文档文本内容
专题2.6 函数零点与方程的根
一、核心知识：
1.函数的零点
（1）函数零点的概念：
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0 的实数x 叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系:
方程f(x)＝0 有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2.函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那
么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0
的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，
，且
具有单调性，
则函数
在区间
内只有一个零点.
推论2：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，函数
在区间
内有零点，且函
数
具有单调性，则
3.一元二次函数y=ax 2+bx +c（a≠0）的零点
当a>0 时，一元二次方程ax 2+bx +c=0 的实数根、二次函数y=ax 2+bx +c 的零点之间的关系如下表
所示：
Δ=b2−4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
ax 2+bx +c=0 的
实数根
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
（其中x1<x2）
x1=x2=−b
2a
方程无实数根
y=ax 2+bx +c
的图象
y=ax 2+bx +c
的零点
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
x1=x2=−b
2a
函数无零点
二、考点聚焦：
考点一：函数的零点
经典例题：
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数
的零点是（ ）
A．2
B．
C．-2
D．2 或-1
【答案】A
【详解】由题意令
，因为
，所以
，即
.故选：A.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
，则函数
的零点为（ ）
A．1
B．0
C．e
D．
【答案】C
【详解】由
可得
，由
可得，
，解得
.故选：C.
3．（2022·陕西西安·一模）函数
的零点为（ ）
A．4
B．4 或5
C．5
D．
或5
【答案】C
【详解】由题意
，解得
，故
的定义域为
，令
，
得
，则
，解得
或
，又∵
，所以
．故选：C.
4．（20-21 高三上·上海嘉定·期中）函数
的零点为 .
【答案】
【详解】设
, 令
,去分母得：
,整理得
,即
,∵
,∴
,即
，∴
,故答案为：
.
5．（2022·江西景德镇·模拟预测）若
，则函数
的零点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
,解得
或
（舍去），则
，解得
.故选：D
6．（2021·全国·二模）已知函数
的图象关于直线
对称，则下面不
是
的零点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
，所以
，代入选项
验证可知
.都是函数的零点，
不是函数的零点，故选：C.
7．已知函数
，则函数
的零点为（ ）
A．
B．
，0
C．
D．0
【答案】D
【详解】
函数
，当
时，令
，解得
，当
时，
令
，解得
（舍去），综上函数的零点为0.故选：D．
8．（2021·全国·模拟预测）设
，定义符号函数
，则方程
的解是
（ ）
A．1 B．
C．1 或
D．1 或
或
【答案】C
【详解】当
时，方程
可化为
，化简得
，解得
；当
时，
方程
可化为
，无解；当
时，方程
可化为
，化简得
，解得
（舍去）或
；综上，方程
的解是1 或
.
故选：C.
9．（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0 的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数
的零点为1 和
.若函数
的零点是
和
，则函数
的零
点是 .
【答案】
和
【详解】先将二次函数
展开得到
.根据韦达定理，若方程的两根为
和
，得出
，
.已知
，令
，解得
,
.故答案为：
和
.
10．（2020·全国·模拟预测）对任意的实数
，
表示不大于
的最大整数，则函数
的
零点为 .
【答案】
【详解】由题意得，
.令
得，
，所以
，解得
或
，从而
或
.当
时，
，解得
，
，与
矛盾，故舍去；
当
时，
，
，符合题意.故函数
的零点为
.故答案为：
.
强化训练：
1．（2021·上海普陀·二模）函数
的零点为 ．
【答案】
【详解】令
，得
，两边平方得：
，解得
，所以函数
的零
点为1.故答案为：1.
2．（2024·山东青岛·二模）函数
的零点为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，令
，解得
，即函数的零点为1.故选：B.
3．（2023·陕西西安·模拟预测）函数
的零点为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，得
，则
．故选：A
4．（2023·上海徐汇·一模）函数
的零点是 ．
【答案】
/0.5
【详解】由题意可得函数的定义域为
.
，令
可得
，解得
或
（舍），故答案为：
.
5．（2023·广西·一模）已知函数
是奇函数，且
，若
是函数
的一个零点，
则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
【答案】D
【详解】因为
是函数
的一个零点，则
，于是
，即
，
而函数
是奇函数，则有
，所以
.故选：D
6．
的零点为 ．
【答案】
【详解】令
，则
或
，解得
.故答案为：
7．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）定义符号函数
，则方程
的解是（ ）
A．2 或
B．3 或
C．2 或3
D．2 或3 或
【答案】D
【详解】依题意，当
时，方程
为：
，解得
或
，因此
或
，
当
时，方程
为：
，解得
，于是无解，当
时，方程
为：
，解得
或
，因此
，所以方程
的解是
或
或
.故选D
8．（2023·河南开封·一模）若函数
的一个零点为
，则
．
【答案】
【详解】
函数
的一个零点为
,
,
, 函
数
,
.故答案为:
.
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数
，则函数
的零点为 .
【答案】
和
【详解】当
时，令
，解得
；当
时，则
在
上单调递增，且
，故
在
内有且仅有一个零
点2；上所述：函数
的零点为
和
.故答案为：
和
.
10．（2022·四川广安·模拟预测）已知数列
为等比数列，若
，
为函数
的两个零
点，则
（ ）
A．10
B．12
C．32
D．33
【答案】B
【详解】因为
，
为函数
的两个零点，所以
，所以
或
,所以，当
时，
，
，当
时，
，
，
所以，
.故选：B
考点二：函数零点个数与零点和
经典例题：
1．（2021·云南·模拟预测）函数
在
上的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】由
，得
，作出函数
在
上的图象如图所示，
，因为
，所以由图可知直线
与图
象有3 个交点，从而
在
上有3 个零点.故选：B
2．（2025·广西·一模）曲线
与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】函数
在R 上单调递减，当
时，
；当
时，
，由
，得
，因此曲线
与直线
的交点横坐标必在
上，令
，
，求导得
，由
，得
，存在
，使得
，当
或
时，
；当
时，
，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又
，
，因此函数
在
上各有一
个零点，所以曲线
与直线
的交点个数为3.故选：C
3．（2025·上海·三模）函数
的零点个数为 .
【答案】3
【详解】根据
的零点个数转化为
与
的图象的交点个数，
时，函数
取最大值
，
时函数
的值为
，
又因为
，结合图象可知，两函数图象具有个交点.所以
的零点个数为
个.故答案为：.
4．（2024 高三·全国·专题）函数
的零点个数为 ．
【答案】4
【详解】令
，得
或
．设
，
，在平面直角坐标系中先画出
的图象，保留
轴上方的部分图象并把
轴下方的图象向上翻折即得
的图象，再作出
的图象，如图所示，由图可知两者共有3 个交点.综上所述，函数
共有4 个零点．故答案为4.
5．已知函数
，则函数
的零点个数为（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】由
可得
.当
时，
，或
（舍去），当
时，
或
.故
是
的零点，
是
的零点，
是
的零点.综上所述，
共有个零点.故选：C
6．（21-22 高三·云南·阶段）函数
在
上的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
，
，故
在
上的零点从小到大排成首项为
、公差为
的
等差数列．由
得
，即该数列共有项，所以所有零点之和为
，
故选：D．
7．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数
关于直线
对称，
则函数
的所有零点之和为 ，
的最小值为 .
【答案】
【详解】由题意
的定义域为
，由函数
关于直线
对称，得
，令
，则
，即
，令
，则
，即
，联立
，解得
，则
，令
，解得
，所以函数
的所有零点之和为
；
，令
，因为函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，所以
时，有最小值，最小值为
，则
，
所以
，因为函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
由
，得
，解得
，所以复合函数
在区间
上单调递减，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，因此，
结合函数
的对称性可知，当
或
时，函数值最小，即
的最小值为
.故答案为：
；
.
8．（24-25 高三上·江西鹰潭·期中）已知函数
和
的零点分别为
，则
.
【答案】2
【详解】令
，则函数
和
的图象与函数
交点的横坐标分别为
，又易得
和
的图象关于
对称，
设
和
与
的交点坐标分别为
，可知交点坐标也关于直
线
对称，所以
，即
.故答案为：2.
9．（2021·河南·模拟预测）方程
的所有实数根的平方和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则方程
化为
，即
，故
原方程等价于
，利用幂函数的单调性知，函数
是
上的增函数，任取方程的实数根
，
若
，则必有
，与题意矛盾；若
，则必有
，与题意矛盾，所以
，即
，即
，可知原方程的所有
根为
，，
，其平方和为
.故选：A.
10．（2020·湖南长沙·一模）定义函数
，则函数
在区间
内的所有的零点之和为 .
【答案】
【详解】当1≤x
时，f（x）＝12x
12
﹣
，所以
，此时当x
时，g（x）max＝0；
当
x≤2 时，f（x）＝24
12
﹣
x，所以
＜0；由此可得1≤x≤2 时，g（x）max＝0．
下面考虑2n﹣1<x≤2n 且n≥2 时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1<x≤3•2n﹣2且n≥2 时，由函数f（x）的定义
知f（x）
f（
）
f（
），因为1
，所以
，此时当x＝
3•2n﹣2时，g（x）max＝0；当3•2n﹣2<x≤2n 时，同理可知，
<0．由此可得2n﹣
1<x≤2n 且n≥2 时，g（x）max＝0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间(2n﹣1，2n]上有1 个零
点，从而g（x）在区间[1，2n]上有n 个零点，且这些零点为xn＝3•2n﹣2，因此，所有这些零点成等比数列，
所有零点的和为
．故答案为：
．
强化训练：
1．（2025·山东枣庄·二模）函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】函数
，由
，得
或
，当
时，
，因此函数
在
上的零点个数为4.故选：B
2．（24-25 高三上·山东济南·期末）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】令
当
时
故
是
的一个根.当
时
令
则
所以
在
上单
调递增，所以
所以
时
即方程
在
无实数根.当
时
在
上单调递减，且
如图所示
与
的图象在
上有两个交点，所以方程
在
有两个不同的
根.综上所述，曲线
与
的交点个数为
故选：C
3．（2021·全国·模拟预测）函数
在
上的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，得
．分别画出函数
的
图象，
，由图可知，
的对称轴为
，
的对称轴
为
．所以所有零点之和为
．故选：B．
4．（2022·江西萍乡·二模）已知函数
，则
的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．2
D．0
【答案】D
【详解】令
，则
时，
，得
；
时，由
，得
或
，所以四个零点和为
.故选：D.
5．（2021·福建厦门·二模）已知函数
则函数
的所有零点之和为 .
【答案】
【详解】
时，
，
，由
，可得
或
，
或
；
时，
，
，由
，可得
或
，
或
；
函数
的所有
零点为
，
，
，
，所以所有零点的和为
.故答案为：
．
6．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知函数
的零点为
，函数
的零点为
，
则
．
【答案】2
【详解】由
，
得
，
函数
与
互为反函数，在同一坐标系
中分别作出函数
，
，
的图象，
如图所示，则
，
，由反函数性质知A，B 关于
对称，则
，
.故答案为：
.
7．已知函数
在
内恰有两个不同的零点
，则
，
.
【答案】
/
【详解】由题
.令
，得
，则
或
，解得
或
.由
，得
或
，所以
.不妨取
，则
.
8．（2024·河北·模拟预测）函数
在区间
内所有零点的和为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】依题意，
，由
，得
或
或
（不符合题意，舍去），函数
是偶函数，在
上的所
有零点关于数0 对称，它们的和为0，正弦函数
的周期为
，方程
在
的两
根和为
，在
上的两根和为
，因此
在
上的两
根和构成首项为
，末项为
的等差数列，共有
项，所有根的和为
.故选：B
9．（2022·四川广安·模拟预测）已知数列
为等比数列，若
，
为函数
的两个零
点，则
（ ）
A．10
B．12
C．32
D．33
【答案】B
【详解】因为
，
为函数
的两个零点，所以
，所以
或
,所以，当
时，
，
，当
时，
，
，
所以，
.故选：B
10．（23-24 高三上·河北廊坊·期中）（多选）若函数
在
上的零点从小到大排列后构成
等差数列，则的取值可以为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】ABD
【详解】因为函数
有零点，所以
．画出函数
与
的图象，如图所示．
当
或1 时，经验证，符合题意．当
时，由题意得
．
因为
，所以
．故选：ABD.
考点三：由零点个数求参
经典例题：
1．（2024·宁夏银川·三模）函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若函数
在区间
上存在零点，由函数
在
的图象连续不断，且为
增函数，则根据零点存在定理可知，只需满足
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.故选：D.
2．若函数
在区间
内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当
时，
，符合题意，
当
时，二次函数
的判别式为：
，
若
，此时函数
的零点为
，符合题意；
当
时，只需
，所以
且
；
当
时，
，经验证符合题意；当
时，
，经验证符合题意；
所以实数a 的取值范围为
.故答案为：
3.（2024·全国·模拟预测）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】法一：因为
，且
有两个零点，所以方程
在
上有两个不同的解，所以
解得
．
法二：由
得
，因为
有两个零点，所以直线
与函数
的图像有两个交点．函数
的图像如图，由图可知
．
故选：D．
4．（2021·全国·模拟预测）已知函数
有两个不同的零点，则常数
的取值范围是
.
【答案】
【详解】由函数
有两个不同的零点，可知
与
的图象有两个
不同的交点，故作出如下图象，
当
与
的图象相切时，
，即
，由图可知
，故相切时
，因此结合图象可知，当
时，
与
的图象有两个不同的交点，即当
时，函数
有
两个不同的零点.故答案为：
.
5.（2024 年全国Ⅱ卷）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】解法一：令
，即
，可得
，令
，原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
，因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，可得
，当且仅当
时，等号成立，则方程
有且仅有一
个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，所以
符合题意；综上所述：
.故选：D.
解法二：令
，原题意等价于
有且仅有一个零点，因为
，则
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即
，解得
，若
，则
，又因
为
当且仅当
时，等号成立，可得
，当且仅当
时，等号成立，即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；故选：D.
6．（2023·广西北海·一模）已知函数
，将
的图象上所有点的横坐标缩
短为原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，已知
在
上恰有5 个零点，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，令
，由题意
在
上恰有5 个零点，即
在
上恰有5 个不相等的实根，由
的性质可得
，解得
．
故选：D．
7．（2024·河南郑州·郑州一模）已知函数
求使方程
的实数解个数为3 时
取值范围 ．
【答案】
【详解】当
时，函数
在
是递减，函数值集合为
，
在
上递增，函数值集合为
，当
时，
是增函数，函数值集合为R，
方程
的实数解个数，即为函数
与直线
的交点个数，在同一坐标系内作出直线
与
函数
的图象，
观察图象，当
时，直线
与函数
的图象有
3 个交点，所以方程
的实数解个数为3 时
取值范围是
.
故答案为：
8．（24-25 高三上·江苏南通·期中）若函数
的图象上存在关于原点对称的点，则实
数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】当
时，
，
有解，∴
有正根，即
，
令
，则
，故当
时，
，当
单调递增，
，故
在
单调递减，
单调递增，
，
∴
.故答案为：
.
9．（2023·广西梧州·一模）已知函数
，若关于
的方程
有3 个不
同的实数根，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】当
，
，则
，令
，得
，当
时，
，当
时，
，所以
在
上递减，在
上递增，
，作出函数
的大
致图象，
设
，则
有两个不同的实数根
，由
可知，
与
异号，不妨设
，要使方程
有3 个不同的实数根，
则
或
，①当
时，
，得
；②当
时，设
，则
，得
，综上，
的取值范围为
．故答案为：
．
10．（2023·全国·模拟预测）已知
，符号
表示不超过x 的最大整数，若函数
有且仅有2 个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
有且仅有2 个零点，则
有且仅有2 个解，
设
，根据符号
作出
的草图如下：
则
或
，故选：D.
强化训练：
1．（2024·高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数
存在1 个零点位于
内，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若函数
存在1 个零点位于
内，
单调递增,又因为零点存在定
理，
.故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）若方程
在区间
上有解，
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，即
在区间
上有解，设函数
，则函
数
图像与直线
在区间
上有交点．因为
，所以
，所以
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．当
时，在区间
上，
，
，则
，解得
．当
时，因为
，
，
．则
，解得
，又
，所以
，则
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
．故选：A．
3.（2024·全国·模拟预测）若函数
有两个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
有两个零点可转化为函数
的图像与直线
有两个交点．
因为函数
的图像与
轴交于点
，且函数
在点
处的切线方程为
，所以直线
与该切线平行，且该直线
与
轴交于点
，所以点
在点
上方，即
，解得
，即实数
的取值范围是
．故选：D．
4．（21-22 高三上·广东·阶段）设函数
的最小正周期为
，且
在
内恰有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，由
，即
，得
，
当
时，
，又
，则
，因为
在
的零点
为
，且
在
内恰有3 个零点，所以
或
，
解得
，故选：D
5．（2024·安徽合肥·二模）已知函数
，若关于
的方程
至少有
两个不同的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，作出函数的图象，如图所示：
由此可
知函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增，且
，
，又因为关于
的方程
至少有两个不同的实数根，所以
至少有两个不同的实数根，即
的图象与
至少有两个不同的交点，所以
，又因为当
时，
，令
，可得
；当
时，
，令
，解得
，又因为
，所以
，解得
．故选:D．
6．（2020·全国·模拟预测）已知函数
，
，若
恰有1 个零点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
恰有1 个零点即
与
的图像恰有一个交点，
恒过
点，由
得
，所以曲线
在点
处的切线的斜率为1，由
得
，所以曲线
在点
处的切线的斜率为1，所以结合图像可知，
恰有1 个零点当且仅当
.故选：D
7．（2021·全国·模拟预测）若函数
存在2 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一个零点，函数
存在2 个零点，当且仅当f(x)在(-∞，1]有一个零点，x≤1 时，
，
即函数
在(-∞，1]上的图象与直线y=m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y=m 和函数
的图象，如图：
而
在(-∞，1]上单调递减，且
有
，则直线y=m 和函数
的图象有一个公共点，
.故选：A
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数
．若
的零点恰有
个，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可知
，当
时，
，
在
上单调递增，
；当
时，
，
在
上单调递减，
，画出函数
和
的图象（如图），可
知
，故选：C
9．（2021·全国·模拟预测）已知函数
．若
的零点恰
有
个，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可知
的定义域为
．
，当
时，
，
在
上单调递增；当
时，
，
在
上单调递减．令
，
可得
或
．
在同一坐标系中作出函数
的图象，
因为函数
恰有
个零点，结合图象可知
或
．故选：C
10．（2023·广西南宁·一模）已知函数
，若函数
，存在
5 个零点，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
【答案】A
【详解】如图，先画出函数
的图象.
已知
有5 个零点，即方程
有五个实数根.
令
，方程
有两个实数根
，由
的图象可知，当
时，
有两个实数根，
有三个实数根，可满足
有五个零点.将
代入
中，得
，解得
或
.又因为
，所以当
时，
，不满足题意；当
时，
，满足题意，故选：A.
三、达标检测：
《函数与方程》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由已知，可知
为增函数，且
，
，
根据零点存在定理，函数
在
有零点，且零点是唯一的.故选：B
2．若函数f(x)＝ax＋b 有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax 的零点为（ ）
A．0 或
B．0
C．
D．0 或
【答案】A
【详解】因为函数f(x)＝ax＋b 有一个零点是2，所以b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．
令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－
．故选：A
3．已知函数
的零点位于区间
内，则整数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】因为函数
与
在
上均为增函数，所以函数
在
上为增函
数，因为
，
，
，所以函数
的零点位于区间
内，故
.故选：B.
4.已知函数
. 若
有零点；
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为
有零点，所以
，即
.又
，显然
不能推出
，
但
能够推出
.所以
是
的必要不充分条件.故选：B.
5．已知函数
，函数
，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数k 的取
值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知
，设切点为
，则切线方程为
．将
代入可得
，故
与
（
）相切时
，
,
，故由两函数的图象有两
个不同交点可得
，即
，故选:A．
6．已知函数
有且仅有3 个零点，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】因为
，所以
，故
为奇函数，且
为
的零点，所以
在
上有且只有1 个零点，又
，
，
，故零点均位于区间
内，当
时，
，
，故存在
使得
，又
，故存在
使得
，所以
在
上至少存在两个零点，故
不符合题意；当
时，由
，可
得
，作出函数
与函数
的大致图象，
，由图形可知
函数
与函数
的有3 个交点，即函数
有且仅有3 个零点，适合题
意，所以
的最大值为4.故选：C．
7．已知函数
，若函数
有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意知函数
与函数
的图象有两个交点．当
时，
，则
，当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单
调递增，当
时，
取得极大值，且
，作出函数
的图象与
的图象，
如图．
当
时，
，则
，所以
，故曲线
在
处的切线方程为
，易知
．当
时，
，则
，所
以
，故曲线
在
处的切线方程为
，易知
．综上所述，实数a 的取值范围
为
．故选：D．
8．已知函数
，若函数
有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，当
时，
，当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，当
时，
．
当
时
，当
时，
，当
时，
，所以
在
上
单调递减，在
上单调递增，且
．作出函数
的大致图象，如图所示，
由图可知，
是
的零点，要使
有两个不同的
零点，则方程
有两个不相等的实数根，等价于
有1 个非零实数根.由图可知
或
或
，即
.故选：C．
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．已知函数
，在下列区间中，包含
零点的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】
的定义域为
，B 选项错误.
在区间
上是增函数，
，所以
是
的唯一零点，所以AC 选项正确，D 选项错误.故选：AC
10．关于函数
，下列描述正确的有（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
的图象关于直线
对称
C．若
则
D．
有且仅有两个零点
【答案】ABD
【详解】根据图象变换作出函数
的图象（
，作出
的图象，再作出其关于
轴对
称的图象，然后向右平移2 个单位，最后把
轴下方的部分关于
轴翻折上去即可得），如图，由图象知
在
是单调递增，A 正确，函数图象关于直线
对称，B 正确；
，直线
与
函数
图象相交可能是4 个交点，如图，如果最左边两个交点横坐标分别是
，则
不成立，
C 错误，
与
轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D 正确．故选：ABD．
11．
是定义在R 上的奇函数，对任意
，均有
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．4 是函数
的一个周期 B．当
时，
C．当
时，
的最大值为
D．函数
在
上有1012 个零点
【答案】AD
【详解】对于A 项，由对任意
，均有
，得
，即
，
所以函数
的图象关于直线
对称.而
是定义在R 上的奇函数，所以
，所以
，于是
，因此4 是函数
的一个周期，A 正确；对于B 项，
当
时，
，而当
时，
，所以
.又
，所以，
，B 错误；对于C 项，当
时，
，根据奇函数的性质可得
，求导得
，
，当
时，
，所以
在
上单调递增；当
时，
，所以函数
在
上单调递减，于是
，
C 错误；对于D 项，当
时，由
，得
，由
，得
，且
.
又
是定义在R 上的奇函数，结合C 项
在
上的单调性，可得函数
在
上递减，在
上递增，结合对称性得函数
在
上只有0 和2 两个零点.由
知，函数
在
上只有2 和4 两个零点，因此函数
在
上只有2 个零点，在
上有
个零点，D 正确.故选：AD.
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．函数
的零点为 .
【答案】10
【详解】令
，即
，所以
，因此
，所以函数
的零点为
，故答案为：
.
13．定义函数
，设
，若
含有3 个不同的实数根，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
或
【详解】设
，
，由
，解得
，
；由于
含有3 个不同的实数根，所以
有两个相等的实根或者两个相异的实根，
则
，即
，解得
，或
.当
时，
，
解得
，又
，满足题意；当
时，如下图，
的对称轴方程
，
，则
有4 个根，不合题意，舍去；
当
时，
，解得
，即
，
含有2 个不同的实数根，不满足题意；当
时， 如下图，
，若
含有3 个不同的实数根，则
，解得
；
综上，
或
.故答案为：
或
.
14．已知函数
，若关于x 的方程
有5 个不同的实
数根，则a 的取值范围为 .
【答案】
【详解】由函数
可知，其函数图象如下图所示：
若关于x 的方程
有5 个不同的实数根，即方程
有5 个不同的实数根，即
和
共有5 个不同的实数根，所以
和
与函数
共有5 个不同的交点；由图可知，
与函数
最多有三个交点，且
；所以，当
，
与函数
有2 个不同的交点，需满足
与函数
有3 个不同的交点，所以
，
解得
；当
时，
与函数
有3 个不同的交点，需满足
与函数
有2 个
不同的交点，所以
，解得
；综上可知，
，所以，a 的取值范围为
.
故答案为：
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
B
A
B
B
A
C
D
C
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
AC
ABD
AD
答案:
10
或
