第03 讲 与直线有关的最值取值范围
目 录
思维导图.............................................................................................................................................................................2
高考分析.............................................................................................................................................................................2
学习目标.............................................................................................................................................................................3
知识要点.............................................................................................................................................................................3
解题策略.............................................................................................................................................................................4
题型归纳.............................................................................................................................................................................5
题型01：直线倾斜角和斜率有关的最值范围.................................................................................................5
题型02：含参数双动直线的最值范围...........................................................................................................10
题型03：与两点间距离有关的最值范围.......................................................................................................15
题型04：与点到直线距离有关的最值范围..................................................................................................24
题型05: 距离之和型的最值问题................................................................................................................32
题型06: 距离差的最值问题........................................................................................................................45
题型07：截距之和型的最值问题...............................................................................................................53
题型08：周长型的最值问题........................................................................................................................54
题型09：面积型的最值问题........................................................................................................................56
题型10：距离乘积型的最值问题...............................................................................................................57
题型11：距离的平方和型的最值问题.......................................................................................................61
题型12：平行线间距离型的最值问题.......................................................................................................65
题型13：导数与平行线间的距离结合型...................................................................................................67
题型14：直线系方程问题............................................................................................................................69
与直线有关的最值问题是高考数学的常考内容，常与函数、不等式、圆、圆锥曲线等知识相结合，考查学
生的综合应用能力和数学思想方法的运用。以下是相关高考分析：
考频与题型
在全国卷及各地方卷中，与直线有关的最值问题几乎每年都会涉及，多以选择题、填空题形式出现，偶尔
也会在解答题中作为部分问题呈现，难度中等偏上。
常见类型及解题策略
• 距离型最值：包括点到直线的距离最值、直线上两点间距离最值等。比如求圆上一点到某条定直线距离
的最值，可先求出圆心到直线的距离d，则圆上点到直线距离的最小值为d - r，最大值为d + r（r 为圆半径）
再如，根据对称点的性质求直线同侧两点到直线上一点距离之和的最小值，可先求出其中一点关于直线的对称
点，再将对称点与另一点相连，该线段长度即为所求最小值。
• 斜率型最值：形如u= y -b
x -a
的式子，可看作是过点(x,y)与点(a,b)的直线的斜率。当点(x,y)在某一曲线
（如圆、圆锥曲线）上运动时，可通过分析曲线的切线斜率来求解u 的最值。
• 截距型最值：对于t = ax+by，可变形为y=-a
b x+ t
b ，t
b 可看作是直线ax + by - t = 0 在y 轴上的截
距。通过分析直线与已知图形（如圆、可行域等）的位置关系，求出截距的最值，进而得到t 的最值。
• 弦长型最值：直线与圆相交时，弦长l = 2❑√r
2-d
2（r 为圆半径，d 为圆心到直线的距离）。当直线过
圆内某一定点时，过该定点且与过此点的直径垂直的弦长最短，直径为最长弦长。
涉及的数学思想
• 数形结合思想：是解决直线最值问题的核心思想，通过将代数问题转化为几何图形中的距离、斜率、截
距等问题，直观地求解最值。
• 转化与化归思想：把复杂的直线最值问题转化为熟悉的、简单的几何模型或函数问题来处理，如将代数
式的最值转化为直线相关量的最值。
• 函数与方程思想：建立目标函数，利用函数的性质求最值，或者根据直线与曲线的位置关系，通过方程
的判别式、根与系数的关系等求解参数的最值。
在复习备考时，考生需要熟练掌握直线的基本性质和各类公式，多做典型题，体会不同类型问题的解题思
路和方法，提升综合运用数学知识解决问题的能力。
1. 知识掌握：熟练掌握直线的方程形式、点到直线的距离公式、两直线位置关系等基础知识点，能结合圆、
圆锥曲线等几何图形分析直线相关量的特征。
2. 类型识别：准确识别距离型、斜率型、截距型、弦长型等常见直线最值问题类型，明确不同类型问题的
核心诉求。
3. 方法运用：掌握数形结合、转化与化归、函数与方程等核心思想，能针对不同类型问题选择对应解题策
略，如利用对称点求距离和最值、通过切线斜率求斜率型最值等。
4. 综合应用：能将直线最值问题与函数、不等式、几何图形等知识融合，解决综合性问题，提升知识迁移
和逻辑推理能力。
5. 能力提升：培养从题目中提取关键信息、构建数学模型的能力，提高解题的准确性和效率，适应高考对
该类问题的考查要求。
一、距离公式
1、点到点的距离公式
平面内两点
，
间的距离公式为：
.
2、点到直线的距离公式：点
到直线
的距离
.
3、直线到直线的距离公式：两条平行直线
，
，
它们之间的距离为：
二、点关于直线的对称
1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，
一般地：设点
关于直线
的对称点
，
则
（2）当直线斜率不存在时：点
关于x=m 的对称点为
三、线段和与差的最值问题解题思路
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短；
2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短.
一、核心解题思想
1. 数形结合思想：将代数表达式转化为几何意义（如距离、斜率、截距），通过图形直观分析最值。
2. 转化与化归思想：把复杂最值问题转化为熟悉的基本模型（如“将军饮马”“切线模型”）。
3. 函数与方程思想：构建目标函数，或利用直线与曲线位置关系（如判别式、韦达定理）求最值。
二、常见类型及对应解题策略
1. 距离型最值
• 核心模型：点到直线的距离、两点间距离、平行线间距离的最值。
• 具体场景与策略：
点到定直线的距离最值：若点在曲线（圆、椭圆等）上，直接用点到直线距离公式，结合曲线范围求最
值。例：圆上点到定直线的距离最值=圆心到直线距离±半径。
直线上一点到两定点距离和/差最值：
两定点在直线同侧：求其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段长即为距离和的最小值
（“将军饮马”模型）。
两定点在直线异侧：连接两点，线段长即为距离和的最小值；延长线段交直线于一点，所得长度为距离
差的最大值。
2. 斜率型最值
• 核心模型：形如k= y - y0
x - x0
的表达式，几何意义是动点(x,y)与定点(x0, y0)连线的斜率。
• 解题策略：
1. 明确动点(x,y)的轨迹（如圆、直线、圆锥曲线）。
2. 求该轨迹上的点与定点连线的斜率范围，通过轨迹的切线斜率确定最值（联立方程，利用判别式⧍=0 求
切线斜率）。
3. 截距型最值
• 核心模型：形如z=ax+by（a,b≠0）的线性目标函数，几何意义是直线ax+by-z=0 在坐标轴上的截距。
• 解题策略：
1. 若在可行域（线性规划）中，平移直线ax+by=0，观察直线与可行域边界交点处的截距最值，即为z 的
最值。
2. 若动点在曲线（圆、椭圆等）上，转化为直线与曲线有公共点时的截距范围，利用圆心到直线距离d≤半
径（圆r）或判别式⧍≥0（椭圆）求解。
4. 弦长型最值
• 核心模型：直线与圆（或圆锥曲线）相交的弦长，公式为l = 2❑√r
2-d
2（圆，r 为半径，d 为圆心到直线
距离）或联立方程用韦达定理推导。
• 解题策略：
1 直线过圆内定点：弦长最值由圆心到直线的距离d 决定，d 最大时弦长最短（d 为圆心到定点的距离），
d=0 时弦长最长（为直径）。
2 直线过圆外定点：求切线长或割线长最值，可结合勾股定理转化为点到圆心距离的最值。
三、通用解题步骤
1. 分析题意：提取已知条件（直线方程、动点轨迹、目标表达式）。
2. 转化几何意义：将目标表达式转化为距离、斜率、截距等几何量。
3. 构建模型：结合图形（直线、圆、曲线）确定最值对应的几何位置（如切线、对称点、交点）。
4. 计算求解：运用公式（距离、弦长）、代数方法（判别式、函数求导）或几何性质（圆的半径、对称
性）求出最值。
5. 验证结果：检查几何位置的合理性及计算准确性。
题型01：直线倾斜角与斜率最值范围
【典型例题1】．直线
的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为
,
若
,则
,
①当
时，
(当且仅当
时，取“
”)，
②当
时，
(当且仅当
时，取“
”)，
，故
，
综上，
，
故选：C.
【典型例题2】．直线
的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先利用正弦函数的有界性求出斜率的范围，由斜率的范围求出倾斜角的范围.
易得斜率必存在，设
的倾斜角为
且
，
由
可得斜率
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
故选：C
【变式训练1-1】．若
，则直线
的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先求出
，从而可求倾斜角的正切值的取值范围，故可得倾斜角的取值范围.
设直线的倾斜角为
，则
，其中
.
而
，故
，即
，
而
，故
，
故选：D.
【变式训练1-2】．已知点
关于直线
的对称点为
，经过点
作直线，若直线与连接
，
两点的线段总有公共点，则直线的斜率
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用对称求出点
，然后根据点的坐标得到
，
，最后根据倾斜角与斜率的变化关系得到范围.
设点
，有
，解得
，
，
，
，结合图可知，
.
故选：C．
【变式训练1-3】．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．直线
的倾斜角
的取值范围是
B．“
”是“直线
与直线
互相垂直”的充要条件
C．若直线
与直线
相交，且交点的横坐标的范围为
，则实数
的取值
范围是
D．经过点
且在
轴和
轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BD
【解析】根据斜率为
求得
的范围可判断A；根据两直线垂直的等价条件和充分条件
必要条件的定义可判断B；由两直线相交得出
，因为
，所以
，解不等式
可判断C；分为两种情况讨论，当在
轴和
轴上截距都为时；当过点
且在
轴和
轴上截距相等不为
时，求出直线方程可判断D.
对于A：直线
的倾斜角为
，则
，
因为
，所以
，故选项A 正确；
对于B：当
时，
与直线
斜率乘积等于
，两直线互相垂直，所以充分性成立；
若“直线
与直线
互相垂直”，则
可得
或
，所以不一定有
，故必要性不成立，
所以“
”是“直线
与直线
互相垂直”的充分不必要条件，故选项B 错误；
对于C：因为直线
与直线
相交，
所以两直线的斜率不相等，即
，即
，
由
与
消去
得
，
因为
，所以
，整理得
且
，
解得
或
，故选项C 正确；
对于D：当过点
且在
轴和
轴上截距都为时，所求直线方程为
，
当过点
且在
轴和
轴上截距相等不为
时，设所求直线方程为
，即
，可得
，所
求直线的方程为
，
综上，所求直线方程为
或
，故选项D 错误.
故选：BD.
【变式训练1-4】．已知直线过点
，且不过第四象限，则直线的斜率
的最大值是 .
【答案】3
【解析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，数形结合可得答案．
如图，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，
，
，
故
，即线的斜率
的最大值是3.
故答案为：3.
【变式训练1-5】．已知直线
，
，则直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得直线的斜率
，设直线的倾斜角为
，则有
，
，
再根据正切函数的性质即可求得答案.
解：因为直线
，
，
所以直线的斜率
，
所以
，
设直线的倾斜角为
，
则有
，
又因为
，
所以
.
故答案为：
【变式训练1-6】．已知两点
，过点
的直线与线段
有公共点．
(1)求直线的斜率
的取值范围；
(2)求直线的倾斜角
的取值范围．
【答案】(1)
．
(2)
．
【解析】（1）由图可知要使直线与线段
有公共点，只需直线的斜率
满足
或
，从而可求
得答案；
（2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角
的取值范围．
（1）因为
，
，
所以
因为直线与线段
有公共点，
所以由图可知直线的斜率
满足
或
，
所以直线的斜率
的取值范围是
．
（2）由题意可知直线l 的倾斜角介于直线
与
的倾斜角之间，
因为直线
的倾斜角是
，直线
的倾斜角是
，
所以
的取值范围是
．
题型02：含参双动直线中的最值范围
【典型例题1】．设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
相交于点
不重合），则
面积的最大值是（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点
与定点
，进而可得
，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
由题意直线
过定点
，
直线
可变为
，所以该直线过定点
，
所以
，
又
，
所以直线
与直线
互相垂直，
所以
，
所以
即
，
当且仅当
时取等号,
所以，
，即
面积的最大值是
.
故选：D.
【典型例题2】．设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，
则
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】由直线解析式，确定两定点的坐标以及两直线的位置关系，由垂直，根据勾股定理，可得两线段平方
和为定义，结合完全平方公式与基本不等式，可得答案.
解：由题意可得动直线
过定点
，
直线
可化为
，
令
，可解
，即
，
又
，故两直线垂直，即交点为
，
，
由基本不等式可得：
，
，解得：
，
当且仅当
时取等号．
故选：B．
【变式训练2-1】．设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的最大值是（ ）
A．4
B．10
C．5
D．
【答案】C
【解析】由题意可知两条动直线经过定点
、
，且始终垂直，有
，利用勾股定理求出
，再利用基本不等式求得答案.
由题意可知，动直线
经过定点
，
动直线
即
，经过定点
，
因为
，所以动直线
和动直线
始终垂直，
又是两条直线的交点，
则有
，
，
故
（当且仅当
时取“
”
，
故选：C．
【变式训练2-2】．设
，若过定点A 的动直线
和过定点B 的动直线
交
于点M（
与
不重合），则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】首先确定点A 和点B 的坐标，再判断两条动直线垂直，进而得到直角三角形ABM，利用三角函数求
最值即可．
由题意可知，动直线
经过定点
，
动直线
经过定点
，
，
动直线
和动直线
满足
，
两条直线始终垂直，
又因为
是两条直线的交点，所以
.
所以
.
设
，则
，
由
，可得
，
，
令
，
所以
，
故
的最大值为
．
故选: C
【变式训练2-3】．已知
,若过定点
的动直线:
和过定点
的动直线
:
交于点
(
与
,
不重合),则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】C
【解析】首先确定定点
和定点
的坐标,再判定两条直线是垂直关系,从而得到
为定值,利用三角函
数求解最值即可.
根据题意:
动直线:
过定点
,
动直线
:
过定点
,
,
直线:
和直线
:
满足:
,
,
直线与直线
交于点
,
,
,
为直角三角形,且
,
设
,则
,
,
,
,
,
当
即
时,
的最大值为
.
故选:C.
【变式训练2-4】．设
，过定点A 的动直线
和过定点B 的动直线
交于点
，则
的最大值是 .
【答案】
【解析】由直线过定点可得
，
的坐标，由直线垂直的性质判断两直线垂直，可得
，
三角换元后，由辅助角公式结合三角函数的有界性可得
的最大值．
由题意可得动直线
过定点
，
直线
可化为
，过定点
.
又
，故两直线垂直，交点为P，
，
设
，则
，
.
且
，可得
，
，
，
，
当
时，
取得最大值为
，
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成
的形式利
用配方法求最值；②形如
的可化为
的形式利用三角函数有界性求最值；③
型，可化为
求最值 .
【变式训练2-5】．设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的值是 .
【答案】25
【解析】根据题意，由分析可得两条动直线所过定点即
坐标，然后结合直线一般式方程判断两直线始终垂
直，即可得
，结合勾股定理即可求得
的值.
解：直线
，整理成
，则
，即
直线
，整理成
，则
，即
又
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
始终垂直，
为两条
垂直直线的交点
则有
所以
.
故答案为：25.
题型03：与两点距离有关的最值范围
【典型例题1】．已知
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】先求出点
关于线段
的对称点
的坐标，且有
.根据几何意义，结合
图象，即可得出取最小值时，点
的位置，进而得出答案.
如图，过点
作点
关于线段
的对称点
，则
.
设
，则有
，解得
，所以
.
设
，则
，所以
，
又
，所以点
到
轴的距离为
，
所以，
可视为线段
上的点
到
轴的距离和到
的距离之和.
过
作
轴，显然有
，当且仅当
三点共线时，和有最小值.
过点
作
轴，则
即为最小值，
与线段
的交点
，即为最小值时
的位置.
因为
，所以
的最小值为
.
故选：B．
【典型例题2】．代数式
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由两点之间距离公式分析出
表示
到
、
的距离
之和，求出
关于
对称点为
，连接
交
于点
，此时
最小.
由两点之间距离公式可以得到
表示点
到
的距离，
表示点
到
的距离，
所以代数式
表示
，由图像可知
在
在运动，所以易得
关于
对称点为
，
连接
交
于点
，此时
最小，最小值为
.
故选：B.
【典型例题3】．某同学在研究函数
|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数
变形为
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
在区间
上单调递减，
上单调递增
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的最小值为
，没有最大值
D．方程
的实根个数为2
【答案】ACD
【解析】由变形后的解析式可得
为点
到
与
的距离之和，即
.
对A，由图即可判断；
对B，由
即可判断；
对C，结合三角形的三边关系可判断
在区间
上单调递减，即可判断最值；
对D，由函数的单调性即可判断
由变形后的解析式可得
为点
到
与
的距离之和，即
.
对A，由图易得
均在
上单调递减，在
上单调递增，故函数
在区间
上单调
递减，
上单调递增，A 对；
对B，由
，故函数
的图象不关于直线
对称，B 错；
对C，当
时，
，故此时
在区间
上单调递减，故
在
取得最小值，为
，没有最大值，C 对；
对D，
在区间
上单调递减，
上单调递增，且最小值为
，没有最大值，故方程
的实根个数为2，D 对.
故选：ACD
【变式训练3-1】.设
的最小值为_______.
【答案】
【解析】从几何意义看，
+
表示点
到点
和
距离的和，
其最小值为
和
两点间的距离
.
故答案为：
【变式训练3-2】.已知x，y∈R，
，则S 的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】
表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和，
如图所示：
由图象知：
，
当点P 在线段AB 上时，等号成立，
所以S 取得最小值为2．故选：B
【变式训练3-3】.已知实数x，y，则
的最小值是
______.
【答案】
【解析】如图所示，设点
，
，
，
，
，
则
.
因为
，
，
所以
（当且仅当A 是OC 与BD 的交点时等号成立）．
所以
的最小值是
．
故答案为：
【变式训练3-4】.已知点
为直线
上的动点，
，则
m 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．
D．
【答案】C
【解析】
表示点
到点
和点
的距离之和．
因为点
关于直线
的对称点为
，
所以m 的最小值为点
与点
之间的距离，
即
．
此时点
为
与
的交点.故选：C
【变式训练3-5】.直线
与直线
交于点Q，m 是实数，O 为坐标原点，则
的最大值是（ ）
A．2 B．
C．
D．4
【答案】B
【解析】因为
与
的交点坐标为
所以
，
当
时，
，
所以
的最大值是
，故选：B.
【变式训练3-6】．已知
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据已知条件，将
代入
，将问题转化为圆上动点到定点距离
的最值问题.
因为
，
，
所以
=
，如图所示，当
三点共线时，距离最
短.所以最小值为
.
故答案为：
【变式训练3-7】．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决.例如，与
相关的代数问题，可以转化为点
与点
之间
的距离的几何问题.结合上述观点，下列结论正确的是（ ）
A．函数
有1 个零点
B．函数
有2 个零点
C．函数
有最小值
D．关于x 的方程
的解为
【答案】ACD
【
解
析
】
对
AB
，
直
接
求
解
即
可
；
对
CD
，
根
据
，转化为
与点
，
之间的
距离和，再根据几何方法求解即可.
对AB ，
有
，解得
，且此时根式有意义，故
有且仅有一根
，故A 正确，B 错误；
对CD，因为
，其几何意义为
上的点
与点
，
之间的距离和
.
易得
关于
的对称点为
，故
即
的最小值为
，故C 正确；
又到点
，
之间的距离和为
的点的轨迹是以
，
为焦点，
的椭圆
，
故
的解即
与椭圆
的交点的横坐标. 即
，解得
，故D 正确.
故选：ACD
【变式训练3-8】．已知点
分别在直线：
与直线
：
上，且
，点
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据平行线间距离公式可得
，设
，
，由两点间距离公
式可表达出
，结合几何意义以及图形即可求解最小值.
由平行线距离公式得：
，
设
，则
，
所以
，
设点
，如下图：
则有：
即当
三点共线时等号成立)，
综上，
．
故答案为：
【变式训练3-9】．求函数
的最小值．
【答案】
【解析】化简
，根据两点距离公式的几何意义得，函数
表示
到点
距离之和，
根据对称性求解即可.
由题意，函数
，
根据两点距离公式的几何意义得，函数
表示
到点
距离之和，
如图所示，作出点
关于
的对称点
，
连接
，交
轴于点
，连接
，
可得
，
当且仅当点
与
重合时，等号成立，
所以
，即函数
的最小值为
．
.
【变式训练3-10】.函数f (x)=
❑√x
2+2 x +5+
❑√x
2-6 x +10的最小值是（ ）
A．5
B．4
C．1+2❑√5
D．❑√17+2
【答案】A
【解析】本题将f (x)转化为点P(x ,0)到两定点A (-1,2),B (3,1)的距离和，然后利用将军饮马模型，得到距
离最值即可.
f ( x)=
❑√x
2+2 x +5+
❑√x
2-6 x +10=
❑√(x +1)
2+(0-2)
2+
❑√(x -3)
2+(0-1)
2，
则其几何意义为点P(x ,0)到两定点A (-1,2),B (3,1)的距离和，点(x ,0)表示为横坐标上的点，作出如图所示：
根据将军饮马模型，作出点A关于x轴对称点A
' (-1,-2)，连接A
' B，交x轴于点P，
则f (x)min=|A
' B|=
❑√(3+1)
2+(1+2)
2=5，此时直线A
' B的直线方程为y -1= 3
4
(x -3)
令y =0，则x = 5
3，故当x = 5
3时，f (x)min=5.
故选：A.
【变式训练3-11】．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问
题可以转化为几何问题加以解决，如：❑√(x -a)
2+( y -b)
2可以转化为平面上点M (x , y)与点N (a,b)的距离.
结合上述观点，可得f (x)=
❑√x
2+10 x +26+
❑√x
2+6 x +13的最小值为（ ）
A．5
B．❑√29 C．❑√13 D．2+ ❑√13
【答案】C
【解析】记点P(x ,0)、A (-5,1)、B (-3,-2)，可得出f (x)=|PA|+|PB|，数形结合可求得f (x)的最小值.
因为f (x)=
❑√(x +5)
2+1+
❑√(x +3)
2+ 4 =
❑√(x +5)
2+(0-1)
2+
❑√(x +3)
2+(0+2)
2，
记点P(x ,0)、A (-5,1)、B (-3,-2)，则f (x)=|PA|+|PB|≥|AB|=
❑√(-5+3)
2+(1+2)
2= ❑√13，
当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时，等号成立，即f (x)的最小值为❑√13.
故选：C.
题型04：点到直线距离的最值
【典型例题1】.若点
在直线
上，则点P 到坐标原点的最小距离为（ ）
A．
B．
C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意得：点
在直线
上，
则点P 到坐标原点的最小距离为原点到直线
的距离，
即
，故选：C
【典型例题2】.设实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4 C．
D．8
【答案】C
【解析】
，
所以
表示直线
上的点与点
的距离，
所以最小值为
.故选：C.
【典型例题3】.已知直线l 经过2x＋y－5＝0 与x－2y＝0 的交点，则点A(5,0)到l 的距离的最大值为
________．
【答案】
【解析】联立方程
，解得：
，
故交点坐标为
，直线l 经过点
，
则点A(5,0)到l 的距离的最大值为AB 的长，
且
.
【典型例题4】.设直线
，
为直线上动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
表示点
到点
距离的平方，
该距离的最小值为点
到直线的距离，即
，
则
的最小值为
.
故选：A.
【变式训练4-1】．设点
满足
，则“
”是“
为定值”的
（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解.
若
为定值，
即点
到直线
两条直线距离之和为定值，
显然，这两条直线平行，如图，
所以当点
在与这两条直线平行的直线上时，此时直线
满足
且
，
即
，且
，
为定值，
所以“
”是“
为定值”的必要不充分条件.
故选：B
【变式训练4-2】.已知点
在直线
上的运动，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
表示点
与
距离的平方，
因为点
到直线
的距离
，
所以
的最小值为
．故选：A
【变式训练4-3】．已知实数x，y 满足直线l 的方程x +2 y +3=0，则❑√x
2+ y
2-2 y +1的最小值为______．
【答案】❑√5
【解析】将问题转化求点(0,1)到直线l：x +2 y +3=0上点的距离最小值，即可得结果.
由题意，❑√x
2+( y -1)
2表示点(0,1)到直线l：x +2 y +3=0上点的距离，
所以其最小值为d =|0+2+3|
❑√5
= ❑√5.故答案为：❑√5
【变式训练4-4】．若点(m,n)在直线l:3 x +4 y -13=0上，则❑√(m-1)
2+n
2的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．2
D．6
【答案】C
【解析】将❑√(m-1)
2+n
2转化为两点距离，即可求解．
解：❑√(m-1)
2+n
2表示点(1,0)与点(m,n)的距离，且点(1,0)在直线外
则❑√(m-1)
2+n
2的最小值为点(1,0)到直线3 x +4 y -13=0的距离，即|3-13|
❑√3
2+4
2 =2，
故❑√(m-1)
2+n
2的最小值为2．故选：C．
【变式训练4-5】．在平面直角坐标系中，从点P(2,4)向直线y -4-k ( x -4)=0（k 为参数）作垂线，垂
足为M，O 为坐标原点，则线段| MO|的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】根据直线y -4-k ( x -4)=0过定点N (4,4)，得到点M是在以PN为直径的圆上，再把所求问题转
化圆上的点到原点距离的最小值即可．
直线y -4-k ( x -4)=0过定点N (4,4)，∵PM ⊥MN，可知点M是在以PN为直径的圆
C :( x -3)
2+( y -4)
2=1上，又|OC|=
❑√(3-0)
2+(4-0)
2=5，可得：|MO|min=5-1=4，故选：B．
【变式训练4-6】．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式
符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线
就是一条形状优美的曲线，若
是曲线C 上任意一点，则
的最小值是
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】结合已知条件写出曲线
的解析式，做出图，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直
线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解．
当
且
时，曲线
的方程可化为
；
当
且
时，曲线
的方程可化为
；
当
且
时，曲线
的方程可化为
；
当
且
时，曲线
的方程可化为
，
曲线
的图像如图所示；
因为
到直线
的距离为
，
所以
，
当
最小时，易知
在曲线
的第一象限内的图像上，
因为曲线
的第一象限内图像是圆心为
，半径
的半圆，
所以圆心
到直线
的距离
，
所以
，
所以
的最小值为.
故选：B
【变式训练4-7】．在平面直角坐标系
中，已知直线：
，点
，则点A 到直
线的距离的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可确定直线：
，则直线过原点，且斜率为
，由此可确定点
到直线l 的距离大于1，再确定当l 与
垂直时，点A 到直线l 的距离最大，即可求得答案.
由题意直线：
，则直线过原点，且斜率为
，
当直线l 无限靠近于y 轴时，点
到直线l 的距离无限接近于1，
故点
到直线l 的距离大于1，
当l 与
垂直时，点A 到直线l 的距离最大，最大值为
，
故点A 到直线的距离的取值范围为
，
故选：B
【变式训练4-8】．若对圆
上任意一点
，
的取值与
，
无关，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【解析】将
转化为点到直线的距离，数形结合，可求出
的取值范围.
依题意
表示
到两条平行直线
和
的距离之和的5 倍．
因为这个距离之和与x，y 无关，
故两条平行直线
和
在圆
的两侧，如图所示，
故圆心
到直线
的距离
，
解得
或
.
当
时，直线
在圆的右下方，不满足题意，所以舍去.
所以
.
故选：A
【变式训练4-9】．若动点
，
分别在直线
和直线
上移动，求线段
的中
点
到原点的距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意线段
的中点
的集合为与直线
和直线
距离相等的直线，记
为，则
到原点距离最小值为原点到的距离，结合点到直线的距离公式可求．
由题意线段
的中点
的集合为与直线
和直线
距离相等的直线，记为，
则
到原点距离最小值为原点到的距离，
设直线
，
则
，
解得
，
所以
，
根据点到直线的距离公式可得，
到原点的距离的最小值为
．
故答案为：
．
【变式训练4-10】．已知动点
在直线
上，则
的最小值为 .
【答案】2
【解析】根据题意可知
表示动点
到坐标原点
，利用点到直线的距离求最小值.
因为
表示动点
到坐标原点
，
所以
的最小值为
到线
的距离
.
故答案为：2.
【变式训练4-11】.已知直线l 的方程为(2-m)x +(2m+1) y +3m+ 4 =0，其中m∈R求出当m 变化时，
点Q(3,4)到直线l 的距离的最大值为________．
【答案】2❑√13
【解析】先将直线方程化为直线的共点直线系方程的形式，即可确定出直线l 恒过两直线
2 x + y + 4 =0,- x +2 y +3=0的交点，直线外一点到动直线的距离的最大值即为Q 到交点的距离.
将直线的方程化解为：2 x + y + 4 +m(- x +2 y +3)=0，则由共点直线系方程性质可知，直线恒过
2 x + y + 4 =0,- x +2 y +3=0的交点，设交点为P 解得P（-1，-2），则点到直线的距离的最大值即为|PQ|
的大小，|PQ|=
❑√(3+1)
2+(4 +2)
2=2❑√13.
故答案为：2❑√13
【点睛】本题考查了共点直线系方程的性质及点到动直线距离的最值问题，属于基本题型，解题中要能将直线
方程的一般式变形为共点直线系方程的形式，根据共点直线系方程的性质判断出点到直线距离的最大值.
【变式训练4-12】．已知定点
和直线
.求证：不论
取何
值时，点
到直线的距离不大于.
【答案】证明见解析
【解析】法一：根据点到直线的距离公式，结合判别式求解即可；
法二：结合直线过定点
求解即可；
解：法一：由点到直线的距离得
到直线的距离为：
.
整理得
∵
，
∴
，解得
.
故结论成立.
法二：由已知的方程得
.
由
解得
∴直线过定点
.
又
，
所以，当为过点
且与
垂直的直线时才能使
到的距离最大；当直线过点
时，距离最小，为.
故
，结论成立.
题型05:距离之和型的最值问题
一： 点共线型（将军饮马）
【典型例题1】.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，
诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先
到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线的方程为
，则“将军饮马”的最
短总路程为（ ）
A．
B．5 C．
D．
【答案】D
【解析】由
关于
的对称点为
，
所以
，可得
，即对称点为
，又
所以“将军饮马”的最短总路程为
.
故选：D
2．已知点A (3,-1),B (5,-2)，且点P在直线x + y =0上，若使|PA|+|PB|取得最小值，则点P的坐标为
（ ）
A．(
13
5 ,- 13
5 )
B．(
12
5 ,- 12
5 )
C．(-2,2)
D．(2,-2)
【答案】A
【解析】首先求出A (3,-1)关于直线x + y =0的对称点C (1,-3)，再求出直线BC，与直线x + y =0求交点即
可.
因为A (3,-1)代入直线x + y =0得到3-1>0，B (5,-2)代入直线x + y =0得到5-2>0，
所以A ,B在直线x + y =0的同侧.设A (3,-1)关于直线x + y =0的对称点为C (m,n)，
则¿，解得¿，即C (1,-3)所以k BC =-3+2
1-5 = 1
4 ，lBC: y +2= 1
4
(x -5)，即x - 4 y -13=0.所以¿，即
P(
13
5 ,- 13
5 ).故选：A
【典型例题2】．在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之
和最小的点的坐标是 ．
【答案】（2，4）
【解析】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：
假设在四边形ABCD 中任取一点P，在△APC 中，有AP＋PC＞AC，在△BPD 中，有PB＋PD＞BD，
而如果P 在线段AC 上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP＋PD＝BD.
如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P(2,4)．
【典型例题3】．已知点P，Q 分别在直线l1: x + y +2=0与直线l2: x + y -1=0上，且PQ⊥l1，点
A (-3,-3)，B(
3
2 , 1
2)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为．
A．
❑√130
2
B．
❑√13+ 3 ❑√2
2
C．❑√13 D．3 ❑√2
【答案】B
【解析】设A
'(- 3
2 ,- 3
2)，则四边形A A
'QP为平行四边形，故而|AP|+|PQ|+|QB|就是
|A
'Q|+ 3 ❑√2
2
+|QB|的最小值，又|A
'Q|+ 3 ❑√2
2
+|QB|的最小值就是|A
' B|+ 3 ❑√2
2
.
因为PQ⊥l1,l1∥l2，故|PQ|=|2-(-1)|
❑√2
= 3 ❑√2
2
，
k A A
'=1，故A A
'⊥l1，所以A A
'∥PQ，又|A A
'|= 3 ❑√2
2
，所以|A A
'|=|PQ|，故四边形A A
'QP为平行四
边形，|AP|+|PQ|+|QB|=|A
'Q|+ 3 ❑√2
2
+|QB|，因为|A
'Q|+|QB|≥|A
' B|= ❑√13，当且仅当A
' ,Q ,B三点
共线时等号成立，|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为❑√13+ 3 ❑√2
2
，选B.
【点睛】本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定
点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
【典型例题4】．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点M (3,4)，则
|MA|+|AB|+|BM|的最小值是（ ）．
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【解析】依题意，作图，分两类讨论：①当A与B重合于坐标原点O时；②当A与B不重合时，从而可求得答
案．
依题意，作图如下：
设点M (3,4)关于y轴的对称点为P(-3,4)，关于x轴的对称点
为Q(3,- 4)，则| MB|=| PB|，| MA |=| AQ|，当A与B重合于坐标原点O时，
| MA |+| AB|+|BM |=| PO|+|OQ|=| PQ|=
❑√[3-(-3)]
2+(- 4 - 4)
2=10；
当A与B不重合时，如图，| MA |+| AB|+|BM |=| PB|+| AB|+| AQ|>| PQ|=10；
∴当A与B重合于坐标原点O时，| MA |+| AB|+|BM |取得最小值10．
故选：B．
【变式训练5-1】．已知点P 为直线
上的一点，M，N 分别为圆
：
与圆
：
上的点，则
的最小值为（ ）
A．5
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解析】由
的最小值为
的最小值求解.
解：圆
：
与圆
：
的圆心分别为：
，
由题意得
的最小值为
的最小值，
设
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，则
，
如图所示：
当
三点共线时，
取得最小值，
最小值为
，
所以
的最小值为
，
故选：B
【变式训练5-2】．已知两点
，点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．9
C．
D．10
【答案】C
【解析】根据给定条件求出B 关于直线
的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
依题意，若
关于直线
的对称点
，
∴
，解得
，
∴
，连接
交直线
于点
，连接
，如图，
在直线
上任取点C，连接
，显然，直线
垂直平分线段
，
则有
，当且仅当点
与
重合时取等号，
∴
，故
的最小值为
.
故选：C
【变式训练5-3】．已知点
，
分别为圆
：
，
：
上的动点，
为
轴上一点，则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，求出
关于x 轴的对称点
，结合
，以及两
点之间线段最短，即可求解.
根据题意，易知
，
因为
关于x 轴的对称点为
，
所以
，
因此
的最小值为
，当且仅当
为直线
与x 的交点时取等号．
故选：B．
【变式训练5-4】．下列结论正确的有（ ）
A．过点
，
的直线的倾斜角为
B．若直线
与直线
垂直，则
C．已知
，
及x 轴上的动点P，则
的最小值为5
D．直线
与直线
之间的距离为
【答案】ABD
【解析】求出直线斜率判断A；利用垂直关系求出a 判断B；利用对称方法求出两点的距离判断C；求出平行
间距离判断D 作答.
对于A，直线
的斜率
，则直线
的倾斜角为
，A 正确；
对于B，直线
与直线
垂直，则
，解得
，B 正确；
对于C，
关于x 轴对称点
，连接
交x 轴于点
，在x 轴上任取点
，连接
，
如图，
，当且仅当点
与
重合时取等号，
因此
，C 错误；
对于D，直线
与直线
平行，直线
化为
，
管两条直线间距离为
，D 正确.
故选：ABD
【变式训练5-5】．已知
，点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．9
C．10
D．
【答案】C
【解析】根据给定条件求出点B 关于直线
的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
依题意，点
关于直线
的对称点
，连接
交直线
于点
，连接
，如图，
在直线
上任取点C，连接
，显然，直线
垂直平分线段
，
则有
，当且仅当点
与
重合时取“=”，
因此，
，
所以
的最小值为10.
故选：C
【变式训练5-6】.已知点
，
，点
在
轴上，则
的最小值为（ ）
A．6 B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
点
，
，点
在
轴上，
点
关系
轴的对称点为
，
.故选：B.
【变式训练5-7】.已知两点
，点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．9 C．
D．10
【答案】C
【解析】依题意，若
关于直线
的对称点
，
∴
，解得
，
∴
，连接
交直线
于点
，连接
，如图，
在直线
上任取点C，连接
，
显然，直线
垂直平分线段
，
则有
，
当且仅当点
与
重合时取等号，
∴
，故
的最小值为
.
故选：C
【变式训练5-8】.已知点M，N 分别在直线：
与直线
：
，且
，点
，
，则
|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则直线
的方程为
，
由
，
所以
，
设
，
则
表示直线
上的点
与
连线的距离之和，
所以
的最小值为
.
故选：C
【变式训练5-9】.设
，求
的最小值是
_______.
【答案】
【
解
析
】
，
即d 可看作点
和
到直线
上的点
的距离之和，
作
关于直线
对称的点
，
由题意得
，解得
故
，
则
.
【变式训练5-10】．已知点P，Q分别在直线l1：x + y +2=0与直线l2：x + y -1=0上，且PQ⊥l1，点
A (-3,-3)，B (2,1)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为______．
【答案】3❑√2+ ❑√74
2
【解析】考察直线上的动点到直线两侧两定点距离之和的最小值，由|PQ|为定值，求|AP|+|PQ|+|QB|的最
小值，要先求|AP|+|QB|的最小值，转化求|A
'Q|+|QB|的最小值， 利用“三角形两边之和大于第三边”这
一几何结论可得.
如图：
由平行线间的距离公式得|PQ|=|2-(-1)|
❑√1
2+1
2 =3❑√2
2
，过点A 作垂直于l1 的直线，并截取
|A A
'|=|PQ|，设点A
'( x0, y0)，则¿因此，点A
'(-3
2 ,-3
2 )，则|A
' B|=
❑√74
2
，连接A
' B，A
'Q，则四边
形A A
'QP是平行四边形，则有|AP|+|QB|=|A
'Q|+|QB|≥|A
' B|，当A
',Q,B三点共线时等号成立，∴
|AP|+|PQ|+|QB|≥3❑√2
2
+
❑√74
2
，∴|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为3❑√2+ ❑√74
2
.
【变式训练5-11】.已知平面内点一定点A (-3,1)，点M、N 分别是x 轴和直线2 x + y -5=0上的两个动点，
则|AM|+|MN|的最小值为______．
【答案】12❑√5
5
##12
5
❑√5
【解析】利用对称性，作点A (-3,1)关于x轴的对称点A
'(-3,-1)，| AM |+| MN |=| A
' M |+| MN ∣，
利用数形结合求| AM |+| MN |的的最小值.
作出点A (-3,1)关于x轴的对称点A
'(-3,-1),则| AM |+| MN |=|A
' M|+| MN |,
最小值即为A
'(-3,-1)到直线2 x + y -5=0的距离d =|-6-1-5|
❑√5
=12❑√5
5
, 所以
| AM |+| MN |的最小值为12❑√5
5
.故答案为：12❑√5
5
.
【变式训练5-12】．已知
、
，点
在
轴上，且使
取得最小值，则最小值为
，此时点
的坐标为 .
【答案】
【解析】点
关于
轴的对称点为
，分析可知当且仅当
、
、
三点共线时，
取得最
小值为
，求出直线
的方程，在直线
的方程中，令
可求得点
的坐标.
如下图所示：
点
关于
轴的对称点为
，由对称性可知
，
所以，
，
当且仅当
、
、
三点共线时，等号成立，
直线
的斜率为
，直线
的方程为
，即
，
联立
，可得
，即点
，
故当点
的坐标为
时，
取得最小值.
故答案为：；
.
【变式训练5-13】．已知
.
(1)求经过点
且与点
距离最远的直线的方程；
(2)若点
，试在直线上求一点
，使得
最小，并求最小值.
【答案】(1)
；
(2)最小值为
，
【解析】（1）当PQ 与垂直时，点P 到直线的距离最大，求出斜率，根据点斜式可得直线方程；
（2）作点P 关于直线的对称点
，连接
交直线于点T，则点T 即为所求，利用两点距离公式可得最小
值，联立直线方程可得取最小值时的点T.
(1)
直线经过点
，将直线沿点
旋转，发现当PQ 与垂直时，点P 到直线的距离最大，最大长度为
，
，
，
所以经过点
且与点
距离最远的直线的方程为
，
即
；
(2)
作点P 关于直线的对称点
，连接
交直线于点T，则点T 即为所求，
，
当
三点共线时，等号成立，
根据对称性可得点P 关于直线的对称点
的坐标为
的最小值为
，
又
的直线方程为
，即
联立
，得
，
.
二：换元型
【典型例题1 】. 已知m∈R, 若过定点A的动直线l1:x -my +m-2=0和过定点B的动直线l2:
y -4=-m(x +2)交于点P(P与A,B不重合),则|PA|+|PB|的最大值为（ ）
A．5❑√6 B．5❑√5 C．5❑√2 D．5
【答案】C
【解析】首先确定定点A和定点B的坐标,再判定两条直线是垂直关系,从而得到|PA|
2+|PB|
2为定值,利用三角函
数求解最值即可.
根据题意:动直线l1:x -my +m-2=0过定点A (2,1),动直线l2:y -4=-m(x +2)过定点B (-2,4),
|AB|=
❑√4
2+3
2=5,∵直线l1:x -my +m-2=0和直线l2:y -4=-m(x +2)⇒mx + y +2m-4=0满足:
m×1+ (-1)×m=0,∴ l1⊥l2,∵直线l1与直线l2交于点P,∴ PA ⊥PB,∴ |PA|
2+|PB|
2=|AB|
2=25,
∴ △PAB为直角三角形,且|AB|=5,设∠PAB =θ,θ∈(0, π
2 ),则|PA|=5cosθ,|PB|=5sinθ,
∴ |PA|+|PB|=5cosθ+5sinθ =5❑√2sin(θ+ π
4 ),∵θ∈(0, π
2 ),∴θ+ π
4 ∈(
π
4 ,3π
4 ),∴当θ+ π
4 = π
2
即θ = π
4 时,|PA|+|PB|的最大值为5❑√2.故选:C.
【典型例题2】．已知直线l:kx - y +2+3k =0经过定点P．
(1)证明：无论k 取何值，直线l 始终过第二象限；
(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，当1
2 | PA |+ 1
3 | PB|取最小值时，求直线l 的方
程．
【答案】(1)证明见解析(2)x - y +5=0．
【解析】（1）将kx - y +2+3k =0变形为k( x +3)+2- y =0，解方程组¿，即可证明结论；
（2）设直线l 的倾斜角为α，可表示出| PA |=
2
sin α ,| PB|=
3
cosα ，即得1
2 | PA |+ 1
3 | PB|的表达式，
利用换元法，结合三角函数性质，求出当1
2 | PA |+ 1
3 | PB|取最小值时参数的值，即可求得答案.
（1）证明：由kx - y +2+3k =0可得：k( x +3)+2- y =0，由¿ 可得¿，所以l 经过定点P(-3,2)；即直线l
过定点(-3,2),且定点在第二象限，所以无论k 取何值，直线l 始终经过第二象限．
（2）设直线l 的倾斜角为α，则0<α <π
2 ，可得| PA |=
2
sin α ,| PB|=
3
cosα ，
所以1
2 | PA |+ 1
3 | PB|=
1
sin α +
1
cosα = sin α +cosα
sin α cosα ，令t =sin α +cosα = ❑√2sin(α +π
4 )，
因为0<α <π
2
，可得π
4 <α +π
4 < 3 π
4 ,
❑√2
2 <sin(α +π
4 )≤1，即t = ❑√2sin(α +π
4 )∈(1,❑√2]，
将t =sin α +cosα两边平方可得：t
2=(sin α +cosα )
2=1+2sin α ⋅cosα，所以sin α cosα = t
2-1
2
，
所以
1
2 | PA |+ 1
3 | PB|= sin α +cosα
sin α cosα =
t
t
2-1
2
= 2t
t
2-1
=
2
t - 1
t
，因为y =t - 1
t 在(1,❑√2]上单调递增，所以
0<t - 1
t ≤
❑√2
2
，故y =
1
t - 1
t
≥❑√2
，所以
2
t - 1
t
≥2❑√2
，当且仅当t = ❑√2时取等号，此时
t = ❑√2sin(α +π
4 )= ❑√2，
可得α =π
4
，所以k = tan α = tanπ
4
=1，所以直线的方程为x - y +5=0．
【变式训练5-1】.过定点M (1,2)作两条相互垂直的直线l1、l2，设原点到直线l1、l2的距离分别为d1、d2，
则d1+d2的最大值是__．
【答案】❑√10
【解析】根据数形结合，结合三角函数知识即可求得d1+d2的最大值.
如图所示：
作
OP⊥l1
交
l1
于点
P
，作
OQ⊥l2
交
l2
于点
Q
，
可得四边形OPMQ为矩形，∴d1
2+d2
2=O M
2=1
2+2
2=5，故可设d1= ❑√5cosθ,d2= ❑√5sinθ，
∴d1+d2= ❑√5cosθ+ ❑√5sinθ = ❑√10sin(θ+φ)，其中tanφ =1，∴当sin(θ+φ)取最大值1 时，
d1+d2= ❑√10sin(θ+φ)取最大值❑√10.故答案为：❑√10
【变式训练5-2】．已知一条动直线3(m+1) x +(m-1) y -6m-2=0，直线l 过动直线的定点P，且直线
l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点．
(1)是否存在直线l 满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6．若存在，求出直线l 的方
程；若不存在，请说明理由．
(2)当|PA|+ 3
2|PB|取得最小值时，求直线l 的方程．
【答案】(1)存在，3x＋4y－12＝0(2)3x＋3y－10＝0
【解析】（1）将直线方程化为(3 x + y -6)m+3 x - y -2=0，再根据定点满足条件列式，再设直线l 的截距
式方程x
a + y
b =1(a>0,b>0)，代入定点P，再分别表示△AOB 的周长和面积，求解参数a,b即可；
（2）由（1）直线l 的倾斜角α ∈(
π
2 ,π)，再根据三角函数表达出|PA|+ 3
2|PB|=2× cosα -sin α
sin α cosα ，令
t =cosα -sin α = ❑√2cos(α + π
4)，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可.
（1）3(m+1) x +(m-1) y -6m-2=0，即(3 x + y -6)m+3 x - y -2=0，
由¿，解得¿，故动直线过定点P(
4
3 ,2)．设直线l 的方程为x
a + y
b =1(a>0,b>0)，
将P(
4
3 ,2)代入得4
3a + 2
b =1．①由A（a，0），B（0，b），△AOB 的周长为12，面积为6，得¿，令a＋b
＝t，则a
2+b
2=t
2-24，所以t +
❑√t
2-24 =12，即t -12=
❑√t
2-24，化简得24t＝168，解得t＝7，所以有¿，
解得¿或¿．
其中¿不满足①，¿满足①．所以存在直线l 的方程为x
4 + y
3 =1，即3x＋4y－12＝0 满足条件．
（2）由（1）可知直线l 过定点P(
4
3 ,2)，直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，所以直线l 的倾
斜
角
α ∈(
π
2 ,π)，
所
以
|PA|=
2
sin α ，
|PB|=-
4
3cosα ，
所
以
|PA|+ 3
2|PB|=
2
sin α - 3
2 ×
4
3cosα =
2
sin α -
2
cosα =2× cosα -sin α
sin α cosα ，
②
令
t =cosα -sin α = ❑√2cos(α + π
4)，
因
为
α ∈(
π
2 ,π)，
所
以
α + π
4 ∈(
3 π
4 , 5 π
4 )，
所
以
cos(α + π
4)∈[-1,-
❑√2
2 )，所以t = ❑√2cos(α + π
4)∈[- ❑√2,-1)．
则|PA|+ 3
2|PB|=2×
t
1-t
2
2
=
4
1
t -t
(t ∈[- ❑√2,-1))
，
因为y = 1
t -t在[- ❑√2,-1)上为减函数，所以y =
4
1
t -t 在[- ❑√2,-1)上为增函数，
故当t =- ❑√2，即α = 3 π
4 时，|PA|+ 3
2|PB|取得最小值
4
1
- ❑√2 + ❑√2
= 4 ❑√2
．
此时直线l 的方程为y -2= tan 3 π
4 ×(x - 4
3)，即3x＋3y－10＝0．
题型06：线段差的最值
【典型例题1】．已知点
，
是
轴上的动点，
是圆
上的动点，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求出
关于
轴的对称点
的坐标，则
，再由
求出
即可.
解：因为
关于
轴的对称点为
，则
所以
，当且仅当
、
、
三点共线（且
在
与
之间）时取等号，
由圆
的圆心为
，半径
，
因为
，
所以
，即
的最大值为
；
故选：D
【典型例题2】.已知点
，
，在
轴上找一点
使
最大，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
作点
关于
轴的对称点
，
由对称性可知
，则
.
当
、
、
三点不共线时，由三角形三边关系得
；
当
、
、
三点共线时，
.
所以，
，当且仅当
、
、
三点共线时，等号成立，
此时，直线
的斜率为
，
直线
的方程为
，即
，
在直线
的方程中，令
，解得
，即点
.
故选：D.
【典型例题3】.已知点
，
，直线
，点P 为直线l 上一点，则
的最大
值为________．
【答案】
【解析】如图，作B 关于l 的对称点
，设
，
则
，解得
，所以
．
因为
与B 关于l 对称，所以
，
所以
，
当且仅当P 为
与l 的交点时取等号．
所以
的最大值为
.
【典型例题4】.在直线l：3x－y－1＝0 上求点P 和Q，使得
(1)点P 到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)点Q 到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
【答案】（1）P(2,5)； （2）Q( 11
7 , 26
7 )．
【解析】(1)设点B 关于l 的对称点B′的坐标为(a，b)，求得B′的坐标，进一步可得直线AB′的方程，联立直线方
程即可求得点P 的坐标.
(2)设点C 关于l 的对称点为C′，求得C′的坐标，进一步可得直线AC′的方程，联立直线方程即可求得点Q 的坐
标.
(1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B′的坐标为(a，b)，
则kBB′·k1＝－1，
即3×b- 4
a
=-1 ，∴a＋3b－12＝0.①线段BB′的中点坐标为( a
2 , b+ 4
2
)，且中点在直线l 上，
∴3×a
2 - b+ 4
2
－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是直线AB′的方程为y -1
3-1 = x - 4
3- 4 ，即2x＋y－9＝0．
解¿得¿ 即l 与直线AB′的交点坐标为P(2,5)，且此时点P 到点A，B 的距离之差最大．
(2)如图所示，设点C 关于l 的对称点为C′，
求出C′的坐标为( 3
5 , 24
5 ) ．
∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，解得直线AC′和l 交点坐标为( 11
7 , 26
7 )，
故Q 点坐标为( 11
7 , 26
7 )，且此时点P 到点A，C 的距离之和最小．
【点睛】本题主要考查直线方程的应用，最值问题的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
【变式训练6-1】.直线
分别交
轴和
于点
，
为直线
上一点，则
的最
大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意可知
，
关于直线
的对称点为
，
，
即求
的最大值，
，
当
三点共线，即
与原点重合时，
取得最大值为，
也即
的最大值是.
故选：A
【变式训练6-2】．已知点
，且点
在直线
上，则（ ）
A．存在点
，使得
B．存在点
，使得
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】BCD
【解析】根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、点关于线对称的性质逐一判断即可.
对于
，由
的中点坐标为
，所以以
为直径的圆的方程为
，
而该圆心到直线
的距离
，故
错误；
对于
，设
，则满足
的动点
的方程为
，化简
得
，则圆心
到直线的距离
，故
正确；
对于
，因为
关于
的对称点为
，
所以有
，解得
，即
，
所以
，故
正确；对于
（当且仅当
三点共线时，等
号成立），故
正确.
故选：BCD
【变式训练6-3】.已知点
在直线
上，
，
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，
∴
，又
，
∴
.
故选：C.
【变式训练6-4】．已知点
，
，点
在
轴上，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】作点
关于
轴的对称点
，过
的中点
作
交
轴于点
，当
点在
点
时，
取最小值；当
，
，
三点共线时，
取最大值，进而求解即可.
作点
关于
轴的对称点
，则
，
过
的中点
作
交
轴于点
，当
点在
点时，
，此时
；
当
，
，
三点共线时，
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式训练6-5】．已知点
在直线
上运动，点
是圆
上的动点，点
是圆
上的动点，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】根据圆的性质可得
，若求
的最大值，转化为求
的最大
值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.
如图所示，
圆
的圆心为
，半径为3，
圆
的圆心为
，半径为1，
可知
，
所以
，
若求
的最大值，转化为求
的最大值，
设
关于直线
的对称点为B，设B 坐标为
，
则
，解得
，故B
，
因为
，可得
，
当P，B，A 三点共线，即P 点为
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
故答案为：.
【变式训练6-6】.若直线ax+by=ab（a>0，b>0）过点（1，1），则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最
小值为
【解析】直线ax+by=ab （a>0 ，b>0 ）过点（1 ，1 ），∴a+b=ab ，即1
a + 1
b =1，
a+b=(a+b)（1
a + 1
b ）=2+ b
a + a
b ≥2+2❑√
b
a
a
b = 4,当且仅当a=b=2 时上式等号成立. ∴直线在x 轴，y 轴
上的截距之和的最小值为4.
【变式训练6-7】．已知直线l：
.
(1)直线l 交x 轴于A，交y 轴于B，求△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)；
(2)在直线l 求一点P，使它分别到点
的距离和最小并求最小值.
【答案】(1)8(2)
，最小值为
【解析】（1）求出截距，即可求得面积；
（2）设
与M 关于直线l 对称，由对称性易得，
为所求距离的最小值，此时
与l 交于P.
（1 ）直线l 交x 轴于A ，交y 轴于B ，则由
；
可知
，∴
；
（2）设
与M 关于直线l 对称，由对称性易得，
为所求距离的最小值，此时
与l 交于P.
则有
，∴
.
∴
：
.
联立两直线可解得交点为
，且所求最小值为
.
【变式训练6-8】．已知点
，点P 在x 轴上使
最大，求点P 的坐标．
【答案】
【解析】首先求得点A 关于x 轴的对称点，然后数形结合根据直线方程求解点P 的坐标即可.
点
关于x 轴的对称点为
,如图所示，若
点不在直线
上则
,
连接
并延长交x 轴于点P，
即为
最大值．
直线
的方程是
，
即
.
令
，得
．
则点P 的坐标是
.
【变式训练6-9】．已知平面上两点A (4,1)和B (0,4)，在直线l:3 x - y -1=0上求一点M．
(1)使||MA|-|MB||最大值；
(2)使|MA|+|MB|最小．
【答案】(1)❑√5；(2)5.
【
解
析
】
（
1
）
由
题
设
求
出B关
于
直
线l的
对
称
点C (m,n)，
再
根
据
|| MA |-| MB||=|| MA |-| MC ||≤| AC |，即可求最大值；
（2）利用两点间线段长度最短，即可求最小值.
（1）若C (m,n)为B关于直线l的对称点，则BC中点( m
2 , n+4
2
)在直线l上，
所以¿，得¿，则C (3,3)，由| MB|=| MC |，则|| MA |-| MB||=|| MA |-| MC ||≤| AC |，
要使|| MA |-| MB||最大，只需A ,C , M共线，|| MA |-| MB||max=| AC |= ❑√5.
（2）如上图，要使| MA |+| MB|最小，只需A ,B, M共线，所以(| MA |+| MB|)min=| AB|=5.
【变式训练6-10】.过点P（1，4）做直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小
时，求此直线的方程.
【解析】设所求直线l 的方程为: x
a + y
b =1（a>0 ，b>0 ）∵直线l 经过点P （1 ，4 ）,∴1
a + 4
b =1，∴
a+b=(a+b)（1
a + 4
b ）=5+ b
a + 4 a
b ≥5+2❑√
b
a
4 a
b =9当且仅当b
a = 4 a
b 即a=3，b=6 时a+b 有最小值为
9，此时所求直线方程为2x+y-6=0。
【变式训练6-11 】. 已知两点A(-3,3)，B(5,1)，直线l: y = x，在直线l上求一点P，使
|| PA |-| PB||最大．
【答案】P(9,9)
【解析】先取作点A关于l对称点A
'，根据对称的性质结合不等式分析可得
||PA|-|PB||=||P
' A|-|PB||≤| A ' B|，运算求解.
如图2：A(-3,3)，B(5,1)位于直线l: y = x的异侧作点A(-3,3)关于l对称点A
'，则A
'(3,-3)，连接A
' B
延长交l于P，∵||PA|-|PB||=||P
' A|-|PB||≤| A ' B|，即||PA|-|PB||最大值为| A
' B|，
直线A
' B的斜率k A
' B= 1-(-3)
5-3
=2，直线A
' B的方程：y +3=2(x -3)，即2 x - y -9=0
联立¿，得¿，即P(9,9)．
题型07：截距之和型的最值问题
【典型例题】.直线2 x +a
2 y -a=0(a>0)与x、y轴的交点分别是A、B两点，则直线在x、y轴上的截距
之和的最小值是__________.
【答案】❑√2
【解析】求出直线在两坐标轴上的截距，利用基本不等式可求得两截距之和的最小值.
在直线AB的方程中，令y =0，可得x = a
2 ；令x =0，可得y =1
a，即点A(
a
2 ,0)、B(0,1
a)，
因此，直线2 x +a
2 y -a=0(a>0)在x、y轴上的截距之和为a
2 +1
a ≥2❑√
a
2 ⋅1
a = ❑√2，
当且仅当a= ❑√2时，等号成立.
故直线在x、y轴上的截距之和的最小值是❑√2.
故答案为：❑√2.
题型08：周长型的最值问题
【典型例题】．在直角坐标系xOy中，点A，B 分别在射线y =2 x (x≥0)和射线上y =-1
2 x (x≥0)运动，
且△AOB的面积为1，则A，B 两点横坐标之积为___________，△AOB周长的最小值为___________.
【答案】 4
5 或0.8 2❑√2+2
【解析】设A (a,2a)(a>0)，B(b,-1
2 b)(b>0)，根据面积为1 可得ab=4
5 ，根据基本不等式可求周长的最
小值.
因为2×(-1
2)=-1，故直线y =2 x与直线y =-1
2 x垂直.设A (a,2a)(a>0)，B(b,-1
2 b)(b>0)，
故S△AOB=1
2 ×|OA|×|OB|=1
2 ×❑√5a×
❑√5
2
b=5
4 ab=1，故ab=4
5
.
△AOB的周长为L= ❑√5a+
❑√5b
2
+ ❑√5a
2+5
4 b
2≥2❑√
5
2 ab+
❑√2❑√
25
4 a
2b
2=2❑√2+2，
当且仅当a= b
2 即a=
❑√10
5
,b=2❑√10
5
时等号成立，故L的最小值为2❑√2+2.故答案为：4
5 ，2❑√2+2.
【变式训练8-1】.点B在x轴上运动，点C在直线l: x - y +2=0上运动，若A (1,2)，则△ABC的周长的最
小值为___________.
【答案】❑√26
【解析】设A 关于x轴的对称点M , A关于l: x - y +2=0的对称点D，利用对称将△ABC的周长的最小值转化
为求DM的长度，求得M , D的坐标，由两点间距离公式即可求得答案.
设A 关于x轴的对称点M , A关于l: x - y +2=0的对称点D，∴|MB|=|BA|,|AC|=|CD|
△ABC的周长=|AB|+|BC|+|AC|=|MB|+|BC|+|CD|≥|MD|，
取等号时即M ,B ,C , D共线时，△ABC的周长的值最小，即DM的长度即为三角形周长的最小值，
由题意M (1,-2)，设点D (x , y),¿ ，解得x =0, y =3，所以D (0,3)，
由两点距离公式知|MD|= ❑√1+25= ❑√26.故答案为：❑√26.
【变式训练8-2】.已知点A（3，1），在直线y=x 和y=0 上分别找一点M 和N，使△AMN 的周长最短，最短
周长为
【解析】设点A 关于直线y=x 的对称点为B（x1，y1），依题意可得{
y1+1
2
= x1+3
2
y1-1
x1-3 =-1
,解得{
x1=1
y1=3即B（1，
3），
同样可得点A 关于y=0 的对称点C（3，-1），如图所示，则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CM+|MN|≥|BC|，当且仅
当B，M，N，C 共线时，△AMN 的周长最短，即|BC|=❑√（1-3）
2+（3+1）
2=2❑√5
【变式训练8-3】.点M（3，5），在直线l∶x-2y+2=0 和y 轴上各找一点P 和Q 使 △MPQ 周长最小
【解析】由点M（3，5），直线l∶x-2y+2=0，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1），同样求得点M 关于y
轴的对称点M2（-3，5），连接M 1M2，如图，易证得M 1M2 的长度就是△MPQ 周长的最小值根据M 1,M2
两点的坐标，可得直线M 1M2 的方程为x+2y-7=0，令x=0，得直线M 1M2 与y 轴的交点Q(0，7
2），解方程
组{
x +2 y -7 =0
x -2 y +2=0
,得交点P(5
2 , 9
4
),所以P(5
2 , 9
4
)，Q(0，7
2）即为所求。
【变式训练8-4】.m∈R，动直线l1: x +my -1=0过定点A，动直线l2:mx - y -2m+ ❑√3=0过定点B，
若直线l1与l2相交于点P（异于点A ,B），则ΔPAB周长的最大值为_________
【答案】2+2❑√2
【解析】由条件得直线l1过定点A(1,0)，直线l2过定点B(2,❑√3)，且|AB|=
❑√1
2+(❑√3)
2=2．
又直线l1⊥l2，所以|PA |
2+|PB|
2=| AB|
2= 4,∴|PA|+|PB|≤2
❑√
|PA |
2+|PB|
2
2
=2❑√2，当且仅当
| PA |=| PB|时等号成立，∴|PA|+|PB|+|AB|≤2+2❑√2，即ΔPAB周长的最大值为2+2❑√2．
答案：2+2❑√2
题型09：面积型的最值问题
【典型例题】．如图，已知直线l1∥l2，点A 是l1，l2之间的定点，点A 到l1，l2之间的距离分别为3 和
2，点B 是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC 与l1交于点C，则△ABC 的面积的最小值为________．
【答案】6
【解析】以A 为坐标原点，平行于l1的直线为x 轴，建立直角坐标系,写出B,C 的坐标，求出AB,AC 的长，代入
三角形面积公式，利用均值不等式求最值即可.
以A 为坐标原点，平行于l1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，
设B(a，－2)，C(b，3)．∵AC AB
⊥
，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝6
a
.
Rt
ABC
△
的面积S＝1
2
❑√a
2+ 4⋅
❑√b
2+9= 1
2
❑√a
2+ 4⋅❑√
36
a
2 +9
= 1
2
❑√
72+9a
2+ 144
a
2 ≥1
2
❑√72+72=6.
【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，三角形的面积，均值不等式，属于中档题.
【变式训练9-1】.在平面直角坐标系xOy(O 为坐标原点)中，不过原点的两直线l1: x -my +2m-1=0，
l2:mx + y -m-2=0的交点为P，过点O 分别向直线l1，l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN 面积
的最大值为（ ）
A．3
B．3
2
C．5
D．5
2
【答案】D
【解析】由l1、l2的方程可得它们都过定点(1,2)，l1⊥l2，然后可得四边形OMPN 为矩形，且|OP|= ❑√5，然
后可求出答案.
将直线l1的方程变形得x -1+m(2- y)=0，由¿，得¿，则直线l1过定点(1,2)，同理可知，直线l2过定点(1,2)，
所以，直线l1和直线l2的交点P 的坐标为(1,2)，易知，直线l1⊥l2，如图所示，易知，四边形
OMPN 为矩形，且|OP|=
❑√1
2+2
2= ❑√5，
设|OM|=a，|ON|=b，则a
2+b
2=5，四边形OMPN 的面积为S =|OM|⋅|ON|=ab≤a
2+b
2
2
= 5
2
，
当且仅当¿，即当a=b=
❑√10
2
时，等号成立，因此，四边形OMPN 面积的最大值为5
2，
故选：D
【变式训练9-2】．过定点A 的直线(a+1) x - y +2=0与过定点B的直线x +(a+1) y - 4 a-2=0交于点
P( P与A ､B不重合），则△PAB面积的最大值为（ ）
A．❑√2
B．2❑√2 C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线(a+1) x - y +2=0化为y =(a+1) x +2，可知定点A (0,2)，
动直线x +(a+1) y - 4 a-2=0化为(a+1)( y - 4)+ x +2=0，可知定点B (-2,4)，
又(a+1)×1-1×(a+1)=0
所以直线(a+1) x - y +2=0与直线x +(a+1) y - 4 a-2=0垂直，P为交点，
∴PA ⊥PB ,∴P A
2+ P B
2= A B
2=(0+2)
2+(2- 4)
2=8.
则S△PAB= 1
2 PA ⋅PB≤1
2 ⋅P A
2+ P B
2
2
=2，当且仅当PA = PB =2时，等号成立.
即△PAB面积的最大值为2.
故选：C.
【变式训练9-3】．已知直线l:mx - y -4m+1=0与两坐标轴正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点，
则△AOB面积的最小值为______________
【答案】8
【解析】先由题意及直线的几何意义可推得m<0，再分别令x =0与y =0求得在两坐标轴的截距，由此利用三
角形面积与基本关系式即可求得△AOB面积的最小值.
因为直线l:mx - y -4m+1=0与两坐标轴正半轴分别交于A，B 两点，
所以由mx - y -4m+1=0化为y =mx -4m+1，得¿，即¿，故m<0，令x =0，则y =-4m+1；令y =0，则
x =4-1
m，所以
S△AOB=1
2 (-4m+1)(4-1
m)=1
2(-16m-1
m)+4≥1
2 ×2❑√
(-16m)(-1
m)+4=8，当且仅当-16m=-1
m，
即m=-1
4 时，等号成立，所以S△AOB≥8，即△AOB面积的最小值为8.故答案为：8.
.
题型10：距离乘积型的最值问题
【典型例题1】．设m∈R，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx - y -m+3=0交于点
P( x , y)，则|PA|⋅|PB|的最大值是______．
【答案】5
【解析】试题分析：易得A(0,0),B(1,3).设P( x , y)，则消去m得：x
2+ y
2- x -3 y =0，所以点P 在以AB
为直径的圆上，PA ⊥PB，所以| PA |
2+| PB|
2=| AB|
2=10，| PA |×| PB|≤| AB|
2
2
=5.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA ⊥PB，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
【典型例题2】．直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A、B．点O 是坐标原点．
(1)当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程；
(2)当| MA | | MB|最小时，求直线l 的方程．
【答案】（1）x＋2y－4＝0（2）x＋y－3＝0
【解析】(1)如图，设|OA |＝a，|OB|＝b，△ABO 的面积为S，则S＝1
2
ab，并且直线l 的截距式方程是
x
a + y
b ＝1，
由直线通过点(2，1)，得2
a + 1
b ＝1，所以
a
2 ＝
1
1－1
b
＝
b
b－1.
因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得
S＝a
2
×b＝
b
b－1
×b＝b
2－1＋1
b－1
＝b＋1＋1
b－1＝b－1＋1
b－1＋2≥2＋2＝4.
当且仅当b－1＝1
b－1，即b＝2 时，面积S 取最小值4，这时a＝4，直线的方程为x
4 + y
2 ＝1.
即直线l 的方程为x＋2y－4＝0.
(2)如上图，设∠BAO＝θ，则| MA |＝1
sinθ ，| MB|＝
2
cosθ ，所以| MA | | MB|＝1
sinθ
·
2
cosθ ＝
4
sin 2θ ，
当θ＝45°时，| MA | | MB|有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l 的方程为x＋y－3＝0
【变式训练10-1】.（多选）设m 是不等于零的实数，过定点M 的动直线x +my =0和过定点N 的动直线
mx - y -m+3=0交于点P(x, y)，下列结论正确的是（ ）
A．定点N 的坐标是(1,3)
B．|MN|= ❑√10
C．|PM|⋅|PN|的最大值是5
D．|PN|⋅|PM|的最大值5❑√2
【答案】ABC
【解析】由题可得M (0,0)，N (1,3)可判断AB，进而可得|PM|
2+|PN|
2=|MN|
2=10，然后根据基本不等式
可判断CD.
由直线x +my =0可得定点M (0,0)，由直线mx - y -m+3=0，即m(x -1)= y -3，可得恒过点N (1,3)，故A
正确；所以|MN|= ❑√10，故B 正确；又1×m-m×1=0，可得两条直线互相垂直，
所以其交点P(x, y)落在以MN为直径的圆周上，所以|PM|
2+|PN|
2=|MN|
2=10，
∴|PM||PN|≤|PM|
2+|PN|
2
2
=5，当且仅当|PM|=|PN|时等号成立，故C 正确，D 错误.
故选：ABC.
【变式训练10-2】．设λ∈R，动直线l1: λx - y + λ =0过定点A，动直线l2: x + λy -3-2 λ =0过定点B，
若P为l1与l2的交点，则|PA|⋅|PB|的最大值为_____．
【答案】10
【解析】先求出动直线l1: λx - y + λ =0过定点A的坐标和动直线l2: x + λy -3-2 λ =0过定点B的坐标，由题
意可知l1⊥l2，即PA ⊥PB，利用勾股定理可得出|PA|
2+|PB|
2=|AB|
2=20，然后由重要不等式可求出
|PA|⋅|PB|的最大值.
直线l1的方程变形为λ(x +1)- y =0，由¿，得¿，
所以，动直线l1过定点A (-1,0)，同理可知，动直线l2过定点B (3,2)，
由题意可知l1⊥l2，且P为l1与l2的交点，∴PA ⊥PB，
由勾股定理可得|PA|
2+|PB|
2=|AB|
2=(-1-3)
2+(0-2)
2=20，
由重要不等式可得|PA|⋅|PB|≤|PA|
2+|PB|
2
2
=10，
当且仅当|PA|=|PB|= ❑√10时，等号成立，因此，|PA|⋅|PB|的最大值为10.
故答案为：10.
【点睛】本题考查直线过定点问题，同时也考查了线段积最值的求解，根据题意得出定值条件是解题的关键，
考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【变式训练10-3】．已知直线l过两直线l1: x -2 y =0，l2:2 x + y -5=0的交点P，且分别交x轴、y轴的
正半轴于A ,B两点．
(1)若直线l与3 x + 4 y +5=0垂直，求直线l的方程；
(2)当|PA|⋅|PB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程．
【答案】(1)4 x -3 y -5=0(2)最小值为4，x
3 + y
3 =1.
【解析】（1）联立两直线方程，求交点坐标，根据直线垂直可设直线方程，可代入点，解得答案；
（2）由题意，设直线为截距式方程，表示出点的坐标，根据题意研究所设字母的取值范围，结合两点距离公
式以及基本不等式，可得答案.
（1）联立直线方程可得：¿，解得¿，则P(2,1)，
由直线l与直线3 x + 4 y +5=0垂直，则可设方程为4 x -3 y +m=0，
将P(2,1)代入，解得m=-5，则得l方程为4 x -3 y -5=0.
（2）由（1）可知P(2,1)，可设直线l的方程为2
a + 1
b =1，则A (a,0)，B (0,b)，且b=
a
a-2 >0，即a>2，
∴| PA |⋅| PB|=
❑√(a-2)
2+1⋅
❑√4 +(b-1)
2
=
❑√(a-2)
2+1⋅
❑√4+(
a
a-2 -1)
2
=
❑√(a-2)
2+1⋅❑√
4 +
4
(a-2)
2 =2❑√
(a-2)
2+
1
(a-2)
2 +2 ≥2❑√2+2= 4当且仅当(a-2)
2=
1
(a-2)
2，即
a=3时取等号.
∴| PA |⋅| PB|的最小值为4，此时直线l 的截距式方程为x
3 + y
3 =1.
【变式训练10-4】．在平面直角坐标系中，
(1)已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(0,－3)，C(－2,1)，求：BC 边上高线所在的直线的方
程．
(2)若直线l的方程为ax +2 y -a-2=0（a∈R），且直线l在x轴上截距是y轴上截距的1
2，求该直线的
方程．
(3)过点P(3,1)作直线l分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A，B．求当⃗AP⋅⃗PB取得最小值时直线l的
方程．
【答案】(1)x -2 y + 4 =0；(2)x - y =0或2 x + y -3=0；(3)x + y - 4 =0.
【解析】（1）求出BC 边上高线所在直线的斜率，再根据点斜式即可得解；
（2）分别求出坐标轴上的截距，再结合已知即可得解；
（3）设l: x
a + y
b =1不妨取A(a,0)，B(0,b)，a>0，b>0，则3
a + 1
b =1，根据数量积的坐标表示结合不等
式中“1”的整体代换求出最小值时a,b的值，即可得解.
（1）解：∵k BC =-2，∴BC 边上高线所在直线的斜率为1
2，又高线过A (- 4,0)，
∴高线所在直线方程为y = 1
2
(x + 4)，即x -2 y + 4 =0；
（2）解：由题意直线l在两轴上截距都存在，则a≠0，令x =0得y = a+2
2
，令y =0得x = a+2
a
，
因为直线在x轴上截距是y轴上截距的1
2，若x , y轴上截距都为0，即直线过原点时，a=-2，此时直线为
x - y =0；若x , y轴上截距不为0，则a+2
a
= a+2
4
，解得a= 4，此时直线为2 x + y -3=0；
综上，直线l方程为x - y =0或2 x + y -3=0；
（3）解：设l: x
a + y
b =1不妨取A(a,0)，B(0,b)，a>0，b>0，过点P，所以有3
a + 1
b =1，
∴⃗AP⋅⃗PB =(3-a,1)⋅(-3,b-1)=3a+b-10=(3a+b)(
3
a + 1
b)-10= 3b
a + 3a
b ≥2❑√
3b
a ⋅3a
b =6，当
且仅当3b
a = 3a
b ，即a=b= 4时等号成立，∴当⃗AP⋅⃗PB取得最小值时，
直线l 的方程为x
4 + y
4 =1，即x + y - 4 =0．
【变式训练10-5】．直线l过点P(2,3)且分别与x , y轴正半轴于A ,B两点，O为原点．
(1)当|OA|⋅|OB|取最小时，求直线l的方程；
(2)当|PA|⋅|PB|取最小值时，求直线l的方程．
【答案】(1)3 x +2 y -12=0(2)x + y -5=0
【解析】（1）设直线方程为x
a + y
b =1(a>0,b>0)，将P点代入得2
a + 3
b =1，由图像利用均值不等式求ab的
最小值即可；
（2）设∠PAO=θ，则|PA|=
3
sinθ ,|PB|=
2
cosθ ，利用三角恒等变换求|PA|⋅|PB|的最小值即可.
（1）设直线AB的方程为x
a + y
b =1(a>0,b>0)，∵点P(2,3)在直线上，∴ 2
a + 3
b =1，
由基本不等式，得1= 2
a + 3
b ⩾2❑√
2
a ⋅3
b
，当且仅当a= 4且b=6时，等号成立，∴ab⩾24，
因此|OA|⋅|OB|取最小值为24，此时的直线方程为x
4 + y
6 =1，即3 x +2 y -12=0．
（2）
设∠PAO =θ，则可得θ∈(0, π
2 )，∴ |PA|=
3
sinθ ,|PB|=
2
cosθ ∴|PA|⋅|PB|=
3
sinθ ⋅
2
cosθ =
12
sin2θ ，
∴当2θ =90°，即θ = 45°时，| PA |⋅| PB|取最小值12，此时，直线的倾斜角为135°，斜率为-1，
直线l的方程为y -3=-1( x -2)，化为一般式可得x + y -5=0．
题型11：距离的平方和型的最值问题
一： 距离平方和问题
【典型例题1 】．已知m∈R，若过定点A的动直线l1: x -my +m-2=0和过定点B的动直线
l2: y -4=-m( x +2)交于点P（P与A，B不重合），则错误的是（ ）
A．A点的坐标为(2,1) B．点P 的轨迹方程x
2+ y
2-5 y =0
C．P A
2+ P B
2=25
D．2 PA + PB的最大值为5❑√5
【答案】B
【解析】求出直线恒过的定点可判断A，由已知可得两条直线互相垂直，由此可验证B、C，由已知可得
PA ⊥PB，设∠PAB =θ，进而求出2 PA + PB的最大值，即可判断D．
由动直线l1: x -my +m-2=0，得x -2+m(1- y)=0，所以定点A (2,1)，故A 正确；
由动直线l2: y -4=-m( x +2)，可得B (-2,4)，由l1: x -my +m-2=0和l2:mx + y -4+2m=0，满足
1×m+(-m)×1=0所以l1⊥l2，可得PA ⊥PB，所以|PA|
2+|PB|
2=|AB|
2= (2+2)2+(1-4)❑
2=25，故C
正确；设P(x, y)，则(x -2)
2+( y -1)
2+(x +2)
2+( y -4)
2=25，即点P 的轨迹方程为x
2+ y
2-5 y =0，而P与
A，B不重合，则x≠±2，故B 错误；因为PA ⊥PB，设∠PAB =θ，θ为锐角，则|PA|=5cosθ，
|PB|=5sinθ，所以2|PA|+|PB|=5(2cosθ+sinθ)=5❑√5sin(θ+φ)，
所以当sin(θ+φ)=1时，2|PA|+|PB|取最大值5❑√5，故D 正确．故选：B．
【变式训练11-1】.若点M (a,b)为直线❑√3 x - y +3=0上的动点，则a
2+(b+1)
2的最小值为___________.
【答案】4
【解析】由题意，根据两点之间的距离公式，问题转化为点到直线上的点的最短距离，由点到直线的距离公式，
可得答案.
解：由a
2+(b+1)
2可化为❑√(a-0)
2+(b-(-1)
2)，转化为点M (a,b)到点(0,-1)的距离的平方，因为点
M (a,b)为直线❑√3 x - y +3=0上的动点，由点(0,-1)到直线❑√3 x - y +3=0的距离为d =|0+1+3|
❑√3+1 =2，
a
2+(b+1)
2的最小值为4.故答案为：4.
【变式训练11-2】.设P是△ABC内的一点，且BC =2，CA =3，AB =4，则2 P A
2+3 P B
2+4 PC
2的最
小值为_________.
【答案】24
【解析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标法、点点到直线的距离公式进行求解.
如图，以AB 中点为原点建立平面直角坐标系，由题可知，cosB =16+4-9
2×4×2 =11
16 ，
所以C (5
8 ，3❑√15
8
)，A (-2，0)，B(2，0)，设P( x, y )，则
P A
2=(x +2)
2+ y
2，P B
2=(x -2)
2+ y
2，PC
2=(x -5
8)
2
+( y -3❑√15
8
)
2
，
所以2 P A
2+3 P B
2+4 PC
2=9 x
2+9 y
2-9 x -3❑√15 y +30=9(x
2+ y
2- x -
❑√15 y
3
+10
3 )
=9[(x -1
2)
2
+( y -
❑√15
6
)
2
+8
3]≥9×8
3 =24，当x =1
2 , y =
❑√15
6
时，取到等号.
故答案为：24.
【变式训练11-3】．为了树立学生正确的劳动观，培养学生优良的劳动态度和劳动习惯，南充高中计划
在劳动教育实践基地新增一块三角形状菜地，如图，经测量，AB = AC =5a，BC =6a，为方便浇灌菜
地，要在菜地内铺设水管安装水龙头，记安装水龙头的地点为点P，请你设计点P在菜地内的位置，使
|PA|
2+|PB|
2+|PC|
2最小，并求出这个最小值.
【答案】点P是△ABC 的重心，最小值为86
3
a
2
【解析】建立平面直角坐标系，设P(x，y)，利用坐标法求出|PA|
2+|PB|
2+|PC|
2，再由配方法求最值即可.
建立如图所示的平面直角坐标系，如图，
由 AB = AC =5a，BC =6a，得AO=4a ，
则A (0，4a)，B (-3a，0)，C (3a，0) ， 设P(x，y)， 有
|PA|
2+|PB|
2+|PC|
2= x
2+( y -4a)
2+(x +3a)
2+ y
2+(x -3a)
2+ y
2
=3 x
2+3 y
2-8ay +34a
2=3 x
2+3( y -4a
3 )
2
+86
3
a
2 当且仅当 ¿ ， 即点P 坐标为(0，4a
3 ) ， 点P 恰好
是△ABC 的重心时，|PA|
2+|PB|
2+|PC|
2 有最 小值86
3
a
2.
二： 与函数结合型
函数f ( x)= x
2+ 1
x
2 -ax - a
x -b有零点，则a
2+b
2的最小值为___．
【答案】4
5
##0.8
【分析】原问题等价于( x + 1
x )
2
-a( x + 1
x )-b-2=0有解，设x + 1
x =t(|t|≥2)，则t
2-at -b-2=0，将关于
t的方程看成关于a,b的直线方程at +b+2-t
2=0，则a
2+b
2可视为直线上的点(a,b)到原点的距离的平方，
从而即可求解.
【详解】解：因为函数f ( x)= x
2+ 1
x
2 -ax - a
x -b有零点，
所以方程x
2+ 1
x
2 -ax - a
x -b=0有解，即方程( x + 1
x )
2
-a( x + 1
x )-b-2=0有解，
设x + 1
x =t (|t|≥2)，则t
2-at -b-2=0，将关于t的方程看成关于a,b的直线方程at +b+2-t
2=0，则a
2+b
2
可视为直线上的点(a,b)到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方，
所以d
2=(
|t
2-2|
❑√t
2+1
2)
2
= (t
2-2)
2
t
2+1
=(t
2+1)+
9
t
2+1
-6，令m=t
2+1，则d
2=m+ 9
m -6，
因为|t|≥2，所以m=t
2+1≥5，由对勾函数的单调性知y =m+ 9
m -6在[5,+∞)上单调递增，
所以(d
2)min=5+ 9
5 -6= 4
5 ，所以a
2+b
2的最小值为4
5
.
三： 与导数结合型
【典型例题2】.已知函数f ( x)=a ❑√x -1+b- ln x -1，若关于x的方程f ( x)=0在[e,e
2]上有解，则
a
2+b
2的最小值为______．
【答案】9
e
2
设函数f (x)在[e,e
2]上的零点为m，则由a ❑√m-1+b- ln m-1=0，则P(a,b)在直线
l:❑√m-1× x + y - ln m-1=0上，则a
2+b
2可看作是O到直线l的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得
到答案
【解析】解：设函数f (x)在[e,e
2]上的零点为m，则a ❑√m-1+b- ln m-1=0，
所以点P(a,b)在直线l:❑√m-1× x + y - ln m-1=0上，设O为坐标原点，则a
2+b
2=|OP|
2，其最小值就
是O到直线l的距离的平方，所以
❑√a
2+b
2=|OP|≥|lnm+1|
❑√m
=lnm+1
❑√m
，m∈[e,e
2]，
设t = ❑√m∈[❑√e,e]，设g(t )= 2ln t +1
t
，则g
' (t )= 1-2lnt
t
2
≤0(t ∈[❑√e,e])，所以g(t )在[❑√e,e]上单调递
减，所以g(t )min= g (e)= 3
e ，所以
❑√a
2+b
2≥3
e 即a
2+b
2≥9
e
2 ，所以a
2+b
2的最小值为9
e
2 ，
故答案为：9
e
2
【变式训练11-4】．若实数a，b，c，d满足(b-a
2+ ln a)
2+(c -d -2)
2=0，则(a-c)
2+(b-d )
2的最小
值为__________.
【答案】2
【解析】把问题转化为曲线f ( x)= x
2- ln x上的点(a,b)与g( x)= x -2上点(c ,d)的距离的平方，进一步转化
为点到直线的距离公式求解．
解：因为(b-a
2+ ln a)
2+(c -d -2)
2=0，所以b-a
2+ ln a=0，c -d -2=0，
即b=a
2- ln a，d =c -2，
令f ( x)= x
2- ln x，g( x)= x -2，
设直线y = x +m与曲线f ( x)= x
2- ln x相切于点P( x0, y0)，
由f ( x)= x
2- ln x，得f
'( x)=2 x - 1
x ，
则f '( x0)=2 x0- 1
x0
，由2 x0- 1
x0
=1，解得x0=1或x0=- 1
2（舍去），所以f (x0)=1．
∴ P(1,1)，则P到直线y = x -2的距离d =|1-1-2|
❑√2
= ❑√2．
而(a-c)
2+(b-d )
2的几何意义为曲线y = f ( x)上的点(a,b)与直线g( x)= x -2上点(c ,d)的距离的平方，
则(a-c)
2+(b-d )
2的最小值为(❑√2)
2=2．
故答案为：2．
【变式训练11-5】．若实数a，b，c，d 满足3ln a-a
2
b
= c -2
d
=1，则❑√(a+c)
2+(b+d )
2的最小值为
____________．
【答案】2❑√2
【解析】由题意可知点(a,b)在曲线y =3ln x - x
2上.点(-c ,-d)在曲线y = x +2上.由❑√(a+c)
2+(b+d )
2的
最小值的几何意义就是曲线y =3 ln x - x
2( x >0)到曲线y = x +2上点的距离的最小值.设出切点由斜率为1，即
可求出切点，利用点到直线的距离即可求出最值.
因为3ln a-a
2
b
= c -2
d
=1所以b=3 ln a-a
2, d =c -2⇒-d =-c +2.
所以点(a,b)在曲线y =3ln x - x
2上.点(-c ,-d)在曲线y = x +2上.
❑√(a+c)
2+(b+d )
2的最小值的几何意义就是曲线y =3 ln x - x
2( x >0)到曲线y = x +2上点的距离的最小值.
等价于曲线y =3 ln x - x
2( x >0)平行于y = x +2的切线到曲线y = x +2的距离.
设切点为( x0, y0),y
' = 3
x -2 x,则y
' ¿或x0=- 3
2（舍）
所以y0=3 ln1-1=-1，切点(1,-1).该点到直线y = x +2的距离为：d =|1+1+2|
❑√2
=2❑√2.
所以❑√(a+c)
2+(b+d )
2的最小值为2❑√2.故答案为：2❑√2.
【点睛】本题考查了利用导数求曲线上的点到直线的距离的最值.考查了转化与化归思想.属于难题.其中
❑√(a+c)
2+(b+d )
2的几何意义为点(a,b)到点(-c ,-d )的距离是解本题的关键.
题型12：平行线间距离型的最值问题
【典型例题】.已知两直线l1与l2，直线l1经过点(0,3)，直线l2过点(4,0)，且l1∥l2．
(1)若l1与l2的距离为4，求两直线的方程；
(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
【答案】(1)l1: x =0，l2: x =4或l1:7 x -24 y +72=0，l2:7 x -24 y -28=0．
(2)最大距离为12；l1:4 x -3 y +9=0，l2:4 x -3 y -16=0．
【解析】（1）分斜率不存在，斜率存在两种情况讨论，利用平行线的距离公式即得解；
（2）若l1与l2之间的距离最大，则l1，l2均与A (0,3)，B (4,0)连线AB垂直，利用斜率关系即得解.
（1）当l1，l2斜率不存在时，l1: x =0，l2: x =4，l1与l2的距离为4，满足条件；
当l1，l2斜率存在时，设l1:kx - y +3=0，l2:kx - y - 4 k =0，则|3+4k|
❑√k
2+1
=4，即24k -7 =0，解得k =7
24 ，
此时，l1:7 x -24 y +72=0，l2:7 x -24 y -28=0．
综上，l1: x =0，l2: x =4或l1:7 x -24 y +72=0，l2:7 x -24 y -28=0．
（2）若l1与l2之间的距离最大，则l1，l2均与A (0,3)，B (4,0)连线AB垂直，而AB的斜率k =-3
4 ，
所以l1，l2的斜率均为4
3 ，此时l1:4 x -3 y +9=0，l2:4 x -3 y -16=0．
【变式训练12-1】.直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最
大时，直线l1的方程是（ ）
A．x +2 y -3=0 B．x - y -3=0
C．x +2 y +3=0 D．x - y +3=0
【答案】A
【解析】由平行线与直线AB垂直时，平行线间距离最大，从而求得直线l1的斜率得直线方程．
解：由题意可得，l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直．由于AB的斜率为1+1
1-0 =2，故直线l1的
斜率为- 1
2，故它的方程是y -1=- 1
2 ( x -1)，化简为x +2 y -3=0，
故选：A．
【变式训练12-2】．已知两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．
(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；
(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
【答案】(1)l1：7x
24y+72
﹣
＝0，l2：7x
24y
28
﹣
﹣
＝0 或l1：x＝0，l2：x＝4
(2)最大距离为5；l1：4x
3y+9
﹣
＝0，l2：4x
3y
16
﹣
﹣
＝0
【解析】（1）分两类讨论：①若l1，l2 的斜率都存在，设其斜率为k，写出两条直线的方程，由点到直线的距
离公式求出斜率k 即可，②若l1、l2 的斜率都不存在，则l1：x＝0，l2：x＝4，然后验证距离是否等于4 即可．
（2）当直线l1，l2 均与两点的连线垂直时，l1 与l2 的距离最大，由两点间距离公式求出最大距离，由两条直
线的垂直关系求出斜率，再根据点斜式或斜截式写直线的方程即可．
（1）①若l1，l2 的斜率都存在，设其斜率为k，由斜截式得l1 的方程y＝kx+3，即kx
y+3
﹣
＝0，
由点斜式得l2 的方程y＝k（x
4
﹣），即kx
y
4k
﹣﹣
＝0，在直线l1 上取点A（0，3），则点A 到直线l2 的距离
为d=|3+ 4 k |
❑√k
2+1
=4，化简得16k2+24k+9＝16k2+16，解得k= 7
24 ，∴l1：7x
24y+72
﹣
＝0，l2：7x
24y
28
﹣
﹣
＝0．
②若l1、l2 的斜率都不存在，则l1 的方程为x＝0，l2 的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件，
综上所述，两条直线的方程为l1：7x
24y+72
﹣
＝0，l2：7x
24y
28
﹣
﹣
＝0 或l1：x＝0，l2：x＝4．
（2）当直线l1，l2 均与两点的连线垂直时，l1 与l2 的距离最大，两点连线的直线的斜率为0-3
4 -0 =- 3
4 ，
∴直线l1 与l2 的斜率均为4
3 ，此时，最大距离为❑√(0- 4)
2+(3-0)
2=5，
l1：4x
3y+9
﹣
＝0，l2：4x
3y
16
﹣
﹣
＝0．
题型13：导数与平行线间的距离结合型
【典型例题1】．已知点P 在函数f (x)=ln x - x +2的图像上，点Q 是在直线x +2 y -2ln2-6=0上，记
M =|PQ|，则（ ）
A．M 有最小值3❑√10
5
B．当M 取最小值时，点Q 的横坐标是12
5
C．M 有最小值3❑√5
5
D．当M 取最小值时，点Q 的横坐标是14
5
【答案】D
【解析】先判定与直线l平行且与f (x)=ln x - x +2的图像相切的直线的位置，切点到直线l的距离即为M 的最
小值，再利用导数的几何意义求出切点坐标和M 的最小值，再联立直线方程求出Q 的横坐标.
将x +2 y -2ln2-6=0化为y =-1
2 x +ln2+3，即直线l 的斜率为-1
2 ，因为f (x)=ln x - x +2，所以
f
' (x)=1
x -1，令f
' (x)=1
x -1=-1
2 ，得x =2，∴当M 最小时，点P 的坐标为(2,ln2)，
此时点P 到直线l的距离为d =4
❑√5 =4 ❑√5
5
，所以M 的最小值为4 ❑√5
5
；过点P 且垂直于l的直线方程为
l
':2 x - y +ln2-4=0，联立¿，得x =14
5
，即点Q 的横坐标为xQ=14
5
.故选D
【典型例题2】.若点P 是曲线y = x
2上一动点，则点P 到直线y =2 x -3的最小距离为________.
【答案】2❑√5
5
【解析】利用导数求出与直线y =2 x -3平行且与曲线相切的直线l，切点到直线y =2 x -3的距离即为最小距
离.
设f ( x)= x
2，f
'( x)=2 x，设直线l与曲线y = x
2相切，切点为P( x0, y0)，且直线l与直线y =2 x -3平行，则
有f
'( x0)=2，得x0=1，∴y0=1，即P(1,1)
如图所示：
此时P到直线2 x - y -3=0的距离最小，d =|2-1-3|
❑√4 +1 = 2❑√5
5
.
故答案为：2❑√5
5
【变式训练13-1】．已知P(x , y)是函数y =e
x+ x图象上的点，则P到直线2 x - y -3=0的最小距离为___．
【答案】4 ❑√5
5
【解析】分析可知曲线y =e
x+ x在点P处的切线与直线2 x - y -3=0平行，利用导数的几何意义求出点P的坐
标，再利用点到直线的距离公式可求得结果.
当点P到直线2 x - y -3=0的距离最小时，曲线y =e
x+ x在点P处的切线与直线2 x - y -3=0平行，对函数
y =e
x+ x求导得y
' =e
x+1，令y
' =2，可得x =0，则y =e
0+0=1，
此时，点P的坐标为(0,1)，因此，P到直线2 x - y -3=0的最小距离为|-1-3|
❑√5
= 4 ❑√5
5
.
故答案为：4 ❑√5
5
.
【变式训练13-2】．若点P是曲线y = x
2-ln x -1上任意一点，则点P到直线y = x -3的最小距离为
___________.
【答案】❑√2
【分析】由已知，先在曲线上设出点Q( x0, y0)，然后写出以Q( x0, y0)点为切点的曲线的切线方程，根据
题意，找到距离直线y = x -3最近的点，即k =2 x0-1
x0
=1，从而求解出切点以及切线方程，最后计算两条平
行线之间的距离即可.
【详解】由已知，设点Q( x0, y0)曲线y = x
2-ln x -1上一点，则有y0= x0
2-ln x0-1，
因为y = x
2-ln x -1，所以y
' =2 x -1
x ，所以y
'|x = x0=2 x0-1
x0
，所以曲线y = x
2-ln x -1在Q( x0, y0)处的
切
线
斜
率
为k =2 x0-1
x0
，
则
曲
线
y = x
2-ln x -1在Q( x0, y0)处
的
切
线
方
程
为
y -( x0
2-ln x0-1)=(2 x0-1
x0
)( x - x0)，即y =(2 x0-1
x0
) x - x0
2-ln x0．
要求得曲线y = x
2-ln x -1上任意一点，到直线y = x -3的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即
k =2 x0-1
x0
=1，解得x0=1或x0=-1
2 （舍去），此时，以点Q(1,0)为切点，曲线的切线方程为：y = x -1，
此时，切点Q(1,0)为曲线上距离直线y = x -3最近的点，即点P与点Q重合，最小距离为直线y = x -3与直线
y = x -1之间的距离，设最小距离为d，所以d = |-1-(-3)|
❑√1
2+(-1)
2 = ❑√2.故答案为：❑√2.
【变式训练13-3 】．设a,b∈R，c>0，则❑√(a-b)
2+(e
a-b)
2+
❑√(c -b)
2+(ln c -b)
2的最小值为
__________．
【答案】❑√2
【解析】利用两点距离公式的几何意义将问题转化为求y =e
x图像上的动点与y = ln x图像上的动点最小距离，
利用y =e
x与y = ln x关于y = x的对称性，分别求出切点M , N，则|MN|即为所求最小值.
由两点距离公式的几何意义可知❑√(a-b)
2+(e
a-b)
2表示点(a,e
a)到(b,b)的距离，❑√(c -b)
2+(ln c -b)
2表
示点(c ,ln c)到(b,b)的距离，而(a,e
a)是y =e
x(x>0)上的点，(c ,ln c)是y = ln x上的点，(b,b)是y = x上的
点，且y =e
x与y = ln x关于直线y = x对称，所以❑√(a-b)
2+(e
a-b)
2+
❑√(c -b)
2+(ln c -b)
2的最小值可转
化为y =e
x图像上的动点与y = ln x图像上的动点最小距离，显然，y =e
x与平行y = x的切线l1的切点M，和
y = ln x与平行y = x的切线l2的切点N，它们之间的距离|MN|就是所求最小距离，
对于y =e
x，设切点为(x1, y1)，有y
' =e
x，则e
x1=1，故x1=0，则y1=e
0=1，故M (0,1)，
对于y = ln x，设切点为(x2, y2)，有y = 1
x ，则1
x2
=1，故x2=1，则y2= ln1=0，故N (1,0)，
所以|MN|= ❑√1+1= ❑√2，所以题设式子的最小值为❑√2.
故答案为：❑√2.
题型14：直线系方程问题
直线系方程的常见类型
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k 是参数，直线系中未包括直线x＝x0)；
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ 是参数且λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ 是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝
0(λ∈R，但不包括l2)．
一： 平行直线系方程问题
【典型例题1】.过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0 平行的直线方程为________________．
【解析】设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线
方程为2x＋3y＋10＝0.
【答案】 2x＋3y＋10＝0
【变式训练14-1】.已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0 平行，l1与x 轴、y 轴围成面积为8 的三角形，求
直线l1的方程．
【解析】 设直线l1 的方程为x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝，依照题意有×|－c|
×＝8，解得c＝±4.所以l1 的方程是x－3y±4＝0.
【变式训练14-2】.已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1 的直线l 的
方程．
【解析】 方法一：设存在直线l：＋＝1，则a＋b＝1 和－＝组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.
故l 的方程为－＝1，即3x－4y－12＝0.
方法二：根据平行直线系方程可设直线l 为3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－，，
由－＋＝1，知c＝－12.故直线l 的方程为3x－4y－12＝0.
二： 垂直直线系方程问题
【典型例题2】.经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0 垂直的直线l 的方程为________________．
【解析】因为所求直线与直线2x＋y－10＝0 垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2,1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.
【答案】x－2y＝0
【变式训练14-3】.求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0 垂直的直线l 的方程．
【解析】 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0 垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，
1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.
三： 相交直线系方程问题
【典型例题3】．经过直线3x－2y＋1＝0 和直线x＋3y＋4＝0 的交点，且平行于直线x－y＋4＝0 的直线
方程为__________．
【解析】过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，它
与直线x－y＋4＝0 平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－，故所求直线为x－y＝0.
答案：x－y＝0
【变式训练14-4】.已知两条直线l1：x－2y＋4＝0 和l2：x＋y－2＝0 的交点为P，求过点P 且与直线l3：
3x－4y＋5＝0 垂直的直线l 的方程．
【解析】 方法一：解l1 与l2 组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝，所以直线l 的斜率k＝－，方程为y
－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
方法二：设所求直线l 的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l 与l3 垂
直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x＋3y－6＝0.
