第06 讲 导数与函数的极值最值
目 录
思维导图.............................................................................................................................................................2
高考分析.............................................................................................................................................................2
学习目标.............................................................................................................................................................2
知识要点.............................................................................................................................................................2
解题策略.............................................................................................................................................................4
题型归纳.............................................................................................................................................................4
题型01：求函数的极值（极值点）..............................................................................................................4
（一）极值点辨析.................................................................................................................................4
（二）求函数的极值............................................................................................................................. 6
（三）由函数图像判断极值................................................................................................................ 11
题型02：根据极值（极值点）求参数........................................................................................................18
题型03：由导数求函数的最值（不含参）.................................................................................................30
题型04：由导数求函数的最值（含参）.....................................................................................................41
题型05：由函数的最值求参数...................................................................................................................52
题型06：函数最值与恒成立问题...............................................................................................................76
题型07：函数单调性，极值，最值综合应用..............................................................................................81
1. 考纲定位
属于函数与导数核心模块，是高考数学的高频重难点，在选择、填空、解答题中均有涉及，解答题常作
为压轴题或次压轴题出现，分值占比约 10 - 17 分。
核心考查利用导数研究函数极值、最值的方法，以及与单调性、不等式证明、参数范围求解的综合应用。
2. 命题趋势
①基础题型：直接考查极值点的判定、极值与最值的计算，多以选择、填空题形式出现，侧重对导数公
式、极值判定定理的基本应用。
②综合题型：结合含参函数，考查极值点的个数、最值的取值范围，常与分类讨论思想、数形结合思想
结合；或与不等式恒成立、能成立问题联动，转化为最值求解，是解答题的核心考向。
③创新题型：近年出现结合函数图象、极值点偏移、多变量最值问题的命题，对逻辑推理和运算能力要
求提升。
3. 高频考点分布
①极值点的判定（导数为零的点与单调性的关系）。
②函数在闭区间上的最值求解步骤。
③含参函数的极值、最值与参数范围的互求。
④极值、最值在不等式证明、恒成立问题中的应用。
1. 知识目标
①理解函数极值的定义，掌握极值点的判定条件（必要条件：f'(x_0)=0；充分条件：导数在x_0 两侧异
号）。
②掌握闭区间上连续函数最值的求解方法，明确极值与最值的区别与联系（极值是局部性质，最值是整
体性质）。
③能熟练运用导数求不含参、含参函数的极值与最值。
2. 能力目标
①提升分类讨论能力，能针对含参函数的导数零点情况进行分类，求解不同情况下的极值与最值。
②强化转化与化归能力，能将不等式恒成立、存在性问题转化为函数最值问题。
③培养数形结合意识，能结合函数图象分析极值、最值的几何意义。
3. 素养目标
①通过导数与函数极值、最值的研究，渗透数学抽象和逻辑推理素养。
②在含参问题的求解中，提升数学运算素养，养成严谨的解题习惯。
知识点一：极值点与极值
1.极值点与极值
（1）极小值点与极小值
若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都小，且
,而且在
点
附近的左侧
,右侧
,就把
叫做函数
的极小值点,
叫做函数
的极小值.
（2）极大值点与极大值
若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都大，且
,而且在
点
附近的左侧
,右侧
就把
叫做函数
的极大值点,
叫做函数
的极大值.
（3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值.
注意：函数
可以有多个极大值和极小值，例如：函数
在
上有无数多个极大值
和极小值.
2.函数极值的求法
解方程
,当
时:
（1）如果在
附近的左侧
;右侧
,那么
是极大值;
（2）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值
极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处
取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标.
②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点.
3.导数与极值的关系
一般来说,"
"是“函数
在点
处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数
在
点
处可导,且在点
处取得极值,那么
;后之若
,则
不一定是函数
的极值点.函
数
在点
处取得极值的充要条件是
.且
在
左、右两侧的符号不同.
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为某点处的导数值等于0 不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根
的合理性
知识点二：函数的最大(小)值
1.
最值的存在性：
一般地,如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.
最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数
值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者.
②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以
在区间端点处取得.最值与极值的联系：如果在区间
上函数
的图象是
一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间
可以
是无穷区间
2.求函数y = f ( x)在区间[a,b]上的最值的步骤：
S1：
在区间
上的极值;
S2：将函数
的各极值与端点处的函数值
比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是
最小值
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最
小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应
用中经常用到
1. 基础题型：极值与最值的直接求解
步骤：
① 求函数f(x)的定义域；
② 求导f'(x)，解方程f'(x)=0，得到导数零点；
③ 分析导数零点两侧f'(x)的符号，判定极值点（左正右负为极大值点，左负右正为极小值点），计算极
值；
④ 若求闭区间[a,b]上的最值，需计算极值点和区间端点的函数值，比较大小得出最值。
易错点：忽略定义域；误将导数为零的点直接当作极值点（需验证两侧符号）。
2. 综合题型：含参函数的极值、最值问题
①分类讨论依据：导数零点的个数、导数零点与定义域/给定区间的位置关系。
②示例：对于f(x)= x
lnx - ax
2，求导f'(x)=lnx+1-2ax 讨论a 的取值对f'(x)零点个数的影响，进而分析极值
情况。
③技巧：可通过分离参数法，将问题转化为函数图象的交点问题，简化分类讨论。
3. 应用题型：极值、最值与不等式结合
①恒成立问题：f(x) ≥ k 在[a,b]上恒成立⟹ f(x)min ≥ k；f(x) ≤ k 恒成立 ⟹ f(x)max ≤ k。
②存在性问题：Ε x∈[a,b]，使得f(x)≥k ⟹ f(x)max≥ k；Ε x∈[a,b]，使得f(x)≤k ⟹ f(x)min≤ k。
③技巧：构造新函数g(x)=f(x)-k，将问题转化为g(x)的最值符号问题。
题型01：求函数的极值（极值点）
（一）极值点辨析
【典型例题1】已知函数f (x)的导函数为f
' (x)，则“f
'(x0)=0”是“函数f (x)在x = x0处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】根据函数在极值点处有极值时导数必为0，导数为0 不一定有极值判断即可.
若函数f (x)在x = x0处有极值，则一定有f
'(x0)=0；
反之，若f
'(x0)=0，函数f (x)在x = x0处不一定有极值，
如f (x)= x
3在x =0处满足f
' (0)=0，但f (x)在x =0处无极值，
所以“f
'(x0)=0”是“函数 f (x)在x = x0处有极值”的必要不充分条件．
故选：B
【典型例题2】已知函数f (x)在x = x0处连续，下列命题中正确的是（ ）．
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x = x0附近的左侧f
' (x)>0，右侧f
' (x)<0，那么f (x0)是极大值
C．如果在x = x0附近的左侧f
' (x)>0，右侧f
' (x)<0，那么f (x0)是极小值
D．如果在x = x0附近的左侧f
' (x)<0，右侧f
' (x)>0，那么f (x0)是极大值
【答案】B
【解析】用极值点的定义判断A 选项，用极大值和极小值的定义来判断BCD 选项
导数为0 的点不一定是极值点，还要满足导函数在这一点的左侧与右侧的函数值异号，故A 错误；
根据极值的概念，在x = x0附近的左侧f
' (x)>0，函数单调递增；在x = x0附近的右侧f
' (x)<0，函数单调递减，
所以f (x0)为极大值，故B 正确，CD 错误．
故选：B
【变式训练1-1-1】已知定义在R上的函数f ( x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．f ( x)有极小值
B．f ( x)有最大值
C．f ( x)是奇函数
D．f ( x)是偶函数
【答案】A
【解析】依据图象直接依次进行判断即可.
由图可知：f ( x)有极小值，无最大值，且f ( x)的定义域为R，f (0)≠0，
所以该函数不是奇函数，同时函数图象不关于y轴对称，故不为偶函数，
所以答案为A
故选：A
【变式训练1-1-2】已知函数f (x)，其导函数f
' (x)的图象如图所示，则（ ）
A．f (x)有2 个极值点
B．f (x)在x =1处取得极小值
C．f (x)有极大值，没有极小值
D．f (x)在(−∞,1)上单调递减
【答案】C
【解析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.
由题意及图得，
f (x)在(−∞,3)上单调递增，在(3,+ ∞)上单调递减，
∴f (x)有一个极大值，没有极小值，
∴A，B，D 错误，C 正确，
故选：C.
（二） 求函数的极值
【典型例题1】已知函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，令
得
，
令
得
，令
得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极小值为
.
故选：D
【典型例题2】已知函数
，则
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
求导得
，
，
，则由
，得
或
，由
，得
，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则当
时，
取得极小值
，
所以函数
的极小值为
.
故选：A
【典型例题3】函数f ( x)= x
3−x
2−x +3的极小值是 .
【答案】2
【解析】求导，再根据极小值的定义即可得解.
f
'( x)=3 x
2−2 x−1=(3 x +1)(x−1)，
令f
' (x)>0，得x>1或x<−1
3，令f
' (x)<0，得−1
3 < x<1，
所以函数f (x)在(−∞,−1
3),(1,+ ∞)上单调递增，在(−1
3 ,1)上单调递减，
所以函数f ( x)的极小值是f (1)=1−1−1+3=2.
故答案为：2.
【典型例题4】求函数f (x)=e
2 x−e
x−x的极值.
【答案】极小值f (0)=0，无极大值
【解析】对f (x)求导求单调性，分析导函数的正负即可得f (x)单调性，进而求得极值.
解：因为f (x)=e
2 x−e
x−x，所以f
'( x)=2e
2 x−e
x−1=(2e
x+1)(e
x−1)，
因为x∈R，2e
x+1>0，取e
x−1=0，解得x =0，
当x<0时，f
'( x)<0，f (x)单调递减，
当x>0时，f
'( x)>0，f (x)单调递增，
所以f (x)在x =0处取得极小值f (0)=0，无极大值.
【变式训练1-2-1】已知函数
在
处取得极大值1，则
的极小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的定义域为
，
由
，得
，
因为函数
在x＝－1 处取得极大值1，
所以
，解得
，
所以
，
．
令
．解得
或
，令
，解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
即
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
所以
的极小值为
．
故选：C
【变式训练1-2-2】若函数
有两个极值点且这两个极值点互为相反数，则
的极小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
，
令
，即
，
若函数
有两个极值点且这两个极值点互为相反数，
即
的两个根互为相反数，不妨设两个根为
，
则
，
解得：
，
故
，
令
或
；令
，
即函数
在
单调递增；在
单调递减.
故函数在
取得极小值
.
故选：B
【变式训练1-2-3】已知函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
则
的极小值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
【答案】A
【解析】函数
，
由
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
则函数在
处取极小值，
所以有
，由
，
得
，解得
，
则有
，
由
，得
只有一个根
，
且当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；故当
时，满足题意，
所以
有极小值，且极小值
.
故选：A.
【变式训练1-2-4】若
的一个极值点是
，则
的极大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
因为
是
的极值点，所以
则
，令
，解得
或
，
则当
或
时，
，
单减，当
时，
，
单增，
故
的极大值为
.
故选：C．
【变式训练1-2-5】设函数
，若
是函数
的极大值点，则函数
的极小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，
又
是函数的极大值点，
，
，
则
，
，
令
，得
或
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
的极小值为
.
故选：D.
【变式训练1-2-6】若
是函数
的极值点．则
的极小值为（ ）
A．-3
B．
C．
D．0
【答案】A
【解析】函数
，求导得：
，
因
是函数
的极值点，即
，解得
，
，当
或
时，
，当
时，
，
即
是函数
的极值点，函数
在
处取得极小值
.
故选：A
【变式训练1-2-7】已知函数f (x)= ln x
x ．求f ( x)的极值.
【答案】当x =e时，f (x)取得极大值，且f (e)= 1
e ，无极小值；
【解析】对f (x)求导，得到f (x)的单调性，进而可得极值.
f
' (x)= 1−lnx
x
2
(x>0)，
当x>e时，f
' (x)<0，当0< x<e时，f
' (x)>0，
所以函数f (x)的单调减区间为(e ,+ ∞)，单调增区间为(0,e)，
所以当x =e时，f (x)取得极大值，且f (e)= 1
e ，无极小值.
【变式训练1-2-8】已知函数f ( x)= x
3−12 x．
(1)求函数f ( x)的单调区间；
(2)求函数f ( x)的极值．
【答案】(1)单调增区间为(−∞,−2)和(2,+ ∞)，单调减区间为(−2,2)
(2)极大值16，极小值−16
【解析】（1）对f ( x)求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
（2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可.
（1）函数f ( x)的定义域为R，导函数f
'( x)=3 x
2−12，
令f
'( x)=0，解得x =±2，
则f
'( x)，f ( x)随x的变化情况如下表：
x
(−∞,−2) −2
(−2,2) 2
(2,+∞)
f
'( x) +
0
−
0
+
f ( x) ↗
取极大值
↘
取极小值
↗
故函数f ( x)的单调增区间为(−∞,−2)和(2,+∞)，单调减区间为(−2,2);
（2）由小问1 知，当x =−2时，函数f ( x)取得极大值16;
当x =2时，函数f ( x)取得极小值−16．
（三）由函数图像判断极值
【典型例题1】设三次函数f (x)的导函数为f
' (x)，函数y = x f
' (x)的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A．f (x)的极大值为f (❑√3)，极小值为f (−❑√3)
B．f (x)的极大值为f (−❑√3)，极小值为f (❑√3)
C．f (x)的极大值为f (3)，极小值为f (−3)
D．f (x)的极大值为f (−3)，极小值为f (3)
【答案】C
【解析】由图，根据y = x f
' (x)的符号，判断出f
' (x)的符号，从而得到f (x)的单调性，找出f (x)的极值.
由图象可知，当x =−3和x =3时，x f
' (x)=0，则f
' (−3)= f
' (3)=0；
当x<−3时， x f
' (x)>0，则f
' (x)<0；
当−3< x<0时，x f
' (x)<0，则f
' (x)>0；
当0< x<3时，x f
' (x)>0，则f
' (x)>0；
当x>3时，x f
' (x)<0，则f
' (x)<0.
所以f (x)在(−∞,−3)，(3,+ ∞)上单调递减；在(−3,3)上单调递增；
所以f (x)的极小值为f (−3)，极大值为f (3).
故选：C.
【典型例题2】（多选）函数f (x)的导函数y = f
' (x)在区间(a,b)上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f (x)在x1处有极小值
B．函数f (x)在x2处有极小值
C．函数f (x)在区间(a,b)内有4 个极值点
D．导函数f
' (x)在x3处有极大值
【答案】BD
【解析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案.
A 选项，f (x)在x = x1左右两侧的f
' (x)<0，所以x1不是f (x)的极值点，A 选项错误.
B 选项，f (x)在x = x2左右两侧，左侧f
' (x)<0，右侧f
' (x)>0，
所以函数f (x)在x2处有极小值，B 选项正确.
C 选项，根据图象可知，f (x)有3个极值点，x =0左右两侧的f
' (x)>0，
所以x =0不是f (x)的极值点，C 选项错误.
D 选项，f
' (x)的图象在x = x3左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减，
所以f
' (x)在x3处有极大值，D 选项正确.
故选：BD
【变式训练1-3-1】如图是函数y = f (x)的导函数y = f
' (x)的图象，下列结论正确的是（ ）
A．y = f (x)在x =−1处取得极大值
B．x =1是函数y = f (x)的极值点
C．x =−2是函数y = f (x)的极小值点
D．函数y = f (x)在区间(−1,1)上单调递减
【答案】C
【解析】根据导函数的正负即可求解y = f (x)的单调性，即可结合选项逐一求解.
由图象可知：当x<−2时，f
' (x)<0,f (x)单调递减，当x ≥−2时，f
' (x)≥0,f (x)单调递增，
故x =−2是函数y = f (x)的极小值点，y = f (x)无极大值.
故选：C
【变式训练1-3-2】已知函数f (x)的导函数f
' (x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．−1是函数f (x)的极小值点
B．−3是函数f (x)的极大值点
C．函数f (x)在(−3,1)上单调递增
D．函数f (x)在x =0处的切线斜率小于零
【答案】C
【解析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
由图象得x<−3时，f
'( x)<0，x>−3时，f
'( x)≥0，
故f ( x)在(−∞,−3)单调递减，在(−3,+ ∞)单调递增，
故x =−3是函数f ( x)的极小值点，即选项A、B 错误，C 正确；
对选项D：显然f
' (0)>0，故D 错误.
故选：C．
【变式训练1-3-3】已知函数
，其导函数
的部分图象如图，则对于函数
的描述错误
的是（ ）
A．在
上单调递减
B．在
上单调递增
C．
为极值点
D．
为极值点
【答案】D
【解析】A，因
时，
，则
在
上单调递减，故A 正确；
B，因
时，
，则
在
上单调递增，故B 正确；
C，由图可得
在
上单调递减，在
上单调递增，故
为
极小值点，故C 正确；
D，由图可得
在
上单调递增，则
不为
极值点，故D 错误.
故选：D
【变式训练1-3-4】如图，可导函数
在点
处的切线方程为
，设
，
为
的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
，
是
的极大值点
B．
，
是
的极小值点
C．
，
不是
的极大值点
D．
，
是
的极值点
【答案】B
【解析】由题得，
的几何意义为当x 取同值时，
到
的距离．
根据题意，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
又
，则有
是
的极小值点，
故选:B．
【变式训练1-3-5】定义在
上的函数
，其导函数为
，且函数
的图象如图所示，则
（ ）
A．
有极大值
和极小值
B．
有极大值
和极小值
C．
有极大值
和极小值
D．
有极大值
和极小值
【答案】B
【解析】解：由函数图像可知
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
所以
有极大值
和极小值
，
故选：B
【变式训练1-3-6】设函数
在R 上可导，其导函数为
，且函数
的图象如图所示，则下
列结论中一定成立的是（ ）
A．
有两个极值点
B．
为函数的极大值
C．
有两个极小值
D．
为
的极小值
【答案】C
【解析】解：
，并结合其图像，可得到如下情况，
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
单调递增
∴
在
和
处取得极小值，故B，D 错，C 正确；
在
处取得极大值.
所以
有3 个极值点，故A 错.
故选: C.
【变式训练1-3-7】设函数
在
上可导，其导函数为
，且函数
的图像如图所示，则
下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数
有极大值
和极小值
B．函数
有极大值
和极小值
C．函数
有极大值
和极小值
D．函数
有极大值
和极小值
【答案】B
【解析】由图知：当
时，有
、
，
∴
，
，
又
时
，而
则
，即
递增；
时
，而
则
，即
递减；
时
，而
则
，即
递增；
时
，而
则
，即
递增；
综上，
、
上
递增；
上
递减.
∴函数
有极大值
和极小值
.
故选：B
【变式训练1-3-8】如图，已知直线
与曲线
相切于两点，则
有（ ）
A．个极大值点，
个极小值点
B．
个极大值点，个极小值点
C．个极大值点，无极小值点
D．个极小值点，无极大值点
【答案】A
【解析】
，由下图可知，
有3 个零点
，
由图可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增.
故
为极小值点，
为极大值点，
故
有
个极小值点，1 个极大值点.
故选：A.
题型02：根据极值（极值点）求参数
【典型例题1】已知函数f (x)的导函数g(x)=(x−1)(x
2−3 x +a)，若1 不是函数f (x)的极值点，则实数a 的值
为（ ）．
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】根据极值点的定义即可求解.
由题意可知f
' (x)= g(x)=(x −1)(x
2−3 x +a)，若1 不是函数f (x)的极值点，则h(x)= x
2−3 x +a,h(1)=0，即
1−3+a=0⇒a=2，
当a=2时，f
' (x)=(x−1)(x
2−3 x +2)=(x−1)
2(x−2)
，故当x>2,f
' (x)>0 ，当x<2,f
' (x)≤0，因此x =2是
f (x) 的极值点，1 不是极值点，故a=2满足题意，
故选：D
【典型例题2】若函数f (x)=a x
3+3 x
2+b在x =2处取得极值1，则a−b=（ ）
A．-4
B．-3
C．-2
D．2
【答案】D
【解析】通过对函数求导，得出a和b的参数值，即可求出a−b的值.
由题意，x∈R，
在f (x)=a x
3+3 x
2+b中，f
' (x)=3a x
2+6 x，
在x =2处取得极值1，
∴¿，解得：¿，经经验满足题意，
∴a−b=−1−(−3)=2，
故选：D.
【典型例题3】若x =e是函数y =(x−a)ln x的驻点，则实数a的值为 .
【答案】2e
【解析】根据驻点的定义可得f
'(e)=1−a
e +1=0，解得a=2e，验证即可.
由题意知，f
'( x)= ln x−a
x +1( x>0),
因为x =e是函数f ( x)的驻点，所以f
'(e)=1−a
e +1=0，
解得a=2e.
当a=2e时，f
'( x)= ln x−2e
x +1，
当0< x<e时，f
'( x)<0，函数f ( x)单调递减，
当x>e时，f
'( x)>0，函数f ( x)单调递增，
所以x =e是函数f ( x)的驻点.
综上，a=2e.
故答案为：2e.
【典型例题4】函数f (x)=(x
2−4)(x−a)在x =−1取得极值，则a= ．
【答案】1
2/0.5
【解析】由f ( x)在x =−1取得极值，得f
'(−1)=0，求出f ( x)的导数，代入求解，再检验即可．
因为f (x)= x
3−a x
2−4 x + 4 a，
所以f
' (x)=3 x
2−2ax−4，
因为f ( x)在x =−1取得极值，
所以f
' (−1)=3+2a−4 =0，
解得a= 1
2，
所以f
' (x)=3 x
2−x−4 =(3 x−4)( x +1)，
当x<−1时，f
'( x)>0，当−1< x< 4
3 时，f
'( x)<0，
所以x =−1时f ( x)取得极大值，
故答案为：1
2．
【变式训练2-1】若函数
在
上有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
的定义域为
，
，
要函数
在
上有极值，
则
在
上有零点，即
在
上有实数根.
令
，
则
，当且仅当
时等号成立，
所以
.
当
时，
，函数
单调递增，
则函数
在
上没有极值，
故
.
故选:D.
【变式训练2-2】已知函数
在
处有极值0，则实数
的值为（ ）
A．4
B．4 或11
C．9
D．11
【答案】D
【解析】
，则
，
即
，解得
或
.
当
时，
，不符合题意，舍去；
当
时，
，
令
，得
或
；令
，得
．
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减，符合题意，则
．
故选：D
【变式训练2-3】已知
是函数
的极大值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
，
，
当
时，令
得
或
，令
得
，
此时
在区间
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
符合
是函数
的极大值点；
当
时，
恒成立，函数
不存在极值点，不符合题意；
当
时，令
得
或
，令
得
，
此时
在区间
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
符合
是函数
的极小值点，不符合题意；
综上，要使函数
在
处取到极大值，则实数
的取值范围是
.
故选：C.
【变式训练2-4】若函数
在
处取得极小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则函数
的定义域为
，
则
，
令
，解得：
或
，
当
时，即
，令
，解得：
，令
，解得：
，此时函
数
在
处取得极大值，不符合题意，舍去；
当
时，即
，则
恒成立，此时函数
单调递增，没有极值，不符合题意，
舍去；
当
时，即
，令
，解得：
，令
，解得：
，此时函
数
在
处取得极小值，符合题意.
故选：C.
【变式训练2-5】若函数
既有极大值也有极小值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以函数
定义域为
，
，
由题意，方程
，即
有两个不相等的正根，设为
，
则
，解得
，即
的取值范围为
，
故选：A.
【变式训练2-6】已知函数
在
处取得极值5，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．7
【答案】A
【解析】函数
，
则
，
因为
在
处取极值5，
所以
，解得：
，
经检验满足题意.
故
.
故选：A
【变式训练2-7】已知三次函数
的极小值点为
，极大值点为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，得
，关于x 的一元二次方程
的两根为b，2b，
又极小值点为
，极大值点为
，所以
，即
，
由韦达定理得到
，所以
，
，得到
．
故选：A．
【变式训练2-8】若函数
有两个极值点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
定义域为
，则
因为函数
有两个极值点，所以方程
有两个不同的正根
，
，
即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：C
【变式训练2-9】若函数f (x)= x
3+ x
2+mx +1不存在极值点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．（1
3
，+∞）
B．（－∞，1
3
）
C．[1
3
，+∞）
D．（－∞，1
3
]
【答案】C
【解析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立不等式，即可求解作答.
函数f (x)= x
3+ x
2+mx +1不存在极值点,sf (x)
由函数f (x)= x
3+ x
2+mx +1求导得：f
' (x)=3 x
2+2 x +m，
因函数f (x)= x
3+ x
2+mx +1是R 上的单调函数，而抛物线f
' (x)=3 x
2+2 x +m开口向上，
因此有∀x∈R，3 x
2+2 x +m≥0恒成立，于是得Δ= 4−12m≤0，解得m≥1
3，
所以实数m 的取值范围是[ 1
3 ,+∞).
故选：C.
【变式训练2-11】已知函数
在
处有极值
，则
等于（ ）
A．
B．16
C．
或16
D．16 或18
【答案】A
【解析】求导，即可由
且
求解
，进而代入验证是否满足极值点即可.
，
若函数
在
处有极值8，
则
且
，即
，
解得：
或
，
当
时，
，此时
不是极值点，故舍去，
当
时，
，
当
或
时，
，当
，故
是极值点，
故
符合题意，
故
，
故
，
故选：A
【变式训练2-12】当
是函数
的极小值点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【解析】由
是函数
的极小值点，则对
求导，然后利用
并结合极小值点左右导数值的知识
即可求解.
对函数
求导得：
，
又由
是函数
的极小值点，
所以
，
即
，解得
或
，
当
时，
，
当
时，
，
在区间
单调递减，
当
时，
，
在区间
单调递增，
所以
是
的极小值点，故
满足题意；
当
时，
，
当
时，
，
在区间
单调递增，
当
时，
，
在区间
单调递减，
所以
是
的极大值点，故
不满足题意.
综上所述：
，故A 项正确.
故选：A.
【变式训练2-13】（多选）若函数
既有极大值也有极小值，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意将原问题转化为二次函数的零点分布问题，进一步由判别式、韦达定理即可求解.
由题意
在
内有两个不相等的实数根，
即方程
在
内有两个不相等的实数根，
不妨设两根分别为
，
所以
，即
异号、
同号，从而
异号.
故选：ACD.
【变式训练2-14】若函数f (x)= x
3−2c x
2+ x有极值点，则实数c 的取值范围为 ．
【答案】(−∞,−
❑√3
2 )∪(
❑√3
2 ,+∞)
【解析】依题意，f
' (x)=0有两个不同的实数根，利用Δ>0求解实数c 的取值范围.
f (x)= x
3−2c x
2+ x，则f
' (x)=3 x
2−4 cx +1，
函数f (x)= x
3−2c x
2+ x有极值点，则有f
' (x)=0有两个不同的实数根，
可得Δ=(−4 c)
2−12>0，解得c>
❑√3
2
或c<−
❑√3
2
.
实数c 的取值范围为(−∞,−
❑√3
2 )∪(
❑√3
2 ,+∞).
故答案为：(−∞,−
❑√3
2 )∪(
❑√3
2 ,+∞)
【变式训练2-15】若函数f ( x)=−x
2+ax在区间(−1,0)上恰有一个极值点，则a的取值范围是 .
【答案】(−2,0)
【解析】根据二次函数的对称性进行求解即可.
二次函数f ( x)=−x
2+ax的对称轴为：x =−a
−2 ⇒x = a
2，要想函数f ( x)=−x
2+ax在区间(−1,0)上恰有一个
极值点，只需−1< a
2 <0⇒−2<a<0，
故答案为：(−2,0)
【变式训练2-16】已知函数f ( x)的定义域为R，f ( x)的导函数f
'( x)=( x−a)( x−2)，若函数f ( x)无极值，则
a= ；若x=2 是f ( x)的极小值点，则a 的取值范围是 .
【答案】 2 a<2
【解析】对a进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.
当a<2时，f (x)在区间(−∞,a),(2,+∞)上f
' (x)>0,f (x)递增，在区间(a,2)上f
' (x)<0,f (x)递减.f (x)的极大
值点为a，极小值点为2.
当a=2时，f
' (x)=(x −2)
2≥0，f (x)在R上递增，无极值.
当a>2时，f (x)在区间(−∞,2),(a,+∞)上f
' (x)>0,f (x)递增，在区间(2,a)上f
' (x)<0,f (x)递减.f (x)的极大
值点为2，极小值点为a.
故答案为：2；a<2
【变式训练2-17】已知函数
在
处取到极小值
．
(1)求
的值；
(2)求曲线
在点
处的切线方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据极小值列出方程组即可得解；
（2）求出切点处导数可得切线斜率，据此写出切线方程即可.
（1）因为
，
则
，
即
，
当
时，
，
时，
，
时，
，故
在
处取到极小值，
所以
满足题意.
（2）由（1）知，
，
则
，
故切线方程为：
，
即
.
【变式训练2-18】已知函数
在
处取得极大值，求
的值.
【答案】
【解析】求出导函数，根据已知得出
，代入求解方程组即可得出
的值.进而求出函数的单调区间，
检验极值即可.
由已知可得
，
所以有
，即
，
解得
，所以
.
解
可得，
，
.
解
可得，
或
，所以
在
上单调递增，在
上单调递增；
解
可得，
，所以
在
上单调递减.
所以，
在
处取得极大值，满足题意.
所以，
.
【变式训练2-19】若函数
存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】求导，根据题意知方程
有两个不等的实根，可得出
，从而得解.
因为
，可得
，
因为函数
存在极值点，所以
有两不等实根，
则
，解得
或
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型03：由导数求函数的最值（不含参）
【典型例题1】已知函数
，
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，设
，则
，利用导数讨论函数
的性质求出
即可.
设
，则
，
所以
，令
，
则
，
令
，函数
单调递减，
令
，函数
单调递增，
所以
，
即
的最小值为
.
故选：C
【典型例题2】若
为函数
的极值点，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先由
为函数
的极值点求得a，再利用导数法求解.
，
因为
是函数
的极值点，
所以
，则
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
故选：C
【典型例题3】函数
的最小值为 .
【答案】1
【解析】借助导数研究函数最小值即可.
，
，设
，
，
所以在R 上
单调递增，由
，可得
，
当
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增．
所以
，
故答案为：
【典型例题4】若
是函数
的极值点.
(1)求实数
的值及
的单调区间；
(2)求函数
在区间
上的值域.
【答案】(1)
，函数
的单调减区间为
，单调增区间为：
(2)
.
【解析】（1）因为函数的定义域为：
，
所以
，
又
是函数
的极值点，
所以
，
此时
因为
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以有
是函数的一个极小值点，
此时
，且函数
的单调减区间为
，
单调增区间为：
（2）由（1）知
，
若
，由（1）知：
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
，
又
，
，
因为
，
所以
，
所以函数
在区间
上的值域为：
【典型例题5】已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，求
在
上的最小值；
【答案】(1)极大值为
，没有极小值.
(2)0
【解析】（1）当
时，
，定义域：
，
，
令
，则
，
变化时，
，
的变化情况如下表：
0
单调递
增
极大值
单调递减
则
的极大值为：
，
没有极小值；
（2）当
时，
，定义域：
，
，
令
，定义域：
，
，
则
在
上是增函数，则
，所以
，
即
在
上是增函数，则
.
【变式训练3-1】函数f ( x)=2 x +sin x在区间[0,π]上的（ ）
A．最小值为0，最大值为π+1
B．最小值为0，最大值为2π
C．最小值为π+1，最大值为2π
D．最小值为0，最大值为2
【答案】B
【解析】先求得函数f ( x)的导数，进而得到f ( x)在区间[0,π]上单调性，即可求得f ( x)在区间[0,π]上最小值
和最大值.
f
'( x)=2+cosx >0，所以f ( x)在区间[0,π]上单调递增，
因此f ( x)的最小值为f (0)=0，最大值为f (π)=2π.
故选：B
【变式训练3-2】函数f ( x)= ln x + 2
x ( x>0)的最小值是 ．
【答案】ln 2+1
【解析】利用导数的性质进行求解即可.
由f ( x)=lnx + 2
x ( x>0)⇒f
'( x)= 1
x −2
x
2 = x−2
x
2 ，
当x>2时，f
' (x)>0,f (x)单调递增，
当0< x<2时，f
' (x)<0,f (x)单调递减，
因此f (x)min= f (2)= ln 2+1，
故答案为：ln 2+1
【变式训练3-3】函数f (x)= x−2cos x在区间[0,π]上的最大值为 .
【答案】π+2/2+π
【解析】利用函数的导数判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
函数f (x)= x−2cosx，可得f
' (x)=1+2sinx , x∈[0,π]，
可知1+2sinx>0恒成立，所以函数f (x)= x−2cosx在区间[0,π]上是增函数，
所以，x =π时，函数取得最大值：π−2cosπ=π+2．
故答案为：π+2
【变式训练3-4】已知函数y = x−sin x，x∈[
π
2 ,π]，则y的最大值为 ．
【答案】π
【解析】利用导数的性质进行求解即可.
当x∈[
π
2 ,π]时，由y = x−sinx⇒y
' =1−cosx>0，所以此时函数单调递增，
所以当x =π时，函数有最大值，最大值为π，
故答案为：π
【变式训练3-5】已知函数
．
(1)当
时，求
在
上最大值及最小值；
【答案】(1)最小值是0，最大值是
【解析】（1）函数
的定义域为
，
当
时，
，
；
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
是函数
的极小值，即
的最小值；又
，
；
的最大值是
；
函数
在
上的最小值是0，最大值是
；
【变式训练3-6】已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值；
【答案】(1)
；
(2)
；
【解析】（1）因为
，
所以
，
则
，又
，
所以曲线在点
处的切线方程为
.
（2）令
，
则
，
当
时，
，
在
上单调递增.
因为
，
，
所以
，使得
.
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以函数可能在
或
处求得最大值，
又
，
，
所以
.
【变式训练3-7】已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的最小值；
【答案】(1)
【解析】（1）
的定义域为
，故
，
令
，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，且
，
，
所以由零点存在定理可知，在区间
存在唯一的
，使
又当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
，
，
所以函数
在区间
上的最小值为
.
【变式训练3-8】已知函数
的图象在
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)求
在区间
上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为8，最小值为
【解析】（1）解：
，
又函数
的图象在
处的切线方程为
，
所以
，
解得
.
（2）由（1）可知
，
令
，解得
，或
.
当
或
时，
；当
时，
.
故
的增区间为
和
的减区间为
因为
，
所以
在
上的最大值为8，最小值为
.
【变式训练3-9】已知函数
．
(1)
，求函数
的最小值；
(2)若
在
上单调递减，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）运用二次求导法进行求解即可；
（2）运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可.
（1）因为
，
所以
，
令
，则有
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
因此当
时，则有
，
因此当
时，则有
，
当
时， 显然
，
于是有当
时，函数
单调递减，
当
时，函数
单调递增，
所以
；
（2）由
，
因为
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
由
，
设
，则有
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
，
要想
在
上恒成立，
只需
，因此
的取值范围为
.
【变式训练3-10】设函数
(1)求
的极大值点与极小值点及单调区间；
(2)求
在区间
上的最大值与最小值．
【答案】(1)极大值点
，极小值点
；单调递增区间为
，单调递减区间为
，
(2)最大值为63，最小值为0
【解析】（1）求函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系求函数的极大值点与极小值点以及单调区间；
（2）利用导数求出极值，端点的函数值，然后求函数的最大值和最小值．
（1）函数的导数为
．
令
，解得
，
．
由
，得
，即
的单调递增区间为
，
由
，得
或
，即
的单调递减区间为
，
．
的极大值点
，极小值点
．
（2）列表
当x 变化时，
，
的变化表为：
x
0
－
0
＋
极小值
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
．
∴在区间
上的最大值为63，最小值为0.
【变式训练3-11】已知函数
，若
在点
处的切线的斜率为2.
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的单调区间和最值.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为
，单调递增区间为
，最大值为
，最小值为
【解析】（1）根据函数导数的几何意义和题设条件列出方程组解之即得解析式；
（2）分析导函数的正负确定原函数的增减区间即得最值.
（1）由
，得
，
，解得
，
.
（2）
，由
，得
，
当
时，
，当
时，
，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
，
，
.
在
上的最大值为
，最小值为
.
题型04：由导数求函数的最值（含参）
【典型例题1】已知函数
(1)当
时，求
极值：
(2)当
时，求函数
在
上的最大值．
【答案】(1)
的极大值为
，极小值为
(2)
【解析】（1）当
时，
，
，
当
或
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
，
综上，
的极大值为
，极小值为
；
（2）
，
，
故
，
，
令
得
或
，
因为
，当
，即
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
；
当
，即
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
因为
，
，
所以
；
综上：
【典型例题2】已知函数
，是自然对数的底数.
(1)当
，
时，求整数
的值，使得函数
在区间
上存在零点；
(2)若
，且
，求
的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)
，
.
【解析】（1）解：当
，
时，
，
∴
，∴
当
时，
，∴
，故
是
上的增函数，
同理
是
上的减函数，
，
，
，
故当
时，
，当
时，
，
故当
时，函数
的零点在
内，∴
满足条件.
同理，当
时，函数
的零点在
内，∴
满足条件，
综上
.
（2）由已知
①当
时，由
，可知
，∴
；
②当
时，由
，可知
，∴
；
③当
时，
，∴
在
上递减，
上递增，
∴当
时，
，
而
，设
，
∵
（仅当
时取等号），
∴
在
上单调递增，而
，
∴当
时，
，即
时，
，∴
即
.
【典型例题3】已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
的最小值不大于0，求
的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）由函数
，则其定义域为
，
求导可得
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
当
时，
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）可知，当
时，无最小值；
则当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
则
，
由题意可得：
，由
，则
，解得
.
【变式训练4-1】已知函数
，求函数
在区间
上的最小值．
【答案】答案见解析
【解析】
，
令
，得
，
.
①当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
.
②当
时，
，
在区间
上单调递增，
所以
.
③当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
.
综上所述，当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
【变式训练4-2】已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)求
在
上的最小值
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）函数
的定义域为
，
则
．
当
时，
在
上恒成立，
故此时
在
上单调递减；
当
时，由
，得
,由
，得
，
故此时
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由（1）知，当
时，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，所以
；
当
时，
(i)若
，即
时，
在
上单调递增，
此时，
；
(ii)若
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时，
；
(iii)若
，即
时，
在
上单调递减，
此时，
．
综上所述，
．
【变式训练4-3】已知函数
．
(1)若
，
，求函数斜率为的切线方程；
(2)若
，讨论
在
的最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）已知
，函数定义域为
，
当
，
时，函数
，
可得
，
不妨设切点为
，此时
，
因为切线斜率为1，
所以
，解得
，
所以
，
此时切点坐标为
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，
即
；
（2）若
，即
，
此时
，函数定义域为
，
可得
，令
，解得
，
当
，即
时，
，
此时函数
在定义域上单调递增，
则
；
当
，即
时，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，
又
，
，
当
，即
时，可得
，
所以当
时，
；
当
，即
时，可得
，
所以当
时，
；
当
，即
时，
，此时函数
在定义域上单调递减，
则
，
综上，当
时，函数
的最大值为0；
当
时，函数
的最大值为
．
【变式训练4-4】已知函数f (x)=aln x + 1
2 x−a，a∈R．讨论函数f (x)的最值；
【答案】答案见解析
【解析】根据题意，求得f
' (x)= 2a+ x
2 x
，分a≥0和a<0，两种情况讨论，求得函数f (x)的单调性，进而求得函
数f (x)的最值.
由函数f (x)=alnx + 1
2 x−a，可得其定义域为(0,+∞)，且f
' (x)= a
x + 1
2 = 2a+ x
2 x
，
当a≥0时，可得f
' (x)>0，f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，无最值；
当a<0时，令f
' (x)<0，可得0< x<−2a，所以f (x)在(0,−2a)上单调递减；
令f
' (x)>0，可得x>−2a，所以f (x)在(−2a,+∞)单调递增，
所以f (x)的最小值为f (−2a)=aln(−2a)−2a，无最大值．
综上可得：
当a≥0时，f (x)无最值；当a<0时，f (x)的最小值为aln(−2a)−2a，无最大值．
【变式训练4-5】已知函数f (x)=aln x−x．
(1)当a=1时，求函数f (x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f (x)的最大值．
【答案】(1)f (x)在(0,1)上为增函数；f ( x)在(1,+ ∞)上为减函数；
(2)a(lna−1)
【解析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．
（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．
（1）f ( x)的定义域为(0,+ ∞)，
当a=1时，f (x)=lnx −x，f
' (x)= 1
x −1= 1−x
x
，
当f
' (x)= 1−x
x
>0，解得：0< x<1，
当f
' (x)= 1−x
x
<0，解得：x>1．
∴f ( x)在(0,1)上为增函数；f ( x)在(1,+ ∞)上为减函数；
（2）f ( x)的定义域为(0,+ ∞)，
f
' (x)= a
x −1= a−x
x
，
当a>0时，令f
' (x)>0，得0< x<a，令f
' (x)<0时，得x>a，
∴f ( x)的递增区间为(0,a)，递减区间为(a,+ ∞)．
f ( x)max=alna−a=a(lna−1).
【变式训练4-6】（1）求函数f (x)= 1
2 x +sin x , x∈[0,2π]的最值．
（2）求函数f (x)= x
e
2 x （e=2.71828⋯是自然对数的底数）的最值．
（3）已知a 为常数，求函数f (x)=−x
3+3ax (0≤x ≤1)的最大值．
【答案】（1）最小值0；最大值π；（2）最大值为1
2 e
−1，无最小值；（3）答案见解析
【解析】（1）（2）求导判单调性求得最值；
（3）求导，分a≤0，0<a<1，a≥1三种情况判单调性求最大值
（1）f
' (x)= 1
2 +cosx，令f
' (x)=0，由x∈[0,2π]，
解得x =2π
3
或x =4π
3
．
当x变化时，f
' (x)，f (x)的变化情况如下表：
x
0 (0,2π
3
2π
3
(
2π
3
,4
3
4 π
3
(
4π
3
,2 2π
f
' (x
＋
0
－
0
＋
f (x 0
↗
π
3
+
❑√3
2 ↘
2π
3
−
❑√
2 ↗
π
由表可知，当x =0时，f (x)有最小值f (0)=0；当x =2π时，f (x)有最大值f (2π)=π
（2）由题意知f (x)的定义域为R．
f
' (x)=(1−2 x)e
−2 x，令f
' (x)=0，解得x = 1
2
当x< 1
2时，f
' (x)>0，f (x)单调递增；当x> 1
2时，f
' (x)<0，f (x)单调递减．
故函数f (x)的最大值为f(
1
2)= 1
2 e
−1，无最小值．
（3）f
' (x)=−3 x
2+3a=−3(x
2−a)．
若a≤0,则f
' (x)≤0，函数f (x)单调递减，
∴当x =0时，f (x)有最大值f (0)=0．
若a>0，则令f
' (x)=0，解得x =± ❑√a．∵x∈[0,1]，∴只考虑x = ❑√a的情况．
①若0<❑√a<1，即0<a<1，
（如下表所示）
x
0
(0,❑√
❑√a
(❑√a 1
f
' (x
+
0
−
f (x 0
↗
2a ❑√↘
3a−1
则当x = ❑√a时，f (x)有最大值f (❑√a)=2a ❑√a
②若❑√a≥1，即a≥1，
则当0≤x ≤1时，f
' (x)≥0，函数f (x)在区间[0,1]上单调递增，
∴当x =1时，f (x)有最大值f (1)=3a−1
综上可知，当a≤0，x =0时，f (x)有最大值0；
当0<a<1，x = ❑√a时，f (x)有最大值2a ❑√a
当a≥1，x =1时，f (x)有最大值3a−1．
【变式训练4-7】设函数f ( x)=e
x−ax
(1)当a=1时，求函数f ( x)在x =0处的切线方程；
(2)当a=2时，求证：f ( x)>0
(3)当a>1时，求函数f ( x)在[0,1]上的最小值
【答案】(1)y =1
(2)证明过程见解析
(3)答案见解析
【解析】（1）求出f (0)=1，f
'(0)=0，利用点斜式得到切线方程；
（2）求导得到函数单调性，极值和最值，证明出结论；
（3）求导，分1<a<e和a≥e两种情况，求出函数在[0,1]上的单调性，得到函数最小值.
（1）当a=1时，f ( x)=e
x−x，f (0)=e
0−0=1，
又f
'( x)=e
x−1，故f
'(0)=e
0−1=0，
所以函数f ( x)在x =0处的切线方程为y =1；
（2）当a=2时，f ( x)=e
x−2 x，f
'( x)=e
x−2，
当x>ln 2时，f
'( x)>0，当x<ln 2时，f
'( x)<0，
故f ( x)=e
x−2 x在(−∞,ln 2)上单调递减，在(ln 2,+∞)上单调递增，
故f ( x)=e
x−2 x在x = ln 2上取得极小值，也是最小值，
且f (ln 2)=e
ln2−2ln 2=2(1−ln 2)>0，
故f ( x)>0在R 上恒成立.
（3）f ( x)=e
x−ax，
f
'( x)=e
x−a，a>1，
令f
'( x)=e
x−a>0，解得x>lna，令f
'( x)=e
x−a<0，解得x<lna，
当1<a<e时，lna∈(0,1)，故f (x)在[0,lna)上单调递减，在(lna,1]上单调递增，
此时f (x)在x =lna上取得极小值，也是最小值，
故f ( x)在[0,1]上的最小值为f (lna)=a−alna，
当a≥e时，lna≥1，故f (x)在[0,1]上单调递减，
此时f ( x)在[0,1]上的最小值为f (1)=e−a
综上：当1<a<e时，f ( x)在[0,1]上的最小值为a−alna，
当a≥e时，f ( x)在[0,1]上的最小值为e−a.
题型05：重点考查由函数的最值求参数
【典型例题1】已知函数
，若
在
内存在最小值，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用导数确定函数
的单调区间及极小值为
，再令
，得
，最后由
，求解即可.
解：因为
，
所以
，
令
，解得
或
，
所以
在
，
内单调递增，在
内单调递减，
所以极小值为
．
令
，则
，
所以
，
由题意得
，
所以a 的取值范围为
.
故选:C．
【典型例2】若函数
的最小值为
，则实数
（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【解析】分
三种情况，利用导数讨论函数单调性，求出每种情况下的函数最小值，进而确定
的
值。
因为
，所以
，
由题意，易知
，
当
时，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
时，取得最小值，即
，解得
；
当
时，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
无最小值，故舍去；
综上，实数
.
故选：B.
【典型例题3】已知函数f (x)=ax−a−ln x，且f (x)的最小值为0，则a的值为 ．
【答案】1
【解析】利用导数求出f ( x)min= f ( 1
a )，结合已知最小值可得结果.
f (x)=ax−a−ln x的定义域为(0,+ ∞)，
f
'( x)=a−1
x ，
当a≤0时，f
'( x)<0，f ( x)在(0,+ ∞)上为减函数，此时f ( x)无最小值，不合题意；
当a>0时，令f
'( x)<0，得0< x< 1
a；令f
'( x)>0，得x> 1
a，
f ( x)在(0, 1
a )上为减函数，在( 1
a ,+∞)上为增函数，
所以f ( x)min= f ( 1
a )=1−a+ ln a=0，
令g(a)=1−a+ ln a，g
'(a)=−1+ 1
a ，
令g
'(a)>0，得0<a<1，令g
'(a)<0，得a>1，
所以g(a)在(0,1)上为增函数，在(1,+ ∞)上为减函数，
所以当a=1时，g(a)取得最大值g(1)=0，
故a=1.
故答案为：1.
【典型例题4】已知函数f (x)= x ln x−ax的最小值为−1．求a的值；
【答案】a=1
【解析】利用导数求得函数的单调区间可得f ( x)min= f (e
a−1)=−1，计算可得结果.
由题可知f
'( x)= ln x +1−a,
令f
'( x)>0，解得x>e
a−1；令f
'( x)<0，解得0< x<e
a−1.
所以f ( x)在(0,e
a−1)上单调递减，在(e
a−1,+∞)上单调递增，
所以f ( x)min= f (e
a−1)=(a−1)e
a−1−ae
a−1=−1，解得a=1.
【典型例题5】已知函数f ( x)= x
3−6 x
2+9 x．
(1)求函数f ( x)的单调区间；
(2)若f ( x)在区间[1,m]上的最小值为0，求m的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为(−∞,1)，(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)
(2)m≥3
【解析】（1）首先求函数的导数，根据导数和单调性的关系，即可求解；
（2）根据（1）的结果，结合函数的最小值，即可确定m的取值范围.
（1）由题可知f
'( x)=3 x
2−12 x +9，
令f
'( x)=0，即3 x
2−12 x +9=0，解得x =1或x =3，
当x变化时，f
'( x)，f ( x)的变化情况如下表：
x
(−∞,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f '( x) +
0
−
0
+
f ( x)
单调递
增
极大值
单调递
减
极小值
单调递增
所以f ( x)的单调递增区间为(−∞,1)，(3,+∞)，单调递减区间为(1,3).
（2）因为f ( x)在区间(1,3)上单调递减，在区间(3,+∞)上单调递增，
又有f (1)= 4，f (3)=0，要使f ( x)在区间[0,m]上的最小值为0，则m≥3.
【典型例题6】已知函数
，
．
(1)若函数
在区间
内单调递增，求实数
的取值范围；
(2)记函数
，若
的最小值是
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为
，则
，
由题意知
在区间
内恒成立，
所以，
在区间
内恒成立．
令
，
，因为
恒成立，
所以
在区间
内单调递减，
所以
，所以
，即实数
的取值范围为
．
（2）解：
，其中
．
因为
，
①当
时，
对任意的
恒成立，
所以
在区间
内单调递增，此时，
无最小值，不合题意；
②当
时，令
，则
或
（舍去），
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
在区间
内单调递减，在区间
内单调递增，
则
是函数
的极小值点，也是最小值点，
所以
，
解得
，合乎题意.
综上所述，
.
【变式训练5-1】已知函数
在区间
上的最小值为
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分
，
和
三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数a 的取值范围.
当
时，
单调递减，
故
在
处取得最小值，最小值为
，满足要求，
当
或
时，
，
令
得
或
，
当
时，
恒成立，
故表格如下：
0
+
0
极小值
极大值
故
在
上取得极小值，
且
，
，
要想
在区间
上的最小值为
，
则要
，变形得到
，
令
，
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
且
，
，
故
的解集为
，
时，令
可得
，
当
时，
，
令
得
，
故
在
上单调递减，
故
在
处取得最小值，最小值为
，满足要求，
当
时，
恒成立，
故表格如下：
+
0
0
+
极大值
极小值
故
在
上取得极小值，
且
，
，
要想
在区间
上的最小值为
，
则要
，变形得到
，
令
，
，
时，
，
单调递增，
又
，故
上，
无解，
综上：实数a 的取值范围是
.
故选：C
【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，
故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等.
【变式训练5-2】若函数
的最小值为
，则实数
（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【解析】分
三种情况，利用导数讨论函数单调性，求出每种情况下的函数最小值，进而确定
的
值。
因为
，所以
，
由题意，易知
，
当
时，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
时，取得最小值，即
，解得
；
当
时，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
无最小值，故舍去；
综上，实数
.
故选：B.
【变式训练5-3】已知
是函数
的极值点，且曲线
在点
处的切线斜率为
，若
在区间
上存在最小值，求实数m 的取值范围．
【答案】
【解析】先求出导函数，根据已知列出方程组，求解得出
的值，进而得出
.根据导函数
得出函数的单调区间以及极值，检验满足题意.分
以及
，得出函数的单调区间，进而研究最值情
况，即可得出答案.
由已知
，则
，
由题意得
，解得
，
所以
，
.
当
或
时，有
，所以
在
上单调递增，在
上单调递增；
当
时，有
，所以
在
上单调递减.
所以，
在
处取得极小值，满足题意.
当
时，
在
上单调递减，此时函数没有最值；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，此时
在
处有最小值，满足.
综上所述，
.
【变式训练5-4】已知函数
的最小值为0，则a 的值为 .
【答案】
/0.5
【解析】对
求导，进而研究
的单调性，根据
有最小值为0，则
使
，且
求出
，即可求参数值.
由
，且
，
令
，则
，即
在
上递增，
所以
在
上递增，又
，
，
，
，
所以，
使
，且
时，
，
时，
，所以
在
上递减，在
上递增，
所以
由
，得
，
令函数
，
，
所以
在
上是增函数，注意到
，所以
，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0 可得到方程组
，消a
得到关于
的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得.
【变式训练5-5】已知函数
的最小值为1，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】变换得到
，换元构造新函数，确定单调区间，计算最值得到
有解，变换得到
，构造新函数，求导得到单调区间，画出图像，根据图像得到答案.
，
，
设
，
，
，
，
当
时，
，函数单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
故
，故
有解，即
，
，
，
即
，
，
设
，
，
当
时，
，函数单调递增；
当
时，
，函数单调递增；
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知
，解得
或
，即
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求参数的取值范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能
力，其中将取值范围问题转化为函数的最值问题，再利用函数图像求解是解题的关键.
【变式训练5-6】函数f (x)=2 x
3−6 x
2+m（m 为常数）在[−2,2]上有最大值3，那么m= ．
【答案】3
【解析】利用导数求得函数f (x)在区间[−2,2]上的单调性，得到最大值为f (0)=m，结合题意，即可求解.
由函数f (x)=2 x
3−6 x
2+m，可得f
' (x)=6 x
2−12 x =6 x( x−2)，
当x∈[−2,0)时，f
' (x)>0，f (x)单调递增；
当x∈(0,2]时，f
' (x)<0，f (x)单调递减，
所以当x =0时，函数f (x)取得最大值，最大值为f (0)=m，
因为函数f (x)在区间[−2,2]上的最大值为3，所以m=3.
故答案为：3.
【变式训练5-7】已知
是函数
的极值点，若函数
在
上存在最小值，求
的取
值范围．
【答案】
【解析】计算出
，
，再比较两者大小即可.
因为
，
所以
，
因为
是函数
的极值点，
所以
，
则
，此时
，
所以在
上
，在
上
，在
上
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，此时
为函数极值点，
故所求
的值为12.
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
因为
，所以
，所以
，所以
的取值范围
.
【变式训练5-8】设
.当
时，
在
上的最小值为－
，求
在该区
间上的最大值.
【答案】
【解析】通过导数判断
单调性，得到
，从而可得
，进而可得
.
由题，
，
因为
，则其对应判别式为：
，
令
得两根
，显然
，
令
，解得
或
；令
解得
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
又注意到，当
时，有
，
则
在
上递增，在
上递减.
所以
在
上的最大值为
.
，注意到
，即
，
所以
在
上的最小值为
，
从而
在
上的最大值为
.
【变式训练5-9】已知函数
（
）.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若
为
的极大值点，求
的取值范围；
(3)若
存在最小值，直接写出
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为
则
，
若
，可得
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以
在
处的切线方程为
.
（2）由（1）可知：
，
因为
，令
，解得
或
，
若
，则
，
令
，解得
或
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
为
的极大值点，符合题意；
若
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，无极值，不合题意；
若
，则
，
令
，解得
或
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
为
的极小值点，不合题意；
综上所述：
的取值范围
.
（3）因为
，可知：当x 趋近于
时，
趋近于0，当x 趋近于
时，
趋近于
，
结合（2）中单调性可知：存在
，使得
且
，
即
且
，
则
，解得
，
所以
的取值范围为
.
【变式训练5-10】已知
是函数
的极值点．
(1)求
的值；
(2)若函数
在
上存在最小值，求的取值范围．
【答案】(1)12
(2)
【解析（1）因为
，
所以
，
因为
是函数函数
的极值点，
所以
，
，此时
，
所以在
上
，在
上
，在
上
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，此时
为函数极值点，
故所求
的值为12.
（2）当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
，
因为
，所以
，所以
，所以的取值范围
.
【变式训练5-11】已知函数
.
(1)若
，求
在定义域内的极值；
(2)当
时，若
在
上的最小值为
，求实数
的值．
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)
【解析】（1）解：当
时，
，
的定义域是
，且
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
有极小值
，无极大值.
（2）解：因为
，则
，因为
，
①当
时，即当
，则
在
上恒成立，此时
在
上单调递减，
所以
，所以
（舍去）；
②当
时，即当
时，
由
可得
，由
可得
，
所以，函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
.
综上，
.
【变式训练5-12】已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)当
时，函数
在
上的最小值为3，求实数
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以函数
在点
处切线方程为
，即
.
（2）函数
，求导得
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
，解得
，矛盾，
当
时，由
，得
，函数
递减，由
，得
，函数
递增，
因此
，解得
，从而
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
，解得
，矛
盾，
所以
.
【变式训练5-13】已知函数
的定义域为
，其中
.
(1)若
是函数
的一个驻点，求a 的值；
(2)函数
在区间
上严格增，求a 的取值范围；
(3)当
时，若函数
，
在
处取得最大值，求a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）
，
.
是
的一个驻点，
，解得
.
时，
，
当
或
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
是
的一个驻点.
综上，
.
（2）①当
时，
在区间
上是增函数，
符合题意；
②当
时，
，令
得：
，
当
时，对任意
，
(符合题意)，
当
时，当
时，
，
(符合题意)，
综上所述，
.
（3）
，
，
令
，即
，显然有
，
设方程
的两个根为
，由
式得
，不妨设
，
当
时，
为极小值，所以
在
上的最大值只能为
或
，
当
时，由于
在
上是单调递减函数，
所以最大值为
，所以在
上的最大值只能为
或
，
又已知
在
处取得最大值，所以
，即
，解得
，
又因为
，所以
.
【变式训练5-14】已知
是函数
的极值点．
(1)求
的值；
(2)若函数
在
上存在最小值，求
的取值范围．
【答案】(1)12
(2)
【解析】（1）直接求导代入得到
，再验证即可；
（2）计算出
，
，再比较两者大小即可.
（1）因为
，
所以
，
因为
是函数函数
的极值点，
所以
，
，此时
，
所以在
上
，在
上
，在
上
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，此时
为函数极值点，
故所求
的值为12.
（2）当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
，
因为
，所以
，所以
，所以的取值范围
.
【变式训练5-15】已知函数
的最小值为0，则a 的值为 .
【答案】
/0.5
【解析】对
求导，进而研究
的单调性，根据
有最小值为0，则
使
，且
求出
，即可求参数值.
由
，且
，
令
，则
，即
在
上递增，
所以
在
上递增，又
，
，
，
，
所以，
使
，且
时，
，
时，
，所以
在
上递减，在
上递增，
所以
由
，得
，
令函数
，
，
所以
在
上是增函数，注意到
，所以
，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0 可得到方程组
，消a
得到关于
的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得.
【变式训练5-16】已知函数
，曲线
在点
处的切线斜率为
．
(1)求
的值；
(2)当
时，
的值域为
，求
的值．
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）求出函数的导函数，代入计算可得；
（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分
、
两种情况讨论，求出函数的最小值，从而
求出参数的值.
（1）因为
，所以
．
依题意
，解得
．
（2）由（1）可得
，则
．
令函数
，则
．
当
时，
；当
时，
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
因为
，
，所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
当
时，
在
上的最小值为
，解得
，舍去．
当
时，
在
上的最小值为
，解得
，
此时
，
，
，
即当
时
，符合题意．
综上，
的值为2．
9．已知函数
，
．
(1)若曲线
关于点
对称，求a 的值；
(2)若
在区间
上的最小值为1，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）令
，若曲线
关于点
对称，则
是奇函数，利用等式
可求出
的值；
（2）法1：先通过特值缩范围，因为
在
上的最小值为1，所以
，解出
，在
的范
围内求
，讨论单调性，确定最小值为1，确定
的范围；
法2：
在
上的最小值为1，等价于
恒成立且
有最小值为1，对不等式变形可得到
恒成立，结合二次函数列不等式组可求出
的范围.
（1）设
．
由题意知，
是奇函数，所以
，
即对任意
，有
，化简得
，
所以
，即
．
（2）方法1：因为
在
上的最小值为1，
故
，解得
．
当
时，
．
若
，则
．
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
而
，
，因此
在
上的最小值为1，满足题意．
若
，则
，当
时，
，所以
在
上单调递增，
故
在
上的最小值为
，满足题意．
综上所述，a 的取值范围为
．
方法2：由题意知
，即
，
又
，
时，
，
所以
等价于
，
令
，分情况讨论，
①
，即
，故
；
②
，即
，无解；
③
，即
，无解．
综上所述，a 的取值范围是
．
【变式训练5-17】已知函数
，
．
(1)求证：当
时，
；
(2)已知函数
在区间
上的最小值为1，求实数
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）构造函数
，然后求导，根据导数得到
的单调性即可得到
，
即可证明
.
（2）方法一：构造函数
，根据
单调递增，
最小值为1 得到存在唯一的
，使得
，然后得到
，最后列方程求
即可；
方法二：根据
，得到
，然后验证
时成立即可.
（1）证明：令
．
则
，则
在
上单调递增，
∴
，即当
时，
.
（2）解法一：
，
，
∵
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递增，
∴存在唯一的
，使得
，即
，∵函数
在
（0，+∞）上单调递增，
∴
时，
，
单调递减；
时，
，单调递增，∴
，由（*）式得，
，（当
且仅当
时
），
由
，得
，此时
，把
，
代入（*）成立，
∴实数
的值为
．
解法二：令
，
，令
，
时取等，
，
时取等，
，
时取等号，
∴
，
时取等，即
，
时取等，满足条件，∴
．
【变式训练5-18】已知函数
．
(1)若
在
上单调递减，求a 的取值范围；
(2)若
的最小值为3，求a．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）转化为
在
上恒成立，构造
，
，求导得到其单调性和最值
情况，求出答案；
（2）先由
，得到
，求导后，再令
，求导结合隐零点得到
的单调性，从而
得到
的最小值，得到方程，求出
的值，舍去不合要求的解.
（1）
，
由题意得
在
上恒成立，即
，
即
在
上恒成立，
令
，
，
，令
得
，
令
得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极大值，也是最大值，
，
故
，a 的取值范围是
.
（2）
的定义域为
，
其中
，
因为
的最小值为3，所以
，解得
，
，
当
时，设
，则
，
故
在
上递增，
因为
，
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，即
，
在
上单调递减，
当
时，
，即
，
在
上单调递增，
故
，
所以
，又
，
所以
，解得
或
，
解得
或
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
（舍去），
综上，
.
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有
时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利
用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
题型06：函数最值与恒成立问题
【典型例题1】若
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】D
【解析】先确定
时的情况，在当
时，参变分离可得
，构造函数
，求出
函数
的最小值即可.
当
时，
，不等式成立；
当
时，
恒成立，即
，
令
，则
，
因为
时，
（后证）
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递减，
故
，
所以
，即实数
的最大值为
.
证明当
时，
，
令
，
，则
，
则
在
上单调递增，所以
，即
.
故选：D.
【典型例题2】已知不等式
恒成立，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数的最大值即得.
当
时，不等式
，令
，
，
依题意，
恒成立，由
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
从而
，即
，所以
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题常用分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最
值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，
恒成立，只需
即可；
恒成立，只需
即可.
【典型例题3】已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)极大值为
，极小值为
；
(2)
.
【解析】（1）把
代入，利用导数探讨单调性并求出极值即可.
（2）根据给定条件，分离参数构造函数，再利用导数求出最大值即得.
（1）当
时，函数
定义域为R，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，
所以
的极大值为
，
的极小值为
.
（2）由
在
上恒成立等价于
在
上恒成立，
令
，求导得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
，于是
，
所以
的取值范围为
.
【变式训练6-1】已知
，设函数
，若关于
的不等式
在
上恒成立，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由二次函数性质及不等式恒成立易得
，当
时对
求导研究单调性求最小值，结合恒成立求
参数范围即可.
当
时，
的开口向上且对称轴
，
此时
，要使
恒成立，则
，
当
时
，
上
，即
递减，
上
，即
递增；
所以
，要使
，则
，即
，故
；
综上，
的取值范围为
．
故选：C
【变式训练6-2】已知函数
，若不等式
对于所有
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
或
【解析】利用导数求出
在
的最值，再解不等式
求出m 即可.
，
，
，
函数
在闭区间
上为增函数，
而
，
函数
在
上的最大值为4，
由
对于所有
，
恒成立，
得
，即
，
解得：
或
.
实数
的取值范围是
或
.
故答案为：
或
.
【变式训练6-3】已知函数
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若关于x 的不等式
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值；
（2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案.
（1）当
时，
，则
由
，得
，由
，得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
．
（2）由题意可得
．
当
时，由
，得
，由
，得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
．
因为不等式
恒成立，所以
，解得
．
当
时，
，不符合题意．
综上，a 的取值范围是
．
题型07：重点考查函数单调性，极值，最值综合应用
【典型例题1】已知函数
若
有3 个实数解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
时，
，利用导数求函数单调区间，可证得此时
有2 个实数解，则
时，
，
在定义区间内有1 个实数解，利用函数单调性和最值列不等式求实数
的取值
范围.
时，
，
，
解得
，
解得
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
，
所以方程
在
和
上各有1 个实数解，
时，
，函数在
上单调递减，
依题意，
在
上有1 个实数解，
则
，解得
.
实数
的取值范围为
.
故选：B
【典型例题2】已知函数
，若
在
存在零点，则实数
的最小值是 .
【答案】1
【解析】构造函数
，
，利用导数求解函数的单调性，进而求解函数的最值，即
可求解.
令
，即
，
令
，
，
而
，
令
，
，
则
，即函数
在
上单调递增，
因为
，
，即
，
所以存在唯一的
，使得
，即
，即
，
，
所以当
时，
，
，函数
单调递减；
当
时，
，
，函数
单调递增，
所以
，
又
时，
，
所以要使
在
存在零点，则
，所以实数a 的最小值为1.
故答案为：1
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
8．已知函数
．
(1)当
，求
的单调区间；
(2)若
有三个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
(2)
【解析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案；
（2）由
，把函数
的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，令
，
利用导数法研究函数
的单调性和极值，进而结合函数图象得到实数
的取值范围．
（1）将
代入可得
，其定义域为R，则
.
和
都在
上增函数，所以
在
上单调递增且
，
因此，当
时，
，函数
为单调递减；
当
时，
，函数
为单调递增；
综上所述，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）（2）由
得，
，令
，
则
，
时，
单调递减；
时，
单调递增；
时，
单调递减；
由单调性可知，当
时，
；
当
时，
；
当
时，取得极小值，即
；
当
时，取得极大值，即
.
所以
和
的大致图象如下：
综上所述，若
有三个零点，则
的取值范围为
．
【典型例题3】已知函数
在
处有极值-1.
(1)求
的值；
(2)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）求出函数的导数，根据题意可列出相应方程，即可求得
的值，验证后即可确定答案；
（2）由题意得
在
上恒成立，继而参变分离得
在
内恒成立.，构造函数
，求出函数的最小值，即可求得答案.
（1）由题意知
，
因为
在
处取得极值-1，
所以
，
解得
，
即
，
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
即
在
处取得极小值-1，符合题意，
故
.
（2）
在
上恒成立，
即
在
内恒成立.
令
，
则
，令
，得
或
，
令
，得
或
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，所以
，
所以
，经验证
时，
，即
符合题意，
即
的取值范围为
.
【点睛】方法点睛：解答第二问根据函数的单调区间求解参数取值范围，得到不等式
在
上恒成立，即可参变分离，转化为不等式
在
内恒成立，继而构造函数，将问题转化为求解函
数的最值问题.
【变式训练7-1】已知函数
有两个极值点为
，
.
(1)当
时，求
的值；
(2)若
（为自然对数的底数），求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）易知函数
的定义域为
，
则
，
当
时可得，
，
因此可知当
或
时，
；当
时，
；
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
可得
和
是函数
的两个极值点，又
，所以
；
所以可得
，
即当
时，
；
（2）易知
，
又
，所以
是方程
的两个实数根，
由韦达定理可得
，
所以
，
设
，由
可得
，令
，
则
，所以
在
上单调递减，
可得
，
故可知
的最大值为
.
【变式训练7-2】已知函数
．
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若函数
在
上恰有一个极小值点，求实数
的取值范围；
(3)若对于任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）若
时，
，则
，
，
可得
在点
处的切线方程为
，
即
．
（2）函数
，则
，
令
得
，
①若
，则
在
上恒成立，
此时
在
上单调递增，无极值，不符合题意，
②若
，则
与
的情况如下：
0
0
单调递
增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
若
在
上恰有一个极小值点，则需满足
，
解得
，
即实数
的取值范围为
．
（3）易知
，所以
可化为
，
又
，所以可得
，
即对于任意
恒成立，
令
，则
，
又
，所以
，
又
可得
即
在
上单调递减，所以
，
可得
，
即实数
的取值范围为
．
【变式训练7-3】已知函数
在
处有极值-1.
(1)求
的值；
(2)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知
，
因为
在
处取得极值-1，
所以
，
解得
，
即
，
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
即
在
处取得极小值-1，符合题意，
故
.
（2）
在
上恒成立，
即
在
内恒成立.
令
，
则
，令
，得
或
，
令
，得
或
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，所以
，
所以
，经验证
时，
，即
符合题意，
即
的取值范围为
.
【变式训练7-4】已知函数
.
(1)证明：曲线
在点
处的切线经过定点.
(2)证明：当
时，
在
上无极值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可得：
，
则
.
又
，所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，
所以切线经过定点
.
（2）当
时，
对
恒成立，
所以
在
上单调递增，所以
在
上无极值.
当
时，
，
设函数
，则
.
若
，则
；若
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递减，所以
在
上无极值.
综上，当
时，
在
上无极值.
【变式训练7-51】已知向量
（
为常数，是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与y 轴垂直，
．
(1)求
的值及
的单调区间；
(2)已知函数
（a 为正实数），若对于
，总存在
，使得
，求实
数
的取值范围．
【答案】(1)
,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
．
(2)
【解析】（1）由已知可得
，∴
．
由已知，
,
∴
，
∴
．
由
得
；由
得
．
∴
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）∵对于
，总存在
，使得
，
∴
．
由（1）知，当
时，
取得最大值
,
对于
，其对称轴为直线
．
当
时，
,
∴
，从而
；
当
时，
，∴
，从而
,
综上可知，实数
的取值范围是
．
【变式训练7-6】已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)设
，当
时，若存在
，对任意
，使
成立，求实数
的取
值范围；
(3)当
时，恒有
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【解析】（1）
当
时，
若
即
，由
得
，由
得
,
若
即
，由
得
，
由
得
或
,
若
即
,
故
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减;
时，
在
上单调递减.
（2）由（1）知，
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
故
对任意
恒成立,
即
对任意
恒成立,
在
上单调递增，
.
（3）当
时，恒有
成立,
即
对任意
恒成立,
令
,
当
时，
在
上单调递减，
，满足题意,
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
,不满足题意，
当
时，
在
上单调递增，
，不满足题意，
故
.
【变式训练7-7】已知函数
有两个极值点为
，
.
(1)当
时，求
的值；
(2)若
（为自然对数的底数），求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）对函数
求导代入
，即可求出函数单调性可得
，代入计算可求出
；
（2）利用韦达定理可得
，代入化简可得
，构造函数
，求出其单调性即可求得其最大值.
（1）易知函数
的定义域为
，
则
，
当
时可得，
，
因此可知当
或
时，
；当
时，
；
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
可得
和
是函数
的两个极值点，又
，所以
；
所以可得
，
即当
时，
；
（2）易知
，
又
，所以
是方程
的两个实数根，
由韦达定理可得
，
所以
，
设
，由
可得
，令
，
则
，所以
在
上单调递减，
可得
，
故可知
的最大值为
.
