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７ ０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§２．６ 函数的零点与方程的根
函数的零点 学生用书Ｐ３４ 函数 ｆ ｘ 的周期为 ｇ ｘ 的周期为 且ｆ ｘ 是奇函数．当ｘ
， （ ） ４， （ ） ２， （ ）
{ｘ３ ｘ {ｋ （ ｘ ＋２），０＜ ｘ ≤１，
１．（２０２０天津，９，５分）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ， ｘ ≥０ ． ，若函数ｇ （ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ） ∈（０，２］ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ １－（ ｘ －１） ２ ， ｇ （ ｘ ）＝ １ ｘ 其
－ ， ＜０ － ，１＜ ≤２，
ｋｘ２ ｘ ｋ Ｒ 恰有 个零点 则ｋ的取值范围是 ２
－｜ －２ ｜（ ∈ ） ４ ， （ ） 中ｋ ．若在区间 上 关于ｘ的方程ｆ ｘ ｇ ｘ 有 个不
( ) ( ) ＞０ （０，９］ ， （ ）＝ （ ） ８
１ １ 同的实数根 则ｋ的取值范围是 ．
Ａ． －∞，－ ∪（２ ２，＋∞） Ｂ． －∞，－ ∪（０，２ ２） ，
２ ２ é ö
７． 答案 êê １ ２÷
Ｃ．（－∞，０）∪（０，２ ２） Ｄ．（－∞，０）∪（２ ２，＋∞） ë ， ø
１． 答案 Ｄ ３ ４
{ ｘ ｘ 以下为教师用书专用（１—８）
２ ，０≤ ≤１，
２．（２０１９天津文，８，５分）已知函数ｆ ｘ 若关于 { ｘ ｘ
（ ）＝ １ ｘ ． １．（２０１５天津文，８，５ 分）已知函数ｆ ｘ ２－｜ ｜， ≤２，函
ｘ ， ＞１ （ ）＝ ｘ ２ ｘ
（ －２） ， ＞２，
数ｇ ｘ ｆ ｘ 则函数ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ 的零点个数为
ｘ的方程ｆ ｘ １ ｘ ａ ａ Ｒ 恰有两个互异的实数解 则ａ （ ）＝３－（２－ ）， ＝ （ ）－ （ ）
（ ）＝－ ＋ （ ∈ ） ，
４
（ ）
的取值范围为
（ ）
[ ] ( ] Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
Ａ． ５ ４ ， ９ ４ Ｂ． ５ ４ ， ９ ４ { 答 ｘ 案 Ａ ｘ 由已知条件可得 ｇ （ ｘ ） ＝ ３－ ｆ （２－ ｘ ） ＝
( ] [ ] ｜ －２｜＋１， ≥０，函数ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ 的零点个数即为函数ｙ
５ ９ ５ ９ ｘ２ ｘ ． ＝ （ ）－ （ ） ＝
Ｃ． ， ∪｛１｝ Ｄ． ， ∪｛１｝ ３－ ， ＜０
４ ４ ４ ４ ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ 图象的交点个数 在平面直角坐标系内作出函
２． 答案 Ｄ （ ） ＝ （ ） ，
数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ 的图象如图所示．
３． （２０１９ 浙 江， ９， ４ 分） 设 ａ ｂ Ｒ 函 数 ｆ ｘ ＝ （ ） ＝ （ ）
， ∈ ， （ ） ＝
{ｘ ｘ
， ＜０，
若函数ｙ ｆ ｘ ａｘ ｂ恰有 个
１ ｘ３ １ ａ ｘ２ ａｘ ｘ ． ＝ （ ）－ － ３
－ （ ＋１） ＋ ， ≥０
３ ２
零点 则
， （ ）
ａ ｂ ａ ｂ
Ａ． ＜－１， ＜０ Ｂ． ＜－１， ＞０
ａ ｂ ａ ｂ
Ｃ． ＞－１， ＜０ Ｄ． ＞－１， ＞０
３． 答案 Ｃ
４．（２０１７山东理，１０，５分）已知当ｘ 时 函数ｙ ｍｘ ２
∈［０，１］ ， ＝（ －１）
的图象与ｙ ｘ ｍ的图象有且只有一个交点 则正实数ｍ的
＝ ＋ ， 由图可知函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ 的图象有 个交点 所以函数
取值范围是 ＝ （ ） ＝ （ ） ２ ，
（ ） ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ 的零点个数为 选 ．
＝ （ ）－ （ ） ２， Ａ
Ａ．（０，１］∪［２ ３，＋∞） Ｂ．（０，１］∪［３，＋∞）
２．（２０１４北京文，６，５分）已知函数ｆ ｘ ６ ｘ．在下列区间
Ｃ．（０， ２］∪［２ ３，＋∞） Ｄ．（０， ２］∪［３，＋∞）
（ ）＝ ｘ －ｌｏｇ２
４． 答案 Ｂ 中 包含ｆ ｘ 零点的区间是
， （ ） （ ）
５．（２０１７课标 ，文 １２，理 １１，５ 分）已知函数 ｆ ｘ ｘ２ ｘ
Ⅲ （ ）＝ －２ ＋ Ａ．（０，１） Ｂ．（１，２）
ａ ｘ －１ － ｘ ＋１ 有唯一零点 则ａ
（ｅ ＋ｅ ） ， ＝ （ ） Ｃ．（２，４） Ｄ．（４，＋∞）
答案 Ｃ ｆ ｆ
Ａ．－
１
Ｂ．
１
Ｃ．
１
Ｄ．１
∵ （１）＝ ６－ｌｏｇ２１＝６＞０， （２）＝ ３－ｌｏｇ２２＝２＞０，
２ ３ ２ ｆ ６ ３ 包含ｆ ｘ 零点的区间是
５． 答案 Ｃ （４）＝
４
－ｌｏｇ２４＝
２
－２＜０，∴ （ ） （２，４），
６．（２０２１北京，１５，５分）已知ｆ ｘ ｘ ｋｘ 给出下列四个 故选 ．
（ ）＝ ｜ｌｇ ｜－ －２， Ｃ
结论 ３．（２０１１课标，１０，５分）在下列区间中 函数ｆ ｘ ｘ ｘ 的零
： ， （ ）＝ｅ ＋４ －３
若ｋ 则ｆ ｘ 有两个零点 点所在的区间为
① ＝０， （ ） ； （ ）
ｋ 使得ｆ ｘ 有一个零点 ( ) ( )
②∃ ＜０， （ ） ； １ １
ｋ 使得ｆ ｘ 有三个零点 Ａ． － ，０ Ｂ． ０，
③∃ ＜０， （ ） ； ４ ４
ｋ 使得ｆ ｘ 有三个零点． ( ) ( )
④∃ ＞０， （ ） １ １ １ ３
以上正确结论的序号是 ． Ｃ． ， Ｄ． ，
４ ２ ２ ４
６． 答案 答案 Ｃ 显然ｆ ｘ 为定义域Ｒ上的连续函数．如图作出ｙ
①②④ （ ）
７．（２０１９江苏，１４，５分）设ｆ ｘ ｇ ｘ 是定义在Ｒ上的两个周期 ｘ 与ｙ ｘ的图象 由图象知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 的零点
（ ）， （ ） ＝ｅ ＝３－４ ， （ ）＝ｅ ＋４ －３
第二章 函数 ７ １
( ) ( ) ( )
一定落在区间 ３ 内 又ｆ １ ４ ｆ １ ２ 综上可知 １ ａ ２ ．
０， ， ＝ ｅ－２＜０， ＝ ｅ－１＞ ， ， ≤ ＜
４ ４ ２ ３ ３ ３
．故选 ． 易错警示 （ ） ｆ （ｘ） 在 Ｒ 上单调递减， 需满足
０ Ｃ １
ì ａ
ï ４ －３ ，
ï－ ≥０
í ２ 缺少条件是失分的一个原因；
ï ａ ，
ï０＜ ＜１
î ａ ，
３ ≥１
（ ）由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问
２
题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用
评析 本题考查函数零点的概念及求解方法，考查学生分析
的方法．
问题、解决问题的能力，属中等难度试题．
评析 本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程，利
４． （ ２０１６ 山 东 文， １５， ５ 分） 已 知 函 数 ｆ ｘ
（ ） ＝ 用数形结合思想，将方程解的个数问题转化为两个函数图象
{ ｘ ｘ ｍ
｜ ｜， ≤ ，其中ｍ ．若存在实数 ｂ 使得关于 ｘ 交点个数的问题是求解这类问题的常用方法．
ｘ２ －２ ｍｘ ＋４ ｍ ， ｘ ＞ ｍ ， ＞０ ， {ｘ３ ｘ ａ
的方程 ｆ ｘ ｂ 有三个不同的根 则 ｍ 的取值范围 ６．（２０１５湖南理，１５，５分）已知函数ｆ ｘ ， ≤ ，若存在实数
（ ） ＝ ， （ ）＝ ｘ２ ｘ ａ．
是 ． ， ＞
ｂ 使函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｂ有两个零点 则ａ的取值范围是 ．
答案 ， （ ）＝ （ ）－ ，
（３，＋∞） 答案
解析 ｆ ｘ 的图象如图所示 （－∞，０）∪（１，＋∞）
（ ） ， 解析 当ａ 时 若ｘ ａ 则ｆ ｘ ｘ２ 当ｂ
＜０ ， ∈（ ，＋∞）， （ ）＝ ， ∈（０，
ａ２ 时 函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｂ 有两个零点 分别是 ｘ ｂ ｘ
） ， （ ）＝ （ ）－ ， １＝－ ， ２
ｂ．
＝
当 ａ 时 ｆ ｘ 的图象如图所示
０≤ ≤１ ，（ ） ，
若存在实数ｂ 使得关于ｘ的方程ｆ ｘ ｂ有三个不同的根
， （ ）＝ ，
只需 ｍ ｍ２ ｍ 解之得ｍ 或ｍ 又ｍ 所以ｍ ．
４ － ＜ ， ＞３ ＜０， ＞０， ＞３
方法总结 分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的
个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决．
易知函数ｙ ｆ ｘ ｂ最多有一个零点．
＝ （ ）－
评析 本题考查基本初等函数及分段函数的图象，考查数形
当ａ 时 ｆ ｘ 的图象如图所示
＞１ ， （ ） ，
结合的思想方法，属于难题．
５．（２０１６天津文，１４，５分）已知函数ｆ ｘ
（ ）＝
{ｘ２ ａ ｘ ａ ｘ
＋（４ －３） ＋３ ， ＜０， ａ 且ａ 在Ｒ上单调递减 且关
ｘ ｘ （ ＞０， ≠１） ，
ｌｏｇａ（ ＋１）＋１， ≥０
ｘ
于ｘ的方程 ｆ ｘ 恰有两个不相等的实数解 则ａ的取
｜ （ ）｜＝２－ ，
３
值范围是 ．
[ )
答案 １
３
，
２
３
当ｂ
∈（
ａ２
，
ａ３
］
时
，
函数ｇ
（
ｘ
）＝
ｆ
（
ｘ
）－
ｂ有两个零点
，
分别是ｘ
１＝
ì ａ ３ｂ ｘ ｂ．
ï ４ －３ ， ２＝
ï－ ≥０， 综上 ａ ．
解析 函数ｆ ｘ 在Ｒ上单调递减 í ２ 解得 １ ， ∈（－∞，０）∪（１，＋∞）
∵ （ ） ，∴ ï ａ { ｘ ａ ｘ
ï０＜ ＜１， ３ ７．（２０１５北京理，１４，５分）设函数ｆ ｘ ２ － ， ＜１，
î ａ （ ）＝ ｘ ａ ｘ ａ ｘ ．
３ ≥１， ４（ － ）（ －２ ）， ≥１
ｘ 若ａ 则ｆ ｘ 的最小值为
ａ ３ ．在同一直角坐标系下作出函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ① ＝１， （ ） ；
≤ ≤ ＝｜ （ ）｜ ＝２－ 若ｆ ｘ 恰有 个零点 则实数ａ的取值范围是 ．
４ ３ ② （ ） ２ ，
的图象 如图所示． [ )
， 答案 １
①－１ ② ，１ ∪［２，＋∞）
２
{ ｘ ｘ
解析 当ａ 时 ｆ ｘ ２ －１， ＜１， 其大致图
① ＝１ ， （ ）＝ ｘ ｘ ｘ
４（ －１）（ －２）， ≥１，
象如图所示
：
ｘ
方程 ｆ ｘ 恰有两个不相等的实数解等价于ｙ ｆ ｘ
｜ （ ）｜＝２－ ＝｜ （ ）｜
３
ｘ
的图象与ｙ 的图象恰有两个交点 则需满足 ａ 得ａ
＝２－ ， ３ ＜２， ＜
３
７ ２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
由图可知ｆ ｘ 的最小值为 ． 点个数为 ．
（ ） －１
当ａ 时 显然函数ｆ ｘ 无零点 答案
② ≤０ ， （ ） ； ２
当 ａ 时 易知ｆ ｘ 在 上有一个零点 要使ｆ ｘ 恰 解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｘ２ 函数ｆ ｘ 的零点个
０＜ ＜１ ， （ ） （－∞，１） ， （ ） （ ）＝２ｓｉｎ ｃｏｓ － ＝ｓｉｎ ２ － ， （ ）
有 个零点 则当ｘ 时 ｆ ｘ 有且只有一个零点 结合图象 数可转化为函数ｙ ｘ与ｙ ｘ２ 图象的交点个数 在同一
２ ， ≥１ ， （ ） ， １＝ｓｉｎ２ ２＝ ，
坐标系中画出ｙ ｘ与ｙ ｘ２ 的图象如图所示
可知 ａ 即ａ １ 则 １ ａ １＝ｓｉｎ２ ２＝ ：
，２ ≥１， ≥ ， ≤ ＜１；
２ ２
当ａ 时 ａ 由二次函数的性质可知 当ｘ 时 ｆ ｘ 有
≥１ ，２ ＞１， ， ≥１ ， （ ）
个零点
２ ，
则要使ｆ ｘ 恰有 个零点 则需要ｆ ｘ 在 上无零点
（ ） ２ ， （ ） （－∞，１） ，
则 ａ 即ａ ．
２－ ≤０， ≥２
[ ) 由图可知两函数图象有 个交点 则ｆ ｘ 的零点个数为 ．
综上可知 满足条件的ａ的取值范围是 １ ． ２ ， （ ） ２
， ，１ ∪［２，＋∞）
２
( )
８．（２０１５湖北文，１３，５分）函数ｆ ｘ ｘ ｘ π ｘ２ 的零
（ ）＝２ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ －
２
学生用书Ｐ３５
上的图象是连续不断的一条曲线 ｆ（ａ）·ｆ（ｂ） 则函数
，（ｉｉ）③ ＜０ ，
考点 函数的零点
ｙ ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上存在零点 即存在ｃ ａ ｂ 使得ｆ ｃ 这
＝ （ ） （ ， ） ， ∈（ ， ）， （ ）＝０，
个ｃ也就是方程ｆ ｘ 的根．
１．函数的零点
２．二分法
（ ）＝０
概念 对于函数ｙ ｆ ｘ 把使ｆ ｘ 的实数ｘ叫做函
（１） ： ＝ （ ）， （ ）＝０ 对于在区间 ａ ｂ 上的图象连续不断且ｆ ａ ｆ ｂ 的函
数ｙ ｆ ｘ 的 零点 ． ［ ， ］ （ ）·（ ）＜０
＝ （ ） ① 数ｙ ｆ ｘ 通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二 使
＝ （ ）， ，
（２） 等价关系 ： 方程ｆ （ ｘ ）＝０ 有实数根 ⇔ 函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图象 区间的两个端点逐步逼近 零点 进而得到零点近似值的方法
④ ，
与 ② ｘ 轴有交点 ⇔ 函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 有零点． 叫做 二分法 ．
⑤
零点存在定理 如果函数ｙ ｆ ｘ 满足 在区间 ａ ｂ
（３） ： ＝ （ ） ：（ｉ） ［ ， ］
学生用书Ｐ３５
一、判断函数零点个数或所在区间的方法 解题思路
１．函数零点个数的判断方法 画函数ｆ ｘ 的图象并不容易 但方程ｆ ｘ 可以转化
（１） （ ） ， （ ）＝０
直接求零点 令ｆ ｘ 方程有几个不同解就有几个零点 为 ｘ 或 ｘ 分别求解后 取它们所有的根 注意剔除
（１） ， （ ）＝０， ； ｓｉｎ ＝０ ｃｏｓ ＝１， ， （
利用零点存在定理 函数图象在区间 ａ ｂ 上连续 且 重复的根 ．
（２） ， ［ ， ］ ， ）
ｆ ａ ｆ ｂ 则在此区间内至少有一个零点 先令ｆ ｘ 转化为函数ｙ ｘ与ｙ ｘ
（ ）·（ ）＜０， ； （２） （ ）＝０， １＝ｓｉｎ ２ ２＝｜ｌｎ（ ＋１）｜
数形结合 转化为两个函数图象的交点 交点个数即为 的图象交点问题．
（３） ， ，
原函数零点个数． 解析 由 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
（１） （ ）＝ ２ｓｉｎ －ｓｉｎ ２ ＝２ｓｉｎ －２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝
２．确定函数ｆ ｘ 的零点所在区间的常用方法 ｘ ｘ 得 ｘ 或 ｘ ． ｘ ｋ ｋ Ｚ
（ ） ２ｓｉｎ （１－ｃｏｓ ）＝０， ｓｉｎ ＝０ ｃｏｓ ＝１ ∴ ＝ π， ∈ ，
利用函数的零点存在定理 首先看函数ｙ ｆ ｘ 在区间 又 ｘ ｘ 即零点有 个 故选 ．
（１） ： ＝ （ ） ∵ ∈［０，２π］，∴ ＝０，π，２π， ３ ， Ｂ
ａ ｂ 上的图象是否连续 再看是否有ｆ ａ ｆ ｂ ．若有 则函 ｘ ( )
［ ， ］ ， （ ）·（ ）＜０ ， 令 ２ π ｘ ｘ
数ｙ ｆ ｘ 在区间 ａ ｂ 内必有零点． （２） ４ｃｏｓ ｃｏｓ － －２ｓｉｎ －
＝ （ ） （ ， ） ２ ２
数形结合法 画出函数图象 用特值估算法确定零点所 ｘ
（２） ： ， ｜ｌｎ（ ＋１）｜＝０，
在区间． ( ｘ )
ｘ ２ ｘ
解方程 当函数对应的方程易求解时 可通过解方程判 ∴２ｓｉｎ ２ｃｏｓ －１ ＝｜ｌｎ（ ＋１）｜，
（３） ： ， ２
断方程是否有根落在给定区间上． 即 ｘ ｘ
ｓｉｎ２ ＝｜ｌｎ（ ＋１）｜，
例１ （２０１９课标 文，５，５分）函数ｆ ｘ ｘ ｘ 令ｙ ｘ ｙ ｘ ．
（１） Ⅲ （ ）＝２ｓｉｎ －ｓｉｎ ２ １＝ｓｉｎ２ ， ２＝｜ｌｎ（ ＋１）｜
在 的零点个数为 如图 画出ｙ ｘ ｙ ｘ 的图象 结合图象可得
［０，２π］ （ ） ， １＝ｓｉｎ２ ， ２＝｜ｌｎ（ ＋１）｜ ，
ｙ 与ｙ 有两个交点
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ １ ２ ，
ｘ ( ) 方程有 个根 函数ｆ ｘ 有 个零点．
函数ｆ ｘ ２ π ｘ ｘ ｘ 的零 ∴ ２ ，∴ （ ） ２
（２） （ ）＝４ｃｏｓ ｃｏｓ － －２ｓｉｎ －｜ｌｎ（ ＋１）｜ 答案 Ｂ
２ ２ （１） （２）２
点个数为 ． １－１ （多选题）ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数 且ｆ ｘ
（ ） ， （ ＋４）＝
ｆ ｘ ｆ ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 则有
（ ）＋（２）， ∈（０，２） ， （ ）＝２ －３ ＋１， （ ）
第二章 函数 ７ ３
ｆ ｘ
Ａ． （２）＝０ 思路二 由于 ｘ 对原方程分离参数 得 ａ ４ ＋２ ｘ
ｆ ｘ 是周期为 的函数 ： ２ ＞０， ， ２ ＝ ｘ ＝２ ＋
Ｂ． （ ） ４ ２
ｆ ｘ 在 上有 个零点
Ｃ． （ ） ［－４，４］ １３ ２ 问题转化为直线ｙ ａ与曲线ｙ ｘ ２ 在ｙ轴右边有两个
ｆ ｘ 在 上有 个零点 ｘ， ＝２ ＝２ ＋ ｘ
Ｄ． （ ） ［－４，４］ １２ ２ ２
１－１． 答案 ＡＢＣ 不同的交点．
解析 解法一 令ｔ ｘ 则方程ｔ２ ａｔ 有两个大于
二、利用函数零点求参数的值或范围的方法 ： ＝２ ， －２ ＋２＝０
{ ａ ２ ａ２
函数零点问题主要涉及参数值或范围的求解 求解这类问 （－２ ） －４×２＝４ －８＞０，
， 的不等实根 ｔ ｔ ｔ ｔ ａ
题时 需要充分利用函数与方程思想 将函数问题与方程问题进 １ ，∴ １－１＋ ２－１＝ １＋ ２－２＝２ －２＞０，
， ， ｔ ｔ ｔ ｔ ｔ ｔ ａ
行转化 或借助数形结合思想 转化为函数图象问题 利用图象 （ １－１）（ ２－１）＝ １ ２－（ １＋ ２）＋１＝２－２ ＋１＞０，
， ， ，
的直观性解题．归纳如下 解得 ａ ３ ．
： ２＜ ＜
１．直接法：利用零点构建关于参数的方程或不等式 直接 ２
， 解法二 ｘ 方程 ｘ ａ
求解 ：∵ ２ ＞０， ４ － ·
； ｘ
２．参数分离法：将参数与自变量分离 ， 转化为求函数的最 ２ ｘ ＋１ ＋２＝０ 可化为 ２ ａ ＝ ４ ＋ ｘ ２ ＝２ ｘ ＋ ２ ｘ，
值或值域 ２ ２
３．数 ； 形结合法：对ｆ ｘ 适当变形 将求函数零点问题 画出函数ｆ （ ｘ ）＝ ２ ｘ ＋ ２ ｘ 的简图 ， 如图
（ ）＝ ０ ，
２
转化为两个函数图象的交点问题 利用数形结合法求解．
所示 图象与ｙ轴的交点为 Ａ
，
， （０，３），
例２ （２０２０重庆南开中学第一次质检，１５）若关于ｘ的方程 ( )
ｘ ａ ｘ ＋１ 有两个不等正实根 则实数 ａ 的取值范围是 最低点为 Ｂ １ ，２ ２ ， 故当 ２ ａ ∈
４ － ·２ ＋２＝０ ， ２
．
时 直线ｙ ａ与曲线ｆ ｘ 在ｘ 内有两个不
解题思路 （２ ２，３） ， ( ＝２ ) （ ） ∈（０，＋∞）
同的交点 故ａ ３ ．
思路一 原方程有两个不等正实根 通过 ｘ ｔ换元后 转化 ， ∈ ２，
： ， ２ ＝ ， ２
为关于ｔ的方程ｔ２ ａｔ 有两个大于 的实根 利用根与系 ( )
－２ ＋２＝０ １ ， 答案 ３
数的关系构建关于ａ的不等式组求解． ２，
２
２－１ （２０２０湖北武汉部分学校高三质量监测，７）已知函数
ｘ
ｆ ｘ ｅ ａ．若ｆ ｘ 没有零点 则实数ａ的取值范围是
（ ）＝ ｘ － （ ） ， （ ）
Ａ．［０，ｅ） Ｂ．（０，１） Ｃ．（０，ｅ） Ｄ．［０，１）
２－１． 答案 Ａ
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ３６
函数的零点 ３．（多选题）（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，１２）已知函数ｆ ｘ
（ ）＝
{ ｘ ｘ
１．（２０１９广东汕头达濠华侨中学，东厦中学第二次联考，１２）设函 ２ ＋２，－２≤ ≤１，若关于ｘ的方程ｆ ｘ ｍ恰有两个不同解
ｘ ｘ （ ）＝
数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上周期为 的函数 且对任意的实数ｘ 恒 ｌｎ －１，１＜ ≤ｅ，
（ ） ２ ， ， ｘ ｘ ｘ ｘ 则 ｘ ｘ ｆ ｘ 的取值可能是
有ｆ
（
ｘ
）－
ｆ
（－
ｘ
）＝ ０
．当 ｘ
∈［－１，０］
时
，
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
，
若 ｇ
（
ｘ
）＝
１， ２（ １＜ ２）， （ ２－ １） （ ２） （ ）
ｆ ｘ ｘ在ｘ 上有且仅有三个零点 则ａ的取值 Ａ．－３ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．２
（ ）－ｌｏｇａ ∈（０，＋∞） ， ３． 答案 ＢＣ
范围为
（ ） ４．（２０２１福建三明三模，１５）函数ｆ ｘ ｘ ｘ 零点的一个近
（ ）＝ｌｎ ＋２ －６
Ａ．［３，５］ Ｂ．［４，６］ Ｃ．（３，５） Ｄ．（４，６） 似值为 ． 误差不超过 ． 自然对数的底数 ．
１． 答案 Ｃ （ ０２５， ｅ≈２７２）
４． 答案 ． 可填 ． ． 中的任一实数
２．（２０２０湖南长沙明德中学３月月考，１０）已知定义在Ｒ上的函 ２４５（ （２３６，２５４） ）
５．（２０２１ 湖北九师联盟 ２ 月质量检测，１５）若函数 ｆ ｘ
数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 若关于ｘ （ ）＝
的方
（
程
）
ｆ ｘ
（
ｋ
２－
ｘ
）＝ （２
有
＋
三
），
个不
≤
相
２
等的
，
实
（
数
）
根
＝ ｅ
则
，
实数ｋ的
{ｘ３
－３
ｘ
＋１－
ａ
，
ｘ
＞０，恰有 个零点 则实数 ａ 的取值范围为
取值范围
（
是
）＝ （ －２）＋２ ， ｘ３
＋３
ｘ２
－
ａ
，
ｘ
≤０
３ ，
（ ）
．
Ａ．（－１，０）∪（０，１） Ｂ．（－１，０）∪（１，＋∞） ５． 答案
（－１，０）∪［１，４）
Ｃ．（－ｅ，０）∪（０，ｅ） Ｄ．（－ｅ，０）∪（ｅ，＋∞）
２． 答案 Ａ
７ ４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ３７ ３０分钟 ３５分
一、单项选择题（每小题５分，共１５分） ｆ ｘ 是偶函数
Ａ． （ ）
１．（２０２０ 河北新时代 教育模拟自测）已知函数 ｆ ｘ ｆ ｘ 的最小值为
ＮＴ （ ）＝ Ｂ． （ ） ２
{ ｘ ｘ ( )
｜ｌｎ ｜， ＞０， 若ｆ ｘ ｋｘ有两个不等实根 则实数 ｋ 的取 ｆ ｘ 在区间 π 上单调递减
ｘ２
＋２
ｘ
＋２，
ｘ
≤０，
（ ）＝ ， Ｃ． （ ） －π，－
２
值范围是
ｇ ｘ ｆ ｘ ２ ｘ的零点个数为
（ ） Ｄ． （ ）＝ （ ）－ ５
π
Ａ．２－２ ２＜ ｋ ＜０ 或ｋ ＝ １ Ｂ． ｋ ＜２－２ ２ ４． 答案 ＡＢＤ
ｅ
５．（２０２１山东日照一模，１１）已知函数ｆ ｘ 对于任意ｘ Ｒ 均满
Ｃ．２－２ ２＜ ｋ ＜０ Ｄ． ｋ ＜２－２ ２ 或ｋ ＝ １ （ ） { ｘ ｘ ∈ ，
ｅ 足ｆ ｘ ｆ ｘ ．当 ｘ 时 ｆ ｘ ｌｎ ，０＜ ≤１，若函数
１． 答案 Ｄ （ ）＝ （２－ ） ≤１ ， （ ）＝ ｘ ｘ
ｅ ， ≤０，
２．（２０２０辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟）已知函数ｆ ｘ ｘ 函 ｇ ｘ ｍ ｘ ｆ ｘ 则下列结论正确的为
（ ）＝ ２ ， （ ）＝ ｜ ｜－２－（ ）， （ ）
数ｇ ｘ 与ｐ ｘ ｘ 的图象关于点 对称 若 若ｍ 则ｇ ｘ 恰有两个零点
（ ） （ ）＝１＋ｌｎ（－２－ ） （－１，０） ， Ａ． ＜０， （ ）
ｆ ｘ ｇ ｘ 则ｘ ｘ 的最小值为
（ １）＝ （ ２）， １＋ ２ （ ） 若 ３ ｍ 则ｇ ｘ 有三个零点
Ｂ． ＜ ＜ｅ， （ ）
ｌｎ２－１ １ ２
Ａ．２ Ｂ． Ｃ． ｌｎ２ Ｄ．ｌｎ２
２ ２ 若 ｍ ３ 则ｇ ｘ 恰有四个零点
２． 答案 Ｃ Ｃ． ０＜ ≤ ， （ ）
２
３．（２０１９ 河北衡水中学第二次调研，１２）已知函数 ｆ ｘ 不存在ｍ使得ｇ ｘ 恰有四个零点
（ ）＝ Ｄ． （ ）
{ｘ２
＋４
ｘ
，
ｘ
≤０，ｇ ｘ ｋｘ 若方程ｆ ｘ ｇ ｘ 在ｘ
５． 答案 ＡＢＣ
ｘ ｘ ｘ （ ）＝ －１， （ ）－ （ ）＝ ０ ∈（－２， 三、填空题（每小题５分，共１０分）
ｌｎ ， ＞０，
ｅ ２ ） 上有 ３ 个实根 ， 则ｋ的取值范围为 （ ） ６．（２０２１山东济南十一学校联考，１６）如果两个函数存在零点 分
，
Ａ．（１，２］ 别为α β 且满足 α β ｎ 则称两个函数互为 ｎ 度零点函
( ] ， ， ｜ － ｜＜ ， “
３ 数 ．若ｆ ｘ ｘ ｇ ｘ ａｘ２ ｘ互为 度零点函数
Ｂ． １， ∪｛２｝ ” （ ）＝ｌｎ（ －２）， （ ）＝ －ｌｎ “２ ”，
２ 则实数ａ的取值范围为 ．
( ) ( )
( ]
３ ３
Ｃ． １， ∪ ，２ ６． 答案 １
２ ２ ０，
( ) æ ö ２ｅ
Ｄ． １， ３ ２ ∪è ç ３ ２ ，２＋ ｅ １ ２ ø ÷ ７．（２０２０山东淄博实验中学模拟 ( ，１６） ) 已知函数ｆ （ ｘ ）＝（２－ ａ ）·
３． 答案 Ｂ ｘ ｘ．若函数ｆ ｘ 在 １ 上无零点 则ａ的最小值
（ －１）－２ｌｎ （ ） ０， ，
２
二、多项选择题（每小题５分，共１０分） 为 ．
４．（２０２１湖南衡阳联考（一），１２）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ｅ ｓｉｎ｜ ｘ ｜ ＋ｅ ｜ｓｉｎ ｘ ｜ ， 以 ７． 答案 ２－４ｌｎ２
下结论正确的是
（ ）
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６
１．（２０２１吉林延边期末，４）某同学用二分法求方程 ｘ ｘ {
２ ＋５ －８＝０ ｘ １ ｘ
在ｘ 内近似解的过程中 设ｆ ｘ ｘ ｘ 且计算ｆ 答案 Ｃ 函数ｆ ｘ ＋ ｘ ， ＜０，
∈（１，２） ， （ ）＝ ２ ＋５ －８， ∵ （ ）＝
ｆ ｆ ． 则该同学下次应计算的函数值为 ｘ ｘ
（１）＜０， （２）＞０， （１５）＞０， ｌｎ ， ＞０，
（ ） 由ｆ ｘ 当ｘ 即 ｘ 解得ｘ １ 当ｘ 时 则有ｘ
ｆ ． ｆ ． （ ）＝－３， ＞０， ｌｎ ＝－３， ＝ ３， ＜０ ，
Ａ． （０５） Ｂ． （１１２５） ｅ
ｆ ． ｆ ．
Ｃ． （１２５） Ｄ． （１７５）
答案 Ｃ 根据二分法下次应计算的函数值为ｆ ( １＋１ ． ５ ) ＋ １ ｘ ＝－３， 解得ｘ ＝ －３± ５ ，
＝ ２
２
ｆ ． 故选 ｆ ｆ ｘ 即ｆ ｘ １ 或ｆ ｘ －３± ５
（１２５）， Ｃ． ∵ （ （ ））＋３＝０ （ ）＝ ３ （ ）＝ ，
思路分析 根据函数零点存在性定理，由ｆ（ ）与ｆ（ ． ）的 ｅ ２
１ １ ５
值异号得到函数ｆ（ｘ）在区间（ ， ． ）内有零点，再根据二分法 由ｆ ｘ １ 可得 ｘ １ 此方程只有一个根
１ １５ （ ）＝ ３， ｌｎ ＝ ３， ，
的定义即可求出答案． ｅ ｅ
{
２．（２０２１安徽马鞍山质监，１０）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ＋ １ ｘ ， ｘ ＜０，则方 又ｘ ＜０ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ＋ １ ｘ ≤－２， 故ｆ （ ｘ ）＝ －３＋ ２ ５仅在ｘ ＞０ 时有一
ｘ ｘ ．
ｌｎ ， ＞０ 个根 ｆ ｘ －３－ ５在ｘ 时有两个根 在ｘ 时有一个根
程ｆ ｆ ｘ 的解的个数为 ， （ ）＝ ＜０ ， ＞０ ，
（ （ ））＋３＝０ （ ） ２
第二章 函数 ７ ５
综上 方程ｆ ｆ ｘ 有五个根 故选 ． æｘ ö æｘ ö
， （ （ ））＋３＝０ ， Ｃ ｆç ２ ｘ ÷ ｆç ２÷ ｆ ｘ ｆ ｘ 函数ｆ ｘ 在 上单
３．（２０２１安徽黄山重点高中月考，１２）设Ｄ是函数ｙ ｆ ｘ 定义域 ＝ èｘ · １ ø＝ èｘ ø＋（ １）＜（ １），∴ （ ） （０，＋∞）
＝ （ ） １ １
内的一个区间 若存在ｘ Ｄ 使ｆ ｘ ｘ 则称ｘ 是ｆ ｘ 的 调递减 函数ｆ ｘ 在 上只有一个零点．又ｆ ｘ 为偶函数
， ０∈ ， （ ０）＝－ ０， ０ （ ） ，∴ （ ） （０，＋∞） （ ） ，
一个 次不动点 也称ｆ ｘ 在区间Ｄ上存在 次不动点 ．若函 它在 上单调递增 且函数ｆ ｘ 在 上也只有一个
“ ”， （ ） “ ” ∴ （－∞，０） ， （ ） （－∞，０）
零点．故ｆ ｘ 有 个零点．故选 ．
数ｆ ｘ ａｘ２ ｘ ａ ５ 在区间 上存在 次不动点 则实 （ ） ３ Ｃ
（ ）＝ －３ － ＋ ［１，４］ “ ”， æ ö
２ ６．（２０２１安徽宣城第二次调研，１２）已知关于ｘ的方程ｍçｘ２ １ ÷
数ａ的取值范围是 è ＋ｘ２ ø
（ ）
[ ) ( ] ( )
１ １ ｍ ｘ １ 有三个不同的根 分别为ｘ ｘ ｘ 则ｘ ｘ ｘ
Ａ． ，＋∞ Ｂ． －∞， ＋１＝４ ＋ ｘ ， １， ２， ３， １＋ ２＋ ３＝
２ ２
( )
１ （ ）
Ｃ．（－∞，０） Ｄ． ０， ｍ ｍ
２ Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．３ Ｄ．５
答案 Ｂ 依题意 存在ｘ 使Ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ａｘ２
， ∈［１，４］， （ ）＝ （ ）＋ ＝ － 答案 Ｂ 令ｔ ｘ １ 其中ｔ ．
＝ ＋ ｘ ， ∈（－∞，－２］∪［２，＋∞）
ｘ ａ ５ 当ｘ 时 Ｆ １ 当 ｘ 时 解得 ａ
２ － ＋ ＝０， ＝１ ， （１）＝ ≠０； ≠１ ， ＝
４
ｘ
－５
２
令 ｈ ｘ ４
ｘ
－５
２
ｘ 则 ｈ′ ｘ
则ｘ２
＋ｘ
１
２
＝
ｔ２
－２，
２ － （ （ ２ ｘ ｘ ｘ ２ ２ ２ － ＋ － １ ５ １ ） ｘ ） － ， ２ ２ ， 令ｈ （ ′ （ ｘ ） ） ＝ ＝０ ２ ， （ 得 ｘ２ － ｘ １ ＝ ） ２ ， 或 ∈ ｘ ＝ （ ２ １ １， ( ４ １ ２ ］ ＜ ， １， 舍去 ) （ ， ） ＝ 原 当 当 方 ｍ ｍ 程 ＝０ 可 时 时 转 ， 化 （∗ 为 ） ｍ 无 方 ｔ２ 解 程 － ， ４ 至 则 ｍ 多 ｔ 原 －２ 有 方 ｍ 两 ＋ 程 １ 个 无 ＝ 根 ０ 解 （∗ ， 不 ） 符 ， 合题意 ， 舍去．
≠０ ，（∗） ，
ｈ ｘ ｈ′ ｘ 随ｘ的变化情况如表
（ ）， （ ） ： 若 仅有一个根ｔ 则ｔ ｘ １ 不会有三个根 则原方程不
ｘ
（１，２） ２ （２，４］
（∗） １， １＝ ＋ ｘ ，
ｈ′ （ ｘ ） ＋ ０ － 会有三个根 舍去．
ｈ ｘ 极大值 ，
（ ） ↗ ↘ 故 有两个不等根 且ｔ ｔ 或ｔ 或ｔ ｔ
（∗） ， １＝－２，２＞２ ２＜－２ １＝２， ２＜－２
故ｘ 时 ｈ ｘ 取得极大值 即最大值ｈ １ 则ａ的范围 或ｔ ．
＝２ ， （ ） ， （２）＝ ， ２＞２
２
( ] 当ｔ 时 代入 得ｍ １ 此时ｔ 符合题意
是 １ ．故选 ． １＝－２ ， （∗） ＝－ ， ２＝６＞２ ；
－∞， Ｂ １０
２
４．（２０２１ 安 徽 合 肥 第 一 次 质 监， ８） 设 函 数 ｆ ｘ 当ｔ 时 代入 得ｍ １ 此时ｔ 不符合题意．
（ ） ＝ １＝２ ， （∗） ＝ ， ２＝２
{ ( ) ６
ｘ １ ｘ ( )
ｌｏｇ２ ＋ ２ ， ＞０，当ｘ ∈ －４， １ 时 ， 方程ｆ （ ｘ ＋１）＝ ｋ有 综上 ， ｔ １＝－２， 此时ｘ １＝－１； ｔ ２＝６， 此时ｘ ＋ １ ｘ ＝６， 得ｘ ２＋ ｘ ３＝６， 故
ｘ ｘ ． ２ ｘ ｘ ｘ 选 ．
唯一 － 解 ， 则 ≤ 实 ０ 数ｋ的取值范围为 ７．（ １ ２ ＋ ０２ ２ １ ＋ ３ 甘 ＝５ 肃 ， 顶 Ｂ 级 名 校 联 考， １２） 已 知 函 数 ｆ ｘ
， （ ） （ ） ＝
{ ｘ ｘ
Ａ．（０， ３） Ｂ．［１， ３） Ｃ．（ { ０，２） ( ｘ ３ Ｄ ) ．［１ ｘ ，２） （ １＋ ｘ － ｌｏ １ ｇ ） ａ ２ ｜ ＋ － ５ ２ ａ ， ｜， ｘ ＞ ≤ １ １， （ ａ ＞０， 且ａ ≠１） 在区间 （－∞，＋∞） 上为单
答案 Ｂ 由题意知ｆ （ ｘ ＋１）＝ ｌｏｇ２ ＋ ２ ， ＞－１， 调函数 ， 若函数ｙ ＝｜ ｆ （ ｘ ）｜－ ｘ －２ 有两个不同的零点 ， 则实数ａ
ｘ ｘ 的取值范围是
－（ ＋１）， ≤－１， （ ）
( ) [ ] [ ]
当ｘ １ 时 作出ｆ ｘ 的图象 如图 １ ３ １ ２
∈ －４， ， （ ＋１） ， ， Ａ． ， Ｂ． ，
２ ５ ５ ５ ５
[ ] { } [ ] { }
１ ３ １３ １ ２ １３
Ｃ． ， ∪ Ｄ． ， ∪
５ ５ ２０ ５ ５ ２０
答案 Ｃ 因为函数ｆ ｘ 在区间 上为单调函数
（ ） （－∞，＋∞） ，
且ｆ ｘ 在 上为单调递增函数 所以ｆ ｘ 在 上
（ ） （１，＋∞） ， （ ） （－∞，１］
也为单调递增函数 因为ｙ ｘ 在 上为单调递减函
， ＝｜ －２｜ （－∞，１］
结合图象可知方程ｆ ｘ ｋ有唯一解 则 ｋ ．故选 ． 数 ， 所以 ０＜ ａ ＜１， 且 １＋ｌｏｇａ｜１－２｜≤（１－１） ２ ＋５ ａ ， 即ａ ≥ １ ， 所以
（ ＋１）＝ ， １≤ ＜ ３ Ｂ ５
５．（２０２１江西吉安期末质检，１０）定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足ｆ
（ ） １ ａ ．函数ｙ ｆ ｘ ｘ 有两个不同的零点等价于函数
ｘｙ ｆ ｘ ｆ ｙ 当ｘ 时 ｆ ｘ 则函数ｆ ｘ 零点的个数 ≤ ＜１ ＝｜ （ ）｜－ －２
（ ）＝ （ ）＋（ ）， ＞１ ， （ ）＜０， （ ） ５
为 ｙ ＝｜ ｆ （ ｘ ）｜ 的图象与直线ｙ ＝ ｘ ＋２ 有两个不同的交点 ， 作出函数
（ ）
无数个 ｙ ＝｜ ｆ （ ｘ ）｜ 的图象与直线ｙ ＝ ｘ ＋２， 如图．
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．
答案 Ｃ 令ｘ ｙ 得ｆ ｆ ｆ ｆ ．
＝ ＝０， （０）＝ （０）＋（０），∴ （０）＝０
令ｘ ｙ 得ｆ ｆ ｆ ｆ ．
＝ ＝１， （１）＝ （１）＋（１），∴ （１）＝０
令ｘ ｙ 得ｆ ｆ ｆ ｆ ．
＝ ＝－１， （１）＝ （－１）＋（－１），∴ （－１）＝０
令ｙ 得ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ． ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ 为偶
＝－１， （－ ）＝ （ ）＋（－１） ∴ （－ ）＝ （ ）， （ ）
函数．
ｘ æｘ ö
任取ｘ ｘ 且ｘ ｘ 则 ２ ｆç ２÷ ｆ ｘ
１， ２∈（０，＋∞）， １＜ ２， ｘ ＞１，∴ èｘ ø＜０，∴ （ ２）
１ １
７ ６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
[ ]
由图可知 当 ａ 即 １ ａ ３ 时 符合题意 当 ｈ ｘ １４ 要使ｈ ｘ 与ｙ ａ的图象在 上有交
， １＋２≥５ ， ≤ ≤ ， ； １＋２＜ ∴ （ ）∈ －２， ， （ ） ＝ ［０，４］
５ ５ ５
５ ａ ， 即ａ ＞ ３ 时 ， 直线ｙ ＝ ｘ ＋２ 与抛物线ｙ ＝（ ｘ －１） ２ ＋５ ａ相切也满 点 ， 则 －２≤ ａ ≤ １４ ， 故选 Ｂ ．
５ ５
足 联立 {ｙ ＝ ｘ ＋２， 消去ｙ得ｘ２ ｘ ａ 所以Δ １０．（２ ｘ ０２１ ｋ 北 ．若 京 存 海 在 淀 实 高 数 三 ｘ 模拟 使 试 得 卷 ｆ 一， ｘ ８）已知 ｆ 函 ｘ 数 成 ｆ （ 立 ｘ ）＝ 则 ｘ 实 ３ ＋ 数 ｘ２ － ｋ
， ｙ
＝（
ｘ
－１）
２
＋５
ａ
，
－３ ＋５ －１＝０， ＝９
的
２｜
取
｜
值
－
范围是
０， （－ ０）＝ － （ ０） ，
（ ）
ａ 解得ａ １３ 符合．
－４（５ －１）＝０， ＝ ， Ａ．［－１，＋∞） Ｂ．（－∞，－１］
２０
[ ] { } Ｃ．［０，＋∞） Ｄ．（－∞，０］
综上所述 实数ａ的取值范围是 １ ３ １３ ．故选 ． 答案 Ａ 本题考查函数与方程 考查学生分析问题与解
： ， ∪ Ｃ ，
５ ５ ２０ 决问题的能力 体现了直观想象 逻辑推理 数学运算的核心
８．（２０２１天津七校联考，９）已知函数ｆ ｘ ｇ ｘ 均是周期为 的 ， 、 、
{
（ ）， （ ） ２ 素养 试题体现综合性与创新性．
－
ｘ２
＋２
ｘ
，０≤
ｘ
≤１， 由题
，
意可得 ｘ３ ｘ２ ｘ ｋ ｘ３ ｘ２ ｘ ｋ 整理得ｘ２
函 数 ｆ ｘ ( ) ｇ ｘ － ０＋ ０－２｜ ０｜－ ＝－（ ０＋ ０－２｜ ０｜－ ）， ０
， （ ） ＝ ｘ ３ ２ ｘ （ ） ＝ ｘ ｋ 则原题转化为函数ｙ ｘ２ ｘ 的图象与直线ｙ ｋ
－４ － ＋２，１＜ ＜２， －２｜ ０｜＝ ， ＝ －２｜ ｜ ＝
２ 有交点 作出函数ｙ ｘ２ ｘ 的图象如图所示 则ｋ 故
， ＝ －２｜ ｜ ， ≥－１，
ì
ïｍ ｘ ｘ ３ 选
ï （ ＋１），０≤ ≤ ， Ａ．
í ２ 若函数ｈ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 在区间
ï （ ）＝ （ ）－ （ ） ［０，５］
ï３ ３ ｘ
î ， ＜ ＜２，
２ ２
上有 个零点 则实数ｍ的取值范围是
１０ ， （ ）
æ ö æ ö ( ) ( )
ç ３÷ ç １ ３÷ １ １ ４
Ａ．è０， ø Ｂ．è ， ø Ｃ． ０， Ｄ． ，
３ ２ ３ ２ ２ ５
答案 Ｂ 函数ｆ （ ｘ ） 的图象如图所示 ： { ｘ３ ｘ ｘ ａ
１１．（２０２１北京顺义二模，１０）设函数 ｆ ｘ － ＋３ ， ＜ ，若 ｆ
（ ）＝ ｘ ｘ ａ
２ ， ≥ ，
ｘ 恰有两个零点 则实数ａ的取值范围是
（ ） ， （ ）
Ａ．［－ ３， ３］ Ｂ．（－ ３，＋∞）
Ｃ．（－ ３， ３］ Ｄ．（－∞， ３）
答案 Ｃ 函数ｙ ｘ３ ｘ ｘ Ｒ 则ｙ′ ｘ２ ｘ
＝－ ＋３ ， ∈ ， ＝－３ ＋３＝－３（ ＋
ｘ 所以当 ｘ 时 ｙ′ 函数单调递增 当ｘ
由函数ｈ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 在区间 上有 个零点 １）（ －１）， －１＜ ＜１ ， ＞０， ， ＜－１
（ ）＝ （ ）－ （ ） ［０，５］ １０ ， 或ｘ 时 ｙ′ 函数单调递减 当ｘ 时 ｙ 当ｘ
ìｍ ＞１ ， ＜０， ， ＝－１ ， ＝－２， ＝１
ï ＞０， 时 ｙ 作出函数ｙ ｘ３ ｘ ｘ Ｒ的图象与ｙ ｘ ｘ Ｒ的
ï ｍ ， ＝２， ＝－ ＋３ ， ∈ ＝２ ， ∈
｜２ ｜ 图象 如图所示
知í
ïï
１＋
ｍ２ ＜１，
解得 １ ｍ ３．故选 ．
， ，
ï ｍ ＜ ＜ Ｂ
２ ＞１， ２ ３
ï
ï５ ｍ
î ＜２，
２
９．（２０２１天津耀华中学一模，９）对于函数 ｆ ｘ ｇ ｘ 设 ｘ
（ ）， （ ）， １∈
ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ｇ ｘ 若存在ｘ ｘ 使得 ｘ ｘ 则
｛ ｜ （ ）＝０｝， ２∈｛ ｜ （ ）＝０｝， １， ２， ｜ １－ ２｜≤２，
称ｆ ｘ ｇ ｘ 互为 零点相邻函数 ．若ｆ ｘ ｘ －２ ｘ 与ｇ ｘ ｘ２
（ ）， （ ） “ ” （ ）＝ｅ ＋ －３ （ ）＝
ａｘ ａ 互为 零点相邻函数 则实数ａ的取值范围是
－ － －２ “ ”， （ ）
( ) [ ]
１４ １４
Ａ． －２， Ｂ． －２，
５ ５
( ) [ )
１４ １４
Ｃ．（－∞，－２）∪ ，＋∞ Ｄ．（－∞，－２］∪ ，＋∞
５ ５
答案 Ｂ ｆ 且ｆ ｘ 在Ｒ上为增函数
（２）＝０， （ ） ，
ｆ ｘ 有唯一零点
∴ （ ） ２，
ｆ ｘ ｇ ｘ 互为 零点相邻函数 ｘ ｘ
∵ （ ）， （ ） “ ”，∴ ｜２－ ２｜≤２，∴ ２∈［０，
ｇ ｘ 在 上至少有一个零点 令ｇ ｘ ｘ２ ａｘ ａ 在图象中作直线ｘ ａ 通过左右平移直线ｘ ａ 得到函数ｆ ｘ
４］，∴ （ ） ［０，４］ ， （ ）＝ － － －２ ＝ ， ＝ ， （ ）
得ａ
ｘ２
－２ ｘ 设ｈ ｘ
ｘ２
－２ ｘ ｙ ａ
{
－
ｘ３
＋３
ｘ
，
ｘ
＜
ａ
，的图象 因为 ｆ ｘ 恰有两个零点 则ｆ ｘ 的
＝０， ＝ ｘ ， ∈［０，４］， （ ）＝ ｘ ， ∈［０，４］， ＝ ， ＝ ｘ ｘ ａ ， （ ） ， （ ）
＋１ ＋１ ２ ， ≥
则ｈ ｘ 与ｙ ａ的图象在 上有交点 图象与ｘ轴恰有两个交点 所以实数ａ的取值范围是 ａ
（ ） ＝ ［０，４］ ， ， － ３＜
ｘ２ ｘ ２ ｘ ．故选 ．
ｈ ｘ －２ （ ＋１） －２（ ＋１）－１ ｘ １ ｘ ≤ ３ Ｃ
（ ）＝ ｘ ＝ ｘ ＝ －ｘ －１， ∈［０，４］，
＋１ ＋１ ＋１
由ｈ′ ｘ １ 可知ｈ ｘ 在ｘ 上为增函数
（ ）＝１＋ ｘ ２＞０ （ ） ∈［０，４］ ， 二、多项选择题
（ ＋１）
第二章 函数 ７ ７
１２．（２０２１届山东滕州第一中学月考，１２）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ 思路分析 对函数求导，利用导数研究函数的单调性；
（ ） ①
上的偶函数 且ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ
， （ ＋３）＝ （ －１）， ∈［０，２］ ， （ ）＝２ － 利用函数奇偶性的定义判断； 画出ｙ ｘ和ｙ １ 在
则下列结论正确的是 ② ③ ＝ｃｏｓ ＝－ ｘ
１， （ ）
当ｘ 时 ｆ ｘ － ｘ 区间（ ， ）上的图象，结合函数零点与函数图象交点的转换
Ａ． ∈［－２，０］ ，（ ）＝２ －１ ０ ２π
ｆ 判断．
Ｂ． （２０１９）＝１
ｙ ｆ ｘ 的图象关于点 对称 { ｘ２ ｘ ｘ
Ｃ． ＝ （ ） （２，０） １４．（２０２１天津南开二模，１５）设函数ｆ ｘ － ＋４ ， ≤４，若函
函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ有 个零点 （ ）＝ ｘ ｘ
Ｄ． （ ）＝ （ ）－ｌｏｇ２ ３ ｌｏｇ２ ， ＞４，
答案 ＡＢＤ 因为ｆ ｘ ｆ ｘ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ 数ｙ ｆ ｘ 在区间 ａ ａ 上单调递增 则实数ａ的取值范围
（ ＋３）＝ （ －１）， （ ＋４）＝ （ ）， ＝ （ ） （ ， ＋１） ，
所以该函数周期为 ．因为ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 是 若函数ｇ ｘ ｆ ｆ ｘ ｍ恰有 个的零点 则
４ ∈［０，２］ ，（ ）＝２ －１， ； （ ）＝ （ （ ））－ ５ ，
当ｘ 时 ｘ ｍ的取值范围为 ．
∈［－２，０］ ，－ ∈［０，２］，
所以ｆ ｘ ｆ ｘ － ｘ 所以 选项正确 答案
（ ）＝ （－ ）＝２ －１， Ａ ； （－∞，１］∪［４，＋∞）；（０，２］
ｆ ｆ ｆ ｆ １ 所以 选项 解析 如图 ｆ ｘ 在 ａ ａ 上单调递增
（２０１９）＝ （４×５０５－１）＝ （－１）＝ （１）＝２ －１＝１， Ｂ ，∵ （ ） （ ， ＋１） ，
正确 若ｙ ｆ ｘ 的图象关于点 对称
； ＝ （ ） （２，０） ，
则ｆ ｆ
（３）＋（１）＝０，
但是ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ 与ｆ ｆ
（３）＝ （－１）＝ （１）＝１，（３）＋（１）≠０， （３）＋（１）＝０
矛盾 所以 选项错误
， Ｃ ；
在同一坐标系中作出函数ｙ ｆ ｘ ｙ ｘ的图象 由图象得
＝ （ ）， ＝ｌｏｇ２ ，
函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ 有 个零点 所以 选项正确．故
选 ＡＢＤ
（
．
）＝ （ ）－ｌｏｇ２ ３ ， Ｄ
∴ ａ ＋１≤２ 或ａ ≥４，
ａ
∴ ∈（－∞，１］∪［４，＋∞），
ｇ ｘ ｆ ｆ ｘ ｍ有 个零点 设ｆ ｘ ｔ ｆ ｔ ｍ．根据图
（ ）＝ （ （ ））－ ５ ， （ ）＝ ， （ ）＝
象 先分析ｆ ｔ ｍ的解 个数及ｔ的取值情况 再针对每个
， （ ）＝ （ ），
ｔ 分析ｆ ｘ ｔ的解的个数
， （ ）＝ ，
进而可得 ｍ 时 函数 ｇ ｘ 的零点有 个 ｍ 时 函数
， ＜０ ， （ ） １ ； ＝０ ，
ｇ ｘ 的零点有 个
（ ） ４ ；
ｍ 时 函数ｇ ｘ 的零点有 个 ｍ 时 函数ｇ ｘ 的
０＜ ≤２ ， （ ） ５ ；２＜ ＜４ ， （ ）
三、填空题 零点有 个 ｍ 时 函数ｇ ｘ 的零点有 个 ｍ 时 函数
６ ； ＝４ ， （ ） ３ ； ＞４ ，
１３．（２０２１北京首师大二附中高三开学测试，１４）已知函数ｆ ｘ ｇ ｘ 的零点有 个．
（ ）＝ （ ） １
故ｍ的取值范围为 ．
１ ｘ 给出下列结论 （０，２］
ｘ ＋ｃｏｓ ， ： {
ｋ １ ｘ
ｆ ｘ 在 上有最小值 无最大值 １５．（２０２１浙江嘉兴二模，１６）若函数ｆ ｘ －ｘ２（ ＜０）， 恰
①（ ） （０，π］ ， ； （ ）＝
②
设Ｆ
（
ｘ
）＝
ｆ
（
ｘ
）－
ｆ
（－
ｘ
），
则Ｆ
（
ｘ
）
为偶函数
； ｜
ｘ
－１｜－
ｋｘ２
（
ｘ
＞０）
ｆ ｘ 在 上有两个零点． 有 个零点 则实数ｋ的取值范围为 ．
③（ ） （０，２π） ４ ，
其中正确结论的序号为 ． 写出所有正确结论的序 ( )
（ 答案 １
号 ０，
） ４
答案
①③ 解析 当ｋ 时 ｋ １ 无解 故需满足 ｘ ｋｘ２
≤０ ， －ｘ２ ＝０ ， ｜ －１｜－ ＝０
解析 因为ｘ 所以ｆ ′ ｘ １ ｘ 所以
① ∈（０，π］， （ ）＝－ｘ２ －ｓｉｎ ＜０，
在 上有四解 而ｋｘ ｜
ｘ
－１｜ １ ｘ 最多有三
ｆ ｘ 在 上单调递减 因而ｆ ｘ 在 上有最小值 无 （０，＋∞） ， ＝ ｘ ＝ １－ ｘ （ ＞０）
（ ） （０，π］ ， （ ） （０，π］ ，
最大值 故 正确． 解 如图 不符合题意．
， ① ， ，
[ ]
依题意Ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ １ ｘ １ ｘ
② （ ）＝ （ ）－（－ ）＝ ｘ ＋ｃｏｓ － － ｘ ＋ｃｏｓ（－ ） ＝
２ 由于Ｆ ｘ Ｆ ｘ 所以Ｆ ｘ 不是偶函数 故 错误．
ｘ ， （－ ）≠ （ ）， （ ） ， ②
ｘ
令ｆ ｘ 得 ｘ １ 画出ｙ ｘ和ｙ １ 在区间 当ｋ 时 ｋ １ 有一解 ｋｘ ｜ －１｜ １ ｘ 需有
③ （ ）＝０， ｃｏｓ ＝－ ｘ ， ＝ｃｏｓ ＝－ ｘ ＞０ ， －ｘ２ ＝０ ， ＝ ｘ ＝ １－ ｘ （ ＞０）
（０，２π） 上的图象 ， 如图所示 ， 由图可知ｙ ＝ｃｏｓ ｘ和ｙ ＝－ １ ｘ 的 三解 ， 考虑直线ｙ ＝ ｋｘ与曲线ｙ ＝ ｘ － ｘ １相切的情形 ， 令ｋｘ ＝ ｘ － ｘ １ ，
图象在区间 上有两个交点 则ｆ ｘ 在 上有两
个零点 故
（
正
０，
确
２π
．
） ， （ ） （０，２π） 即ｋｘ２
＝
ｘ
－１，
由Δ
＝０
得ｋ
＝
１
，
结合ｇ
（
ｘ
）
的图象可知
，
实数ｋ
， ③ ４
故答案为 ． ( )
①③ 的取值范围是 １ ．
０，
４
１６．（２０２１东北三省四市教研联合体模拟，１６）已知函数 ｆ ｘ
（ ）＝
{ ｘ２ ｘ ｘ
－ －２ ，－２≤ ≤０，
当ｎ分别取 ｋ ｋ Ｎ∗ 时 方
１ ｆ ｘ ｘ １，２，３，…， （ ∈ ） ，
（ －２）， ＞０，
２
７ ８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
程ｆ
（
ｘ
）＝
１
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
对应的整数解分别为ｘ
１，
ｘ
２，
ｘ
３，…，
ｘ
ｋ，
平移
２
个单位
，
并且函数值变为原来的 １
，
２ ２
作出ｆ ｘ 的图象如图所示
则 ２０ ｘ ． （ ） ，
答
∑ｋ＝
案
１
ｋ＝
当
－２≤
ｘ
≤０
时
，
方程ｆ
（
ｘ
）＝
１
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
无整数解
，
４００ ２
解析 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ
－２≤ ≤０ ， （ ）＝－ －２ ＝－ （ ＋２）， 又ｆ １ ｆ ｋ １ ｆ ｋ １ ｋ Ｚ
（１）＝ ， （２ －１）＝ （２ －３）＝…＝ ｋ， ∈ ，
２ ２ ２
ｆ ｋ ｆ ｋ ｆ ｋ Ｚ
（２ ）＝ （２ －２）＝…＝ （０）＝０， ∈ ，
所以ｆ ｘ １ ｎ Ｎ∗ 时 整数解唯一且为 ｎ
（ ）＝ ｎ（ ∈ ） ， ２ －１，
２
所以ｆ ｘ 图象的对称轴ｘ 在该区间内 且ｆ
（ ） ＝－１ ， （－１）＝ １， 所以ｆ （２ ｎ －１）＝ １ ｎ， 即ｘ ｎ＝２ ｎ －１，
ｆ ｆ
（－２）＝ （０）＝０， ２
２０
当ｘ ＞０ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝
２
１ ｆ （ ｘ －２）， 即将前一个区间内的图象向右 所以 ∑ｋ＝
１
ｘ ｋ＝１＋３＋５＋７＋…＋（２×２０－１）＝ ２０×（１＋２
２
×２０－１） ＝４００ ．
学生用书Ｐ３７
１．（２０２１ ５·３原创题）已知ｘ 是函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ －２ ｘ 的零 ｍ的取值范围是 ．
０ （ ）＝ ｅ ＋ｌｎ －２
点 则下列结论错误的是 æ ö
， （ ） ６． 答案 ç ２ ÷
Ａ．ｌｎ ｘ ０＝２－ ｘ ０ Ｂ．ｅ ２－ ｘ ０＋ｌｎ ｘ ０＝２ （－∞，０）∪è ４ ，＋∞ø
７．（２０２１ ５·３原创题）已知ｆ ｘ 是定义在 上
ｘ ｘ １ （ ） （－∞，０）∪（０，＋∞）
Ｃ． ０∈（１，２） Ｄ．ｌｎ ０－ｘ ＞０ { ｘ ｘ
０ 的奇函数 且当ｘ 时 ｆ ｘ ３ －７，０＜ ≤２，ｇ ｘ ｆ ｘ ａ．
１． 答案 Ｄ ， ＞０ ， （ ）＝ ｘ ｘ ． （ ）＝ （ ）－
{ ｘ ｘ 若函数ｇ ｘ 恰有三个不相同 ｜ 的 － 零 ５｜ 点 －１， 求 ＞ 实 ２ 数ａ的值
２．（２０２１ ５·３原创题）已知函数ｆ ｘ ｜ ＋２｜， ≤０，关于ｘ的 （１） （ ） ， ；
（ ）＝ ｘ ｘ ． 记ｈ ａ 为函数 ｇ ｘ 的所有零点之和．当 ａ 时 求
ｌｏｇ２ ， ＞０ （２） （ ） （ ） －１＜ ＜１ ，
方程 ｆ ｘ ２ ｍｆ ｘ 有 个不同的实数根 则实数ｍ的取 ｈ ａ 的取值范围．
［ （ ）］ ＝ （ ）＋１ ４ ， （ ）
值范围为 ７． 解析 作出函数ｆ ｘ 的图象 如图
（ ） （１） （ ） ， ，
( ) ( ] ( ] ( )
３ ３ ３ ３
Ａ． － ，１ Ｂ． －∞， Ｃ． １， Ｄ． －∞，－
２ ２ ２ ２
２． 答案 Ｂ
{ ｘ ｘ
３．（２０２１ ５·３原创题）已知ｆ ｘ ｌｎ ， ≥１，若ｇ ｘ ｆ ２ ｘ
（ ）＝ ｘ２ ｘ （ ）＝ （ ）＋
， ＜１，
ｍｆ ｘ 有 个零点 则实数ｍ的取值范围为
（ ）＋２ ５ ， （ ）
Ａ．（－∞，－２ ２） Ｂ．（－∞，－３）
Ｃ．（－∞，－３］ Ｄ．（－２ ３，－３）
３． 答案 Ｂ 由图象可知 当且仅当ａ 或ａ 时 直线ｙ ａ与函数ｙ
， ＝２ ＝－２ ， ＝ ＝
(ｘ３ ｘ) ３ ｘ３ ｘ ｆ ｘ 的图象有三个不同的交点 当且仅当ａ 或ａ 时
４．（２０２１ ５·３原创题）已知函数 Ｆ ｘ ＋ ＋ ｘ 设 （ ） ，∴ ＝２ ＝－２ ，
（ ）＝ ＋ －２ ， 函数ｇ ｘ 恰有三个不相同的零点．
２ ２ （ ）
ｘ
１，
ｘ
２（
ｘ
１＜
ｘ
２）
是函数的两个非零零点
，
则函数 ｙ
＝２
（ ｘ １＋２ ｘ ２） ｔ
＋ （２）
由ｆ
（
ｘ
）
的图象可知
，
当
－１＜
ａ
＜１
时
，
ｇ
（
ｘ
）
有
６
个不同的零
（２ ｘ １＋ ｘ ２） ｔ ＋１ ｔ Ｒ 的最小值为 点．设这 个零点从左到右依次为ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ．
２ （ ∈ ） （ ） ６ １， ２， ３， ４， ５， ６
． ． ． ． 则ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 是方程 － ｘ ａ 的解 ｘ 是方
Ａ２ ２ Ｂ０ Ｃ１ Ｄ４ １＋ ２＝－１０， ５＋ ６＝１０， ３ －３ ＋７－ ＝０ ， ４
４． 答案 Ａ 程 ｘ ａ 的解．
３ －７－ ＝０
５．（２０２１ ５·３原创题）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 若函数ｇ ｘ ａ
（ ）＝ ｜ ｜（ ＋１）， （ ） ｈ ａ ａ ａ ７＋ ．
∴ （ ）＝－１０－ｌｏｇ３（７－ ）＋ｌｏｇ３（７＋ ）＋１０＝ｌｏｇ３ ａ
ｆ ｘ ２ ｍ有四个不同零点ｘ ｘ ｘ ｘ 则实数ｍ的取 ７－
＝ （ ）＋ｆ ｘ ＋ １， ２， ３， ４， ａ ( )
（ ） 当 ａ 时 ７＋ １４ ３ ４
值范围是 ； 若ｘ １＜ ｘ ２＜ ｘ ３＜ ｘ ４， 则ｆ （ ｘ １） ｆ （ ｘ ２） ｆ （ ｘ ３） ｆ ３ （ ｘ ４） 的 ∵ －１＜ ＜１ ， ７－ ａ＝ ７－ ａ－１∈ ４ ， ３ ，
值是 ． ｈ ａ ．
∴ （ ）∈（１－２ｌｏｇ３２，２ｌｏｇ３２－１）
( ) 当 ａ 时 ｈ ａ 的取值范围为 ．
５． 答案 ３３ ∴ －１＜ ＜１ ， （ ） （１－２ｌｏｇ３２，２ｌｏｇ３２－１）
－∞，－ ；８ 技巧点拨 遇到函数零点求和时，往往要结合函数的图象，
４
６．（２０２１５·３原创题）函数ｆ ｘ ｘ ｍ ｘ ｍ无零点 则 注意函数图象的对称性，理清零点间的关系再求和．
（ ）＝ ｜ｃｏｓ ｜－ ｓｉｎ －３ ，
