文档文本内容
第03 讲 曲线的切线方程
目录
思维导图.......................................................................................................................................................................2
高考分析.......................................................................................................................................................................2
学习目标.......................................................................................................................................................................2
知识要点.......................................................................................................................................................................3
解题策略.......................................................................................................................................................................4
题型归纳.......................................................................................................................................................................5
题型01：导数与切线斜率的关系..................................................................................................................................5
题型02：曲线在某点处的切线问题...............................................................................................................................8
（一）已知曲线和切线斜率，求切点坐标..............................................................................................................8
（二） 已知切点和切线斜率，求曲线...................................................................................................................8
（三）已知曲线和切点，求切线方程.....................................................................................................................9
题型03：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为
）.....................................................12
题型04：已知切线求参数问题....................................................................................................................................16
题型05：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）...........................................................................18
题型06：公切线问题..................................................................................................................................................25
题型07：切线平行、垂直、重合问题.........................................................................................................................32
题型08： 切线倾斜角取值范围..................................................................................................................................36
题型09： 满足条件的切线是否存在...........................................................................................................................37
题型10：与切线相关的最值问题................................................................................................................................39
1. 考查频率与题型
属于高考数学高频考点，在全国卷及各省市自主命题卷中均有涉及，可出现在选择题、填空题（基
础或中档难度，分值5 分），也常与函数单调性、极值最值、不等式证明结合出现在解答题（多为第1 问，
分值4-6 分）。
2. 考查内容范围
① 核心是导数的几何意义：函数y=f(x)在点x_0 处的导数f'(x_0)就是曲线在点P(x_0,f(x_0))处的切线
斜率。
②常考曲线类型：基本初等函数（幂、指、对、三角）的曲线、含参函数曲线、隐函数曲线（如圆、
椭圆、双曲线等圆锥曲线的切线问题，可结合导数或几何性质求解）。
③拓展考点：过点切线问题（点不在曲线上的情况）、切线方程的应用（如求切线与坐标轴围成的
图形面积、切线的条数问题）。
3. 命题趋势
近年高考更注重综合性与应用性，切线方程常与函数的极值、最值、零点问题，以及不等式、解析
几何知识交汇命题；同时增加对含参问题的考查，侧重分类讨论思想和数形结合思想的运用。
1. 知识目标
①深刻理解导数的几何意义，明确“切线斜率”与“导数”的等价关系。
②熟练掌握曲线在某点处切线方程和过某点的曲线切线方程的求解步骤。
③掌握隐函数求切线的方法，能结合圆锥曲线的几何性质解决切线问题。
2. 能力目标
① 能快速识别切线问题的类型（在点处/过点），选择对应的解题方法。
②具备处理含参切线问题的能力，能通过分类讨论、数形结合分析参数的取值范围。
③能够将切线方程与函数、不等式等知识结合，解决综合性问题。
3. 素养目标
①培养数学抽象素养，理解导数几何意义的本质；提升数学运算素养，熟练完成求导、解方程等运算。
②强化数形结合与分类讨论的数学思想，提升分析和解决综合问题的能力。
用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查同学们对导数的
几何意义的正确理解。主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的
切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。
知识点一：导数的几何意义：
函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(即
（
为切线的倾斜角）)．相应地，切线方程为
y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
注：曲线
在点
处的切线是指P 为切点，斜率为
的切线，是唯一的一条切线。
但曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。
知识点二：求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法
（1）已知切点P(x0，f (x0))，求y＝f (x)过点P 的切线方程
求曲线
在
处切线的步骤：
◆先求
，即曲线
在
P(x0，f (x0))
处切线的斜率．
◆再求
，则切线过点
；
◆最后由点斜式写出直线方程：
．
特别的，如果
在点
处的切线平行于
轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：
切线方程为：
x=x0 ．
（2）已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点
斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′
(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜
率，再由k＝f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P，P 不一
定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．
(6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．
解题策略
1. 核心题型1：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程
◦ 步骤1：求导函数f'(x)；
◦ 步骤2：计算切线斜率k=f'(x0)；
◦ 步骤3：代入点斜式y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)，整理为一般式或斜截式。
◦ 注意：此情况中点P 一定在曲线上，切线唯一。
2. 核心题型2：过点Q(x1,y1)作曲线y=f(x)的切线方程（点Q 不一定在曲线上）
◦ 步骤1：设切点为P(x0,f(x0))，求导得切线斜率k=f'(x0)；
◦ 步骤2：根据点斜式写出切线方程y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)；
◦ 步骤3：将点Q(x1,y1)代入切线方程，得到关于x0的方程，解方程求出x0；
◦ 步骤4：将xx0_0 的值代回切线方程，得到所有满足条件的切线方程。
◦ 注意：方程解的个数对应切线的条数，需检验解的合理性。
3. 核心题型3：隐函数（如F(x,y)=0）的切线方程
◦ 方法：利用隐函数求导法则，两边对x 求导（把y 看作x 的函数），解出y'，再按照“在点处切线”的步骤求
解；对于圆、椭圆等圆锥曲线，也可利用其几何性质（如圆心到切线的距离等于半径）求解。
题型01：导数与切线斜率的关系
【典型例题1】函数
的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
如图所示，根据导数的几何意义，可得
表示切线斜率
，
表示切线
斜率
，
又由平均变化率的定义，可得
，表示割线
的斜率
，
结合图象，可得
，即
.
故选：C.
【典型例题2】函数
的图象如图所示，
是函数
的导函数，则下列大小关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由导数的几何意义判断
由图象可知
在
上单调递增，
，
故
，即
故选：B
【变式训练1-1】（多选题）已知函数
的图象如图所示，
是
的导函数，则下列数值的排序正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】函数
的图象如图所示，
是函数
的导函数，则下列数值排序正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】曲线
在
处切线的斜率为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1-4】函数
在
处切线的斜率为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1-5】曲线
在点
处的切线的斜率为____________．
【变式训练1-6】如图，直线是曲线
在点
处的切线，则
的值等于______ ．
题型02：曲线在某点处的切线问题
（一）已知曲线和切线斜率，求切点坐标
【典型例题】已知曲线
上过切点
的一条切线的斜率为1，则
___________.
【答案】
【解析】根据导数的几何意义，由
即可解出．
因为
，所以
，由题意可知，
，解得
或
（舍去）．
故答案为：
．
【变式训练2-1-1】已知函数
的图像在点
处的切线与y 轴交于点
，则切点的
纵坐标为（ ）
A．7
B．
C．
D．4
【变式训练2-1-2】直线
与曲线
相切，则切点的横坐标为_________．
（二）已知切点和切线或切线斜率，求曲线
【典型例题】设曲线
在点
处的切线方程为
，则
___________.
【答案】
【解析】求导，根据导数几何意义求出函数
在
处的导函数值为切线的斜率.
所以函数
在
处的导函数值为
，根据导数几何意义可得
故答案为：
【变式训练2-2-1】已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，则
______.
【变式训练2-2-2】若函数
的图象在点
处的切线方程为
，则
（ ）
A．1
B．0
C．－1
D．e
【变式训练2-2-3】已知函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
等于（
）
A．2
B．1
C．0
D．﹣2
【变式训练2-2-4】曲线
的一条切线的斜率为
（为自然对数的底数），该切线的方程为 ____．
（三）已知曲线和切点，求切线方程
【典型例题1】设函数
，则曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用导数的几何意义求在
处切线的斜率，进而即可得切线方程.
因为
，所以
，所以
，
即
在
处切线方程的斜率为
，
又因为
，所以切线方程为
，整理得
，
故选：B
【典型例题2】设函数
，若
为奇函数，则曲线
在点（0，0）处的切
线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据该函数为奇函数，求出a 的值，然后求出
得所求切线斜率，最后利用点斜式求出切线的方程
，函数为奇函数，有
，即
，
故
，即
，
所以
，所以
，
，
，
所以曲线
在点（0，0）处的切线斜率为
，切线方程为：
.
故选：A.
【典型例题3】已知函数
，其中为自然对数的底数，则曲线
在
处的切线方
程为__________.
【答案】
.
【解析】求解导函数，计算
与
的值，再利用直线点斜式写出切线方程即可.
求导可得
，则
，又
，
则曲线
在
处的切线方程为
，
整理得
.
故答案为：
.
【典型例题4】已知函数
为偶函数，当
时，
，则曲线
在
处的切线方
程为___．
【答案】
【解析】由偶函数求
时
的解析式，并写出导函数，进而求
、
，写出切线方程即可.
若
，则
，由
是偶函数，得
，
∴
时，
，而此时的
，即
，
∴曲线
在
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
【变式训练2-3-1】函数
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3-3】已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3-2】直线
与曲线
相切于点
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式训练2-3-4】已知
，则曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3-5】已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
，则函数
的图象
在点
处的切线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3-6】曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．4x－y+8＝0
B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0
D．3x+y+6＝0
【变式训练2-3-7】过函数
图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3-8】曲线
在点
处的切线方程为kx −y +6=0，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式训练2-3-9】已知函数
图像关于原点对称，则
在
处的切线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3-10】已知
，求曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角
形的面积S．
【变式训练2-3-11】曲线
在点
处的切线方程是 ．
【变式训练2-3-12】函数
在点
处的切线方程为 .
【变式训练2-3-13】若函数
的图象在点
处的切线恰好经过点（2，3），则a＝
．
【变式训练2-3-14】曲线
在点
处的切线方程为__________．
【变式训练2-3-15】曲线
在点
处的切线方程为___________．
题型03：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为
）
【典型例题1】函数
过点
的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】设切点
，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过
代入求参数m，即
可得切线方程.
由题设
，若切点为
，则
，
所以切线方程为
，又切线过
，
则
，可得
或
，
当
时，切线为
；当
时，切线为
，整理得
.
故选：C
【典型例题2】若过点
的直线与函数
的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点
代入方程，解出切点坐标即可完成求解.
因为函数
，所以
，
设切点为
，则切线方程为：
，
将点
代入得
，
即
，解得
或
，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
【典型例题3】过原点作曲线
的切线，则切点的横坐标为_________．
【答案】
【解析】可设切点的坐标为
, 求出函数的导数, 由导数的几何意义可得切线的斜率，又由切线经过原点，
从而可得切线方程，将切点代入即可解可得的值，从而得出答案.
由题意得，设切点的坐标为
，
的导数
，
则有
，即切线的斜率
，
又因为切线经过原点，设切线方程为
，
将切点代入得
，化简得
，所以
.
故答案为：
.
【典型例题4】过点
作曲线
的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】
【解析】考虑
与
时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将
代入，得到相应的斜率，相加得
到答案.
时，
，设切点
，
则
，
切线
过
，
，
，
时，
，切点
，
，
切线
过
，
，
，
故
.
故答案为：
.
【变式训练3-1】过坐标原点且与曲线
相切的直线斜率为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式训练3-2】过原点可以作曲线
的两条切线，则这两条切线方程为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【变式训练3-3】直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．2
B．-2
C．-1
D．1
【变式训练3-4】曲线
过点
的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-5】过点(0，-1)作曲线
的切线，则切线方程为
A．x+y+1=0
B．x-y-1=0
C．x+2y+2=0
D．2x-y-1=0
【变式训练3-6】已知
，则过点P(-1，0)且与曲线
相切的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式训练3-7】曲线y = ln| x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【变式训练3-8】已知函数
，则曲线
经过点
的切线方程是______．
【变式训练3-9】函数
，
（其中
），
的图象在点
处的切线与
的
图象相切，则
______.
【变式训练3-10】过原点与曲线
相切的一条切线的方程为 .
【变式训练3-11】过原点且与
相切的直线方程是 .
【变式训练3-12】已知函数
，则曲线
过点
的切线方程为 ．
【变式训练3-13】写出过点
，并且和曲线
相切的直线方程．
题型04：已知切线求参数问题
【典型例题1】．已知P 是曲线
上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为
，
若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可.
因为
，所以
，
因为曲线在M 处的切线的倾斜角
，
所以
对于任意的
恒成立，
即
对任意
恒成立，
即
，又
，当且仅当
，
即
时，等号成立，故
，
所以a 的取值范围是
．
故选：D．
【典型例题2】若函数
的图象在
处的切线方程为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】利用导数的几何意义可求出结果.
的定义域为
，
，
由题意可得
，即
，解得
，
故选：A
【典型例题3】若直线
是曲线
的切线，则
________．
【答案】2
【解析】设切点
，根据导数的几何意义列式求解即可.
对函数
求导得
，设直线
与曲线
相切于点
，则
，
由点
在切线上得
，即
，所以
，解得
，
．
故答案为：2
【典型例题4】已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
_____
【答案】
【解析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出
，再由切点坐
标，即可求出结果.
因为
的导数为
，
又函数
在点
处的切线方程为
，
可得
，解得
，
又切点为
，可得
，即
.
故答案为：
.
【变式训练4-1】直线
与曲线
相切于点
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式训练4-2】若直线
是曲线
的一条切线，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3】已知直线l 的斜率为2，l 与曲线
：
和圆
：
均相切，则
（ ）
A．－4
B．－1
C．1
D．4
【变式训练4-4】已知奇函数
在点
处的切线方程为
，则
（ ）
A．
或1
B．
或
C．
或2
D．
或
【变式训练4-5】已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
的值为
_________．
【变式训练4-6】已知直线
与曲线
相切，则
_________.
【变式训练4-7】已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
_____
【变式训练4-8】已知直线
与曲线
相切，则
的最小值为________.
题型05：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）
【典型例题1】若过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】C
【解析】设切点为
，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点
在切线上，即可代入切线方程，
解得
，即可得解；
解：设切点为
，由
，所以
，所以
，
所以切线方程为
，即
，因为切线过点
，
所以
，
解得
或
，
所以过点
作曲线
的切线可以作2 条，
故选：C
【典型例题2】若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设切点坐标为
，由切点坐标求出切线方程，代入坐标
，关于
的方程有两个不同的实数解，
变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
设切点坐标为
，由于
，因此切线方程为
，又切线过点
，则
，
，
设
，函数定义域是
，则直线
与曲线
有两个不同的交点，
，
当
时，
恒成立，
在定义域内单调递增，不合题意；当
时，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，所以
，结合图像知
，即
.
故选：D.
【典型例题3】若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线
的图象，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线.
在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出
两条切线.由此可知
.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行
估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
【典型例题4】若过点
可作出曲线
的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P 带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两
个函数，
与
，借助导数研究函数
的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点
情况即可完成求解.
由已知，曲线
，即令
，则
，
设切点为
，切线方程的斜率为
，
所以切线方程为：
，将点
代入方程得：
，整理得
，
设函数
，过点
可作出曲线
的三条切线，
可知两个函数图像
与
有三个不同的交点，
又因为
，由
，可得
或
，
所以函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的极大值为
，函数
的极小值为
，
如图所示，
当
时，两个函数图像有三个不同的交点.
故选：C.
【变式训练5-1】若过点
可以作三条直线与曲线
相切，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】过直线
上一点
可以作曲线
的两条切线，则点
横坐标的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3】若过点
可以作三条直线与曲线C：
相切，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-4】已知
，若过点
可以作曲线
的三条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-5】若过点
可以作曲线
的三条切线，则（）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-6】已知函数
，过点M（1，t）可作3 条与曲线
相切的直线，则实数t 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-7】过点
有
条直线与函数
的图像相切，当
取最大值时，
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-8】已知函数
，若过点
能作三条直线与
的图像相切，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-9】若过点
与曲线
相切的直线只有2 条，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-10】函数
为
上的奇函数，过点
作曲线
的切线，可
作切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【变式训练5-11】若曲线
有两条过点
的切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-12】【多选】若曲线
（e 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a 的取
值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【变式训练5-13】已知函数
，过点
作曲线
的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，可作两条切线，则b 的值为
B．当
，
时，可作两条切线
C．当
，
时，有且仅有一条切线
D．当
时，可作三条切线，则
【变式训练5-14】（多选）已知过点
作曲线
的切线有且仅有1 条，则
的可能取值为
（ ）
A．－5
B．－3
C．－1
D．1
【变式训练5-15】（多选）过
轴上一点作函数
的图象的切线，则切线的条数可能为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式训练5-16】已知函数
，不论
为何值，曲线
均存在一条固定的切线，
则这条切线的方程是_________．
【变式训练5-17】若曲线
只有一条过坐标原点的切线，则
=______.
【变式训练5-18】过点
可以作两条直线与曲线
相切，则实数a 的取值范围是______．
【变式训练5-19】过点
作曲线
的切线有且只有两条，切点分别为
，
，则
.
【变式训练5-20】过点
有条直线与函数
的图象相切，则
的取值范围为______．
题型06：公切线问题
【典型例题1】若直线
是曲线
的切线，也是
的切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设直线
与
和
的切点分别为
，
，
分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到
的值.
设直线
与
和
的切点分别为
，
，
则切线方程分别为，
，
，
化简得，
依题意上述两直线与
是同一条直线，
所以，
，解得
，
所以
．
故选：C．
【典型例题2】若曲线
与曲线：
有公切线，则实数
的最大值为（ ）
A．
+
B．
-
C．
+
D．
+
【答案】C
【解析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得
，整理得
，利用导数研究函数的单调性求出
即可得出结果.
设在曲线
上的切点为
，则切线斜率为
，
在曲线
上的切点为
，切线斜率为
，
所以切线方程分别为
、
，
即
、
，
有
，整理得
，
设
，则
，
令
，令
，
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以在
上
，如图，
由图可知
，即k 的最大值为
.
故选：C.
【典型例题3】若两曲线
与
存在公切线，则正实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设公切线与曲线的切点为
，
，利用导数的几何意义分别求
和
上
的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数
范围.设公切线与曲线
和
的交点分别为
，
，其中
，
对于
有
，则
上的切线方程为
，即
，
对于
有
，则
上的切线方程为
，即
，
所以
，有
，即
，
令
，
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，故
，即
.
故选：B.
【点睛】应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造
函数研究单调性求参数范围.
【典型例题4】已知曲线
与曲线
相交，且在交点处有共同的切线，则
，
切线方程为 ．
【答案】
【解析】解析：设两曲线的交点为
，∵
，
，∴由题意可
得
解得
，
，故
，∴切线方程为
．
【典型例题5】若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
．
【答案】5
【解析】由直线
是曲线
的切线求解
，可得切线方程，再设直线
与曲线
的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求．
由
，得
，由
，解得
，
则直线
与曲线
相切于点
，
∴
，得
，
∴直线
是曲线
的切线，
由
，得
，设切点为
，
则
，且
，联立可得
，
解得
，所以
．
∴
．
故答案为：5．
【变式训练6-1】若函数
与函数
有公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】（多选）若两曲线
与
存在公切线，则正实数a 的取值可能是（ ）
A．1.2
B．4
C．5.6
D．
【变式训练6-3】已知曲线
和曲线
，若存在斜率为1 的直线
与
，
同时相切，则b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-4】若两曲线y=x2-1 与y=alnx-1 存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-5】若直线
（
）为曲线
与曲线
的公切线，则l 的纵截距
（ ）
A．0
B．1
C．e
D．
【变式训练6-6】若直线
与曲线
相切，直线
与曲线
相切，则
的
值为（ ）
A．
B．1
C．e
D．
【变式训练6-7】.已知函数
，
．若经过点
存在一条直线l 与曲线
和
都相切，则
（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．3
【变式训练6-8】已知
，
，直线与函数
，
的图象都相切，且与
图象的切点为
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-9】若函数
与
的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-10】已知函数
，其反函数为
，若直线
为
与
的图象的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．这样的
不存在
【变式训练6-11】若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l 的方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=
x+1
D．y=
x+
【变式训练6-12】3.已知函数
，
，若直线
与函数
，
的图象都相
切，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式训练6-13】若仅存在一条直线与函数
（
）和
的图象均相切，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-14】若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．26
D．28
【变式训练6-15】若直线
与曲线
和
均相切，则直线的方程为
_______.
【变式训练6-16】已知曲线
与曲线
有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
【变式训练6-17】若存在直线与曲线
，
都相切，则
的范围是__________.
【变式训练6-18】已知直线分别与曲线
，
相切于点
，
，则
的
值为 .
【变式训练6-19】已知直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
的
值为 .
【变式训练6-20】已知函数
，
．
(1)若
的图像在点（1，f（1））处的切线过（3，3），求函数y=xf（x）的单调区间；
(2)当a>0 时，曲线f（x）与曲线g（x）存在唯一的公切线，求实数a 的值．
题型07：切线平行、垂直、重合问题
【典型例题1】函数
存在与直线
平行的切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先求导数，利用导数的几何意义可求答案.
函数
存在与直线
平行的切线，即
在
上有解，
而
，所以
，因为
，所以
，所以
．
所以
的取值范围是
．
当直线
就是
的切线时，设切点坐标
，
可得
，解得
．
所以实数
的取值范围是：
．
故选：B．
【典型例题2】对于三次函数
，若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处点的切线
重合，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，然后求得
，由
求得
，设
，由
得
及
，再由
得
，解得
后可得
．
设
，
，
设
，则
，即
……①
又
，即
……②
由①②可得
，
.
故选：B.
【典型例题3】若直线
与两曲线
分别交于
两点，且曲线
在点
处的切线为
，曲
线
在点
处的切线为
，则下列结论：
①
，使得
；②当
时，
取得最小值；
③
的最小值为2；④
最小值小于
．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】先利用导数求得
两条切线方程，令
,可知
，故存在零点，①正确；
，通过求导讨论单调性可知
有最小值，进而可以判断最小值范围，可以判断②正确，③错误，
④正确.
解：由直线
与两曲线
分别交于
两点可知：
曲线
上
点坐标
，可求导数
，则切线
斜率
，可知切线
：
.
曲线
上
点坐标
，可求导数
，则切线
斜率
.
令
，则
，令
，
，
由零点存在定理，
使
，即
，使
，即
，故①正确.
，令
，由
同理可知有
，使
，令
，
在
处取最小值，即当
时，
取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在
上是减函数，
，故③错误，④正确.
故选：C
【变式训练7-1】已知函数
图象上存在两条互相垂直的切线，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】已知函数f(x)＝x2＋2x 的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则
x2－x1的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式训练7-3】函数特性
：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下
列函数中满足特性
的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-4】若函数
的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-5】若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数a 的值为（ ）
A．－4
B．－3
C．4
D．3
【变式训练7-6】设曲线
在点
处的切线与直线
平行，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-7】已知函数
的图象上存在不同的两点
，使得曲线
在这两
点处的切线重合，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-8】若曲线
存在垂直于
轴的切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-9】（多选）若曲线
在
处的切线与直线
互相垂直，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-10】若曲线
在
处的切线平行于x 轴，则实数
_____________．
【变式训练7-11】若函数
的图像在点
处的切线与直线
平行，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-12】若曲线
在
处的切线与直线
相互垂直，则
______．
【变式训练7-13】已知函数
图像在点
和点
处的两条切线互相垂直，若
，则实数a 的范围是 ．
【变式训练7-14】二次函数
与
在它们的一个交点处切线互相垂直，
则
的最小值为 .
【变式训练7-15】已知曲线y＝
存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数： .
题型08： 切线倾斜角取值范围
【典型例题1】曲线
，在点
处的切线的倾斜角为____________.
【答案】
【解析】对所给曲线求导代入
，得到在
处的导数值，进而得到斜率，得倾斜角的正切值，得答案.
对
求导得，
，
当
时，
，
由导数的几何意义，在点
处的切线的斜率为
，
即
，所以
.
故答案为：
.
【典型例题2】函数
的图象在
处的切线对应的倾斜角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
.
【答案】D
【解析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在
处的切线斜率，再利用二倍角公式和平方关系式得到
的值．
因为
，
所以
，
当
时，
，此时
，
∴
．
故选：D.
【变式训练8-1】设P 是曲线
上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α 的取值范围是 __．
【变式训练8-2】已知点P 在曲线
上，
为曲线在点P 处的切线的倾斜角，求
的取值范围．
【变式训练8-3】设点
是曲线
上任意一点，直线过点
与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范
围为______.
【变式训练8-4】设点
是函数
图象上的任意一点，点
处切线的倾斜角为
，则
角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09： 满足条件的切线是否存在
【典型例题1】若曲线
存在垂直于
轴的切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
在
有解求解.
解：由题意，
在
有解，
则
在
有解，
因为
在
上单调增，
所以
，
则
，
故选：C．
【典型例题2】若曲线
存在与直线
平行的切线，则实数
的最大值为 .
【答案】3
【解析】首先求导，根据题意得到
在
有解，再设
，
，根据
求解即可.
，
因为曲线
存在与直线
平行的切线，
所以
在
有解.即
在
有解.
设
，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，即
.
所以
，即
的最大值为.
故答案为：3
【典型例题3】已知函数
．
(1)若m＝－4，求
的极值．
(2)是否存在非零实数m，使得直线
与曲线
相切？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)极小值为－27，
无极大值；
(2)存在；
.
【解析】（1）若m＝－4，则
．
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增．
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
故
在
处取得极小值，且极小值为－27，
无极大值．
（2）假设存在非零实数m，使得直线
与曲线
相切，且切点的横坐标为t，
因为
，所以
将（*）代入（**），得
，整理得t＝0 或
．
依题意可得t≠0，所以
，代入（*），得
或m＝0（舍去），
故存在非零实数m，使得直线
与曲线
相切，且
．
【变式训练9-1】函数
在区间
的图象上存在两条相互垂直的切线，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2】已知曲线
上一点
处的切线为，曲线
上至多存在一
条与垂直的切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-3】已知曲线
和
（
且
）存在一条过公共点的切线，则
的值为 ．
【变式训练9-4】已知函数
．
(1)讨论
的单调性．
(2)试问曲线
是否存在经过坐标原点且斜率不为0 的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，说明
你的理由．
题型10：与切线相关的最值问题
【典型例题1】若点P 是曲线
上任意一点，则点P 到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】求出平行于直线
且与曲线
相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即
可求解.
设平行于直线
且与曲线
相切的切线对应切点为
，
由
，则
，
令
，
解得
或
（舍去），
故点P 的坐标为
，
故点P 到直线
的最小值为：
.
故选：A.
【典型例题2】动直线分别与直线
，曲线
相交于
两点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当点
处的切线和直线
平行时，
的值最小，结合导数和解析式求得点
，再由点到直线
距离公式即可求解.
设点
是直线
上任意一点﹐点
是曲线
上任意一点，当点
处的切线和直线
平
行时，这两条平行线间的距离
的值最小﹐
因为直线
的斜率等于
，
曲线
的导数
，令
，
可得
或
(舍去)，故此时点
的坐标为
，
，
故选：A.
【典型例题3】已知点P 是曲线
上一点，若点P 到直线
的距离最小，则点P 的坐标
为___________.
【答案】
【解析】求出平行于直线
且与曲线
相切的切点坐标，此时曲线上的点P 到直线的距
离最小.
解：由题意知，曲线
，
，令
，得
（舍），所以
函数在
上单调递减，在
上单调递增，如下图所示，为曲线
与直线
在坐标系中的位置.
在点P 的切线与直线
平行时，此时曲线上的点P 到直线
的距离最小.设
，则
，则
，解得
（
舍去），所以
.
故答案为：
【典型例题4】已知函数
，直线的方程为
，则函数
上的任意一点
到直线的距离的
最小值为_________
【答案】
【解析】根据导数的几何意义，结合平行线间距离公式进行求解即可.
函数
上任意一点
的坐标为
，过该点的切线为，
当直线与直线
平行时，点
到直线的距离的最小，
由
，
所以直线的方程为
，
因此函数
上的任意一点
到直线的距离的最小值为
，
故答案为：
【变式训练10-1】已知
，
为正实数，直线
与曲线
相切，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
，
【变式训练10-2】曲线
上的点到直线
的最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式训练10-3】已知函数
在
处的切线为l，第一象限内的点
在切线l 上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-4】已知直线
是曲线
的切线，则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．
D．3
【变式训练10-5】若点
为曲线
上的动点，点
为直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式训练10-6】已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线l 对称，若P，Q 分别
为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-7】实数
，
，
，
满足：
，
，则
的最
小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．8
【变式训练10-8】在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线
上，则点P 到直线
的
距离的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【变式训练10-9】已知直线
与曲线
，
分别交于点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【变式训练10-10】已知函数
的图像在
处的切线与在
处的切线相互
垂直，那么
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-11】点
分别是函数
图象上的动点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-12】设
，
，则
的最小值为__________．
【变式训练10-13】设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
的最小值为
.
【变式训练10-14】已知点P 在函数
的图象上，点Q 在函数
的图象上，则
的最小
值为 .
【变式训练10-15】已知函数
，若
且
，则
最小值是 ．
