑√1−a,1+ ❑√1−a)上
减
单调递
【变式训练3-4-4】已知函数f ( x)= ln( x +1)−a
x −1，其中x>0，a∈R．
(1)讨论f ( x)的
性；
单调
【答案】(1)答案不唯一，具体
解析
见
【解析】（1）解：因为f ( x)= ln( x +1)−a
x −1定
域
义
为(0,+∞)，所以f
'( x)=
1
x +1 + a
x
2 = x
2+ax +a
x
2( x +1)
，①当
a≥0
，
时f
'( x)≥0在(0,+∞)上恒成立，所以函数f ( x)在(0,+ ∞)上
增，没有减区
；②当
单调递
间
a<0
，令
时
f
'( x)=0
，
时x1= −a−
❑√a
2−4 a
2
，x2= −a+
❑√a
2−4 a
2
且x1<0< x2，令f
'( x)>0得x> −a+
❑√a
2−4 a
2
，所
以f ( x)的增区间为(
−a+
❑√a
2−4 a
2
,+∞)．令f
'( x)<0得0< x< −a+
❑√a
2−4 a
2
，所以f ( x)的减区间为
(0, −a+
❑√a
2−4 a
2
)
【变式训练3-4-5】
函数
讨论
f (x)= x
3−x
2+ax +1的
性
单调
.
【答案】答案
解析
见
【解析】由
意知
题
f (x)的定
域
义
为R，f
' (x)=3 x
2−2 x +a，
于
对
f
' (x)=0，Δ=(−2)
2−4×3×a= 4 (1−3a).
①当a≥1
3
，
时f
' (x)≥0，f (x)在R上
增；
单调递
②当a< 1
3
，令
时
f
' (x)=0，即3 x
2−2 x +a=0，解得x1= 1−❑√1−3a
3
, x2= 1+ ❑√1−3a
3
,，
令f
' (x)>0，则x< x1或x> x2；
令f
' (x)<0，则x1< x< x2.
所以f (x)在(−∞, x1)上
增，在
单调递
(x1, x2)上
减，在
单调递
(x2,+∞)上
增
单调递
.
上，当
综
a≥1
3
，
时f (x)在R上
增；
单调递
当a< 1
3
，
时f(x)在
，
上
增，
单调递
在(
1−❑√1−3a
3
, 1+ ❑√1−3a
3
),上
减
单调递
.
【变式训练3-4-6】判断函数f (x)= (1−x
2)e
x−1
x
(x>0)的
性．
单调
【答案】f (x)在(0,+ ∞)上
减
单调递
【解析】因为f (x)= (1−x
2)e
x−1
x
(x>0)
所以f
' (x)= [−2 x e
x+(1−x
2)e
x]⋅x−[(1−x
2)e
x−1]
x
2
= (−x
3−x
2+ x−1)e
x+1
x
2
，
令g(x)=(−x
3−x
2+ x−1)e
x+1(x>0)，
所以g
' (x)=(−3 x
2−2 x +1)e
x+(−x
3−x
2+ x−1)e
x =−(x
3+ 4 x
2+ x)e
x<0，
所以g(x)在(0,+ ∞)上
减，
单调递
所以g(x)< g(0)=0，即f
' (x)<0，
所以函数f (x)在(0,+ ∞)上
减
单调递
.
题型04： 已知单调性求参数值
（一）已知函数y = f ( x)在区间D上单调
【典型例题1】已知函数
在区间
增，
单调递
则
的最大值为(    )
A．1
B．
C．
D．
【答案】B【分析】
化
转
为
在
上恒成立，分离参数，即可得到答案.
【解析】因
函数
为
在区间
增，所以
单调递
在区间
上恒成立，
即
；令
，
，则
，所以
在
上
增，
单调递
则
，故
，即
的最大值为，故
：
选B
【典型例题2】若函数
在
上
增，
单调递
则
的取
范
是
值
围
(    )
A．
B．
C．
D．
【答案】D【分析】
元法
化
换
转
为
在
上恒成立；再构造函数
，即可解答.
【解析】
在
上
增，所以
单调递
在
上恒成立，
即
在
上恒成立；令
，则
，所以
在
上恒成立.
又因为
在
上
增，所以当
单调递
时
，故
；故
：
选D.
【典型例题3】若函数f (x)= loga(x
3−ax)（a>0且a≠1）在区间(−1
2 ,0)内
增，
单调递
则a的取
范
是
值
围
（    ）
A．1
4 ,1)
B．3
4 ,1)
C．
D．(1, 9
4)
【答案】B
【解析】函数f ( x)= loga( x
3−ax)(a>0,a≠1)在区
 
间(−1
2 ,0) 内有意
，
义
 则(−1
2 )
3+ 1
2 a⩾0,∴a⩾1
4 ，
设t = x
3−ax ,
 
则y = log❑at，t
' =3 x
2−a 
( 1 ) 当 a > 1
，
时y = log❑at 是增函数， 
要使函数f ( x)= loga( x
3−ax)(a>0,a≠1)在区间(−1
2 ,0)内
增，
单调递
 
需使 t = x
3−ax 在区间(−1
2 ,0)内内
增，
单调递
 
需使
则
t ' =3 x
2−a≥0，
任意
对
x∈(−1
2 0)恒成立 , 即a≤3 x
2
任意
对
x∈(−1
2 ,0)恒成立； 
因为x∈(−1
2 ,0)
，
时0<3 x
2< 3
4
所以a<0与a> 1
4
矛盾，此
不成立
时
.
 ( 2 ) 当
，
时y =1o gat是减函数，
要使函数f ( x )=lo ga( x
3−ax )(a>0,a≠1)在区间(−1
2 ,0)内
增，
单调递
需使t = x
3−ax在区间(−1
2 ,0)内内
减，
单调递
需使
则
t ' =3 x
2−a≤0 
任意
对
x∈(−1
2 ,0)恒成立，
即a≥3 x
2
任意
对
x∈(−1
2 ,0)恒成立，
因为x∈(−1
2 ,0) 时,0<3 x
2< 3
4
，
所以a⩾3
4
，
又a<1，所以3
4 ⩽a<1.
上，
综
a的取
范
是
值
围
3
4 ⩽a<1
故
：
选B
【典型例题4】已知函数
在区间
上
，且
单调
，
数
则实
的取
范
是
值
围
 
．
【答案】
【解析】由
可得
题
，令
，设
，
，可得
在
上
减
单调递
.最后讨论
，
两种情况可得答案.
令
，
,
，设
，
则
，
∵
，∴
，
，∴
在
上
减，
单调递
∴
．
当
即
，
时
，
此时
在
上
增，
单调递
则
，
又
，则
，即当
足
意；
时满
题
当
即
，
时
，当
，
时
，
∴
，使得
．即存在
使得
，
且
足
满
在
上
增，在
单调递
上
减，
单调递
不
足
意．
上所述
足
意的
数
满
题
综
满
题
实
的取
范
是
值
围
．
故答案
：
为
例题4．
函数
设
h(x)= x
2−3 x + ln x，若函数h(x)在区间[
1
2 ,m−1]上是
函数，求
数
单调
实
m的取
范
值
围.
【答案】3
2 ,2
【解析】h
' (x)= 1
x +2 x−3= (2 x−1)(x−1)
x
，(x>0)，
令h
' (x)>0，解得
或x>1，
令h
' (x)<0，解得1
2 < x<1.
故h(x)在
上
格增，在
严
(
1
2 ,1)上
格减，在
严
(1,+∞)上
格增
严
.
又h(x)在区间[
1
2 ,m−1]上是
函数，
单调
只需
则
1
2 <m−1≤1，解得m∈3
2 ,2.
故
数
实
m 的取
范
值
围为3
2 ,2.
【典型例题5】已知函数f (x)=(−x
2+ax)e
x（x∈R ,e
自然数
数的底数）
为
对
.
（1）当a=2
，求函数
时
f (x)的
区
；
单调
间
（2）若函数f (x)在(−1,1)上
增，求
单调递
a的取
范
值
围.
【答案】(1)
减区
是
递
间
(−∞,−❑√2)和(❑√2,+ ∞)，
增区
是
递
间
(−❑√2,❑√2)；(2)a≥3
2
.
【解析】(1)当a=2
，
时f (x)=(−x
2+2 x)e
x，求
得
导
f
' (x)=(−x
2+2)e
x =−( x + ❑√2)( x−❑√2)e
x，
解f
' (x)<0得x<−❑√2或
，解f
' (x)>0得−❑√2< x<❑√2，
所以函数f (x)的
减区
是
单调递
间
(−∞,−❑√2)和(❑√2,+∞)，
增区
是
单调递
间
(−❑√2,❑√2)；
(2)依
意，
题
f
' (x)=(−2 x +a)e
x+(−x
2+ax)e
x =[−x
2+(a−2)x +a]e
x，
因函数f (x)在(−1,1)上
增，
单调递
则∀x∈(−1,1),f
'( x)≥0⇔−x
2+(a−2)x +a≥0⇔a≥x
2+2 x
x +1
，
令t = x +1∈(0,2)，x
2+2 x
x +1 = ( x +1)
2−1
x +1
=t −1
t
，
然
显
t −1
t
在
上
增，于是得
单调递
t =2
，
时
(t −1
t ) 3
2 max
，则a≥3
2
，
所以a的取
范
是
值
围
a≥3
2
.
【变式训练4-1-1】若函数
在
上
增，
数
单调递
则实
的取
范
值
围为(    )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据条件得
即
在
上恒成立，构造函数
，
，
由二次函数的性
求出
质
的最
即可解决
值
问题.
在
上
增，所以
单调递
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，令
，
，
形得
变
，
因为
，所以
，所以当
，即
，
时
，所以
；故
：
选A．
【变式训练4-1-2】上随机取一个
数
实
，使
在
上
增的概率是
单调递
(   )
A．
       B．
      C．
      D．
【答案】D
【解析】利用
数求
导
增函数的等价条件，再由几何概型公式代入
算，即可得到
果
为
计
结
.
由
意可得
题
在
上恒成立，
则
在
上恒成立，即
，
所求概率
则
为
；故
：
选D
【变式训练4-1-3】设a∈(0,1)，若函数f (x)=a
x+(1+a)
x在(0,+∞)
增，
递
则a的取
范
是
值
围
(    )
A．[
❑√5−1
2
,
❑√5+1
2 ]        B．
❑√5−1
2
,1)        C．(
❑√5−1
2
,1)D．(0,
❑√5−1
2 )
【答案】B
【解析】
化
转
为(
1+a
a )
x
≥−
ln a
ln(1+a)
在(0,+ ∞)上恒成立，用指数函数
性得
单调
−
ln a
ln(1+a) ≤1，即可得解.
因
函数
为
f (x)=a
x+(1+a)
x在(0,+ ∞)
增，所以
递
f
' (x)=a
x ln a+(1+a)
x ln(1+a)≥0在(0,+∞)上恒成立，
则(1+a)
x ln(1+a)≥−a
x ln a，即(
1+a
a )
x
≥−
ln a
ln(1+a)
在(0,+∞)上恒成立，
由函数y =(
1+a
a )
x
增得
单调递
(
1+a
a )
0
=1≥−
ln a
ln(1+a)
，又a∈(0,1)，所以a+1∈(1,2)，所以
ln (a+1)>0，
所以{
ln (a+1)≥−ln a
0<a<1
即{
a(a+1)≥1
0<a<1
，解得
❑√5−1
2
≤a<1，所以a的取
范
是
值
围
❑√5−1
2
,1)；故
：
选B
【变式训练4-1-4】若函数f (x)=e
x
2−ax在区间(1,3)上
增，
单调递
则a的可能取值为(    )
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解析】由f
'( x)=e
x
2−ax(2 x−a)，
合
意
结
题
a≤2 x
3在
上恒成立求范
，即可判断
围
.
由题设f
'( x)=e
x
2−ax(2 x−a)≥0恒成立，所以(1,3)上2 x−a≥0恒成立，即a≤2 x恒成立，
而y =2 x在(1,3)上
增，故
递
a≤2；所以A 符合要求；故
：
选A
【变式训练4-1-5】已知函数f (x)=ae
x−ln x在区间(1,2)上
增，
单调递
则a 的最小
（
值为    ）．
A．e
2        B．e        C．e
−1        D．e
−2
【答案】C
【解析】依
可知，
题
f
' (x)=ae
x−1
x ≥0在(1,2)上恒成立，
然
显
a>0，所以x e
x≥1
a
，
设g(x)= x e
x , x∈(1,2)，所以
，所以g(x)在(1,2)上
增，
单调递
g(x)> g(1)=e，故e≥1
a
，即a≥1
e =e
−1，即a 的最小值为e
−1．故
：
选C．
【变式训练4-1-6】若函数f ( x)= x
3−3kx +1的
减区
单调递
间为
，
数
则实
k 的
（
值为    ）
A．1        B．
        C．3        D．−3
【答案】A
【解析】由f
'( x)=3 x
2−3k，由已知
减区
，
递
间则3 x
2−3k <0得：−1< x<1，
故
，1 是3 x
2−3k =0的两根，−1×1=−k，k =1，故
：
选A
【变式训练4-1-7】若函数f (x)=a
xloga x是
增函数
单调递
(a>0，且a≠1)，则a的取
范
（
值
围为    ）
A．e
e,+ ∞)
B．1,e
e
C．e
−e,1)
D．1,e
1
e
【答案】B
【解析】由函数
性与
数的关系得到
单调
导
xln x +
1
lna ≥0恒成立即可求解；
f
' (x)=a
xlnaloga x +a
x⋅
1
xlna = a
x
x (xln x +
1
lna)，
依
意，
题
xln x +
1
lna ≥0恒成立，
令g( x)= xln x，
，
由g
'( x)=1+ln x <0，可得：0< x< 1
e
，由g
'( x)=1+ln x >0，可得：x> 1
e
，
所以g( x)= xln x在(0, 1
e)
减，在
单调递
(
1
e ,+∞)
增；
单调递
所以xln x的最小值为g( 1
e )=−1
e
，
所以1
lna ≥1
e
，解得1<a≤e
e，
故
：
选B
【变式训练4-1-8】已知函数f(x)，
足
满
f ( x)=aln x−1
2 x
2+6 x在定
域内
减，
数
义
单调递
则实
a的取
范
是
值
围
（    ）
A．(−∞,−3)
B．−3,+ ∞)
C．[−9,+∞)
D．(−∞,−9]
【答案】D
【解析】由已知可得f
' (x)≤0在
上恒成立，利用
定
性建立不等式并分离参数，构造函数并求出最小
给
单调
，即可得出
数
值
实
a 的取
范
值
围.
函数f ( x)=aln x−1
2 x
2+6 x的定
域
义
为
，求
得
导
f
'( x)= a
x −x +6.
由
在定
域内
减，得
义
单调递
f
' (x)≤0在
上恒成立，
即a
x −x +6≤0⇔a≤x
2−6 x在
上恒成立，而x
2−6 x =( x−3)
2−9
因此当x =3
，
时x
2−6 x取得最小值−9，则a≤−9，
因此
数
实
a 的取
范
是
值
围
(−∞,−9].
故
：
选D
【变式训练4-1-9】若函数
在R上
增，
数
单调递
则实
a的取
范
是
值
围
________．
【答案】[1,+∞)
【解析】因为
在R上
增，
单调递
则f
' (x)=a−sin x ≥0恒成立，
即a≥sin x恒成立，
由于−1≤sin x ≤1，
所以a≥1，
即a的取
范
是
值
围
[1,+ ∞).
故答案
：
为[1,+ ∞)
【变式训练4-1-10】已知函数f (x)=ax−cos x
sin
3 x
−sin2 x在区间(0, π
2)上
，且
单调
f (x)<0，
数
则实
a的取
范
是
值
围
        ．
【答案】[−3,0]
【解析】由
可得
题
f
' (x)=a−2+ 3−2sin
2 x
sin
4 x
+ 4sin
2 x，令t =sin
2 x，设g(t )=a−2+ 3−2t
t
2
+ 4t，
t ∈(0,1)，可得g(t )在(0,1)上
减
单调递
.最后讨论a+3≥0，a+3<0两种情况可得答案.
f
' (x)=a+sin
2 x +3cos
2 x
sin
4 x
−2cos2 x =a−2+ 3−2sin
2 x
sin
4 x
+ 4sin
2 x
令t =sin
2 x，∵x∈(0, π
2),∴t ∈(0,1)，设g(t )=a−2+ 3−2t
t
2
+ 4tt ∈(0,1)，
则g
' (t )= −6+2t
t
3
+ 4 = 4t
3−6+2t
t
3
= 2(t −1)(2t
2+2t +3)
t
3
，
∵t ∈(0,1)，∴g
' (t )<0，2t
2+2t +3>0，∴g(t )在(0,1)上
减，
单调递
∴g(t )>g(1)=a+3．
当a+3≥0即a≥−3
，
时f
' (x)= g(t )> g(1)=a+3≥0，
此时f (x)=ax−cos x
sin
3 x
−sin2 x在(0, π
2)上
增，
单调递
则f (x)<f(
π
2)= π
2 a，
又f (x)<0，则f (x)<f(
π
2)= π
2 a≤0，即当a∈[−3,0]
足
意；
时满
题
当a+3<0即a<−3
，
时g(1)=a+3<0，当t →0
，
时g(t )→+∞，
∴∃t0∈(0,1)，使得g(t0)=0．即存在x0∈(0, π
2)使得sin
2 x0=t0，
且
足
满
f (x)=ax−cos x
sin
3 x
−sin2 x在(0, x0)上
增，在
单调递
(x0, π
2)上
减，
单调递
不
足
意．
上所述
足
意的
数
满
题
综
满
题
实
a的取
范
是
值
围
[−3,0]．
故答案
：
为[−3,0]
【变式训练4-1-11】若函数f(x)＝ax
3－12x＋a 的减区间为(－2，2)，求
数
实
a 的
．
值
【答案】a＝1.
【解析】
(x)＝3a
－12.
易知2 和－2 是
(x)的零点，且
(x)在(－2，2)之
，
间为负则a＞0，
∴
(2)＝
(－2)＝12a－12＝0，解得a＝1.
【变式训练4-1-12】已知函数g(x)= 1
3 x
3−1
2 a x
2+2 x，若g(x)在(－2，－1)内
减函数，求
数
为
实
a 的取
范
值
围.
【答案】(－∞，－3]
【解析】根据
意，
题
g′(x)＝x2－ax＋2，∵g(x)在(－2，－1)内
减函数，
为
∴x2－ax＋2≤0 在(－2，－1)内恒成立，
∴{
g
' (−2)≤0
g
' (−1)≤0
即{
4+2a+2≤0
1+a+2≤0 解得a≤−3
所以
数
实
a 的取
范
是
值
围
(－∞，－3].
【变式训练4-1-13】（1）若f ( x)=−1
2 x
2+mln x在1,+∞)是减函数，求
数
实
m 的取
范
；
值
围
（2）已知函数f ( x)= 1
3 a x
3−1
2 (a+1)x
2+ x +1(a≥1)在R 上无极
点，求
值
a 的值.
【答案】（1）−∞,1；（2）1
【解析】（1）依
意知，
题
f '( x)=−x + m
x ≤0在1,+∞)内恒成立，
所以m≤x
2在1,+∞)内恒成立，所以m≤(x
2)min，
因为x ≥1, y = x
2的最小值为1，
所以m≤1，所以
数
实
m 的取
范
是
值
围
−∞,1. 
（2）f ' (x)=a x
2−(a+1) x +1,a>1，依
意有
题
f ' (x)≥0，
即△≤0，(a+1)
2−4 a≤0，解得a=1.
【变式训练4-1-14】已知函数
．
(1)若f ( x)在[1，+∞)上是减函数，求
数
实
a的取
范
．
值
围
【答案】(1)a⩽−1
【解析】(1)函数f ( x)= x(ln x +3ax +2)−3ax + 4的定
域
义
为(0,+ ∞)，
f '( x)= ln x +3ax +2+ x( 1
x +3a)−3a= ln x +6ax +3−3a，
在[1，+ ∞)上是减函数，
∴f '( x)= ln x +6ax +3−3a⩽0在[1，+ ∞)内恒成立，
∴3a⩽3+ ln x
1−2 x
在[1，+ ∞)内恒成立，
设g( x)= 3+ ln x
1−2 x
，则g'( x)=
1
x + 4+2ln x
(1−2 x)
2
，
，∴g'( x)>0，
在[1，+ ∞)内
增，
单调递
∴g( x)min= g(1)=−3，
由3a⩽−3可得a⩽−1．
（二）已知函数f (x)在区间D上存在单调区间
【典型例题1】若函数g( x)= ln x + 1
2 x
2−(b−1) x存在
减区
，
数
单调递
间则实
b 的取
范
是（
值
围
    ）
A．3,+∞)        B．(3,+ ∞)        C．(−∞,3)        D．−∞,3 
【答案】B
【解析】函数g( x)= ln x + 1
2 x
2−(b−1) x的定
域
义
为(0,+∞) ，且其
数
导
为g
' (x)= 1
x + x−(b−1)．
由g(x)存在
减区
知
单调递
间
g
' (x)<0在(0,+ ∞) 上有解，即1
x + x−(b−1)有解．
因
函数
为
g(x)的定
域
义
为(0,+ ∞) ，所以x + 1
x ≥2．
要使1
x + x−(b−1)有解，只需要
的最小
小于
值
b−1，所以2<b−1，即b>3，
所以
数
实
b的取
范
是
值
围
(3,+ ∞) ．故选:B．
【典型例题2】已知函数f ( x)=−1
3 x
3+ x
2+2ax，g( x)= 1
2 x
2−4.
（1）若函数f ( x)在(0,+ ∞)上存在
增区
，求
数
单调递
间
实
a的取
范
；
值
围
【答案】（1）a>−1
2
；（2）最大
点
值
为3+ ❑√11
6
.x = 3+ ❑√11
6
.
【解析】（1）∵f ( x)在(0,+ ∞)上存在
增区
，
单调递
间
∴f
' (x)=−x
2+2 x +2a>0在(0,+ ∞)上有解，
即f
' (x)max在(0,+ ∞)上成立，
而f
' (x)的最大值为f
' (1)=1+2a，
∴1+2a>0，
解得：a>−1
2
.
【变式训练4-2-1】已知函数
在
上存在
减区
，
数
单调递
间则实
的取值
范围为(    )
A．(−∞, 2e−1
e
2 ]     B．
     C．(−∞, 2e−1
e
2
)     D．
【答案】D
【解析】
化
转
为
在
上有解，得到
在
上有解，
令
，利用
数求得函数的
性与最大
，即可求解
导
单调
值
.
因
函数
为
，可得
，
因
函数
为
在
上存在
减区
，可得在
单调递
间
上有解，
即
在
上有解，令
，则
，且
，
当
，
时
，所以
；当
，
时
，所以
，
所以
在
上
增，在
单调递
上
减，故
单调递
，所以
；故
：
选D．
【变式训练4-2-2】已知函数f ( x)= 1
2 x
2+2ax−ln x，若
在区间[
1
3 ,2]上存在
增区
”，求
单调递
间
a的
取
范
．
值
围
【答案】(−3
4 ,+ ∞)
【解析】将
意
化
当
题
转
为
x∈[
1
3 ,2]
，
时f
'( x)>0有解，即
有解，求出(−x + 1
x)min即可得出答案.
因为f ( x)= 1
2 x
2+2ax−ln x，所以
，
若
在[
1
3 ,2]上存在
增区
，
单调递
间
当
则
x∈[
1
3 ,2]
，
时f
'( x)>0有解，即
有解，
，即a>−3
4 ，
故a的取
范
是
值
围(−3
4 ,+ ∞)．
【变式训练4-2-3】已知函数f (x)= x
3+a x
2+bx +a
2，当a=0若f (x)在区间(−1,1)上存在减区
，求
间
b的取
范
值
围.
【答案】(−∞,0)
【解析】a=0，f (x)= x
3+bx，f (x)在区间(−1,1)上存在减区
，即
间
f
' (x)=3 x
2+b<0有解.
考虑f
' (x)=3 x
2+b≥0恒成立
，
时b≥−3 x
2，
设g(x)=−3 x
2，x∈(−1,1)，故g(x)∈−3,0，故b≥g(x)max.
故当b<0
，
时f
' (x)=3 x
2+b≥0在(−1,1)上不恒成立，即存在x使f
' (x)<0，即在区间(−1,1)上存在减区间.
上所述：
综
b∈(−∞,0).
【变式训练4-2-4】已知函数f (x)= ln x−a x
2−2 x（a∈R且a≠0）存在
减区
，求
数
单调递
间
实
a的取
范
值
围．
【答案】(−1
2 ,0)∪(0,+ ∞)．
【解析】∵f (x)= ln x−a x
2−2 x，∴f
' (x)= 1
x −2ax−2（x>0）．
∵函数f (x)存在
减区
，
单调递
间
∴f
' (x)≤0在(0,+ ∞)上有无
多个解．
穷
∴关于x的不等式2a x
2+2 x−1≥0在(0,+ ∞)上有无
多个解．
穷
①当a>0
，函数
时
y =2a x
2+2 x−1的
象
开口向上的抛物
，
图
为
线
∴关于x的不等式2a x
2+2 x−1≥0在(0,+ ∞)上
有无
多个解．
总
穷
②当a<0
，函数
时
y =2a x
2+2 x−1的
象
开口向下的抛物
，
图
为
线
其
称
直
对
轴为
线x =−1
2a >0．
要使关于x的不等式2a x
2+2 x−1≥0在(0,+∞)上有无
多个解，
穷
则Δ= 4 +8a>0，解得a>−1
2
，此时−1
2 <a<0．
上所述，
数
综
实
a的取
范
值
围为(−1
2 ,0)∪(0,+∞)．
【变式训练4-2-5】已知函数f (x)= a
x −a−2ln x (a∈R)．
（Ⅰ）若函数f (x)在1,2)上存在
减区
，求
单调递
间
a的取
范
；
值
围
【答案】（Ⅰ）a>−4；（Ⅱ）
明
解析
证
见
.
【解析】（Ⅰ）由
意得
题
f
' (x)=−a
x
2 −2
x = −a−2 x
x
2
．
令f
' (x)≤0，可得x ≥−a
2
．
f (x)在1,2)上存在
减区
，等价于不等式
单调递
间
x ≥−a
2
在1,2)上有解，
所以−a
2 <2，解得a>−4．
（三）已知函数f (x)在区间D上不单调
【典型例题1】若函数
在区间
上不
，
数
单调则实
m 的取
范
值
围为(    )
A．
      B．
     C．
     D．m>1
【答案】B
【解析】由
意得极
点在区
题
值
间
内，且
，得出关于
的不等式
，求解即可．
组
函数
的定
域
义
为
，且
，
令
，得
，因为
在区间
上不
，所以
单调
，解得：
；故
：
选B.
【典型例题2】已知函数
在区间[1,2]上不是
函数，
单调
则m的取
范
是（
值
围
    ）
A．(−∞,−3)
B．[−24 ,−3]
C．
D．
【答案】C
【解析】f
'( x)=3 x
2+ m
x = 3 x
3+m
x
当m≥0
，
时f
'( x)>0，即函数f (x)在区间[1,2]上
增，不符合
意
单调递
题
当m<0
，
时f
'( x)>0⇒x>
3√−m
3
，f
'( x)<0⇒0< x<
3√−m
3
函数
则
f (x)在区间(0,
3√−m
3)上
减，在区
单调递
间(
3√−m
3 ,+∞)上
增
单调递
要使得函数
在区间[1,2]上不是
函数，
单调
则
解得−24<m<−3
故
：
选C
【典型例题3】若
于任意
对
t ∈[1,2] ，函数g(x)= x
3+(
m
2 +2)x
2−2 x在区间(t,3)上
不
函数，
总
为单调
则实
数m 的取
范
是
值
围
        ．
【答案】(−37
3 ,−9)
【解析】g
' (x)=3 x
2+(m+ 4)x −2，若存在t ∈[1,2]，g(x)在区间(t ,3)上
函数，
为单调
①
则
g
' (x)≥0在(t ,3)上恒成立，或②g
' (x)≤0在(t ,3)上恒成立．
由①得3 x
2+(m+ 4)x −2≥0在(t ,3)上恒成立，由于t ∈[1,2]，所以x>0， 
即m+ 4≥2
x −3 x在x∈(t ,3)上恒成立，由于函数y = 2
x , y =−3 x均为x∈(t ,3)上的
减函
单调递
数，
所以y = 2
x −3 x
减，当
单调递
x =t
，取最大
，
时
值则m+ 4≥2
t −3t，
又存在t ∈[1,2]，所以m+ 4≥2
t −3t，
当t =2
，
时2
t −3t取到最小值-5，所以m+ 4≥−5，即m≥−9；
由②得m+ 4≤2
x −3 x在x∈(t ,3)上恒成立，则m+ 4≤2
3 −9，即m≤−37
3
，
所以存在t ∈[1,2]，函数g(x)在区间(t,3)上
函数的
为单调
m 的取
范
值
围为m≤−37
3
或m≥−9，
因此使函数g(x)在区间(t,3)上
不
函数的
总
为单调
m 的取
范
值
围为−37
3 <m<−9.
故答案
：
为(−37
3 ,−9)
【变式训练4-3-1】已知函数f ( x)=ax−ln x在(1,e)上不
，
单调则a的取
范
是（
值
围
    ）
A．(0, 1
e)
B．(1,e)
C．
D．(0,e)
【答案】C
【解析】因
函数
为
f ( x)=ax−ln x
所以f
' (x)=a−1
x ,​​​​( x>0).
因为f (x)在(1,e)上不单调.
所以f
' (x)=0在(1,e)上有解，
又f
' (x)在(1,e)上
增，
单调递
所以f
' (1)=a−1<0，f
' (e)=a−1
e >0，
解得1
e <a<1
故a∈(
1
e ,1).
故
：
选C
【变式训练4-3-2】函数f (x)= x
2
2 −ln x在其定
域内的一个子区
义
间[k −1,k +1]内不是
函数，
单调
则k的取
范
是
值
围
______________．
【答案】(1,2)
【解析】函数f (x)= x
2
2 −ln x的定
域
义
为(0,+ ∞)，f
' (x)= x−1
x = x
2−1
x
.
令f
' (x)=0，∵x>0，可得x =1，列表如下：
x
1
(1,+∞)
f
' (x)
−
0
+
f (x)
↘
极小
↗
所以，函数f (x)在x =1
取得极小
，
处
值
由于函数f (x)= x
2
2 −ln x在其定
域内的一个子区
义
间[k −1,k +1]内不是
函数，
单调
则1∈(k −1,k +1)，由
意可得
题
{
k −1<1
k +1>1
k −1>0
，解得1<k <2.
因此，
数
实
k的取
范
是
值
围
(1,2).
故答案
：
为(1,2).
【变式训练4-3-3】若函数f ( x)=e
x(x
2−ax +a)在(2,3)上不
，
数
单调则实
a 的取
范
是
值
围
______.
【答案】4<a<5
【解析】因
函数
为
f ( x)=e
x(x
2−ax +a)在(2,3)上不
，
单调
所以函数f
'( x)=e
x(x
2−(a−2)x)在(2,3)存在
号零点，
变
由f
'( x)=0可得：
，x2=a−2，
于是2<a−2<3，解得：4<a<5.
故答案
：
为4<a<5
【变式训练4-3-4】已知函数
在
上不
，
单调则t的取
范
是
值
围
________.
【答案】(2,3)
【解析】解：∵函数
，
∵函数f ( x)在
，
上不
，
单调
∴f '( x)=0在
，
上有解
∴
在
，
上有解
在
，
上有解
或
t <2<t +1且
且
且△= 4>0，
∴0<t <1或2<t <3，而
，
故答案
：
为(2,3)．
【变式训练4-3-5】已知y＝
x3＋bx2＋(b＋2)x＋3 在R 上不是
增函数，求
单调
b 的取
范
．
值
围
【答案】b 的取
范
值
围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
【解析】解：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0 恒成立，
则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，
解得－1≤b≤2，
由
意知
题
y′≥0 不恒成立，
故b<－1 或b>2，
所以b 的取
范
值
围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
（四）已知函数y = f ( x)有三个单调区间
【典型例题1】若函数
恰有三个
区
，
数
单调
间则实
a 的取
范
值
围为(    )
A．
      B．
      C．
      D．
【答案】C
【解析】根据
函数有两个不等根
算即可
导
计
.
由
意得函数
题
的定
域
义
为
，
，
要使函数
恰有三个
区
，
单调
间则
有两个不相等的
数根，
实
∴
，解得
且
，故
数
实
a 的取
范
值
围为
，
【典型例题2】若函数y =−4 x
3+3bx有三个
区
，
单调
间则b的取
范
是（
值
围
    ）
A．(0,+∞)
B．(−∞,+ ∞)
C．(−∞,0)
D．0,+ ∞)
【答案】A
【解析】由
意，函数
题
y =−4 x
3+3bx，可得y
' =−12 x
2+3b，
要使得函数y =−4 x
3+3bx有三个
区
，
单调
间
足
则满
Δ=0−4×(−12)×3b=144 b>0，即b>0.
故
：
选A.
【典型例题3】已知函数f ( x)=a x
3+3 x
2−x( x ∈R)恰有三个
区
，
数
单调
间则实
a的取
范
值
围为
A．(−3,+ ∞)
B．(−3,0)∪(0,+ ∞)
C．(−∞,0)∪(0,3)
D．−3,+∞)
【答案】B
【解析】f '( x)=3a x
2+6 x −1，∴f ( x)有三个
区
，∴
单调
间{
a≠0
Δ=36+12a>0，解得a>−3且a≠0．
故选B．
【变式训练4-4-1】已知y = 1
3 x
3+b x
2+(b+6) x +3在R上存在三个
区
，
单调
间则b的取
范
是（　　）
值
围
A．b≤−2或b≥3
B．−2≤b≤3
C．−2<b<3
D．b<−2或b>3
【答案】D
【解析】若y = 1
3 x
3+b x
2+(b+6) x +3在
上存在三个
区
，
单调
间 
只需y
' = x
2+2bx +(b+6)=0有2个不相等的
数根，
实
 
即只需△= 4 b
2−4 (b+6)>0，解得：b<−2或b>3， 
故选D．
【变式训练4-4-2】若函数f ( x)=a x
3−3 x
2+ x +8恰好有三个
区
，
数
单调
间则实
a的取
范
是
值
围
A．
B．
C．(−∞,0)∪(0,3]
D．(−∞,0)∪(0,3)
【答案】D
【解析】因
函数
为
f ( x)=a x
3−3 x
2+ x +8，所以f
'( x)=3a x
2−6 x +1，
由函数f (x)恰好有三个不同的
区
，即
单调
间
f
' (x)有两个不同的零点，
所以方程3a x
2−6 x +1=0
足
满
a≠0且Δ=36−12a>0，解得a<0或0<a<3，
所以
数
实
a的取
范
是
值
围
(−∞,0)∪(0,3)，故选D.
【变式训练4-4-3】已知函数f ( x)=( x−a)ln x(a∈R)，若函数f (x)存在三个
区
，
数
单调
间则实
a的取
范
值
是
围
__________.
【答案】(−1
e
2 ,0).
【解析】解：由f ( x)=( x−a)ln x(a∈R)
，可得
 ，
函数f ( x)=( x−a)ln x(a∈R)，若函数f (x)存在三个
区
单调
间
即f ' (x)=0 有两个不等
根，即
实
有两个不等
根，
化
实
转
为y =a与y = x(ln x +1)的
像有两个不
图
同的交点
y ' =ln x +2令ln x +2=0，即x = 1
e
2，即y = x(ln x +1)在
上
减，在
单调递
(
1
e
2 ,+∞)上
增，
单调递
y 1
e
2
min
，当x∈(0, 1
e
2)
，
时y <0，
所以a的范围为(−1
e
2 ,0),
故答案
：
为(−1
e
2 ,0)
【变式训练4-4-5】若函数f ( x)=a x
3+a x
2+ x恰好有三个
区
，
数
单调
间则实
a的取
范
是
值
围
______.
【答案】(−∞,0)∪(3,+ ∞)
【解析】解：由
意知
题
f
'( x)=3a x
2+2ax +1，由函数f ( x)恰好有三个
区
，得
单调
间
f
'( x)=0有2 个不同的实
根，
所以需
足
满
a≠0且方程3a x
2+2ax +1=0的Δ= 4 a
2−12a>0，
解得a<0或a>3，所以
数
实
a的取
范
是
值
围
(−∞,0)∪(3,+∞).
故答案
：
为(−∞,0)∪(3,+ ∞).
【变式训练4-4-6】若函数f (x)=a x
3+3 x
2−x恰好有三个
区
，
数
单调
间则实
a的取
范
是
值
围
________.
【答案】(−3,0)∪(0,+ ∞)
【解析】f (x)=a x
3+3 x
2−x,则f
' (x)=3a x
2+6 x−1,
若函数f (x)=a x
3+3 x
2−x恰好有三个
区
单调
间,
则
有两个不同的零点,
即
有两个不同的根,
所以{
a≠0
Δ=36+12a>0 ⇒a>−3且a≠0,
故答案为:(−3,0)∪(0,+∞).
【变式训练4-4-7】若f (x)= x
3+3a x
2+3(a+2) x +1有三个
区
，
单调
间则a的取
范
是
值
围
______.
【答案】(−∞,−1)∪(2,+ ∞)
【解析】f (x)= x
3+3a x
2+3(a+2) x +1⇒f
'( x)=3 x
2+6ax +3(a+2)，
因为f (x)= x
3+3a x
2+3(a+2) x +1有三个
区
，
单调
间
所以方程f
'( x)=3 x
2+6ax +3(a+2)=0有两个不相等的
数根，
实
即Δ=(6a)
2−4⋅3⋅3⋅(a+2)>0⇒a>2或
，
故答案
：
为(−∞,−1)∪(2,+ ∞)
题型05：单调性的应用——构造函数比较大小
【典型例题1】设
则a，b，c 之
的大小关系式是（
间
    ）
A．a<b<c        B．
        C．
        D．b<c<a
【答案】B
【解析】
，
构造函数f ( x)= x
ln x ( x>0)，得
，
由ln x−1>0得x>e时f
'( x)>0，
知f ( x)在区间(e ,+∞)上是增函数，于是
，即
.故
：
选B．
【典型例题2】设a= 3
e
2 ln e
2
3
，b= 1
e
，c =ln2
2
，则a，b，c的大小
序
（
顺
为    ）
A．a<c<b        B．c<a<b        C．a<b<c        D．
【答案】B
【解析】令
(x>0)，则f
'( x)= 1−ln x
x
2
，
当x>e
，
时f
'( x)<0，函数
减，当
单调递
0< x<e
，
时f
'( x)>0，函数
增，
单调递
故当x =e
，函数取得最大
时
值f (e)= 1
e ，
因为a= 3
e
2 ln e
2
3 = f(
e
2
3)，c = ln 2
2 = f (2)，b= 1
e = f (e)，
∵2< e
2
3 <e，
当0< x<e
，函数
时
f (x)
增，
单调递
可得f (2)<f(
e
2
3)<f (e)，即c<a<b．故
：
选B．
【典型例题3】已知函数f ( x)=e
x
2
+cos x，设a= f (2
0.2)，b= f(
π
5)，
，
（
则    ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>b>a
D．c>a>b
【答案】B
【解析】利用奇偶函数的判断方法，得到f ( x)=e
x
2+cos x
偶函数，利用
数与函数
性
的关系
为
导
单调
间
，
得到f ( x)=e
x
2
+cos x在区间(0,+ ∞)上
增，根据条件有
单调递
c = f (log52)，再比较2
0.2, π
5 ,log52的大小，即
可求解.
易知f ( x)=e
x
2+cos x的定
域
义
为R，关于原点
称
对
又f (−x)=e
(−x)
2+cos(−x)=e
x
2+cos x = f (x)，所以f ( x)=e
x
2+cos x
偶函数，
为
又f
' (x)=2 x e
x
2−sin x，
当x>0
，
时e
x
2
>1，所以当x>0
，
时f
' (x)=2 x e
x
2
−sin x>2 x−sin x，
令g(x)=2 x−sin x，则g
' (x)=2−cos x>0恒成立，所以g(x)=2 x−sin x在R上
增，
单调递
当
则
x>0
，
时g(x)=2 x−sin x> g(0)=0，所以当x>0
，
时f
' (x)>0，即f ( x)=e
x
2
+cos x在区间
(0,+∞)上
增，
单调递
因为
，
又易知2
0.2>1，1
2 < π
5 <1，0<log52<log5
❑√5= 1
2，
所以a= f (2
0.2)>b= f(
π
5)>c = f (log0.22)，
故
：
选B.
【点晴】关
点点晴：本
的关
在利用当
键
题
键
x>0
，
时e
x
2
>1，从而有当x>0
，
时
f
' (x)=2 x e
x
2−sin x>2 x−sin x，构造函数g(x)=2 x−sin x，利用
数与函数
性
的关系，可得
导
单调
间
g(x)>0，即f ( x)=e
x
2+cos x在区间(0,+ ∞)上
增，即可求解
单调递
.
【典型例题4】已知奇函数f (x)
足
满
∀x∈R ,f (1−x)= f (1+ x).当x∈[0,1]
，
时
f (x)= x
2+2cos x−2,a= f (100),b= f(
33
2 ),c = f(
79
2 )，
（
则    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先
明
证
4 为f (x)的一个周期，可得a= f (0),b= f(
1
2),c =−f(
1
2)，再利用
数
明
导
证
f (x)在
[0,1]上
增，从而可得答案
单调递
.
由奇函数
足
满
f (1−x)= f (1+ x)，得f (−x)= f (2+ x)=−f (x)，
则f (x + 4)=−f (x +2)=−[−f (x)]= f (x)，所以4 为f (x)的一个周期，
则a= f (100)= f (0),b= f(
33
2 )= f(
1
2),c = f(
79
2 )= f(−1
2)=−f(
1
2)，
当x∈[0,1]
，
时f (x)= x
2+2cos x−2,f
' (x)=2 x−2sin x，令h(x)=2 x−2sin x，
则h
' (x)=2−2cos x ≥0，所以h(x)在[0,1]上
增，
单调递
则h(x)≥h(0)=0,f
' (x)≥0，
所以f (x)在[0,1]上
增，
单调递
则f(
1
2)>f (0)=0,c =−f(
1
2)<0，故
.
故
：
选B.
【变式训练5-1】已知a= ln2
2 ，b= ln π
π
 ，c =1n5
5
，
（    ）
则
A．b＞c＞a        B．b＞a＞c        C．c＞b＞a        D．c＞a＞b
【答案】B
【解析】设f (x)= ln x
x
，则 f
' (x)= 1−ln x
x
2
，
当 x>e
，
时f
' (x)<0，f (x)
减；
递
当0< x<e
，
时f
' (x)>0，f (x)
增；
递
又a= ln2
2 = ln 4
4 ，b= ln π
π
 ，c =1n5
5
，
即a= f (4)，b= f (π ) ，c = f (5)，
则f (π ) >f (4)>f (5)，
∴f（π）＞f（4）＞f（5），即b＞a＞c．故
：
选B．
【变式训练5-2】设a=ln0.4
0.6
，b=ln0.2
0.8
，c =2ln0.5.
（
则    ）
A．c>a>b        B．b>a>c        C．b>c>a        D．a>b>c
【答案】A
【解析】构造函数f (x)=ln x
1−x
，其中0< x<1，则f
' (x)=
1−x
x
+ln x
(1−x)
2
=
1
x −1+ln x
(1−x)
2
，
令g(x)= 1
x −1+ln x，g
' (x)=−1
x
2 + 1
x = x−1
x
2 ，
所以当x∈(0,1)
，
时g
' (x)<0，所以g(x)在
上
减，
单调递
故当x∈(0,1)
，
时g(x)> g(1)=0，所以当x∈(0,1)
，
时f
' (x)>0，
所以f (x)在
上
增，所以
单调递
f (0.4)=ln0.4
0.6
=a>f (0.2)=ln0.2
0.8 =b，
又c =2ln0.5=ln0.5
0.5
= f (0.5)>f (0.4)=a，所以c>a>b.故
：
选A.
【变式训练5-3】已知a=ln
9
4 ❑√e ,b=ln 16
9
3√e
,c =ln
25
16
4√e
，
（
则    ）
A．a<c<b        B．
        C．a<b<c        D．
【答案】D
【解析】a=ln
9
4 ❑√e =2ln 3
2 −1
2 ,b=ln 16
9
3√e
=2ln 4
3 −1
3 ,c =ln
25
16
4√e
=2ln 5
4 −1
4 ，
构造函数f (x)=2ln( x +1）−x(0< x<1)，
则f
' (x)=
2
x +1 −1= 1−x
x +1
，
当0< x<1
，
时f
' (x)>0,f (x)在
上
增，
单调递
所以f(
1
4)<f(
1
3)<f(
1
2)，所以
.故选:D.
【变式训练5-4】已知函数f (x)= x
2+2cos x，设
，
（
则    ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．b>a>c
D．a>b>c
【答案】A
【解析】
明函数
证
f (x)
偶函数，利用
数判断函数的
性，比
大小
为
导
单调
较
0.2
0.3,0.3
0.2,log❑0.27，可得a,b,c
大小关系.
函数f (x)= x
2+2cos x的定
域
义
为R，
f (−x)=(−x)
2+2cos(−x)= x
2+2cos x = f (x)，故f (x)= x
2+2cos x
偶函数，
为
当x ≥0
，
时f
' (x)=2 x−2sin x，令g(x)= f
' (x)=2 x−2sin x，
则g
' (x)=2−2cos x ≥0，当且
当
仅
x =2kπ ,k ∈N
等号成立，
时
所以g(x)在0,+∞)上
增，
单调递
g(x)≥g(0)=0，当且
当
仅
x =0
等号成立，
时
所以f
' (x)≥0，当且
当
仅
x =0
等号成立，所以
时
f (x)在0,+∞)上
增，
单调递
因
函数
为
y =0.3
x
减函数，所以
为
0.3
0.3<0.3
0.2<0.3
0，
因
函数
为
y = x
0.3在(0,+ ∞)上
增，所以
单调递
0<0.2
0.3<0.3
0.3，
所以0<0.2
0.3<0.3
0.2<0.3
0=1=log55<log57，所以f (0.2
0.3)<f (0.3
0.2)<f (log57)，
c = f (log0.27)= f(log 1
5
7)= f (−log57)= f (log57)，故c>b>a.
故
：
选A.
【变式训练5-5】f (x)=3−x
2−2cos x，设a=2
−0.5，b=
❑√3
3
，c = log❑1
3
2，则(    )
A．f (c)>f (a)>f (b)   B．f (b)>f (a)>f (c)  C．f (b)>f (c)>f (a)   D．f (c)>f (b)>f (a)
【答案】C
【解析】根据函数的奇偶性，以及构造函数利用
数求解
性即可
导
单调
.
当x∈R
，由
时
f (x)得f (−x)=3−(−x)
2−2cos(−x)= f (x)，所以f (x)
偶函数．
为
又f
' (x)=2(sin x−x)，当x ≥0
，令
时
g(x)=2(sin x−x)，则g' (x)=2(cos x−1)≤0，
所以g(x)在0,+∞)上
减，所以
单调递
g(x)≤g(0)=0，即f
' (x)≤0，所以f (x)在0,+∞)上
减．
单调递
a=2
−0.5=
❑√2
2 ，
，所以
，
令h( x)=2log❑2 x−x，x∈[❑√3,2]，则h
' (x)= 2−x ln 2
x ln 2
，
因为❑√3<2< 2
ln 2
，所以h(x)在[❑√3,2]上
增，所以
单调递
h(❑√3)<h(2)，
即
，所以1
|c|< 1
b ，得|c|>b．
故b<|c|<a，从而f (b)>f (|c|)>f (a)，即f (b)>f (c)>f (a)；故
：
选C．
【变式训练5-6】(多选题)函数f ( x)的
函数
导
为
，若当x∈0, π
2)
，
时f
'( x)−tan x⋅f ( x)<0，则(    )
A．
    B．2f (0)>f(
π
3)      C．❑√3 f(
π
6)>f(
π
3)    D．❑√2f(
π
4)<f(
π
3)
【答案】ABC
【解析】因为x∈0, π
2)，所以
，由f
'( x)−tan x⋅f ( x)<0，得cos x⋅f
'( x)−sin x⋅f ( x)<0，
所以[cos x⋅f ( x)]
'<0，所以函数y =cos x⋅f ( x)在0, π
2)上
减，
单调递
因为0< π
6 < π
4 < π
3
，所以cos0⋅f (0)>cos π
6 ⋅f(
π
6)>cos π
4 ⋅f(
π
4)>cos π
3 ⋅f(
π
3)，
即
1
2 f(
π
3)，所以
，A 正确；
2f (0)>f(
π
3)，B 正确；❑√3 f(
π
6)>f(
π
3)，C 正确；❑√2f(
π
4)>f(
π
3)，D 错误.
【变式训练5-7】己知
，则(    )
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】B
【解析】构造f (x)= ln (1+ x)−x (x>0)，利用
数
明
导
证
ln (1+ x)< x (x>0)，代入x = 1
3
可比较a,b的大小，根据
数函数的性
可判断
对
质
a,c的大小，从而可求解.
设f (x)= ln (1+ x)−x (x>0)，则f
' (x)=
1
1+ x −1= −x
1+ x <0，所以f (x)在(0,+∞)上
减，
单调递
所以f (x)<f (0)=0，所以ln (1+ x)< x (x>0)，所以ln(1+ 1
3)< 1
3
，即ln 4
3 < 1
3
，
所以2ln2< 1
3 + ln3，即ln2< 1
6 + ln3
2
，所以1
2 + ln2< 2
3 + ln3
2
，即a<b.
由25<32，可得ln25<ln32，即2ln5<5 ln2，即2ln5
5
<ln 2，所以1
2 + 2ln5
5
< 1
2 + ln 2，即c<a.
上所述，
综
b>a>c；故选:B.
题型05:单调性的应用——构造函数解不等式 
【典型例题1】
函数
设
f(x)，g(x)分
是定
在
别
义
R 上的奇函数和偶函数．当x<0
，
时
f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)>0，且g(3)=0，
不等式
则
f(x)g(x)>0 的解集是（    ）
A．(−3,0)∪(3,+∞)       B．(−3,0)∪(0,3)       C．(−∞,−3)∪(3,+ ∞)       D．
(−∞,−3)∪(0,3)
【答案】A
【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由
意可知，当
题
x<0
，
时F
'( x)>0，
所以F(x)在(−∞,0)上
增．
单调递
又因为f(x)，g(x)分
是定
在
别
义
R 上的奇函数和偶函数，
F(−x)= f (−x)g(−x)=−f ( x)g( x)=−F( x)，所以F(x)是定
在
义
R 上的奇函数，
从而F(x)在(0,+ ∞)上
增．
单调递
而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0，
当x>0
，
时f(x)g(x)>0 的解为x>3；
当x<0
，
时f(x)g(x)>0 的解为−3< x<0；
上可知不等式
综
f(x)g(x)>0 的解集为(−3,0)∪(3,+∞).故
：
选A.
【典型例题2】已知f (x)是定
在
义
R上的偶函数且f (1)=2，若f
' (x)<f (x)ln2，则f (x)−2
x +2>0的解集为   
.
【答案】
【解析】令g(x)= f (x)
2
x ，则g
' (x)= f
' (x)2
x−f (x)2
x ln 2
(2
x)
2
= f
' (x)−f (x)ln 2
2
x
 ，
由于f
' (x)<f (x)ln2，所以g
' (x)= f
' (x)−f (x)ln2
2
x
<0，故g(x)在R上
减，
单调递
又f (x)是定
在
义
R上的偶函数且f (1)=2，故f (−1)=2，所以g(−1)= f (−1)
2
−1
= 4，
f (x)−2
x +2>0等价于f (x)
2
x >4⇒g(x)> g(−1)，因此x<−1，
故f (x)−2
x +2>0的解集为(−∞,−1)，
故答案
：
为
【典型例题3】已知奇函数f (x)是定
在
义
R上的可
函数，其
函数
导
导
为f
' (x)，当x>0
，有
时
，则
的解集为        ．
【答案】(−∞,−2022)
【解析】当x>0
，因
时
为2f (x)+ x f
' (x)> x
2>0，所以
，
所以[x
2f ( x)]
'>0，所以g( x)= x
2f ( x)在(0,+∞)上
增函数，
为
因为f ( x)是定
在
义
R上的奇函数，所以
，
所以g(−x)=(−x)
2f (−x)=−x
2f ( x)=−g( x)，且g( x)的定
域
义
为R，关于原点
称，
对
所以g( x)也是定
在
义
R上的奇函数，且g(0)= f (0)=0，
又因为g( x)= x
2f ( x)在(0,+∞)上
增函数，所以
为
g( x)在R上
增函数，
为
由
，得( x +2023)
2f (x +2023)<−f (−1)= f (1)= g(1)，
所以g( x +2023)< g(1)，因为g( x)在R上
增函数，
为
所以x +2023<1，即x<−2022.
所以
的解集为(−∞,−2022).故答案
：
为(−∞,−2022)
【典型例题4】已知函数f (x)的定
域
义
为(−π
2 , π
2)，其
函数是
导
f
' (x).有f
' (x)cos x + f (x)sin x<0，
关于
则
x的不等式f ( x)>2f(
π
3)cos x的解集为         .
【答案】(−π
2 , π
3)
【解析】依
意令
题
F( x)= f ( x)
cos x
，x∈(−π
2 , π
2)，则F
'( x)= f
'( x)cos x + f ( x)sin x
cos
2 x
，
因
当
为
，
时f
' (x)cos x + f (x)sin x<0，
所以当x∈(−π
2 , π
2)
，
时F
'( x)<0，
∴F( x)在(−π
2 , π
2)上
减，
单调递
则f ( x)>2f(
π
3)  cos x等价于f ( x)
cos x >
f(
π
3)
cos π
3
，即F( x)> F(
π
3)，
∴{
x< π
3
−π
2 < x< π
2
，解得−π
2 < x< π
3
，所以所求不等式的解集为(−π
2 , π
3).故答案
：
为(−π
2 , π
3)
【典型例题5】已知定
在
义
R 上的偶函数y = f ( x)的
函数
导
为y = f
'( x)，当x>0
，
时
，且
f (2)=−3，
不等式
则
f (2 x−1)<
−6
2 x−1
的解集为                .
【答案】(−∞, 1
2 )∪( 3
2 ,+ ∞)
【解析】当x>0
，
时f
'( x)+ f ( x)
x
= x f
'( x)+ f ( x)
x
= (xf ( x))
'
x
<0，∴(xf ( x))
'<0，
令g(x)= xf ( x)，∴g(x)在(0,+ ∞)上
减，
单调递
又y = f ( x)是定
在
义
R上的偶函数，∴g(x)是R上的奇函数，即g(x)在R上
减，
单调递
∵f (2)=−3，∴g(2)=−6，
当
，即x> 1
2
，
时f (2 x−1)<
−6
2 x−1 ⇒(2 x−1)f (2 x−1)<−6⇒g(2 x−1)<−6，
∴2 x−1>2⇒x> 3
2
；
当2 x−1<0，即x< 1
2
，
时f (2 x−1)<
−6
2 x−1 ⇒(2 x−1)f (2 x−1)>−6⇒g(2 x−1)>−6，
∴2 x−1<2⇒x< 3
2
，则x< 1
2
.
故不等式f (2 x−1)<
−6
2 x−1
的解集为(−∞, 1
2)∪(
3
2 ,+∞).
故答案
：
为(−∞, 1
2)∪(
3
2 ,+∞).
【变式训练6-1】已知函数
，f (1)=−3
2，若2f (2a
2−a)<−3，则a的取
范
（
值
围为    ）
A．(−1, 1
2 )
B．(−1
2 ,1)
C．(−1
2 ,0)∪( 1
2 ,1)
D．{
& a=1
& b= 1
2
【答案】C
【解析】首先求函数的解析式，再根据
数判断函数的
性，根据函数的
性，解抽象不等式
导
单调
单调
.
f (1)=k −2=−3
2
，得k = 1
2
，
所以
，f
' (x)= x−2+ 1
x = x
2−2 x +1
x
= (x−1)
2
x
≥0，x>0，
所以函数f (x)在(0,+ ∞)
增，
单调递
所以2f (2a
2−a)<−3，即f (2a
2−a)<−3
2
，即f (2a
2−a)<f (1)，
即2a
2−a<1，且
，得−1
2 <a<0且1
2 <a<1.
故
：
选C
【变式训练6-2】已知函数f (x)=e
x−e
−x−2 x，若关于x的不等式f (m−sin x)+ f (1−❑√3cos x)>0恒成
立，则m的取
范
（
值
围为   ）
A．(−1,+∞)
B．(1,+ ∞)
C．(2,+∞)
D．(−∞,−2)
【答案】B
【解析】求
，
合基本不等式可求解函数的
性，
合奇偶性可将
化
导结
单调
结
问题转
为m>2sin(x + π
3)−1，利用
三角函数的性
求解最
即可得解
质
值
.
因为f (x)=e
x−e
−x−2 x，则f
' (x)=e
x+e
−x−2≥2
❑√e
x⋅e
−x−2=0，
则f (x)在
上
增，因
单调递
为f (−x)=−f (x)，所以f (x)是奇函数.
因为f (m−sin x)+ f (1−❑√3cos x)>0等价于f (m−sin x)>f (❑√3cos x−1)，
所以m−sin x>❑√3cos x−1，即m>sin x + ❑√3cos x−1=2sin(x + π
3)−1恒成立，
所以m>1.
故
：
选B.
【变式训练6-3】已知函数f (x)= x−sin x，
不等式
则
的解集
（
为   ）
A．(−∞,−3)∪(−1,+∞)
B．
C．(−2−❑√7,−2+ ❑√7)
D．(−∞,−2−❑√7)∪(−2+ ❑√7,+∞)
【答案】B
【解析】利用函数的奇偶性和函数的
性求解即可
单调
.
f (−x)=−x−sin(−x)=−f ( x)故f (x)= x−sin x
奇函数，
为
f (x
2+ 4 x)<−f (3)= f (−3)，
f
' (x)=1−cos x ≥0,故函数f (x)= x−sin x
增，故
单调递
x
2+ 4 x<−3,故解集为
.
故
：
选B.
【变式训练6-4】在R 上可
的函数
导
f(x)的
象如
所示，
关于
图
图
则
x 的不等式xf′(x)＜0 的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)   B．(－1，0)∪(1，＋∞)   C．(－2，－1)∪(1，2)   D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【答案】A
【解析】在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)
增，所以
单调递
f′(x)＞0，使xf′(x)＜0 的范围为(－∞，－1)；
在(－1，1)上，f(x)
减，所以
单调递
f′(x)＜0，使xf′(x)＜0 的范围为(0，1)．
上，关于
综
x 的不等式xf′(x)＜0 的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．
【变式训练6-5】已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，
不等式
则
f(2x－3)>1 的解集为        ．
【答案】( 3
2 ,+∞)
【解析】f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且
当
仅
x＝0
取“＝”，∴
时
f(x)在R 上
增，又
单调递
f(0)＝1，∴原不等
式可化为f(2x－3)>f(0)，即2x－3>0，解得x>，∴原不等式的解集为( 3
2 ,+∞)．
【变式训练6-6】
函数
设
f(x)
奇函数，且当
为
x≥0
，
时f(x)＝ex－cosx，
不等式
则
f(2x－1)＋f(x－2)>0 的解集为(　)
A．(－∞，1)　　　　　B．(−∞, 1
3 )　　　　　C．( 1
3 ,+∞)　　　　　D．(1，＋∞)
【答案】D
【解析】当x≥0
，
时f(x)＝ex－cosx，此
有
时
f′(x)＝ex＋sinx>0，则f(x)在[0，＋∞)上
增函数，
为
又f(x)为R 上的奇函数，故f(x)在R 上
增函数．
为
f(2x－1)＋f(x－2)>0⇒f(2x－1)>－f(x－2)⇒f(2x－1)>f(2－x)⇒2x－1>2－x，解得x>1，
即不等式的解集为(1，＋∞)．
【变式训练6-7】已知函数f (x)= ln(1+ x
2)+
1
1+ x
2，
不等式
则
f (2 x +1)<f (x−1)的解集为(    )
A．(−∞,0)∪(1,+∞)     B．(−∞,−2)     C．(−∞,−2)∪(0,+ ∞)     D．(−2,0)
【答案】D
【解析】首先判断函数f (x)的
性和奇偶性，从而由函数的
性与奇偶性解不等式即可
单调
单调
.
f (x)= ln(1+ x
2)+
1
1+ x
2的定
域
义
为R，f
' (x)= 2 x
1+ x
2 + −2 x
(1+ x
2)
2 = 2 x(1+ x
2)−2 x
(1+ x
2)
2
=
2 x
3
(1+ x
2)
2，
所以，在(−∞,0)上，f
' (x)<0，
函数
则
f (x)
减，在
单调递
(0,+ ∞)上，f
' (x)>0，
函数
则
f (x)
增
单调递
.
因为f (−x)= ln[1+(−x)
2]+
1
[1+(−x)
2]
= f (x)，所以f (x)是偶函数.
由f (2 x +1)<f (x−1)，可得f (|2 x +1|)<f (|x−1|)，于是|2 x +1|<|x−1|，即(2 x +1)
2<(x −1)
2，
化
得
简
x
2+2 x<0，解得−2< x<0，即x∈(−2,0)；故
：
选D.
【变式训练6-8】已知函数y＝f(x)(x∈R)的
象如
所示，
不等式
图
图
则
xf′(x)≥0 的解集为                ．
【答案】[0, 1
2]∪[2，＋∞)
【解析】由f(x)
象特征可得，在
图
(0, 1
2]和[2，＋∞)上f′(x)≥0，在( 1
2 ,2)上f ′(x)<0，
所以xf ′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf ′(x)≥0 的解集为[0, 1
2]∪[2，＋∞)．
【变式训练6-9】f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e 是自然
数的底数．若
对
f(a－1)＋f(2a2)≤0，
数
则实
a 的取
范
是
值
围
  
．
【答案】[−1, 1
2]
【解析】f(－x)＝(－x)3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)，所以函数f(x)
奇函数．
为
又f ′(x)＝3x2－2＋ex＋≥0－2＋2＝0，所以函数f(x)
增函数．
为单调递
不等式f(a－1)＋f(2a2)≤0 可化为f(2a2)≤－f(a－1)＝f(1－a)，所以2a2≤1－a，解得－1≤a≤．
【变式训练6-10】若函数f(x)＝lnx＋ex－sinx，
不等式
则
f(x－1)≤f(1)的解集为        ．
【答案】(1，2]
【解析】f(x)的定
域
义
为(0，＋∞)，∴f′(x)＝＋ex－cos x．∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)
在(0，＋∞)上
增，又
单调递
f(x－1)≤f(1)，∴0<x－1≤1，即1<x≤2，原不等式的解集为(1，2]．
题型07：利用导数的运算法则构造函数
导数关系构造函数的一些常见结构：
(1)
于不等式
对
f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x).
(2)
于不等式
对
f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x).
特
地，
于不等式
别
对
f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx.
(3)
于不等式
对
f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x).
(4)
于不等式
对
f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=
.
(5)
于不等式
对
xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=
.
(6)
于不等式
对
f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=
.
(7)
于不等式
对
f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=
.
【典型例题1】已知f (x)
定
在
为
义
R上的可
函数，
导
f
' (x)
其
函数，且
为
导
f (x)<f
' (x)恒成立，e 是自然
数的
对
底数，
（
则    ）
A．f (2024)<ef (2025)
B．ef (2024)<f (2025)
C．ef (2024)= f (2025)
D．ef (2024)>f (2025)
【答案】B
【解析】设g(x)= f (x)
e
x ，利用
数求得
导
增，得到
单调递
f (2024)
e
2024
< f (2025)
e
2025
，即可求解.
根据
意知
题
f (x)<f
' (x)，即f
' (x)−f (x)>0，构造函数g(x)= f (x)
e
x ，
可得g
' (x)= f
' (x)−f (x)
e
x
，因为f
' (x)−f (x)>0，所以g
' (x)>0，
所以
在R上
增，
单调递
则f (2024)
e
2024
< f (2025)
e
2025
，两
同乘
边
e
2025，即ef (2024)<f (2025)．
故选:B
【典型例题2】
定
域
设
义
为
的函数
的
函数
导
为f
'( x).已知−f
'( x)= f
'(−x)，f (1)=e，若
f (x)−x f
'( x)<0在(0,+ ∞)上恒成立，
不等式
则
的解集
（
为    ）
A．(−∞,❑√e)
B．(−∞,e)
C．(❑√e ,+∞)
D．(1,❑√e)
【答案】D
【解析】先利用f (x)
函数的奇偶性分析原函数
导
f (x)的奇偶性，再构造函数
，根据
意分析
题
单
性，
合不等式有意
，分
，并
合同构特点利用
性解不等式可得
调
结
义
类讨论
结
单调
.
令G( x)= f (−x)，由−f
'( x)= f
'(−x)，
则G
'( x)=−f
'(−x)= f
'( x)，故G( x)= f (−x)= f ( x)+C，
由x∈R，令x =0，则f (0)= f (0)+C，故C =0，
故f (−x)= f ( x)，可知
偶函数；
为
令
，则g
'( x)= x f
'( x)−f ( x)
x
2
， 
当x>0
，由
时
f (x)−x f
'( x)<0，则g
'( x)>0，即
在(0,+∞)上
格
增，
严
递
当
则
x>0
，
时g( x)= f ( x)
x
> g(0)=0，则
；
由偶函数
则
称性可知，当
对
x<0
，
时
.
由f (1)=e，则g(1)= f (1)
1
=e.
不等式
可化为
f (2ln x)<2eln x
，其中
x>0
且
x≠1
.
当0< x<1
，
时2ln x<0，则f (2ln x)>0,2eln x<0，
故不等式f (2ln x)<2eln x无解；
当x>1
，
时2ln x>0，可得f (2ln x)
2ln x
< f (1)
1
，即g(2ln x)< g(1)，
由
在(0,+ ∞)上
格
增，可知
严
递
2ln x<1，解得x<❑√e，
所以1< x<❑√e；
上所述，不等式的解集
综
为(1,❑√e).
故
：
选D.
【点睛】关
点点睛：根据
意中
函数
足的不等关系及所求解不等式，构造函数
键
题
导
满
f ( x)
x
，利用新函数的
性
单调
求解抽象不等式.
【典型例题3】函数f (x)的定
域
义
为
，且
，f (0)=3，
不等式
则
f (x)>2e
x+1的解集
（
为    ）
A．(−∞,0)
B．(0,+ ∞)
C．(−∞,1)
D．(1,+∞)
【答案】B
【解析】构造一个新的函数，然后根据函数的
性来确定不等式的解集
单调
.
设g( x)= f ( x)−1
e
x
.
对
求
，
导则g
'( x)= f
'( x)e
x−(f ( x)−1)e
x
(e
x)
2
= f
'( x)−f ( x)+1
e
x
.
已知f ( x)<f
'( x)+1，即f
'( x)−f ( x)+1>0，而
恒成立，所以g
'( x)>0恒成立.
明函数
这说
在R上
增
单调递
. 
已知f (0)=3
，则
. 
不等式f ( x)>2e
x+1可
形
变
为f ( x)−1>2e
x，即f ( x)−1
e
x
>2，也就是g( x)>g(0).
因为
在R上
增，所以
单调递
x>0. 
不等式f ( x)>2e
x+1的解集为
，.
故
：
选B
【变式训练7-1】已知函数y = f (x)
于任意的
对
x∈(−π
2 , π
2)
足
满
f
' (x)cos x + f (x)sin x>0（其中f
' (x)是
函数f (x)的
函数），
下列不等式成立的是（
导
则
   ）
A．
B．
❑√2f(−π
3)>f(−π
4)
C．❑√2f(
π
3)>f(
π
4)
D．f (0)>2f(
π
3)
【答案】C
【解析】构造g(x)= f (x)
cos x
，利用
数研究
性，再依次比
各
函数
大小即可
导
单调
较
项对应
值
.
设g(x)= f (x)
cos x
，则g
' (x)= f
' (x)cos x + f (x)sin x
cos
2 x
>0，则
在(−π
2 , π
2)上
增，
单调递
于
对
A，f (0)
cos0 <
f(
π
4)
cos π
4
，化
得
简
f (0)<❑√2f(
π
4)，
；
错
于
对
B，
f(−π
3)
cos(−π
3)
<
f(−π
4)
cos(−π
4)
，化
得
简
❑√2f(−π
3)<f(−π
4)，
；
错
于
对
C，
，化
得
简
❑√2f(
π
3)>f(
π
4)
，
；
对
于
对
D，f (0)
cos0 <
f(
π
3)
cos π
3
，化
得
简
f (0)<2f(
π
3)，错.
故
：
选C
【变式训练7-2】定
在
义
上的函数
足
满
x f
'( x)−1>0，
下列
正确的是（
则
结论
    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由x f
'( x)−1>0构造函数g( x)= f ( x)−ln x , x>0，判断
的
性，
合
和函数的
性比
单调
结
选项
单调
函数
的大小即可
较
值
.
构造函数g( x)= f ( x)−ln x , x>0，则g
'( x)= f
'( x)−1
x = x f
'( x)−1
x
，
因为x f
'( x)−1>0，所以g
'( x)>0，故
是增函数.
由g(2)>g(1)得，
，
即
，故A 正确；
由
得，
，
即
，故B 正确；
由g(e)>g(2)得，
，
即
，故C
；
错误
由g(e
2)> g(e)得，f (e
2)−ln e
2>f (e)−ln e，
即f (e
2)−2>f (e)−1，即f (e
2)−f (e)>1，故D 正确.
故
：
选ABD．
【变式训练7-2】已知函数
是定
在
义
上的偶函数，其
函数
导
为f
'( x)，且当x<0
，
时
2f ( x)+ x f
'( x)<0，
不等式
则
的解集为 
【答案】
或
【解析】由
意构造
题
F( x)= x
2f ( x)，
而
进
在
上是增函数，根据奇偶函数的定
判断
义
的奇偶性，
原不等式等价于
，
合函数的奇偶性和
性解不等式即可
结
单调
.
令F( x)= x
2f ( x)，
则F
' (x)=2 xf (x)+ x
2f
' (x)= x[2f (x)+ x f
' (x)]，
由当x<0
，
时2f ( x)+ x f
'( x)<0，所以F
'( x)= x[2f ( x)+ x f
'( x)]>0，
即
在
上是增函数，
由
意
题
是定
在
义
R上的偶函数，所以f (−x)= f ( x)，
所以F(−x)=(−x)
2f (−x)= x
2f ( x)= F( x)，
所以
是偶函数，在
减，
递
所以
，
，
即不等式等价为
，
所以
，解得x<2023或x>2025．
故答案
：
为
或
【变式训练7-3】定
在
义
(0,+ ∞)上的函数f (x)的
函数
导
为f
' (x)，当x>0
，
时x f
' (x)<2，且f (e)=5，
不等
则
式f (x
2)−4 ln x<3的解集为          ．
【答案】(❑√e ,+∞)
【解析】构造g(x)= f (x
2)−4ln x−3，求
得出函数的
性，利用
性解不等式即可．
导
单调
单调
解：令g(x)= f (x
2)−4ln x−3
则g(❑√e)= f (e)−4 ln ❑√e−3=5−2−3=0，g
' (x)=2 x f
'(x
2)−4
x =2(
x
2f
'(x
2)−2
x
)，
∵当x>0
，
时x f
' (x)<2，
所以当x
2>0
，
时x
2f
'(x
2)<2，
∴g
' (x)<0，故g(x)在(0,+∞)上
减函数，
为
令g(x)= f (x
2)−4 ln x−3<0，
则g(x)< g(❑√e)，
所以
，
故不等式f (x
2)−4ln x<3的解集为(❑√e ,+ ∞)
故答案
：
为(❑√e ,+ ∞)
题型08：通过变量构造具体函数
【典型例题1】若e
x +1+ x +2> y +1+ ln y，
（
则    ）
A．x +1>ln y
B．x +1<ln y
C．x
2> y
D．x
2> y
【答案】A
【解析】首先构造函数f (x)= ln x + x +1，利用函数的
性即可得到
果
单调
结
.
构造函数f (x)= ln x + x +1，定
域
义
为(0,+ ∞)，
求
得
导
f
' (x)=1+ 1
x = x +1
x
，当x>0
，
时f
' (x)>0，函数f (x)
增；
单调递
又因为e
x +1+ x +2> y +1+ ln y，即f (e
x +1)>f ( y)，
由函数的
性得
单调
e
x +1> y ⇒x +1>ln y，
故
：
选A
【典型例题2】已知
，
（
则   ）
A．
B．b ln a>1
C．
D．
【答案】C
【解析】当a∈(0,1)
，
时ln a<0，因为
，即可判断选项A；由e
1
b =ab(1+ ln a)，得
，构造函数f (x)= x e
x
，利用
数分析函数的
性，利用
性比
导
单调
单调
较
大小，即可判断选项C；由C知
，两
取
数即可判断
边
对
选项B；由
，所以ab(1+ ln a)>a，即可判断
选项D.
于
对
A
，当
选项
a∈(0,1)
，
时ln a<0，因为
，所以A
；
错误
于
对
C
，
选项a>0,b>0，由e
1
b =ab(1+ ln a)，
得
，
令f (x)= x e
x，则f(
1
b)>f (ln a)，f
' (x)=(x +1)e
x，由f
' (x)>0，
得x>−1，由f
' (x)<0，得x<−1，
函数
则
f (x)在(−∞,−1)上
减，
单调递
在(−1,+ ∞)上
增，且
单调递
x<0
，
时f (x)<0，当x>0
，
时
f (x)>0，如
，因
图
为a>0，由f(
1
b)>f (ln a)，得
，即
，
所以
，选项C 正确；
于
对
B
，由
选项
C知
，则
即
，所以B
；
错误
于
对
D
，因
选项
为e
1
b >a,e
1
b =ab(1+ ln a)，
所以ab(1+ ln a)>a，得b(1+ ln a)>1，D 错误.
故
：
选C．
【典型例题3】已知α , β ∈[−π
2 , π
2]，且α sinα −β sin β <0，
（
则   ）
A．α < β
B．
C．α > β
D．α
2> β
2
【答案】B
【解析】构造函数f (x)= x sin x，通
其
性和奇偶性即可求解；
过
单调
构造函数f (x)= x sin x，易知其
偶函数，
为
f
' (x)=sin x + x cos x，
当x∈−π
2 ,0)
，
时sin x<0, x cos x<0，所以f
' (x)<0，
当x∈0, π
2
，
时sin x>0, x cos x>0，所以f
' (x)>0，
所以f (x)= x sin x在x∈−π
2 ,0)
减，
单调递
x∈0, π
2
增，又其
偶函数，
单调递
为
所以α sinα −β sin β <0即α sinα < β sin β，
等价于|α|<|β|，即
，
故
：
选B
【变式训练8-1】已知角α、
足：
满
0<α <π，0< β <π，且α + β +sin α +cos β > 3 π
2
，
一定有（
则
   ）
A．cosα >0
B．cos β >0
C．sin α +cos β >0
D．cosα +sin β <0
【答案】D
【解析】α +sin α > 3 π
2 −β −cos β = 3 π
2 −β +sin(
3 π
2 −β)，
令f (x)= x +sin x，因为f
' (x)=1+cos x ≥0，
所以f (x)
增，所以
单调递
α > 3 π
2 −β，
因为0<α <π，0< β <π，所以π >α > 3 π
2 −β > π
2
，故π > β > π
2
，
故cosα <0，cos β <0，故AB
，
错误
因为y =sin x在(
π
2 ,π)上
减，
单调递
所以sin α <sin(
3 π
2 −β)=−cos β，即sin α +cos β <0，C
，
错误
又y =cos x在(
π
2 ,π)上
减，
单调递
所以cosα <cos(
3 π
2 −β)=−sin β，即cosα +sin β <0,D 正确，
故选: D．
【变式训练8-2】已知α ，β ∈(0,π )，α ≠β，若α
3−β
3=cosα −2cos β，
下列
一定成立的是
则
结论
（    ）
A．sinα <sin β
B．sinα >sin β
C．cosα <cos β
D．cosα >cos β
【答案】A
【解析】构造函数f (x)= x
3−cos x并利用
函数判断函数的
性，然后分
导
单调
0< β < π
2 , β = π
2 , π
2 < β <π三种情
况
，然后根据三角函数的
性即可得
讨论
单调
令f (x)= x
3−cos x，得f
' (x)=3 x
2+sin x，
若x∈(0,π )，则f
' (x)=3 x
2+sin x>0
所以f (x)= x
3−cos x在(0,π )上
增，
单调递
当0< β < π
2
，
时则0<cos β <1，
所以α
3−β
3=cosα −2cos β <cosα −cos β ,∴α
3−cosα < β
3−cos β，
又f (x)= x
3−cos x在(0,π )上
增，所以
单调递
0<α < β < π
2 ,∴sin α <sin β，cosα >cos β，
当β = π
2
，
时α
3−β
3=cosα −2cos β =cosα −cos β ,∴α
3−cosα = β
3−cos β，
又f (x)= x
3−cos x在(0,π )上
增，所以
单调递
α = β = π
2
，不合
意；
题
当π
2 < β <π
，
时−1<cos β <0，
所以α
3−β
3=cosα −2cos β >cosα −cos β ,∴α
3−cosα > β
3−cos β，
又f (x)= x
3−cos x在(0,π )上
增，
单调递
所以π >α > β > π
2
，所以cosα <cos β，
，
上可得
综
，
故
：
选A
【点睛】关
点点睛：构造
键
f (x)= x
3−cos x判断
性，然后分
，利用放
法
单调
类讨论
缩
对
α
3−β
3=cosα −2cos β
形，
合正余弦函数的
性即可得
变
结
单调
.
【变式训练8-3】已知a>e，b>e，且a(1+lnb)=(1+eb)lna，其中e
自然
数的底数，
下列
正确
为
对
则
结论
的是（   ）
A．lna−lnb>1
B．ea<b
C．2
lna+2
lnb>6
D．ab>e
3
【答案】ACD
【解析】原因
形
变
为a
lna = 1+eb
1+lnb >
eb
1+lnb
，
而
形
进
变
为e
ln a
lna > e
1+lnb
1+lnb
，令f ( x)= e
x
x ( x>1)，求
可得函
导
数
在
上
增，从而可得
单调递
ln a>1+ ln b，可判断A；
而
算可得
进
计
a>eb，判断B；
而得
进
a>eb>e
2，
算可判断
计
CD.
因为a>e，b>e，所以ln a>1,ln b>1，
又因为a(1+lnb)=(1+eb)lna，所以a
lna = 1+eb
1+lnb >
eb
1+lnb
，
所以e
ln a
lna > e
1+lnb
1+lnb
，令f ( x)= e
x
x ( x>1)，求
得
导
f
'( x)= e
x x−e
x
x
2
= e
x(x−1)
x
2
，
当x>1
，
时f
'( x)>0，所以函数
在
上
增，
单调递
所以ln a>1+ ln b，所以lna−lnb>1，故A 正确；
所以ln a
b >ln e，所以
，所以a>eb，故B
；
错误
因为a>eb>e
2，所以2
lna+2
lnb>2
ln eb+2
lnb>2
ln e
2
+2
lnb>4+2=6，故C 正确；
又b>e，所以ab>e b
2>e
3，故D 正确.
故
：
选ACD.
【点睛】关
点点睛：关
在于由原式
形放
得到
键
键
变
缩
e
ln a
lna > e
1+lnb
1+lnb
，
而构造函数
进
f ( x)= e
x
x ( x>1)，通过单调
性解决问题.
题型09：通过数值构造具体函数
【典型例题1】若a= 2❑√2
ln2❑√2 ,b= 2
ln2 ,c = 3
ln3
，
（
则    ）
A．
B．
C．
D．b<a<c
【答案】C
【解析】根据
意可通
构造函数
题
过
f (x)=
x
ln x ( x>0且x≠1)，利用
数求出其
性，即可比
得出各数的大
导
单调
较
小.
因为a= 2❑√2
ln2❑√2 ,b= 2
ln2 ,c = 3
ln3
，所以构造函数f (x)=
x
ln x ( x>0且x≠1)，
则f
' (x)=ln x−1
(ln x)
2 ，
当x∈(0,1)
，
时f
' (x)<0，所以f (x)在(0,1)上
减，
单调递
当x∈(1,e)
，
时f
' (x)<0，所以f (x)在(1,e)上
减；
单调递
当x∈(e,+∞)
，
时f
' (x)>0，所以f (x)在(e,+ ∞)上
增；
单调递
上可知，
综
f (x)=
x
ln x
在(0,1)与(1,e)上
減，在
单调递
(e ,+ ∞)上
增
单调递
.
所以b= 2
ln2 =
4
ln 4 = f (4)>f (3)= 3
ln3 =c.
又因为e<2❑√2<3，所以c = 3
ln3 = f (3)>f (2❑√2)= 2❑√2
ln2❑√2 =a，
可得
.
故
：
选C.
【典型例题2】已知x = ln 3
2 −❑√3，y = ln 5
3 −❑√
10
3
，z = ln 2−2，
（
则    ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．
D．
【答案】C
【解析】构造函数f (x)= ln x−❑√2 x，
有
则
x = f(
3
2)、y = f(
5
3)、z = f (2)，
合
数
算可得其
性，即可
结
导
计
单调
得解.
令f (x)= ln x−❑√2 x，则f
' (x)= 1
x −
1
❑√2 x =
❑√2−❑√x
❑√2 x
，
当
则
x∈(0,2)
，
时f
' (x)>0，当x∈(2,+ ∞)
，
时f
' (x)<0，
即f (x)在(0,2)上
增，在
单调递
(2,+∞)上
减，
单调递
又x = ln 3
2 −❑√3= f(
3
2)、y = ln 5
3 −❑√
10
3 = f(
5
3)、z = ln 2−2= f (2)，
由3
2 < 5
3 <2，故
.
故
：
选C.
【变式训练9-1】设a=ln2
2
，b=ln3
2❑√3
，c = 1
e
则a,b,c的大小关系
（
为    ）
A．
B．b<a<c
C．b<c<a
D．
【答案】B
【解析】根据已知条件构造函数f (x)=ln x
x
，利用
数判断函数
导
f (x)在区间(0,e)
增，根据函数的
性
单调递
单调
得不等式ln3
2❑√3 <ln2
2 < 1
e ，可得b<a<c．
设f (x)=ln x
x
，（x>0），则f
' (x)= 1−ln x
x
2
.
令f
' (x)>0得0< x<e，所以函数f (x)在区间(0,e)
增
单调递
.
因为❑√3<2<e，所以f (❑√3)<f (2)<f (e)，
即ln ❑√3
❑√3 <ln2
2 < 1
e
，即ln3
2❑√3 <ln2
2 < 1
e ，所以b<a<c．
故
：
选B
【变式训练9-2】设a= ln 4
4 ，b= 4−ln 4
e
2
，
，
（
则    ）
A．
B．b<c<a
C．
D．
【答案】D
【解析】易得a= ln 2
2
，b=
ln e
2
2
e
2
2
，c = ln ❑√e
❑√e
，构建函数f (x)= ln x
x
，求
判断其
性，利用
性比
大小即
导
单调
单调
较
可.
由
意可得
题
a= ln 4
4 = ln2
2
，b= 4−ln 4
e
2
=
ln e
2
2
e
2
2
，c =
❑√e
2e = ln ❑√e
❑√e
，
设f (x)= ln x
x
，x>0，则f
' (x)= 1−ln x
x
2
，
故当x∈(0,e)
，
时f
' (x)>0，f (x)
增，
单调递
当x∈(e ,+ ∞)
，
时f
' (x)<0，f (x)
减，
单调递
因为a= f (4)= f (2)，b= f(
e
2
2)，c = f (❑√e)，且0<❑√e<2<e< e
2
2 <4，
可得a= f (2)>f (❑√e)=c，a= f (4)<f(
e
2
2)=b，所以
.
故
：
选D.
【变式训练9-3】已知a= 1
e ，b= ln5
5 ，c = 2
5，则a，b，c 的大小关系
（
为   ）
A．b<c<a
B．
C．
D．b<a<c
【答案】D
【解析】构造函数f (x)= ln x
x
得出函数
性可知
单调
a= f (e)>b= f (5)，再由e的近似
可得
值
结论.
令f (x)= ln x
x
，则f
' (x)= 1−ln x
x
2
，
当x∈(0,e)
，
时f
' (x)>0，f (x)
增；
单调递
当x∈(e ,+∞)
，
时f
' (x)<0，f (x)
减，
单调递
当x =e
，
时f (x)取得极大
，
值则a= 1
e = f (e)>b= ln5
5 = f (5)，c = 2
5 = 1
2.5 > 1
e
，
故b<a<c．
故
：
选D
【变式训练9-4】已知a，b，c∈(0,1)，且a−5= ln a−ln5，b−4 = ln b−ln 4，c−3= ln c−ln3，则a，
b，c 的大小关系是      .（用“<”号
接）．
连
【答案】
【解析】由
意构造函数，求
研究其
性，根据
目中的等式，
函数
的大小，可得答案
题
导
单调
题
对应
值
.
构造函数f ( x)= x−ln x( x∈(0,+∞))⇒f
'( x)=1−1
x = x−1
x
，
当0< x<1
，
时f
'( x)<0,f ( x)
减，
单调递
当x>1
，
时f
'( x)>0,f ( x)
增，
单调递
a−5= ln a−ln5⇒a−ln a=5−ln5⇒f (a)= f (5)，
b−4 = ln b−ln 4⇒b−ln b= 4−ln 4⇒f (b)= f (4)，
c−3= ln c−ln3⇒c−ln c =3−ln3⇒f (c)= f (3)，
因为5>4>3>1，所以f (5)>f (4)>f (3)，即
，
而a，b，c∈(0,1)，所以
，
故答案
：
为
.
题型10：切线放缩与泰勒展开式
常用放缩：e
x≥x +1，ln x ≤x−1，x ≥sin x
放缩结论补充1：不等式e
x−1>tan x> x>ln (x +1)，x∈(0,1)
4
3
2
1
3
2
1
O
x
y
y1= tanx
y2= ex- 1
y3= x
y4 = ln(x + 1)
放缩结论补充2：e
x≤
1
1−x , x∈(−∞，1)
对于e
x−1≥x，该不等式在R 上恒成立，若令x =−x，则有
e
−x−1≥−x⇒1
e
x ≥1−x，当x<1时，不等式两边同乘e
x
1−x
，则有
1
1−x ≥e
x，
最后得出x +1≤e
x≤
1
1−x , x∈(−∞，1)
放缩结论补充3：x−1
x
≤ln x
对于x−1≥ln x，令x = 1
x
，则有1
x −1≥ln 1
x ⇒1−x
x
≥−ln x，可得x−1
x
≤ln x.
【典型例题1】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，
（
则    ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】A
【解析】由c
b = 4tan 1
4
合三角函数的性
可得
结
质
c>b;构造函数f (x)=cos x + 1
2 x
2−1, x∈(0,+∞),利用导
数可得b>a,即可得解.
[方法一]：构造函数
因
当
为
x∈(0, π
2), x<tan x
故c
b = 4 tan 1
4 >1，故c
b >1，所以c>b；
设
，
f
'( x)=−sin x + x>0，所以
在
增，
单调递
故f(
1
4)>f (0)=0，所以
，
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法二]：不等式放缩
因
当
为
x∈(0, π
2),sin x< x，
附：常用公式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
取x = 1
8
得：cos 1
4 =1−2sin
2 1
8 >1−2(
1
8)
2
= 31
32
，故b>a
4 sin 1
4 +cos 1
4 = ❑√17sin(
1
4 +φ)，其中φ∈(0, π
2)，且sin φ =
1
❑√17 ,cosφ =
4
❑√17
当4 sin 1
4 +cos 1
4 = ❑√17
，
时1
4 +φ= π
2
，及φ= π
2 −1
4
此时sin 1
4 =cosφ =
4
❑√17
，cos 1
4 =sin φ =
1
❑√17
故cos 1
4 =
1
❑√17 <
4
❑√17 =sin 1
4 <4 sin 1
4 ，故
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法三]：泰勒展开
设x =0.25，则a= 31
32 =1−0.25
2
2
，b=cos 1
4 ≈1−0.25
2
2
+ 0.25
4
4!
，
c = 4sin 1
4 =
sin 1
4
1
4
≈1−0.25
2
3!
+ 0.25
4
5!
，
算得
计
c>b>a，故选A.
[方法四]：构造函数
因为
，因
当
为
x∈(0, π
2),sin x< x<tan x，所以
,即
c
b >1，所以c>b；设
，f
'( x)=−sin x + x>0，所以
在
增，
单调递
则f(
1
4)>f (0)=0,
所以
，所以b>a,所以c>b>a，
故
：
选A．
[方法五]：【最
解】不等式放
优
缩
因为
，因
当
为
x∈(0, π
2),sin x< x<tan x，所以
,即c
b >1，所以c>b；因
当
为
x∈(0, π
2),sin x< x，取x = 1
8
得cos 1
4 =1−2sin
2 1
8 >1−2(
1
8)
2
= 31
32
，故b>a
，所以c>b>a
．
故
：
选A．
【整体点
】方法
评
4：利用函数的
性比
大小，是常
思路，
点在于构造合适的函数，属于通性通法；
单调
较
见
难
方法5：利用二倍角公式以及不等式x∈(0, π
2),sin x< x<tan x放
，即可得出大小关系，属于最
解．
缩
优
【典型例题2】已知a=ln1.01，b=1.01，c =e
0.01
（
则   ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造函数f (x)=e
x−(x +1)，通
其
性可判断
过
单调
c>b>1，
而可求解
进
.
易知a=ln1.01<1，c =e
0.01>1，
构造函数f (x)=e
x−(x +1)，
求导f
' (x)=e
x−1，易知当x ≥0
，
时f
' (x)=e
x−1≥0，f (x)
增；
单调递
所以f (0.01)=e
0.01−(0.01+1)>f (0)=0，
所以c>b>1，
所以
，
故
：
选A
【典型例题3】已知a= ln 10
9 ，b= 1
9 ，c =e
−8
9，
（
则   ）
A．
B．
C．
D．b<c<a
【答案】B
【解析】利用
数可
导
证ln x−x +1≤0，故可得e
x−1≥x，从而可得三数的大小关系.
令f ( x)= ln x−x +1，所以f
'( x)= 1
x −1= 1−x
x
，
当
，
时f '( x)>0，
增，
单调递
当x∈(1,+∞)
，
时
，
减，所以
单调递
f ( x)≤f (1)=0，所以f ( x)≤0，
当且
当
仅
x =1
取等号，
当
时
则
x = 10
9
，
时f(
10
9 )= ln 10
9 −10
9 +1<0，
即ln 10
9 < 1
9
，所以a<b；
因为ln x−x +1≤0，故e
x−1≥x，当且
当
仅
x =1
等号成立，
时
故e
−8
9 =e
1
9 −1
> 1
9
，故
．
上可知
综
．
故
：
选B．
【变式训练10-1】已知a=cos 1
5
，b= 49
50
，c = ln 99
50
，
（
则   ）
A．
B．
C．
D．b<c<a
【答案】B
【解析】构造函数f ( x)=cos x + 1
2 x
2−1(0< x<1)，利用
性可判断
单调
a,b的大小，构造函数
g( x)= ln x−x +1( x>1)，利用
性可判断
单调
b,c的大小，
而可得
进
结论.
令f ( x)=cos x + 1
2 x
2−1(0< x<1)，求
得
导
f
'( x)=−sin x + x，
令
，所以h
'( x)=−cos x +1>0，所以
在(0,1)上
增，
单调递
所以h( x)>h(0)=0，所以f
'( x)>0，所以
增，
单调递
所以f ( x)>f (0)=cos0+ 1
2 ×0
2−1=0，所以cos x + 1
2 x
2−1>0，
所以cos x>−1
2 x
2+1，所以cos 1
5 >−1
2 ×(
1
5)
2
+1= 49
50
，即
，
令g( x)= ln x−x +1( x>1)，求
得
导
g
'( x)= 1
x −1= 1−x
x
<0，
所以
在
上
减，所以
单调递
g( x)<g(0)= ln1−1+1=0，
所以ln x−x +1<0，所以ln x< x−1( x>1)，所以ln 99
50 < 99
50 −1= 49
50
，
所以c<b，所以
.
故
：
选B.
【变式训练10-2】已知
，
（
则   ）
A．
B．
C．
D．b<a<c
【答案】B
【解析】利用sin x< x (x>0), x−1≥ln x ≥2(x−1)
x +1
算即可
计
.
令f (x)= x−sin x (x>0),g(x)= x−1−ln x ,h(x)= ln x−2(x−1)
x +1
，
则f
' (x)=1−cos x ≥0,g
' (x)= x−1
x
,h
' (x)= 1
x −
4
(x +1)
2 = (x−1)
2
x (x +1)
2 ≥0，
然
显
0< x<1时g
' (x)<0，x>1时g
' (x)>0，
所以f (x),h(x)在(0,+ ∞)上
增，
单调递
g(x)在(0,1)上
减，在
单调递
(1,+ ∞)上
增，
单调递
所以f (x)>f (0)⇒sin x< x , g(x)≥g(1)=0⇒x−1≥ln x（x =1
取得等号），
时
h(x)≥h(1)=0(x ≥1)⇒ln x ≥2(x−1)
x +1
（x =1
取得等号），
时
故sin 1
2 < 1
2 =
2(
5
3 −1)
5
3 +1
<ln 5
3 < 2
3 <
❑√2
2
，即
.
故
：
选B
【变式训练10-3】设a=e
0.1−1，b= 1
11，c = ln1.1，
（
则    ）
A．b<c<a
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造函数f (x)= ln x + 1
x , x>0，利用
数求得
导
f (x)的
性和最小
，得到
单调
值
ln x>1−1
x
，得出c>b；再
构造函数g(x)=e
x−1−1−ln x , x>1，求得
在(1,+∞)上
增，
合
递
结
g(x)>g(1)=0，得到a>c，即可求
解.
构造函数f (x)= ln x + 1
x , x>0，则f
' (x)= 1
x −1
x
2 , x>0，
令f
' (x)=0
，可得
时
x =1，
当0< x<1
，
时f
' (x)<0，f (x)
减；
单调递
当x>1
，
时f
' (x)>0，f (x)
增．
单调递
所以函数f (x)在x =1
取最小
处
值f (1)=1，所以ln x>1−1
x
，（x>0且x≠1），
可得ln1.1>1−10
11 = 1
11
，所以c>b；
再构造函数g(x)=e
x−1−1−ln x , x>1，可得g
' (x)=e
x−1−1
x
，
因为x>1，可得e
x−1>1，1
x <1，所以g
' (x)>0，
在(1,+∞)上
增，
递
所以g(x)> g(1)=0，可得e
1.1−1−1>ln1.1，即e
0.1−1>ln1.1，所以a>c，
上可得：
综
b<c<a.
故
：
选A.
【变式训练10-4】已知a= ln1.1，b=e
0.1−1，c =sin 0.1，则a，b，c 的大小关系
（）
为
A．a>b>c
B．b>a>c
C．b>c>a
D．c>b>a
【答案】C
【解析】构造函数f (x)=e
x−1−sin x以及函数g(x)= ln (x +1)−sin x，分
利用
数研究其
性，
而根
别
导
单调
进
据
性比
函数
的大小
单调
较
值
.
令f (x)=e
x−1−sin x，∴f
' (x)=e
x−cos x，
当x>0
，
时e
x>1，∴e
x−cos x>0，∴f
' (x)>0，f (x)
增，
单调递
∴f (0.1)>f (0)，即e
0.1−1−sin 0.1>0，∴e
0.1−1>sin 0.1，即b>c；
令g(x)= ln (x +1)−sin x，
∴g
' (x)=
1
x +1 −cos x = 1−(x +1)cos x
x +1
= 1−x cos x−cos x
x +1
，
令h(x)=1−x cos x−cos x，∴h
' (x)=(x +1)sin x−cos x 
令φ(x)=(x +1)sin x−cos x，∴φ
' (x)=2sin x +(x +1)cos x，
当0< x< π
6
，
时φ
' (x)>0，∴h
' (x)
增，
单调递
∴h
' (x)<h
'(
π
6)=(
π
6 +1)sin π
6 −cos π
6 = π +6(1−❑√3)
12
<0，
在x∈(0,0.1)上
减，
单调递
∴h(x)<h(0)=0，
∴g
' (x)<0，∴g(x)在x∈(0,0.1)上
减，
单调递
∴g(0.1)< g(0)=0，即ln1.1−sin 0.1<0，∴c>a 
上所述
综
b>c>a.
故选:C.
一、选填题
1．函数f ( x)=−ln x +2 x
2的
增区
是（
单调递
间
    ）
A．(−1
2 ,0)和(
1
2 ,+ ∞)
B．(−∞,−1
2)∪(
1
2 ,+∞)
C．
D．(
1
2 ,+∞)
【答案】D
【解析】先求得f
'( x)，令f
'( x)>0求解即可．
函数f ( x)=−ln x +2 x
2的定
域
义
为
，
，
令f
'( x)>0，可得x> 1
2
，
所以
的
增区
是
单调递
间(
1
2 ,+ ∞)．
故
：
选D．
2．若函数
在[−6,−4]上
减，
单调递
则a 的取
范
（
值
围为    ）
A．
B．
C．−1
6 ,+∞)
D．−∞,−1
6
【答案】D
【解析】依据
意
化
函数恒成立
，再利用分离参数法求解即可
题
转
为导
问题
.
因为
，所以f
'( x)=3a x
2−2 x，
因为
在[−6,−4]上
减，所以
单调递
3a x
2−2 x ≤0对x∈[−6,−4]恒成立，
得到3a x
2≤2 x，即
对x∈[−6,−4]恒成立，
令
，则a≤g( x)min
于
对
x∈[−6,−4]恒成立，
当x∈[−6,−4]
，由反比例函数性
得
时
质
在[−6,−4]上
减，
单调递
得到
，即a∈−∞,−1
6 ，故D 正确.
故
：
选D
3．已知a= 2
❑√e ,b=
1
eln ❑√2 ,c = 4
5
4√e（其中e
自然
数的底数），
为
对
则a,b,c的大小关系
（
为    ）
A．
B．b<a<c
C．
D．
【答案】C
【解析】根据a,b,c式子特点，构建函数f (x)= 1
e ⋅e
x
x ( x>0)，利用
数判断函数的
性，利用函数
性比
导
单调
单调
大小，
可得
果
较
则
结
.
根据a,b,c的形式
化可得
转
a= 2
❑√e = 1
e ⋅e
1
2
1
2
,b=
1
eln ❑√2 = 1
e ⋅e
ln2
ln2 ,c = 4
5
4√e = 1
e ⋅e
5
4
5
4
，
从而构造函数f (x)= 1
e ⋅e
x
x ( x>0)，
则a= f(
1
2),b= f (ln2),c = f(
5
4)，
∵f
' (x)= 1
e ⋅e
x(x−1)
x
2
，
当0< x<1
，
时f
' (x)<0，当x>1
，
时f
' (x)>0，
所以函数f (x)在(0,1)上
减，在
单调递
，
上
增，
单调递
∵0< 1
2 <ln2<1,∴f(
1
2)>f (ln2)，即
，
又f (ln 4)= 1
e ⋅e
ln 4
ln 4 = 1
e ⋅
4
2ln2 = 1
e ⋅2
ln2 = 1
e ⋅e
ln2
ln2 = f (ln2),ln 4> 5
4 >1，
所以f (ln 4)>f(
5
4)，即f (ln2)>f(
5
4),∴b>c ,∴a>b>c.
故
：
选C.
4．已知函数f ( x)=sin x−x cos x，若
，
，
，则a，b，c的大小关系
（
为    ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．b>c>a
D．c>b>a
【答案】B
【解析】利用
数
明函数在
导
说
(0,π )上的
性，
合
性判断即可
单调
结
单调
.
因为f ( x)=sin x−x cos x，
所以f
'( x)=cos x−cos x + x sin x = x sin x，
所以当x∈(0,π )
，
时f
'( x)>0，
所以
在(0,π )上
增，
单调递
因为0<sin 2<1<ln 4<2<e<π，
所以f (sin 2)<f (ln 4)<f (e)，即
．
故
：
选B．
5．若0< x1< x2<a都有
成立，则a的最大
（
值为    ）
A．1
2
B．1
C．e
D．2e
【答案】B
【解析】将所
不等式
化
给
转
为ln x1+1
x1
<ln x2+1
x2
，构造函数f (x)=ln x +1
x
(x>0)，利用
数研究函数
导
f (x)的
性，由此得出正确的
单调
选项.
根据
意，若
题
0< x1< x2<a，则
x2ln x1−x1ln x2< x1−x2⇒ln x1
x1
−ln x2
x2
< 1
x2
−1
x1
⇒ln x1+1
x1
<ln x2+1
x2
.
设f (x)=ln x +1
x
(x>0).
所以可得f (x)=ln x +1
x
(x>0)在
，函数f (x)
增函数
为
.
于
对
f (x)=ln x +1
x
，其
数
导
f
' (x)= 1−(ln x +1)
x
2
=−ln x
x
2 .
若f
' (x)>0，解得0< x<1，即函数f (x)=ln x +1
x
的
增区
递
间为(0,1)；
若0< x1< x2<a都有
成立，即在
，函数f (x)
增函数，
为
则a的最大值为1.
故
：
选B.
6．已知函数f (x)=ae
x−ln x在区间
上
增，
数
单调递
则实
a的最小
（
值为    ）
A．
B．2e
2
C．1
2e
2
D．1
e
2
【答案】C
【解析】根据
性将
化
单调
问题转
为f
' (x)=ae
x−1
x ≥0在
上恒成立，分离参数，构造函数
g(x)= x e
x, x∈(2,3)，利用
数求解
性得最
求解
导
单调
值
.
由于f (x)=ae
x−ln x在区间
上
增，故
单调递
f
' (x)=ae
x−1
x ≥0在
上恒成立，
然
显
a>0，所以
x e
x≥1
a
，
设g(x)= x e
x , x∈(2,3)，所以
，所以
在
上
增，
单调递
g( x)> g(2)=2e
2，故2e
2≥1
a
，即a≥1
2e
2，即a的最小值为1
2e
2．
故
：
选C．
7．已知函数f (x)= x
3−mx +6ln x在定
域内
增，
数
义
单调递
则实
m的取
范
（
值
围为   ）
A．−∞,9
B．9,+ ∞)
C．(−∞,9)
D．(9,+∞)
【答案】A
【解析】先求
函数，再
用
增
函数大于等于
导
应
单调递
导
0，再构造函数求函数最小
，列不等式求参数范
即可
值
围
.
函数f (x)= x
3−mx +6ln x定
域
义
为(0,+ ∞)，f
' (x)=3 x
2−m+ 6
x
，
因
函数
为
f (x)= x
3−mx +6ln x在定
域内
增，所以
义
单调递
f
' (x)=3 x
2−m+ 6
x ≥0,
所以3 x
2+ 6
x ≥m在x∈(0,+ ∞)恒成立，所以(3 x
2+ 6
x)min
≥m
设t (x)=3 x
2+ 6
x
(x>0),t
' (x)=6 x−6
x
2 =6(
x
3−1
x
2 )，
所以x∈(0,1),t
' (x)<0,t (x)
减；
单调递
x∈(1,+ ∞),t
' (x)>0,t (x)
增；
单调递
所以t (x)min=t (1)=3+6=9，
所以m≤9.
故
：
选A.
8．已知定
在
义
上的函数f (x)的
函数
导
为f
' (x)，且
足
满
f
' (x)−2f (x)>0，f (1012)=e
2024，
不等式
则
f(
1
2 ln x)< x的解集
（
为    ）
A．(0,2024)
B．(0,e
2024)
C．
D．(e
2024,+ ∞)
【答案】B
【解析】令t = 1
2 ln x，不等式
化
转
为f (t )
e
2t <1，构造函数g(t )= f (t )
e
2t ，求
得到
性，
合
导
单调
结
g(1012)= f (1012)
e
2024
=1，得到g(t )< g(1012)，根据
性解不等式，求出解集
单调
.
令t = 1
2 ln x，则x =e
2t，
所以不等式f(
1
2 ln x)< x等价
化
不等式
转
为
f (t )<e
2t，即f (t )
e
2t <1，
构造函数g(t )= f (t )
e
2t ，则g
' (t )= f
' (t )−2f (t )
e
2t
，
由
意，
题
g
' (t )= f
' (t )−2f (t )
e
2t
>0，所以g(t )为
上的增函数，
又f (1012)=e
2024，所以g(1012)= f (1012)
e
2024
=1，
所以g(t )= f (t )
e
2t <1= g(1012)，解得t <1012，即1
2 ln x<1012，
所以0< x<e
2024.
故
：
选B
【点睛】思路点睛：利用函数f (x)与
函数
导
f
' (x)的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的
性解不
单调
等式，是高考常考
目，以下是构造函数的常
思路：
题
见
比如：若f (x)+ f
' (x)>0，
构造
则
g(x)=e
x⋅f (x)，
若f (x)−f
' (x)>0，
构造
则
g(x)= f (x)
e
x ，
若f (x)+ x f
' (x)>0，
构造
则
g(x)= xf (x)，
若f (x)−x f
' (x)>0，
构造
则
g(x)= f (x)
x
.
9．若a= 11
10 ln1.1,b= 1
10 e
0.1,c = 1
10
，
（
则    ）
A．b>a>c
B．a>b>c
C．b>c>a
D．a>c>b
【答案】A
【解析】构造函数f (x)= ln x−x +1，g(x)=e
x−x−1，即可比较a,b的大小，构造函数h(x)= ln x + 1
x −1，即
可比较a,c的大小，即可得解.
令f (x)= ln x−x +1，则f
' (x)= 1
x −1= 1−x
x
，
当0< x<1
，
时f
' (x)>0，当x>1
，
时f
' (x)<0，
所以函数f (x)在(0,1)上
增，在
单调递
(1,+ ∞)上
减，
单调递
所以f(
11
10)<f (1)=0，即ln1.1−1.1+1<0，即ln1.1< 1
10
，
所以a= 11
10 ln1.1< 11
10 × 1
10
，
令g(x)=e
x−x−1，则g
' (x)=e
x−1，
当x>0
，
时g
' (x)>0，
所以函数
在(0,+∞)上
增，
单调递
所以g(0.1)> g(0)=0，即e
0.1−0.1−1>0，即e
0.1> 11
10
，
所以b= 1
10 e
0.1> 1
10 × 11
10
，
所以b>a，
令h(x)= ln x + 1
x −1，则h
' (x)= 1
x −1
x
2 = x−1
x
2 ，
当0< x<1
，
时h
' (x)<0，当x>1
，
时h
' (x)>0，
所以函数h(x)在(0,1)上
减，在
单调递
(1,+ ∞)上
增，
单调递
所以h(
11
10)>h(1)=0，
即ln 11
10 + 10
11 −1>0，即ln 11
10 > 1
11
，
所以11
10 ln 11
10 > 11
10 × 1
11 = 1
10
，即a>c，
上所述
综
b>a>c.
故
：
选A.
【点睛】关
点点睛：构造函数
键
f (x)= ln x−x +1，g(x)=e
x−x−1， h(x)= ln x + 1
x −1，是解决本
的关
题
键.
10．已知a=0.02，b=e
−0.96，c = ln1.03，则a，b，c的大小关系是（    ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．a>b>c
【答案】B
【解析】利用指数函数的性
可得
质
b> 1
e
，构造函数
明
证
0.02<ln1.03<0.03即可比
大小
较
.
令f ( x)= ln(1+ x)−x ,0< x<1，求
得
导
f
'( x)=
1
1+ x −1<0，即函数
在(0,1)上
减，
单调递
则f (0.03)<f (0)=0，即ln1.03−0.03<0，因此ln1.03<0.03；
令g( x)= ln(1+3 x)−2 x ,0< x< 1
6
，求
得
导
g
'( x)=
3
1+3 x −2= 1−6 x
1+3 x >0，
函数
在(0, 1
6 )上
增，
单调递
则g(0.01)> g(0)=0，即ln1.03−0.02>0，因此ln1.03>0.02，
所以b=e
−0.96>e
−1= 1
e > 1
3 >c>a.
故
：
选B
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系
，看似与函数的
性无关，
心挖掘
的内在
系，抓住其本
问题
单调
细
问题
联
，构造函数，分析并运用函数的
性解
，它能起到化
易、化繁
的作用
质
单调
题
难为
为简
.
11．已知a=ln ❑√2
2
,b=ln3
6 ,c = 1
2e
，则a,b,c的大小
（
为   ）
A．b>c>a
B．a>b>c
C．b>a>c
D．c>b>a
【答案】D
【解析】设f ( x)= ln x
2 x , x>0，利用
数可得
导
在(0,e)上
增，在
单调递
(e,+ ∞)上
减，从而可得
单调递
c最
大，再根据
数的运算性
比
对
质
较a,b的大小即可.
解：因为a=ln ❑√2
2
=
1
2 ln2
2
=ln2
4
，c = 1
2e = ln e
2e
，
设f ( x)= ln x
2 x , x>0，
则f
'( x)=
1
x ⋅(2 x)−2ln x
(2 x)
2
= 1−ln x
2 x
2
，
所以当x∈(0,e)
，
时f
'( x)>0，
增；
单调递
当x∈(e,+∞)
，
时f
'( x)<0，
减；
单调递
所以a= f (2)<f (e)=c，b= f (3)<f (e)=c，
又因为a=ln2
4 =3ln2
12 =ln8
12 <ln9
12 =2ln3
12 =ln3
6 =b，
所以c>b>a.
故
：
选D.
【点睛】关
点睛：本
关
在于
察式子的共同特征，构造函数，利用
数判断
性，
而比
大小，然后
键
题
键
观
导
单调
进
较
结
合
数运算，利用作差法比
可得
对
较
.
12.(多选)
函数
设
，则(    )
A．
是
的极小
点
值
B．当
，
时
C．当
，
时
D．当
，
时
【答案】ACD
【解析】求出函数
的
数，得到极
点，即可判断
导
值
A；利用函数的
性可判断
单调
B；根据函数
在
上
的
域即可判断
值
C；直接作差可判断D.
对A，因
函数
为
的定
域
义
为R，而
，
易知当
，
时
，当
或
，
时
函数
在
上
增，在
递
上
减，在
递
上
增，故
递
是函数
的极小
点，正确；
值
对B，当
，
时
，所以
，
而由上可知，函数
在
上
增，所以
递
，
；
错误
对C，当
，
时
，而由上可知，函数
在
上
减，
递
所以
，即
，正确；
对D，当
，
时
，
所以
，正确；故
：
选ACD.
13.已知函数
在区间
上
增，
单调递
则a 的最小值为(    )．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【解析】根据
在
上恒成立，再根据分参求最
即可求出．
值
依
可知，
题
在
上恒成立，
然
显
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上
增，
单调递
，故
，即
，即a 的最小值为
．故
：
选C．
14.设
，若函数
在
上
增，
递
则a 的取
范
是
值
围
      .
【答案】
【解析】等价于
恒成立，据此可得
，由右
函数的
侧
单调
性可得
数
实
的二次不等式，求解二次不等式后可确定
数
实
的取
范
值
围.
由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，故
，
而
，故
，故
即
，故
，
合
意可得
数
结
题
实
的取
范
是
值
围
；故答案
：
为
二、解答题
1.已知函数
(1)当
，
时讨论
的
性；
单调
【答案】
解析
见
【解析】(1)求导,然后令
,
数的符号即可
讨论导
;
(1)
令
,则
；则
当
当
,即
；当
,即
.
所以f ( x)在(0, π
4 )上
增
单调递
,在( π
4 , π
2 )上
减
单调递
2.已知函数
．
(1)讨论
的
性；
单调
【答案】
解析
见
【解析】(1)先求
，再分
导
类讨论
与
两种情况，
合
数与函数
性的关系即可得解；
结
导
单调
(1)因为
，定
域
义
为
，所以
，
当
，由于
时
，则
，故
恒成立，所以
在
上
减；
单调递
当
，令
时
，解得
，
当
，
时
，则
在
上
减；
单调递
当
，
时
，则
在
上
增；
单调递
上：当
综
，
时
在
上
减；
单调递
当
，
时
在
上
减，
单调递
在
上
增
单调递
.
3.已知函数
．
(2)若函数
在
增，求
单调递
的取
范
．
值
围
【答案】
解析
见
【解析】(2)即
在区间
上恒成立，整理
形可得
变
在区间
由函数的解析式可得
，
足
意
满
题
时
在区间
上恒成立.
令
，则
，
令
，原
等价于
问题
在区间
上恒成立，则
，
当
，由于
时
，故
，
在区间
上
减，
单调递
此时
，不合
意
题
;
令
，则
，当
，
，由于
时
，
所以
在区间
上
增，即
单调递
在区间
上
增，
单调递
所以
，
在区间
上
增，
单调递
，
足
意
满
题
.
当
，由
时
可得
，
当
，
时
在区间
上
减，即
单调递
减，
单调递
注意到
，故当
，
时
，
减，
单调递
由于
，故当
，
时
，不合
意
题
.
上可知：
数
综
实
得取
范
是
值
围
4.已知函数
(2)设
，
函数
讨论
在
上的
性；
单调
【答案】
解析
见
【解析】(2)在求一次
数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次
数，
即得解；
导
导
问题
(2)因为
， 所以
，
令
，则
，∴
在
上
增，
单调递
∴
;∴
在
上恒成立，∴
在
上
增
单调递
.
5.
函数
设
．
(1)求
的
区
；
单调
间
【答案】
解析
见
【解析】(1)求出函数的
数，
其符号后可得函数的
性
导
讨论
单调
.
(1)
，当
，
；当
，
，
故
的减区间为
，
的增区间为
.
6.已知函数
.
(1)讨论
的
性；
单调
【答案】
解析
见
【解析】(1)
的定
域
义
为
．由
得，
，
当
，
时
；当
时
；当
，
时
．
故
在区间
内
增函数，在区
为
间
内
减函数，
为
7.已知函数
．
(1)讨论
的
性；
单调
【答案】
解析
见
【解析】(1)首先求得
函数的解析式，然后分
确定函数的
性即可；
导
类讨论
单调
(1)由函数的解析式可得：
，
当
，若
时
，则
减，若
单调递
，则
增；
单调递
当
，若
时
，则
增，
单调递
若
，则
减，若
单调递
，则
增；
单调递
当
，
时
在
上
增；
单调递
当
，若
时
，则
增，
单调递
若
，则
减，若
单调递
，则
增；
单调递
8.已知
且
，函数
．
(1)当
，求
时
的
区
；
单调
间
【答案】
解析
见
【解析】(1)求得函数的
函数，利用
函数的正
与函数的
性的关系即可得到函数的
性；
导
导
负
单调
单调
(1)当
，
时
,
令
得
,当
，
时
,当
，
时
,
∴函数
在
上
增；
单调递
上
减；
单调递
9.已知函数
．
(1)讨论
的
性；
单调
【答案】
解析
见
【解析】(1)首先求得
函数的解析式，然后分
函数的符号即可确定原函数的
性；
导
类讨论导
单调
(1)由函数的解析式可得：
，
函数的判
式
导
别
，
当
，
时
在R 上
增，
单调递
当∆= 4−12a>0即a< 1
3
，
时f
'( x)=0的解
：
为
，
当
，
时f
'( x)>0，f ( x)
增；当
单调递
，
时f
'( x)<0，f ( x)
减；
单调递
当
，
时f
'( x)>0，f ( x)
增；
单调递
上可得：当
综
a≥1
3
，
时f ( x)在R 上
增，
单调递
当a< 1
3
，
时f ( x)在
，
上
增，在
单调递
上
减
单调递
.
10.
函数
设
，其中
.
(1)讨论
的
性；
单调
【答案】
解析
见
【解析】(1)求出函数的
数，
其符号后可得函数的
性
导
讨论
单调
.
(1)函数的定
域
义
为
，又
，因为
，故
，
当
，
时
；当
，
时
；所以
的减区间为
，增区间为
.
11.已知函数
.
(1)当
，
时讨论
的
性；
单调
【答案】
解析
见
【解析】(1)求
，分
令
数大于零和小于零，求得函数的
增区
和减区
；
导
别
导
单调
间
间
(1)当
，
时
，
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以
的减区间为
，增区间为
；
12.已知函数f(x)=sin2xsin2x.
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的
性；
单调
【答案】
解析
见
【解析】(1)求
，然后由
函数的零点确定其在各个区
上的符号，最后确定原函数的
性即可；
导
导
间
单调
(1)由函数的解析式可得：
，
：
则
，
在
上的根
：
为
，
当
，
时
增，当
单调递
，
时
减，
单调递
当
，
时
增
单调递
.
13.已知函数f (x)= x
2−x +a(ln x−2 x)，(a∈R)．
(1)若函数y = f (x)的
象在
图
x =e
的切
平行于
处
线
x
，求
轴
a 的
；
值
(2)讨论f (x)的
性．
单调
【答案】(1)
(2)答案
解析
见
【解析】（1）借助
数的几何意
算即可得解；
导
义计
（2）求
后因式分解，再
合
导
结
a的取
数的正
即可得函数的
性
值讨论导
负
单调
.
（1）f
' (x)=2 x−1+a(
1
x −2)，
由
意可得
题
f
' (e)=2e−1+a(
1
e −2)=0，解得
；
（2）f
' (x)=2 x−1+a(
1
x −2)= (2 x−1)(x−a)
x
，x>0，
当a≤0
，若
时
x∈(0, 1
2)，则f
' (x)<0，若x∈(
1
2 ,+∞)，则f
' (x)>0，
故f (x)在(
1
2 ,+∞)上
增，
单调递(0, 1
2)上
减；
单调递
当a∈(0, 1
2)
，若
时
x∈(0,a)∪(
1
2 ,+ ∞)，则f
' (x)>0，
若x∈(a, 1
2)，则f
' (x)<0，
故f (x)在(0,a)、(
1
2 ,+ ∞)上
增，
单调递(a, 1
2)上
减；
单调递
当a= 1
2
，
时则f
' (x)=
(2 x−1)(x−1
2)
x
= (2 x−1)
2
2 x
≥0
，
故f (x)在(0,+ ∞)上
增；
单调递
当a> 1
2
，若
时
x∈(0, 1
2)∪(a,+ ∞)，则f
' (x)>0，
若x∈(
1
2 ,a)，则f
' (x)<0，
故f (x)在(0, 1
2)和(a,+ ∞)上
增，
单调递(
1
2 ,a)上
减；
单调递
上所述：若
综
a≤0，则f (x)在(
1
2 ,+ ∞)上
增，
单调递(0, 1
2)上
减；
单调递
若a∈(0, 1
2)，则f (x)在(0,a)、(
1
2 ,+∞)上
增，
单调递(0, 1
2)上
减；
单调递
若a= 1
2
，则f (x)在(0,+∞)上
增；
单调递
若a> 1
2
，则f (x)在(0, 1
2)、(a,+∞)上
增，
单调递(
1
2 ,a)上
减
单调递
.