文档文本内容
第01 讲 导数的定义概念
目 录
思维导图......................................................................................................................................................... 2
高考分析......................................................................................................................................................... 2
学习目标......................................................................................................................................................... 2
知识要点......................................................................................................................................................... 3
解题策略......................................................................................................................................................... 8
题型归纳......................................................................................................................................................... 9
题型01：物体的平均速度与瞬时速度.......................................................................................................9
题型02: 函数的平均变化率与瞬时变化率..............................................................................................10
题型03：导数定义的理解与应用...........................................................................................................12
题型04：导数定义中极限的简单计算.................................................................................................... 13
题型05：求函数在某点处的导数...........................................................................................................14
题型06：导数几何意义的应用...............................................................................................................14
题型07：求曲线“在”与“过”某点的切线..........................................................................................17
巩固提升.......................................................................................................................................................18
1. 考查频率与题型：
导数的定义是高考数学的基础高频考点，选择题、填空题中常单独考查导数的概念辨析、利用定义求瞬时
变化率；解答题中则作为导数几何意义、导数运算的前置基础，隐含在切线方程求解、函数单调性分析等问题
里。
2. 考查方向：
① 核心考查平均变化率→瞬时变化率的极限思想，要求理解导数定义式
的本质。
② 常结合抽象函数、分段函数、三角函数、指数对数函数，考查导数定义的灵活变形
③注重与实际问题结合，比如利用导数定义求物体的瞬时速度、曲线在某点的瞬时变化率。
3.命题趋势：
近年高考更强调对定义本质的理解，弱化复杂运算，增加对极限思想和数学抽象素养的考查，常设置易混
淆的选项（如混淆平均变化率与瞬时变化率）。
1. 基础目标：
准确理解导数的定义，区分平均变化率和瞬时变化率的概念，牢记导数定义的标准形式与常见变形形式。
2. 能力目标：
能利用导数定义求简单函数在某点的导数，或求解含极限的导数定义型问题；能结合导数定义判断分段函
数在分段点处的可导性。
3. 素养目标：
体会从“有限”到“无限”的极限思想，提升数学抽象和逻辑推理能力，为后续导数的几何意义、导数应
用奠定基础。
知识点一：物体的平均速度与瞬时速度
1、平均速度
设物体的运动规律是
，则物体在
到
这段时间内的平均速度为
2、瞬时速度
（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；
（2）一般地，当
无限趋近于0 时，
无限趋近于某一个常数
，我们就说当
趋近于0 时，
的极限
就是
，这时
就是物体在
时的瞬时速度，
即瞬时速度
知识点二：函数y = f ( x)从x1到x2的平均变化率
1、定义式：
2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
3、意义：刻画函数值在区间
上变化的快慢．
4、平均变化率的几何意义：
设
，
是曲线
上任意不同的两点，
函数
的平均变化率
为割线AB 的斜率，如图．
【注意】Δx 是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．
5、求平均变化率的步骤：
第一步：先计算函数值的改变量
；
第二步：再计算自变量的改变量
；
第三步：求平均变化率
；
知识点三：函数y = f ( x)在x＝x0处的瞬时变化率
1. 定义：设函数y = f ( x)在x0附近有定义，当自变量在x = x0附近改变量为
时，函数值相应的改变
．如果当
趋近于
时，平均变化Δy
Δx = f ( x0+ Δx)−f ( x0)
Δx
趋近于一个常数l（也就是说
平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数f ( x)在点x0的瞬
时变化率．
定义式
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0 时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
【注意】
①“
无限趋近于0”的含义
趋于0 的距离要多近有多近，即
可以小于给定的任意小的正数，且始终
.
②“函数
在
的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数
在
处的导数”是一个数值，是针对
而言的，与给定的函数及
的位置有关，而与
无关；
“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与
，
无关．
2. 瞬时变化率的变形形式
lim
∆x→0
f (x0+ ∆x)−f ( x0)
∆x
= lim
∆x→0
f (x0−∆x)−f (x0)
−∆x
= lim
∆x→0
f (x0+n∆x)−f ( x0)
n∆x
= lim
∆x→0
f (x0+ ∆x)−f ( x0−∆x)
2∆x
= f '( x
3.“ 当
趋近于零时，f ( x0+ Δ x)−f ( x0)
Δ x
趋近于常数
” 可以用符号“
” 记作：“ 当
时，
f ( x0+ Δ x)−f ( x0)
Δ x
→l”，或记作“ lim
Δ x→0
f ( x0+ Δ x)−f ( x0)
Δ x
=l”，符号“
”读作“趋近于”．函数在
的瞬时变化率，通常称为
在x = x0处的导数，并记作f '( x0)．这时又称
在x = x0处是可导的．于是
上述变化过程，可以记作“当Δ x→0时，f ( x0+ Δ x)−f ( x0)
Δ x
→f '( x0)”或“
lim
Δ x→0
f ( x0+ Δ x)−f ( x0)
Δ x
= f '( x0)”．
注：f '( x0)是个数．
知识点四：导数的定义：
设函数
，当自变量
从
变到
时，函数值从
变到
，函数值关于
的平均变化率为
.当
趋于
，即
趋于0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么
这个值就是函数
在
点的导数，通常用符号
表示，记作
要点诠释：
①导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在某一时刻的瞬间变
化率.
②对于不同的实际问题，平均变化率有不同的实际意义.如位移运动中，位移从时间
到
的平均变化率即为
到
这段时间的平均速度
③增量
可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0.
的意义：
与0 之间距离要多近有多近，
即
可以小于给定的任意小的正数.
④
时，
在变化中都趋于0 ，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近.
⑤函数
在
处的导数还可以用符号
表示.
y
函数= f ( x)在在x = x0 处的导数：f '( x0)= y ' |x = x0= lim
Δx →0
f ( x0+ Δx)−f ( x0)
Δx
y
函数= f ( x)的导数:f
'( x)= y
' = lim
Δ x→0
f ( x + Δ x)−f ( x)
Δ x
利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量：
；
②求平均变化率：
；
③取极限得导数：
知识点五：导数的几何意义
1.
平均变化率的几何意义——曲线的割线
函数
的平均变化率
的几何意义是表示连接函数
图像上两点割线的斜
率。
如图所示，函数
的平均变化率
的几何意义是：直线AB 的斜率。
事实上，
。
换一种表述：
曲线上一点
及其附近一点
，
经过点
、
作曲线的割线
，
则有
。
要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
2.导数的几何意义——曲线的切线
定义：如右图，当点
沿曲线无限接近于点
，
即
时，割线
的极限位置直线
叫做曲线在点
处的切线。
T
也就是：当
时，割线
斜率的极限，就是切线的斜率。
即：
。
要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。
（2）切线斜率的本质———函数在
处的导数。
（3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。
①若曲线
在点
处的导数不存在，但有切线，则切线与
轴垂直。
②
，切线与
轴正向夹角为锐角，
瞬时递增；
，切线与
轴正向夹角为钝角，
瞬时递减；
，切线与
轴零度角，瞬时无增减。
（4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点；
为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直
线叫做切线？”
过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义
符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C 都用“与C 有且只有一个公
共点”来定义C 的切线呢？如图1-1-2-1 的曲线C 是我们熟知的正弦曲线y=sin x
的一部分，直线
2显然与曲线C 有唯一公共点M，但我们不能说直线
2与曲线C
相切；而直线
1尽管与曲线C 有不止一个公共点，但我们可以说直线
1是曲线C 在点N 处的切线。
曲线的切线
（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：
①求出切点(x0,f (x0))的坐标;
②求出函数y=f ( x)在点x0 处的导数f
'( x0)
③得切线方程y−f ( x0)=f
'( x)( x−x0)
（2）在点
处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。
在点
处的切线是说明点
为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过
点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）
是否为曲线
上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点
，求过此切点的切
线方程
，再将点（x0，y0）代入，求得切点
的坐标，进而求过点（x0，y0）的切
线方程。
知识点六：导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻
时的瞬时速度
就是物体运动规律
在
时的导数
，
即有
。
2.V＝S/t 表示即时速度;a=V/t 表示加速度。
知识点七：求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为
；
第二步：求出函数
在点
处的导数
；
第三步：利用Q 在曲线上和
，解出
及
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
．
注意两种情况：
①曲线
在点
处切线：性质：
。相应的切线方程是：
②曲线
过点
处切线：先设切点，切点为
,则斜率k=
，切点
在曲
线
上，切点
在切线
上，切点
坐标代入方程得关于a,b 的方
程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=
，确定切线方程。
1. 定义直接应用法
解题步骤：
S1. 计算
;
S2. 化简
；
S3. 求
，即得
。
2. 变形匹配法
适用场景：题目给出的极限式子与导数定义式形式不同（如自变量增量为 2h、-h 等）。
解题步骤：观察极限式的结构，通过恒等变形（如配凑、换元）转化为导数定义的标准形式；
3. 分段函数可导性判断策略
适用场景：判断分段函数在分段点 x0 处的可导性。
解题步骤：
S1. 先判断函数在
处的连续性（可导必连续，不连续必不可导）；
S2. 分别利用导数定义求左导数f −
' ( x0) 和右导数 f +
' ( x0) ；
S3. 若f −
' ( x0)= f +
' ( x0) ，则函数在x0
处可导，否则不可导。
题型01：物体的平均速度与瞬时速度
【典型例题1】一个物体做直线运动，位移（单位：
）与时间（单位：）之间的函数关系为
且这一物体在
这段时间内的平均速度为
，则实数
的值为（ ）
A．2 B．1 C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
因为物体在
这段时间内的平均速度为
，
所以
，解得
，故选：A
【变式训练1-1】某质点沿曲线运动的方程为
（x 表示时间，
表示位移），则该质点从x＝2 到
x＝3 的平均速度为（ ）
A．－5 B．5 C．－6 D．6
【变式训练1-2】已知物体做直线运动对应的函数为
，其中S 表示路程，t 表示时间．则
＝10 表示的
意义是（ ）
A．经过4s 后物体向前走了10m
B．物体在前4 秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4 秒内向前走了10m
D．物体在第4 秒时的瞬时速度为10m/s
【变式训练1-3】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数
表示，则该
物体在
s 时的瞬时速度为（ ）
A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s
【变式训练1-4】如图所示为物体甲、乙在时间0 到
范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______．
①在0 到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在
时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；
③在
到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在0 到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．
题型02: 函数的平均变化率与瞬时变化率
(一）平均变化率
【典型例题】已知函数
，则该函数在区间
上的平均变化率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
，
所以该函数在区间
上的平均变化率为
，
故选：A
【变式训练2-1】函数
在区间
上的平均变化率等于（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【变式训练2-2】若函数
在区间
上的平均变化率为5，则t 等于（ ）
A．
B．2 C．3 D．1
【变式训练2-3】如图所示为物体甲、乙在时间0 到
范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______．
①在0 到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在
时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；
③在
到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在0 到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．
（二）瞬时变化率
【典型例题】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数
表示，则该物体
在
s 时的瞬时速度为（ ）
A．0m/s
B．1m/s
C．2m/s
D．3m/s
【答案】D
【解析】该物体在时间段
上的平均速度为
，
当
无限趋近于0 时，
无限趋近于3，即该物体在
s 时的瞬时速度为3m/s．
故选：D
【变式训练2-4】设
，则
（ ）
A．
B．
C．4 D．8
【变式训练2-5】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数
表示，则物
体在t=0 s 时的瞬时速度为______m/s；瞬时速度为9 m/s 的时刻是在t=______s 时．
【变式训练2-6】小明从家里到学校行走的路程s 与时间t 的函数关系表示如图，记t 时刻的瞬时速度为
，区间
，
，
上的平均速度分别为
，
，
，则下列判断正确的个数为______．
（1）
；
（2）
；
（3）对于
，存在
，使得
；
（4）整个过程小明行走的速度一直在加快．
题型03：导数定义的理解与应用
【典型例题1】已知函数
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解析】解：因为
，
所以
故选：D
【典型例题2】若函数
在
处可导，则
的结果（ ）．
A．与
，h 均无关 B．仅与
有关，而与h 无关
C．仅与h 有关，而与
无关 D．与
，h 均有关
【答案】B
【解析】因为
，
所以结果仅与
有关，而与h 无关，故选：B.
【变式训练3-1】设
在
处可导，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】已知函数
在
处的导数为
，则
等于（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．1
【变式训练3-3】已知函数
的导函数为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C． D．
【变式训练3-4】某物体运动
后，其位移（单位：
）为
．在
这段时间里，该物体的平
均速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-5】已知函数
，则
（ ）
A．4
B．6
C．2
D．3
【变式训练3-6】一质点作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是
，则在
时的瞬时速度为（ ）
A．1
B．3
C．－2
D．2
【变式训练3-7】一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm 的球状物体后，水面高度
为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从
时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s 的速度变长
(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在
时刻，水面
上升的瞬时速度为 cm/s.
【变式训练3-8】（多选）设
在
处可导，下列式子中与
相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-9】一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是
（位移：m，时间：s）.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在
时的瞬时速度；
(3)求
到
时的平均速度.
题型04：导数定义中极限的简单计算
【典型例题】已知
为可导函数，且
，则
_______．
【答案】
【解析】根据函数在
处的导数的定义及极限的运算即可求解.
解：因为
.
故答案为：
.
【变式训练4-1】已知函数
，若
，则
__________.
【变式训练4-2】设函数
在R 上可导，则当d 趋近于0 时，
趋近于______．
题型05：求函数在某点处的导数
【典型例题】已知
是定义在R 上的可导函数，若
，则
______.
【答案】
##
【解析】根据导数的定义计算可得结果.
由导数的定义，可得
.
故答案为：
【变式训练5-1】函数
在
处的导数为（ ）
A．2 B．
C．
D．
【变式训练5-2】已知函数
在
处的导数为3，则函数
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3】设函数
，若
，则
（ ）
A．2 B．
C．3 D．
【变式训练5-4】设
存在导函数且满足
，则曲线
上的点
处的切线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式训练5-5】定义
，已知函数
在
内的导函数为
，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06：导数几何意义的应用
【典型例题1】已知函
数的图象如图所示，函数
的导数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
图象可知
，即
.故选：D
【典型例题2】如图，函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到
，利用导数的概念解出即可.
依题意可知切点
，
函数
的图象在点
处的切线方程是
，
，即
又
即
故选：D.
【变式训练6-1】函数
的图象如图所示，
是函数
的导函数，则下列数值排序正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】已知函数
的图象如下所示，
为
的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-3】如图，函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-4】已知函数
，
，
，
，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则
，
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-5】已知函数
的图像在点
处的切线方程是
，则
的值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【变式训练6-6】设函数
在点
处的切线方程为
，则
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
题型07：求曲线“在”与“过”某点的切线
【典型例题1】曲线
过点
的切线方程是____________．
【答案】
或
【解析】设切点为
，则
，
当
时，
趋于2a，所以所求切线的斜率为2a，
故
，解得
，
所以所求的切线方程为
或
．
故答案为：
或
.
【变式训练7-1】曲线
在点
处的切线斜率是（ ）
A．9 B．6 C．
D．
【变式训练7-2】求函数
的图象上过原点的切线方程．
【变式训练7-3】曲线
在点P 处的切线与直线
垂直，则点P 的坐标为______．
一、单选题
1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度
（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知
是定义在
上的可导函数，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
3．函数
在区间
上的平均变化率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
4．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是
（距离单位：米，时间单位：
秒），则他在0.25 秒时的瞬时速度为（ ）
A．6.75 米/秒
B．6.55 米/秒
C．5.75 米/秒
D．5.55 米/秒
5．已知
是定义在R 上的可导函数，若
，则
（ ）
A．0
B．2
C．
D．
6．设
在
处可导，下列式子与
相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
的图像在点
处的切线方程是
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
8．已知函数
的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各
地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S．已知房
产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间
内供应效率（单位时间的供
应量）不是逐步提高的（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若
不存在，则曲线
在点
处也可能有切线
B．若曲线
在点
处有切线，则
必存在
C．若
不存在，则曲线
在点
处的切线斜率不存在
D．若曲线
在点
处没有切线，则
有可能存在
三、填空题
11．已知函数
，其中
，则此函数在区间
上的平均变化率为__________.
12．已知函数
，则
______．
13．若函数
在区间
上的平均变化率为3，则
_____________.
14．如图，已知直线l 是曲线
在
处的切线，则
的值为___________．
四、解答题
15．求函数
在区间
和
上的平均变化率.
