文档文本内容
第06 讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................1
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................5
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数.....................................................................................5
高频考点二：证明唯一零点问题..............................................................................................................13
高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题................................................................................18
高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题................................................................................24
高频考点五：构造函数研究函数零点问题...............................................................................................31
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................34
第一部分：基础知识
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数
，把使
的实数
叫做函数
的零点．
（2）三个等价关系
方程f ( x)=0 有实数根⇔函数y=f ( x)的图象与x 轴有交点的横坐标⇔函数y=f ( x)有零点．
2、函数零点的判定
如果函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
，这个
也就是
的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
·证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）
，证明见解析.
【分析】（1）先由题意求得
，接着构造函数
，利用导数工具
研究函数
的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数
在区间
上存在
唯一极值点；再结合
和
时
的正负情况即可得证
在区间
上存在唯一零点；
（2）（i）由（1）
和
结合（1）中所得导函数
计算得到
，再结合
得
即可得证；
（ii）由函数
在区间
上单调递减得到
，再结合
，
和函数
的单调性以以及函数值的情况即可得证.
【详解】（1）由题得
，
因为
，所以
，设
，
则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
，令
，
所以当
时，
，则
；当
时，
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上存在唯一极值点，
对函数
有
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
又因为
，
时
，
所以
时
，
所以存在唯一
使得
，即
在
上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知
，则
，
，
，
则
，
，
，
即
在
上单调递减.
（ii）
，证明如下：
由（i）知：函数
在区间
上单调递减，
所以
即
，又
，
由（1）可知
在
上单调递减，
，且对任意
，
所以
.
2．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，
且
.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明
．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得；
（2）（i）令
，分离参数得
，作出函数
图象，数形结合可得
范围；
（ii）由（2）结合图象，可得
范围，整体换元
，转化为
，结
合由
可得
，两式作差，利用对数平均不等式可得
，再由
得
，结合
减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式.
【详解】（1）当
时，
，
，
则
，则
，且
，
则切点
，且切线的斜率为，
故函数
在点
处的切线方程为
；
（2）（i）令
，
，
得
，
设
，
则
，
由
解得
或
，其中
，
；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
且当
时，
； 当
时，
；
如图作出函数
的图象，
要使函数
有3 个零点，
则方程
在
内有个根，即直线
与函数
的图象有个交点.
结合图象可知，
.
故
的取值范围为
；
（ii）由图象可知，
，
设
，则
，
满足
，由
可得
，
两式作差可得
，
则由对数均值不等式可得
，
则
，故要证
，
即证
，只需证
，
即证
，又因为
，则
，
所以
，故只需证
，
设函数
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
故
，即
.
而由
，
可知
成立，故命题得证.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
典型例题
例题1．（24-25 高三下·山东临沂·阶段练习）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求函数
的零点个数.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）先求
，再求
，利用点斜式即可求切线方程；
（2）令
，得
，分
和
分类讨论，当
时，同时取对数得
，即
，令
，利用导数研究单调性从而作出函数图像，利用
数形结合即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
.
则
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
；
（2）令
，则
，当
时，
，
所以
时，函数
无零点；
当
时，由
，得
，所以
，
则
时，函数
零点的个数即为函数
，
图象交点的个数，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
又当
时，
且
，当
时，
，
如图，作出函数
的大致图象，
又
，由图可知，
所以函数
的图象只有1 个交点，
即当
时，函数
只有1 个零点；
综上所述，若
，函数
有1 个零点.
例题2．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数
，直线
.
(1)若点
是函数
图象上的一点，求点
到直线距离的最小值；
(2)若
，讨论函数
的零点的个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出点
到直线的距离，根据导数即可求解；
（2）若
，证明函数
的零点的个数与
的零点个数相
同，求出
，令
，证明
在
单调递增，在
上单调递减，据此即可求解.
【详解】（1）点
到直线
的距离为
，
令
，令
，
令
得
，
当
时
为极大值，
当
时
，
，
当
时，
，
，所以
，
所以对应最小距离为
；
（2）若
，
定义域为
，令
可得
，
则函数
的零点的个数与
的零点个数相同，
， 再令
，
则
，所以
在
单调递减，
又因为
，
在
单调递增，在
上单调递减，
则
，
，
当
，所以当
时
恒成立，
无零点，
当
时
，
有1 个零点，
当
时
，
在
和
分别有1 个零点，
即
有2 个零点，当
时
，
在
有1 个零点，在
上，
恒成立，即
只有1 个零点；
综上所述，当
时，
无零点，当
或
时，
有1 个零点，当
时，
有2
个零点.
例题3．（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
零点的个数．
【答案】(1)
(2)当
时，函数
有2 个零点.
【分析】（1）求导，利用导数求斜率，然后由点斜式可得切线方程；
（2）对
求导，求出
的单调性，可得
，再由零点存在性定理可得
在
和
都有一个零点，即可得出答案.
【详解】（1）当
时，
，则
，
则
，则
∴曲线
在点
处的切线方程为：
即
.
（2）
，
令
，解得：
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得极小值也是最小值，
，
令
，
，
，所以
在
上单调递增，则
，
即
，
又因为
，
所以零点存在性定理可知
在
有且仅有一个零点，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
，
所以
，
令
，解得：
，
因为
，所以
，所以
，
所以当
时，
，
所以零点存在性定理可知
在
有且仅有一个零点，
综上：当
时，函数
有2 个零点.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·广东广州·期中）函数
．
(1)求函数在
处的切线方程；
(2)求出方程
的解个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，得到切点处切线的斜率，得到切线方程；
（2）作出函数图像，由函数图像与直线
交点个数确定方程解的个数．
【详解】（1）易知
定义域为
，
因为，所以，所以
，所以
，
所以切线方程为：
．
（2）方程解的个数等价于
于
的交点个数．
由
得
，由
得
.
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
，当
无限趋向于负无穷大时，
无限趋向于0，
当
无限趋向于正无穷大时，
无限趋向于正无穷大，
又
，且
时，
，作出
与
的图象，
由图可知当
时，方程
的解为0 个
当
或
时，方程
的解为1 个
当
时，方程
的解为2 个.
2．（24-25 高三下·广东惠州·阶段练习）已知函数
(1)当
时，求
的最大值与最小值；
(2)在答题卡指定位置画出
的大致图象，并讨论方程
的解的个数.
【答案】(1)最大值为
，最小值为
(2)图象见解析；答案见解析
【分析】（1）求导后分析单调性可得；
（2）结合图象，由方程
的解的个数即
与
图象交点的个数可得.
【详解】（1）
，
令
，
所以当
时，
，
为增函数；当
时，
，
为减函数；
因为
，所以
在
上为增函数，在
上为减函数，
所以
，
又
，
，所以
，
所以最小值为
.
综上，最大值为
，最小值为
.
（2）
方程
的解的个数即
与
图象交点的个数，
由图可得：
当
时，两图象无交点，即方程无解；
当
时，两图象有一个交点，即方程有一个解；
当
时，两图象有两个交点，即方程有两解；
当
时，两图象有一个交点，即方程有一个解；
综上，当
时，即方程无解；
当
时，即方程有一个解；
当
时，即方程有两解；
当
时，即方程有一个解.
3．（24-25 高三下·广东东莞·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)在坐标系中画出函数
的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；
(3)讨论方程
的实数解的个数.
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)作图见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）求导后，根据
正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值；
（2）分析可知
时，
，由此可作出函数图象；
（3）将问题转化为
与
的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果.
【详解】（1）因为函数
定义域为
，
，又
恒成立，
当
时，
；当
时，
；
所以，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，极小值为
，无极大值.
（2）当
时，
，
，则
恒成立，
图象如下：
（3）方程
的根的个数等价于函数
与
的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当
时，
与
有且仅有一个交点；
当
时，
与
有两个不同交点；
当
时，
与
有且仅有一个交点；
当
时，
与
无交点；
综上所述：当
时，方程
有唯一的实数根；
当
时，方程
有两个不同的实数根；
当
时，方程
无实数根.
高频考点二：证明唯一零点问题
典型例题
例题1．（24-25 高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数
，
(1)当
时，求
的对称中心；
(2)证明：
有唯一零点
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设对称中心为
，利用中心对称则公式
即可求对称中心；
（2）由
得到
，设
，求出
的单调性，结合零点存在定理即
可判断.
【详解】（1）当
时，
，
设
的对称中心为
，
则
，
所以
，
整理得
，
所以
，解得
，
所以
的对称中心为
（2）由于
，所以
等价于
，
设
，则
，
仅当
时
，因此
在
单调递增，
即
至多有一个零点，从而
至多有一个零点
又因为
，
，
故
在
内存在零点，
综上所述，可知
有唯一零点
例题2．（2025·安徽淮北·二模）已知函数
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)求证：当
时，
有且仅有一个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先把
代入函数
和导函数
，再求
处的导数值
和函数值
，
是
切线斜率，
是切点纵坐标，最后用点斜式得出切线方程.
（2）先确定
定义域，求出
.分情况讨论：
时，化简
，令
求零点.
时，判
断
，函数递增，再根据
与
异号，用零点存在定理确定零点.
时，令
得
两个极值点
，分析函数单调性，结合
时
，以及
，用零点存在
定理确定零点.最后总结
时零点情况.
【详解】（1）若
，则
，
所以
，函数
在
处的切线方程为
；
（2）
的定义域为
，
当
时
有且仅有一个零点4：
当
时，
，函数
递增，由
，知
存在唯一零点
；
当
时，令
得
，
当
时
，函数
递增：
当
时
，函数
递减；
当
时
，函数
递增：
当
时，
，所以
，函数
无零点；
因为当
时
递减，当
时
递增，
且
，所以
存在唯一零点
.
综上所述，当
时，
有且仅有一个零点.
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)证明：函数
只有一个零点；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数
的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）构造函数
，利用导数证明
恒成立，再探讨
在
无零点，结合
即可得证明.
【详解】（1）函数
，求导得
，则
，又
，
所以
在
处的切线方程为
，即
.
（2）当
时，
，
，则
恒成立，
在
上无零点；
当
时，
；
当
时，令
，则
，
令
，则
，即
在
上单调递增，
则
，函数
在
上单调递增，
因此
，则当
，
恒成立，
在
上无零点，
所以函数
只有一个零点.
2．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的定义域；
(3)证明：方程
有唯一解.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后，根据导数几何意义可求得切线斜率
，结合切点坐标可得切线方程；
（2）令
，求导后可求得
的单调性和零点，由此可确定
的定义域；
（3）令
，求导后可确定
的正负，进而得到
单调性；通过分析
的图象可证
得结论.
【详解】（1）
，
，
又
，
在点
处的切线方程为：
，即
.
（2）令
，则
定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
有唯一零点
，
的定义域为
.
（3）由（1）知：
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
在
上恒成立，
在
，
上单调递减，
当
时，
，由（2）知：
，
；
当
时，
，由（2）知：
，
，
又
，
，
当
从正方向无限趋近于时，
；
当
时，
，
当
时，
，
，
，
即当
时，
；又
在
上单调递减，
与
有唯一交点，即方程
有唯一解.
【点睛】关键点点睛：本题第三问考查利用导数求解方程根的个数问题，解题关键是能够将问题转化为曲
线与平行于
轴的直线的交点个数问题，从而利用导数分析函数的单调性和图象，进而确定方程根的个数.
3．（24-25 高三上·湖南·期中）已知函数
.
(1)证明：
；
(2)设函数
，证明：函数
有唯一的极值点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导分析单调性，判断极值即可；
（2）构造函数
，求导分析单调性，从而得到
，
即可；
【详解】（1）因为
，定义域为
，
所以
，
由于函数
，
在
上均为单调递增函数，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，
，
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，也是最小值，所以
.
（2）因为
，
的定义域为
，
所以
.
设
，则
，
当
时，
，所以
单调递增，所以
，
所以
，即
，
所以
.
又
，且
在
上单调递增，
所以存在唯一的
，使得
，即
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，所以
单调递增，
所以函数
有唯一的极值点.
高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题
典型例题
例题1．（24-25 高二下·陕西咸阳·期中）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
在
上有两个不同零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出
和
的值，利用导数的几何意义和点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由
恒成立可得
在
上恒成立，令
，对
求导，求出
，即可得出答案.
（3）利用导数分析函数
的单调性、极值，并求出
、
，根据已知条件可得出关于
的不等
式组，由此可解得实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
，则
，
，
所以，函数
的图象在
处的切线方程
，
即
；
（2）若
恒成立，即
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
令
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
.
即实数
的取值范围为
.
（3）
，则
.
，
当
时，
.
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
故
在
处取得极大值
.
又
，
，
，则
，
在
上的最小值是
.
又
在
上有两个零点，则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
例题2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
在
处有极小值.
(1)求实数的值；
(2)若函数
有三个不同的零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意
，即可求出的值，再检验即可；
（2）依题意
的图像与直线
有三个不同的交点，结合（1）可得函数的单调性，求出函数的
极值，即可得解.
【详解】（1）因为
，
由已知
，即
，
或
，
当
时，
，
所以当
时
，当
时
，当
时
，
∴
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
时有极小值，符合题意.
当
时，
，
所以当
时
，当
时
，当
时
，
∴
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
时有极大值，不符合题意，故舍去.
；
（2）由已知
有三个不同零点，
即
的图像与直线
有三个不同的交点，
由（1）知
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
故当
时，有极大值，即
，
当
时，有极小值，即
，
所以
，
.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·江苏·阶段练习）已知函数
．
(1)若
，求
的极值点；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)极小值点为
，无极大值点
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由题意整理函数解析式，求导，根据极值点的定义，可得答案；
（2）由函数求导，根据导数与函数单调性的关系，利用分类讨论思想，结合二次函数的性质，可得答
案；
（3）根据函数的单调性，求得函数最小值，建立不等式，结合零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）由
，则
，求导可得
，
令
，解得
，由
得
，由
得
，
所以函数
极小值点为
，无极大值点.
（2）由
，求导可得
，
化简可得
，
当
时，易知
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
由
得
，由
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述，当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）由（2）易知当
时，函数
不存在两个零点；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的最小值为
，令
得
，
易知函数
在
上单调递增，则
得
，
由
，当
时，
，
所在函数
在
与
分别存在一个零点，
故
的取值范围为
.
2．（24-25 高三下·天津滨海新·阶段练习）已知函数
在
处取得极值.
(1)求实数
的值；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值.
(3)若方程
在
上有三个不同的实数根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)最大值为11 和最小值
；
(3)
.
【分析】（1）对函数求导，结合已知得
求参数，注意验证；
（2）根据函数单调性确定区间的最值；
（3）令
，应用导数研究单调性，结合零点个数求参数范围.
【详解】（1）由已知函数
在
处取得极值，且
，
所以
，
，此时
，
所以
，则
或
则
，
则
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极小值，故
；
（2）由（1）知
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
而
，
则
在区间
上的最大值为11 和最小值
；
（3）令
，则
，
同（1）知
与
单调性相同，已知方程有三个不同的实数根，
则
，得
，则实数
的取值范围为
.
3．（24-25 高三下·河北衡水·阶段练习）已知函数
，若
在
处取得极值-6.
(1)求
的值；
(2)若
都为整数，当
时关于
的方程
有两个不同的解，求实数
的范围.
【答案】(1)
或
.
(2)
【分析】（1）对函数求导，根据极值和极值点求出
的值，将它们的值代入解析式和导函数中验证是否
符合题意即可.
（2）将方程有两个不同的解问题转化为函数
与直线
有两个不同交点的问题，结合
的单调
性可求得
的范围.
【详解】（1）对函数求导得：
.
因为
在
处取得极值-6，所以
①，
，化简得：
②.
联立①②得：
，解得
或者
.
当
时，
，
，
令
得
或
，令
得
，
那么
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时
在
处取得极值，符合题意；
当
时，
，
，
令
得
或
，令
得
，
那么
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时
在
处取得极值，符合题意；
所以
的值为
或
.
（2）因为
都为整数，所以
，此时函数解析式为
.
那么方程
有两个不同的解的问题转化为函数
与直线
有两个不同的交点问题.
由（1）可知，
在
上单调递减，在
上单调递增.
而
，所以么
在
上单调递减，在
上单调递增，
其图象如下：
此时
的极小值为
，而
，
，
.
结合单调性可求得
的取值范围为
.
高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题
典型例题
例题1．（24-25 高二下·海南·期中）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若方程
恰有一个实数根，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
(2)
【分析】（1）先确定
的表达式与定义域，求出导函数，令
求出导数的零点，根据导数的正
负判断函数的单调性.
（2）先排除
这种情况，然后分离参数得
，令
，利用导数判断
的单调
性，得到其大致图像，数形结合分析
与
图像的交点个数，从而确定满足方程恰有一个根时a 的
取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
，
令
，解得
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）方程
，
当
时，方程左边为
，所以
；
当
时，方程化为
，令
，
，其中
，
，
当
且
时，
，
在
和
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
时，
；
时，
；
时，
；
；
时，
，
当
时，
与
在
上有一个交点，方程有一个实根，
当
时，
时方程
的唯一实根；
当
时，
与
在
和
上各有一个交点，方程有两个实根.
综上所述，a 的取值范围为
.
例题2．（2025·云南·三模）函数
在
处的切线垂直于y 轴．
(1)求实数a；
(2)若方程
有两根，求b 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合题意分析可知
，代入运算求解即可；
（2）根据导数分析
的单调性和最值，进而可得
的图象，分析可知
与
有2 个交点，
结合图象即可得结果.
【详解】（1）由题意可得：
，
因为
在
处的切线垂直于y 轴，
则
，解得
.
（2）由（1）可知
，定义域是
，且
，
令
，解得
，
当x 变化时，
，
的变化情况如下：
x
0
单调递减
单调递增
令
，解得
，当
时，
；当
时，
．
所以
的图象经过特殊点
，
，
，
且当
趋近于
时，
趋近于0；当
趋近于
时，
趋近于
，
所以
的大致图象如图；
若方程
有两根，即
与
有2 个交点，
由图象可知：
，所以b 的取值范围为
.
精练高频考点
1．（2025·全国·模拟预测）已知函数
的导函数为
．
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
有三个不同的零点，求实数
的取值范围；
(3)已知
，若
在定义域内有三个不同的极值点
，且满足
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程；
（2）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参；
（3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参.
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以
，则
，
所以
的图象在点
处的切线方程为
，即
．
（2）由题知，
，
因为
有三个不同的零点，
所以方程
有三个不等实根，
化简可得方程
有三个不等实根，
即可看成直线
与曲线
有三个不同的交点，
，
所以当
或
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以当
时，
有极小值为
，
当
时，
有极大值为
，
当
时，
，且当
时，
，
所以作出函数
的图象如图1 所示，
所以数形结合可知
，即实数
的取值范围为
．
（3）由题知，
，其定义域为
，
则
，
令
，得
或
，
设
，则
，
当
时，
，所以
单调递增；
当
时，
，所以
单调递减，
又当
时，
；当
时，
，且
，
所以
的大致图象如图2 所示，
因为
在定义域内有三个不同的极值点
，
所以
与
有两个不同的交点，所以
，
不妨设
，则
，
所以
，所以
所以
，
令
，则
，
因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
所以
，
又
，
所以
，所以
在
上单调递增，
因为
，
所以当
时，
恒成立，
即当
时，
恒成立，
所以实数
的取值范围是
．
2．（24-25 高二下·山西太原·期中）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)若函数
恰有两个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
或
.
【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求极值；
（2）根据（1）及
的区间值域，结合零点个数确定参数范围.
【详解】（1）由题设
，
当
或
，
，
在
、
上单调递增，
当
，
，
在
上单调递减，
所以极大值为
，极小值为
.
（2）由
时，
趋向于
，
时，
趋向于
，且
，
结合（2）知，在
上
，且
，
要使函数
恰有两个零点，则
或
.
3．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
，
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程.
(2)若关于
的方程
恰有两个不同的正实数根
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
时，
，再根据过原点切线的求法求切线即可；
（2）由
恰有两个不同的正实数根
，等价于
在
有两个不同的解，令
，求导分析单调性，根据单调性作图即可确定
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，设直线的方程为
，
曲线
与直线相切于点
，
因为
，所以
①，
又点
既在曲线
上，又在直线
上，
所以
②，由①②得
，所以
，
所以
，故的方程为
.
（2）由
得：
，
恰有2 个正实数根
恰有两个正实数根
，
令
，则
与
有两个不同交点，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，又
，
当
从0 的右侧无限趋近于0 时，
趋近于
；
当
无限趋近于
时，
的增速远大于
的增速，则
趋近于
，则
的图象如图所示，
当
时，
与
有两个不同交点，
实数
的取值范围为
.
高频考点五：构造函数研究函数零点问题
典型例题
例题1．（24-25 高二下·云南临沧·期中）若函数
存在零点，则的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
进行同构处理
，令
，由函数
单调，
所以
，即即
，求导分析值域即可.
【详解】由题意得
，令
，则
，
令
，
因为函数
，
均在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
所以由
，得
，即
，
令
，
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，当
时，
，
所以
，解得
，即的取值范围为
,
故选：A.
例题2．（24-25 高二下·北京东城·期中）已知
，
，则下列说法正确的有 ．
①
的值域为
； ②
时，
恒有极值点；
③
恒有零点； ④对于
，
恒成立．
【答案】②③④
【分析】设
，通过函数求导可推得
，即可判断①；由函数的单调性分析易得
为函数
的极值点，判断②；利用函数与方程思想，判断
有实根即可，可根据参数
和
分
类讨论，结合函数的图象判断
与
有交点得到③；由
，换元
后构
造
，利用其单调性即可判断④.
【详解】设
，则
即
，则
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，即得
，
即
的值域不是
，故①错误；
由①可知，
时，
是
的极值点，故②正确；
若
有零点，则
有实根.
当
时，
与
恒有交点；
当
时，由①知，
，
且
在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，函数
与
在第三象限有交点；
当
时，函数
与
在第四象限有交点，
故
与
恒有交点，故③正确；
因
，设
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，故
，
即
恒成立，故④正确.
综上可得，说法正确的有②③④.
故答案为：②③④.
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
（
），若函数
在区间
内存在零点，求实数a 的取值范围
【答案】
【分析】先根据函数结构特征将问题同构得得
在区间
内有解，接着根据函数
最值情况得到
，分离参数研究即可求得参数范围.
【详解】由题意可得
在区间
内有
解，
令
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
即
当
等号成立，
所以
，即
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，且当
时
，当
时
，
所以
.
故答案为：
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
，讨论函数
零点的个数.
【答案】答案见解析
【分析】令
，则
，即
，则函数
的
零点个数即为方程
实数根的个数，令
，则题目转化为求关于的方程
实数根的个数，构造函数
，利用导数求出函数的单调区间及极值即可得解.
【详解】令
，
则
，即
，
则函数
的零点个数即为方程
实数根的个数，
令
，
因为函数
在
上都是增函数，
所以函数
在
单调增，所以
，
则关于
的方程
实数根的个数，
即为关于的方程
实数根的个数，
即为关于的方程
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
无零点；
当
时，
有一个零点；
当
时，
有两个零点.
第四部分：典型易错题型
备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图，要灵活应用极限画图
1．（2025·湖北·二模）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，讨论方程
的根的个数.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可；
（2）根据已知有
，构造
并应用导数研究函数的单调性，得到
，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围.
【详解】（1）
的定义域为
，则
，
因
，由
，解得
，
①当
时，
恒成立，
所以
的无递增区间，递减区间为
；
②当
时，
，
令
，得
；令
，得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
；
③当
时，
，
令
，得
；令
，得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
；
综上所述，
当
时，
无递增区间，递减区间为
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
；
（2）由题设
，
令
，则
，即
在
上单调递增，
故上式
中满足
，则有
，可得
，
令
，则
，由
解得
.
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
且
，当
时，
，
故
.
结合图象，可知，
当
时，方程
有0 个实根；
当
或
时，方程
有1 个实根；
当
时，方程
有2 个实根.
2．（24-25 高三上·浙江杭州·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数
的极小值点和极小值；
(3)若方程
恰好有2 个解，则实数的范围.
【答案】(1)
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
；
(2)函数
的极小值点为0，极小值为0.
(3)
.
【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解，
（2）根据函数的单调性，结合极值的定义即可求解，
（3）结合函数的单调性和极值，作出函数图象，根据函数图象即可求解..
【详解】（1）因为
，所以
，定义域为R，
令
，可得
，所以
或
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
（2）由（1）知：当
时，函数
取极小值，极小值为0，
所以函数
的极小值点为0，极小值为0.
（3）由（1）函数
在
，
单调递减，在
单调递增，
且
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
的大致图象如下：
由图可知当且仅当
时，方程
恰好有2 个解，
所以
；
3．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
，
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)讨论关于
方程
的解的个数.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
；有极小值
，无极大值
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数求函数的单调性，进而得极值；
（2）将方程解的个数转化为函数
的图象与直线
的交点个数，结合函
数性质与趋势分
析，作出函数图象，数形结合可得图象交点的个数.
【详解】（1）函数的定义域为
令
，解得
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
所以当
时，
有极小值，且极小值为
.
综上所述，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
有极小值，极小值为
，无极大值.
（2）令
，解得
；
当
时，
；当
时，
.
当
时，
，当
时，
，
结合（1）中分析可得，
的大致图象如图所示，
方程
的解的个数为函数
的图象与直线
的交点个数.
由（1）可得当
时，
有最小值
；
由图可得，当
时，方程
无解；
当
或
时，方程
有1 个解；
当
时，方程
有两个解.
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知
且
，函数
，若曲线
与直线
有
且仅有两个交点，求
的取值范围.
【答案】
【分析】由题意得方程
有两个不同的解，方程变形得
，两边取对数整理得
，令
，分析
的单调性和值域可得
的取值范围.
【详解】曲线
与直线
有且仅有两个交点，
可转化为方程
有两个不同的解，
方程
，化为
，两边取对数得
，即
，
即方程
有两个不同的解.
令
，则
，
令
，解得
，
当
时，
,此时
单调递增；
当
时，
，此时
单调递减.
故
，且当
时，
，
又
，所以
，解得
或
，
故
的取值范围是
.
故答案为：
.
