第05讲数列求和方法讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）（新高考通用）-学生版_高考一二三轮复习_数学_2026年-数学高考二轮复习

第05 讲 数列求和方法
目 
录
思维导图............................................................................................................................................................................3
高考分析............................................................................................................................................................................3
学习目标............................................................................................................................................................................4
知识要点............................................................................................................................................................................4
解题策略............................................................................................................................................................................9
题型归纳..........................................................................................................................................................................10
题型01：公式法求和...............................................................................................................................................10
题型02：分组转化法求和........................................................................................................................................11
（一）等差+等比.............................................................................................................................................11
（二）等差（等比）+裂项...............................................................................................................................12
（三）奇偶型求和............................................................................................................................................13
（四）正负相间型求和.....................................................................................................................................15
题型03：倒序相加法求和........................................................................................................................................16
题型04：错位相减法求和........................................................................................................................................20
（一）等差×等比.............................................................................................................................................20
（二）等差/等比..............................................................................................................................................22
（三）错位相消（插入数型）..........................................................................................................................24
题型05：裂项相消法求和........................................................................................................................................26
（一）等差型...................................................................................................................................................26
（二）无理型...................................................................................................................................................28
（三）指数型...................................................................................................................................................30
（四）对数型...................................................................................................................................................32
（五）幂型.......................................................................................................................................................33
（六）通项与前n 项和型.................................................................................................................................35
（七）复杂裂项型：分离常数型.......................................................................................................................35
（八）复杂裂项型：分子裂差法.......................................................................................................................36
（九）复杂裂项型：指数裂项法.......................................................................................................................37
（十）复杂裂项型：等差指数仿写法................................................................................................................38
（十一）正负型：等差裂和型...........................................................................................................................39
（十二)正负型：等差裂差型.............................................................................................................................40
（十三）正负型：指数裂和型...........................................................................................................................40
题型06：并项求和..................................................................................................................................................41
题型07：绝对值求和...............................................................................................................................................45
题型08：先放缩再求和...........................................................................................................................................47
题型09：奇偶项求和...............................................................................................................................................50
（一）数列奇偶项求和.....................................................................................................................................50
（二）分段数列求和.........................................................................................................................................52
题型10：数列求和的实际应用.................................................................................................................................54
（一）分期付款................................................................................................................................................54
（二）产值增长................................................................................................................................................54
（三）其他模型................................................................................................................................................56
数列求和拓展专练型.........................................................................57
一 裂项相消求和进阶.......................................................................................................................................................57
题型01：裂和型裂项相消：(−1)
n an+an+1
anan+1
=(−1)
n(
1
an
+ 1
an+1)....................................................................57
题型02：根式型裂项相消：


1
1
n
k
n
k
n
k
n





............................................................................59
题型03：等差乘等比型裂项：
1
2
1
1
(
1) 2
2
(
1) 2
n
n
n
n
n n
n
n









........................................................................60
题型04：三项等差裂项: 







2
1
1
1
2
1
1
2
n n
n
n n
n
n







..........................................................63
题型05：其它裂项求和...........................................................................................................................................65
二 分组求和与并项求和进阶............................................................................................................................................66
题型06：奇偶项的通项公式不一致的数列求和........................................................................................................66
题型07：;插入数字构成新数列后求和.....................................................................................................................67
题型08：隔项数列求和（一般并项求和）...............................................................................................................69
题型09：通项含有(
)1 n
－
的数列求和.....................................................................................................................70
题型10：涉及sin，cos 的数列求和........................................................................................................................75
题型11：奇偶交织”的递推数列求和问题...............................................................................................................77
题型12：奇偶数列{an}的前n项和T n及S2n 与S2n-1 下标的讨论和处理...............................................................78
三 其它求和问题..............................................................................................................................................................82
题型13：放缩求和..................................................................................................................................................82
题型14：恒（能）成立问题....................................................................................................................................90
题型15：公共项相关求和........................................................................................................................................91
题型16：取整数列求和...........................................................................................................................................94
题型17：数列的自定义问题....................................................................................................................................95
巩固提升..........................................................................................................................................................................97
一、考情定位
1. 考查频率：数列求和是高考数学数列板块的核心考点，在全国卷及新高考卷中每年必考，既会以选
择题、填空题形式单独考查（分值 5 分），也常与通项公式求解、不等式证明结合，作为解答题的第 
2 问出现（分值 6 - 8 分）。
2. 考查题型：基础题型考查公式法、分组求和法；中档题型考查裂项相消法、错位相减法；难题会将
求和与放缩法结合，用于证明数列不等式，区分度较高。
3. 命题趋势：近年来高考弱化了复杂的递推公式变形，更强调通性通法的应用，注重考查学生对数列
本质的理解，以及将不规则数列转化为规则数列求和的转化与化归思想。
二、核心求和方法及适用场景
求和方法 适用数列类型 高考高频示例 
公式法 等差数列、等比数列，或可直接化为这两类的数列 已知是公差为的等差数列，求 
分组求和法 由两类或多类可求和数列相加组成的数列 数列通项为，求前项和 
裂项相消法 通项可拆分为两项之差，且拆分后相邻项能抵消的数列 通项为、的数列求和 
错位相减法 由等差数列×等比数列组成的数列（差比数列） 通项为、的数列求和 
一、知识目标
1. 熟练掌握公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法这四种高考核心求和方法的适用条件，能精
准判断不同通项形式的数列对应的求和策略。
2. 牢记等差数列、等比数列的求和公式，明确等比数列求和时**q=1 与q≠1 的分类讨论前提**，掌握各类
方法的核心变形步骤。
3. 理解数列求和的本质是将非规则数列转化为规则数列的化归思想，能识别可通过变形（如通项拆分、
错位相减构造）转化为基础数列的复杂数列。
二、能力目标
1. 运算求解能力：能准确完成错位相减法中的代数变形、裂项相消法中的系数配平，避免漏项、计算失
误等高频错误，提升运算准确率。
2. 逻辑推理能力：能结合数列通项的结构特征，推导对应的求和步骤；在与不等式证明结合的题型中，
能通过求和结果进行合理放缩。
3. 迁移应用能力：能将求和方法迁移到综合题型中，比如与函数、导数、不等式等知识结合的问题，实
现跨板块知识的融合应用。
三、素养目标
1. 培养数学抽象素养：从具体数列的求和过程中，提炼出通用的求和模型与思想方法。
2. 强化数学运算素养：通过规范的步骤训练，养成严谨的运算习惯，提升数学运算的规范性与准确性。
3. 发展数学建模素养：能将实际问题（如增长率、分期付款）转化为数列求和模型，用数学方法解决实
际问题。
高中数列求和方法大全
一．公式法
（1）等差数列{an}的前n 项和Sn= n(a1+an)
2
=na1+ n(n+1)
2
d，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列{an}的前n 项和Sn={
& na1，q =1
& a1(1−q
n)
1−q
，q≠1
，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n 项和：
①∑
k =1
n
k =1+2+3+⋯+n= 1
2 n(n+1)；∑
k =1
n
2k =2+ 4 +6+⋯+2n=n(n+1)
②∑
k =1
n
(2k −1)=1+3+5+⋯+(2n−1)=n
2；
③∑
k =1
n
k
2=1
2+2
2+3
2+⋯+n
2= 1
6 n(n+1)(2n+1)；
④∑
k =1
n
k
3=1
3+2
3+3
3+⋯+n
3=[ n(n+1)
2
]
2
二．错位相减法
错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前n项和公式的推导用的就是错位相减法.当一个数列由
等差数列与等比数列对应项相乘构成时，可使用此法求数列的前n项和.
设数列{an}为等差数列，公差为d；数列{bn}为等比数列，公比为q(q≠1)；数列{anbn}的前n项和为T n，
则T n的求解步骤如下：
(1)列出和式：T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn;
(2)两边同乘公比q:qT n=a₁b₁q+a₂b₂q+a3b3q+⋯+anbnq =a1b2+a2b3+a3b4+anbn+1;
(3)两式相减(错位相减)并求和：
(1−q)T n=a₁b₁+(a₂b₂−a₁b₂)+(₃b₃−a2b3)+⋯+(anbn−an−1bn)−anbn+1
=a1b1+(a2−a1)b2+(a3−a2)b3+⋯+(an−an−1)bn−anbn+1
=a1b1+d(b2+b3+⋯+bn)−anbn+1=a1b1+d ⋅b2(1−q
n−1)
1−q
−anbn+1;
(4)两边同时除以(1−q)，即得数列{anbn}的前n项和T n.
特别提醒：注意对q的讨论，在上述过程中，我们已知q是等比数列{bn}的公比，所以q≠0，但对
Sn=1+2 x +3 x
2+⋯+n x
n−1，就应分x =0，x =1，x≠0且x≠1三种情况进行讨论.
三．裂项相消法
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，
其解题的关键就是准确裂项和消项．
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项
在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型
（1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或
者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两
项,或者前面剩几项,后面也剩几项;
（2）对于不能由等差数列，等比数列的前n 项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，
将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或
者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n 项和公式。
（3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末
被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实
质上也是造成正负相消是此法的根源目的
常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
1
n(n+1) = 1
n −
1
n+1
（2）
1
n(n+ k ) = 1
k ( 1
n −
1
n+ k )
（3）
1
4 n
2−1
= 1
2 (
1
2n−1 −
1
2n+1 )
（4）
1
n(n+1)(n+2) = 1
2[
1
n(n+1) −
1
(n+1)(n+2)]
（5）
1
n(n
2−1)
=
1
n(n−1)(n+1) = 1
2 (
1
(n−1)n −
1
n(n+1) )
（6）
n
2
4 n
2−1
= 1
4[1+
1
(2n+1)(2n−1)]
（7）
3n+1
(n+1)(n+2)(n+3) =
4(n+1)−(n+3)
(n+1)(n+2)(n+3) = 4(
1
n+2 −
1
n+3 )−(
1
n+1 −
1
n+2 )
（8）n(n+1)= 1
3 [n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)].
（9）n(n+1)(n+2)= 1
4 [n(n+1)(n+2)(n+3)−(n−1)n(n+1)(n+2)]
（10）
1
n(n+1)(n+2)(n+3) = 1
3[
1
n(n+1)(n+2) −
1
(n+1)(n+2)(n+3)]
（11）
2n+1
n
2(n+1)
2 = 1
n
2 −
1
(n+1)
2
（12）
n+1
n
2(n+2)
2 = 1
4[
1
n
2 −
1
(n+2)
2]
积累裂项模型2：根式型
（1）
1
❑√n+1+ ❑√n = ❑√n+1−❑√n
（2）
1
❑√n+ k + ❑√n = 1
k (❑√n+ k −❑√n)
（3）
1
❑√2n−1+ ❑√2n+1 = 1
2 (❑√2n+1−❑√2n−1)
（4）❑√
1+ 1
n
2 +
1
(n+1)
2 = n(n+1)+1
n(n+1)
=1+ 1
n −
1
n+1
（5）
1
3√n
2+2n+1+
3√n
2−1+
3√n
2−2n+1
=
3√n+1−
3√n−1(
3√n
2+2n+1+
3√n
2−1+
3√n
2−2n+1)=
3√n+1−
3√n
2
（6）
1
(n+1)❑√n+n ❑√n+1 =
(n+1)❑√n−n ❑√n+1
[(n+1)❑√n]
2−(n ❑√n+1)
2 = (n+1)❑√n−n ❑√n+1
n(n+1)
= 1
❑√n −
1
❑√n+1 
积累裂项模型3：指数型
（1）
2
n
(2
n+1−1)(2
n−1)
= (2
n+1−1)−(2
n−1)
(2
n+1−1)(2
n−1)
=
1
2
n−1
−
1
2
n+1−1
（2）
3
n
(3
n−1)(3
n+1−1)
= 1
2 (
1
3
n−1
−
1
3
n+1−1
)
（3）
n+2
n(n+1)⋅2
n = 2(n+1)−n
n(n+1)⋅2
n =(
2
n −
1
n+1)⋅1
2
n =
1
n⋅2
n−1 −
1
(n+1)⋅2
n
（4）(4 n−1)⋅3
n−1
n(n+2)
= 1
2[
9
(n+2) −1
n]⋅3
n−1= 1
2(
3
n+1
n+2 −3
n−1
n )
（5）(2n+1)⋅(−1)
n
n(n+1)
= (−1)
n
n
−(−1)
n+1
n+1
（6）an = n⋅3
n−1，设an=(an+b)3
n−[a(n−1)+b]⋅3
n−1，易得a= 1
2 ,b=−1
4 ，
于是an= 1
4 (2n−1)3
n−1
4 (2n−3)⋅3
n−1
（7）(−1)
n(n
2+ 4 n+2)2
n
n⋅2
n⋅(n+1)2
n+1 = (−1)
n(n
2+ 4 n+2)
n⋅(n+1)2
n+1
= (−1)
n[n
2+n+2(n+1)+n]
n⋅(n+1)2
n+1
= (−1)
n
2
n+1 +(−1)
n[
1
n⋅2
n +
1
(n+1)⋅2
n+1]= 1
2 (−1
2 )
n+[
(−1)
n
n⋅2
n −
(−1)
n+1
(n+1)⋅2
n+1]
积累裂项模型4：对数型
积累裂项模型5：三角型
（1）
1
cosα cos β =
1
sin(α −β)(tan α −tan β)
（2）
1
cosn° cos(n+1)° =
1
sin1° [tan(n+1)°−tan n°]
（3）tan α tan β =
1
tan(α −β)(tan α −tan β)−1
（4）an= tan⋅tan(n−1);tan1= tan[n−(n−1)]=
tan n−tan(n−1)
1+ tan n⋅tan(n−1)
，
则tan n⋅tan(n−1)= tan n−tan(n−1)
tan1
−1,an= tan n−tan(n−1)
tan1
−1
四．分组求和法
求和基础思维
1.形如an＝bn（等差）+cn（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝bn（等差比）+cn（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝bn+cn，（bn，cn 为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减
4.有分段型（如an={
n,n 为奇数
2
n,n 为偶数
 ），符号型（如an=(−1)
nn
2 ），周期型　（如an=sin nπ
3 ）
5.形如an+1=(−1)
n+1an+ f (n)，多可以通过奇偶取，再二次消去，得到奇数项或者偶数项累加法（或者
跳项等差等比数列）的通项公式
注：（1）分奇偶各自新数列求和
（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：
①可构建新数列；②可“跳项”求和
(3)正负相间求和：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最
后的奇数项通项。
注：在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99) ＋
(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
五．倒序相加
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项
和即可用倒序相加法求解．
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式
相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n 项和公式的推导便使用了此法.
 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 
注：倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征
的还有组合数
六．并项求和
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)
n⋅f (n)类型，常采用两项合
并求解．
七．奇偶求和
八．绝对值求和
核心解题流程
1. 定通项：先求出或分析数列的通项公式a_n，这是选择求和方法的核心依据。
2. 判类型：根据通项的结构特征，判断数列属于基础数列（等差/等比），还是由基础数列组合而成的
复杂数列。
3. 选方法：匹配对应的求和方法，将非规则数列转化为可求和的规则数列。
4. 验结果：对结果进行验证，比如代入n=1,2 等小值检验，规避计算错误。
题型01：公式法求和
【典型例题1】等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2=5，S5=35.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=2
an(n∈N
∗)，求证数列{bn}为等比数列，并求其前n项和T n.
【答案】（1）an=2n+1；（2）证明见解析，T n= 8
3 (4
n−1)
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，
∴{
a1+d =5
5a1+10d =35，解得{
a1=3
d =2
，
∴an=a1+(n−1)d =3+(n−1)×2=2n+1.
（2）由（1）可得bn=2
2n+1，∴bn
bn−1
= 2
2n+1
2
2n−1 = 4 (n≥2)，
∴数列{bn}为等比数列，首项为b1=8，公比为
∴T n= 8(1−4
n)
1−4
= 8
3 (4
n−1)
【典型例题2】已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，满足S5=a7，a3=−2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）将数列{an}与{5−3n}的公共项从大到小排列得到数列{bn}，求数列{bn}的前n 项和为T n.
【答案】（1）an= 4−2n；（2）T n=−3n
2+5n
【解析】（1）记等差数列{an}的公差为d，
由题知{
5a1+ 5×4
2
d =a1+6d
a1+2d =−2
，即{
a1+d =0
a1+2d =−2，解得{
a1=2
d =−2
，
所以数列{an}的通项公式为：an= 4−2n.
（2）数列{an}的公差为−2，数列{5−3n}的公差为−3，
所以数列{bn}的公差为−6，
又数列{an}和{5−3n}的首项都为2，
所以数列{bn}是以2 为首项，−6为公差的等差数列，
所以T n=2n+ n(n−1)
2
×(−6)=−3n
2+5n.
【变式训练1-1】已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，且an+1= Sn+2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn= log❑2a2n−1，求数列{bn}的前n 项和T n．
【变式训练1-2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn= 3
2 n
2+ 1
2 n，递增的等比数列{bn}满足：b1+b4=18，
b2⋅b3=32．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设{bn}的前n项和分别为T n，求T n．
【变式训练1-3】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a8=6,S21=0．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前50 项和T 50．
题型02：分组转化法求和
（一）等差+等比
【典型例题】已知数列{an−2n}是等比数列，且a1=3，a2=7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【答案】(1)an=3
n−1+2n；
(2)Sn= 3
n
2 +n
2+n−1
2
.
【解析】（1）设bn=an−2n，根据已知可求出bn=3
n−1，即可得出答案；
（2）分组求解，分别根据等差数列以及等比数列的前n项和即可得出答案.
（1）设bn=an−2n，则{bn}为等比数列.
则由已知可得，b1=a1−2×1=1，b2=a2−2×2=3，所以b2
b1
=3，
所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以bn=1×3
n−1=3
n−1.
所以an−2n=3
n−1，所以an=2n+3
n−1.
（2）
Sn=a1+a2+⋯+an=2+3
0+2×2+3
1+⋯+2n+3
n−1=2×(1+2+⋯+n)+(1+3+3
2+⋯+3
n−1)=2× n(n+1)
2
+ 1×(1
1−
.
【变式训练2-1-1】已知数列{an}为非零数列，且满足(1+ 1
a1)(1+ 1
a2)⋯(1+ 1
an)=(
1
2)
n(n+1)
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
1
an
+n}的前n项和Sn.
【变式训练2-1-2】设数列{an}满足a1=5,an+1=3an−4 n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【变式训练2-1-3】已知等差数列{an}，其前n项和为Sn.满足
，且6 是a2+1和a5的等比中项.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设
的前n项和为T n，求T n.
（二）等差（等比）+裂项
【典型例题】已知数列{an}的前n项和Sn，a1= 4,2Sn+ 4 =an+1+2n，设bn=an−1
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)设
，k ∈N
∗求数列{cn}的前2n+1项和
．
【答案】(1)见解析
(2)3
2n+3−3
8
+
n
4(n+1)
【解析】（1）由n=1可求得a1 的值，当n≥2时，由2Sn+ 4 =an+1+2n可得2Sn−1+ 4 =an+2(n−1)，两式
作差变形可得an+1=3an−2，利用等比数列的定义可证得{bn}是等比数列.
 (2)求出
，利用分组求和法结合等比数列的求和公式，裂项相消法可求得{cn}的前2n+1项和
.
（1）证明：∵2Sn+ 4 =an+1+2n，∴n≥2时2Sn−1+ 4 =an+2(n−1)，
作差得an+1=3an−2(n≥2)，整理得到：an+1−1=3(an−1)，
∵a1= 4,2S1+ 4 =a2+2,∴a2=10，代入适合上式，
因为a1−1=3≠0，故an−1≠0，
∴bn+1
bn
= an+1−1
an−1 = 3an−3
an−1 =3，
∴{bn}是以3 为首项，公比为3 的等比数列.
（2）由（1）知bn=3
n，所以cn=¿，k ∈N
∗，
∴T 2n+1=3
1+
1
2×4 +3
3+
1
4×6 +⋯+
1
2n(2n+2) +3
2n+1
 
 
 = 3−3
2n+1×9
1−9
+ 1
4[
1
1×2 +
1
2×3 +⋯+
1
n(n+1)] 
 = 3
2n+3−3
8
+ 1
4 ×(1−1
2 + 1
2 −1
3 +⋯+ 1
n −
1
n+1 )= 3
2n+3−3
8
+
n
4(n+1) .
【变式训练2-2-1】已知正项等差数列{an}，
，且a1，a2−1，a3成等比数列，数列{bn}的前n 项和为Sn，
b1= 1
2，2Sn+1=2Sn+bn．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn=bn+
1
anan+1
，数列{cn}的前n 项和为T n，求证：T n< 7
6 ．
（三）奇偶型求和
【典型例题1】已知数列{an}满足a1=20,an+1={
an−1,n 为奇数,
an−2,n 为偶数.
（1）记bn=a2n，求出b1,b2及数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前200 项和．
【答案】（1）b1=19,b2=16，bn=22−3n；（2）−25800
【解析】（1）因为a1=20,an+1={
an−1,n 为奇数
an−2,n 为偶数，
所以
，
所以
．
因为
，
所以数列{bn}是以19 为首项，−3为公差的等差数列，
所以
．
（2）由（1）可得
，
则
，
当n=1时，a1=20符合上式，所以
，
所以数列{an}的奇数项构成首项为20，公差为−3的等差数列，
偶数项构成首项为19 公差为−3的等差数列，
则数列{an}的前200 项和为
．
【典型例题2】已知数列{an}的通项公式为an={
n,n 为奇数,
2
n,n 为偶数,
求此数列的前n项和Sn．
【答案】Sn={
(n+1)
2
4
+ 4
3 (2
n−1−1),n 为奇数,
n
2
4 + 4
3 (2
n−1),n 为偶数
【解析】分n为奇数和偶数两种情况，结合等差和等比求和公式计算即可.
当n为奇数时，Sn=(1+3+⋯+n)+(2
2+2
4+⋯+2
n−1)= n+1
2
⋅1+n
2
+ 2
2(1−4
n−1
2 )
1−4
= (n+1)
2
4
+ 4
3 (2
n−1−1).
当n为偶数时，Sn=(1+3+⋯+n−1)+(2
2+2
4+⋯+2
n)= n
2 ⋅1+n−1
2
+ 2
2(1−4
n
2)
1−4
= n
2
4 + 4
3 (2
n−1).
综上，Sn={
(n+1)
2
4
+ 4
3 (2
n−1−1),n 为奇数,
n
2
4 + 4
3 (2
n−1),n 为偶数
【变式训练2-3-1】已知等差数列{an}前n项和为Sn(n∈N +)，数列{bn}是等比数列，a1=3，b1=1，
b2+ S2=10，a5−2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn={
1
Sn
,n 为奇数
2anbn,n 为偶数
，设数列{cn}的前n项和为T n，求T n.
【变式训练2-3-2】已知数列{an}，{bn}，Sn是数列{an}的前n 项和，已知对于任意n∈N
∗，都有
3an=2Sn+3，数列{bn}是等差数列，b1= log❑3a1，且b2+5，b4+1，b6−3成等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式．
(2)记cn={
an,n 为奇数
b n
2
,n 为偶数，求数列{cn}的前n 项和T n．
【变式训练2-3-3】已知Sn为等差数列{an}的前n 项和，a1=−1，2S3=3 S2+6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn={
an,n 是奇数
n⋅(❑√2)
3+an,n 是偶数
，求数列{bn}的前2n项和
．
【变式训练2-3-4】已知数列{an}的前n项和为Sn，
，Sn−n= 1
2 (an+2),(n∈N
∗)．
(1)求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn；
(2)设bk =
1
(S2k +2)S2k +1
(k ∈N
∗),数列{bn}的前n项和记为T n，证明：T n< 1
8 ,(n∈N
∗)
【变式训练2-3-5】已知各项均为正数的数列{an}满足：
，an+1
2
=an(an+1+2an)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若
，记数列{bn}的前n项和为T n，求T 2024．
（四）正负相间型求和
【典型例题1】【多选】已知数列{an}满足an+an+1=2×(−1)
n，n∈N
∗，且a5=1，则（    ）
A．
B．数列{a2n−1}是等比数列
C．数列{|an|}是等差数列
D．数列{
1
anan+1}的前n项和为
n
14 n−49
【答案】AD
【解析】利用递推公式求
判断ABC，按n为奇数和偶数讨论得到
的通项公式，利用裂项相消
法求数列{
1
anan+1}的前n项和判断D.
因为an+an+1=2×(−1)
n，a5=1，
所以a4=2−a5=1，a3=−2−a4=−3，a2=2−a3=5，a1=−2−a2=−7，故A 正确；
因为a3
2=9≠a1a5，所以数列{a2n−1}不是等比数列，B 错误；
因为2|a4|≠|a3|+|a5|，所以数列{|an|}不是等差数列，C 错误；
当n=2k −1(k ∈N
∗)时，an+an+1=−2，an+1+an+2=2，两式相减得，an+2−an= 4，
所以{an}的奇数项是以
为首项，4 为公差的等差数列，an=−7+ 4×(
n+1
2
−1)=2n−9，
当n=2k (k ∈N
∗)时，an+an+1=2，an+1+an+2=−2，两式相减得，an+2−an=−4，
所以{an}的偶数项是以5 为首项，−4为公差的等差数列， an=5−4×(
n
2 −1)=9−2n；
所以an=(−1)
n+1(2n−9)，anan+1=(−1)
n+1(2n−9)⋅(−1)
n+2(2n−7)=−(2n−9)(2n−7)，
设bn=
1
anan+1
，则bn=−
1
(2n−9)(2n−7) =−1
2(
1
2n−9 −
1
2n−7)，
所以b1+b2+b3+⋅⋅⋅+bn=−1
2[(−1
7 + 1
5)+(−1
5 + 1
3)+(−1
3 + 1
1)+⋅⋅⋅+(
1
2n−9 −
1
2n−7)]
=−1
2(−1
7 −
1
2n−7)=
n
14 n−49 ，D 正确；
故选：AD
【典型例题2】已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且a1=1，S3+ S4= S5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令
，求数列{bn}的前n 项和T n.
【答案】(1)an=2n−1
(2)T n={
−n,n 为奇数时
n,n 为偶数时
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，则3(1+d)=1+ 4 d，解出d =2，即可求出数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可得
，然后用并项求和法即可求解.
（1）由S3+ S4= S5可得
，即
，
设等差数列{an}的公差为d，则3(1+d)=1+ 4 d，
解得d =2.∴
，n∈N
∗.
（2）由（1）可得
，∴b2n−1+b2n=−(4 n−3)+ 4 n−1=2.
n为偶数时，T n=(b1+b2)+(b3+b4)+⋅⋅⋅+(bn−1+bn)=2× n
2 =n.
n为奇数时，T n=(b1+b2)+(b3+b4)+⋅⋅⋅+(bn−2+bn−1)+bn
=T n−1+bn=2× n−1
2
+(−1)(2n−1)=n−1−2n+1=−n
n=1也符合. 
∴T n={
−n,n 为奇数时
n,n 为偶数时
.
【变式训练2-4-1】已知数列{an}的前n项和为Sn,an=(−1)
n(2n−1)，则S2023=（    ）
A．1012        B．−1012        C．2023        D．−2023
【变式训练2-4-2】已知等差数列{an}中，a3+a5=a4+7，a10=19，则数列{ancosn π}的前2024 项的和为
（    ）
A．1010        B．1012        C．2023        D．2024
【变式训练2-4-3】已知Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=1目n Sn+1=(n+2)Sn，n∈N
∗
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(−1)
n
4 an
4 n
2−1
(n∈N
∗)，求数列{bn}的前n项和T n.
【变式训练2-4-4】在等比数列{an}中，已知a2= 4，a5=32．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=(−1)
n⋅log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
题型03：倒序相加法求和
【典型例题1】已知正数数列{an}是公比不等于1 的等比数列，且a1a2019=1，试用推导等差数列前n 项和的
方法探求：若f ( x)=
4
1+ x
2，则f (a1)+ f (a2)+⋯+ f (a2019)=（    ）
A．2018
B．4036
C．2019
D．4038
【答案】D
【解析】利用f ( x)+ f(
1
x)= 4，再等差数列前𝑛项和的方法倒序相加法求和即可.
a1⋅a2019=1，
∵函数f ( x)=
4
1+ x
2
∴f ( x)+ f(
1
x)=
4
1+ x
2 +
4
1+ 1
x
2
= 4 + 4 x
2
1+ x
2 = 4
，
令T = f (a1)+ f (a2)+⋅⋅⋅+ f (a2019)，则T = f (a2019)+ f (a2018)+⋅⋅⋅+ f (a1)，
∴2T = f (a1)+ f (a2019)+ f (a2)+ f (a2018)+⋅⋅⋅+ f (a2019)+ f (a1)= 4×2019，
∴T = 4038.
故选：D.
【典型例题2】已知函数
满足f (x)+ f (1−x)=1，若数列{an}满足
an= f (0)+ f(
1
n)+ f(
2
n)+⋯+ f(
n−1
n )+ f (1)，则数列{an}的前20 项的和为（    ）
A．230
B．115
C．110
D．100
【答案】B
【解析】利用倒序相加法即可求得前20 项的和.
an= f (0)+ f(
1
n)+ f(
2
n)+⋯+ f(
n−1
n )+ f (1)，①
an= f (1)+ f(
n−1
n )+ f(
n−2
n )+⋯+ f(
1
n)+ f (0)，②
两式相加，又因为f (x)+ f (1−x)=1
故
，所以an= n+1
2
所以{an}的前20 项的和为Sn=a1+a2+⋯+a20= 2
2 + 3
2 +⋯+ 21
2
 
Sn=20×1+ 20×19
2
× 1
2 =115
故选：B
【典型例题3】已知数列{an}满足：a1
2 + a2
2
2 + a3
2
3 +⋅⋅⋅+ an
2
n =n(n∈N
∗)，数列{bn}满足bn=
1
an+2
50.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求bn+b100−n的值；
(3)求b1+b2+b3+⋅⋅⋅+b99的值.
【答案】(1)an=2
n (2)
(3)99
2
51
【解析】（1）根据题意，当n≥2时，可得a1
2 + a2
2
2 + a3
2
3 +⋅⋅⋅+ an−1
2
n−1 =n−1，两式相减，求得an=2
n，再由
n=1，得到
，即可求得数列{an}的通项公式.
（2）由（1）得bn=
1
2
n+2
50，结合指数幂的运算法则，即可求得bn+b100−n的值；.
（3）由（2）知bn+b100−n= 1
2
50，结合倒序相加法，即可求解.
（1）由数列{an}满足：a1
2 + a2
2
2 + a3
2
3 +⋅⋅⋅+ an
2
n =n(n∈N
∗)，
当n≥2时，可得a1
2 + a2
2
2 + a3
2
3 +⋅⋅⋅+ an−1
2
n−1 =n−1，
两式相减，可得an
2
n =1，所以an=2
n，
当n=1，可得
，所以
，适合上式，
所以数列{an}的通项公式为an=2
n.
（2）由数列{bn}满足bn=
1
an+2
50 =
1
2
n+2
50，
则bn+b100−n=
1
2
n+2
50 +
1
2
100−n+2
50 =
1
2
n+2
50 +
2
n
2
100+2
50⋅2
n =
1
2
n+2
50 +
2
n
(2
n+2
50)2
50 =
2
n+2
50
(2
n+2
50)2
50 = 1
2
50.
（3）由（2）知bn+b100−n= 1
2
50，
可得b1+b2+b3+⋅⋅⋅+b99=
1
2
1+2
50 +
1
2
2+2
50 +⋯+
1
2
99+2
50，
则b99+b98+b97+⋅⋅⋅+b1=
1
2
99+2
50 +
1
2
98+2
50 +⋯+
1
2
1+2
50，
两式相加可得2(b1+b2+b3+⋅⋅⋅+b99)= 99
2
50，所以b1+b2+b3+⋅⋅⋅+b99= 99
2
51.
【变式训练3-1】定义在R上的函数
满足y = g(2 x +1)−2是奇函数，若数列{an}的项满足：
an= g(
1
n+1)+ g(
2
n+1)+ g(
3
n+1)+⋯+ g(
2n+1
n+1 )(n∈N
∗)，则数列{an}的通项公式为        ．
【变式训练3-2】已知函数
，则f(
1
2022)+ f(
2
2022)+⋯+ f(
4043
2022)=______．
【变式训练3-3】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对1+2+3+⋯+100的求
和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方
法也称之为高斯算法.现有函数f ( x)=
4
x
4
x+2
，则f (
1
2019 )+ f (
2
2019 )+ f (
3
2019 )+⋯+ f ( 2018
2019 )等于（  ）
A．1008
B．1009
C．2018
D．2019
【变式训练3-4】“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究
出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个n阶代数方程必有n个复数解等.若函数
f (x)=log2 2 x
1−x ，设a1=1,an= f(
1
n)+ f(
2
n)+ f(
3
n)+⋯+ f(
n−1
n )(n∈N ,n≥2)，则
a1+a2+⋯+a10=          .
【变式训练3-5】已知函数f ( x)= e
x−1
e
x+1
，g( x)= f ( x−1)+2，则
的对称中心为      ；若
an= g( 1
n )+ g( 2
n )+ g( 3
n )+⋅⋅⋅+ g( 2n−1
n
)（n∈N
∗），则数列{an}的通项公式为      ．
【变式训练3-6】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在1+2+3+⋯+100的求和运算
中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高
斯算法．现有函数f ( x)=
2
x
2
x+ ❑√2
，设数列{an}满足
，
若存在n∈N
∗使不等式n
2+ 4 n−2k an+27≤0成立，则k的取值范围是      ．
【变式训练3-7】已知函数f (x)=(x +1)
3+1，正项等比数列{an}满足a1012= 1
10，则∑
k =1
2023
f (lgak)  
【变式训练3-8】已知正数数列{an}是公比不等于1 的等比数列，且a1a2019=1，试用推导等差数列前n 项和
的方法探求：若f (x)=
4
1+ x
2，则f (a1)+ f (a2)+⋯+ f (a2019)=        .
【变式训练3-9】在等差数列{an}中，
(1)若首项为a1，公差为d，求Sn，（注意：请写出推导过程）；
(2)若Sn=−63，
，a1=1，求n；
【变式训练3-10】已知函数f (x)=
1
x +1，数列{an}是正项等比数列，且a10=1，
(1)计算f (x)+ f(
1
x)的值；
(2)用书本上推导等差数列前n 项和的方法，求f (a1)+ f (a2)+ f (a3)+⋅⋅⋅+ f (a18)+ f (a19)的值.
【变式训练3-11】设函数f (x)=1+ ln 1−x
x
，设a1=1，
an= f(
1
n)+ f(
2
n)+ f(
3
n)+⋯+ f(
n−1
n )(n∈N
∗,n≥2)．
(1)计算f (x)+ f (1−x)的值．
(2)求数列{an}的通项公式．
【变式训练3-12】已知函数f (x)= 1
2 x
2+ 1
2 x，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n∈N
∗)均在函数f (x)的
图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若函数g(x)=
4
x
4
x+2
，令bn= g(
an
2021)(n∈N
∗)，求数列{bn}的前2020 项和T 2020．
【变式训练3-13】已知数列{an}各项都不为0，
，a2= 4，{an}的前n项和为Sn，且满足anan+1= 4 Sn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=a1Cn
1+a2Cn
2+a3Cn
3+⋅⋅⋅+an−1Cn
n−1+anCn
n，求数列{
bn+2
n+1
bnbn+1 }的前n项和T n.
倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数
【变式训练3-14】已知函数f ( x)=(1−x)ln(1−x)+t.
(1)若f ( x)+ f (1−x)≥0对任意的x∈(0,1)恒成立，求t 的取值范围；
(2)设n∈N
∗且n≥2，证明：(
1
n)⋅(
2
n)
2
⋅(
3
n)
3
⋯⋅(
n−1
n )
n−1
>2
−n
2
2 .
【变式训练3-15】记Sn为等差数列{an}的前n项和.
(1)若a1= π
2 ,S5=a3+3a4，求数列{an}的通项公式；
(2)若a12= π
2 ，记bn=1+sin2an,T n为数列{bn}的前n项和，求T 23的值.
题型04：错位相减法求和
（一）等差×等比
【典型例题1】已知数列{an}满足
．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求
的前n 项和Sn．
【答案】(1)an=2
n(n∈N
∗)；
(2)Sn=8+(3n−4)⋅2
n+1
【解析】（1）根据给定条件，变形等式，利用等比数列定义判断作答.
（2）由（1）的结论，利用错位相减法求解作答.
（1）在数列{an}中，因
，则
，
于是得an+1
an
=2，因此数列{an}是首项为
，公比为2 的等比数列，
所以
．
（2）由（1）知，(3n−1)an=(3n−1)×2
n，
则Sn=2×2+5×2
2+8×2
3+⋯+(3n−4)×2
n−1+(3n−1)×2
n，
于是得2Sn=2×2
2+5×2
3+8×2
4+⋯+(3n−4)×2
n+(3n−1)×2
n+1，
两式相减得：−Sn= 4 +3×(2
2+2
3+⋯+2
n)−(3n−1)×2
n+1
=−2+3× 2(1−2
n)
1−2
−(3n−1)×2
n+1=−8+(4−3n)⋅2
n+1，
所以Sn=8+(3n−4)⋅2
n+1.
【典型例题2】已知数列{an}，
，an+1=2an(n∈N
∗)，设bn=nan，数列{an}，{bn}的前n项和分别为
Sn，T n.
(1)求Sn；
(2)求T n.
【答案】(1)Sn=2
n+1−2
(2)T n=(n−1)2
n+1+2
【解析】（1）由已知数列{an}为等比数列，可求通项和前n项和；
（2）由数列{bn}的通项可知，前n项和用错位相减法.
（1）∵an+1=2an，即an+1
an
=2，又
，∴数列{an}是首项为2 公比为2 的等比数列，
则an=2
n，得Sn= 2(1−2
n)
1−2
=2
n+1−2.
（2）由（1）得：bn=n⋅2
n，
∴T n=1⋅2
1+2⋅2
2+3⋅2
3+…+n⋅2
n①
2T n=1⋅2
2+2⋅2
3+3⋅2
4+…+n⋅2
n+1②
①-②得：−T n=2
1+2
2+⋯+2
n−1+2
n−n⋅2
n+1= 2(1−2
n)
1−2
−n⋅2
n+1=(1−n)2
n+1−2，
∴T n=(n−1)2
n+1+2.
【变式训练4-1-1】设数列{an}的前n项和为Sn，且an>0，a1=1，a2= 4，
an Sn+ 4 an−1Sn−2=an Sn−2+ 4 an−1Sn(n>2).
（1）证明：数列{an}为等比数列；
（2）设bn=
n√a1a2a3⋅⋅⋅an，求数列{nbn}的前n 项和T n.
【变式训练4-1-2】已知T n为正项数列{an}的前n项的乘积，且
(1)求数列{an}的通项公式
(2)令bn=log3an，求数列
的前n项和Rn.
【变式训练4-1-3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8=100，a2=5，设数列{bn}的前n项和为
Pn=2
n+1−2．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设
，数列{cn}的前n项和为T n．
（二）等差/等比
【典型例题1】已知数列{an}的首项a1=−1，且满足an+1=
an
3an+2 (n∈N
∗)．
(1)求证：数列{
1
an
+3}为等比数列；
(2)设bn=
nan
3an+1，求数列bn的前n 项和An．
【答案】(1)证明见解析
(2)An=2−n+2
2
n
【解析】（1）将条件an+1=
an
3an+2两边同时取倒数，然后两边同时加3，可证明等比数列.
（2）利用错位相减法求和即可.
（1）由an+1=
an
3an+2得1
an+1
= 3an+2
an
= 2
an
+3，即1
an+1
+3=2(
1
an
+3)，
又1
a1
+3=2，∴
1
an+1
+3
1
an
+3
=2， 
∴数列{
1
an
+3}为以2 为首相，2 为公比的等比数列；
（2）由（1）得1
an
+3=2×2
n−1=2
n，
∴bn=
nan
3an+1 =
n
3+ 1
an
= n
2
n
∴An= 1
2 + 2
2
2 + 3
2
3 +⋯+ n
2
n，
∴1
2 An= 1
2
2 + 2
2
3 +⋯+ n−1
2
n + n
2
n+1
∴1
2 An= 1
2 + 1
2
2 + 1
2
3 +⋯+ 1
2
n −n
2
n+1 =
1
2(1−1
2
n)
1−1
2
−n
2
n+1 =1−n+2
2
n+1
∴An=2−n+2
2
n
【典型例题2】已知数列{an}满足2a1+2
2a2+⋯+2
nan= 3n
2+7n
2
，数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn.
【答案】(1)an= 3n+2
2
n
(2)Sn=8−3n+8
2
n
【解析】（1）利用“退一作差”法求得an.
（2）利用错位相减求和法求得Sn.
（1）依题意2a1+2
2a2+⋯+2
nan= 3n
2+7n
2
，
当n=1时，2a1= 3+7
2
=5,a1= 5
2，
当n≥2时，由2a1+2
2a2+⋯+2
nan= 3n
2+7n
2
，
得2a1+2
2a2+⋯+2
n−1an−1= 3(n−1)
2+7(n−1)
2
= 3n
2+n−4
2
，
两式相减得2
nan=3n+2,an= 3n+2
2
n
(n≥2)，
a1也符合上式，所以an= 3n+2
2
n
.
（2）Sn= 5
2 + 8
2
2 +⋯+ 3n+2
2
n
，
1
2 Sn= 5
2
2 + 8
2
3 +⋯+ 3n+2
2
n+1 ，
两式相减得1
2 Sn= 5
2 + 3
2
2 + 3
2
3 +⋯+ 3
2
n −3n+2
2
n+1 ，
Sn=5+ 3
2 + 3
2
2 +⋯+ 3
2
n−1 −3n+2
2
n
=5+
3
2(1−1
2
n−1)
1−1
2
−3n+2
2
n
=8−3n+8
2
n
.
【变式训练4-2-1】已知数列{an}中，a2=1，设Sn为{an}前n项和，2Sn=nan．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
an+1
2
n }的前n项和T n．
【变式训练4-2-2】若数列{an}的前n 项和为Sn，且2Sn=3an−1(n∈N
∗)，等差数列{bn}满足b1=3a1，
b3=a2+ 4.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn= bn
3an
，求数列{cn}的前n 项和T n.
【变式训练4-2-3】已知数列{an}的首项a1=1，设Sn为数列{an}的前n项和，且有2Sn=(n+1)an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令
，求数列{cn}的前n项和T n.
【变式训练4-2-4】已知等比数列{an}的公比q>1，a1+a2+a3=14，a2+1是
，a3的等差中项.等差数列
{bn}满足2b1=a2，b4=a3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)cn= bn
an
(n∈N
∗)，求数列{cn}的前n 项和.
【变式训练4-2-5】设{an}是首项为1 的等比数列，数列{bn}满足bn= nan
3
．已知
，3a2，9a3成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）记Sn和T n分别为{an}和{bn}的前n 项和．证明：T n< Sn
2
．
（三）错位相消（插入数型） 
【典型例题1】记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，{
Sn
n }是公差为1 的等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bm为数列{an}落在区间(2
m,2
m+1)，m∈N
∗内的项数，在bn和bn+1之间插入n个数，使这n+2个数构成
等差数列，记这个等差数列的公差为dn，求数列{
1
dn}的前n项和T n.
【答案】(1)an=2n−1 (2)T n=6−n+3
2
n−1
【解析】（1）根据Sn和an的关系，相减法即可求得数列的通项公式；
（2）由2
m<2n−1<2
m+1得bm=2
m−1，进而得到dn= bn+1−bn
n+1
，则1
dn
= n+1
2
n−1 ，再应用错位相减法即可.
（1）当n=1时，S1
1 =a1=1，所以Sn
n =1+1×(n−1)=n，
所以Sn=n
2①，当n≥2时，Sn−1=(n−1)
2=n
2−2n+1②.
由①-②整理得an=2n−1(n≥2).
当n=1时，a1=1满足上式，所以数列{an}的通项公式为an=2n−1.
（2）由题意知2
m<2n−1<2
m+1，所以2
m−1+ 1
2 <n<2
m+ 1
2，
所以2
m−1+1≤n≤2
m，故bm=2
m−2
m−1=2
m−1.
由题可知dn= bn+1−bn
n+1
= 2
n−2
n−1
n+1
= 2
n−1
n+1
，得1
dn
= n+1
2
n−1 ，
则T n= 2
2
0 + 3
2
1 + 4
2
2 +⋯+
n
2
n−2 + n+1
2
n−1 ③，1
2 T n= 2
2
1 + 3
2
2 + 4
2
3 +⋯+
n
2
n−1 + n+1
2
n ④，
③-④得1
2 T n=2+(
1
2 + 1
2
2 +⋯+
1
2
n−1)−n+1
2
n =2+
1
2(1−1
2
n−1)
1−1
2
−n+1
2
n =3−n+3
2
n ，所以T n=6−n+3
2
n−1 .
【典型例题2】各项均为正数的数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，且(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1对一切
n∈N
∗都成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在ak和ak +1之间插入k个数，使这k +2个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为
，其中k =1,2,⋯,n．
求数列{cn}的前n项和．
【答案】(1)an=2
n−1 (2)3
2 [(n−1)⋅2
n+1]
【解析】（1）由(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1，可得Sn+1+1
an+1
= Sn+1
an
，进而可得Sn=2an−1，再利用退一相减
法可得an；
（2）利用等差数列等差中项的性质可得
，再利用错位相减法可得前n项和.
【详解】（1）由(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1，得Sn+1+1
an+1
= Sn+1
an
，所以Sn+1
an
= S1+1
a1
= a1+1
a1
=2，
所以Sn=2an−1，当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，
所以an= Sn−Sn−1=2an−1−(2an−1−1)=2an−2an−1，所以an=2an−1，
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an=2
n−1；
（2）由已知在ak和ak +1之间插入k个数，这k +2个数组成等差数列，
所以ck = (ak +ak +1)k
2
= (2
k −1+2
k)k
2
= 3
2 k ⋅2
k −1，设数列{cn}的前n项和为T n，
则T n= 3
2 ×1×2
0+ 3
2 ×2×2
1+ 3
2 ×3×2
2+⋯+ 3
2
(n−1)⋅2
n−2+ 3
2 n⋅2
n−1，
2T n= 3
2 ×1×2
1+ 3
2 ×2×2
2+ 3
2 ×3×2
3+⋯+ 3
2
(n−1)⋅2
n−1+ 3
2 n⋅2
n，
所以
3
2 ⋅2
0(1−2
n)
1−2
−3
2 n⋅2
n=−3
2 [1+(n−1)⋅2
n]，
所以T n= 3
2 [(n−1)⋅2
n+1].
【变式训练4-3-1】已知数列{an}满足an+1−an=1，其前5项和为15；数列{bn}是等比数列，且b1=2，4 b2，
，b4成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)分别求出
，∑
i=1
2n−1
(−1)
i−1ai
2(n∈N
∗).
【变式训练4-3-2】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=−9
4 ，且4 Sn+1=3 Sn−9．
(1)求数列{an}的通项；
(2)设数列{bn}满足3bn+(n−4)an=0(n∈N
∗)，记{bn}的前n项和为T n．
①求T n；
②若T n≤λbn对任意n∈N
∗恒成立，求实数λ的取值范围．
【变式训练4-3-3】设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N
∗，都有S2n=k Sn（k为非零常数），则称
数列{an}为“和等比数列”，其中k为和公比.若{bn}是首项为1，公差不为0 的等差数列，且{bn}是“和等比数
列”，令cn= n
2
bn，数列{cn}的前n项和为T n.
(1)求{bn}的和公比;
(2)求T n;
(3)若不等式
对任意的n∈N
∗恒成立，求m的取值范围.
题型05：裂项相消法求和
（一）等差型
【典型例题1】数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N
∗都有an+1=a1+an+n，则1
a1
+ 1
a2
+…+
1
a2023
=（    ）
A．2022
2023
B．2023
2024
C．4046
2024
D．4048
2024
【答案】C
【解析】运用累和法，结合等差数列前n项和公式、裂项相消法进行求解即可.
由an+1=a1+an+n⇒an+1−an=n+1，
当n≥2,n∈N
∗时，an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=n+n−1+⋯+2+1= (1+n)n
2
，显然a1=1也适合，
所以an= (1+n)n
2
，于是有1
an
=
2
(1+n)n =2(
1
n −
1
n+1)
因此1
a1
+ 1
a2
+…+
1
a2023
=2(1−1
2 + 1
2 −1
3 +⋯+
1
2023 −
1
2024)=2× 2023
2024 = 4046
2024 ，
故选：C
【典型例题2】已知等差数列{an}满足：a3=7，a2+a10=26，数列{an}的前n项和是Sn．
(1)求an及Sn；
(2)令bn=
1
anan+1
(n∈N
∗)，求数列{bn}的前n项和T n的取值范围．
【答案】(1)an=2n+1，Sn=n
2+2n
(2) 1
15 ≤T n< 1
6
【解析】（1）根据等差数列的性质，建立方程求得公差，利用公式，可得答案；
（2）利用裂项相消的求和方法，可得答案.
（1）由数列{an}为等差数列，则设其公差为d，由a3=7，a2+a10=26，则a3−d +a3+(10−3)d =26，解得
d =2，
故an=a3+(n−3)d =2n+1，Sn=na1+ n(n−1)
2
d =n
2+2n.
（2）由（1）可知，bn=
1
anan+1
=
1
(2n+1)(2n+3) = 1
2(
1
2n+1 −
1
2n+3)，
则T n= 1
2(
1
3 −1
5)+ 1
2(
1
5 −1
7)+⋯+ 1
2(
1
2n+1 −
1
2n+3)
= 1
2(
1
3 −1
5 + 1
5 −1
7 +⋯+
1
2n+1 −
1
2n+3)
= 1
2(
1
3 −
1
2n+3)=
n
6n+9
.
显然T n=
1
6
(6n+9)−3
2
6n+9
= 1
6 −
1
4 n+6
，
因为n∈N
∗，1
10 ≥
1
4 n+6 >0，则1
15 ≤T n< 1
6
.
【变式训练5-1-1】等比数列{an}中，
，且
成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列bn=
1
log2an+1⋅log2an
，求数列{bn}前n项的和T n.
【变式训练5-1-2】等差数列{an}前n 项和为Sn，S4=a3+a6，a2=3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=
1
anan+1
，求{bn}的前n 项和T n．
【变式训练5-1-3】在①S3=9,S5=25；②d =2，且S1,S2,S4成等比数列；③Sn=3n
2−2n这三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.
记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知__________.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn=
2
anan+1
，求数列{bn}的前n项和T n.
【变式训练5-1-4】设{an}是公差不为0 的等差数列，
为
的等比中项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=
1
anan+1
，求数列{bn}的前n 项和Sn．
【变式训练5-1-5】已知数列{an}和数列{bn}，满足nbn+1−(n+1)bn=n(n+1)(n∈N
∗)，且b1=1，
．
(1)证明数列{
bn
n }为等差数列，并求{bn}的通项公式；
(2)证明：1
a1
2 + 1
a2
2 + 1
a3
2 +⋯+ 1
an
2 < 1
3 −
1
9n+3 (n∈N
∗)．
【变式训练5-1-6】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=3，当n≥2时，2Sn=n(an−1+ 4)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=
2
n(n+1)an
，求数列{bn}的前n项和T n．
（二）无理型
【典型例题1】若数列{an}满足an+an+1=
2
❑√n+2+ ❑√n
，则S2n=___________.
【答案】❑√2n+1−1
【解析】先对an+an+1=
2
❑√n+2+ ❑√n
化简得an+an+1= ❑√n+2−❑√n，从而可求得
S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+⋅⋅⋅+(a2n−1+a2n)
因为an+an+1=
2
❑√n+2+ ❑√n = ❑√n+2−❑√n，
所以S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+⋅⋅⋅+(a2n−1+a2n)
=(❑√3−❑√1)+(❑√5−❑√3)+(❑√7−❑√5)+⋅⋅⋅+(❑√2n+1−❑√2n−1)= ❑√2n+1−1.
故答案为：❑√2n+1−1
【典型例题2】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1= ❑√2,an>0,an+1⋅(Sn+1+ Sn)=2.
（1）求Sn；
（2）求
1
S1+ S2
+
1
S2+ S3
+⋯+
1
Sn+ Sn+1
.
【答案】（1）Sn= ❑√2n；（2）
❑√2
2 (❑√n+1−1)
【解析】（1）a1= ❑√2,an>0,an+1⋅(Sn+1+ Sn)=2，可得(Sn+1−Sn)(Sn+1+ Sn)=2，
可得Sn+1
2
−Sn
2=2，
即数列{Sn
2}为首项为2，公差为2 的等差数列，
可得Sn
2=2+2(n−1)=2n，由an>0，可得Sn= ❑√2n；
（2）
1
Sn+ Sn+1
=
1
❑√2n+ ❑√2(n+1)
=
❑√2
2 (
1
❑√n+ ❑√n+1)=
❑√2
2 (❑√n+1−❑√n)，
即有
1
S1+ S2
+
1
S2+ S3
+⋯+
1
Sn+ Sn+1
=
❑√2
2 (❑√2−1+ ❑√3−❑√2+2−❑√3+⋯+ ❑√n+1−❑√n)=
❑√2
2 (❑√n+1−1).
【典型例题3】记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，1
an
−1
an+1
= 1
2Sn
.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn= 1
2an
，证明：
b1−b2
❑√b1
+ b2−b3
❑√b2
+⋅⋅⋅+ bn−bn+1
❑√bn
<❑√2.
【答案】(1)an=n (2)证明见解析
【解析】（1）由1
an
−1
an+1
= 1
2Sn
结合an= Sn+1−an+1可得Sn= n+1
2
an及Sn+1= n+2
2
an+1，两式相减并整理
可得答案；
（2）由（1）结合
1
❑√n⋅❑√n+1 =(
1
❑√n −
1
❑√n+1)(
1
❑√n+1−❑√n)=(❑√n+1+ ❑√n)(
1
❑√n −
1
❑√n+1)，可得
bn−bn+1
❑√bn
<2(
1
❑√n −
1
❑√n+1)，即可得答案.
（1）由题意得：Sn
an+1
−Sn
an
=−1
2，所以Sn+1−an+1
an+1
−Sn
an
=−1
2，即Sn+1
an+1
−Sn
an
= 1
2
.
又a1=1，所以S1
a1
=1，所以数列{
Sn
an}是以1 为首项，1
2为公差的等差数列，
所以Sn
an
= n+1
2
，即Sn= n+1
2
an，所以Sn+1= n+2
2
an+1，两式相减得an+1= n+2
2
an+1−n+1
2
an，即
n
2 an+1= n+1
2
an，
所以an+1
n+1 = an
n =⋅⋅⋅= a1
1 =1，因此{an}的通项公式为an=n.
（2）由（1）可得：bn= 1
2n ，
bn−bn+1
❑√bn
=
1
2n −
1
2(n+1)
❑√
1
2n
= 1
❑√2 ⋅
1
❑√n⋅(n+1)
.
因为
1
❑√n⋅(n+1) =
1
❑√n⋅❑√n+1⋅❑√n+1 =
1
❑√n+1 ⋅
1
❑√n⋅❑√n+1
.
1
❑√n⋅❑√n+1 =(
1
❑√n −
1
❑√n+1)(
1
❑√n+1−❑√n)=(❑√n+1+ ❑√n)(
1
❑√n −
1
❑√n+1)
1
❑√n+1 ×(❑√n+1+ ❑√n)=
❑√n+1+ ❑√n
❑√n+1
=1+ ❑√
n
n+1 <2
则
1
❑√n+1 ⋅
1
❑√n⋅❑√n+1 =
1
❑√n+1 ⋅(❑√n+1+ ❑√n)(
1
❑√n −
1
❑√n+1)<2(
1
❑√n −
1
❑√n+1)，
所以
b1−b2
❑√b1
+ b2−b3
❑√b2
+⋅⋅⋅+ bn−bn+1
❑√bn
<❑√2[(
1
❑√1 −1
❑√2)+(
1
❑√2 −1
❑√3)+⋅⋅⋅+(
1
❑√n −
1
❑√n+1)]= ❑√2(1−
1
❑√n+1)<❑√2.
【变式训练5-2-1】已知各项均为正数的数列
的的前项和为
，对
，有
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）令
，设
的前项和为
，求证：
．
【变式训练5-2-2】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1= ❑√2,an>0,an+1⋅(Sn+1+ Sn)=2.
(1)求Sn；
(2)求
1
S1+ S2
+
1
S2+ S3
+⋯+
1
Sn+ Sn+1
.
【变式训练5-2-3】已知各项均为正数的数列
的的前项和为
，对
，有
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）令
，设
的前项和为
，求证：
．
 
【变式训练5-2-4】记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，1
an
−1
an+1
= 1
2Sn
.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn= 1
2an
，证明：
b1−b2
❑√b1
+ b2−b3
❑√b2
+⋅⋅⋅+ bn−bn+1
❑√bn
<❑√2.
【变式训练5-2-5】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1= ❑√2,an>0,an+1⋅(Sn+1+ Sn)=2.
(1)求Sn；
(2)求
1
S1+ S2
+
1
S2+ S3
+⋯+
1
Sn+ Sn+1
.
（三）指数型
【典型例题1】数列{an}的前n项和是Sn，且an=
(n+2)2
n
(2n
2+2n)⋅4
n−(3n+2)⋅2
n+1
，则Sn=__________.
【答案】1−
1
(n+1)2
n+1−1
【解析】将数列{an}的通项公式进行裂项，利用裂项相消法求和.
因为an=
(n+2)2
n
(2n
2+2n)⋅4
n−(3n+2)⋅2
n+1
= [(n+1)2
n+1−1]−(n×2
n−1)
[(n+1)2
n+1−1][n×2
n−1]
=
1
n×2
n−1
−
1
(n+1)2
n+1−1
，
故a1=1−1
7 ，a2= 1
7 −1
23，⋯，an=
1
n×2
n−1
−
1
(n+1)2
n+1−1
，
所以Sn=a1+a2+⋯+an=1−1
7 + 1
7 −1
23 +⋯+
1
n×2
n−1
−
1
(n+1)2
n+1−1
=1−
1
(n+1)2
n+1−1
，
故答案为：1−
1
(n+1)2
n+1−1
.
【典型例题2】已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an−1−an=−2(n⩾2且n∈N
∗)，且a2= 4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{
2
n
(an−1)(an+1−1)}的前n项和为T n，求证：2
3 ⩽T n<1.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）将已知条件与a1+a2+⋯+an−an+1=−2两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；
（2）利用裂项相消求和法求出T n即可证明.
（1）解：因为a1+a2+⋯+an−1−an=−2，所以a1+a2+⋯+an−an+1=−2，
两式相减得an+1=2an(n⩾2)，
当n=2时，a1−a2=−2， 又a2= 4，所以a1=2,a2=2a1，
所以an+1=2an(n∈N
∗)，
所以{an}是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
；
（2）证明：
2
n
(an−1)(an+1−1)
=
2
n
(2
n−1)(2
n+1−1)
=
1
2
n−1
−
1
2
n+1−1
，
所以T n=(
1
2−1 −
1
2
2−1)+(
1
2
2−1
−
1
2
3−1)+⋯+(
1
2
n−1
−
1
2
n+1−1)=1−
1
2
n+1−1
<1， 由n⩾1，得
2
n+1⩾4，
所以1−
1
2
n+1−1
⩾2
3 ，
综上，2
3 ⩽T n<1.
【变式训练5-3-1】已知数列{an}满足
，nan+1=2(n+1)an，则数列{an}的通项公式为_____________，若
数列{
an
(n+1)(n+2) }的前n项和Sn，则满足不等式Sn≥30的n的最小值为_____________．
【变式训练5-3-2】已知在数列{an}中，a1=3，且{an−1}是公比为3 的等比数列，则使
a1−1
a1a2
+ a2−1
a2a3
+⋅⋅⋅+ an−1
anan+1
= 80
489的正整数n的值为___________.
【变式训练5-3-3】已知数列{an}，{bn}，满足a1=b1=1，bn+1=3(1+ 1
n)⋅bn，且an+1−an= bn
n (n∈N
∗).
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn=
bn
n(an+1−1)(an+2−1)
(n∈N
∗)，求证：c1+c2+c3+⋯+cn< 1
3．
【变式训练5-3-4】已知数列{an}满足a1=2,an+1=2
n+1an(n∈N
∗).
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an
2−n
2，数列{
bn+2
2
n+1bn⋅bn+1}的前n项和为Sn，求证：3
8 ⩽Sn< 1
2
.
（四）对数型
【典型例题】已知数列{an}满足
(1)证明：数列{
an
n }为等差数列：
(2)设数列{bn}满足bn= ln an+1
an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】(1)证明见解析
(2)Sn=2ln (n+1)
【解析】（1）对nan+1=(n+1)an+n(n+1)进行整理得到
，即可说明数列{
an
n }为等差数列；
（2）将bn变形为bn= ln (n+1)
2
n
2
或bn= ln (n+1)
2−ln n
2，然后求和即可.
（1）法1：由nan+1=(n+1)an+n(n+1)，
两边同除以n(n+1)得，
，
（n≥1）为常数，
∴数列{
an
n }为等差数列，首项a1
1 =1，公差为1，
法2：由nan+1=(n+1)an+n(n+1)得an+1= n+1
n
an+(n+1)，
∴an+1
n+1 −an
n =(
an
n +1)−an
n =1（n≥1）为常数，
∴数列{
an
n }为等差数列，首项a1
1 =1，公差为1.
（2）由an
n = a1
1 +(n−1)×1=n，∴an=n
2，
法1：bn= ln an+1
an
= ln (n+1)
2
n
2
，
则Sn= ln 2
2
1
2 + ln 3
2
2
2 +⋯+ ln (n+1)
2
n
2
=2ln(
2
1 × 3
2 ×⋯× n+1
n )
=2ln (n+1).
法2：bn= ln an+1
an
= ln (n+1)
2
n
2
= ln (n+1)
2−ln n
2，
则Sn=(ln 2
2−ln1
2)+(ln3
2−ln 2
2)+⋯+[ln (n+1)
2−ln n
2]
= ln (n+1)
2−ln1
2
=2ln (n+1).
【变式训练5-4-1】已知数列{an}满足an+2= 4 an+1−4 an(n∈N
∗)，且a1= 4 ,a2=12.
(1)证明：{an+1−2an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)在①bn=an+1−an；②bn=log2
an
n
；③bn= an+2
an+1an
这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.
已知数列{bn}满足__________，求{bn}的前n项和T n.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（五）幂型
【典型例题】已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，S2,S3,S4−2成等差数列，且
b
sin B =
c
sinC =
a
sin A = 1
❑√3
2
= 2❑√3
3
成等比数列
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn= n+1
an
2an+1
2
，数列{bn}的前n项的和为T n，求证：T n< 1
72
【答案】(1)an=2n+1
(2)证明见解析
【解析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组，即可解出首项和公差，进而求出{an}的通项
公式；
（2）将bn化简，利用裂项相消法求和，即可证明T n< 1
72
.
（1）设{an}的公差为d，由题意得{
2S3= S2+ S4−2
a7
2=a2a22
，
即{
2(3a1+3d)=(2a1+d)+(4 a1+6d)−2
(a1+6d)
2=(a1+d)(a1+21d)
，解得{
a1=3
d =2
，
所以an=a1+(n−1)d =3+(n−1)×2=2n+1.-
（2）证明：bn=
n+1
an
2an+1
2 =
n+1
(2n+1)
2(2n+3)
2 = 1
8 [
1
(2n+1)
2 −
1
(2n+3)
2 ]，
所以T n= 1
8 [ 1
3
2 −1
5
2 + 1
5
2 −1
7
2 +⋅⋅⋅+
1
(2n+1)
2 −
1
(2n+3)
2 ]= 1
8 [ 1
9 −
1
(2n+3)
2 ]< 1
72
【变式训练5-5-1】设等比数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等差数列，且公差
，
.
（1）求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn；
（2）数列
的前n项和为T n，求证：
.
【变式训练5-5-2】在①Sn>0，a2
2−a3= 4，②数列{
Sn
n }的前3 项和为6，③an>0且a1，a2，a4+2成等比
数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知Sn是等差数列{an}的前n 项和，a1=1，___________.
(1)求an；
(2)设bn=
an+1
n
2(an+3)
2，求数列{bn}的前n 项和T n.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【变式训练5-5-3】已知数列{an}满足a1+ 1
2 a2+…+ 1
n an=n
2+n(n∈N
∗)，设数列{bn}满足：bn= 2n+1
anan+1
,
数列{bn}的前n项和为T n，若T n<
n
n+1 λ(n∈N
∗)恒成立，则λ的取值范围是
A．( 1
4 ,+∞)  
B．[ 1
4 ,+∞)
C．[ 3
8 ,+∞)
D．( 3
8 ,+∞)
（六）通项与前n 项和型
【变式训练5-61】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=7，S5=55.
（1）求an和Sn；
（2）若
，求数列{bn}的前n项和T n 
（七）复杂裂项型：分离常数型
【典型例题1】已知数列{an}的前n 项和为Sn，an>0，且an
2+2an= 4 Sn−1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=
Sn
anan+1
的前n 项和为
，求
．
(3)记数列{(−1
2)
an+1
2 }的前n 项和为T n，若λ≤T n−1
T n
≤t恒成立，求t −λ的最小值．
【答案】(1)an=2n−1 (2) n(n+1)
2(2n+1)
 (3)9
4
【解析】（1）根据an
2+2an= 4 Sn−1及an−1
2
+2an−1= 4 Sn−1−1，可得到{an}是首项为a1=1，公差为2 的等
差数列，结合定义法求通项公式即可；
（2）根据（1）的结果求得bn，结合裂项相消法求和即可；
（3）根据（1）的结果得到(−1
2)
an+1
2 =(−1
2)
n
，进而得到当n≥3时，T 1=−1
2 ＜T n＜T 2=−1
4 ，结合
T n−1
T n
随T n的增大而增大，得到T n−1
T n
最值，即可得到λ≤3
2 ,t ≥15
4 ，进而得到答案.
（1）因为an
2+2an= 4 Sn−1，
所以当n=1时，a1
2+2a1= 4 S1−1= 4 a1−1，解得a1=1，
当n≥2时，an−1
2
+2an−1= 4 Sn−1−1，
两式相减得，an
2−an−1
2
+2an−2an−1= 4 an，
化简得，(an−an−1−2)(an+an−1)=0，
因为an>0，所以an+an−1＞0，则
，
即{an}是首项为a1=1，公差为2 的等差数列，
所以{an}的通项公式为an=1+2(n−1)=2n−1
（2）由（1）知，Sn= n(1+2n−1)
2
=n
2，因为bn=
Sn
anan+1
，
所以bn=
n
2
(2n−1)(2n+1) =
n
2
4 n
2−1
= 1
4 +
1
4 (2n−1)(2n+1) = 1
4 + 1
8(
1
2n−1 −
1
2n+1)，
所以Pn= n
4 + 1
8(1−1
3 + 1
3 −…−
1
2n+1)= n
4 + 1
8(1−
1
2n+1)= n
4 +
n
4 (2n+1) = n(n+1)
2(2n+1)
（3）由（1）知，(−1
2)
an+1
2 =(−1
2)
2n−1+1
2
=(−1
2)
n
，所以T n=−1
2 + 1
4 −1
8 + 1
16 +…+(−1
2)
n
，
所以当n≥3时，T 1=−1
2 ＜T n＜T 2=−1
4 ，因为T n−1
T n
随T n的增大而增大，
所以(T n−1
T n)2 1
T 2
1
4
15
4 max
，(T n−1
T n)1 1
T 1
1
2
3
2 min
，
所以λ≤3
2 ,t ≥15
4 ，所以t −λ的最小值为15
4 −3
2 = 9
4
【变式训练5-7-1】已知函数f (x)=ln x−ax +1,a∈R.
(1)若∃x>0，使得f (x)≥0成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：对任意的k ∈N
∗, 1
2+2
1
2+1
× 2
2+3
2
2+2
× 3
2+ 4
3
2+3
×⋯× k
2+k +1
k
2+k
<e ,e为自然对数的底数
（八）复杂裂项型：分子裂差法
【典型例题】已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足：Sn=(
an+1
2 )
2
．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn= n+1
Sn Sn+2
，设数列{bn}的前n项和为T n，求证T n< 5
16 ．
【答案】(1)an=2n−1 (2)证明见解析
【解析】（1）由Sn=(
an+1
2 )
2
，把n用1 代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可
求；
（2）由（1）可先算出Sn= (1+2n−1)n
2
=n
2，代入bn= n+1
Sn Sn+2
求得{bn}通项并裂项，再求和即可证明.
（1）当n=1时，a1=(
a1+1
2 )
2
，解得a1=1．
当n≥2时，由Sn=(
an+1
2 )
2
①，可得Sn−1=(
an−1+1
2 )
2
，②
①−②得：4 an=an
2−an−1
2
+2an−2an−1，即(an+an−1)(an−an−1−2)=0．
∵an>0，
∴an−an−1=2．
∴{an}是以1 为首项，以2 为公差的等差数列，
∴数列{an}的通项公式an=1+(n−1)×2=2n−1．
（2）由（1）可得Sn= (1+2n−1)n
2
=n
2，
∴bn=
n+1
n
2(n+2)
2 = 1
4(
1
n
2 −
1
(n+2)
2)，
b1= 1
4(
1
1 −1
3
2)，b2= 1
4(
1
2
2 −1
4
2)，b3= 1
4(
1
3
2 −1
5
2)，⋯，bn−1= 1
4(
1
(n−1)
2 −
1
(n+1)
2)，
∴T n=b1+b2+⋯+bn= 1
4(1−1
3
2 + 1
2
2 −1
4
2 + 1
3
2 −1
5
2 +⋯+
1
(n−1)
2 −
1
(n+1)
2 +
1
(n+1)
2 −
1
(n+2)
2)，
= 1
4(1+ 1
4 −
1
(n+1)
2 −
1
(n+2)
2)< 1
4 × 5
4 = 5
16 .
【变式训练5-8-1】设正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an
2+an−2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an+1
2
⋅an
2⋅bn}是首项为5，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和T n.
（九）复杂裂项型：指数裂项法
【典型例题】已知数列
的前n项和为Sn，且a1=1，an+1= Sn+1．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设bn=
an
(Sn+2)(Sn+1+2)
，数列{bn}前n项和为T n，求证：T n< 1
6 ．
【答案】(1)an=2
n−1 (2)证明见解析
【解析】（1）根据an与Sn的关系，即an={
S1，n=1
Sn−Sn−1，n≥2，和等比数列的性质进而求出数列{an}的通项公
式；
（2）由结合(1)并列项得bn= 1
2(
1
2
n+1
−
1
2
n+1+1)，再根据裂项求和得T n= 1
6 −1
2 ×
1
2
n+1+1
，进而即可证明.
（1）当n≥2时，{
an+1= Sn+1
an= Sn−1+1，两式相减得an+1−an=an，an+1=2an，
又a1=1，a2=a1+1=2，∴a2
a1
=2．
所以数列{an}是首项为1，公比是2的等比数列，所以an=2
n−1．
（2）证明：Sn=1+2+2
2+⋯+2
n−1= 1−2
n
1−2 =2
n−1，
因为bn=
2
n−1
(2
n+1)(2
n+1+1)
= 1
2 × (2
n+1+1)−(2
n+1)
(2
n+1)(2
n+1+1)
= 1
2(
1
2
n+1
−
1
2
n+1+1)，
所以T n=b1+b2+⋯+bn= 1
2(
1
3 −
1
2
2+1
+
1
2
2+1
−
1
2
3+1
+⋯+
1
2
n+1
−
1
2
n+1+1)
= 1
2(
1
3 −
1
2
n+1+1)= 1
6 −1
2 ×
1
2
n+1+1
，因为
，所以T n< 1
6 ．
【变式训练5-9-1】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1,Sn+1−2Sn=1(n∈N
∗).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足
，数列{bn}的前n项和为T n,∀n∈N
∗，都有
，求m
的取值范围.
（十）复杂裂项型：等差指数仿写法
【典型例题】已知数列{an}满足
，nan+1−(n+1)an=2n(n+1).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn= n+2
2
nan
，求数列{bn}的前n 项和T n.
【答案】(1)an=2n
2+2n (2)T n= 1
2 −
1
(n+1)2
n+1
【解析】（1）利用构造法，先求得an
n
，进而求得an.（2）利用裂项求和法求得T n.
（1）由nan+1−(n+1)an=2n(n+1)得：an+1
n+1 −an
n =2，
∵
，所以数列{
an
n }是首项为4，公差为2 的等差数列，所以an
n = 4+(n−1)×2=2n+2，
所以an=2n
2+2n；
（2）bn= n+2
2
nan
=
n+2
2
n+1n(n+1)
=
1
n⋅2
n −
1
(n+1)2
n+1，所以T n=b1+b2+b3+⋯+bn
=(
1
1×2 −
1
2×2
2)+(
1
2×2
2 −
1
3×2
3)+(
1
3×2
3 −
1
4×2
4)+⋯+[
1
n⋅2
n −
1
(n+1)2
n+1]= 1
2 −
1
(n+1)2
n+1.
【变式训练5-10-1】设数列{an}的前n项和为Sn=(n−1)2
n+1+2,n∈N
∗.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求∑
i=1
n
ai+2
ai⋅ai+1
；
（十一）正负型：等差裂和型
【典型例题】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，n Sn+1−(n+1)Sn=n(n+1).
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=(−1)
n+1 an+1
Sn+n，求数列{bn}的前20 项和T 20.
【答案】(1)an=2n−1 (2)20
21
【解析】（1）结合题设变形为Sn+1
n+1 −Sn
n =1，可得数列{
Sn
n }是以1 为首项，1 为公差的等差数列，进而求得
Sn=n
2，进而结合an和Sn的关系求解即可；
（2）结合（1）可得bn=(−1)
n+1(
1
n +
1
n+1)，结合裂项相消求和即可.
（1）由n Sn+1−(n+1)Sn=n(n+1)，得Sn+1
n+1 −Sn
n =1，
而S1
1 =a1=1，因此数列{
Sn
n }是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以Sn
n =1+(n−1)×1=n，即Sn=n
2，
当n≥2时，an= Sn−Sn−1=n
2−(n−1)
2=2n−1，显然a1=1也满足上式，
所以an=2n−1.
（2）由（1）知，Sn=n
2，
，
因此bn=(−1)
n+1⋅2n+1
n
2+n
=(−1)
n+1(
1
n +
1
n+1)，
所以T 20=(1+ 1
2)−(
1
2 + 1
3)+(
1
3 + 1
4)−(
1
4 + 1
5)+⋯+(
1
19 + 1
20)−(
1
20 + 1
21)=1−1
21 = 20
21
.
【变式训练5-11-1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+ S4= S5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=(−1)
n−1anan+1，求数列{bn}的前2n项和
.
(3)cn=(−1)
n−1
4 n
anan+1
，求数列{Cn}的前n项和Rn.
（十二)正负型：等差裂差型
【典型例题】已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为正项等比数列，且满足a1=b1=1，a2=b2+1，
．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn= (−1)
n
anan+2
+bn，求数列{cn}的前2n项和
．
【答案】(1)an=2n−1；bn=2
n−1 (2)S2n=−7
6 +
1
2(4 n+1)(4 n+3) + 4
n
【解析】（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q>0)，由题意可得出{
1+d =q+1
1+ 4 d =q
3+1
，解方程求
出d =q =2，再由等差数列和等比数列的通项公式即可得出答案；
（2）先求出
，再由裂项相消法和等比数列的前n项和公式求解即可.
（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q>0)，则{
1+d =q+1
1+ 4 d =q
3+1
，解得：d =q =2，
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n−1)d =1+2(n−1)=2n−1；
数列{bn}的通项公式bn=b1⋅q
n−1=1⋅2
n−1=2
n−1.
（2）cn= (−1)
n
anan+2
+bn=
(−1)
n
(2n−1)(2n+3) +2
n−1=(−1)
n× 1
4(
1
2n−1 −
1
2n+3)+2
n−1，
数列{cn}的前2n项和S2n=c1+c2+c3+……+c2n−1+c2n．
=−1
4(1−1
5)+ 1
4(
1
3 −1
7)−1
4(
1
5 −1
9)+……−1
4(
1
4 n−3 −
1
4 n+1)+ 1
4(
1
4 n−1 −
1
4 n+3)
+(2
0+2
1+2
2+……+2
2n−2+2
2n−1)= 1
4(−1+ 1
3 +
1
4 n+1 −
1
4 n+3)+ 1−2
2n
1−2
= 1
4(−2
3 +
2
(4 n+1)(4 n+3))+ 4
n−1=−1
6 +
1
2(4 n+1)(4 n+3) + 4
n−1=−7
6 +
1
2(4 n+1)(4 n+3) + 4
n.
【变式训练5-12-1】设数列{an}的前n项和为Sn，且(Sn−1)
2=an Sn(n∈N
∗).（1）求S1、
、S3的值；
（2）求出Sn及数列{an}的通项公式；
（3）设bn=(−1)
n+1(n+1)
2anan+1(n∈N
∗)，求数列{bn}的前n项和为T n.
（十三）正负型：指数裂和型
【典型例题】已知{an}为等比数列，且a2+a3+a4=14，a2,a3+1,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当{an}为递增数列时，
，数列{bn}的前n项和为T n，若存在
，求m的取
值范围.
【答案】(1)an=2
n−1或an=2
5−n (2)m≥−8
15
【解析】（1）运用等差中项的性质和等比数列通项公式基本量运算，解方程即可得到{an}通项.
（2）由{an}递增可得an=2
n−1，对bn通项进行裂项展开，当n 为偶数、奇数时分别求出T n表达式，然后再分
别求出T n的范围，由存在
，即可求出m的取值范围.
（1）设等比数列{an}公比为q，
由{
a2+a3+a4=14
a2+a4=2(a3+1)
⇒{
a3= 4
q =2 或{
a3= 4
q = 1
2
，
∴an=2
n−1或an=2
5−n.
（2）当{an}为递增数列时，an=2
n−1
所以bn=(−1)
n
3⋅2
n+2
(2
n+1)(2
n+1+1)
=(−1)
n(
1
2
n+1
+
1
2
n+1+1)
当n为偶数时，T n=−(
1
2+1 +
1
2
2+1)+(
1
2
2+1
+
1
2
3+1)+⋯+(
1
2
n+1
+
1
2
n+1+1)
=−1
3 +
1
2
n+1+1
在n∈N
∗上单调递减，∴T n∈−1
3 ,−2
9 ，
当n为奇数时，T n=−(
1
2+1 +
1
2
2+1)+(
1
2
2+1
+
1
2
3+1)+⋯−(
1
2
n+1
+
1
2
n+1+1)
=−1
3 −
1
2
n+1+1
在n∈N
∗上单调递增，∴T n∈−8
15 ,−1
3)，∴m≥−8
15
.
【变式训练5-13-1】已知等比数列{an}的公比q>1，若a2+a3+a4=14，且a2，a3+1，a4分别是等差数列
{bn}第1，3，5 项.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记cn= bn
an
，求数列{cn}的前n项和Sn；
(3)记dn=(−1)
n−1 6n+5
4 bnbn+1
，求∑
i=1
n
di的最大值和最小值.
题型06：并项求和
【典型例题1】已知数列{an}满足an=n⋅sin nπ
2 ，数列{bn}满足bn=an+an+1，其中n∈N
∗，则数列{bn}
的前2023项和为（    ）
A．
B．−2023
C．−2
D．0
【答案】A
【详解析】因为an=n⋅sin nπ
2 ，所以a1=sin π
2 =1，a2=2sinπ =0，
a3=3sin 3 π
2 =−3，a4= 4 sin 2π =0，a5=5sin 5 π
2 =5，⋅⋅⋅
所以an=n⋅sin nπ
2 ={
0,n=2+2k
n,n=1+ 4 k
−n,n=3+ 4 k
k ∈N，
所以b1+b2=−2，b3+b4=2，b5+b6=−2，
b2021+b2022=−2，
b2023=a2023+a2024=−2023+0=−2023，
所以数列{bn}的前2023项和为
.
故选：A.
【典型例题2】若an=(−1)
n⋅(2n−1)，则数列{an}的前17项和S17=        ．
【答案】
【解析】因为an=(−1)
n⋅(2n−1)， 
所以S17=a1+a2+…+a17=(−1)+3+(−5)+7+…+(−29)+31+(−33)=2× 16
2 −33=−17．
故答案为：
．
【典型例题3】设数列{an}的通项公式为an=(2n−1)⋅cos nπ
2 ，其前n项和为Sn，则S100=          .
【答案】100
【解析】当n= 4 k −3或n= 4 k −1，
时，cos nπ
2 =0，a4 k −3=a4 k −1=0；
当n= 4 k −2，
时，cos nπ
2 =−1，a4 k −2=[2×(4 k −2)−1]×(−1)=−8k +5，
当n= 4 k，
时cos nπ
2 =1,a4 k =2×4 k −1=8k −1.
∴a4 k −3+a4 k −2+a4 k −1+a4 k = 4，
∴S100=25×4 =100.
故答案为：100.
【典型例题4】已知公差d ≠0的等差数列{an}满足a2+a4=10，a1，a2，a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(−1)
nan，求b1+b2+b3+⋯+b20
【答案】(1)an=2n−1
(2)20
【解析】（1）解：由题设
，
因为a1，a2，a5成等比数列，即a2
2=a1⋅a5，
所以
，
由{
2a1+ 4 d =10
(a1+d)
2=a1(a1+ 4 d)
，可解得a1=1,d =2
所以an=a1+(n−1)d =2n−1
（2）解：因为bn=(−1)
nan，
所以b1+b2+b3+⋯+b20=−a1+a2−a3+a4−⋯−a19+a21
=(a2−a1)+(a4−a3)+⋯+(a20−a19)=2×10=20.
【典型例题5】已知等差数列{an}的公差d =2，其前n 项和为Sn= pn
2+n，n∈N
∗.
(1)求通项公式an；
(2)若
，求数列{bn}的前n 项和T n.
 
【答案】(1)an=2n (2)
(k ∈N
∗)
【解析】（1）利用d =a2−a1求得
和a1，从而求得an.
（2）对n为偶数或奇数进行分类讨论，结合分组求和法求得T n
（1）因为等差数列{an}的公差d =2，其前n 项和为Sn= pn
2+n，
所以a1= S1= p+1, a1+a2= S2= 4 p+2,则a1= p+1,a2=3 p+1，
所以d =a2−a1=2 p=2，解得p=1，
，由a1=2,d =2可得an=2n.
（2）bn=(−1)
nan=(−1)
n⋅2n；
当n为偶数时，T n=2[(−1+2)+(−3+ 4)+⋯(1−n+n)]=n；
当n为奇数时，T n=2[(−1+2)+(−3+ 4)+⋯+(2−n+n−1)+(−n)]
=2(
n−1
2
−n)=n−1−2n=−n−1.所以T n={
n,n=2k
−n−1,n=2k −1，其中k ∈N
∗.
【变式训练6-1】已知公差为3 的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=2a7．
(1)求an：
(2)若
，记
，求T 20的值．
【变式训练6-2】已知数列{an}是各项为正数的数列，前n 项和记为Sn，Sn= an
2+an−2
2
，(n∈N
∗)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(−1)
nan
2，n∈N
∗，求数列{bn}的前n 项和T n．
【变式训练6-3】已知数列{an}的前n 项和为Sn，满足Sn= 2
3 (an−1)，n∈N
∗.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记
，求数列{bn}的前100 项的和T 100.
【变式训练6-4】已知数列{an}的前n 项和为Sn，满足Sn= 1
3 (an−1)，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=an⋅sin nπ
2 ，求数列{bn}的前100 项的和T 100．
【变式训练6-5】等比数列{an}的公比为2，且a2,a3+2,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=log2an+an，求数列{bn}的前n项和T n.
【变式训练6-6】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且
，a3n=3an+2.
(1)求数列{an}的通项公式及数列{an}的前n项和Sn；
(2)设bn=(−1)
nan
2，求数列{bn}的前2n项和T 2n.
【变式训练6-7】已知数列{an}为正项数列，且a1=1，an+1
2
−an
2=2n+1(n∈N
∗).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令
，求数列{bn}的前2n项和
.
【变式训练6-8】已知数列{an}的首项为a1= 1
2，且满足an+1+ 4 an+1an−an=0.
(1)证明：数列{
1
an}为等差数列；
(2)求数列{
1
an}的前n项和为Sn；
(3)求数列{(−1)
n Sn}的前n项和.
【变式训练6-9】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an
2+2an= 4 Sn，数列{bn}满足bn=(−2)
an
2 .
(1)求数列{bn}的前n项和Bn，并证明Bn+1，Bn，Bn+2是等差数列；
(2)设cn=(−1)
nan+bn，求数列{cn}的前n项和T n.
【变式训练6-10】记Sn为数列{an}的前n 项和，已知Sn=2an−2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=(−1)
n×log2a2n+1，求数列{bn}的前n 项和T n.
【变式训练6-11】已知数列{an}的前n项和为Sn，
，且
为a2与S2的等差中项，当n≥2时，总有
2Sn+1−3 Sn+ Sn−1=0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bm为{
1
an}在区间0,4
m−1(m∈N
∗)内的个数，记数列{(−1)
m⋅bm
2 }的前m项和为W m，求W 20.
题型07：绝对值求和
【典型例题1】已知数列{an}，满足
，a4=1，且an+2−2an+1+an=0(n∈N
∗)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=|an|，T n为数列{bn}的前n 项和，求T 20．
【答案】(1)an=5−n
(2)130
【解析】（1）由题可知,∀n∈N
∗,都有an+2−an+1=an+1−an,
∴数列{an}是等差数列,
设{an}的公差为
,
∴an=a1+(n−1)d = 4+(n−1)×(−1)=5−n.
（2）由(1)可知an=5−n，令an=0，则n=5,
∴当n>5时，
，
当n≤5时,
,
∴T 20=b1+b2+⋯+b20=(a1+a2+⋯+a5)−(a6+a7+⋯+a20)
=2(a1+a2+⋯+a5)−(a1+a2+⋯+a20)
=2× 5×(4+0)
2
−20×(4−15)
2
=130
【典型例题2】已知正项数列{an}的首项为1，其前n项和为Sn，满足an= ❑√Sn+ ❑√Sn−1(n≥2)．
(1)求证：数列{
❑√Sn}为等差数列，并求出Sn；
(2)求an；
(3)设bn=an−10，求数列{|bn|}的前n项和T n．
【答案】(1)证明见解析，Sn=n
2
(2)an=2n−1
(3)T n={
−n
2+10n,
n≤5
n
2−10n+50,
n≥6
．
【解析】（1）证明：∵an= ❑√Sn+ ❑√Sn−1，∴Sn−Sn−1= ❑√Sn+ ❑√Sn−1，
∵an>0，∴Sn>0(n∈N +)，∴(
❑√Sn+ ❑√Sn−1)(
❑√Sn−❑√Sn−1)= ❑√Sn+ ❑√Sn−1，
，
又由❑√S1=1，∴{
❑√Sn}是以1 为首项，1 为公差的等差数列；
所以❑√Sn=1+(n−1)⋅1=n，∴Sn=n
2
（2）因为a1= S1=1，an= Sn−Sn−1=n
2−(n−1)
2=2n−1(n≥2)
且
，所以an=2n−1．
（3）由（2）知bn=2n−11，所以n≤5时，bn<0；n≥6时，bn>0，
记数列{bn}的前n项和为Bn，则Bn= n(2n−11−9)
2
=n
2−10n，从而
当n≤5时，T n=−Bn=−n
2+10n；
当n≥6时，T n= Bn−2B5=n
2−10n+50，
所以T n={
−n
2+10n,
n≤5
n
2−10n+50,
n≥6
．
【变式训练7-1】在数列{an}中，a1=8,a4=2，且满足an+2−2an+1+an=0(n∈N
∗).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设T n=|a1|+|a2|+⋯+|an|，求T n．
【变式训练7-2】在等差数列{an}中，已知公差d <0，a1=10，且
，a5，a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求|a1|+|a2|+⋯+|a60|的值.
【变式训练7-3】已知数列{an}的前n项和
.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列{|an|}的前n项和T n.
题型08：先放缩再求和
【典型例题1】已知Sn为数列{an}的前n项和，数列{an}满足：a1=1，(n−1)an−nan−1=1(n≥2)，记不超过
x的最大整数为
，则[∑
i=1
2024 1
Sn]的值为（    ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】当n≥2时，(n−1)an−nan−1=1，
an
n −an−1
n−1 =
1
(n−1)n =
1
n−1 −1
n ，
∴
，则{
an+1
n }为常数列，
an+1
n
= a1+1
1
=2，
，Sn= n(1+2n−1)
2
=n
2，
又n≥2时，
，
∑
i=1
2024 1
Sn
<1+(1−1
2)+(
1
2 −1
3)+⋯+(
1
2023 −
1
2024)=2−
1
2024 <2，
又易得∑
i=1
2024 1
Sn
>1，即1<∑
i=1
2024 1
Sn
<2，
[∑
i=1
2024 1
Sn]=1.
故选：D．
【典型例题2】已知数列{an}的前n项和Sn=nan−3n(n−1)，n∈N
∗，且a3=17．
(1)求
；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)设数列{bn}的前n项和T n，且满足
，求证：
．
【答案】(1)a1=5
(2)Sn=3n
2+2n
(3)证明见解析
【解析】（1）在Sn=nan−3n(n−1)，n∈N
∗中，a3=17，
令n=2，n=3可得
{
a1+a2=2a2−6
a1+a2+a3=3a3−18 ⇒{
a2−a1=6
a1+a2=16，
∴a1=5．
（2）Sn=nan−3n(n−1)，①
当n≥2时，Sn−1=(n−1)an−1−3(n−1)(n−2)，②
①−②可得
an=nan−(n−1)an−1−6(n−1)⇒(n−1)an=(n−1)an−1+6(n−1)(n≥2)，
∴
，
∴{an}是公差为6的等差数列，
∴an=a1+6(n−1)=6n−1，
∴
．
（3）证明：由（2）可得
，
∴
，
∴
．
【变式训练8-1】已知{an}为等比数列，且Sn为数列{an}的前n项和，S2= 4 S1，S3=39.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn=
1
an−1，求证：b1+b2+⋯+bn< 5
6
.
【变式训练8-2】已知正项数列{an}满足a1=1.
(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列{an}的通项公式；
条件①：当n≥2时，an−an−1=2n−1；
条件②：数列{
❑√an}与{
an
n }均为等差数列；
(2)在（1）的基础上，设Sn为数列{
1
an}的前n 项和，证明：Sn< 7
4
.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
题型09：奇偶项求和
（一）数列奇偶项求和
【典型例题1】已知数列{an}的前n项和为Sn，
，Sn+ Sn+1=3an+1−4，等差数列{bn}的前n项和为T n，
b2+b4=6，T 4=10.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn={
bn,n 为奇数
anan+1,n 为偶数，求数列{cn}的前2n项和.
【解析】（1）因为Sn+ Sn+1=3an+1−4，①
所以当n=1时，
，
又
，所以a2= 4.
当n≥2时，Sn−1+ Sn=3an−4，②
①式减去②式得an+an+1=3an+1−3an，所以an+1=2an.
又
，a2= 4 =2a1，所以∀n∈N
∗，an+1
an
=2，
所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an=2
n.
设等差数列{bn}的公差为d，
因为b2+b4=6，T 4=10，可得{
2b1+ 4 d =6
4 b1+6d =10，解得b1=d =1，
所以bn=1+(n−1)×1=n，即{bn}的通项公式为bn=n.
（2）因为cn={
n,n 为奇数
2
2n+1,n 为偶数
，设数列{cn}的前n项和为
，
则Q奇=1+3+5+⋯+(2n−1)= n(1+2n−1)
2
=n
2，
Q偶=2
5+2
9+2
13+⋯+2
4 n+1= 2
5(1−16
n)
1−16
= 2
4 n+5−32
15
，
因此，Q2n=n
2+ 2
4 n+5−32
15
.
【典型例题2】已知数列{an}满足a1=1，an+1={
an+1,
n 为奇数
2an+2,
n 为偶数
(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并证明数列{bn+3}为等比数列；
(2)求{an}的前2n项和
．
【解析】（1）显然2n为偶数，则a2n+1=2a2n+2，a2n+2=a2n+1+1．
所以a2n+2=2a2n+3，即bn+1=2bn+3⇒bn+1+3=2(bn+3)．
且b1+3=a2+3=a1+ 4 =5．
所以{bn+3}是以5 为首项，2 为公比的等比数列，bn+3=5⋅2
n−1
于是b1=2，b2=7，bn=5⋅2
n−1−3．
（2）记cn=a2n−1，则bn=a2n=a2n−1+1=cn+1
从而数列{an}的前2n项和为：
S2n=(a1+a3+a5+⋯+a2n−1)+(a2+a4+a6+⋯+a2n)
=(c1+c2+⋯cn)+(b1+b2+⋯bn)=2(b1+b2+⋯bn)−n
=2×[5⋅(1+2
1+⋯+2
n−1)−3n]−n=5⋅2
n+1−7n−10
【变式训练9-1-1】已知等差数列{an}前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，a1=3,b1=1，
b2+ S2=10,a5−2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)对任意的正整数n，设cn={
3n−2
bn
,n 为奇数,
2
Sn
,n 为偶数,
记数列{cn}的前n项和为T n，求T 2n.
(3)设dn= 3n+8
bn+1Sn
，若对任意的n∈N
∗，都有∑
i=1
n
di≥
λ
(n+1)(n+2)
.成立，求实数λ的取值范围.
【变式训练9-1-2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an+2n−1.
(1)求证:数列{an−2}为等比数列;
(2)已知bn={
an,n 是奇数
n(2−an)
3
,n 是偶数
，求数列{bn}的前2n 项和.
【变式训练9-1-3】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足4 Sn=an
2+2an+1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn={
bn+1−2
n,n 为奇数
1
3 an−1,n 为偶数{bn}的前n项和为T n，求T 2n.
【变式训练9-1-4】已知正项数列{an}的前n 项和为Sn，且2Sn=an(an+1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn={
an,n 为奇数
1
anan+2
,n 为偶数，求数列{bn}的前2n 项和T 2n．
【变式训练9-1-5】已知各项均为正数的数列{an}满足an+1
2
−an
2=8n，且a1=1.
(1)写出a2,a3，并求{an}的通项公式；
(2)记bn={
an,n 为奇数,
2
an+1
4 ,n 为偶数,
求b1b2+b3b4+b5b6+⋯+b13b14.
【变式训练9-1-6】已知等差数列{an}满足a2=2a1，a4+a5=9，Sn为等比数列{bn}的前n项和，
2Sn+1= Sn+2．
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn={
3
4 anbn,n 为奇数
1
an
2 ,n 为偶数
，证明：c1+c2+c3+⋅⋅⋅+cn< 13
6 ．
（二）分段数列求和
【典型例题】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，___________.在①a2，S3，a14成等比数列，②
S2n−2Sn=2n
2，③数列{
❑√Sn}为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：
(1)求an；
(2)若bn={
an,
n 为奇数
1
anan+2
,
n 为偶数，求数列{bn}的前2n+1项和
.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
 
【答案】(1)an=2n−1 (2)T 2n+1=(n+1)(2n+1)+
n
12n+9
【解析】（1）根据条件，利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求通项公式；
（2）分奇偶讨论分别求和，然后相加即可.
（1）设等差数列{an}的公差为d
选择①：由题意得S3
2=a2a14，故(1+1+d +1+2d )
2=(1+d)(1+13d)，解得d =2，
所以an=2n−1.
选择②：由题意得S2−2S1=2，即2+d −2=2解得d =2，所以an=2n−1.
选择③：由题意得2❑√S2= ❑√S3+ ❑√S1，故2❑√2+d = ❑√3+3d +1，解得d =2，
所以an=2n−1.
（2）由当n为奇数时，bn=2n−1，得数列{bn}的前2n+1项中奇数项的和为
S奇=
(n+1)[1+2(2n+1)−1]
2
=(n+1)(2n+1)，
由当n为偶数时，bn=
1
(2n−1)(2n+3) = 1
4(
1
2n−1 −
1
2n+3)，
得数列{bn}的前2n+1项中偶数项的和为
S偶= 1
4(
1
3 −1
7 + 1
7 −1
11 +⋯+
1
4 n−1 −
1
4 n+3)= 1
4(
1
3 −
1
4 n+3)=
n
12n+9 ，
故T 2n+1=(n+1)(2n+1)+
n
12n+9
.
【变式训练9-2-1】已知数列{an}的首项a1= 3
5，且满足an+1=
3an
2an+1．(1)求证：数列{
1
an
−1}为等比数列；
(2)设数列{bn}满足bn={
1
an
−3,n 为偶数时,
n+2
n
+
n
n+2 ,n 为奇数时,
求最小的实数m，使得
对一切正整数
k 均成立．
【变式训练9-2-2】记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，a2= 2
3，且数列{4 n Sn+(2n+3)an}是等差数列.
(1)证明：{
an
n }是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)设bn={
3
n−1⋅an,n 为奇数
n
an
,n 为偶数
，求数列{bn}的前2n项和
.
题型10：数列求和的实际应用
（一）分期付款
【典型例题】小李向银行贷款14760 元，并与银行约定：每年还一次款，分4 次还清所有的欠款，且每年还款
的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.
【答案】6250
【解析】根据等额本息还款法，列出方程，利用等比数列n前项和即可求解.
设每年还款的金额为x，由题意可知：x[1+(1+0.25)
1+(1+0.25)
2+(1+0.25)
3]=14760×(1+0.25)
4，所
以x⋅1−1.25
4
1−1.25 =14760×1.25
4⇒x = 14760×1.25
4×0.25
1−1.25
4
=6250
故答案为：6250
【变式训练10-1-1】市民小张计划贷款75 万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①
等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，
每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：银行
从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在
月供款中的比例因增加而升高，但月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如
2021 年7 月8 日贷款到账，则2021 年8 月8 日首次还款）.已知该笔贷款年限为25 年，月利率为0.4 %.
(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5500 元，最后一个还款月应还2510 元，试计算
该笔贷款的总利息.
(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平
均月收入为1 万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）.参考数据：1.004
300≈3.31.
(3)对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由.
（二）产值增长
【典型例题】资料表明，2000 年我国工业废弃垃圾达
，每吨占地1m
2.环保部门每回收或处理1t 废旧
物资，相当于消灭4t 工业废弃垃圾.如果某环保部门2002 年共回收处理了10
4t废旧物资，且以后每年的回收
量递增20％.
(1)2018 年能回收多少吨废旧物资？（结果用科学记数法表示，保留一位小数）
(2)从2002 年到2018 年底，可节约土地多少平方米？（结果用科学记数法表示，保留一位小数）
【答案】(1)1.8×10
5吨
(2)1.1×10
6平方米
【解析】（1）由题意可得10
4×(1+20 %)
16，再化简求值即可；
（2）从2002 年到2018 年底的回收废旧物资累加后可求解.
(1)
依题意可知，2003 年共回收废旧物资10
4×(1+20 %)吨；
2004 年共回收废旧物资10
4×(1+20 %)
2吨；
2005 年共回收废旧物资10
4×(1+20 %)
3吨；
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2018 年共回收废旧物资10
4×(1+20 %)
16≈1.8×10
5吨
(2)
从2002 年到2018 年底共回收废旧物资：
10
4×(1+1.2+1.2
2+⋯+1.2
16)
=10
4× 1×(1−1.2
17)
1−1.2
≈1.1×10
6吨.
由于每吨占地1m
2，故可节约土地1.1×10
6
1
=1.1×10
6平方米
【变式训练10-2-1】甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50 万元作为启动资金投入生产，到当
年年底，资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年相同．四人决定公司从第一年开始，每年年底
拿出60 万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底公司分红后的剩余资金为an万元．
(1)求a1，a2，并写出an+1与an的关系式；
(2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1200 万元？
（年数取整数，参考数据：1.5
5≈7.59，1.5
6≈11.39）
【变式训练10-2-2】“绿水青山就是金山银山”，中国一直践行创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，
着力促进经济实现高质量发展，决心走绿色、低碳、可持续发展之路．新能源汽车环保、节能，以电代油，减
少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025 年我国新能源汽车销量
占总销量将达20%以上.2021 年，某集团以20 亿元收购某品牌新能源汽车制造企业，并计划投资30 亿元来发
展该品牌.2021 年该品牌汽车的销售量为10 万辆，每辆车的平均销售利润为3000 元．据专家预测，以后每年
销售量比上一年增加10 万辆，每辆车的平均销售利润比上一年减少10%．
(1)若把2021 年看作第一年，则第n 年的销售利润为多少亿元？
(2)到2027 年年底，该集团能否通过该品牌汽车实现盈利？
（实现盈利即销售利润超过总投资，参考数据：0.9
6≈0.53，0.9
7≈0.48，0.9
8≈0.43）
（三）其他模型
【典型例题】某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在第一分钟内能上升30 米，以后每分钟上升
的高度都是前一分钟的
，则该气球上升到70 米至少要经过（    ）
A．3 分钟
B．4 分钟
C．5 分钟
D．6 分钟
【答案】B
【解析】根据题意可知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列{an}，a1=30，公比q = 2
3，再根据等比数列
的前n项和公式可求得Sn=90[1−(
2
3)
n
]，然后由Sn>70即可解出．
由题意知，热气球在每分钟上升的高度构成等比数列{an}，则an表示热气球在第n分钟上升的高度（单位：
米），且a1=30，公比q = 2
3
.
经过n分钟，热气球上升的总高度Sn= a1(1−q
n)
1−q
=
30×[1−(
2
3)
n
]
1−2
3
=90[1−(
2
3)
n
]
.
因为S3=90[1−(
2
3)
3
]≈63.3<70，S4=90[1−(
2
3)
4
]≈72.2>70，所以该气球至少要经过4 分钟才能上升
到70 米.
故选：B.
【变式训练10-3-1】某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建
费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知
第五实验室比第二实验室的改建费用高42 万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168 万元，并要求每
个实验室改建费用不能超过1700 万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要
A．3233 万元
B．4706 万元
C．4709 万元
D．4808 万元
数列求和拓展专练型
一 裂项相消求和进阶
题型01：裂和型裂项相消：(−1)
n an+an+1
anan+1
=(−1)
n(
1
an
+ 1
an+1)
裂项相加：本类模型典型标志在通项中含有( 1)n

乘以一个分式.
例：（1）






2
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n n
n
n












，
（2）对于
1
1
( 1)n
n
n
n
n
n
a
a
b
a a




可以裂项为
1
1
1
1
( 1)
( 1
1
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
b
a a
a
a














（3）
2
2
2
1
1
1
( 1)
2(
1)
( 1) (
4
2)2
( 1) (
4
2)
2
(
1)2
(
1)2
(
1)2



























n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
      
1
1
1
1
( 1)
1
1
1
1
( 1)
( 1)
( 1)
(
)
2
2
(
1) 2
2
2
2
(
1) 2
































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
【典型例题1】已知
2
1
nb
n

，设



1
2
1
( 1)
,
1
1
n
n
n
n
n
n
c
T
b
b





为数列
nc
的前n 项和，证明：
2
1
6
n
T

.
【解析】
所以T 2n= 1
4(−1
1 −1
2 + 1
2 + 1
3 −....
1
2n−1 −1
2n −1
2n +
1
2n+1)= 1
4(
1
2n+1 −1),
由于T 2n= 1
4(
1
2n+1 −1)(1≤n≤t −1)是递减的，所以
【典型例题2】已知



6
1
2
na
n
n



，若



2
3
1
n
n
n
b
n
a



，求
nb
的前n 项和
nT .
【解析】bn=(2n+3)(−1)
nan=6(−1)
n(
1
n+1 +
1
n+2)，
所以T n=b1+b2+⋯+bn=−6(
1
2 + 1
3)+6(
1
3 + 1
4)+⋯+6(−1)
n(
1
n+1 +
1
n+2)
=−3+
6
n+2
(−1)
n.
【典型例题3】已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且


*
4
2
2
4
,
2
1
n
n
S
S a
a
n



N
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设


1
1
1
n
n
n
n
n
a
b
a a 



，求数列
nb
的前n 项和为
nT ．
【答案】(1)
2
1
na
n


(2)
1
( 1)
2
4
2
n
nT
n




【解析】（1）由等差数列的通项公式以及前n 项和公式构成方程组即可求得
na
的通项公式；
（2）将原式变形为




1
1
1
( 1)
2
2
1
2
1
n
nb
n
n













，再利用裂项相消法即可求得答案.
（1）设等差数列
na
的首项为
1a ，公差为d ．
因为


*
4
2
2
4
,
2
1
n
n
S
S a
a
n



N
，所以






1
1
1
1
4
6
4 2
2
1
2
1
1
a
d
a
d
a
n
d
a
n
d

















，
化简得
1
1
2
1
d
a
d
a






，所以
1
1,
2
a
d


所以数列
na
的通项公式为
2
1
na
n

；
（2）



1
1
2
( 1)
( 1)
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
a
n
b
a a
n
n








，
整理得




1
1
1
( 1)
2
2
1
2
1
n
nb
n
n













，
所以
1
2
n
n
T
b
b
b
=
+
+

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( 1)
1 ( 1)
2
3
3
5
5
7
2
1
2
1
2
2
1
n
n
n
n
n


















































，
整理得
1
( 1)
2
4
2
n
nT
n




【变式训练1-1】若
2
1
na
n

，数列
nb
满足
1
1
( 1)n
n
n
n
n
b
a a




，
nb
的前n 项和为
nT ，求
nT
【变式训练1-2】已知首项不为0 的等差数列
na
，公差
0,
0
t
d
a


（t 为给定常数），
n
S 为数列
na
前n 项
和，且


1
2
1
2 ,
m
m
n
S
S
m
m
b


为
2
1
m
m

所有可能取值由小到大组成的数列.
(1)求
nb
；
(2)设



1
2
1
( 1)
,
1
1
n
n
n
n
n
n
c
T
b
b





为数列
nc
的前n 项和，证明：
2
1
6
n
T

.
【变式训练1-3】设
na
是等比数列且公比q 大于0，其前n 项和为

,
n
n
S
b
是等差数列，已知
1
3
2
1,
2
a
a
a



，
4
3
5
5
4
6
,
2
a
b
b a
b
b




．
(1)求
,
n
n
a
b
的通项公式；
(2)设



1
1
1
n
n
n
n
a
c
a
a 



，数列
nc
的前n 项和为
nT ，求满足
499
1000
nT 
的最大整数n 的值．
【变式训练1-4】已知数列
na
的前n 项和
n
S 满足


1
2
n
n
n
a
S


，且数列
na
中的第2 项、第5 项、第14 项
依次组成某等比数列的连续3 项（公比不等于1）．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
( 1)n
n
n
n
n
b
a a




，且数列
nb
的前n 项和为
nT ，求
nT 的最大值与最小值．
题型02：根式型裂项相消：


1
1
n
k
n
k
n
k
n





（1）
1
1
1



n
n
n
n
                  
（2）
1
1 (
)





n
k
n
k
n
k
n
（3）
1
1 ( 2
1
2
1)
2
2
1
2
1





n
n
n
n
        
（4）
2
2
1
1
(
1)
1
1
1
1
1
(
1)
(
1)
1










n n
n
n
n n
n
n
【典型例题1】数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
S
n
n


，
1
2
(
1)
n
n
n
b
n
n
a
a






N ,
，则数列{ }
nb
的前
n 项和为
nT 
（    ）
A．
2
1
2
1
n
n


B．
2
3
1
n 

C．2
2
n 
D．
2
3
3
n 

【答案】D
【分析】根据给定条件，利用
,
n
n
a S 的关系求出
n
a ，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】数列{
}
na
的前n 项和
2
2
n
S
n
n


，
当
2
n 
时，
2
2
1
2
[(
1)
2(
1)]
2
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n










，而
1
1
3
a
S


满足上式，
因此
2
1
na
n

，
2
2
3
2
1
2
1
2
3
nb
n
n
n
n







，
所以
( 5
3)
( 7
5)
( 9
7)
( 2
3
2
1)
2
3
3
nT
n
n
n















.
【变式训练2-1】已知数列
na
满足
1
2
1
2
1
2
2
2
3 2
3
n
n
n
n
n
a
a
a
a
n












，若
1
1
n
n
n
c
a
a 


，则数
列
nc
的前n 项和
nT          ．
【变式训练2-2】已知数列
na
满足
1
1
1
1,
n
n
n
a
a
a
n




.
(1)求
na
的通项公式；(2)求数列
1
1
n
n
a
a 






的前n 项和
n
S .
【变式训练2-3】设公差不为0 的等差数列
na
的首项为2 ，且
3
7
17
,
,
a a a 成等比数列.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)已知数列
nb
为正项数列，且
2
4
3
n
n
a
b


，设数列
1
1
n
n
b
b 






的前n 项和为
n
S ，求证：
2
n
S
n


.
题型03：等差乘等比型裂项：
1
2
1
1
(
1) 2
2
(
1) 2
n
n
n
n
n n
n
n









例子：
1
2
2(
1)
2
1
1
1
1
(
1) 2
(
1) 2
1
2
2
(
1) 2
























n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n n
n
n
n
n
一般结构










1
1
1
1
1
n
n
n
a
kn
a
kn
ab
b
a
kn
b
k n
b
a
k
k
n
b
a
b 



















【典型例题1】已知
1
2n
na 
，记
2
2
(
1)
n
n
n
a
b
n
n




，
nT 为数列
nb
的前n 项和，求
nT ．
【解析】因为(an+1)bn= n+2
n
2+n
，
所以bn=
n+2
(n
2+n)(an+1)
=
n+2
n(n+1)2
n =2[
1
n⋅2
n −
1
(n+1)⋅2
n+1]，
所以数列{bn}的前n项和为：T n=2[(
1
1⋅2
1 −
1
2⋅2
2)+(
1
2⋅2
2 −
1
3⋅2
3)+⋯+(
1
n⋅2
n −
1
(n+1)⋅2
n+1)]
=2[
1
1⋅2
1 −
1
(n+1)⋅2
n+1]=1−
1
(n+1)⋅2
n．
【典型例题2】已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1
1
4
n
n
a
a

，设
2
2
1
n
n
b
a

，其中
*
nN .
(1)求证：数列
nb
是等差数列；
(2)求数列
1
2
n
n
b






的前n 项和
n
S ；
(3)设数列
1
2
2n
n
n
n
b
b 








的前n 项和为
nT ，证明：
3
1
16
4
nT


.
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
2
2
n
n
n
S



(3)证明见解析
【解析】（1）首先求出
1b ，再计算
1
n
n
b
b

，结合等差数列的定义证明即可；
（2）由（1）可得
2
nb
n

，则
1
2
2
n
n
n
b
n

，利用错位相减法求和即可；
（3）由（2）可得
1
2
1
2
1
1
2
2
(
1)
2
n
n
n
n
n
n
b
b
n
n











，利用裂项相消法求出
nT ，即可说明
1
4
nT 
，再判断
nT
的
单调性，即可得证.
（1）因为
1
1
a ，
1
1
1
4
n
n
a
a

，且
2
2
1
n
n
b
a

，
所以
1
1
2
2
2
1
b
a



，
又
1
1
2
2
2
1
2
1
n
n
n
n
b
b
a
a







4
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2 1
1
2
4
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a



















，
所以数列
nb
是首项为2 ，公差为2 的等差数列；
（2）由（1）可得
2
(
1)
2
2
nb
n
n





，
所以
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
b
n
n




，
则
2
1
2
2
2
2
n
n
n
S 




①，
2
3
1
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
S






②，
①

②得
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
S


















1
1
1
2
2
n
n
n



，
所以
2
2
2
n
n
n
S



；
（3）由（2）可得


1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
b
b
n
n








1
1
1
2
1
2
(
2)
1
1
4
2
(
1)
2
2
(
1)
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
















，
所以
2
3
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1 2
2
2
2
(
1)
2
4
(
1)
2
4
n
n
n
n
T
n
n
n



















，
又
1
3
2
2
3
1
1
1
1
1
1
4
(
2)
2
4
(
1)
2
(
1)
2
(
2)
2
n
n
n
n
n
n
T
T
n
n
n
n






















3
2
3
0
(
1)
2n
n
n
n







，
所以数列
nT
单调递增，所以
1
2
1
1
3
4
(
1)
2
16
n
n
T
T
n







，
综上可得
3
1
16
4
nT


．
【变式训练3-1】（1)已知
3n
nb 
，若



*
2
4
1
4
1
n n
n
b c
n
n




N
，求数列
nc
的前n 项和
【变式训练3-2】正项数列
{
}
na
满足：对一切
*
nN ，有
3
3
3
2
1
2
n
n
a
a
a
S



，其中
n
S
为数列
{
}
na
的前n 项和．
(1)证明：
2
1
1
2
n
n
n
a
a
S




；
(2)求数列
{
}
na
的通项公式；
(3)若
2
1
2
2
1
n
n
n
n
a
b
S




，数列{ }
nb
的前n 项和为
nT ．证明：
5
1
8
nT


．
【变式训练3-3】已知数列
na
满足
1
1
a ，且
*
1
)
1
N
(
n
n
a
a
n
n




.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记数列
1
na





的前n 项和为
n
S ，求
99
S
；
(3)设
2
2
2
n
n
n
n
b
a




，数列
nb
的前n 项和为
nT ，且
2023
2
n
m
T


对一切
*
N
n
成立，求实数m 的取值范围.
【变式训练3-4】已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
n
S
n
n


．
(1)求数列
na
通项公式；
(2)设
1
4
2
n
n
n
n
n
a
b
a a 


，求数列
nb
的前n 项和
nT ；
(3)若数列
nc
满足
1
1
1
1
1,
1
2
n
n
n
c
c c
a




，求证：
1
2
1
1
1
2
2
3
n
n
c
c
c





题型04：三项等差裂项: 







2
1
1
1
2
1
1
2
n n
n
n n
n
n







一般结构：







2
1
1
1
2
1
1
2
n n
n
n n
n
n







【典型例题1】已知
2
1
na
n


，
1
n
n
n
b
a a 

，求数列{
nb }的前n 项和
nT
【答案】T n= 1
3 n(4 n
2+6n−1).
【解析】当n≥2时，anan+1an+2−an−1anan+1=anan+1(an+2−an−1)=6anan+1=6bn，
因此，bn= 1
6 (anan+1an+2−an−1anan+1)，∑
k =2
n
bk = 1
6 (anan+1an+2−a1a2a3)= 1
6 (anan+1an+2−15)，
则T n=∑
k =2
n
bk +b1= 1
6 (anan+1an+2−15)+a1a2= 1
6 (2n−1)(2n+1)(2n+3)−5
2 +3= 1
3 n(4 n
2+6n−1)，
b1=3满足上式，
所以T n= 1
3 n(4 n
2+6n−1).
【典型例题2】已知数列
na
满足: 


*
1
2
2
1
1
1
2
2
2





n
n
a
a
a
n n
N
L
.
(1)求数列
na
的通项公式;(2)设
2
log
n
n
b
a

, 求数列
1
2
1
n
n
n
b b
b







的前n 项和为
nT .
【答案】(1)


*
2n
na
n

N
(2)



1 1
1
2 2
1
2
n
T
n
n












【解析】（1）由递推关系取
1
n 可求
1a ，当
2
n 
时，利用递推关系可求
(
2)
na n 
，由此可得数列
na
的通
项公式；
（2）由（1）可得
nb
n

，利用裂项相消法求数列
1
2
1
n
n
n
b b
b







的前n 项和为
nT .
（1）当
1
n 时，
1
1
1
2 a ，解得
1
2
a 
；
当
2
n 
时，
1
2
2
1
1
1
2
2
2




L
n
n
a
a
a
n ，
则
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2







L
n
n
a
a
a
n
，
两式相减得


1
1
1
2
n
n a
n
n



，即


2
2
n
na
n


；
当
1
n 时也成立，所以数列
na
的通项公式为


*
2n
na
n

N
.
（2）因为
2
2
l
2
log
og
n
n
n
b
a
n



，
所以








1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
n
n
n
b b
b
n n
n
n n
n
n

















，
所以








1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
2 1 2
2 3
2 3
3 4
1
1
2
2 2
1
2
n
T
n n
n
n
n
n



































.
【变式训练4-1】在等差数列
na
（
*
N
n
）中，
1
2
11
a
a


，
3
10
a 
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
2
1
n
n
n
n
b
a a
a



，数列的
nb
前n 项和为
nT ，证明
1
168
nT 
.
【变式训练4-2】设数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
2=6
a
，
1
2
=
n
n
S
na ．
(1)求
na
的通项公式；
(2)已知数列
2
1
( 1)
(3
1)(3
2)
n
n
n
a
b
n
n





，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【变式训练4-3】在等差数列
na
（
*
N
n
）中，
1
2
11
a
a


，
3
10
a 
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
2
1
n
n
n
n
b
a a
a



，数列的
nb
前n 项和为
nT ，证明
1
168
nT 
.
题型05：其它裂项求和
一般形式：
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
















（1）
2n+1
n
2(n+1)
2 = 1
n
2 −
1
(n+1)
2
（2）
2
2
2
2
1
1
1
1
2)
4
2)
(
(











n
n
n
n
n
（3）
1
1
log
log
log



n
a
n
a
a
a
n
n
a
a
a
（4）
2
2
2
1
1
1
( 1)
2(
1)
( 1) (
4
2)2
( 1) (
4
2)
2
(
1)2
(
1)2
(
1)2



























n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
( 1)
1
1
1
1
( 1)
( 1)
( 1)
(
)
2
2
(
1) 2
2
2
2
(
1) 2
































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
【典型例题1】设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
6
4
2
S
S

，
2
2
1
n
n
a
a

．
(1)求
na
的通项公式．
(2)令


2
2
2
1
n
n
n
b
n
a


，数列
nb
的前n 项和为
nT ．证明：
1
8
nT 
．
【答案】(1)
2
1
na
n


(2)证明见解析
【解析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）化简得到




2
2
1
1
1
8
2
1
2
1
nb
n
n











，裂项相消法求和，证明出结论.
（1）设等差数列
na
的公差为d，
则






1
1
1
1
6
15
2 4
6
2
1
2
1
1
a
d
a
d
a
n
d
a
n
d

















，
解得
1
3,
2
a
d


，因此


3
2
1
2
1
na
n
n




；
（2）证明：因为
2
1
na
n


，
所以







2
2
2
2
1
1
1
8
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
b
n
n
n
n














，
所以






2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
3
3
5
8
8
2
1
2
1
8 2
1
nT
n
n
n






















.
【变式训练5-1】已知等差数列
na
的公差不为0，其前n 项和为
5
,
25
n
S
S 
，且
1
2
5
,
,
a a a 成等比数列.
(1)求
na
的通项公式；
(2)设bn=
4 n
an
2⋅an+1
2
，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，若
2
1
2
nT
m
m


对任意
*
nN 恒成立，求m 的取值范围.
【变式训练5-2】已知
na
n

，设
1
4
1
2
2 n
n
n
a
n
n
n
a
b
a
a
a








，证明：
1
2
1
4
n
b
b
b



.
【变式训练5-3】已知正项数列
na
的前n 项和
n
S ，满足：
2
1
2
n
n
a
S






．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记
2
1
n
n
n
n
b
S S 


，设数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证
5
16

nT
．
二 分组求和与并项求和进阶
题型06：奇偶项的通项公式不一致的数列求和
将数列拆分成奇数项和偶数项2 个数列分别求和再相加
【典型例题】已知数列
na
中，
2
1
2
2
a
a


，且
2
2,
4
,
n
n
n
a
n
a
a n





为奇数
为偶数
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
na
的前10 项和
10
S
.
【答案】(1)
1
,
2
,
n
n
n n
a
n




为奇数
为偶数；
(2)707
【解析】（1）分奇偶项讨论结合等差数列、等比数列的通项公式计算即可；
（2）直接利用等差数列和等比数列求和公式计算即可.
（1）由题意可知当


2
1
N
n
k
k




时，
有
2
2
1
2
1
2
n
n
k
k
a
a
a
a







，此时数列
na
的奇数项成等差数列，
由题意可知
1
1
a ，公差为2，则


2
1
1
2
1
2
1
k
a
k
k



，
所以
na
n

，（n 为奇数），
当


2
N
n
k k



时，有
2
2
2
2
4
n
n
k
k
a
a
a
a






，
即此时数列
na
的偶数项成等比数列，
由题意可知
2
2
a 
，公比为4，则
1
2
1
2
2
4
2
k
k
k
a





，
所以
1
2n
na


，（n 为偶数），
综上
1
,
2
,
n
n
n n
a
n




为奇数
为偶数.
（2）由上可知



10
1
2
10
1
3
9
2
4
10
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a






















5
3
9
2 1 4
1 9
5
1 3
9
2
2
2
707
2
1 4
















【变式训练6-1】已知递增的等比数列
na
满足
3
4
a 
，且
2
3
4
2
a
a
a 
，，
成等差数列．
(1)求
na
的通项公式：
(2)设




2
1
1
2
n
n
n
a
n
b
a
n





为奇数
为偶数，求数列
nb
的前
2n
项和．
【变式训练6-2】已知
na
是公差不为0 的等差数列，其前4 项和为16，且
1
2
5
,
,
a a a 成等比数列.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
2 ,
1
,
n
a
n
n
n
n
b
n
a a 




为奇数
为偶数，求数列
nb
的前
2n
项和
2n
T
.
题型07：;插入数字构成新数列后求和
【典型例题1】已知数列
na
的通项公式
5
15
na
n


，在数列
na
的任意相邻两项
ka 与


1
1,2,
ka
k


之间
插入2k
个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列
nb
，记新数列
nb
的前n 项和为
n
S ，则
60
S
的值为  
 
．
【答案】370
【解析】依题意，确定前60 项所包含数列
na
的项，以及中间插入4 的数量即可求和.
因为
ka 与


1
1,2,
ka
k


之间插入2k 个4，
1
20
a 
，
2
25
a 
，
3
30
a 
，
4
35
a 
，
5
40
a 
，
其中
1a ，
2a 之间插入2 个4，
2a ，
3
a 之间插入4 个4，
3
a ，
4a 之间插入8 个4，
4a ，
5a 之间插入16 个4，
5a ，
6a 之间插入32 个4，由于6
2
4
8 16
36
60





，6
2
4
8 16
32
68
60






，
故数列
nb
的前60 项含有
na
的前5 项和55 个4，
故
60
20
25
30
35
40
4 55
370
S







【典型例题2】已知
2
1
na
n

，在
n
a 与
1
na 之间插入一项
nb ，使
n
a ，
nb ，
1
na 成等比数列，且公比为


0
n
n
q
q 
，求数列

ln
nq
的前n 项和
nT .
【答案】


1 ln 2
1
2
nT
n


【解析】因为
n
a ，
nb ，
1
na 成等比数列，且公比为
n
q ，所以
2
1
n
n
n
a q
a 

因为
2
1
na
n

，所以

2
2
1
2
1
n
n
q
n


，即
2
2
1
2
1
n
n
q
n



因为
0
nq 
，则有：
2
1
2ln
ln 2
1
n
n
q
n



可得：




1
2
1
1
ln
ln
ln 2
1
ln 2
1
2
2
1
2
n
n
q
n
n
n











化简可得：






1
2
1
1
ln
ln
ln
ln3
ln1
ln5
ln3
ln 2
1
ln 2
1
ln 2
1
2
2
n
n
T
q
q
q
n
n
n





















所以数列

ln
nq
的前n 项和：


1 ln 2
1
2
nT
n


【典型例题3】已知
1
2n
na
-
=
，在数列
na
中的
ia 和


*
1
ia
i

N
之间插入i 个数
1
m ，
2
m ，
3
m ，…，
i
m ，使
ia ，
1
m ，
2
m ，
3
m ，…，
i
m ，
1
ia 成等差数列，这样得到一个新数列
nb
，设数列
nb
的前n 项和为
nT ，求
21
T ．
【答案】
513
2 .
【解析】因为在数列
na
中的
ia 和


*
1
ia
i

N
之间插入i 个数，则在列
nb
的前21 项中，就是在
1a 到
6a 每两
项之间各插入一组数，共插入五组，
数列
nb
的前21 项为
1
1
2
2
3
3
4
5
6
4
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
a m a m m a m m m a 
∴
1
1
2
2
3
3
4
5
6
21
4
6
a
m
a
m
m
a
m
m
m
T
a
a





















3
4
5
6
1
2
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
3
5
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
























3 4
8
5 16
32
1
2
1
2
2
4
4
8
2 8 16
16
32
2
2
2














513
2

.
【变式训练7-1】己知数列
na
满足
na
n

，在
1
,
n
na a 之间插入n 个1，构成数列
nb
：
1
2
3
4
1,
1,1,
1,1 ,
,
,
,
,
,1
a
a
a
a L ，则数列
nb
的前100 项的和为（  ）
A．178
B．191
C．206
D．216
【变式训练7-2】已知


3
1
na
n


对所有正整数m，若
1
2m
k
k
a
a ＋
＜
＜
，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得
到一个新数列{bn}，求{bn}的前40 项和.
【变式训练7-3】已知数列
1
3 

n
na
，在
n
a 和
1
na 之间插入n 个数，使这
2
n 
个数构成等差数列，记这个等差
数列的公差为
n
d ，求数列
1
n
d






的前n
项和
nT .
【变式训练7-4】已知数列
nb
的前n 项和Sn，且
2
2
n
n
S
b


(1)求数列
nb
的通项公式；
(2)设数列
na
的通项公式
na
n

，若将数列
na
中的所有项按原顺序依次插入数列
nb
中，组成一个新数列:
1
1
2
2
3
3
4
5
6
7
4
k
b
a
b
a
a
b
a
a
a
a
b
b

，，，，，，，，，，，，
与
1
kb 之间插入
1
2k
项
na
中的项，该新数列记作数列
nc
，
求数列
nc
的前100 项的和
100
T
.
【变式训练7-5】已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
nb
为等比数列，且
1
1
1
a
b


，
4
5
S
b
=
，
2
3
4
a
a
b


．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)若在
kb 与
1
kb 之间依次插入数列
na
中的k 项，构成如下的新数列
nc
；
1
1
2
2
3
3
4
5
6
4
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
b a b a a b a a a b ，
记该数列的前n 项和为
nT ，求
70
T
．
【变式训练7-6】已知等差数列
na
的前n 项和为
2
1
,
2
2
n
n
n
S a
a


，且
1
n
S
n






为等差数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)在
2
2
n
a 与
1
2
2
n
a 之间插入n 个数，使这
2
n 
个数组成一个公差为


0
n
n
d
d 
的等差数列，记数列
1
n
d





的前n
项和为
nT
，求证：
3
nT 
．
题型08：隔项数列求和（一般并项求和）
隔项数列一般有三种形式： 
1
n
n
a
a
kn
b




，
1
n
n
n
a
a
k



，
1
n
n
n
a
a
k



并项求和比分组求和计算量小一些
【典型例题1】已知数列{
}
na
满足
1
1
a ，
1
4
n
n
a
a
n


，则
100
S
________
【答案】10000
【解析】数列
na
满足
1
1
a ，
1
4
n
n
a
a
n


，
因为
1
1
a ，
1
4
n
n
a
a
n


，所以，





100
1
2
3
4
99
100
S
a
a
a
a
a
a












4
1 99
50
4 1
4 3
4 99
4
1 3
5
99
10000
2














【典型例题2】在数列
na
中，
1
2
n
n
a
a
n



，则数列
na
前24 项和
24
S
的值为（    ）
A．144
B．312
C．288
D．156
【答案】C
【解析】因为
1
2
n
n
a
a
n



，
所以


24
1
2
3
24
12
2
46
2
6 10
46
288
2
S
a
a
a
a
















，故选：C.
【变式训练8-1】记
n
S ，为数列
na
的前n 项和，已知
1
4
2
n
n
a
a
n



，
1
4
a 
求
n
S ．
【变式训练8-2】已知数列
na
满足
3
5
a 
，
1
4
n
n
a
a
n



，则
10
2
1
i
i
a



        ．
【变式训练8-3】已知数列
na
满足
1
2n
n
n
a
a


.
(1)若
na
为等比数列，求
na
的通项公式；
(2)若
na
的前n 项和为
n
S ，不等式
5
2
3
2n
n
S




对任意
*
nN 恒成立，求实数的取值范围.
【变式训练8-4】设公差不为0 的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
5
20
S 
，
2
3
2
5
a
a a

．
(1)求数列
na
的通项公式；(2)若数列
nb
满足
1
1
b ，
1
( 2) n
a
n
n
b
b 


，求数列

2n
b
的前n 项和
nT ．
题型09：通项含有
(
)1 n
－
的数列求和
【典型例题1】已知数列
na
各项均为正数，且
1
2
a 
，
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a





.
(1)证明：
na
为等差数列，并求出通项公式；
(2)设


1
n
n
n
b
a

，求
1
2
3
20
b
b
b
b





.
【答案】(1)证明见解析，
2
na
n

(2)20
【解析】（1）根据等差数列定义证明等差数列，再根据通项公式计算即可；
（2）分组求和计算可得.
（1）因为
1
2
a 
，
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a





所以，





2
2
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a










，
因为数列
na
各项均为正数，即
1
0
n
n
a
a


，
所以，
1
2
n
n
a
a


，即数列
na
为等差数列，公差为
2

d
，首项为
1
2
a 
.
所以


2
1
2
2
na
n
n





.
（2）由（1）知
2
na
n

，其公差为
2

d
，所以，




1
1
2
n
n
n
n
b
a
n



所以，





1
2
3
20
1
2
3
4
19
20
10
20
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
d















.
【典型例题2】已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
2
4
S
S

，


*
2
2
1
n
n
a
a
n


N
．
(1)求
na
的通项公式及
n
S ；
(2)记


1
n
n
n
b
S

，求数列
nb
的前50项和
50
T ．
【答案】(1)
2
1
na
n

，
2
n
S
n

(2)
50
1275
T

【解析】（1）设等差数列
na
的公差为d ，根据已知条件可得出关于
1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，
即可求得
na
的通项公式及
n
S ；
（2）对任意的k

N ，计算得出
2
2
1
4
1
k
k
b
b
k



，利用等差数列的求和公式可求得
50
T 的值.
（1）解：设等差数列
na
的公差为d ，由
4
2
4
S
S

可得


1
1
4
6
4 2
a
d
a
d



，可得
1
2
d
a

，
因为


*
2
2
1
n
n
a
a
n


N
，则




1
1
2
1
2
2
1
1
a
n
d
a
n
d





，
所以，



1
1
4
1
4
2
1
n
a
n
a



，解得
1
1
a ，则
2

d
，
所以，




1
1
1
2
1
2
1
na
a
n
d
n
n






.
所以，




1
2
1
2
1
2
2
n
n
n a
a
n
n
S
n






.
（2）解：因为




2
1
1
n
n
n
n
b
S
n


，
对任意的k

N ，




2
2
2
2
1
2
2
1
4
1
k
k
b
b
k
k
k






，
所以，数列
nb
的前50项和







50
1
2
3
4
49
50
3
4 25 1
25
1275
2
T
b
b
b
b
b
b













.
【典型例题3】已知数列
na
，
nb
满足
1
1
a ，
1
1
1
3
n
n
a
a



，
1
2
n
n
b
a


.
(1)证明：
nb
为等差数列.
(2)设数列

2
( 1)n
nb

的前n 项和为
n
S ，求
n
S .
【答案】(1)证明见解析
(2)



1
1
2
n
n
n n
S


【解析】（1）根据已知代入化简得出
1
1
n
n
b
b

，即可证明；
（2）根据（1）得出数列

2
( 1)n
nb

的通项，当n 为偶数时，利用并项求和法得出
n
S ，当n 为奇数时，
1
n 为
偶数，由
2
1
1
n
n
n
S
S
b




得出
n
S ，即可综合得出答案.
（1）由题意得
1
1
1
2
n
n
b
a




，
1
1
3
4
3
3
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a









，
则
1
1
3
1
1
1
1
1
1
4
2
2
2
2
2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
b
a
a
a
a
a
a
a




















，
所以
nb
是首项
1
1
1
1
2
b
a



，公差为1 的等差数列.
（2）由（1）得


1
1
1
nb
b
n
n




，则
2
2
( 1)
( 1)
n
n
nb
n


，
当n 为偶数时，
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
(
1)
( )
n
S
n
n

















2 1
2 1
4
3
4
3
1
1
n
n
n
n

















1
1
1
2
3
4
1
2
2
n
n
n n
n
n











.
当n 为奇数时，
1
n 为偶数，
则





2
2
1
1
1
2
1
(
1)
2
2
n
n
n
n
n
n n
S
S
b
n











.
综上，



1
1
2
n
n
n n
S


.
【典型例题4】已知数列
na
前n 项和为
n
S ，且满足
2
1
2,2
3
n
a
S
n
n



．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
( 1)n
n
n
n
n
b
a
a a 


，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T
．
【答案】(1)
3
1
na
n


(2)
2
1
1
6
18
6
3
n
T
n
n




【解析】（1）根据
,
n
n
a S 之间的关系，即可求得数列
na
的通项公式；
（2）结合（1）求出
1
1
( 1)n
n
n
n
n
b
a
a a 


的表达式，利用分组求和以及裂项相消求和的方法，即可求得答案.
（1）由题意知数列
na
满足
2
1
2,2
3
n
a
S
n
n



，
当
2
n 
时，


2
1
2
3
1
1
n
S
n
n



，故2
6
2,
3
1
n
n
a
n
a
n




，
1
2
a 
适合该式，故
3
1
na
n

；
（2）由（1）知






1
1
1
( 1)
1
3
1
3
1 3
2
n
n
n
n
n
n
b
a
n
a a
n
n











1
1
1
1
3
1
3 3
1
3
2
n
n
n
n











，
记数列
nc
：



1
3
1
n
nc
n


，

1
1
1
:
3 3
1
3
2
n
n
d
d
n
n









，
则






2
1
2
5
8 11
6
4
6
1
3
n
i
i
c
n
n
n















，
2
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
3 2
5
3 5
8
3 6
1
6
2
6
18
6
n
i
i
d
n
n
n

































，
故
2
1
1
6
18
6
3
n
T
n
n




.
【典型例题5】已知等差数列
na
的公差为d ，且
0
d 
，设
n
S 为
na
的前项和，数列
nb
满足


*
4
2
n
n
b
S
n n


N
.
(1)若
1
1,
1
a
d


，且

n
n
b
a
，求n ；
(2)若数列

n
b
也是公差为d 的等差数列，求数列

( 1)n
nb

的前n 项和
nT .
【答案】(1){1,2,3,4}；
(2)( 1)
2 (
1)
n
n n



.
【解析】（1）根据给定条件，依次求出
,
,
n
n
n
a S b ，列出不等式求解即得.
（2）设
nb
dn
b


，由已知求出
nb ，借助恒成立求出
nb ，再按奇偶分类并结合分组求和法求解即得.
（1）依题意，


1
1
2
na
n
n




，
2
( 1
2)
1
3
2
2
2
n
n
n
S
n
n





，
则
2
4
2
2
8
n
n
b
S
n
n
n




，由

n
n
b
a ，得
2
2
8
2
n
n
n



，解得9
65
9
65
4
4
n




，而
*
N
n
，
所以
{1,2,3,4}
n
.
（2）由

nb
是公差为d 的等差数列，设
nb
dn
b


，
又
2
1
1
(
1)
4
2
4[
]
2
2
(4
2
2)
2
n
n
n n
b
S
n
na
d
n
dn
a
d
n










，
于是
2
1
2
(4
2
2)
dn
b
dn
a
d
n





对任意
*
N
n
恒成立，
即
2
2
2
2
1
2
4
2
2)
2
(
dn
a
d
n
d n
dbn
b






对任意
*
N
n
恒成立，
则
2
1
2
4
2
2
2
0
d
d
a
d
db
b









，又
0
d 
，解得
1
2
3
2
0
d
a
b








，从而
2
4
nb
n

，
2
( 1)
4( 1)
n
n
nb
n



，
当n 为偶数时，
2
2
2
2
2
2
4[ 1
2
3
4
]
(
1)
nT
n
n












4[(2 1) (2 1)
(4
3)(4
3)
(
1) (
1)]
n
n
n
n














4(1
2
3
4
)
2 (
1)
n
n n








；
当n 为奇数时，
2
2
2
2
2
2
4[ 1
2
3
4
]
(
1)
nT
n
n












4[ 1 (2
3)(2
3)
(4
5)(4
5)
(
1)
(
1
)]
n
n
n
n













4( 1 2
3
4
)
2 (
1)
n
n n








，
所以
( 1)
2 (
1)
n
nT
n n



.
【变式训练9-1】已知
na
是公差不为零的等差数列，
5
14
a 
，且
1
3
11
,
,
a a a 成等比数列，设
1
( 1)n
n
n
b
a


，数
列
nb
的前n 项的和为
n
S ，则
2023
S
        ．
【变式训练9-2】在等差数列
na
中，
3
7
5
8
18,
24
a
a
a
a




.
(1)求
na
的通项公式；(2)若
1
( 1)n
n
n
n
b
a a 

，求数列
nb
的前2n 项和
2n
S
.
【变式训练9-3】数列
na
的前n 项积为
nT ，且满足



1
1
2
2
nT
n
n



．
(1)求数列
na
的通项公式；(2)记

1
ln
n
n
n
b
a

，求数列
nb
的前2n 项和
2n
S
．
【变式训练9-4】已知数列
na
前n 项和为
n
S ，且满足
2
1
2,2
3
n
a
S
n
n



．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
( 1)n
n
n
n
n
b
a
a a 


，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T
．
【变式训练9-5】已知数列
na
是等差数列，且
0
na 
恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两
数的积比中间两数的积少2．
(1)求
na
的通项公式．
(2)若
2
( 1)n
n
n
b
a


，
*
N
n
，求数列
nb
的前100 项和
100
S
．
【变式训练9-6】已知数列
na
是等差数列，数列
nb
是公比大于1 的等比数列，
nb
的前n 项和为
nT .条件①
1
2
a 
；条件②
2
1
2
b
a

；条件③
2
1
2
a
b

；条件④
2
n
n
n
a
T
b


.从上面四个条件中选择两个作为已知，使数列

na
、
nb
存在且唯一确定.
(1)求数列
na
、
nb
的通项公式；(2)求数列




1
n
n
n
na
b


的前2n 项和
2n
S
.
【变式训练9-7】已知各项均为正数的数列
nb
的前n 项和为
1
1
,
n
S b ，且



1
1
1
1
n
n
n
n
S
b
S
b





对一切
N
n


都成立.若
na
是公差为2 的等差数列，
2
2
3
3
2
a
b
b
a



.
(1)求数列
na
与
nb
的通项公式；(2)求数列


1
n
n
n
n
c
a
b


的前2n 项和
2n
T
.
【变式训练9-8】在等差数列
na
中，
3
7
5
8
18,
24
a
a
a
a




.
(1)求
na
的通项公式；(2)若
1
( 1)n
n
n
n
b
a a 

，求数列
nb
的前2n 项和
2n
S
.
【变式训练9-9】设
na
是等差数列，
nb
是公比大于0 的等比数列，已知
1
1
2
a
b


，
2
2
b
a

，
3
2
4
b
a


．
(1)求
na
和
nb
的通项公式；
(2)设


1
n
n
n
n
c
a
b


，求数列
nc
的前2n 项和
2n
T
．
【变式训练9-10】已知数列
na
满足
1
1
a ，且对任意正整数n 都有
1
1
n
n
a
a
n


．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
nb
的前n 项和为
nT ，

1
n
n
n
b
n
a


，（
*
nN ），若
{ |
100


A
n n
且
*}
100,


nT
n
N
，求集合
A 中所有元素的和．
【变式训练9-11】在数列
na
中，
1
5
a 
，且


*
1
2
1
n
n
a
a
n


N
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)令
( 1)n
n
n
b
a


，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
题型10：涉及sin，cos 的数列求和
分2 种类情况，若是周期数列就并项求和即可，若是(−1)
n这种类型则需要分析看选择并项求和还是分组求和
【典型例题1】已知数列{an}满足an=sin(
nπ
2 + π
3)，其前n项和为Sn，则S2025=（   ）
A．
B．−1
2
C．1
2
D．
【答案】C
【解析】根据{an}的周期性，分组求和即可.
依题意，数列{an}是周期为4 的周期数列，将其每4 项为一组，先求每组之和，再求总和即可，
因为a1= 1
2 ,a2=−
❑√3
2 ,a3=−1
2 ,a4=
❑√3
2
，所以S4=0，
又2025=506×4+1，所以S2025=a1+a2+⋯+a2025=a1= 1
2
.
【典型例题2】已知数列{an}的前n 项和为Sn，通项公式为an=(2n−1)cos(nπ )，则S2024=  
【答案】2024
【解析】分组求和两个为一组计算，即可求得S2024的值.
当n为奇数时，cos(nπ )=−1 当n为偶数时，cos(nπ )=1，
所以S2024=(−1+3)+(−5+7)+⋅⋅⋅+(−4045+ 4047)=2× 2024
2
=2024.
【典型例题3】数列{an}满足a1= 1
2 ,2anan+1+an+1−an=0．
(1)求数列{an}通项公式．
(2)设bn= cos(n+1)π
an
+2，求数列{bn}的前n 项和Sn．
【答案】(1)an= 1
2n
(2)Sn={
3n+1,n 为奇数
n,n 为偶数
【解析】（1）由题意有1
an+1
−1
an
=2，数列{
1
an}是首项为2，公差为2 的等差数列，可求数列{an}通项公式．
（2）bn= cos(n+1)π
an
=2ncos(n+1)π +2，分n为奇数和n为偶数，结合分组求和法求Sn.
（1）由2anan+1+an+1−an=0，有1
an+1
−1
an
=2，
又1
a1
=2，所以数列{
1
an}是首项为2，公差为2 的等差数列，
则有1
an
=2n，所以数列{an}通项公式an= 1
2n
.
（2）设bn= cos(n+1)π
an
=2ncos(n+1)π +2，
n为奇数时，cos(n+1)π =1；n为偶数时，cos(n+1)π =−1.
n为奇数时，
Sn=b1+b2+⋯+bn=(2+2)+(−4 +2)+(6+2)+(−8+2)+⋯+(2n+2)
=(2−4)+(6−8)+⋯+[2(n−2)−2(n−1)]+2n+2n=−2× n−1
2
+ 4 n=3n+1；
n为偶数时，
Sn=b1+b2+⋯+bn=(2+2)+(−4+2)+(6+2)+(−8+2)+⋯+(−2n+2)
=(2−4)+(6−8)+⋯+[2(n−1)−2n]+2n=−2× n
2 +2n=n.
所以Sn={
3n+1,n 为奇数
n,n 为偶数
.
【变式训练10-1】设数列 {an}的通项公式为an=(2n−1)⋅cos nπ
2 ，其前n项和为Sn，则S20=  
【变式训练10-2】已知
2
1
na
n

，若
2 π
cos 3
n
n
n
b
a

，求数列
nb
的前3
1
n 项和
3
1
n
T
.
【变式训练10-3】数列{an}的前n 项和为Sn，若a1=1，
，且an+2=(2+|cos nπ
2 |)an−|sin nπ
2 |，则
S2024=（    ）
A．3
2024−1011
B．3
2024+1011
C．3
1012−1011
D．3
1012+1011
【变式训练10-4】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn= 2
3 (an−1),n∈N
∗.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=an⋅cos nπ
2 ，求数列{bn}的前100 项的和T 100.
【变式训练10-5】已知数列满足a1=1，1
an+1
−1
an
=2n+1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若anbn=sin 2nπ
3
，记数列{bn}的前99 项和为T 99，求
.
题型11：奇偶交织”的递推数列求和问题
优先考虑并项求和
【典型例题1】已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1,
2,
n
n
n
a
n
a
a
n






为奇数
为偶数，求
na
的前20 项和.
【答案】300.
【解析】
2
1
2
2
2
2
1
2,
1
n
n
n
n
a
a
a
a






，设
2
n
n
b
a

所以
2
2
2
3
n
n
a
a


，即
1
3
n
n
b
b


，且
1
2
1+1
2
b
a
a



，
所以
nb
是以2 为首项，3 为公差的等差数列，
于是
1
2
2,
5,
3
1
n
b
b
b
n




20
1
2
3
20
1
3
5
19
2
4
6
20
+
+
+
+
+
+
+
+
(
)
(
)
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a









1
2
3
10
1
2
3
10
(
1
1
1
1)
b
b
b
b
b
b
b
b













1
10
(
) 10
2
10
300
2
b
b






．
【典型例题2】已知数列
na
满足
1
2
1
a
a

，
2
2
,
1,
n
n
n
a n
a
a
n





为偶数
为奇数，则数列
na
的前2n 项和
2n
S
      .
【答案】
2
2
2
2
n
n
n



【解析】由题意数列
na
的所有偶数项构成以1 为首项2 为公比的等比数列，所有奇数项构成以1 为首项1 为
公差的等差数列，分组求和即可.
由
2
2
,
1,
n
n
n
a n
a
a
n





为偶数
为奇数可得，
数列
na
的所有偶数项构成以1 为首项，以2 为公比的等比数列，
数列
na
的所有奇数项构成以1 为首项，以1 为公差的等差数列， 
前2n 项和




2
2
1
1 2
1
1
2
2
2
1 2
2
n
n
n
n n
n
n
S
S
S
n














奇
偶
.
【变式训练11-1】已知数列
na
的首项
1
1
a ，且满足
1
3,
,
4
,
.
n
n
n
a
n
a
a n





为奇数
为偶数
(1)记
2
n
n
b
a

，证明：

1
nb 
为等比数列；(2)求数列
na
的通项公式及其前2
1
n 项和
2
1
n
S
.
【变式训练11-2】
1
2
,
2
1,
2
1
n
n
n
a n
k
a
a
n
k








,(
*
N
k 
),
2a 是
1
3
,
a a 的等比中项，则数列
na
的前20 项的和为  
 
．
【变式训练11-3】已知数列
na
满足


*
1
2
2
2,
2
1
1,
N
,
2
n
n
n
a
n
k
a
a
a
k
a n
k












，若
n
S 为数列
na
的前n 项
和，则
50
S

  
【变式训练11-4】已知数列
na
满足
1
2
a 
，
1
1,
,
2
,
.
n
n
n
a
n
a
a n





为奇数
为偶数
若


*
1
2
3
n
n
S
a
a
a
a
n





N

，求
2n
S
.
【变式训练11-5】已知数列
na
满足
1
1
1,
1,
2,
n
n
n
a
n
a
a
a
n







为奇数
为偶数.
(1)记
2
n
n
b
a

，写出
1
2
,
b b ，并求数列
nb
的通项公式；
(2)求
na
的前100 项和.
题型12：奇偶数列{an}的前n项和T n及S2n 与S2n-1 下标的讨论和处理
对于奇偶数列
na
的前n 项和
nT ，一般来需要对n 的奇偶进行分类讨论，而在计算时可以通过改变下标令
n=2k和n=2k −1来简化计算，详情见例1
【典型例题1】已知数列




2
1,
2 ,
n
n
n
n
a
n





为奇数
为偶数
（1）求数列
na
的前20 项和
20
T
（2）求数列
na
的前2n 项和
2n
T .
（3）求数列
na
的前2
1
n 项和
2
1
n
T
.
（4）求数列
na
的前n 项和
nT
【解析】
（1）T 20=(C1+C3+c5+⋯+C19)+(c2+c4+C6+⋯+c20)
=(3+7+11+⋯+39)+(2
2+2
4+2
6+⋯+2
20)
= (3+30)×10
2
+ 2
2(1−4
10)
1−4
= 626+ 4
11
3
（2）由（1）知cn={
2n+1,(n 为奇数)
2
n,(n 为偶数)
，数列{cn}的奇数项是首项为3，公差为4 的等差数列，偶数项是以
首项为4，公比为4 的等比数列.
记An=c1+c3+c5+⋅⋅⋅+c2k −1，Bn=c2+c4+c6+⋅⋅⋅+c2k
c2k −1= 4 k −1，故An= 3+ 4 k −1
2
⋅k =2k
2+k
c2k =2
2k，故Bn= 4⋅(1−2
2k)
1−4
= 4⋅2
2k
3
−4
3
T 2k = A + B =2k
2+k + 4
k +1−1
3
（3）T 2k −1=T 2k −1−c2k =2k
2+k + 4
k−1
3
（4）当n 为偶数时，记n=2k
则有T 2k =2k
2+k + 4
k +1−1
3
，故T n= n
2+n
2
+ 2
n+2−1
3
当n 为奇数时，记n=2k-1
则有T 2k −1=2k
2+k + 4
k−1
3
，故T n= n
2+3n+2
2
+ 2
n+1−4
3
故T n={
& n
2+n
2
+ 2
n+2−1
3
,n=2k
& n
2+3n+2
2
+ 2
n+1−4
3
,n=2k −1
,(k ∈N
+)
【典型例题2】已知数列
na
满足
3
1
1 ,
6
2
1
n
n
n
a
a
a
a




.
(1)求证：数列
1
na





是等差数列，并求数列
na
的通项公式；
(2)若
( 1)n
n
n
b
a


，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)证明见解析，
1
2
na
n

(2)


,
2
1,
2
1
n
n n
k
T
k
n
n
k









N
【解析】（1）对递推式变形得
1
1
1
2
n
n
a
a



，利用等差数列定义即可证明，代入等差数列通项公式即可求解；
（2）先利用（1）知
( 1) 2
n
nb
n

，然后利用分组求和思想求解即可.
（1）显然
0
na 
，将
1
2
1
n
n
n
a
a
a


两边同时取倒数得
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a





，即
1
1
1
2
n
n
a
a



，所以数列
1
na






是公差为2 的等差数列，
所以


3
1
1
3
2
2
n
n
n
a
a





，所的
1
2
na
n

.
（2）由已知得
( 1) 2
n
nb
n

，那么数列
nb
的前n 项和
2
4
6
8
( 1) 2
n
nT
n




，
当n 为偶数时，
2
2
n
n
T
n



；
当n 为奇数时，


1
2
2
1
2
n
n
T
n



．
故


,
2
1,
2
1
n
n n
k
T
k
n
n
k









N
.
【典型例题3】已知
2
1
na
n

，


1
1
n
n
n
n
b
a a 

，求数列{
nb }的前n 项和
nT .
【答案】
2
*
2
*
2
2 ,
2 ,
N
2
2
1,
2
1,
N
n
n
n n
k k
T
n
n
n
k
k











【解析】对n 分奇偶讨论，当n 为偶数时，采用并项法求和，当n 为奇数时，
1
1
n
n
n
n
T
a a
T 



当n 为偶数时，


1
2
2
3
3
4
4
5
1
1
n
n
n
n
T
a a
a a
a a
a a
a a 












2
1
3
4
3
5
1
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a



















2
4
3
2
1
2
4
4
2
1
2
n
n
n
a
a
a
n n










当n 为奇数时，
当
1
n 时，
1
3
T 
当
3
n 
时，
1
1
n
n
n
n
T
a a
T 








2
1 3
2
3
2
4
2
1
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n










经检验，
1T 也满足上式，
所以当n 为奇数时，
2
2
2
1
nT
n
n



综上，数列
nb
的前n 项和
2
*
2
*
2
2 ,
2 ,
N
2
2
1,
2
1,
N
n
n
n n
k k
T
n
n
n
k
k











【典型例题4】在数列
na
中，
1
5
a 
，且


*
1
2
1
n
n
a
a
n


N
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)令
( 1)n
n
n
b
a


，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
1
*
2
1,
n
na
n



N
(2)
2
2
2
4 ,
3
2
7 ,
3
n
n
n
n
S
n









为偶数
为奇数
【解析】（1）由递推公式，得出


1
1
2
2
2
1
n
n
n
a
a
a




，则 

1
na 
是公比为2 的等比数列. 
再由等比数列知识求解即可．
（2）结合（1），求出
nb ．分奇偶讨论求和即可
（1）


1
1
2
2
2
1
n
n
n
a
a
a




，
1
1
4
a 


1
na


是公比为2 的等比数列.
1
1
1
4 2
2
n
n
na






，
1
*
2
1,
n
na
n




N .
（2）


1
1
*
( 1)
2
1
( 1)
2
( 1) ,
n
n
n
n
n
nb
n








N ，
所以











1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2 ·
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b















.
当n 为偶数，





1
2
3
4
1
n
n
n
S
b
b
b
b
b
b










2
4
2
2
2n





2
4
1 4
1 4
n










2
4
4
2
2
3
3
3
4
n
n






.
当n 为奇数
1
n
n
n
S
S
b




1
1
4
4
2
2
1
3
3
n
n







2
4
7
2
2
3
3
3
7
n
n







综上：
2
2
2
4 ,
3
2
7 ,
3
n
n
n
n
S
n









为偶数
为奇数
.
【变式训练12-1】已知
2
1
,
n
a
n

2n
a

2
1
2 n，记
na
的前n 项和为
n
S ，
2023
n
S 
，求n 的最小值.
【变式训练12-2】已知
3n
n
a 
，若
1
3
log
,
,
n
n
n
a n
b
a n



为奇数
为偶数
，求数列
nb
的前n 项和
nT
．
【变式训练12-3】已知
n
S 是数列
na
的前n 项和，已知
1
1
a 目


1
2
n
n
nS
n
S


，n

N
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设




2
4
1
4
1
n
n
n
a
b
n
n




N
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【变式训练12-4】在数列
na
中，
1
1
1,
2
n
n
a
a
a



，且
2
3
,
1
a a 分别是等差数列
nb
的第1，3 项.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)记
1
1
6
5
( 1)
4
n
n
n
n
n
c
b b




，求
nc
的前n 项和
nT .
【变式训练12-5】已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，n 为正整数，且



3
4
2
n
n
S
n
a



．
(1)求证数列

1
na 
是等比数列，并求数列
na
的通项公式；
(2)若点
2
1,
3
n
n
b
P a







在函数
4
log
y
x

的图象上，且数列
nc
满足
1
1
6
1
( 1)n
n
n
n
n
c
b b




，求数列
nc
的前n 项
和
nT
．
【变式训练12-6】已知数列
na
的首项
1
1
a ，且满足
1
3 2n
n
n
a
a


，数列
nb
的前n 项和
n
S 满足


2
1
1
4
n
n
S
b


，且
0
nb 
.
(1)求证：

2n
na 
是等比数列；
(2)求数列
nb
的通项公式；
(3)设


1
4
2n
n
n
n
n
n
c
a
b b 


，求数列
nc
的前n 项和
nT .
三 其它求和问题
题型13：放缩求和
数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处
理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.
常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）
一、等差型
（1）




2
1
1
1
1
2
1
1






n
n
n
n
n
n
；
（2）


2
1
1
1
1
1
1





n
n n
n
n
；
（3）
2
2
2
1
4
4
1
1
2
4
4
1
2
1
2
1













n
n
n
n
n
；
（4）






1
1
!
1
1
1
1
1
2
!
!
!
1
1












r
r
n
r
r
n
T
C
r
n
r
n
r
n
r
r r
r
r
；
二、根式型
（5）



1
2
2
2
1
2
1








n
n
n
n
n
n
n
n
；
（7）


1
2
2
2
1
1









n
n
n
n
n
n
n
；
（8）






3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1













n
n
n
n
n
n n
n
n n
n
n n




1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1






























n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n


1
1
2
2
1
1











n
n
n
；
（9）





3
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1











n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n






2
1
2
2
2
1
1








n
n
n
n
n
n
n
；
三、指数型
（10）










1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1 2
1
2
1

















n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n


2

n
；
（11）


1
1
1
1
1
1 1
3
1 2
2
3
1
















n
n
n
n
；
（12）




0
1
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1 1
1













n
n
n
n
n
C
C
C
n n
n
n
；
（13）





1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1 2
1












n
n
n
n
n
n
n
．
（14）
2
1
2
1
1
1
1
2(
)
2(
)












n
n
n
n
n
n
n
n
n
．
【典型例题1】已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
(
1)
(
3)
2
n
n
n
n
S
n
S
a





，
2
n 
，
1
1
a .
(1)求数列
n
S
的通项公式；
(2)若数列
2
1
na





的前n 项和为
nT ，证明：当
2
n 
时
2
1
1
n
n
n
T
n
n




.
【答案】(1)
(
1)
2
n
n n
S


(2)证明见解析
【解析】（1）利用公式
2
n 
时，
1
n
n
n
a
S
S 


，得到关于数列
n
S
的递推关系式，法一，转化为
1
1
1
n
n
S
n
S
n



，
利用累乘法求通项公式，法二，转化为
1
(
1)
(
1)
n
n
S
S
n n
n n




，判断数列(
1)
n
S
n
n






是常数列，即可求通项公式；
（2）首先根据（1）的结果求数列
na
的通项公式，并放缩为
2
2
1
1
1
1
(
1)
(
1)
n
n n
a
n
n n





，利用裂项相消法
求和，即可证明.
（1）根据题意，当
2
n 
时，
1
1
1
(
1)
(
3)
2
(
1)
(
3)
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
S
n
S
a
n
S
n
S
S
S













1
(
1)
(
1)
n
n
n
S
n
S





法一：
1
1
1
n
n
S
n
S
n




∴
1
2
1
1
2
1
1
1
2
3 1
1
2
3
4
1
n
n
n
n
n
S
S
S
n
n
n
n
S
S
S
S
S
n
n
n
n























(
1) (
2)
2
n n
n



当
1
n 时，
1
1
S ，也满足
(
1)
2
n
n n
S


.
法二：
可得
1
(
1)
(
1)
n
n
S
S
n n
n n




，
所以数列(
1)
n
S
n
n






是常数列，
1
1
(
1)
(
1)
2 1
2
2
n
n
S
S
n n
S
n
n







.
（2）
1
1
(
1)
(
1)
2
2
n
n
n
n
n
n n
n
n
S
S
a
S
S
n











，
2
n 
，
首项
1
1
a 满足，所以
na
n

，
所以
2
2
1
1
1
1
(
1)
(
1)
n
n n
a
n
n n





，
设数列
1
1
1
(
1)
1
nb
n n
n
n
=
=
-
+
+ ，
数列
nb
前n 项和为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
1
1
1
n
n
n
n
n












，
分析可得，数列
2
1
na






从第2 项开始放缩成
1
1
1
n
n


，
设数列
1,
1,
1
1 ,
2,
1
n
n
c
n
n
n







数列
nc
前n 项和为
1
1
1
1
1
1
2
1
1 1
2
2
2
3
1
n
n
n
n
n












，
所以
2
1
1
n
n
n
T
n
n




.
【典型例题2】设数列
na
的前n 项之积为
nT ，且满足


*
2
1
N
n
n
T
a
n


．
(1)证明：数列
1
1
na






是等差数列，并求数列
na
的通项公式；
(2)记
2
2
2
1
2
n
n
S
T
T
T



，证明：
1
4
n
S 
．
【答案】(1)证明见解析，
2
1
2
1
n
n
a
n


；
(2)证明见解析
【解析】（1）法一：根据
1
1
,
1
,
2
n
n
n
T n
a
T
n
T 






，得到
1
1
1
n
n
n
a
a
a 


，变形后得到


1
1
1
1
2
1
1
n
n
n
a
a 





，证明出
结论，并求出通项公式；
法二：由题目条件得到


1
2
1
2
n
n
n
T
T
n
T 


，得到
1
nT





以3 为首项，以2 为公差的等差数列，求出
1
2
1
nT
n


，
进而求出
2
1
2
1
n
n
a
n



，并证明出数列
1
1
na







是等差数列；
（2）利用放缩法得到
2
1 1
1
4
1
n
T
n
n








，裂项相消法求和，得到
1
4
n
S 
.
（1）方法一：当
1
n ，得
1
1
3
a 
，
当
2
n 
时，
1
2
2
1
n
n
a a
a
a


①
1
2
1
1
2
1
n
n
a a
a
a




②
两式相除可得：
1
1
1
n
n
n
a
a
a 


即
1
1
1
1
n
n
n
a
a
a




，又


1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a








，
故
1
1
1
1
1
1
n
n
a
a





，
变形为：


1
1
1
1
2
1
1
n
n
n
a
a 





，
因为
1
1
3
1
2
a 

，所以
1
1
na






是以3
2
为首项，1 为公差的等比数列．
所以


1
3
1
1
2
n
n
a 



化简可得
2
1
2
1
n
n
a
n



法二：因为
1
2
n
n
T
a a
a


，


*
2
1
N
n
n
T
a
n


，
所以


1
2
1
2
n
n
n
T
T
n
T 


即


1
1
1
2
2
n
n
n
T
T 



令
1
n ，则
1
1
3
T 
，
1
1
3
T 
所以
1
nT





以3 为首项，以2 为公差的等差数列，
所以
1
2
1
n
n
T 
，即
1
2
1
nT
n


，
所以


1
2
1
2
2
1
n
n
n
T
n
a
n
T
n






．
又因为
1
1
1
3
a
T


满足上式，
所以
2
1
2
1
n
n
a
n


，
所以
1
1
1
2
n
n
a 


，故


*
1
1
1
1
1
1
1
N
1
1
2
2
n
n
n
n
n
a
a










，
故数列
1
1
na







是等差数列．
（2）
1
2
1
3
2
1
1
3
5
2
1
2
1
n
n
n
T
a a
a
n
n














2
2
1
1
1 1
1
4
4
1
4
1
4
1
nT
n
n
n n
n
n














2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
2
2
3
1
4
1
n
n
S
T
T
T
n
n
n











































因为
1
0
1
1
1
n



，
所以
1
4
n
S 
【典型例题3】已知正项数列

na
n

N
中，
3
5
a 
，前n 项和为
n
S ，且______．请从下面两个条件中任选一
个条件填在题目横线上，再作答．
条件：①
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a





；②
1
2
n
n
n a
S


．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设


2
1
1
n
n
b
a


，数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
1
2
nT 
．
【答案】(1)
2
1
na
n


(2)证明见解析
【解析】（1）若选①，通过因式分解化简递推公式，得
na
是公差为2 的等差数列，结合
3
5
a 
可求数列

na
的通项公式；
若选②，
1
n 时，求出
1
1
a ，利用公式
1(
2)
n
n
n
a
S
S
n




，化简后证得数列
na
为等差数列，由条件求出
公差，即可得出数列
na
的通项公式；
（2）利用放缩法及裂项相消求和法证明不等式.
（1）若选①，由
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a





，得(
2
2
1
1
)
(2
2
)
0
n
n
n
n
a
a
a
a






，
即(
1
1
(
)(
2)
0
n
n
n
n
a
a
a
a






，
因为

na
n

N
为正项数列，所
1
2
n
n
a
a


，
∴
na
是公差为2 的等差数列，又
3
5
a 
，
∴
3
(
3) 2
2
1
na
a
n
n





.
若选②，
1
2
n
n
n a
S


，当
2
n 
时，
1
1
(
1)(
1)
2
n
n
n
a
S





，
两式作差得：
1
(
2)
(
1)
1
0
n
n
n
a
n
a 




，则
1
(
1)
1
0
n
n
n
a
na



，
两式作差得：
1
1
(
1)
2(
1)
(
1)
0
n
n
n
n
a
n
a
n
a








，
即
1
1
2
n
n
n
a
a
a




，所以数列{
}
na
为等差数列，
1
n 时，
1
1
1
1
2
2
a
S
a


，可得
1
1,
a 
公差
3
1
2
3 1
a
a
d




，
∴
1
(
1) 2
2
1
na
a
n
n





.
（2）∵


2
2
2
1
1
1
1
1
(
)
1
4
4
1
2 2
1
1
1
2
n
n
b
a
n
n
n
n









，
∴
1
2
1
1
1
1
1
1
(1
)
2
3
3
5
2
1
2
1
n
n
T
b
b
b
n
n















1
1
1
(1
)
2
2
1
2
n




.
【典型例题4】已知数列
na
，满足


1
(
1)
(
1)
n
n
na
n
a
n n
n





N
，且
1
1
a ，数列
nb
满足
3
n
n
nb
a
n


．
(1)求
na
的通项公式；
(2)证明：
2
2
2
2
1
2
3
1
1
1
1
1
3
n
b
b
b
b






．
【答案】(1)
2
na
n

(2)证明见解析
【解析】（1）根据递推关系式变形可构造等差数列，利用等差数列求解；
（2）求出
nb ，放缩后利用裂项相消法求和可证不等式成立.
（1）
1
(
1)
(
1)
n
n
na
n
a
n n





，
1
1
1
n
n
a
a
n
n





，又
1
1
a ，
数列
na
n





是首项为1，公差为1 的等差数列，
1
1
na
n
n
n



，即
2
na
n

.
（2）由（1）知
2
3
3
n
n
nb
a
n
n
n




，
3
1
nb
n


，
2
2
(3
1)
3 (
1)
6
3
1
0
n
n n
n
n







2
2
1
1
1
1 1
1
(3
1)
(3
3)
3
1
nb
n
n
n
n
n













，
2
2
2
2
1
2
3
1
1
1
1
1
)
1
1
1
(1
3
2
2
1
3
1
1
n
b
b
b
n
b
n















1
1
1
1
3
1
3
n










.
【典型例题5】已知数列
na
满足
1
1
1
1
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a a





，且
1
1
a .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
2
n
n
b
a

，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：
4
n
T 
.
【答案】(1)
2
na
n

(2)证明见解析
【解析】（1）对已知等式进行去分母变形，利用累加法，结合等差数列前n 项和公式进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行证明即可.
（1）由题可得
1
2
1
n
n
a
a
n


，则


1
2
1
1
n
n
a
a
n




，…，
2
1
2 1
a
a


，
2
n 
，
将这n 项相加，可得






2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
n
n
n n
a
n
n
n
a
n
n















，
所以
2
na
n

，经检验
1
1
a 成立，所以
2
na
n

.
（2）由题可得，
2
2
nb
n

，当
1
n 时，
1
2
T 
，
又因为当
2
n 
时，


2
2
2
1
1
2
1
1
n
n n
n
n











，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2 1
2
2 1
4
2
2
3
3
4
1
nT
n
n
n


























.
【变式训练13-1】已知正项数列{an}的前n 项和为Sn，且满足an
2=2an Sn−1.
(1)证明：数列{Sn
2}是等差数列；
(2)设数列
的前n 项和为T n，证明：T 100>18
【变式训练13-2】已知数列
na
满足
1
1
1
1
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a a





，且
1
1
a .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
2
n
n
b
a

，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：
4
n
T 
.
【变式训练13-3】已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
(
1)
(
3)
2
n
n
n
n
S
n
S
a





，
2
n 
，
1
1
a .
(1)求数列
n
S
的通项公式；
(2)若数列
2
1
na






的前n 项和为
nT ，证明：当
2
n 
时
2
1
1
n
n
n
T
n
n




.
【变式训练13-4】已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
1
1
2
a 
，


1
1
2
0
2
n
n
n
n
S
S
S S
n






．
(1)判断
1
n
S





是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求
n
S
和
n
a
；
(3)求证：
2
2
2
1
2
1
1
2
4
n
S
S
S
n




．
【变式训练13-5】已知数列
na
满足：
1
2
1
2024
2
,
1,
2024
n
n
n
a
a
a
a
a






.
(1)求
n
a
；
(2)证明：


2
1
1
1
1
16
3
3
1
n
k
ka





.
【变式训练13-6】正数数列
,
n
n
a
b
满足
1
1
8,
16
a
b


，且
1
,
,
n
n
n
a b a 成等差数列，
1
1
,
,
n
n
n
b a
b

成等比数列．
(1)求
,
n
n
a
b
的通项公式；
(2)求证：
1
2
1
1
1
1
1
1
1
3
n
a
a
a






．
【变式训练13-7】正项数列 
na
满足 
1
1
a ，


2
2
*
1
1
2
n
n
a
a
n
n




N
，
(1)求数列 
na
的通项公式；
(2)
2
n 
，
*
nN
时，
①证明：
1
1
1
1
na
n


；
②证明： 
2
3
3
4
1
1
1
1
1
n
n
n
a
a a
a a
a a 






.
题型14：恒（能）成立问题
【典型例题1】数列{an}满足a1+2a2+2
2a3+⋯+2
n−1an= 1
3
(n+1)n(n−1)，若对任意λ>0，所有的正整数
n 都有λ
2−kλ+2>an成立，则实数k 的取值范围是           .
【答案】(−∞,❑√2)
【解析】先由题设求得an，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意λ>0，所有的正整数n 都有
λ
2−kλ+2>an成立转化为k < λ+ 1
2 λ 对任意λ>0恒成立，再利用基本不等式求得λ+ 1
2 λ 的最小值，即可得到
答案.
由a1+2a2+2
2a3+⋯+2
n−1an= 1
3
(n+1)n(n−1)，
当n≥2时，a1+2a2+2
2a3+⋯+2
n−2an−1= 1
3 n(n−1)(n−2)，
两式相减可得：2
n−1an= 1
3 [(n+1)n(n−1)−n(n−1)(n−2)]=n(n−1)，
∴an= n(n−1)
2
n−1
，由a1=0，显然成立，
设an+1−an= (n+1)n
2
n
−n(n−1)
2
n−1
= n
2+n−2n
2+2n
2
n
= −n
2+3n
2
n
，
∴当0<n≤3时，an+1−an>0，当n≥4时，an+1−an<0，
因此，0<n≤3，数列{an}单调递增，当n≥4时，数列{an}单调递减，
由a3= 3
2，a4= 3
2，故当n=3或n= 4时，数列{an}取最大值，且最大值为3
2，
对任意λ>0，所有的正整数n 都有λ
2−kλ+2>an成立，可得λ
2−kλ+2> 3
2，
因此，kλ< λ
2+ 1
2，即k < λ+ 1
2 λ 对任意λ>0恒成立，
由λ+ 1
2 λ ≥2❑√λ× 1
2 λ = ❑√2，当且仅当λ= 1
2 λ ，即λ = ❑√2时取最小值，则k <(λ+ 1
2 λ)
❑√2
min
，
∴实数k 的取值范围是(−∞,❑√2).
【典型例题2】已知数列{an}中，a1=1，满足an+1=2an+2n−1(n∈N
∗).
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，若不等式λ⋅2
n+ Sn+ 4>0对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围.
解析：(1)an+1+2(n+1)+1=2(an+2n+1)，
所以{an+2n+1}是以a1+2×1+1= 4为首项，公比为2的等比数列，
所以an+2n+1= 4×2
n−1=2
n+1，所以an=2
n+1−2n−1.
(2)Sn=a1+a2+⋯+an=(2
2−3)+(2
3−5)+⋯+[2
n+1−(2n+1)] 
=(2
2+2
3+⋯+2
n+1)−(3+5+7+⋯+2n+1)= 2
2(1−2
n)
1−2
−n(3+2n+1)
2
=2
n+2−n
2−2n−4，
若λ⋅2
n+ Sn+ 4>0对于∀n∈N
∗恒成立，即λ⋅2
n+2
n+2−n
2−2n−4+ 4>0，
可得λ⋅2
n>n
2+2n−2
n+2即λ> n
2+2n
2
n
−4对于任意正整数n恒成立，
所以λ>[
n
2+2n
2
n
−4]max
，令bn= n(n+2)
2
n
−4，则bn+1−bn= 3−n
2
2
n+1 ，
所以b1<b2>b3>b4>…，可得(bn)2 2
2+2×2
2
2
max
，所以λ>−2，
所以λ的取值范围为(−2,+∞)
【变式训练14-1】已知数列
na
满足：
1
1
a ，
1
2
n
n
a
a

.设


2
3
2
n
n
b
n
n
a




，若对于任意的
N
n


，
nb


恒成立，则实数的取值范围为 
【变式训练14-2】已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
2
2
2
n
n
n
S
a
a



.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
,
2 n
n
n
n
a
a
b
T

为数列
nb
的前n 项和.若


3
3
2
n
n
k n
T
S



对任意的
*
nN 恒成立，求k 的取值范围.
【变式训练14-3】已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足

2
1
4
n
n
a
S


，
*
nN .
(1)求证：数列
na
为等差数列，并求出它的通项公式；
(2)若数列

na


的前n 项和为
nT ，


2
2
2
1
n
nT
n




恒成立，求实数的最大值；
题型15：公共项相关求和
【典型例题1】已知等差数列
na
满足
3
4
12
a
a


，
5
7
22
a
a


，数列
nb
满足
1
3
b 
，且
1
2
1
n
n
b
b
n


．
(1)证明：

nb
n

是等比数列，并求数列
na
和
nb
的通项公式：
(2)将数列
na
和
nb
的公共项从小到大排成的数列记为
nc
，求

( 1)n
nc

的前2n 项和
2n
S
．
【答案】(1)证明见解析，
2
1
na
n

，
2n
nb
n


(2)
4
1
2
2
2
2
5
n
n
S
n



【解析】（1）根据等差数列公式确定
2
1
na
n

，计算得到
1
(
1)
2
n
n
b
n
b
n




，得到证明.
（2）确定
2
1
2
1
2
(2
1)
n
n
n
c
b
n






，再根据分组求和法结合等比数列求和公式计算得到答案.
（1）由题可知
3
4
1
2
5
12
a
a
a
d




，
1
5
7
22
2
10
a
d
a
a 



，
所以
1
1
a ，
2

d
，所以
2
1
na
n

．
因为
1
2
1
n
n
b
b
n


，所以


1
(
1)
2
n
n
b
n
b
n




，
因为
1
1
2
0
b 

，所以
0
nb
n


，所以
1
(
1)
2
n
n
b
n
b
n




（常数），
所以

nb
n

是等比数列，
所以
2n
nb
n


，即
2n
nb
n


．
（2）
n
a 为从1开始的奇数，当n 为奇数时，
nb 为奇数，
3
nb 
，
故
2
1
2
1
2
(2
1)
n
n
n
c
b
n






．
2
1
2
3
4
2
1
2
n
n
n
S
c
c
c
c
c
c










1
3
5
7
4
3
4
1
2
2
2
2
2
2
1 3
5
7
(4
3)
(4
1)
n
n
n
n

















2
4
1
1
4
2
2
2
2
2
1
4
5
n
n
n
n








．
【典型例题2】已知数列
na
满足
1
4
a 
，且
1
8
4
n
n
a
a
n




.
(1)求
na
的通项公式；
(2)已知
2n
nb 
，在数列
na
中剔除
na
与
nb
的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列
nc
，求数列

nc
的前192 项和
192
T
．
【答案】(1)
4
na
n
=
(2)79380
【解析】（1）根据题意分析可得
2
8
a 
，
1
1
8
n
n
a
a




，结合等差数列的通项公式分析求解；
（2）根据题意分析可知
na
与
nb
的公共项为4，8，16，
,512

，共8 项，结合等差、等比数列求和公式运
算求解.
（1）当
1
n 时，
2
1
12
a
a


，所以
2
8
a 
；
当
2
n 
时，
1
8
4
n
n
a
a
n




，所以
1
1
8
n
n
a
a




；
当n 为偶数时，
2
8
8
4
2
n
n
a
n




； 
当n 为奇数时，
1
4
8
4
2
n
n
a
n





；
综上所述：
4
na
n
=
.
（2）设
na
的前n 项和为
n
S ，
nb
的前n 项和为
n
H ，
由（1）可知
200
800
a

，
9
9
2
512
b 

，
当
200
n 
时，可知
na
与
nb
的公共项为4，8，16，
,512

，共8 项，
所以数列
nc
的前192 项和






9
192
200
9
2 1 2
200 4
800
2
2
80400 1020
79380
2
1 2
T
S
H




















.
【典型例题3】已知数列
na
是等差数列，且
2
1
a ，数列
nb
满足
1
(
2
n
n
n
b
b
a n




，

*
nN
，且
1
3
1
b
b

.
(1)求数列
nb
的通项公式；
(2)将数列
,
n
n
a
b
的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列
nc
，求数列
nc
的通项公式；
(3)设数列
1
nc





的前n 项和为
nT ，证明：
5
4
nT 
.
【答案】(1)
2
4
4
nb
n
n



(2)


2
2
1
nc
n


(3)证明过程见解析
【解析】（1）首先求得
2
5
na
n


，由累加法即可求解；
（2）不妨设


*
,
N
m
n
a
b
m n


，分


*
2 ,
N
n
k
k


，


*
2
1,
N
n
k
k



两种情况讨论即可求解；
（3）当
1
n 时，结论显然成立，当
2
n 
时，通过放缩法以及裂项即可得证.
（1）由题意可知
2
1
2
b
b
a


，即
2
1
1
b ，故
2
0
b 
，
由
3
2
3
b
b
a


，可得
3
1
a ，
所以数列
na
的公差
2

d
，所以


1
2
2
2
5
na
n
n




，
由
1
1
2
1
2
1
2
,
,
,
n
n
n
n
n
n
b
b
a b
b
a
b
b
a











，
叠加可得



1
2
3
1
1
2
5
2
n
n
n
n
b
b
a
a
a










，
整理可得


2
4
4,
2
nb
n
n
n




，当
1
n 时，满足上式，
所以
2
4
4
nb
n
n



；
（2）不妨设


*
,
N
m
n
a
b
m n


，即


2
2
5
2
m
n



，可得


2
2
5
2
n
m



，
当


*
2 ,
N
n
k
k


时，
2
9
2
4
2
m
k
k



，不合题意，
当


*
2
1,
N
n
k
k



时，


2
*
2
6
7
2
3
7
N
m
k
k
k k






，
所以
2
1
k
b
在数列
na
中均存在公共项，
又因为
1
3
5
7
b
b
b
b



，所以


2
2
1
2
1
n
n
c
b
n




.
（3）当
1
n 时，
1
5
1
4
T 
，结论成立，
当
2
n 
时，




2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
4
1
2
1
nc
n
n
n
n
n














，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
5
1
5
1
1
1
1
4
3
3
5
1
4
4
4
4
nT
n
n
n
n


























，
综上所述，
5
4
nT 
.
【变式训练15-1】已知
*
2
1
1
,
,
2
1
2
n
n
n
a
b
n
n
n





N
，数列
na
与数列
nb
的公共项按从大到小的顺序排
列组成一个新数列
nc
，则数列
nc
的前99 项和为（    ）
A．
1
2
B．
99
199
C．
99
197
D．
198
199
【变式训练15-2】将数列

2
1
n 
与数列

2
1
n 
的公共项从小到大排列得到新数列
na
，则
10
1
1
k
k
a



      .
【变式训练15-3】将数列{
8}
n 
和{2
6}
n 
的公共项从小到大排列得到数列
na
，记
na
的前n 项和为
n
S ．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求使得
n
n
S
a

的n 的最小值．
【变式训练15-4】在数列
na
中，已知
1
1
3,
4
3
1
n
n
a
a
a
n




.
(1)证明数列

n
a
n

是等比数列，并求
na
的通项公式；
(2)设
2
1
nb
n

，若数列
na
与
nb
的公共项为
m
b ，记m 由小到大构成数列
nc
，求
nc
的前n 项和
n
S .
题型16：取整数列求和
【典型例题1】已知
( 2)n
na 
，设
1
2
n
n
b






，求数列

n
n
a b
的前10 项和
10
T .（[ ]
x 表示不超过x 的最大整数）
【答案】3186.
【解析】依题意，
，
则
=2+16+96+512+2560
=3186.
【典型例题2】已知
2
na
n


，
2n
nb 
，设
3
n
n
a
c





，求数列

n
n
b c
的前9 项的和
9S ．（注：
x 表示不超
过x 的最大整数）
【答案】2926
【解析】
2
[
]
[
]
3
3
n
n
a
n
c



，则有
1
2
3
4
5
6
7
9
8
1,
2,
3
c
c
c
c
c
c
c
c
c









，
依题意，
2
3
4
6
7
8
9
9
5
1 2 1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
3 2
3 2
3 2
S 







=2926，
综上，
2
na
n


，
2n
nb 
，
9
2926
S 
 .
【变式训练16-1】已知数列
na
满足


1
1
2
1,
1
n
n
a
n a
a
n





，记
na

为不小于
n
a 的最小整数，
n
n
b
a

，
则数列
nb
的前2023 项和为（    ）
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
【变式训练16-2】已知正项数列
na
的前n 项和记为
n
S ，
1
2
a 
，且满足
1
2
n
n
S
na 

．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
4
1
n
n
b
S

，数列
nb
的前n 项和为
nT ，定义[x]为不超过x 的最大整数，例如

0.1
0

，

3.1
3

．当


1
2
97
n
T
T
T



时，求n 的值．
【变式训练16-3】已知
2
1
na
n

，若
x 表示不超过x 的最大整数，如


1,2
2, 2,1
2







，求
2
2
2
1
2
1
1
1
n
a
a
a










的值.
题型17：数列的自定义问题
【典型例题1】（多选）在数列
na
中，如果
na
的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列

na
为“等积数列”，非零常数为数列
na
的公积.已知数列
na
是等积数列，且
1
1
a ，公积为2，设
1
2
,
n
n
n
S
a
a
a T






1
2
n
a a
a

，则（    ）
A．
2
n
n
a
a

B．
2023
1
a

C．
2023
3069
S

D．
1012
2024
2
T

【答案】ABD
【解析】对于A，由题可知，对任意的n

N ，
1
2
n
n
a a 
，
则对任意的n

N ，
0
na 
，所以，
1
1
2
n
n
n
n
a a
a
a




，故
2
n
n
a
a

，A 对；
对于B，
1
2
2
a a 
，所以
2
2
a 
，由A 可知，
1,
2,
n
n
a
n



为奇数
为偶数，所以
2023
1
a
，B 对；
对于C，



2023
1
3
2023
2
4
2022
1 1012
2 1011
3034
S
a
a
a
a
a
a













，C 错；
对于D，因为
1
2
3
4
2023
2024
2
a a
a a
a
a





，所以


1012
1012
2024
1
2
2
T
a a


，D 对.故选：ABD.
【典型例题2】已知数列
na
满足：
1
1
a ，
2
5
a 
，
2
1
4
4
n
n
n
a
a
a




.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)对于数列
nb
，规定

nb

为数列
nb
的一阶差分数列，其中
1
n
n
n
b
b
b




.如果
nb
的一阶差分数列满足


*
,
,
i
j
b
b
i j
i
j





N
，则称
nb
是“绝对差异数列”.判断数列
na
是否为“绝对差异数列”并给出证
明.
(3)设
12
2
3
1
n
n
a
c
n



，





1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
c
d





，记数列
n
d
的前n 项和为
nT ，若对任意的n

N ，
n
m
T

恒成立，
求m 的取值范围.
【答案】(1)
3
1 2
4
n
n
n
a



(2)证明见解析
(3)
2
[
,
)
9


【解析】（1）根据题意，化简得到
2
1
1
2
2(
2
)
n
n
n
n
a
a
a
a






，得到数列

1
2
n
n
a
a

为等比数列，得到
1
1
2
3 2n
n
n
a
a



，得到
1
1
3
2
2
4
n
n
n
n
a
a



，得到数列
2
n
n
a





为等差数列，进而得到数列（2 ）由（1 ）知
3
1 2
4
n
n
n
a



，求得
1
0
n
n
a
a





，得到

n
a

是递增数列，进而证得数列
na
是“绝对差异数列”；
（3）由（1）求得
12
2
3 2
2
3
1
n
n
n
a
c
n





，得到
1
1
1
( 1)
(
)
2
1
2
1
n
n
n
n
d






，分n 为偶数和n 为奇数，分别
求得
nT ，结合
nT 的单调性，进而求得m 的取值范围.
（1）解：因为
2
1
4
4
n
n
n
a
a
a




，所以
2
1
1
1
2
2
4
2(
2
)
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a









，
因为
1
2
1,
5
a
a


，可得
2
1
3
a
a


，所以
1
2
0
n
n
a
a


，
所以数列

1
2
n
n
a
a

是以3 为首项，公比为2 的等比数列，所以
1
1
2
3 2n
n
n
a
a



，
可得
1
1
1
2
3
2
2
4
n
n
n
n
a
a





，即
1
1
3
2
2
4
n
n
n
n
a
a



，
所以数列2
n
n
a





表示首项为
1
1
1
2
2
a 
，公差为
3
4
d 
的等差数列，
可得
1
3
3
1
(
1)
2
2
4
4
4
n
n
a
n
n






，所以
3
1
3
1
(
) 2
2
4
4
4
n
n
n
n
a
n






.
（2）解：由（1）知
3
1 2
4
n
n
n
a



，
所以
1
1
3
2
3
1
3
5
2
2
2
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
a














，
因为
1
1
3
8
3
5
3
11
2
2
2
0
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a














，
所以数列

n
a

是递增数列，则


*
,
,
i
j
a
a
i j
i
j





N
，
所以数列
na
是“绝对差异数列”.
（3）解：由（1）知，
3
1 2
4
n
n
n
a



，可得
12
2
3 2
2
3
1
n
n
n
a
c
n





，
所以










1
1
1
1
1
(3 2
2)
1
1
( 1)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
d



















，
当n 为偶数时，
2
2
3
3
4
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
T 













1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2 1
2
1
3
2
1
n
n
n
n
n
n


















；
当n 为奇数时，
2
2
3
3
4
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
T 













1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2 1
2
1
3
2
1
n
n
n
n
n
n



















，
当n 为偶数时，
1
1
1
3
2
1
n
n
T




单调递减，
此时
2
n 
时，此时
nT 取得最大值
2
9

，则
2
9
m 
；
当n 为奇数时，
1
1
1
3
2
1
n
n
T




单调递增，此时
1
3
nT 
，所以
1
3
m 
，
综上可得，实数m 的取值范围是
2
[
,
)
9

.
【变式训练17-1】已知数列
na
，对于任意的
*
nN ，都有
2
1
2
n
n
n
a
a
a




，则称数列
na
为“凹数列”．
(1)判断数列
2n
na 
是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列
nb
，首项为4，公差为d ，且
nb
n





为“凹数列”，求d 的取值范围；
(3)证明：数列
nc
为“凹数列”的充要条件是“对于任意的
*
,
,
k m nN ，当k
m
n


时，有
m
k
n
m
c
c
c
c
m
k
n
m





”．
【变式训练17-2】对于任意正整数n，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，
记这个奇数为
n
a ；若n 为奇数，则对3
1
n 不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为
n
a .若
1
na ，则
称正整数n 为“理想数”.
(1)求20 以内的质数“理想数”；
(2)已知
9
m
a
m


.求m 的值；
(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列
nb
，记
nb
的前n 项和为
n
S ，证明：


*
7
N
3
n
S
n


.
一、单选题
1．化简式子1
1×3 +
1
3×5 +
1
5×7 +⋅⋅⋅+
1
2023×2025，得（    ）
A．2022
2025
B．2024
2025
C．1011
2025
D．1012
2025
2．已知数列{an},a1=2,a2=0，且an+2=an+2⋅(−1)
n，则数列{an}的前2024 项之和为（    ）
A．1012
B．2022
C．2024
D．4048
3．去年某地产生的生活垃圾为20 万吨，其中14 万吨垃圾以填埋方式处理，6 万吨垃圾以环保方式处理，预
计每年生活垃圾的总量递增5％，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5 万吨，则从今年起4 年内通
过填埋方式处理的垃圾总量约为（    ）万吨（精确到0.1 万吨）（参考数据：1.05
4≈1.2155，
1.05
5≈1.2763）
A．39.4
B．51.5
C．63.4
D．75
4．德阳某高校为迎接2023 年世界新能源大会，决定选派一批志愿者参与志愿服务，计划首批次先选派1 名志
愿者，然后每批次增加1 人，后因学生报名积极，学校决定改变派遣计划，若将原计划派遣的各批次人数看成
数列{an}，保持数列{an}中各项先后顺序不变的情况下，在ak与ak +1(k =1,2,⋯)之间插入2
k，使它们和原数
列的项依次构成一个新的数列{bn}，若按照新数列{bn}的各项依次派遣学生，则前20 批次共派遣学生的人数为
（    ）
A．2091
B．2101
C．2110
D．2112
5．设首项为1
2的数列{an}的前n 项和为Sn，bn= 3
Sn
，且anbn=−6
bn−1
(n≥2)，则数列{
1
bnbn+1}的前23 项和
为（    ）
A．47
466
B．11
150
C．3
10
D．23
312
6．（已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=n(n∈N ∗)，若bn=an⋅an+1，则{bn}的前2022
项和为（    ）
A．2021
4043
B．2022
4045
C．4042
4043
D．4044
4045
7．数列{an}满足
，数列{bn}的前n项和为Sn，若bn=anan+1，则使不等式
成立的n的最小值为（    ）
A．11
B．12
C．13
D．14
8．设数列{an}满足2an=an+1+an−1（n≥2且n∈N
∗），Sn是数列{an}的前n项和，且5 S7−7 S5=35，
a1=1，则数列{
n（n+1）
4 Sn Sn+1 }的前2024项和为（　　 ）
A．2024
2025
B．2025
2026
C．506
1013
D．2023
4050
9．已知数列{an}满足a1=2,a2=6，且an+2−2an+1+an=2，若
表示不超过x 的最大整数(例如
)，则[
2
2
a1]+[
3
2
a2]+⋯+[
2024
2
a2023 ]=（    ）
A．4048
B．4046
C．2023
D．2024
10．2022 年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96 片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽
的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形P1（图1），并把每一条边三等分，再以中
间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线P2（图2），如此继续下去形成雪花曲
线P3（图3），直到无穷，形成雪花曲线P4, P5,⋅⋅⋅, Pn,⋅⋅⋅．设雪花曲线
的边长为an，边数为bn，周
长为ln，面积为Sn，若a1=1，则（    ）
  
A．b5=192
B．l4= 64
9
C．S3=
❑√3
3
D．b6=3
4l6
二、多选题
1.已知数列{an}的前n 项积为T n，a1=2，T n+1−2=3T n（n∈N
∗），则（    ）
A．T n=3
n−1
B．{an}为递增数列
C．an= 3
n−1
3
n−1−1
D．{T n}的前n 项和为3
n+1
2 −n−3
2
2.公差为d的等差数列{an}满足a2=5,a6+a8=30,则下列结论正确的有（    ）
A．d =1
B．an=2n+1
C．
1
an
2−1
= 1
4(
1
n −
1
n+1)
D．{
1
an
2−1}的前n项和为
n
4 n+1
3.已知数列{an}满足a1=1，an+1=
an
1−2an
(n∈N
∗)，数列{bn}满足bn=anan+1．记数列{bn}的前n项和为Sn，
则下列结论正确的是（    ）
A．
B．数列{
1
an}是等差数列
C．Sn<−1
2
D．Sn≥−1
2
4.已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1=1，an={
an−1+1,n=2k ,
2an−1+1,n=2k +1
(k ∈N
∗).则下列选项正确的为（    ）
A．a6=16
B．数列{a2k −1+3}(k ∈N
∗)是以2 为公比的等比数列
C．对任意的k ∈N
∗，a2k =2
k +1−3
D．
的最小正整数n 的值为15
三、填空题
1.已知公差不为0 的等差数列{an}中，存在m≥2，m∈N
∗，满足a1am=2，
1
a1a2
+
1
a2a3
+⋯+
1
amam−1
=1011，则项数m=          .
2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N
∗)，记数列{
an+1
(an+2)(an+1+2)}的前n 项和为T n．若对于任
意n∈N
∗，不等式k >T n恒成立，则实数k 的取值范围为          ．
3.数列{an}的通项公式为an=n
2sin (2n−1)π
2
，前n项和为Sn，则S99=      ．
4.设数列{an}满足5a1+5
2a2+5
3a3+⋯5
nan=n，若bn=
1
4 log25an⋅log25an+1
，则{bn}的前99 项和为  
 
.
5.已知数列{an}满足：a1+ a2
2 + a3
3 +⋯+ an−1
n−1 + an
n =n，设数列{
1
(n+2)an}的前n项和为T n，若对于任意的
n∈N
∗，不等式T n< λ
2−λ恒成立，则实数λ的取值范围为          .
6.将数据2
0，2
1，2
2，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个2
n−1，第二行两个2
n−2，⋯，最下面一行有n个
2
0，n∈N
∗）则数阵中所有数据的和为        .
  
四、解答题
1.已知数列{an}的前n 项和为Sn,Sn=n
2+n，其中
．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{
1
anan+1}的前n 项和H n．
2.已知等差数列{an}满足a1=−5,a4=1，等比数列{bn}满足b1=a5,b2=9.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}满足cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和T n.
3.已知正项等比数列{an}的方前n项和为Sn，且a1=2,S3=14 ,n∈N
∗.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=
1
(log2an+1)⋅(log2an+1+1)，数列{bn}的前n项和T n，求证T n≥1
6
.
4.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn= n(1+an)
2
，且数列{an}中的第2 项、第5 项、第14 项依次组成某等比数
列的连续3 项（公比不等于1）．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn= (−1)
n+1n
anan+1
，且数列{bn}的前n项和为T n，求T n的最大值与最小值．
5.设等差数列{an}的前n 项和为Sn(n∈N
∗)，且满足
(1)求{an}的通项公式；
(2)记
，求数列{bn}的前n 项和T n.
6.已知数列{an}是递增的等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1=3，a1−1、a2−1、a3+1成等比数列，
b1=1，a5−2b2=a3，
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式
(2)若cn=bn+ log❑2
an
an+1
，求数列{cn}的前n 项和Sn．
7.已知数列{an}满足an
an+2 = 1
2 an+1(n∈N
∗)，a1=1.
(1)证明：数列{
1
an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若记为bn满足不等式(
1
2)
n
<ak ≤(
1
2)
n−1
(n∈N
∗)的正整数k 的个数，求数列{
bn
an}的前n 项和为Sn，求关
于n 的不等式Sn<4032的最大正整数解.
8.已知各项均为正数的数列{bn}的前n 项和为Sn,b1=1，且(Sn+1+1)bn=(Sn+1)bn+1对一切n∈N
∗都成立.
若{an}是公差为2 的等差数列，a2−2b2=b3−a3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)求数列cn=(−1)
nan+bn的前2n项和
.
9.已知数列{an}满足a1=1，且对任意正整数m，n 都有am+n=an+am+2mn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{(−1)
nan}的前n 项和Sn，若存在正整数k，使得
，求k 的值;
(3)设bn= 1
2 ln(1+ 1
an
+ 1
an+1)，T n是数列{bn}的前n 项和，求证:
.
10.设Sn为数列{an}的前n 项和，已知a2=1,2Sn=nan．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{
an+1
2
n }的前n 项和T n．
11.已知{an}为等差数列，bn={
an−6,n 为奇数
2an,n 为偶数，记Sn，T n分别为数列{an}，{bn}的前n 项和，S4=32，
．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n>5时，T n>Sn．
12.设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=a2−b2=a3−b3=1．
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)设{an}的前n 项和为Sn，求证：(Sn+1+an+1)bn= Sn+1bn+1−Snbn；
(3)求∑
k =1
2n
[ak +1−(−1)
k ak]bk．
13.记Sn为数列{an}的前n 项和，已知a1=1,{
Sn
an}是公差为
的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
<2．
14.已知{an}是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64．{bn}是公比大于0 的等比数列，b1= 4 ,b3−b2= 48．
（I）求{an}和{bn}的通项公式；
（II）记cn=b2n+ 1
bn
,n∈N
∗，
（i）证明{cn
2−c2n}是等比数列；
（ii）证明∑
k =1
n
❑√
ak ak +1
ck
2−c2k
<2❑√2(n∈N
∗)
15.设{an}是首项为1 的等比数列，数列{bn}满足bn= nan
3
．已知a1，3a2，9a3成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）记Sn和T n分别为{an}和{bn}的前n 项和．证明：T n< Sn
2
．
16.设数列{an}满足a1=3，an+1=3an−4 n．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n 项和Sn．
17.设{an}是等差数列，{bn}是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足c1=1,cn={
1,2
k<n<2
k +1,
bk ,n=2
k ,
其中
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）求
.
18.已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4−a3=2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等?
(3)在（2）的条件下，设cn=5an−bn，数列{cn}的前n项和为Sn.求：当n为何值时，Sn的值最大?
19.已知数列{an}的首项为1，设f (n)=a1Cn
1+a2Cn
2+⋯+akCn
k +⋯+anCn
n，n∈N
∗．
(1)若{an}为常数列，求f (8)的值；
(2)若{an}为公比为2 的等比数列，求f (n)的解析式；
(3)数列{an}能否成等差数列，使得f (n)−1=2
n⋅(n−1)对一切n∈N
∗都成立？若能，求出数列{an}的通项公
式，若不能，试说明理由．
20.已知函数f (x)=
3
9
x+3
．
(1)求证：函数f (x)的图象关于点(
1
2 , 1
2)对称；
(2)求S = f (−2022)+ f (−2021)+⋯+ f (0)+⋯+ f (2022)+ f (2023)的值．
21.已知正项数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=3
n−2.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)在b1和
之间插入1 个数c11，使
，c11，
成等差数列；在
和b3之间插入2 个数c21，c22，使
，
c21，c22，b3成等差数列；⋯；在bn和bn+1之间插入n个数
，
，⋯，cnn，使bn，
，
，⋯，cnn，
bn+1成等差数列.求
的值.
22.记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知a2=5，S6=12．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=
1
anan+1
，求数列{bn}的前n 项和T n．
23.在等差数列{an}中，Sn是数列{an}的前n 项和，已知a2= 4，S4=20．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=(−1)
n⋅an，求数列{bn}的前n 项和T n．
24.已知数列{an}满足a1=1，且an+1={
3an,n 为正奇数
2
3 an,n 为正偶数，
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=an+an+1，求{bn}的前2n 项和
．
25.正项数列{an}满足a4=2，且an+1
2
=an
2+1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{
1
an+an+1}的前n项和Sn.
26.数列{an}中，a1=1，且对任意正整数m，数列a2m−1，a2m，
是公差为2m的等差数列.
(1)依次求a2，a3，a4，a5的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)记bn= (n+1)
2
an+1−1
（n 为正整数），求数列{bn}的前n 项和Sn.
27.已知等差数列{an}，其前n项和Sn满足
为常数.
(1)求m及{an}的通项公式；
(2)记数列bn= an+2
Sn Sn+1
 ，求{bn}前n项和的T n.
28.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn= 4 an−4(n∈N
∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=
an
(an−1)(an+1−1)
，T n是数列{bn}的前n项和，若对任意的n∈N
∗，不等式T n>1−
k
n+1都成立，
求实数k的取值范围．
29.在数列{an}中，
且∀n∈N
∗,an+1=3an+2×3
n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn= an+3
n
anan+1
，若{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn< 1
4
.
30.记Sn为数列{an}的前n项和，且a1=3，Sn=nan−n
2+n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(−1)
n+1⋅an+an+1
an⋅an+1
，求数列{bn}的前n项和T n．
31.已知数列{an}的前n 项和Sn=n
2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足：bn= (−1)
n
anan+2
(n∈N
∗)，求数列{bn}的前2n 项和
.
32.已知数列{an}满足：a1=1，an=2an−1+1(n≥2).
(1)证明：{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)令bn= (−1)
n(3n+2)
n(n+1)(an+1+1)
，求{bn}的前n 项和Sn.