专题1.2 常用逻辑用语
一、核心知识
1.充分条件与必要条件
（1）充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
（2）充要条件：如果“若
，则
”和它的逆命题“若
，则
”均为真命题，即既有
，又有
，就记作
.此时，
既是
的充分条件，也是
的必要条件，我们说
是
的充分必要条
件，简称充要条件。
2.全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“
”表示．
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：通常，将含有变量
的语句用
，
，
，…表示，变量
的取值范围用
表示，
那么，全称量词命题“对
中任意一个
，
成立”可用符号简记为
3.存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“
”表示．
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在
中的元素
，使
成立”可用符号简记为
4.命题的否定
（1）对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作“
”，读作“非p”或p 的否定．
（2）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“
”的否定是存在量词命题：
．
（3）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“
”的否定是全称量词命题：
．
（4）命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
（5）常见正面词语的否定：
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
p
q
q
p
p
q
q
p
p
q
p
q
q
p
q
x
p x
q x
r x
x
M
M
x
p x
,
x
M p x
M
x
p x
,
x
M p x
p
,
x
M q x
,
x
M
q x
,
x
M q x
,
x
M
q x
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n 个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1 个
二、考点聚焦
考点一：充分条件和必要条件
经典例题：
1．（2023·重庆·模拟预测）若p 是q 的必要不充分条件，q 的充要条件是r，则r 是p 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·上海宝山·二模）若
：
，
：
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·全国Ⅰ卷）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则
甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023·全国·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021·上海徐汇·二模）对于实数
，
，
且
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023·四川成都·模拟预测）使
成立的一个充分不必要条件是（ ）
2
4
x
2
x
2,4 ,
3, 1
a
b
2
k
a
kb
a
kb
n
S
na
n
na
{
}
n
S
n
1
x
2
4
3
0
x
x
x
y
1
x
2
y
3
x
y
2
1
x
A．
B．
C．x<2 D．
8．（2024·海南省·模拟预测）（多选）已知集合
，集合
，能使
成立
的充分不必要条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2022·江苏连云港·二模）若不等式
的一个充分条件为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022·山西晋中·二模）已知条件p：
，q：
，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
强化训练：
1．（2023·江苏无锡·模拟预测）设
，
，
，
是四个命题，
是
的必要不充分条件，
是
的充分
不必要条件，
是
的充分必要条件，那么
是
的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不
充分又不必要四选一）
2．（2024·安徽淮北·一模）记
是等差数列
的前
项和，则“
是递增数列”是“
是递增数
列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·浙江台州·一模）设
，
是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，且
，
，则
“
”是“
”的（ ）
1
3
x
0
2
x
0
2
x
3
A
x x
1
B
x x
m
A
B
A
0
m
1
m
3
m
4
m
1
1
a
x
a
0
1
x
a
0
a
0
a
1
a
1
a
1
1
x
x
m
1
|
m m
|
1
m m
| 1
0
m
m
|
1
m m
A
B
C
D
A
B
A
C
D
B
D
C
n
S
na
n
na
n
S
n
a
b
/ /
a
b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·湖南株洲·一模）已知函数
定义域为
为常数，则“
”是“
为
在
上最大值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·广东深圳·一模）已知向量
，则“
”是“
与
的夹角为钝角”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023·海南·模拟预测）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．（2024·河南郑州·一模）“
或
”是“圆
与圆
存在
公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025·北京丰台·二模）已知关于
的方程
的两实根为
，则“
”是
“关于
的不等式
的解集为
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2024·吉林延边·一模）若
，则p 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·湖南邵阳·二模）已知集合
，
．若“
”是“
”的充分不必
要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二：量词命题及其否定
经典例题：
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知命题
，
，则
是 .
f x
,I M
,
x
I
M
x
f
M
f x
I
3,3 ,
, 2
a
b
x
2
x
a
b
R
x
2 2
8
2
1
x
x
lg
3
0
x
5
a
5
a
2
2
1 :
1
C
x
y
2
2
2
)
(
2 )
36
:(
C
x
a
y
a
x
2
0
,
x
bx
c
b c
R
1
2
,
x x
1
2
x
x
x
2
0
x
bx
c
2
:
0
1
x
p
x
1
2
x
1
x
2
x >
2
5
x
2,5
A
1,2
1
B
m
m
x
B
x
A
m
,3
2,3
2,3
:
R
p
x
2
1
x
p
2．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（2024·全国·模拟预测）命题“
，函数
在
上单调递增”的否定为（ ）
A．
，函数
在
上单调递减
B．
，函数
在
上不单调递增
C．
，函数
在
上单调递减
D．
，函数
在
上不单调递增
4．（2024·全国Ⅱ卷）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题 B．
和q 都是真命题 C．p 和
都是真命题 D．
和
都是真命题
5．（23-24 高三上·山西吕梁·阶段）若命题：“
”为假命题，则实数
的取值范围
为 ．
6．（2019·四川乐山·一模）若命题“
”是假命题，则实数m 的范围是 ．
7．（2022·河南·模拟预测）命题“
，使
”是假命题，则实数
的取值范围为
．
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
a
a
f x
x
,a
1
a
a
f x
x
,a
1
a
a
f x
x
,a
1
a
a
f x
x
,a
1
a
a
f x
x
,a
x
R
|
1| 1
x
0
x
3x
x
p
q
p
q
2
R,4
2
0
x
x
x
m
m
2
0
0
0
,
0
x
x
x
m
R
0x
R
2
0
0
3
0
mx
m
x
m
m
8．（2024·辽宁·三模）若“
，使
”是假命题，则实数
的取值范围为 .
9.（2024·湖北武汉·高三期末）若命题“
，
”是假命题，则实数
的取值范围是
．
10.（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于
，
”为真命题，写出符合条件的
的一个
值为 ．
强化训练：
1．（2024·湖南邵阳·一模）命题“
”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022 秋·新疆伊犁·高三期中）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·广东佛山·模拟预测）已知命题p：
，
，命题q：“
”是“
”的充分
不必要条件，则（ ）
A．
假q 假
B．p 真
假
C．p 假q 真
D．p 真q 真
4．（2025·四川·模拟预测）已知命题p：
，
，命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题 B．
和q 都是真命题 C．p 和
都是真命题 D．
和
都是真命题
5．（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题
，命题
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
6．（2021·辽宁·模拟预测）（多选）已知命题
：
，
，若
为真命题，则
的值可
0,
x
2
4
0
x
ax
a
0
π π
,
8 6
x
0
tan2
2
x
m
m
0,
x
e
1
x
ax
a
2
,
4
6
0
x
x
x
R
2
,
4
6
0
x
x
x
R
2
,
4
6
0
x
x
x
R
2
,
4
6
0
x
x
x
R
2
,
4
6
0
x
x
x
R
0,
1
1.
x
x
a
0,
1
1.
x
x
a
0,
1
1.
x
x
a
0,
1
1.
x
x
a
0,
1
1.
x
x
a
0x
R
0 1
1
1
2
x
a
b
2
2
a
b
p
q
x
R
sin x
x
0
x
3
0
x
x
p
q
p
q
2
:
,
1
p
x
x
x
R
2
:
0,
q
x
x
x
p
q
p
q
p
q
p
q
p
0x
R
2
0
0
4
4
0
ax
x
p
a
以为（ ）
A．
B．
C．0
D．3
7．（2023·海南·模拟预测）若
，使得
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“
,
”是假命题，则
不能等于（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2022·湖北·模拟预测）（多选）给定命题
，都有
.若命题
为假命题，则实数
可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·辽宁·模拟预测）命题
：存在
，使得函数
在区间
内单调，若
的否定为真命题，则
的取值范围是 .
三、达标检测
《常用逻辑用语》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．（2023·全国·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题
，命题
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
3．（2021·上海徐汇·二模）对于实数
，
，
，且
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·海南·模拟预测）若
，使得
，则实数a 的取值范围是（ ）
2
1
R
x
2
3
x
a
, 3
3,
,0
0,
1,3
a
2
2
2
0
ax
a
x
x
1
0
1
2
3
:
p
x
m
2
10
x
p
m
1
2
3
4
p
1,1
m
2
2
f x
x
mx
,a
p
a
A．
B．
C．
D．
5．（2022·江苏连云港·二模）若不等式
的一个充分条件为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（22-23 高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若命题：“
，使
”是真命题，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（12-13 高三下·四川·阶段练习）已知命题“
，使
”是假命题，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·广西桂林·一模）“
，使
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．（2022·湖北·模拟预测）给定命题
，都有
.若命题
为假命题，则实数
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·辽宁·模拟预测）已知命题
：
，
，若
为真命题，则
的值可以为
（ ）
A．
B．
C．0
D．3
11．（2024·海南省·模拟预测）已知集合
，集合
，能使
成立的充分
不必要条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．（2023·江苏无锡·模拟预测）设
，
，
，
是四个命题，
是
的必要不充分条件，
是
的充分
不必要条件，
是
的充分必要条件，那么
是
的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不
充分又不必要四选一）
13．（2022·河南·模拟预测）命题“
，使
”是假命题，则实数
的取值范围
为 ．
14．（23-24 高三上·河南·阶段练习）若命题“
，
”为假命题，则
的取值
范围为 .
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
答案:
