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专题2.1 函数概念及其表示
一、核心知识：
1.函数的概念：
一般地，设
是非空的数集，如果对于集合
中的任意一个数
，按照某种确定的对应关系
，在集
合
中都有唯一确定的
和它对应，那么就称
为从集合
到集合
的一个函数，记作
.
2.相等函数：
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3.分段函数：
在函数定义域内，对于自变量
取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段
函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示
的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。
4.基本的函数定义域限制:
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切
的定义域是
且
；
5.已知
的定义域求解
的定义域，或已知
的定义域求
的定义域:
（1）定义域是指自变量的取值范围；
（2）在同一对应法则
下，括号内式子的范围相同；
6.对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
7.基本初等函数的值域:
（1）
的值域是
．
（2 ）
的值域：当
时，值域为
；当
时，值域为
．
（3）
的值域是
．
（4）
且
的值域是
．
（5）
且
的值域是
．
二、考点聚焦：
考点一：函数的概念
经典例题：
1．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数
图象的是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③
2．设
，
，函数
的定义域为
，值域为
，则
的图象可以
是
A．
B．
C．
D．
3．（2023 高三·全国·专题）下列对应是从集合A 到集合B 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中，与
是相同的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若函数
的值域是
，则此函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．函数
的值域（ ）
A．
B．
C．
D．
9．函数
的值域是
，则此函数的定义域为
A．
B．
C．
D．
10．（多选）下列函数中，在
上的值域是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
强化训练：
1．（多选）下列所给图形可以是函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A 到集合B 的一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高三上·福建宁德·阶段）（多选）下列函数中，与函数
是同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·江西·模拟预测）（多选）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
6．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
7．函数
在
的值域为 .
8．函数
的值域为 .
9．已知集合
，
，则
．
10．（多选）下列函数中值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二：求函数定义域
经典例题：
1．（2024 高三·广东·学考）函数
的定义域为
.
2．（2024·四川南充·三模）函数
的定义域为 .
3．（2020·上海虹口·二模）函数
的定义域为 .
4．（2024·山东·一模）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数
的定义域为
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是
8．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域
是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若函数
的定义域为
，则实数a 的取值范围是 ．
10．（2021·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
有定义，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
强化训练：
1．（2025·北京·二模）函数
的定义域为 ．
2．（2023·北京朝阳·二模）函数
的定义域为 .
3．（2023·上海普陀·二模）函数
的定义域为 ．
4．（2025·上海静安·模拟预测）已知集合
，则
．
5．（2025·湖南常德·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·湖北武汉·二模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
.
7．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数
的定义域为
.记
的定义域为集合
的定
义域为集合
.则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023·北京延庆·一模）已知函数
的定义域为
，且
，则
的取值范围是 ．
9．（2024·河南信阳·一模）已知不等式
的解集为
，则函数
的定义域为 .
10．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数
定义域为
，则实数
实数b 的取值
范围 ．
考点三：求函数解析式
经典例题：
1．（2022·山东济南·二模）已知函数
，则
．
2．（2022·河北石家庄·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知
，则
．
4．已知f(x＋
)＝x2＋
，则函数f(x)＝ ．
5．（2022·河北保定·二模）若函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·安徽蚌埠·三模）已知函数
是一次函数，且
恒成立，则
A．1
B．3
C．5
D．7
7.已知
，那么
．
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知二次函数
满足
，
，则不等式
的解集为 ．
10．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的
，都有
，则一次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
强化训练：
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知
，则
．
3．一次函数
在
上单调递增，且
，则
.
4．已知函数
是一次函数，且
，则
的解析式为 .
5．已知二次函数
，其图象过点
，且满足
，则
的解析式为 .
6．（2022·全国·模拟预测）若函数
满足关系式
，则
.
7．（2023·河南·模拟预测）已知函数
对定义域
内的任意实数
满足
，则
.
8．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数
满足
，
，则下列说法正确的
是（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．（2024·四川·模拟预测）已知
为定义在
上的单调函数，且对
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·浙江·二模）已知函数
满足
，则
可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
考点四：分段函数
经典例题：
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若
则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
2．（2024·湖南益阳·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数
满足
若
，则
（ ）
A．1
B．4
C．5
D．2024
5．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数
且
，则
（ ）.
A．
B．
C．2
D．4
6．（2022·江西南昌·一模）已知
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．0
7．设函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
（ ）
A．1
B．3
C．4
D．6
9．（2024·山西·三模）已知
是奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．（2024·北京东城·二模）设函数
，则
，不等式
的解集
是 .
强化训练：
1．（2024·四川达州·二模）已知
，则
.
2．（2025·北京房山·一模）已知函数
，则
.
3．（2023·广西南宁·一模）已知函数
，那么
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
4．（2025·广西河池·二模）已知
，求
.
5．（2025·山东济宁·二模）已知函数
则
的值为 .
6．（2024·山东泰安·二模）已知函数
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
若
，则
．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集是 .
9．（2025·上海宝山·二模）已知函数
则
= .
10．（2025·安徽黄山·二模）已知函数
，则
．
三、达标检测：
《函数概念及其表示》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．函数y=f(x)的图象与直线
的交点个数（ ）
A．至少1 个
B．至多1 个
C．仅有1 个
D．有0 个、1 个或多个
2.已知函数
的定义域
，值域
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中与函数
相等的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，那么
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
6．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
是一次函数，且
恒成立，则
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
8．已知函数
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10．下列求函数定义域正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的定义域为
C．函数
的定义域为
D．函数
的定义域为
11．若函数
的图象为如图所示的曲线m 和线段n，曲线m 与直线l 无限接近，但永不相交，则下
列说法正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．在
的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应
D．在
的值域内任取一个值，总有唯一的x 值与之对应
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．若函数
，则
.
13．（2025·上海宝山·二模）已知函数
则
= .
14．已知函数
的定义域为
，且
，则
的取值范围是 ．
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
答案:
附：常用基本初等函数图象及性质
一次函数
图象
O
x
y
y
x
O
定义域
R
R
值域
R
R
单调性
增
减
对称性
不固定
不固定
二次函数
图象
定义域
R
R
值域
单调性
先减后增
先减后增
对称性
关于
对称
关于
对称
反比例函数：
图象
定义域
值域
单调性
两个减区间
两个减区间
对称性
关于原点对称，是奇函数
关于原点对称，是奇函数
指数函数：
图象
定义域
R
R
值域
单调性
增
减
对称性
无
无
对数函数：
图象
定义域
值域
R
R
单调性
增
减
对称性
无
无
常用指数函数与对数函数图象：
幂函数：
图象
七、三角函数：
正弦函数：
正弦函数：
正弦函数：
图象
定义域
R
R
值域
R
单调性
增：
减：
增：
减：
增：
对称性
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心：
对称中心：
对勾函数：
图象
定义域
值域
单调性
增区间：
；
减区间：
增区间：
对称性
对称中心：
对称中心：
绝对值函数：
图象
定义域
值域
单调性
增区间：
；减区间：
增区间：
；减区间：
对称性
对称轴：
轴
对称轴：
轴
