第03 讲 与直线有关的最值取值范围
目 录
思维导图.............................................................................................................................................................................2
高考分析.............................................................................................................................................................................2
学习目标.............................................................................................................................................................................3
知识要点.............................................................................................................................................................................3
解题策略.............................................................................................................................................................................4
题型归纳.............................................................................................................................................................................5
题型01：直线倾斜角和斜率有关的最值范围.................................................................................................5
题型02：含参数双动直线的最值范围.............................................................................................................7
题型03：与两点间距离有关的最值范围.........................................................................................................9
题型04：与点到直线距离有关的最值范围..................................................................................................12
题型05: 距离之和型的最值问题................................................................................................................15
题型06: 距离差的最值问题........................................................................................................................20
题型07：截距之和型的最值问题...............................................................................................................24
题型08：周长型的最值问题........................................................................................................................24
题型09：面积型的最值问题........................................................................................................................25
题型10：距离乘积型的最值问题...............................................................................................................26
题型11：距离的平方和型的最值问题.......................................................................................................27
题型12：平行线间距离型的最值问题.......................................................................................................29
题型13：导数与平行线间的距离结合型...................................................................................................30
题型14：直线系方程问题............................................................................................................................31
与直线有关的最值问题是高考数学的常考内容，常与函数、不等式、圆、圆锥曲线等知识相结合，考查学
生的综合应用能力和数学思想方法的运用。以下是相关高考分析：
考频与题型
在全国卷及各地方卷中，与直线有关的最值问题几乎每年都会涉及，多以选择题、填空题形式出现，偶尔
也会在解答题中作为部分问题呈现，难度中等偏上。
常见类型及解题策略
• 距离型最值：包括点到直线的距离最值、直线上两点间距离最值等。比如求圆上一点到某条定直线距离
的最值，可先求出圆心到直线的距离d，则圆上点到直线距离的最小值为d - r，最大值为d + r（r 为圆半径）
再如，根据对称点的性质求直线同侧两点到直线上一点距离之和的最小值，可先求出其中一点关于直线的对称
点，再将对称点与另一点相连，该线段长度即为所求最小值。
• 斜率型最值：形如u= y -b
x -a
的式子，可看作是过点(x,y)与点(a,b)的直线的斜率。当点(x,y)在某一曲线
（如圆、圆锥曲线）上运动时，可通过分析曲线的切线斜率来求解u 的最值。
• 截距型最值：对于t = ax+by，可变形为y=-a
b x+ t
b ，t
b 可看作是直线ax + by - t = 0 在y 轴上的截
距。通过分析直线与已知图形（如圆、可行域等）的位置关系，求出截距的最值，进而得到t 的最值。
• 弦长型最值：直线与圆相交时，弦长l = 2❑√r
2-d
2（r 为圆半径，d 为圆心到直线的距离）。当直线过
圆内某一定点时，过该定点且与过此点的直径垂直的弦长最短，直径为最长弦长。
涉及的数学思想
• 数形结合思想：是解决直线最值问题的核心思想，通过将代数问题转化为几何图形中的距离、斜率、截
距等问题，直观地求解最值。
• 转化与化归思想：把复杂的直线最值问题转化为熟悉的、简单的几何模型或函数问题来处理，如将代数
式的最值转化为直线相关量的最值。
• 函数与方程思想：建立目标函数，利用函数的性质求最值，或者根据直线与曲线的位置关系，通过方程
的判别式、根与系数的关系等求解参数的最值。
在复习备考时，考生需要熟练掌握直线的基本性质和各类公式，多做典型题，体会不同类型问题的解题思
路和方法，提升综合运用数学知识解决问题的能力。
1. 知识掌握：熟练掌握直线的方程形式、点到直线的距离公式、两直线位置关系等基础知识点，能结合圆、
圆锥曲线等几何图形分析直线相关量的特征。
2. 类型识别：准确识别距离型、斜率型、截距型、弦长型等常见直线最值问题类型，明确不同类型问题的
核心诉求。
3. 方法运用：掌握数形结合、转化与化归、函数与方程等核心思想，能针对不同类型问题选择对应解题策
略，如利用对称点求距离和最值、通过切线斜率求斜率型最值等。
4. 综合应用：能将直线最值问题与函数、不等式、几何图形等知识融合，解决综合性问题，提升知识迁移
和逻辑推理能力。
5. 能力提升：培养从题目中提取关键信息、构建数学模型的能力，提高解题的准确性和效率，适应高考对
该类问题的考查要求。
一、距离公式
1、点到点的距离公式
平面内两点
，
间的距离公式为：
.
2、点到直线的距离公式：点
到直线
的距离
.
3、直线到直线的距离公式：两条平行直线
，
，
它们之间的距离为：
二、点关于直线的对称
1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，
一般地：设点
关于直线
的对称点
，
则
（2）当直线斜率不存在时：点
关于x=m 的对称点为
三、线段和与差的最值问题解题思路
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短；
2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短.
一、核心解题思想
1. 数形结合思想：将代数表达式转化为几何意义（如距离、斜率、截距），通过图形直观分析最值。
2. 转化与化归思想：把复杂最值问题转化为熟悉的基本模型（如“将军饮马”“切线模型”）。
3. 函数与方程思想：构建目标函数，或利用直线与曲线位置关系（如判别式、韦达定理）求最值。
二、常见类型及对应解题策略
1. 距离型最值
• 核心模型：点到直线的距离、两点间距离、平行线间距离的最值。
• 具体场景与策略：
点到定直线的距离最值：若点在曲线（圆、椭圆等）上，直接用点到直线距离公式，结合曲线范围求最
值。例：圆上点到定直线的距离最值=圆心到直线距离±半径。
直线上一点到两定点距离和/差最值：
两定点在直线同侧：求其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段长即为距离和的最小值
（“将军饮马”模型）。
两定点在直线异侧：连接两点，线段长即为距离和的最小值；延长线段交直线于一点，所得长度为距离
差的最大值。
2. 斜率型最值
• 核心模型：形如k= y - y0
x - x0
的表达式，几何意义是动点(x,y)与定点(x0, y0)连线的斜率。
• 解题策略：
1. 明确动点(x,y)的轨迹（如圆、直线、圆锥曲线）。
2. 求该轨迹上的点与定点连线的斜率范围，通过轨迹的切线斜率确定最值（联立方程，利用判别式⧍=0 求
切线斜率）。
3. 截距型最值
• 核心模型：形如z=ax+by（a,b≠0）的线性目标函数，几何意义是直线ax+by-z=0 在坐标轴上的截距。
• 解题策略：
1. 若在可行域（线性规划）中，平移直线ax+by=0，观察直线与可行域边界交点处的截距最值，即为z 的
最值。
2. 若动点在曲线（圆、椭圆等）上，转化为直线与曲线有公共点时的截距范围，利用圆心到直线距离d≤半
径（圆r）或判别式⧍≥0（椭圆）求解。
4. 弦长型最值
• 核心模型：直线与圆（或圆锥曲线）相交的弦长，公式为l = 2❑√r
2-d
2（圆，r 为半径，d 为圆心到直线
距离）或联立方程用韦达定理推导。
• 解题策略：
1 直线过圆内定点：弦长最值由圆心到直线的距离d 决定，d 最大时弦长最短（d 为圆心到定点的距离），
d=0 时弦长最长（为直径）。
2 直线过圆外定点：求切线长或割线长最值，可结合勾股定理转化为点到圆心距离的最值。
三、通用解题步骤
1. 分析题意：提取已知条件（直线方程、动点轨迹、目标表达式）。
2. 转化几何意义：将目标表达式转化为距离、斜率、截距等几何量。
3. 构建模型：结合图形（直线、圆、曲线）确定最值对应的几何位置（如切线、对称点、交点）。
4. 计算求解：运用公式（距离、弦长）、代数方法（判别式、函数求导）或几何性质（圆的半径、对称
性）求出最值。
5. 验证结果：检查几何位置的合理性及计算准确性。
题型01：直线倾斜角与斜率最值范围
【典型例题1】．直线
的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为
,
若
,则
,
①当
时，
(当且仅当
时，取“
”)，
②当
时，
(当且仅当
时，取“
”)，
，故
，
综上，
，
故选：C.
【典型例题2】．直线
的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先利用正弦函数的有界性求出斜率的范围，由斜率的范围求出倾斜角的范围.
易得斜率必存在，设
的倾斜角为
且
，
由
可得斜率
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
故选：C
【变式训练1-1】．若
，则直线
的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】．已知点
关于直线
的对称点为
，经过点
作直线，若直线与连接
，
两点的线段总有公共点，则直线的斜率
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．直线
的倾斜角
的取值范围是
B．“
”是“直线
与直线
互相垂直”的充要条件
C．若直线
与直线
相交，且交点的横坐标的范围为
，则实数
的取值
范围是
D．经过点
且在
轴和
轴上截距都相等的直线方程为
【变式训练1-4】．已知直线过点
，且不过第四象限，则直线的斜率
的最大值是 .
【变式训练1-5】．已知直线
，
，则直线的倾斜角的取值范围是 .
【变式训练1-6】．已知两点
，过点
的直线与线段
有公共点．
(1)求直线的斜率
的取值范围；
(2)求直线的倾斜角
的取值范围．
题型02：含参双动直线中的最值范围
【典型例题1】．设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
相交于点
不重合），则
面积的最大值是（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点
与定点
，进而可得
，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
由题意直线
过定点
，
直线
可变为
，所以该直线过定点
，
所以
，
又
，
所以直线
与直线
互相垂直，
所以
，
所以
即
，
当且仅当
时取等号,
所以，
，即
面积的最大值是
.
故选：D.
【典型例题2】．设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，
则
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】由直线解析式，确定两定点的坐标以及两直线的位置关系，由垂直，根据勾股定理，可得两线段平方
和为定义，结合完全平方公式与基本不等式，可得答案.
解：由题意可得动直线
过定点
，
直线
可化为
，
令
，可解
，即
，
又
，故两直线垂直，即交点为
，
，
由基本不等式可得：
，
，解得：
，
当且仅当
时取等号．
故选：B．
【变式训练2-1】．设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的最大值是（ ）
A．4
B．10
C．5
D．
【变式训练2-2】．设
，若过定点A 的动直线
和过定点B 的动直线
交
于点M（
与
不重合），则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【变式训练2-3】．已知
,若过定点
的动直线:
和过定点
的动直线
:
交于点
(
与
,
不重合),则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【变式训练2-4】．设
，过定点A 的动直线
和过定点B 的动直线
交于点
，则
的最大值是 .
【变式训练2-5】．设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的值是 .
题型03：与两点距离有关的最值范围
【典型例题1】．已知
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】先求出点
关于线段
的对称点
的坐标，且有
.根据几何意义，结合
图象，即可得出取最小值时，点
的位置，进而得出答案.
如图，过点
作点
关于线段
的对称点
，则
.
设
，则有
，解得
，所以
.
设
，则
，所以
，
又
，所以点
到
轴的距离为
，
所以，
可视为线段
上的点
到
轴的距离和到
的距离之和.
过
作
轴，显然有
，当且仅当
三点共线时，和有最小值.
过点
作
轴，则
即为最小值，
与线段
的交点
，即为最小值时
的位置.
因为
，所以
的最小值为
.
故选：B．
【典型例题2】．代数式
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由两点之间距离公式分析出
表示
到
、
的距离
之和，求出
关于
对称点为
，连接
交
于点
，此时
最小.
由两点之间距离公式可以得到
表示点
到
的距离，
表示点
到
的距离，
所以代数式
表示
，由图像可知
在
在运动，所以易得
关于
对称点为
，
连接
交
于点
，此时
最小，最小值为
.
故选：B.
【典型例题3】．某同学在研究函数
|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数
变形为
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
在区间
上单调递减，
上单调递增
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的最小值为
，没有最大值
D．方程
的实根个数为2
【答案】ACD
【解析】由变形后的解析式可得
为点
到
与
的距离之和，即
.
对A，由图即可判断；
对B，由
即可判断；
对C，结合三角形的三边关系可判断
在区间
上单调递减，即可判断最值；
对D，由函数的单调性即可判断
由变形后的解析式可得
为点
到
与
的距离之和，即
.
对A，由图易得
均在
上单调递减，在
上单调递增，故函数
在区间
上单调
递减，
上单调递增，A 对；
对B，由
，故函数
的图象不关于直线
对称，B 错；
对C，当
时，
，故此时
在区间
上单调递减，故
在
取得最小值，为
，没有最大值，C 对；
对D，
在区间
上单调递减，
上单调递增，且最小值为
，没有最大值，故方程
的实根个数为2，D 对.
故选：ACD
【变式训练3-1】.设
的最小值为_______.【变式训练3-2】.已知
x，y∈R，
，则S 的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【变式训练3-3】.已知实数x，y，则
的最小值是
______.
【变式训练3-4】.已知点
为直线
上的动点，
，则
m 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．
D．
【变式训练3-5】.直线
与直线
交于点Q，m 是实数，O 为坐标原点，则
的最大值是（ ）
A．2 B．
C．
D．4
【变式训练3-6】．已知
，则
的最小值为 ．
【变式训练3-7】．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决.例如，与
相关的代数问题，可以转化为点
与点
之间
的距离的几何问题.结合上述观点，下列结论正确的是（ ）
A．函数
有1 个零点
B．函数
有2 个零点
C．函数
有最小值
D．关于x 的方程
的解为
【变式训练3-8】．已知点
分别在直线：
与直线
：
上，且
，点
，则
的最小值为 ．
【变式训练3-9】．求函数
的最小值．
【变式训练3-10】.函数f (x)=
❑√x
2+2 x +5+
❑√x
2-6 x +10的最小值是（ ）
A．5
B．4
C．1+2❑√5
D．❑√17+2
【变式训练3-11】．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问
题可以转化为几何问题加以解决，如：❑√(x -a)
2+( y -b)
2可以转化为平面上点M (x , y)与点N (a,b)的距离.
结合上述观点，可得f (x)=
❑√x
2+10 x +26+
❑√x
2+6 x +13的最小值为（ ）
A．5
B．❑√29 C．❑√13 D．2+ ❑√13
题型04：点到直线距离的最值
【典型例题1】.若点
在直线
上，则点P 到坐标原点的最小距离为（ ）
A．
B．
C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意得：点
在直线
上，
则点P 到坐标原点的最小距离为原点到直线
的距离，
即
，故选：C
【典型例题2】.设实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4 C．
D．8
【答案】C
【解析】
，
所以
表示直线
上的点与点
的距离，
所以最小值为
.故选：C.
【典型例题3】.已知直线l 经过2x＋y－5＝0 与x－2y＝0 的交点，则点A(5,0)到l 的距离的最大值为
________．
【答案】
【解析】联立方程
，解得：
，
故交点坐标为
，直线l 经过点
，
则点A(5,0)到l 的距离的最大值为AB 的长，
且
.
【典型例题4】.设直线
，
为直线上动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
表示点
到点
距离的平方，
该距离的最小值为点
到直线的距离，即
，
则
的最小值为
.
故选：A.
【变式训练4-1】．设点
满足
，则“
”是“
为定值”的
（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练4-2】.已知点
在直线
上的运动，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3】．已知实数x，y 满足直线l 的方程x +2 y +3=0，则❑√x
2+ y
2-2 y +1的最小值为______．
【变式训练4-4】．若点(m,n)在直线l:3 x +4 y -13=0上，则❑√(m-1)
2+n
2的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．2
D．6
【变式训练4-5】．在平面直角坐标系中，从点P(2,4)向直线y -4-k ( x -4)=0（k 为参数）作垂线，垂
足为M，O 为坐标原点，则线段| MO|的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式训练4-6】．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式
符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线
就是一条形状优美的曲线，若
是曲线C 上任意一点，则
的最小值是
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式训练4-7】．在平面直角坐标系
中，已知直线：
，点
，则点A 到直
线的距离的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-8】．若对圆
上任意一点
，
的取值与
，
无关，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式训练4-9】．若动点
，
分别在直线
和直线
上移动，求线段
的中
点
到原点的距离的最小值为 ．
【变式训练4-10】．已知动点
在直线
上，则
的最小值为 .
【变式训练4-11】.已知直线l 的方程为(2-m)x +(2m+1) y +3m+ 4 =0，其中m∈R求出当m 变化时，
点Q(3,4)到直线l 的距离的最大值为________．
【变式训练4-12】．已知定点
和直线
.求证：不论
取何
值时，点
到直线的距离不大于.
题型05:距离之和型的最值问题
一： 点共线型（将军饮马）
【典型例题1】.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，
诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先
到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线的方程为
，则“将军饮马”的最
短总路程为（ ）
A．
B．5 C．
D．
【答案】D
【解析】由
关于
的对称点为
，
所以
，可得
，即对称点为
，又
所以“将军饮马”的最短总路程为
.
故选：D
2．已知点A (3,-1),B (5,-2)，且点P在直线x + y =0上，若使|PA|+|PB|取得最小值，则点P的坐标为
（ ）
A．(
13
5 ,- 13
5 )
B．(
12
5 ,- 12
5 )
C．(-2,2)
D．(2,-2)
【答案】A
【解析】首先求出A (3,-1)关于直线x + y =0的对称点C (1,-3)，再求出直线BC，与直线x + y =0求交点即
可.
因为A (3,-1)代入直线x + y =0得到3-1>0，B (5,-2)代入直线x + y =0得到5-2>0，
所以A ,B在直线x + y =0的同侧.设A (3,-1)关于直线x + y =0的对称点为C (m,n)，
则¿，解得¿，即C (1,-3)所以k BC =-3+2
1-5 = 1
4 ，lBC: y +2= 1
4
(x -5)，即x - 4 y -13=0.所以¿，即
P(
13
5 ,- 13
5 ).故选：A
【典型例题2】．在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之
和最小的点的坐标是 ．
【答案】（2，4）
【解析】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：
假设在四边形ABCD 中任取一点P，在△APC 中，有AP＋PC＞AC，在△BPD 中，有PB＋PD＞BD，
而如果P 在线段AC 上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP＋PD＝BD.
如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P(2,4)．
【典型例题3】．已知点P，Q 分别在直线l1: x + y +2=0与直线l2: x + y -1=0上，且PQ⊥l1，点
A (-3,-3)，B(
3
2 , 1
2)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为．
A．
❑√130
2
B．
❑√13+ 3 ❑√2
2
C．❑√13 D．3 ❑√2
【答案】B
【解析】设A
'(- 3
2 ,- 3
2)，则四边形A A
'QP为平行四边形，故而|AP|+|PQ|+|QB|就是
|A
'Q|+ 3 ❑√2
2
+|QB|的最小值，又|A
'Q|+ 3 ❑√2
2
+|QB|的最小值就是|A
' B|+ 3 ❑√2
2
.
因为PQ⊥l1,l1∥l2，故|PQ|=|2-(-1)|
❑√2
= 3 ❑√2
2
，
k A A
'=1，故A A
'⊥l1，所以A A
'∥PQ，又|A A
'|= 3 ❑√2
2
，所以|A A
'|=|PQ|，故四边形A A
'QP为平行四
边形，|AP|+|PQ|+|QB|=|A
'Q|+ 3 ❑√2
2
+|QB|，因为|A
'Q|+|QB|≥|A
' B|= ❑√13，当且仅当A
' ,Q ,B三点
共线时等号成立，|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为❑√13+ 3 ❑√2
2
，选B.
【点睛】本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定
点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
【典型例题4】．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点M (3,4)，则
|MA|+|AB|+|BM|的最小值是（ ）．
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【解析】依题意，作图，分两类讨论：①当A与B重合于坐标原点O时；②当A与B不重合时，从而可求得答
案．
依题意，作图如下：
设点M (3,4)关于y轴的对称点为P(-3,4)，关于x轴的对称点
为Q(3,- 4)，则| MB|=| PB|，| MA |=| AQ|，当A与B重合于坐标原点O时，
| MA |+| AB|+|BM |=| PO|+|OQ|=| PQ|=
❑√[3-(-3)]
2+(- 4 - 4)
2=10；
当A与B不重合时，如图，| MA |+| AB|+|BM |=| PB|+| AB|+| AQ|>| PQ|=10；
∴当A与B重合于坐标原点O时，| MA |+| AB|+|BM |取得最小值10．
故选：B．
【变式训练5-1】．已知点P 为直线
上的一点，M，N 分别为圆
：
与圆
：
上的点，则
的最小值为（ ）
A．5
B．3
C．2
D．1
【变式训练5-2】．已知两点
，点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．9
C．
D．10
【变式训练5-3】．已知点
，
分别为圆
：
，
：
上的动点，
为
轴上一点，则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-4】．下列结论正确的有（ ）
A．过点
，
的直线的倾斜角为
B．若直线
与直线
垂直，则
C．已知
，
及x 轴上的动点P，则
的最小值为5
D．直线
与直线
之间的距离为
【变式训练5-5】．已知
，点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．9
C．10
D．
【变式训练5-6】.已知点
，
，点
在
轴上，则
的最小值为（ ）
A．6 B．
C．
D．
【变式训练5-7】.已知两点
，点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．9 C．
D．10
【变式训练5-8】.已知点M，N 分别在直线：
与直线
：
，且
，点
，
，则
|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-9】.设
，求
的最小值是
_______.
【变式训练5-10】．已知点P，Q分别在直线l1：x + y +2=0与直线l2：x + y -1=0上，且PQ⊥l1，点
A (-3,-3)，B (2,1)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为______．
【变式训练5-11】.已知平面内点一定点A (-3,1)，点M、N 分别是x 轴和直线2 x + y -5=0上的两个动点，
则|AM|+|MN|的最小值为______．
【变式训练5-12】．已知
、
，点
在
轴上，且使
取得最小值，则最小值为
，此时点
的坐标为 .
【变式训练5-13】．已知
.
(1)求经过点
且与点
距离最远的直线的方程；
(2)若点
，试在直线上求一点
，使得
最小，并求最小值.
二：换元型
【典型例题1 】. 已知m∈R, 若过定点A的动直线l1:x -my +m-2=0和过定点B的动直线l2:
y -4=-m(x +2)交于点P(P与A,B不重合),则|PA|+|PB|的最大值为（ ）
A．5❑√6 B．5❑√5 C．5❑√2 D．5
【答案】C
【解析】首先确定定点A和定点B的坐标,再判定两条直线是垂直关系,从而得到|PA|
2+|PB|
2为定值,利用三角函
数求解最值即可.
根据题意:动直线l1:x -my +m-2=0过定点A (2,1),动直线l2:y -4=-m(x +2)过定点B (-2,4),
|AB|=
❑√4
2+3
2=5,∵直线l1:x -my +m-2=0和直线l2:y -4=-m(x +2)⇒mx + y +2m-4=0满足:
m×1+ (-1)×m=0,∴ l1⊥l2,∵直线l1与直线l2交于点P,∴ PA ⊥PB,∴ |PA|
2+|PB|
2=|AB|
2=25,
∴ △PAB为直角三角形,且|AB|=5,设∠PAB =θ,θ∈(0, π
2 ),则|PA|=5cosθ,|PB|=5sinθ,
∴ |PA|+|PB|=5cosθ+5sinθ =5❑√2sin(θ+ π
4 ),∵θ∈(0, π
2 ),∴θ+ π
4 ∈(
π
4 ,3π
4 ),∴当θ+ π
4 = π
2
即θ = π
4 时,|PA|+|PB|的最大值为5❑√2.故选:C.
【典型例题2】．已知直线l:kx - y +2+3k =0经过定点P．
(1)证明：无论k 取何值，直线l 始终过第二象限；
(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，当1
2 | PA |+ 1
3 | PB|取最小值时，求直线l 的方
程．
【答案】(1)证明见解析(2)x - y +5=0．
【解析】（1）将kx - y +2+3k =0变形为k( x +3)+2- y =0，解方程组¿，即可证明结论；
（2）设直线l 的倾斜角为α，可表示出| PA |=
2
sin α ,| PB|=
3
cosα ，即得1
2 | PA |+ 1
3 | PB|的表达式，
利用换元法，结合三角函数性质，求出当1
2 | PA |+ 1
3 | PB|取最小值时参数的值，即可求得答案.
（1）证明：由kx - y +2+3k =0可得：k( x +3)+2- y =0，由¿ 可得¿，所以l 经过定点P(-3,2)；即直线l
过定点(-3,2),且定点在第二象限，所以无论k 取何值，直线l 始终经过第二象限．
（2）设直线l 的倾斜角为α，则0<α <π
2 ，可得| PA |=
2
sin α ,| PB|=
3
cosα ，
所以1
2 | PA |+ 1
3 | PB|=
1
sin α +
1
cosα = sin α +cosα
sin α cosα ，令t =sin α +cosα = ❑√2sin(α +π
4 )，
因为0<α <π
2
，可得π
4 <α +π
4 < 3 π
4 ,
❑√2
2 <sin(α +π
4 )≤1，即t = ❑√2sin(α +π
4 )∈(1,❑√2]，
将t =sin α +cosα两边平方可得：t
2=(sin α +cosα )
2=1+2sin α ⋅cosα，所以sin α cosα = t
2-1
2
，
所以
1
2 | PA |+ 1
3 | PB|= sin α +cosα
sin α cosα =
t
t
2-1
2
= 2t
t
2-1
=
2
t - 1
t
，因为y =t - 1
t 在(1,❑√2]上单调递增，所以
0<t - 1
t ≤
❑√2
2
，故y =
1
t - 1
t
≥❑√2
，所以
2
t - 1
t
≥2❑√2
，当且仅当t = ❑√2时取等号，此时
t = ❑√2sin(α +π
4 )= ❑√2，
可得α =π
4
，所以k = tan α = tanπ
4
=1，所以直线的方程为x - y +5=0．
【变式训练5-1】.过定点M (1,2)作两条相互垂直的直线l1、l2，设原点到直线l1、l2的距离分别为d1、d2，
则d1+d2的最大值是__．
【变式训练5-2】．已知一条动直线3(m+1) x +(m-1) y -6m-2=0，直线l 过动直线的定点P，且直线
l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点．
(1)是否存在直线l 满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6．若存在，求出直线l 的方
程；若不存在，请说明理由．
(2)当|PA|+ 3
2|PB|取得最小值时，求直线l 的方程．
题型06：线段差的最值
【典型例题1】．已知点
，
是
轴上的动点，
是圆
上的动点，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求出
关于
轴的对称点
的坐标，则
，再由
求出
即可.
解：因为
关于
轴的对称点为
，则
所以
，当且仅当
、
、
三点共线（且
在
与
之间）时取等号，
由圆
的圆心为
，半径
，
因为
，
所以
，即
的最大值为
；
故选：D
【典型例题2】.已知点
，
，在
轴上找一点
使
最大，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
作点
关于
轴的对称点
，
由对称性可知
，则
.
当
、
、
三点不共线时，由三角形三边关系得
；
当
、
、
三点共线时，
.
所以，
，当且仅当
、
、
三点共线时，等号成立，
此时，直线
的斜率为
，
直线
的方程为
，即
，
在直线
的方程中，令
，解得
，即点
.
故选：D.
【典型例题3】.已知点
，
，直线
，点P 为直线l 上一点，则
的最大
值为________．
【答案】
【解析】如图，作B 关于l 的对称点
，设
，
则
，解得
，所以
．
因为
与B 关于l 对称，所以
，
所以
，
当且仅当P 为
与l 的交点时取等号．
所以
的最大值为
.
【典型例题4】.在直线l：3x－y－1＝0 上求点P 和Q，使得
(1)点P 到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)点Q 到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
【答案】（1）P(2,5)； （2）Q( 11
7 , 26
7 )．
【解析】(1)设点B 关于l 的对称点B′的坐标为(a，b)，求得B′的坐标，进一步可得直线AB′的方程，联立直线方
程即可求得点P 的坐标.
(2)设点C 关于l 的对称点为C′，求得C′的坐标，进一步可得直线AC′的方程，联立直线方程即可求得点Q 的坐
标.
(1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B′的坐标为(a，b)，
则kBB′·k1＝－1，
即3×b- 4
a
=-1 ，∴a＋3b－12＝0.①线段BB′的中点坐标为( a
2 , b+ 4
2
)，且中点在直线l 上，
∴3×a
2 - b+ 4
2
－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是直线AB′的方程为y -1
3-1 = x - 4
3- 4 ，即2x＋y－9＝0．
解¿得¿ 即l 与直线AB′的交点坐标为P(2,5)，且此时点P 到点A，B 的距离之差最大．
(2)如图所示，设点C 关于l 的对称点为C′，
求出C′的坐标为( 3
5 , 24
5 ) ．
∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，解得直线AC′和l 交点坐标为( 11
7 , 26
7 )，
故Q 点坐标为( 11
7 , 26
7 )，且此时点P 到点A，C 的距离之和最小．
【点睛】本题主要考查直线方程的应用，最值问题的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
【变式训练6-1】.直线
分别交
轴和
于点
，
为直线
上一点，则
的最
大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练6-2】．已知点
，且点
在直线
上，则（ ）
A．存在点
，使得
B．存在点
，使得
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【变式训练6-3】.已知点
在直线
上，
，
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-4】．已知点
，
，点
在
轴上，则
的取值范围是 .
【变式训练6-5】．已知点
在直线
上运动，点
是圆
上的动点，点
是圆
上的动点，则
的最大值为 ．
【变式训练6-6】.若直线ax+by=ab（a>0，b>0）过点（1，1），则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最
小值为
【变式训练6-7】．已知直线l：
.
(1)直线l 交x 轴于A，交y 轴于B，求△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)；
(2)在直线l 求一点P，使它分别到点
的距离和最小并求最小值.
【变式训练6-8】．已知点
，点P 在x 轴上使
最大，求点P 的坐标．
【变式训练6-9】．已知平面上两点A (4,1)和B (0,4)，在直线l:3 x - y -1=0上求一点M．
(1)使||MA|-|MB||最大值；
(2)使|MA|+|MB|最小．
【变式训练6-10】.过点P（1，4）做直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小
时，求此直线的方程.
【变式训练6-11 】. 已知两点A(-3,3)，B(5,1)，直线l: y = x，在直线l上求一点P，使
|| PA |-| PB||最大．
题型07：截距之和型的最值问题
【典型例题】.直线2 x +a
2 y -a=0(a>0)与x、y轴的交点分别是A、B两点，则直线在x、y轴上的截距
之和的最小值是__________.
【答案】❑√2
【解析】求出直线在两坐标轴上的截距，利用基本不等式可求得两截距之和的最小值.
在直线AB的方程中，令y =0，可得x = a
2 ；令x =0，可得y =1
a，即点A(
a
2 ,0)、B(0,1
a)，
因此，直线2 x +a
2 y -a=0(a>0)在x、y轴上的截距之和为a
2 +1
a ≥2❑√
a
2 ⋅1
a = ❑√2，
当且仅当a= ❑√2时，等号成立.
故直线在x、y轴上的截距之和的最小值是❑√2.
故答案为：❑√2.
题型08：周长型的最值问题
【典型例题】．在直角坐标系xOy中，点A，B 分别在射线y =2 x (x≥0)和射线上y =-1
2 x (x≥0)运动，
且△AOB的面积为1，则A，B 两点横坐标之积为___________，△AOB周长的最小值为___________.
【答案】 4
5 或0.8 2❑√2+2
【解析】设A (a,2a)(a>0)，B(b,-1
2 b)(b>0)，根据面积为1 可得ab=4
5 ，根据基本不等式可求周长的最
小值.
因为2×(-1
2)=-1，故直线y =2 x与直线y =-1
2 x垂直.设A (a,2a)(a>0)，B(b,-1
2 b)(b>0)，
故S△AOB=1
2 ×|OA|×|OB|=1
2 ×❑√5a×
❑√5
2
b=5
4 ab=1，故ab=4
5
.
△AOB的周长为L= ❑√5a+
❑√5b
2
+ ❑√5a
2+5
4 b
2≥2❑√
5
2 ab+
❑√2❑√
25
4 a
2b
2=2❑√2+2，
当且仅当a= b
2 即a=
❑√10
5
,b=2❑√10
5
时等号成立，故L的最小值为2❑√2+2.故答案为：4
5 ，2❑√2+2.
【变式训练8-1】.点B在x轴上运动，点C在直线l: x - y +2=0上运动，若A (1,2)，则△ABC的周长的最
小值为___________.
【变式训练8-2】.已知点A（3，1），在直线y=x 和y=0 上分别找一点M 和N，使△AMN 的周长最短，最短
周长为
【变式训练8-3】.点M（3，5），在直线l∶x-2y+2=0 和y 轴上各找一点P 和Q 使 △MPQ 周长最小
【变式训练8-4】.m∈R，动直线l1: x +my -1=0过定点A，动直线l2:mx - y -2m+ ❑√3=0过定点B，
若直线l1与l2相交于点P（异于点A ,B），则ΔPAB周长的最大值为_________
题型09：面积型的最值问题
【典型例题】．如图，已知直线l1∥l2，点A 是l1，l2之间的定点，点A 到l1，l2之间的距离分别为3 和
2，点B 是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC 与l1交于点C，则△ABC 的面积的最小值为________．
【答案】6
【解析】以A 为坐标原点，平行于l1的直线为x 轴，建立直角坐标系,写出B,C 的坐标，求出AB,AC 的长，代入
三角形面积公式，利用均值不等式求最值即可.
以A 为坐标原点，平行于l1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，
设B(a，－2)，C(b，3)．∵AC AB
⊥
，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝6
a
.
Rt
ABC
△
的面积S＝1
2
❑√a
2+ 4⋅
❑√b
2+9= 1
2
❑√a
2+ 4⋅❑√
36
a
2 +9
= 1
2
❑√
72+9a
2+ 144
a
2 ≥1
2
❑√72+72=6.
【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，三角形的面积，均值不等式，属于中档题.
【变式训练9-1】.在平面直角坐标系xOy(O 为坐标原点)中，不过原点的两直线l1: x -my +2m-1=0，
l2:mx + y -m-2=0的交点为P，过点O 分别向直线l1，l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN 面积
的最大值为（ ）
A．3
B．3
2
C．5
D．5
2
【变式训练9-2】．过定点A 的直线(a+1) x - y +2=0与过定点B的直线x +(a+1) y - 4 a-2=0交于点
P( P与A ､B不重合），则△PAB面积的最大值为（ ）
A．❑√2
B．2❑√2 C．2
D．4
【变式训练9-3】．已知直线l:mx - y -4m+1=0与两坐标轴正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点，
则△AOB面积的最小值为______________
题型10：距离乘积型的最值问题
【典型例题1】．设m∈R，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx - y -m+3=0交于点
P( x , y)
，则|PA|⋅|PB|
的最大值是______．
【答案】5
【解析】试题分析：易得A(0,0),B(1,3).设P( x , y)，则消去m得：x
2+ y
2- x -3 y =0，所以点P 在以AB
为直径的圆上，PA ⊥PB，所以| PA |
2+| PB|
2=| AB|
2=10，| PA |×| PB|≤| AB|
2
2
=5.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA ⊥PB，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
【典型例题2】．直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A、B．点O 是坐标原点．
(1)当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程；
(2)当| MA | | MB|最小时，求直线l 的方程．
【答案】（1）x＋2y－4＝0（2）x＋y－3＝0
【解析】(1)如图，设|OA |＝a，|OB|＝b，△ABO 的面积为S，则S＝1
2
ab，并且直线l 的截距式方程是
x
a + y
b ＝1，
由直线通过点(2，1)，得2
a + 1
b ＝1，所以
a
2 ＝
1
1－1
b
＝
b
b－1.
因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得
S＝a
2
×b＝
b
b－1
×b＝b
2－1＋1
b－1
＝b＋1＋1
b－1＝b－1＋1
b－1＋2≥2＋2＝4.
当且仅当b－1＝1
b－1，即b＝2 时，面积S 取最小值4，这时a＝4，直线的方程为x
4 + y
2 ＝1.
即直线l 的方程为x＋2y－4＝0.
(2)如上图，设∠BAO＝θ，则| MA |＝1
sinθ ，| MB|＝
2
cosθ ，所以| MA | | MB|＝1
sinθ
·
2
cosθ ＝
4
sin 2θ ，
当θ＝45°时，| MA | | MB|有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l 的方程为x＋y－3＝0
【变式训练10-1】.（多选）设m 是不等于零的实数，过定点M 的动直线x +my =0和过定点N 的动直线
mx - y -m+3=0交于点P(x, y)，下列结论正确的是（ ）
A．定点N 的坐标是(1,3)
B．|MN|= ❑√10
C．|PM|⋅|PN|的最大值是5
D．|PN|⋅|PM|的最大值5❑√2
【变式训练10-2】．设λ∈R，动直线l1: λx - y + λ =0过定点A，动直线l2: x + λy -3-2 λ =0过定点B，
若P为l1与l2的交点，则|PA|⋅|PB|的最大值为_____．
【变式训练10-3】．已知直线l过两直线l1: x -2 y =0，l2:2 x + y -5=0的交点P，且分别交x轴、y轴的
正半轴于A ,B两点．
(1)若直线l与3 x + 4 y +5=0垂直，求直线l的方程；
(2)当|PA|⋅|PB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程．
【变式训练10-4】．在平面直角坐标系中，
(1)已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(0,－3)，C(－2,1)，求：BC 边上高线所在的直线的方
程．
(2)若直线l的方程为ax +2 y -a-2=0（a∈R），且直线l在x轴上截距是y轴上截距的1
2，求该直线的
方程．
(3)过点P(3,1)作直线l分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A，B．求当⃗AP⋅⃗PB取得最小值时直线l的
方程．
【变式训练10-5】．直线l过点P(2,3)且分别与x , y轴正半轴于A ,B两点，O为原点．
(1)当|OA|⋅|OB|取最小时，求直线l的方程；
(2)当|PA|⋅|PB|取最小值时，求直线l的方程．
题型11：距离的平方和型的最值问题
一： 距离平方和问题
【典型例题1 】．已知m∈R，若过定点A的动直线l1: x -my +m-2=0和过定点B的动直线
l2: y -4=-m( x +2)交于点P（P与A，B不重合），则错误的是（ ）
A．A点的坐标为(2,1) B．点P 的轨迹方程x
2+ y
2-5 y =0
C．P A
2+ P B
2=25
D．2 PA + PB的最大值为5❑√5
【答案】B
【解析】求出直线恒过的定点可判断A，由已知可得两条直线互相垂直，由此可验证B、C，由已知可得
PA ⊥PB，设∠PAB=θ，进而求出2 PA + PB的最大值，即可判断D．
由动直线l1: x -my +m-2=0，得x -2+m(1- y)=0，所以定点A (2,1)，故A 正确；
由动直线l2: y -4=-m( x +2)，可得B (-2,4)，由l1: x -my +m-2=0和l2:mx + y -4+2m=0，满足
1×m+(-m)×1=0所以l1⊥l2，可得PA ⊥PB，所以|PA|
2+|PB|
2=|AB|
2= (2+2)2+(1-4)❑
2=25，故C
正确；设P(x, y)，则(x -2)
2+( y -1)
2+(x +2)
2+( y -4)
2=25，即点P 的轨迹方程为x
2+ y
2-5 y =0，而P与
A，B不重合，则x≠±2，故B 错误；因为PA ⊥PB，设∠PAB=θ，θ为锐角，则|PA|=5cosθ，
|PB|=5sinθ，所以2|PA|+|PB|=5(2cosθ+sinθ)=5❑√5sin(θ+φ)，
所以当sin(θ+φ)=1时，2|PA|+|PB|取最大值5❑√5，故D 正确．故选：B．
【变式训练11-1】.若点M (a,b)为直线❑√3 x - y +3=0上的动点，则a
2+(b+1)
2的最小值为___________.
【变式训练11-2】.设P是△ABC内的一点，且BC =2，CA =3，AB =4，则2 P A
2+3 P B
2+4 PC
2的最
小值为_________.
【变式训练11-3】．为了树立学生正确的劳动观，培养学生优良的劳动态度和劳动习惯，南充高中计划
在劳动教育实践基地新增一块三角形状菜地，如图，经测量，AB = AC =5a，BC =6a，为方便浇灌菜
地，要在菜地内铺设水管安装水龙头，记安装水龙头的地点为点P，请你设计点P在菜地内的位置，使
|PA|
2+|PB|
2+|PC|
2最小，并求出这个最小值.
二： 与函数结合型
函数f ( x)= x
2+ 1
x
2 -ax - a
x -b有零点，则a
2+b
2的最小值为___．
【答案】4
5
##0.8
【分析】原问题等价于( x + 1
x )
2
-a( x + 1
x )-b-2=0有解，设x + 1
x =t(|t|≥2)，则t
2-at -b-2=0，将关于
t的方程看成关于a,b的直线方程at +b+2-t
2=0，则a
2+b
2可视为直线上的点(a,b)到原点的距离的平方，
从而即可求解.
【详解】解：因为函数f ( x)= x
2+ 1
x
2 -ax - a
x -b有零点，
所以方程x
2+ 1
x
2 -ax - a
x -b=0有解，即方程( x + 1
x )
2
-a( x + 1
x )-b-2=0有解，
设x + 1
x =t (|t|≥2)，则t
2-at -b-2=0，将关于t的方程看成关于a,b的直线方程at +b+2-t
2=0，则a
2+b
2
可视为直线上的点(a,b)到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方，
所以d
2=(
|t
2-2|
❑√t
2+1
2)
2
= (t
2-2)
2
t
2+1
=(t
2+1)+
9
t
2+1
-6，令m=t
2+1，则d
2=m+ 9
m -6，
因为|t|≥2，所以m=t
2+1≥5，由对勾函数的单调性知y =m+ 9
m -6在[5,+∞)上单调递增，
所以(d
2)min=5+ 9
5 -6= 4
5 ，所以a
2+b
2的最小值为4
5
.
三： 与导数结合型
【典型例题2】.已知函数f ( x)=a ❑√x -1+b- ln x -1，若关于x的方程f ( x)=0在[e,e
2]上有解，则
a
2+b
2的最小值为______．
【答案】9
e
2
设函数f (x)在[e,e
2]上的零点为m，则由a ❑√m-1+b- ln m-1=0，则P(a,b)在直线
l:❑√m-1× x + y - ln m-1=0上，则a
2+b
2可看作是O到直线l的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得
到答案
【解析】解：设函数f (x)在[e,e
2]上的零点为m，则a ❑√m-1+b- ln m-1=0，
所以点P(a,b)在直线l:❑√m-1× x + y - ln m-1=0上，设O为坐标原点，则a
2+b
2=|OP|
2，其最小值就
是O到直线l的距离的平方，所以
❑√a
2+b
2=|OP|≥|lnm+1|
❑√m
=lnm+1
❑√m
，m∈[e,e
2]，
设t = ❑√m∈[❑√e,e]，设g(t )= 2ln t +1
t
，则g
' (t )= 1-2lnt
t
2
≤0(t ∈[❑√e,e])，所以g(t )在[❑√e,e]上单调递
减，所以g(t )min= g (e)= 3
e ，所以
❑√a
2+b
2≥3
e 即a
2+b
2≥9
e
2 ，所以a
2+b
2的最小值为9
e
2 ，
故答案为：9
e
2
【变式训练11-4】．若实数a，b，c，d满足(b-a
2+ ln a)
2+(c -d -2)
2=0，则(a-c)
2+(b-d )
2的最小
值为__________.
【变式训练11-5】．若实数a，b，c，d 满足3ln a-a
2
b
= c -2
d
=1，则❑√(a+c)
2+(b+d )
2的最小值为
____________．
题型12：平行线间距离型的最值问题
【典型例题】.已知两直线l1与l2，直线l1经过点(0,3)，直线l2过点(4,0)，且l1∥l2．
(1)若l1与l2的距离为4，求两直线的方程；
(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
【答案】(1)l1: x =0，l2: x =4或l1:7 x -24 y +72=0，l2:7 x -24 y -28=0．
(2)最大距离为12；l1:4 x -3 y +9=0，l2:4 x -3 y -16=0．
【解析】（1）分斜率不存在，斜率存在两种情况讨论，利用平行线的距离公式即得解；
（2）若l1与l2之间的距离最大，则l1，l2均与A (0,3)，B (4,0)连线AB垂直，利用斜率关系即得解.
（1）当l1，l2斜率不存在时，l1: x =0，l2: x =4，l1与l2的距离为4，满足条件；
当l1，l2斜率存在时，设l1:kx - y +3=0，l2:kx - y - 4 k =0，则|3+4k|
❑√k
2+1
=4，即24k -7 =0，解得k =7
24 ，
此时，l1:7 x -24 y +72=0，l2:7 x -24 y -28=0．
综上，l1: x =0，l2: x =4或l1:7 x -24 y +72=0，l2:7 x -24 y -28=0．
（2）若l1与l2之间的距离最大，则l1，l2均与A (0,3)，B (4,0)连线AB垂直，而AB的斜率k =-3
4 ，
所以l1，l2的斜率均为4
3 ，此时l1:4 x -3 y +9=0，l2:4 x -3 y -16=0．
【变式训练12-1】.直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最
大时，直线l1的方程是（ ）
A．x +2 y -3=0 B．x - y -3=0
C．x +2 y +3=0 D．x - y +3=0
【变式训练12-2】．已知两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．
(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；
(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
题型13：导数与平行线间的距离结合型
【典型例题1】．已知点P 在函数f (x)=ln x - x +2的图像上，点Q 是在直线x +2 y -2ln2-6=0上，记
M =|PQ|，则（ ）
A．M 有最小值3❑√10
5
B．当M 取最小值时，点Q 的横坐标是12
5
C．M 有最小值3❑√5
5
D．当M 取最小值时，点Q 的横坐标是14
5
【答案】D
【解析】先判定与直线l平行且与f (x)=ln x - x +2的图像相切的直线的位置，切点到直线l的距离即为M 的最
小值，再利用导数的几何意义求出切点坐标和M 的最小值，再联立直线方程求出Q 的横坐标.
将x +2 y -2ln2-6=0化为y =-1
2 x +ln2+3，即直线l 的斜率为-1
2 ，因为f (x)=ln x - x +2，所以
f
' (x)=1
x -1，令f
' (x)=1
x -1=-1
2 ，得x =2，∴当M 最小时，点P 的坐标为(2,ln2)，
此时点P 到直线l的距离为d =4
❑√5 =4 ❑√5
5
，所以M 的最小值为4 ❑√5
5
；过点P 且垂直于l的直线方程为
l
':2 x - y +ln2-4=0，联立¿，得x =14
5
，即点Q 的横坐标为xQ=14
5
.故选D
【典型例题2】.若点P 是曲线y = x
2上一动点，则点P 到直线y =2 x -3的最小距离为________.
【答案】2❑√5
5
【解析】利用导数求出与直线y =2 x -3平行且与曲线相切的直线l，切点到直线y =2 x -3的距离即为最小距
离.
设f ( x)= x
2，f
'( x)=2 x，设直线l与曲线y = x
2相切，切点为P( x0, y0)，且直线l与直线y =2 x -3平行，则
有f
'( x0)=2，得x0=1，∴y0=1，即P(1,1)
如图所示：
此时P到直线2 x - y -3=0的距离最小，d =|2-1-3|
❑√4 +1 = 2❑√5
5
.
故答案为：2❑√5
5
【变式训练13-1】．已知P(x , y)是函数y =e
x+ x图象上的点，则P到直线2 x - y -3=0的最小距离为___．
【变式训练13-2】．若点P是曲线y = x
2-ln x -1上任意一点，则点P到直线y = x -3的最小距离为
___________.
【变式训练13-3 】．设a,b∈R，c>0，则❑√(a-b)
2+(e
a-b)
2+
❑√(c -b)
2+(ln c -b)
2的最小值为
__________．
题型14：直线系方程问题
直线系方程的常见类型
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k 是参数，直线系中未包括直线x＝x0)；
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ 是参数且λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ 是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝
0(λ∈R，但不包括l2)．
一： 平行直线系方程问题
【典型例题1】.过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0 平行的直线方程为________________．
【解析】设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线
方程为2x＋3y＋10＝0.
【答案】 2x＋3y＋10＝0
【变式训练14-1】.已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0 平行，l1与x 轴、y 轴围成面积为8 的三角形，求
直线l1的方程．
【变式训练14-2】.已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1 的直线l 的
方程．
二： 垂直直线系方程问题
【典型例题2】.经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0 垂直的直线l 的方程为________________．
【解析】因为所求直线与直线2x＋y－10＝0 垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2,1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.
【答案】x－2y＝0
【变式训练14-3】.求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0 垂直的直线l 的方程．
三： 相交直线系方程问题
【典型例题3】．经过直线3x－2y＋1＝0 和直线x＋3y＋4＝0 的交点，且平行于直线x－y＋4＝0 的直线
方程为__________．
【解析】过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，它
与直线x－y＋4＝0 平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－，故所求直线为x－y＝0.
答案：x－y＝0
【变式训练14-4】.已知两条直线l1：x－2y＋4＝0 和l2：x＋y－2＝0 的交点为P，求过点P 且与直线l3：
3x－4y＋5＝0 垂直的直线l 的方程．
