文档文本内容
第02 讲 函数的单调性与最大（小）值
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................5
高频考点一：函数的单调性..................................................................................................5
角度1：求函数的单调区间.............................................................................................5
角度2：根据函数的单调性求参数..................................................................................7
角度3：复合函数的单调性.............................................................................................9
角度4：根据函数单调性解不等式................................................................................11
高频考点二：函数的最大（小）值.....................................................................................13
角度1：利用函数单调性求最值...................................................................................13
角度2：根据函数最值求参数.......................................................................................15
角度3：不等式恒成立问题...........................................................................................17
角度4：不等式有解问题...............................................................................................20
第四部分：典型易错题型...........................................................................................................24
第一部分：基础知识
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数
的定义域为
，如果对于定义域
内某个区间
上的任意两个自变量的值
，
；
①当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是增函数
②当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是减函数
（2）单调性简图：
（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数
在区间
上是增函数或减函数，则称函数
在这一区间上具有（严格的）单调
性，区间
叫做函数
的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数
和
，如果当
时，
，且
在区间
上和
在区间
上同时具有单调性，则复合函数
在区间
上具有单调性，并且具
有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足
①对于任意的
，都有
；
②存在
，使得
则
为最大值
（2）设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足
①对于任意的
，都有
；
②存在
，使得
则
为最小值
3、常用高频结论
（1）设
，
.
①若有
或
，则
在闭区间
上是增函数；
②若有
或
，则
在闭区间
上是减函数.此为函数
单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设
，两个函数
，
在区间
上的单调性如下表，则
在
上的单
调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减
（3）对钩函数单调性：
（
，
）的单调性：在
和
上单调
递增，在
和
上单调递减．
（4）常见对钩函数：
（
），的单调性：在
和
上单调递增，在
和
上单调递减．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.
【详解】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小关系，结合符号
分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析
的符号，进而可得
的符号，即可得
，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求
、
的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨
论，结合符号性分析判断.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（25-26 高一上·全国·课后作业）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】求函数的单调区间
【详解】作出函数
的图象，如图所示．由图象得
的单调递增区间为
和
．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
，
【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.
【详解】令
，解得
且
，
所以
的定义域为
，
又
是一个复合函数，它由
与
复合而成．
由下表可知，
的单调递增区间为
，
．
单调递减
单调递减
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
单调递减
单调递减
故答案为：
，
精练高频考点
1．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
,
【知识点】分段函数的性质及应用、求函数的单调区间、画出具体函数图象
【分析】利用分段函数思想，来作出图象，即可得单调增区间.
【详解】
，
画出函数图象，如图所示，
根据图象知，函数的单调递增区间为
和
．
故答案为：
，
．
2．（2025 高一·全国·专题练习）画出函数
的图象，根据图象写出函数
的单调减区
间 .
【答案】
【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象、根据图像判断函数单调性
【分析】作出函数
的图象，结合图形即可求解.
【详解】
，
作出函数
的图象，如图所示，
由图象可知函数的单调递减区间是
.
故答案为：
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2025·江西·二模）若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数
在区间
上单调递增，且
单调递增，
可得
在区间
上单调递增，所以
.
故选:D.
例题2．（2025·山东济宁·二模）若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性
【分析】
是由
与
复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调
性确定内层函数单调性，进而求出
的取值范围.
【详解】
是由
与
复合而成，
在
中，
，，所以
在
上单调递减.
因为
在
上单调递减，且外层函数
在
上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数
在
上单调递增.
对于二次函数
，其图象开口向上，对称轴为
.
二次函数在对称轴右侧单调递增，要使
在
上单调递增，
则对称轴需满足
，解得
.
故选：A.
精练高频考点
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数
在
上为增函数，
在
上为减函数，在
上为增函
数，
且函数
在
上单调，
根据复合函数的单调性，可得
，即
，
所以
的取值范围是
.
故选：A.
2．（2025·河北保定·二模）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】根据指数函数
的单调性可知
.对
的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函
数的单调性即可求解.
【详解】当
时，根据指数函数
在
上单调递增，可知
.
当
时，
，所以
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上不单调；
当
时，
，所以
，
在
上单调递减.
综上，
.
故选：C.
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性
【详解】
有意义，则
，解得
．设
，其图象开口向下，对称
轴为直线
，当
时，
单调递增，当
时，
单调递减．又
在定义域内
单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当
单调递增时，
单调递增．
例题2．（24-25 高三下·湖北·阶段练习）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、由指数（型）的单调性求参数、复合函数的单调性
【分析】根据复合函数的单调性有
在
上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围.
【详解】由题设，函数
在
上单调递增，
易知
在
上单调递减，
当
时，
满足题设，
当
时，
或
，
综上，
.
故选：B.
方法总结：复合函数单调性遵循：同调增；异调减（同增异减）。
具体的若函数
在
内单调，
在
内单调，且集合
.
(1)若
是增函数，
是增(减)函数，则
是增(减)函数
(2)若
是减函数，
是增(减)函数，则
是减(增)函数
精练高频考点
1．（2025·广东茂名·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性、具体函数的定义域
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由
，可得
或
，
即函数
的定义域为
，
又因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，
由复合函数的单调性可知
在区间
上单调递增，
.
故选：D.
2．（2024 高三·全国·专题练习）函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
和
D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【分析】求出原函数的定义域，利用复合函数法可得出原函数的单调递增区间.
【详解】由
可得
且
，
所以，函数
的定义域为
，
因为
开口向下，其对称轴为
，
所以
的减区间为
和
，
因为函数
在
、
上均为减函数，
所以，函数
的单调增区间为
和
．
故选：C.
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
在定义域
上是减函数，且
，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【详解】由
解得
．
友情提醒：本题最容易忽视的就是定义域
，解题时很容易得到
而忽
略了定义域而造成错解，一轮复习时要特别引起注意，定义域是最容易被忽视
的错解原因之一。
例题2．（24-25 高三下·河北承德·开学考试）已知定义域为
的偶函数
满足：对任意
，
，都有
成立，则满足
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据题意得到函数的单调性，再结合偶函数化简不等式求解即可.
【详解】由对任意
，都有
成立，
得
在
上单调递增，
又
为偶函数，则不等式
等价于
，
所以
，解得
，
即满足题意的x 取值范围为：
故选：C.
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
是定义在区间
上的增函数，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【详解】由题意，得
解得
①．因为
是定义在区间
上的增函数，且
，所以
，解得
②．综合①②得
．所以
的取值范围是
．
2．（2026 高三·全国·专题练习）函数
在
上单调递增，且为奇函数，若
，则满足
的x 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】由函数的单调性及奇偶性即可求解.
【详解】因为
是奇函数，
故
．
又
是增函数，
，.
所以
，
则
，解得
．
故答案为：
3．（24-25 高三上·上海·期中）已知定义域为
的偶函数
在
上为严格减函数，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到
，即可求解.
【详解】因为
是定义域为
的偶函数，且在
上为严格减函数，
由
，得到
，整理得到
，解得
，
故答案为：
.
方法总结：对于
在
上是偶函数，且在
单调递减，则
；特别提醒不能忽略定义域；另外偶函数问题对变量加
绝对值来比较大小
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6
B．1，3
C．1，4
D．1，6
【答案】C
【知识点】利用函数单调性求最值或值域
【详解】函数
在区间
上单调递减，把6，3 分别代入得
．
例题2．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的最小值是 ．
【答案】
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、具体函数的定义域
【详解】由
得
的定义域为
．又函数
在区间
上单调递增，函数
在区间
上单调递增，所以函数
在区间
上单调递增．所以当
时，
．
方法总结：函数单调性常涉及：
①图象法
②复合函数（同增异减）
③相加法：设
，两个函数
，
在区间
上的单调性如下表，则
在
上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减
精练高频考点
1．（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）已知
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【知识点】利用函数单调性求最值或值域
【分析】利用换元法，令
，可将原函数转化为
，再根据对勾函数的单调
性，即可求出结果.
【详解】令
，所以
;
所以
转化为
；
即
又函数
在
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以当
时，
取到最小值为；
即当
时，
取到最小值，最小值为.
故选：D.
2．（2025·广东肇庆·二模）已知函数
，则
的最小值是 .
【答案】
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值
【分析】分别求出函数
在各段上的最小值，再比较即可求出．
【详解】当
时，
单调递减，所以
.
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调增，
所以
.
综上所述，
的最小值是
.
故答案为：
.
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024 高三·全国·专题练习）设函数
且
在
上的最大值和最
小值之和为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【知识点】由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、根据
函数的最值求参数
【分析】结合函数
与
的单调性可知
在
单调递增或单调递减，从而可得函
数
在
上的最值分别为
，代入可求
的值.
【详解】由换底公式可得
，
又
与
在区间
上具有相同的单调性，
故
在
上单调递增或单调递减，
在
上的最值分别为
，
故
，由题意
，解得
.
故选：B
例题2．（23-24 高三上·广西南宁·期中）函数
在
上的值域为
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据函数的最值求参数
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.
【详解】二次函数
图象的对称轴为：
，在
上的值域为
，
，
，由图可知
.
故选：A.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·青海·阶段练习）已知函数
在区间
上的最大值为5，则
.
【答案】3
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数的最值求参数
【分析】化简函数，根据函数的解析式判断函数的单调性，再根据最值，即可求解.
【详解】因为
在区间
上是减函数，所以
，解得
.
故答案为：3
2．（23-24 高三上·全国·课后作业）已知函数
.
(1)若函数在区间
上y 随x 增大而增大，求实数a 的取值范围；
(2)若函数在区间
上的最大值为1，求实数a 的值.
【答案】(1)
(2)
或
【知识点】根据函数的最值求参数、根据函数的单调性求参数值
【分析】（1）根据函数的单调性可得对称轴满足的条件，故可得参数的取值范围；
（2）就
，
及
分类讨论后可得实数
的值.
【详解】（1）由题设可得函数在
上为增函数，而二次函数的对称轴为
，
故
即
.
（2）二次函数的对称轴为
，
当
即
时，函数在
上为减函数，故最大值为
即
，符合；
当
即
时，函数在
上递增，在
上递减，
故最大值为
，
故
，解得
或
，因
，故两解均舍；
当
即
时，此时函数在
为增函数，
故最大值为
即
，
综上，
或
.
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
，当
时，
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数不等式恒成立问题
【分析】分
三种情况
恒成立化简，再结合参数分离应用基本不等式计算求参.
【详解】函数
，当
时，
，
当
时，
，符合题意；
当
时，函数
，不符合题意；
当
时，函数
恒成立，所以
恒成立，
因为
，所以
恒成立，
所以
恒成立，即得
，
当
时，
恒成立，
当
时，
恒成立，
令
，
恒成立，
因为
，当且仅当
时取最小值4，
所以
，符合题意；
则
的取值范围是
.
故选：C.
例题2．（上海市2024-2025 学年高三下学期5 月调研数学试卷）设
，
.已知函数
的定义域为
，且
．
(1)若函数
是偶函数，求
的值；
(2)设
，若对任意的
，均有
，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
.
(2)
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）方法一：首先根据函数是偶函数，求出
的值，然后根据定义域两个端点的偶函数性质求出
的值；
方法二：首先根据函数是偶函数，求出
的值，然后根据
求出
的值.
（2）首先根据定义域求出
的范围，然后通过讨论不同
的范围下，利用函数的单调性和最大最小值，求
出满足不等式
成立的
的范围，即是最终要求的答案.
【详解】（1）方法一：由函数
是偶函数，
，可知
，解得
，
同时
，则
，解得
，
此时
，对任意
，显然有
.
综上所述：
，
.
方法二：由函数
是偶函数，
，可知
，解得
.
且对任意
，有
，即
，
化简得
恒成立，所以
.
综上所述：
，
.
（2）根据
，
，且
，则
或
.
情况1：当
时，对任意
，
，
故要使得
，只需
.
即
，设
，
，
则
，故
是
上的严格增函数，
故只需
，解得
，则
.
情况2：当
时，对任意
，
，
故要使得
，只需
.
即
，设
，
，
由情况1 可知，
是
上的严格增函数，
只需
，即
，与
无交集，舍去.
综上所述，
的取值范围是
.
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，其中a，
．若对任意的
，
不等式
在
上恒成立，则b 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数不等式恒成立问题
【分析】利用变更主元法将问题转化为对任意的
，不等式
恒成立，进而有
不等式
在
上恒成立，参变分离得
，利用对勾函数的单调性求得
，即可得解．
【详解】先将a 看作主元，记关于a 的一次函数
，
则对任意的
，不等式
恒成立．
由于
，故
单调递增，则只要
，
因此不等式
在
上恒成立．
分离变量得不等式
在
上恒成立，
故
，
由对勾函数的单调性知
在
上单调递减，
所以
，所以
，即
．
故答案为：
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知不等式
对满足
的一切实数m 恒成立，则x
的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】设
，原题意化为
对
恒成立，利用二次函数性质列不
等式组，解一元二次不等式组即可．
【详解】设
，
则不等式
对满足
的一切实数m 恒成立
对
恒成立．
当
时，
即
解得
故x 的取值范围是
．
故答案为：
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高三上·广东湛江·阶段练习）已知不等式
在
上有解，则
实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】变换得到
在
上有解，设
，则
，得到
，根据对勾函数
的单调性计算最值得到答案.
【详解】由
，即
，
，
故
在
上有解，
设
，则
，
则
，
因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且当
时，
；当
时，
，
则
的最大值为
，故
.
故选：AB.
例题2．（24-25 高三下·浙江·期中）已知函数
．
(1)当
时，求关于
的不等式
的解；
(2)若对任意的
，存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题、函数不
等式能成立（有解）问题
【分析】（1）利用二次函数的性质及
得到
，解一元二次不等式及指数函数
的单调性求解集；
（2）问题化为
，
上
，应用基本不等式及分类讨论求函数的最值，进
而求参数范围.
【详解】（1）由题设
，则
在
上单调递增，
由
，且
，即
，
所以
，可得
，故
，
所以不等式的解集为
；
（2）由题意，
，
上
，
在
上，
，
当且仅当
时取等号，故
，
在
上，
的开口向上且对称轴为
，
当
时，
在
上单调递增，则
，
此时
，不符合前提；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
此时
，故
；
当
时，
在
上单调递减，则
，
此时
恒成立，即
；
综上，
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·福建南平·期中）已知函数
，若
对
均有
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】求出函数
在
上的最小值，可得出
，再结合恒成立可求得实数
的取值
范围.
【详解】因为
，则该函数在
上为增函数，
当
时，
，
因为
对
均有
，
所以，
，则
，解得
.
故选：D.
2．（24-25 高三上·浙江杭州·期中）已知奇函数
经过
点.
(1)求函数
的解析式；
(2)判断函数
在
上的单调性并用定义进行证明；
(3)若存在
，使得不等式
成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递增；证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式、函
数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）根据
为奇函数求出
的值，根据
的图象经过点
求出
即可求解；
（2）利用单调性的定义判断即可；
（3）由已知得
，根据单调性求出最值即可求解.
【详解】（1）因为
为奇函数，所以
，
即
，所以
，得
，
所以
，
，
因为函数
经过
点，所以
，解得
，
所以
；
（2）
，
，
，
因为
，
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
在
上单调递增；
（3）因为存在
，使得不等式
成立，
则
，
由（2）知，函数
在
上单调递增，且
为奇函数，
所以函数
在
上单调递增，
所以当
时，
；
令
，
，
的图象开口方向向上，对称轴方程为
，
当
时，
，
所以
，解得
或
，所以
；
当
时，
，
所以
，解得
或
，所以
，
综上，
或
，
所以实数m 的取值范围为
.
第四部分：典型易错题型
备注：单调区间容易忽视定义域
1．（24-25 高三上·广东广州·期中）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域、求函数的单调区间、复合函数的单调性
【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果.
【详解】要使函数
有意义，则
，
即
，解得
或
，
函数定义域为
.
令
，则
，
在
上单调递减，
对称轴为
，开口向上，
在
上单调递减，在
上单调递增，
根据复合函数“同增异减”原则，可知
的单调递减区间是
.
故选：D.
2．（24-25 高三上·天津河东·阶段练习）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求函数的单调区间、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性
【分析】利用复合函数单调性的判断直接求解即可.
【详解】由题知，
，
可得函数
的定义域为
，
可分解为
和
，
因为函数
在
上单调递减，
且
在
上单调递减，
在
上单调递增，
综上，函数
的单调递减区间为
.
故选：D
备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较
1．（23-24 高三上·天津南开·期中）函数
是
上的减函数，则
的取值范围是
.
【答案】
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、分段函数的单调性
【分析】由分段函数单调性先分段分析，再在定义域上分析，建立关于
的不等式组求解可得.
【详解】
是
上的减函数，
，解得
，
故
的取值范围是
.
故答案为：
.
备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域
1．（24-25 高三上·福建泉州·阶段练习）已知定义在
上的偶函数
，且当
时，
单
调递减，则关于
的不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】由区间关于0 对称求得
，然后利用偶函数的定义变形不等式，再根据单调性化简后，即可求
解．
【详解】由题意
，
，
是偶函数，则不等式
化为
，
又
在
是单调递减，
所以
，解得
，
故选：D．
2．（24-25 高三上·广东佛山·阶段练习）已知定义在
上的偶函数
在
上单调递增，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据奇偶性与单调性的关系列出不等式求解，注意函数定义域.
【详解】因为已知
为
上的偶函数，且在
上单调递增，
所以不等式
，即
，解得
.
故选：A.
