文档文本内容
第04 讲 公切线专题
目 录
思维导图.......................................................................................................................................................................1
高考分析.......................................................................................................................................................................2
学习目标.......................................................................................................................................................................2
知识要点.......................................................................................................................................................................3
解题策略.......................................................................................................................................................................3
题型归纳.......................................................................................................................................................................5
题型01：有切点切线方程.....................................................................................................................................5
题型02：无切点型切线关系.................................................................................................................................6
题型03：“在点”型切线求参.............................................................................................................................7
题型04：“过点”型切线方程.............................................................................................................................8
题型05：“过点”型切线条数判断....................................................................................................................10
题型06：“过点”型切线条数求参....................................................................................................................11
题型07：三角函数型切线综合应用....................................................................................................................13
题型08：函数公切线.........................................................................................................................................15
题型09：与公切线有关的求值问题....................................................................................................................19
题型10：函数公切线求参数范围........................................................................................................................20
题型11：函数公切线条数判断...........................................................................................................................23
题型12：公切线综合.........................................................................................................................................28
题型13：切线逼近求零点..................................................................................................................................30
题型14：双切线存在性......................................................................................................................................32
题型15：切线逼近：不等式整数解求参.............................................................................................................34
巩固提升....................................................................................................................................................................36
1. 考情定位
函数公切线专题属于高考数学导数应用板块的高频难点，近5 年新课标卷、新高考Ⅰ/Ⅱ卷中多以选填压轴
题或解答题第2 问的形式出现，分值占比5-12 分。该专题综合考查导数的几何意义、函数单调性与最值、
方程与不等式的转化，是区分中档生和优等生的核心考点。
2. 命题趋势
①题型特点：多围绕“双函数公切线的存在性”“公切线的条数”“公切线相关参数范围”三类问题
命题，常结合指数函数、对数函数、二次函数等基本初等函数设置情境。
②核心方向：弱化复杂计算，强化数形结合思想与转化与化归思想的考查，要求学生将“公切线问
题”转化为“方程有解问题”，再通过函数单调性分析参数范围。
③关联考点：常与函数零点、不等式恒成立、最值求解等考点交叉命题，体现高考“知识交汇”的命
题原则。
3. 学情痛点
①对导数几何意义理解不透彻，无法准确写出双函数的切线方程并建立等式关系。
②转化意识薄弱，难以将“公切线存在”转化为“方程有解”，或转化后无法合理构造函数分析。
③忽略定义域限制、切线斜率的取值范围等细节，导致解题过程出现疏漏。
1. 知识目标
①深刻理解导数的几何意义，能准确写出单函数在某点处的切线方程，掌握切线斜率与导数的对应关
系。
②熟练掌握双函数公切线的本质特征，明确公切线需满足“斜率相等”“截距相等”两个核心条件。
③理清公切线问题与函数零点、方程有解、参数范围等考点的关联逻辑，构建完整的知识应用网络。
2. 能力目标
①具备将公切线问题转化为代数方程的能力，能根据不同函数类型（二次函数、指数函数、对数函数
等）合理设切点、列等式。
②提升构造辅助函数分析问题的能力，能通过研究辅助函数的单调性、最值，解决公切线存在性、条
数判断及参数范围求解问题。
③强化数形结合思想的应用能力，能借助函数图像直观分析公切线的分布情况，验证代数解法的合理
性。
3. 素养目标
①培养数学抽象素养，能从具体的双函数公切线案例中，提炼出“设切点→列方程→转化分析”的通
用解题模型。
②提升逻辑推理素养，在推导公切线条件、分析参数范围的过程中，做到步骤严谨、论证清晰。
③增强数学运算素养，能熟练处理公切线问题中涉及的导数运算、方程变形及最值求解等计算环节，
规避常见运算错误。
1. 核心概念
①切线的定义：若直线与函数图像只有一个公共点，且在该点处的直线斜率等于函数在该点的导数值，
则称这条直线为函数在该点的切线。
②公切线的定义：同时与两个（或多个）函数图像相切的直线，满足与每个函数相切时的斜率相等、
切点处函数值与直线方程值相等两个核心条件。
2. 常见函数的导数与切线特征
①二次函数y = ax
2 + bx + c：导数y' = 2ax + b，切线斜率随x 线性变化，任意两条切线斜率可能相
等。
②指数函数y = e
x（或y = a
x）：导数y' = e
x（或y' = a
x\ln a），切线斜率恒大于0，且与函数值
相等。
③对数函数y = ln x（或y = loga x）：切线斜率随x 增大而减小。
3. 核心思想方法
①转化与化归思想：将公切线的存在性、条数问题转化为方程（组）有解、解的个数问题。
②数形结合思想：借助函数图像直观判断公切线的数量、位置，辅助代数运算验证结果。
③构造函数思想：通过构造关于切点横坐标或斜率的函数，利用函数单调性、最值分析参数范围。
函数公切线专题解题策略
一、 核心解题步骤（通用模板）
S1. 设切点，写切线方程
设直线与函数f(x)切于点(x1,f(x1))，与函数g(x)切于点(x2,g(x2))，分别根据导数几何意义写出两条
切线方程：
y = f'(x1)(x - x1) + f(x1)
y = g'(x2)(x - x2) + g(x2)
S2. 联立等式，建立关系
两条切线为同一条直线，则斜率与截距分别相等，得到方程组：
S3. 转化问题，构造函数
根据方程组消元（通常消去x1或x2），将问题转化为关于单个变量的方程有解/解的个数/参数范
围问题，构造对应的辅助函数h(x)。
S4. 分析函数，求解问题
求辅助函数h(x)的导数h'(x)，分析其单调性、极值与最值，结合函数图像确定方程解的情况，进
而得到公切线的存在性、条数或参数范围。
二、 分题型解题技巧
题型1：判断公切线的存在性
①技巧：转化为方程有解问题，通过求辅助函数的值域，判断目标值是否在值域内。
②关键：若构造的函数h(x)的值域包含k（斜率）或b（截距），则存在公切线。
题型2：求公切线的条数
①技巧：转化为方程解的个数问题，通过分析辅助函数的单调性与极值，结合函数图像与x 轴的交点个数
判断。
②关键：极值的正负决定交点个数，若极大值大于0 且极小值小于0，则方程有3 个解，对应3 条公切线。
题型3：求公切线相关的参数范围
①技巧：转化为不等式恒成立或存在性问题，通过分离参数法，将参数移到一侧，另一侧构造函数求最值。
②关键：分离参数后，求函数的最值（最大值/最小值），参数范围与最值形成对应不等式。
三、 避坑指南
1. 忽略切点的定义域：对数函数、分式函数等有定义域限制，设切点时需标注x1,x2的取值范围。
2. 混淆“公切线”与“公共点切线”：公切线不要求两个切点重合，公共点切线是切点相同的特殊情况。
3. 计算失误：切线方程截距化简易出错，建议分步整理b = f(x1)-x1f'(x1)，再联立等式。
是否需要我帮你整理函数公切线专题的典型例题及详细解析？
题型01：有切点切线方程
技巧规律：
若已知函数
与切点
，不知斜率
。此时
,利用点斜式写出切线方程
1：求
，得切点
；
2：求导数
，得
；
3：写切线方程
.
【典型例题1】已知
是定义在
上的单调函数，满足
，则
在
处的切线方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
是定义在
上的单调函数，满足
，可得
为一固定的数，可设
，则有
，可得函数的解析式，求解出切线斜率和切点，可得答案.
由题意可得
为一固定的数，设
，则有
.
由
可得
，当
时，有
，
解得
.
，
．
，又
．
∴曲线
在
处的切线方程为
，即
．
故选：A．
【典型例题2】函数
的图象在点
切的切线分别交
轴，
轴于
、
两点，
为坐标
原点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求导得到
，计算切线方程为
，故
，
，
代入向量计算得到答案.
，
，故
，
，
，
故切线方程为：
，故
，
.
，即
，解得
.
故选：
.
【点睛】本题考查了切线方程，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
【变式训练1-1】已知定义域为
的函数
的图像关于原点对称，且
，若曲线
在
处切线的斜率为4，则曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】已知函数
的定义域为
，
是偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线斜率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式训练1-3】定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程为 .
题型02：无切点型切线关系
技巧规律：
若已知函数
与斜率
，不知切点。此时设切点
，此时
解出
，再将
代入
解出
,此
时利用点斜式写出切线方程
1：求导数
，令
，求解得
；
2：求
，得切点
；
3：写切线方程
.
【典型例题1】设
，其中
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
，则
可转化为曲线
上的点
与
曲线
上的点
之间的距离与
到直线
的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解.
令
，
，则点
在函数
图象上，
在函数
的图象上，
容易知道
图象是抛物线
图象的上半部分，
记抛物线焦点为
，过
作抛物线的准线
的垂线，垂足为
，如图所示：
则
，
当且仅当
在线段
上时，取最小值.
设这时
点坐标为
，又
，
所以有
，解得
，即该点为
，
所以
，因此
.
故选：A.
【点睛】本题关键点在于数形结合，将
的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的问题.
【典型例题2】已知三次函数
有三个零点
，
，
，且在点
处切线的斜率为
，
则
.
【答案】0
【解析】令
，其中
，
，
，
互不相等，对
求导，由导数的几何
意义求解即可.
令
，其中
，
，
，
互不相等.
则
.
.
故答案为：0.
【变式训练2-1】点P 在函数y＝ex 的图象上．若满足到直线y＝x+a 的距离为
的点P 有且仅有3 个，则实数
a 的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【变式训练2-2】已知函数
，若
在
和
处切线平行，则
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】已知函数
，设曲线
在点
处切线的
斜率为
，若
，
，
均不相等，且
，则
.
题型03：“在点”型切线求参
技巧规律：
若已知函数
与平面上一点
，不知切点与斜率
。设切点
，此时
,由切点
与斜
率
写出切线方程
，再将点
代入，解出切点.
1：设切点
；
2：求导数
，得
；
3：写切线方程
；
4：将
代入步骤3，解得
；
5：将
代入步骤3，得切线方程.
【典型例题1】已知函数
，
的图像在点
处的切线与
轴交于点
，过点
与
轴垂直的
直线
与
轴交于点
，则线段
中点
的纵坐标的最大值是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点
，∵
，∴
，∴
，
∴切线的方程为
，令
，得
，故
，
又点
，∴线段
中点
的纵坐标
，
设
，则
，
故当
时，
单调递增；当
时，
单调递减．
∴
．选D．
【典型例题2】已知函数
在点
处的切线为，若直线在
轴上的截距
恒小于，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据答案分析此题可用特殊值法：取a=-1,根据题意可得函数的切线方程为：
，故在y 轴的截距为：
，所以
恒成立（m>1）,故令
恒成立，
，显然当a
取-1 时，
，故
在
单调递增，
，故
恒成立，故a 取-1 成立，
所以排除ACD，选B
点睛：对于12 题这种压轴选择题，我们掌握一些做题技巧，巧借答案可根据备选答案去分析通过排除法轻而易
举得出结论
【变式训练3-1】已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共点，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【变式训练3-2】设直线
分别是函数
图象上点
、
处的切线，与
垂直相交于点
，则点
横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】设点P 在曲线
上，点Q 在直线y=2x 上，则PQ 的最小值为
A．2
B．1
C．
D．
题型04：“过点”型切线方程
技巧规律：
1.设切点P( x0, y0)
2. y0= f ( x0)
3, y = f
'( x)⇒k = f
'( x0).
y −y0=k( x−x0)
y −y0=k( x−x0)
得b−y0=k(a−x0)⇒解出x0
【典型例题1】过原点的直线
与分别与曲线
，
相切，则直线
斜率的乘积为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】设
的切点分别为
，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过原
点解出
即可求解.
设
的切点分别为
，
由题意可得
，
，
所以
在
处的切线为
，
在
处的切线为
，
又因为两条切线过原点，所以
，解得
，
所以直线
斜率的乘积为
，
故选：B
【典型例题2】已知函数
，过点
作函数
图象的两条切线，切点分别为M，N．则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．直线MN 的方程为
C．
D．
的面积为
【答案】C
【解析】设切点坐标为
，利用
，
，可求出切点坐标，
计算
可判断A；求出
，直线MN 的方程可判断B；求出
可判断C；
求出
到直线MN 的距离
，计算出
可判断D.
因为
，所以
没有在函数的图象上，
，设切点坐标为
，
当
时，
，
不与
相切，
所以
，
， 又因为
，
解得
，即
，
，
所以
，故A 错误；
，所以直线MN 的方程为
，即
，故B 错误；
，故C 正确；
到直线MN 的距离为
，
所以
的面积为
，故D 错误.
故选：C.
【变式训练4-1】过点
可以作曲线
的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则
的值
为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【变式训练4-2】已知
，过原点作曲线
的切线，则切点的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3】已知曲线
的一条切线在
轴上的截距为2，则这条切线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05：“过点”型切线条数判断
技巧规律：
“过点型”切线条数判断：
1.
有几个切点横坐标，就有几条切线。
2. 切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
【典型例题1】过坐标原点作曲线
的切线，则切线共有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】A
【解析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.
设切点为
，
由
可得
，
则过坐标原点的切线的斜率
，
故
，即
，
解得
，故过坐标原点的切线共有1 条．
故选：A．
【典型例题2】若过点
可作曲线
的两条切线，则点
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设切点坐标为
，利用导数写出切线方程，将点
的坐标代入切线方程，可得出关于的二
次方程有两个不等的实根，可得出
，可得出
，然后逐项检验可得出合适的选项.
设切点坐标为
，对函数
求导可得
，
所以，切线斜率为
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，
将点
的坐标代入切线方程可得
，即
，
因为过点
可作曲线
的两条切线，则关于的方程
有两个不等的实数解，
所以，
，即
，即
，
对于点
，
，A 不满足；
对于点
，
，B 不满足；
对于点
，
，C 满足；
对于点
，
，D 不满足.
故选：C.
【变式训练5-1】过点
作曲线
的切线，当
时，切线的条数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】已知
，函数
的零点个数为
，过点
与曲线
相切的直
线的条数为
，则
的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3】函数
为
上的奇函数，过点
作曲线
的切线，可
作切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
题型06：“过点”型切线条数求参
技巧规律：
若已知函数
过平面上一点
，且
或点
其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考
向四，设切点
，此时
,由切点
与斜率
写出切线方程
，
再将点
代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
【典型例题1】已知函数
，若过
可做两条直线与函数
的图象相切，则的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据导数几何意义求出切线方程，依题意，过点
的直线与函数
的图象相切的切线
条数即为直线
与曲线
的图象的公共点的个数，根据导数研究函数
的图象可得结果.
设过点
的直线与函数
的图象相切时的切点为
，则
，
因为
，
所以切线方程为
，又
在切线上，
所以
，整理得
，
则过点
的直线与函数
的图象相切的切线条数即为直线
与
曲线
的图象的公共点的个数，
因为
，令
，得
，
所以，当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
因为
，当
时
，所以，函数
的图象大致如图：
所以当
时，图像有两个交点，切线有两条.
故选：B.
【点睛】依题意求出切线方程，本题关键是将过点
的直线与函数
的图象相切的切线条数转
化为直线
与曲线
的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数
的图象.
【典型例题2】已知过点
作曲线
的切线有且仅有两条，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设切点为
，利用导数求出切线的斜率，结合斜率公式可得出
，可知关于
的方程
有两个不等的实根，令
，利用导数分析函数
的单调性与极值，数形结合可得出
实数
的取值范围.
设切点为
，对函数
求导得
，
所以，切线斜率为
，整理得
，
关于
的方程
有两个不等的实根.
令函数
，由题意可得
，解得
且
，
所以，函数
的定义域为
，且
，
当
时，
，
；当
时，
，
；
当
时，
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递减，在
上单调递增.
.
作出函数
与函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然
后将问题转化为函数图象与
轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和
分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由
分离变量得出
，将问题等价转化为直线
与函数
的图象
的交点问题.
【变式训练6-1】若过点
可作函数
图象的两条切线，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】已知函数
（
），点
位于曲线
的下方，且过点
可以作3 条直线与曲线
相切，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-3】已知函数
，过点
作曲线
的切线，当
时，可作两条切线，则
的
取值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
题型07：三角函数型切线综合应用
技巧规律：
三角函数型切线，要注意三角函数的周期性与正余弦函数的有界性。
【典型例题1】已知
，函数
在点
处的切线均经过坐标原点，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据导数的几何意义求出曲线
在点
处的切线方程，进而
即可判断AB；画出函数
与
图象，由
可得
，化
简计算即可判断CD.
由题意知，
，则
，
所以曲线
在点
处的切线方程分别为
，
因为切线均过原点，所以
，
即
，得
，故AB 错误；
由
，得
，画出函数
与
图象，如图，
设
，如上图易知：
，
由正切函数图象性质
，得
，即
，
又
，所以
，
即
，解得
，故C 正确，D 错误.
故选：C
【点睛】证明选项CD 的关键是根据
构造新函数
，通过转化的思想和数形结合思想分
析是解题的关键.
【典型例题2】已知函数
图象上有一最低点
，将此函数的图象向左平移
个单位
长度得
的图象，若函数
的图象在
处的切线与
的图象恰好有三个公共点，
则
的值是 .
【答案】
【解析】由辅助角公式化一，再根据正弦函数的最值求出函数
的解析式，进而可求出
的解析式，再
结合正弦函数图象特征，利用导数的几何意义，即可求解.
，
因为函数
图象上有一最低点
，
所以
，且
，
所以
，所以
，
所以
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度得
的图象，，
则
，
如图，结合
的图象及对称性可知，
在
处的切线经过点
，设切点为
，
则
，所以
，
整理得
，所以
.
故答案为：
.
【点睛】处理本题的关键点是找到切线与
的图象有个交点时，该切线过点
，再利用导数处理即可.
【变式训练7-1】已知函数
（
且
），其中
的最小正周期
，且
，函数
的图象在
处的切线与
的图象恰好有3 个公共点，则
.
【变式训练7-2】已知直线
与函数
的图象恰有两个切点，设满足条件的
所有可能取值中最大的两个值分别为
和
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-3】将函数
的图象绕着原点沿逆时针方向旋转
角得到曲线
，已知曲
线
始终保持为函数图象，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
题型08：函数公切线
技巧规律：
对函数
，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
)和
再令
，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
【典型例题1】已知函数
，若直线是曲线
与曲线
的公切线，则的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
与
相切于点
，与
相切于点
，利用导数的几何意义，
得到
和
，再由
，求得
，得到
，令
，利用导数求得函数的单调性与最值，求得
，即可求解.
设
与曲线
相切于点
，与
相切于点
，
由
，可得的斜率
，所以
①，
又由
，可得
，所以
，即
②，
又因为
③，
将②③代入①中，可得
，由③易知，
,则
④，
将④代入③，可得
，则
，
令
，则
，当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．所以
，当且仅当
时取等号，
故
，可得
，所以
，
所以的方程为
，即
．
故选：B．
【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函
数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意
恒成立与存在性问题的区别．
【典型例题2】已知
（e 为自然对数的底数），
，请写出
与
的一条公切线
的方程 .
【答案】
或
(写出其中一条即可)
【解析】分别设
、
并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得切
线方程.
设公切线与
相切于点
，与
相切于点
，
，
，则公切线斜率
，
公切线方程为
或
，
整理得
或
，
所以
，即
，
，解得
或
，
公切线方程为
或
.
故答案为：
或
<(写出其中一条即可)
【典型例题3】已知函数
，
．
(1)当
时，求曲线
与
的公切线的方程；
(2)若
有两个极值点
和
，且
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据已知条件及导数的几何意义即可求解；
（2）根据已知条件及函数极值点的定义，构造函数，利用导数法研究函数的最值即可求解.
（1）当
时，
，所以
，
因为
，所以
，
设曲线
上的切点为
，则切线方程为
，
设曲线
上的切点为
，则切线方程为
，
由两条切线重合得
，解得
，
所以曲线
与
的公切线的方程为
，
（2）由题意可知，
，
所以
，
因为
有两个极值点
和
，
所以
有两个零点
和
，
所以
，即
，
令
，则
，解得
，
设
则
，
又令
，则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，所以
所以
在
上单调递减，
所以
，
易知
所以
，
令
，则
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，
又
所以
，
故实数
的取值范围为
.
【点睛】关键点睛：解决本题第一问的关键是利用导数的几何意义及公切线，第二问是构造函数
，求出
的范围，再利用导数研究
的值域即可.
【变式训练8-1】经过曲线
与
的公共点，且与曲线
和
的公切线垂
直的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-2】已知函数
，若直线是曲线
与曲线
的公切线，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-3】已知两条不同的直线与曲线
都相切，则这两直线在y 轴上的截距之和为
（ ）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【变式训练8-4】已知函数
，
，若函数
的图象与函数
的图象在交点
处存在公切线，则函数
在点
处的切线在y 轴上的截距为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-5】已知函数
．
(1)求曲线
与
的一条公共切线方程
(2)证明：
；
(3)若
，求实数a 的取值范围．
题型09：与公切线有关的求值问题
技巧规律：
利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．
【典型例题1】斜率为的直线与曲线
和圆
都相切，则实数
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】A
【解析】设直线的方程为
，先根据直线和圆相切算出
，在根据导数的几何意义算
.
依题意得，设直线的方程为
，
由直线和圆
相切可得，
，解得
，
当
时，
和
相切，
设切点为
，根据导数的几何意义，
，
又切点同时在直线和曲线上，即
，解得
，
即
和
相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
和
仍会保持相切状态，即
时，
，
综上所述，
或
.
故选：A
【典型例题2】设曲线
和曲线
在它们的公共点
处有相同的切线，则
的值为 .
【答案】2
【解析】根据两曲线在
有公切线，则
是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出
的值，则
答案可求.
由已知得
，解得
，
又
，
所以
得
，
所以
，
所以
.
故答案为：2
【变式训练9-1】若曲线
与曲线
有且只有一个公共点，且在公共点处的切线
相同，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2】已知函数
，
，
．
(1)若
，
在
上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数
与
的图象有且只有一条公共切线，求
的值．
题型10：函数公切线求参数范围
技巧规律：
求函数
和
的公切线.
1：设函数
的切点为
，设函数
的切点为
；
2：求导数
与
，得函数
的斜率
，函数
的斜率
；
3：函数
的切线
，函数
的切线
；
4：化简得
，
；
5：对比得
，联立解方程得公切线.
【典型例题1】曲线
与曲线
有公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数
，利用导数求得单调性和最值，即可求得
的取值范围.
两个函数求导分别为
，
设
，
图象上的切点分别为
，
，
则过这两点处的切线方程分别为
，
，
则
，
，所以
，
设
，
，
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，且
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到
，从而构造函数
即可得解.
【典型例题2】已知曲线
与
有公共切线，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】设公切线与曲线的切点为
，
，利用导数的几何意义分别求
和
上的切
线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.
设公切线与曲线
和
的切点分别为
，
，其中
，
对于
有
，则
上的切线方程为
，即
，
对于
有
，则
上的切线方程为
，即
，
所以
，有
，即
，
令
，
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，故
，即
.
∴正实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【典型例题3】已知函数
，
，若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设函数
，
的切点坐标分别为
，
，根据导数几何意义可得
，
，即该方程有两个不同的实根，则设
，求导确定其单调性与取值情
况，即可得实数a 的取值范围.
解：设函数
上的切点坐标为
，且
，函数
上的切点坐标为
，且
，
又
，则公切线的斜率
，则
，所以
，
则公切线方程为
，即
，
代入
得：
，则
，整理得
，
若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则方程
有两个不同的实根，
设
，则
，令
得
，
当
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
又
可得
，则
时，
；
时，
，则函数
的大致图象如下：
所以
，解得
，故实数a 的取值范围为
.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的
几何意义，设切点坐标分别为
，且
，
，且
，可得
，即有
，得公切线方程为
，代入切点
将双变量方程
转化为
单变量方程
，根据含参方程进行“参变分离”得
，转化为一曲一直问
题，即可得实数a 的取值范围.
【变式训练10-1】已知函数
，若存在两条不同的直线与函数
和
图像均相切，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-2】若曲线
与曲线
存在公切线，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-4】若至少存在一条直线与曲线
和
均相切，则的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-5】若函数
与函数
的图象存在公切线，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-6】已知直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则k 的最大
值是（ ）
A．
B．
C．2e
D．4e
【变式训练10-7】如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线
和曲线
有且仅有两条公切线，那么常数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-8】已知函数
.
(1)若
在区间
上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数
和
有公切线，求实数
的取值范围.
题型11：函数公切线条数判断
技巧规律：
运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即
方程解的情况．
【典型例题1】若直线与曲线
和曲线
都相切，则直线的条数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．无数条
【答案】B
【解析】根据两函数解析式，在同一坐标系下画出函数图象，对两曲线进行求导，利用导函数的几何意义求出
斜率的表达式，再根据三角函数和指数函数的值域，即可求出公切线与两曲线的切点位置，进而确定公切线的
条数.
如图所示
设直线与曲线
的切点为
，与曲线
的切点为
，直线的斜率
；
所以，
，即在点
处的斜率为
，
，即在点
处的斜率为
，
得
；
又因为
，所以斜率
由
得，
或
；
由
得，
；
因此，存在
，
和
，
使得
，
即此时直线
即为两条曲线的公切线；
同时，存在
，
和
，
使得
，且
；
所以，直线
即为异于直线
的第二条曲线的公切线；
综上可知，直线的条数有2 条.
故选：B.
【典型例题2】曲线
与
的公共切线的条数为 ．
【答案】2
【解析】设公切线关于两函数图像的切点为
，则公切线方程为：
，则
，则公切线条数为
零点个数.
设公切线关于两函数图像的切点为
，则公切线方程为：
，则
，
注意到
，
，则由
，可得
.
则公切线条数为方程
的根的个数，
即函数
的零点个数.
，令
，则
，
得
在
上单调递增.因
，
则
，使得
.则
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
又注意到
，
，则
，
使得
，得
有2 个零点，即公共切线的条数为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大.
本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题
有范围，故选择消掉
，构造与
有关的方
程与函数.
【典型例题3】若直线与曲线
和
都相切，则直线的条数有（ ）
A．
B．
C．
D．无数条
【答案】C
【解析】先设出所求直线l，再通过设出的直线斜率得到切点，运用切点和斜率构造方程，再通过构造新的函数
求解方程解的情况
设直线
因为直线与曲线
和
都相切
所以对于曲线
，
，
，切点
对于曲线
，
，
，切点
因为公切线过A、B 两点
所以
进而可得
令
因为
，
均为增函数，又因为
，
所以存在
使得
即
所以
在
时单调递减，在
单调递增，
又因为
所以
当
时，
因为
，所以
所以在
内存在
使得直线与曲线
和
都相切
当
时，
因为
，所以
所以在
内存在
使得直线与曲线
和
都相切
所以综上所述，存在两条斜率分别为
的两条直线与曲线
和
都相切
故选：C
【点睛】①本题运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来
②通过构造新的函数求解所得到的跟直线斜率有关的方程
③通过零点存在性定理最后得到函数是否存在零点，即方程解的情况
【典型例题4】已知函数
，
.
（Ⅰ）讨论函数
在
上的单调性；
（Ⅱ）判断当
时，
与
的图象公切线的条数，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；（Ⅱ）两条，理由见解析.
【解析】（Ⅰ）对函数
进行求导，然后分类讨论，根据导函数的正负性求出函数的单调区间；
（Ⅱ）利用导数的几何意义求出
与
的图象的切线，将两个切线方程联立，消元得到一个方程，
根据方程解的个数就能确定公切线的条数，构造新函数，利用新函数的导数，结合零点存在原理进行求解即可.
（I）
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，由
得：
；由
得：
所以，函数
在
上单调递减，函数
在
上单调递增.
（Ⅱ）函数
在点
处的切线方程为
，
即
，
函数
在点
处的切线方程为
，即
.
若
与
的图象有公切线.
则
由①得
代入②整理得
③
由题意只须判断关于
的方程在
上解的个数
令
令
，解得
0
单调递减
极小值
单调递增
且
图象在
上连续不断
方程
在
及
上各有一个根
即
与
的图象有两条公切线.
【点睛】本题考查了利用导数研究研究函数的单调区间问题，考查了利用导数研究两函数图象公切线问题，考
查了分类讨论思想和数学运算能力.
【变式训练11-1】已知函数
，则
和
的公切线的条数为
A．三条
B．二条
C．一条
D．0 条
【变式训练11-2】若曲线
与
有三条公切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-3】已知曲线
与
恰好存在两条公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-4】已知曲线
与
恰好存在两条公切线，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-5】已知函数
，若
和
图象有三条公切线，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-6】已知函数
，
．
（1）求函数
的最小值（
为函数
的导函数）；
（2）试判断曲线
与
公切线的条数．
题型12：公切线综合
技巧规律：
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要
应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据
曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
【典型例题1】若直线
与直线
是曲线
的两条切线，也是曲线
的两
条切线，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．-1
D．
【答案】C
【解析】利用
和
互为反函数推得两条公切线
和
也互为反函数，结合导数的
几何意义表示出
，
，进而化简可得
，代入
化简可得答案.
由
和
互为反函数可知，
两条公切线
和
也互为反函数，
即
满足
，
，即
，
，
设直线
与
和
分别切于点
和
，
可得切线方程为
和
，
整理得：
和
，则
，
，
由
，得
，且
，
则
，所以
，
所以
,
故选：C
【点睛】本题考查了反函数的相关知识以及导数的几何意义的应用，解答时要注意利用导数的几何意义写出切
线方程并进行系数的比较，从而得出参数之间的关系式.
【典型例题2】已知曲线
与
的两条公切线所成角的正切值为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用反函数的性质、倍角公式以及切线方程进行求解.
因为
与
互为反函数，故图像关于
对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于
两点，且两条切线交点为
，
如图，
设
，则
，即
，解得
或-3（舍去），
故
，易求得曲线
的斜率为2 的切线方程为
，
故曲线
的斜率为2 的切线方程为
，
的斜率为2 的切线方程为
，故曲线
的斜率为2 的切线方程为
，
所以
，则
，则
.故A，B，D 错误.
故选：C.
【变式训练12-1】若曲线
上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线
的自公切
线，则下列方程对应的曲线中存在自公切线的为
①
； ②
； ③
； ④
.
A．②③
B．①②
C．①②④
D．①②③
【变式训练12-2】已知直线与曲线
和
分别相切于点
，
.有以下命题：
（1）
(
为原点)；（2）
；（3）当
时，
.则真命题的个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式训练12-3】若曲线
上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线
的“自公切线”，
则下列曲线
中，所有存在“自公切线”的序号为 ．
①
；
②
；
③
；
④
．
题型13：切线逼近求零点
技巧规律：
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【典型例题1】若函数
有3 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
有3 个零点，等价于函数
与函数
的图象有3 个交点，利用导
数求得两函数相切时的a 值，再利用数形结合即可求得实数
的取值范围
令
，得
，
所以函数
有3 个零点，
等价于函数
与函数
的图象有3 个交点，
作出函数
的图象，函数
的图象恒过
点，
当
时，显然函数
与函数
的图象仅有2 个交点，不符合题意；
当
时，当直线
与曲线
相切时，
不妨设切点坐标为
，
则曲线
在切点处的切线斜率
，
又因为切点也在直线
上，
所以
，解得
，则切点为
，此时
，
所以若函数
与函数
的图像仅有3 个交点，则
；
根据函数图象的对称性，
当
时，若函数
与函数
的图象仅有3 个交点，则
．
综上所述，实数
的取值范围是
．
故选：D．
【典型例题2】函数
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，当
时，
，若函数
恰有一个零点，则实数
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据条件判断函数周期为
，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为
与直线
只有一个交点，结合函数图像，即可求解.
函数
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，
，
，
即
，
的周期为
.
时，
，
，
，
，
周期为4，
，
当
，
当
，
做出函数
图像，如下图所示：
令
，
当
，
，
，两边平方得
，
，
此时直线与
在
函数图像相切，与函数有两个交点，
同理
，直线与
在
函数图像相切，与函数有两个交点，
则要使函数
在
内与直线
只有一个交点，
则
满足
，
周期为4，
范围也表示为
，
所以所有
的取值范围是
.
故选:D.
【点睛】本题考查函数零点的应用，根据函数的性质求出函数的周期性和对称性，利用数形结合思想是解决问
题的关键，综合性较强，属于难题.
【变式训练13-1】定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，若函数
有
个零点，则实数
的取值范围为．
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-2】已知函数
，
在
上有
个不同的零点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型14：双切线存在性
技巧规律：
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点.
不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，
则f′(x1)＝g′(x2)（平行），或者f′(x1)*g′(x2)=-1（垂直）
【典型例题1】设曲线
（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为
，曲线
上
任意一点处的切线为
，若对任意位置的
总存在
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】求得
的导数，设
，
为
上的任一点，可得切线的斜率
，求得
的导数，设
图象
上一点
，
可得切线
的斜率为
，运用两直线垂直的条件：斜率之积为
，分别求
的值域
，
的值域
，由题意可得
，可得
的不等式，可得
的范围．
解：
的导数为
，设
，
为
上的任一点，
则过
，
处的切线
的斜率为
，
的导数为
，
过
图象上一点
，
处的切线
的斜率为
．由
，可得
，
即
，任意的
，总存在
使等式成立．则有
的值域为
，
．
的值域为
，
有
，即
，
，
，即
，解得：
故选：
．
【典型例题2】设函数
图象上任意一点处的切线为
，总存在函数图象
上
一点处的切线
，使得
，则实数
的最小值为 .
【答案】
【解析】根据导数的几何意义求出两个函数的图象上任意一点出切线的斜率的值域，再将题意转化为两个值域
的子集关系，根据子集关系列式可得结果.
设函数
在点
处的切线为
，函数
在点
处的切线为
，
因为
，则
，
因为
，所以
，所以
，
而
，所以
，
依题意可知，对
，总
，使得
，所以
，
所以
且
，解得
所以实数
的最小值为
故答案为：
【点睛】结论点睛：若
，
，有
，则
的值域是
值域的子集.
【变式训练14-1】若对于函数
图象上任意一点处的切线
，在函数
的图象上总存在一条切线
，使得
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练14-2】（多选）若以函数
的图象上任意一点
为切点作切线
，
图象
上总存在异于P 点的点
，使得以Q 为切点的切线
与
平行，则称函数
为“和谐函数”，下
面函数中是“和谐函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型15：切线逼近：不等式整数解求参
技巧规律：
对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。
转化目标：
1.
一侧是可求导画图的函数
2.
一侧是含参型动直线。
3.
通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围
4.
要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。
【典型例题1】已知关于
的不等式
有且仅有两个正整数解（其中
为自然对数的底
数），则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】问题转化为
（
）有且仅有两个正整数解，讨论
、
并构造
、
，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.
当
时，由
，可得
（
），
显然当
时，不等式
在
恒成立，不合题意；
当
时，令
，则
在
上单调递增，
令
，则
，故
上
，
上
，
∴
在
上递增，在
上递减，
又
且
趋向正无穷时
趋向0，故
，
综上，
图象如下：
由图知：要使
有两个正整数解，则
，即
，解得
．
故选：D
【点睛】关键点点睛：问题转化为
（
）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调性及
正整数解个数列不等式组求范围.
【典型例题2】设函数
，其中
，若不等式
有且只有三个整数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将
变形为
，利用导数研究
的单调性，画出图像，通过图像，结合
不等式
有且只有三个整数解，列不等式组，解不等式组求得
的取值范围.
不等式
可化为
.令
，
，所以
在
上递增，在
上递减，且当
时，
，
时，
，
时，
.由此画出
的图
像如下图所示.函数
过点
，依题意
有且只有三个整数解，即
在
图像下方的部分，有且只有三个整数
满足.由图可知，
.
，所以
，
，所以
.故选：B
【点睛】本小题主要考查根据不等式的整数解的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查
化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
【变式训练15-1】已知函数f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0 的解集中恰有两个不同的正整数解，
则实数m 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-2】（多选）已知函数
，下列选项正确的是 （ ）
A．函数f（x）在（－2，1）上单调递增
B．函数f（x）的值域为
C．若关于x 的方程
有3 个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
D．不等式
在
恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是
一、单选题
1．若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
（ ）
A．11
B．12
C．
D．
2．已知函数
，则
和
的公切线的条数为（ ）
A．三条
B．二条
C．一条
D．0 条
3．若曲线
与曲线
有公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若函数
与
的图象有且只有一条公切线，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
二、多选题
6．若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，
，则（ ）
A．
恒成立的充要条件是
B．当
时，两个函数图象有两条公切线
C．当
时，直线
是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为
，则
三、填空题
8．试写出曲线
与曲线
的一条公切线方程 .
9．测）已知函数
，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a 的取值范围
．
四、解答题
10．已知函数
.
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求曲线
与
的公切线方程.
11．已知函数
，
，
．
（1）若函数
在
上单调递增，在
上单调递减，求实数
的取值范围；
（2）设曲线
在点
处的切线为，是否存在这样的点
使得直线与曲线
（其中
）也相
切？若存在，判断满足条件的点
的个数，若不存在，请说明理由．
12．已知函数
，
.
(1)若曲线
与曲线
在它们的交点
处具有公共切线，求实数
的值；
(2)若函数
无零点，求实数
的取值范围；
(3)当
时，函数
在
处取得极小值，求实数
的取值范围.
