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专题2.6 函数零点与方程的根
一、核心知识：
1.函数的零点
（1）函数零点的概念：
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0 的实数x 叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系:
方程f(x)＝0 有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2.函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那
么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0
的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，
，且
具有单调性，
则函数
在区间
内只有一个零点.
推论2：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，函数
在区间
内有零点，且函
数
具有单调性，则
3.一元二次函数y=ax 2+bx +c（a≠0）的零点
当a>0 时，一元二次方程ax 2+bx +c=0 的实数根、二次函数y=ax 2+bx +c 的零点之间的关系如下表
所示：
Δ=b2−4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
ax 2+bx +c=0 的
实数根
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
（其中x1<x2）
x1=x2=−b
2a
方程无实数根
y=ax 2+bx +c
的图象
y=ax 2+bx +c
的零点
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
x1=x2=−b
2a
函数无零点
二、考点聚焦：
考点一：函数的零点
经典例题：
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数
的零点是（ ）
A．2
B．
C．-2
D．2 或-1
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
，则函数
的零点为（ ）
A．1
B．0
C．e
D．
3．（2022·陕西西安·一模）函数
的零点为（ ）
A．4
B．4 或5
C．5
D．
或5
4．（20-21 高三上·上海嘉定·期中）函数
的零点为 .
5．（2022·江西景德镇·模拟预测）若
，则函数
的零点为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·全国·二模）已知函数
的图象关于直线
对称，则下面不
是
的零点为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，则函数
的零点为（ ）
A．
B．
，0
C．
D．0
8．（2021·全国·模拟预测）设
，定义符号函数
，则方程
的解是
（ ）
A．1 B．
C．1 或
D．1 或
或
9．（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0 的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数
的零点为1 和
.若函数
的零点是
和
，则函数
的零
点是 .
10．（2020·全国·模拟预测）对任意的实数
，
表示不大于
的最大整数，则函数
的
零点为 .
强化训练：
1．（2021·上海普陀·二模）函数
的零点为 ．
2．（2024·山东青岛·二模）函数
的零点为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
3．（2023·陕西西安·模拟预测）函数
的零点为（ ）
A．
B．2
C．
D．
4．（2023·上海徐汇·一模）函数
的零点是 ．
5．（2023·广西·一模）已知函数
是奇函数，且
，若
是函数
的一个零点，
则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
6．
的零点为 ．
7．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）定义符号函数
，则方程
的解是（ ）
A．2 或
B．3 或
C．2 或3
D．2 或3 或
8．（2023·河南开封·一模）若函数
的一个零点为
，则
．
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数
，则函数
的零点为 .
10．（2022·四川广安·模拟预测）已知数列
为等比数列，若
，
为函数
的两个零
点，则
（ ）
A．10
B．12
C．32
D．33
考点二：函数零点个数与零点和
经典例题：
1．（2021·云南·模拟预测）函数
在
上的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2025·广西·一模）曲线
与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2025·上海·三模）函数
的零点个数为 .
4．（2024 高三·全国·专题）函数
的零点个数为 ．
5．已知函数
，则函数
的零点个数为（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（21-22 高三·云南·阶段）函数
在
上的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数
关于直线
对称，
则函数
的所有零点之和为 ，
的最小值为 .
8．（24-25 高三上·江西鹰潭·期中）已知函数
和
的零点分别为
，则
.
9．（2021·河南·模拟预测）方程
的所有实数根的平方和为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·湖南长沙·一模）定义函数
，则函数
在区间
内的所有的零点之和为 .
强化训练：
1．（2025·山东枣庄·二模）函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（24-25 高三上·山东济南·期末）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2021·全国·模拟预测）函数
在
上的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·江西萍乡·二模）已知函数
，则
的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．2
D．0
5．（2021·福建厦门·二模）已知函数
则函数
的所有零点之和为 .
6．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知函数
的零点为
，函数
的零点为
，
则
．
7．已知函数
在
内恰有两个不同的零点
，则
，
.
8．（2024·河北·模拟预测）函数
在区间
内所有零点的和为（ ）
A．0
B．
C．
D．
9．（2022·四川广安·模拟预测）已知数列
为等比数列，若
，
为函数
的两个零
点，则
（ ）
A．10
B．12
C．32
D．33
10．（23-24 高三上·河北廊坊·期中）（多选）若函数
在
上的零点从小到大排列后构成
等差数列，则的取值可以为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
考点三：由零点个数求参
经典例题：
1．（2024·宁夏银川·三模）函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数
在区间
内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．
3.（2024·全国·模拟预测）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·全国·模拟预测）已知函数
有两个不同的零点，则常数
的取值范围是
.
5.（2024 年全国Ⅱ卷）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
6．（2023·广西北海·一模）已知函数
，将
的图象上所有点的横坐标缩短为
原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，已知
在
上恰有5 个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·河南郑州·郑州一模）已知函数
求使方程
的实数解个数为3 时
取值范围 ．
8．（24-25 高三上·江苏南通·期中）若函数
的图象上存在关于原点对称的点，则实
数
的取值范围是 .
9．（2023·广西梧州·一模）已知函数
，若关于
的方程
有3 个不
同的实数根，则
的取值范围为 ．
10．（2023·全国·模拟预测）已知
，符号
表示不超过x 的最大整数，若函数
有且仅有2 个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
强化训练：
1．（2024·高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数
存在1 个零点位于
内，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）若方程
在区间
上有解，
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2024·全国·模拟预测）若函数
有两个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（21-22 高三上·广东·阶段）设函数
的最小正周期为
，且
在
内恰有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·安徽合肥·二模）已知函数
，若关于
的方程
至少有
两个不同的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·全国·模拟预测）已知函数
，
，若
恰有1 个零点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·全国·模拟预测）若函数
存在2 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数
．若
的零点恰有
个，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2021·全国·模拟预测）已知函数
．若
的零点恰
有
个，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·广西南宁·一模）已知函数
，若函数
，存在
5 个零点，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
三、达标检测：
《函数与方程》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数f(x)＝ax＋b 有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax 的零点为（ ）
A．0 或
B．0
C．
D．0 或
3．已知函数
的零点位于区间
内，则整数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.已知函数
. 若
有零点；
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数
，函数
，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数k 的取
值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
有且仅有3 个零点，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．已知函数
，若函数
有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，若函数
有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．已知函数
，在下列区间中，包含
零点的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．关于函数
，下列描述正确的有（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
的图象关于直线
对称
C．若
则
D．
有且仅有两个零点
11．
是定义在R 上的奇函数，对任意
，均有
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．4 是函数
的一个周期 B．当
时，
C．当
时，
的最大值为
D．函数
在
上有1012 个零点
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．函数
的零点为 .
13．定义函数
，设
，若
含有3 个不同的实数根，则实数
的取值范围是 ．
14．已知函数
，若关于x 的方程
有5 个不同的实
数根，则a 的取值范围为 .
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
答案:
