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专题2.2 函数的单调性与最值
一、核心知识：
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义:设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值
x1, x2，当x1<x2 时，都有f ( x1)<f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数；当x1<x2
时，都有f ( x1)>f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。单调性的图形趋势（从左往
右）
上升趋势 下降趋势
（2）函数的单调区间:若函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有
(严格的)单调性，区间D 叫做y＝f(x)的单调区间．
（3）函数单调性的性质：若函数f ( x)与g( x)在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
①
与
（C 为常数）具有相同的单调性；
②
与
的单调性相反；
③当
时，
与
单调性相同；当
时，
与
单调性相反；
④若
≥0，则
与
具有相同的单调性；
⑤若f ( x)恒为正值或恒为负值，则：
当a>0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相反的单调性；当a<0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相同的单调性.
⑥
与
的和与差的单调性（相同区间上）:↗+ ↗=↗;↘+ ↘=↘;↗﹣↘=↗;↘﹣↗=↘.
（4）复合函数的单调性：
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或
(g(b)，g(a))上是单调函数，则若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)
与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
2.函数的最值
一般地，设函数
的定义域为D，如果存在实数M 满足
①
，都有
；②
，使得
，则M 是函数
的最大值；
②
，都有
；②
，使得
，则M 是函数
的最小值.
3.不等恒成立问题转化方法
（1）对于一次函数f ( x)=kx +b, x∈[m,n]，则：
如果
；如果
.
（2）设
，x∈R
f (x)>0
x
在∈R 上恒成立
或
；f (x)<0
x
在∈R 上恒成立
或
；
（3）设一元二次函数f ( x)=ax 2+bx +c(a≠0)x∈[α , β ]
当a>0 时，如果f (x)>0
x
在∈[α , β ]上恒成立
⇔¿{−b
2a <α ¿ ¿¿
；
当a>0 时，如果f (x)<0
x
在∈[α , β ]上恒成立⇔¿{f(α)<0¿¿¿
.
当a<0 时，如果f (x)>0
x
在∈[α , β ]上恒成立⇔¿{f(α)>0¿¿¿
；
当a<0 时，如果f (x)<0
x
在∈[α ,β ]上恒成立
⇔¿{−b
2a <α ¿ ¿ ¿
.
4.不等能成立（有解）问题的解法：
（1）若函数
在区间
上存在最小值
或最大值
，则：
不等式
在区间
上有解
；不等式
在区间
上有解
；
不等式
在区间
上有解
；不等式
在区间
上有解
；
（2）若函数
在区间
上不存在最大（小）值，且值域为
，则:
（或
）在区间
上有解
；
（或
）在区间
上有解
；
5.双变量不等恒（能）成立问题的解法：
对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题.
（1）对任意
，总存在
，使得
；
（2）若存在
，对任意
，使得
；
（3）对任意
，任意
，使得
；
（3）若存在
，存在
，使得
.
二、考点聚焦：
考点一：函数单调性判断与应用
经典例题：
1．若函数
在
上是减函数，且
，则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·海南海口·模拟预测）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
和
C．
D．
和
3．（2020·北京·三模）以下函数中在区间
上单调递增的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知定义域为
的函数
，
，
，
，都有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021 年全国II 卷）已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·陕西·二模）已知
是定义域为
上的单调增函数，且对任意
，都有
，
则
的值为（ ）
A．12
B．14
C．
D．18
7．（2022·山东淄博·三模）设
．若
，则
．
8．（2023·河南洛阳·一模）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
是定义在
上的奇函数，对任意
，且
，都有
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·吉林长春·二模）写出一个符合“对
，当
时，
”的
函数
．
强化训练：
1．函数
的单调递增区间为 ．
2．（2020·北京·一模）下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（20-21 高三上·上海浦东新·期中）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）下列函数
中，满足对任意
，有
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）下列函数中满足“对任意
，
，且
，都有
”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·北京延庆·模拟预测）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．定义在
上的函数
满足
，若
，则满足
的解
集是 ．
8．（2026 高三·全国·专题）已知函数
的定义域为R，对任意的
且
，总有
，则
的解集是 ．
9．（2024·湖北武汉·二模）已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·山西·模拟预测）已知
是定义在
上的单调函数，
，则
（ ）
A．114
B．116
C．134
D．136
考点二：函数的单调性求参
经典例题：
1．（2024·山东·二模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3.若
是区间
上的单调函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
4．（2024·广东揭阳·二模）已知函数
在
上不单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2024·全国·模拟预测）若函数
在区间
上不单调，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全国·模拟预测）若函数
在区间
上不单调，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·江苏泰州·模拟预测）已知函数
，对任意的
，
，有
，则实数k 的取值范围是 .
8.（2024·广东佛山·二模）已知
且
，若函数
在
上单调递减，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知函数
，对任意
，都有
成
立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022·江西·二模）已知函数
若
，则
的单调递增区
间为（ ）
A．
B．
C．
D．
强化训练：
1．（2023·山东·模拟预测）若函数
的图像经过点
，且在
上是减函数，则
．
2．若函数
与
在
上都是减函数，则函数
在
上（ ）
A．是增函数
B．是减函数
C．先增后减
D．先减后增
3．（2020·河南·模拟预测）已知函数
是
上的增函数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题）若函数
在
上不单调，则实数a 的取值范围为 .
5．（2020·山东·模拟预测）函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（21-22 高三下·福建福州·阶段）函数
在
上单调递减，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·江西南昌·一模）已知函数
，满足对任意的实数
，都有
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 年全国Ⅰ卷）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（22-23 高三上·江西鹰潭·阶段）已知函数
是
上的减函数，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·甘肃兰州·模拟预测）命题
在
上为增函数，命题
在
单调减函数，则命题q 是命题p 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点三：复合函数的单调性
经典例题：
1．函数
的单调增区间是 ．
2.函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的单调递增区间为 ．
4.（2024·高三·甘肃·开学考）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，
同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作
，是指不超过实数x 的最大整数，例如
，
，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数
，
则当
时，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·广东茂名·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023 年全国Ⅰ卷）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2020 年全国Ⅱ卷）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.若函数
在区间
内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
强化训练：
1．（2021·上海浦东新·三模）函数
的单调递减区间为 .
2.函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2024·高三·浙江绍兴·期末）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江·一模）已知函数
的图象如图所示，则
的解析式最有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·山西·二模）若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·广东湛江·一模）已知函数
，若
在
为增函数，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（2024·全国·模拟预测）已知函数
且
在区间
上单调递减，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（2024·全国·模拟预测）函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四：求函数的最值（值域）
经典例题：
1．函数
的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6
B．1，3
C．1，4
D．1，6
2．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
，
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．5
D．
+4
4．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 高三·全国·专题）（多选）若函数
的定义域为
，最大值、最小值分别为
，
，则实数
的值可能为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．（2025·浙江金华·三模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2023·四川泸州·一模）已知
的值域为
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．2
C．
D．1
强化训练：
1．函数
在区间
上的值域为 ．
2．函数
在区间
的最大值为 .
3．函数
的最小值是 ．
4．函数
的最小值为 ．
5．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 高三·全国·专题）函数
的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．函数
的最小值为 ．
8．（多选）下列函数中，最小值为2 的函数有（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．（2025·湖北·模拟预测）函数
的最小值为 ，此时
.
考点五：不等恒（能）成立问题
经典例题：
1．（2024·贵州遵义·模拟预测）
，关于
的一元二次不等式
恒成立，则实数
的取值
范围是 .
2．（2024·陕西西安·模拟预测）当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
3．（2025·山东·二模）已知不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的最小值为
．
4．（2023·广西·模拟预测）若不等式
对
恒成立，则a 的取值范围是 ．
5．（多选）已知不等式
在
上有解，则实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若命题
²
2
2
3
0
x
x
mx
m
R，
为真命题，则m 的取值范围为 .
7．已知函数
2
2
f x
x
x
，若存在
2,4
x
，使得不等式
2
3
f x
a
a
成立，则实数a 的取值范围为
.
8．已知函数
，
.若“
，
，使得
成立”为真
命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
，
，若“
，
，使得
成立”为真
命题，则实数
的取值范围是 .
10．（2025 高三·全国·专题）已知函数
，
，若对任意的
，总
存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
强化训练：
1．（24-25 高三上·山东·阶段）已知不等式
的解集为空集，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·江苏连云港·模拟预测）（多选）若对于任意实数x，不等式
恒成立，
则实数a 可能是（ ）
A．
B．0
C．
D．1
3．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的
恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高三下·黑龙江哈尔滨·开学考）对任意的
，不等式
都成立，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·四川成都·二模）若函数
对
恒成立，则
的取值范围是
.
6．（2022·湖北武汉·三模）若
，使
成立，则实数
的取值范围是 ．
7．（22-23 高三上·河北·阶段）若关于
的不等式
在区间
内有解，则实数
的取值范
围是 .
8．关于x 的不等式
2
2
1
0
ax
x
在
0,2
上有解，则实数a 的取值范围是 .
9．已知
，若
，对
均有
成立，则实数m 的取值范围
为 .
10．已知函数
．若“
，使得
成立”为真命
题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、达标检测：
《函数的单调性与最值》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．已知
过点
，则
在区间
内的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，
的最小值为，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
是实数集
上的减函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设
，则“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，
同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作
，是指不超过实数x 的最大整数，例如
，
，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数
，
则当
时，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
是定义在
上的增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
．若“
，使得
成立”为真命
题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．若函数
的定义域为
，最大值、最小值分别为
，
，则实数
的值可能为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．若函数
在
上不单调，则实数
的值可以是（ ）
A．-6
B．-4
C．0
D．4
11．已知不等式
在
上有解，则实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．若函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为 ．
13．已知
，当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
14．已知函数
，若
且
，则
的取值范围是 ．
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
答案:
