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专题2.2 函数的单调性与最值
一、核心知识：
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义:设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值
x1, x2，当x1<x2 时，都有f ( x1)<f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数；当x1<x2
时，都有f ( x1)>f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。单调性的图形趋势（从左往
右）
上升趋势 下降趋势
（2）函数的单调区间:若函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有
(严格的)单调性，区间D 叫做y＝f(x)的单调区间．
（3）函数单调性的性质：若函数f ( x)与g( x)在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
①
与
（C 为常数）具有相同的单调性；
②
与
的单调性相反；
③当
时，
与
单调性相同；当
时，
与
单调性相反；
④若
≥0，则
与
具有相同的单调性；
⑤若f ( x)恒为正值或恒为负值，则：
当a>0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相反的单调性；当a<0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相同的单调性.
⑥
与
的和与差的单调性（相同区间上）:↗+ ↗=↗;↘+ ↘=↘;↗﹣↘=↗;↘﹣↗=↘.
（4）复合函数的单调性：
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或
(g(b)，g(a))上是单调函数，则若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)
与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
2.函数的最值
一般地，设函数
的定义域为D，如果存在实数M 满足
①
，都有
；②
，使得
，则M 是函数
的最大值；
②
，都有
；②
，使得
，则M 是函数
的最小值.
3.不等恒成立问题转化方法
（1）对于一次函数f ( x)=kx +b, x∈[m,n]，则：
如果
；如果
.
（2）设
，x∈R
f (x)>0
x
在∈R 上恒成立
或
；f (x)<0
x
在∈R 上恒成立
或
；
（3）设一元二次函数f ( x)=ax 2+bx +c(a≠0)x∈[α , β ]
当a>0
时，如果
f (x)>0
x
在∈[α , β ]
上恒成立
⇔¿{−b
2a <α ¿ ¿¿
；
当a>0
时，如果
f (x)<0
x
在∈[α , β ]
上恒成立
⇔¿{f(α)<0¿¿¿
.
当a<0
时，如果
f (x)>0
x
在∈[α , β ]
上恒成立
⇔¿{f(α)>0¿¿¿
；
当a<0
时，如果
f (x)<0
x
在∈[α ,β ]
上恒成立
⇔¿{−b
2a <α ¿ ¿ ¿
.
4.不等能成立（有解）问题的解法：
（1）若函数
在区间
上存在最小值
或最大值
，则：
不等式
在区间
上有解
；不等式
在区间
上有解
；
不等式
在区间
上有解
；不等式
在区间
上有解
；
（2）若函数
在区间
上不存在最大（小）值，且值域为
，则:
（或
）在区间
上有解
；
（或
）在区间
上有解
；
5.双变量不等恒（能）成立问题的解法：
对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题.
（1）对任意
，总存在
，使得
；
（2）若存在
，对任意
，使得
；
（3）对任意
，任意
，使得
；
（3）若存在
，存在
，使得
.
二、考点聚焦：
考点一：函数单调性判断与应用
经典例题：
1．若函数
在
上是减函数，且
，则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在
上是减函数，
，所以
，A 正确；又
，所
以
，
，B，C 正确，D 错误．
2．（2023·海南海口·模拟预测）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
和
C．
D．
和
【答案】B
【详解】
，则由二次函数的性质知，当
时，
的单调递减区间为
；当
，
的单调递减区间
为
，故
的单调递减区间是
和
.故选：B
3．（2020·北京·三模）以下函数中在区间
上单调递增的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对于A 选项，当
时，
，该函数在
上单调递增；对于B 选项，函数
在
上单调递减；对于C 选项，函数
在
上单调递减；对于D 选项，当
时，
，该函数在
上单调递减.故选：A.
4．已知定义域为
的函数
，
，
，
，都有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，
，则
，且
，可得
，
即
，可知
是
上的减函数，且
，所以
．故选：B.
5．（2021 年全国II 卷）已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，即
.故选：C.
6．（2022·陕西·二模）已知
是定义域为
上的单调增函数，且对任意
，都有
，
则
的值为（ ）
A．12
B．14
C．
D．18
【答案】B
【详解】因为
是定义域为
上的单调增函数，且对任意
，都有
，所以
必是常数，设
（k 为常数），得
，所以
，解得
，∴
，因此
.故选：B
7．（2022·山东淄博·三模）设
．若
，则
．
【答案】
【详解】由
在
上递增，
在
上递增，所以，由
，则
，
故
，可得
.故答案为：
8．（2023·河南洛阳·一模）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】可知函数
在
上是减函数，所以
，解得
．故选：B
9．已知函数
是定义在
上的奇函数，对任意
，且
，都有
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，且
，都有
，则
在
上单调递减，又函数
是定义在
上的奇函数，则
在
上单调递减，由
，则
，且
，
故
或
时
，
或
时
，所以
的解集为
.
故选：D
10．（2021·吉林长春·二模）写出一个符合“对
，当
时，
”的
函数
．
【答案】
（答案不唯一）
【详解】设
，
，则
，由单调性的定义可知，函数
是定义域为
的减函
数，所以函数
满足题意．故答案为：
．
强化训练：
1．函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
【详解】原函数式变形为
，因此增区间为
2．（2020·北京·一模）下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于
，
图象如下图所示：
则函数
在定义域上不单调，
错
误；对于
，
的图象如下图所示：
则
在定义域上单调递增，且值域为
，
正确；对于
，
的图象如下图所示：
则函数
单调递增，但值域为
，
错误；对于
，
的图象如下图所示：
则函数
在定义域上不单调，
错误.故选：
.
3．（20-21 高三上·上海浦东新·期中）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A:因为
为减函数，所以
为增函数；B:
对称轴为
，图象开口向上，所
以在
上为增函数；C:因为
在定义域上为减函数，所以
在定义域上为增函数；D:
当
时，
为减函数，当
时，
为减函数，且
，所以
在定
义域上为减函数.故选:D.
4．（多选）下列函数
中，满足对任意
，有
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】对任意
，有
，则函数在区间
上为减函数，对于A，
，由二次函数的图象与性质可知函数在区间
上为减函数，故A 正确；对于B，
，根据幂函数的性质，函数在区间
上为增函数，故B 错误；对于C，
，函数在
区间
上为减函数，故C 正确；对于D，
，当
时，
递增，所以函数在区
间
上不是单调函数，故D 错误．故选：AC
5．（多选）下列函数中满足“对任意
，
，且
，都有
”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】因为对任意
，
，且
，都有
，所以
在区间
上单调
递增，对于选项A，因为
在区间
上单调递减，所以选项A 错误，对于选项B，由反比
函数的性质知，
在区间
上单调递增，所以选项B 正确，对于选项C，因为
的对称轴为
，所以
在区间
上单调递增，故选项C 正确，对
于选项D，易知
在区间
上单调递增，故选项D 正确，故选：BCD.
6．（2021·北京延庆·模拟预测）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A 选项，
的定义域为
，在定义域上没有单调性，不符合题意.对于B 选项，
，定义域为
，在定义域上没有单调性，不符合题意.对于C 选项，
的定义域为
，在
上递增，不符合题意.对于D 选项，
的定义域为
，在
上递减，符合题意.故选：D
7．定义在
上的函数
满足
，若
，则满足
的解
集是 ．
【答案】
【详解】因为函数
满足
，所以
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
，当
时，
，所以由
，得
或
解得
．
8．（2026 高三·全国·专题）已知函数
的定义域为R，对任意的
且
，总有
，则
的解集是 ．
【答案】
【详解】依题意，不妨设
，则
，即
，因此函数
是定义在R 上的增函
数，由
，得
，解得
，所以
的解集为
.故答案为：
9．（2024·湖北武汉·二模）已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，故
在
上单调递增，由
，有
，即
.故选：A.
10．（2023·山西·模拟预测）已知
是定义在
上的单调函数，
，则
（ ）
A．114
B．116
C．134
D．136
【答案】D
【详解】由题意可知
是一个常数，设
，则
，因为
，所以
，因为
在
上单调递增，且
，
所以
，所以
，则
.故选：D.
考点二：函数的单调性求参
经典例题：
1．（2024·山东·二模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由函数
的对称轴是
，因为函数在区间
上是增函数，所以
，
解得
，又因为
，因此
，所以
的取值范围是
.故选：A．
3.若
是区间
上的单调函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【解析】由题意，
， 令
，解得
，令
，解得
或
，所以
在
上单调递减，在
，
上单调递减，若函数
在区间
上单调，则
或
或
，解得
或
或
，即
或
.故选：C.
4．（2024·广东揭阳·二模）已知函数
在
上不单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的图象对称轴为
，依题意，
，得
，所以
的取值
范围为
.故选：C
5.（2024·全国·模拟预测）若函数
在区间
上不单调，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增．又函数
在区间
上不单调，所以
，故选：B．
6．（2024·全国·模拟预测）若函数
在区间
上不单调，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增．又函数
在区间
上不单调，所以
，故选：B．
7．（2020·江苏泰州·模拟预测）已知函数
，对任意的
，
，有
，则实数k 的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意，得
在R 上递减，则
在
递减，且
，即
，
解得
，所以实数k 的取值范围是
，故答案为
.
8.（2024·广东佛山·二模）已知
且
，若函数
在
上单调递减，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，显然函数
在
上
单调递增，而函数
在
上单调递减，因此
，而
，则
或
，解得
或
，所以实数a 的取值范围为
.故选：D
9．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知函数
，对任意
，都有
成
立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由任意
，都有
可知函数
在
上单调递增，
故有
得
．故选：D
10．（2022·江西·二模）已知函数
若
，则
的单调递增区
间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，
解得a＝－1，故
，可知
在
上单调递增.
故选：D
强化训练：
1．（2023·山东·模拟预测）若函数
的图像经过点
，且在
上是减函数，则
．
【答案】
【详解】因为函数
的图像经过点
，且在
上是减函数，所以
，且
，
得
或
（舍去）．故答案为：
．
2．若函数
与
在
上都是减函数，则函数
在
上（ ）
A．是增函数
B．是减函数
C．先增后减
D．先减后增
【答案】B
【详解】由于函数
与
在
上均为减函数，故
，
，故二次函数
的图
象开口向下，且对称轴为直线
，故函数
在
上是减函数．故选：B．
3．（2020·河南·模拟预测）已知函数
是
上的增函数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
的对称轴为
，且开口向上，因为
在
上的增函数，
所以
，解得：
.故选：B
4．（2025 高三·全国·专题）若函数
在
上不单调，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【详解】函数
图象的对称轴为直线
，由
在
上不单调，得
，所以实数a 的取值
范围为
.故答案为：
5．（2020·山东·模拟预测）函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，函数
在
上单调递减，所以
，
的递增区间是
，所以
，即
.故选:B.
6．（21-22 高三下·福建福州·阶段）函数
在
上单调递减，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，故
在
上单调递减，由题意得
解得
，故选：B
7．（2020·江西南昌·一模）已知函数
，满足对任意的实数
，都有
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意知函数
是
上的减函数，于是有
，解得
，因此，实数
的取值范围是
．故选：B.
8．（2024 年全国Ⅰ卷）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，则需满足
，
解得
，即a 的范围是
.故选：B.
9．（22-23 高三上·江西鹰潭·阶段）已知函数
是
上的减函数，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】显然当
时，
为单调减函数，
，当
时，
，则
对称轴为
，
，若
是
上减函数，则
解得
，
故选：A.
10．（2023·甘肃兰州·模拟预测）命题
在
上为增函数，命题
在
单调减函数，则命题q 是命题p 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若
在
为增函数，则
，解
得
；
在
为减函数，则
，即
或
，因为“
”能推出“
或
”，反之不成立，所以命题q 是命题p 的必要不充
分条件，故选：B．
考点三：复合函数的单调性
经典例题：
1．函数
的单调增区间是 ．
【答案】
【详解】
，解得
，所以
的定义域为
.
的对称轴为
，开口向下，
在
上递增，根据复合函数单调性同增异减可
知
的单调递增区间是
.故答案为：
2.函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为R，函数
在
上单调递减，在
单调递增，
而函数
在R 上单调递减，因此函数
在
上单调递增，在
单调递减，
所以函数
的单调递增区间是
.故选：A
3．函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
所以函数
的定义域为
， 设
，所以
在
上单调递减，
在
上单调递增，而
在
单调递增，由复
合函数的单调性可知，函数
的单调增区间为
.故填：
．
4.（2024·高三·甘肃·开学考）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，由题意
单调递减，且
，
则
，解得
，
，所以
的单调递减区间是
.故选：D.
5．高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，
同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作
，是指不超过实数x 的最大整数，例如
，
，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数
，
则当
时，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，解得
，则
的定义域为
，当
时，令
，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
的值域为
，又因
，所以根据高斯函数定义可知
的值域为
．故选：C
6．（2025·广东茂名·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，可得
或
，即函数
的定义域为
，又因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，由复合函数的单
调性可知
在区间
上单调递增，
.故选：D.
7．（2023 年全国Ⅰ卷）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，所以
的取值范围是
.
故选：D
8．（2020 年全国Ⅱ卷）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
或
，所以
的定义域为
，因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，所以
.故选：D
9.若函数
在区间
内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知得
，解之得
，即
的定义域为
，又
在区间
内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：
，解得
．故选D
强化训练：
1．（2021·上海浦东新·三模）函数
的单调递减区间为 .
【答案】
(或
都对)
【详解】令
，则
，
在
单调递减，
在
单调递增，根据复合函
数的单调性可得：
在
单调递减，故答案为：
.
2.函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得
，解得
或
，由
图象的对称轴
为
，则
在
上单调递增，故
的单调递减区间为
，故选C
3.（2024·高三·浙江绍兴·期末）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
，解得
或
，所以函数
的定义域为
，令
，则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，而函数
在
上为增函数，由复合函数单调性可得
的单调递减区间为
.故选：C.
4．（2020·浙江·一模）已知函数
的图象如图所示，则
的解析式最有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】选项B、D 的函数定义域为
，和图象不匹配，错误；
选项C 函数
为减函数，和图象不匹配，错误；
选项A 函数
的定义域为R，且为增函数，正确.
故选：A
5．（2025·山西·二模）若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
为单调递增函数，不符合题意；当
时，
均为单调递
增函数，故
为单调递增函数，不符合题意；当
时，
在
单调递增，
在
单调递减，故
在
上单调递减，则
.故选：C
6．（2020·广东湛江·一模）已知函数
，若
在
为增函数，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
在
上为增函数，且函数
在
上为增函数，
在
上为增函数，且
．当
时，
在
上为减函数，不符合题意，故
.当
时，
，解得
．故选：C．
7.（2024·全国·模拟预测）已知函数
且
在区间
上单调递减，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设函数
，则
．①若
，则
在定义域上单
调递减．又
在区间
上单调递减，所以
在区间
上单调递增，
故
对任意的
恒成立．又
，所以对任意的
显然成立．
又因为
对任意
恒成立，所以
0，故
．②若
，则
在
定义域上单调递增．又
在区间
上单调递减，所以
在区间
上
单调递减，故
对任意的
恒成立．因为抛物线
的开口向上，所以
不可能对任意的
恒成立．所以
的取值范围为
．故选：A．
8.（2024·全国·模拟预测）函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
．当
时，
在
上单调递增，则由复合函数的单
调性可知
在
上单调递增，且
在
上恒成立，所以
，
解得
或
（舍去）．所以
在
上单调递增，则
，解
得
．当
时，
在
上单调递减，则由复合函数的单调性可知
在
上单调递减，且
在
上恒成立，所以
，解得
或
（舍去）．
所以
在
上单调递减，则
，解得
，与
矛盾．
综上所述，
.故选：C．
考点四：求函数的最值（值域）
经典例题：
1．函数
的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6
B．1，3
C．1，4
D．1，6
【答案】C
【详解】函数
在区间
上单调递减，所以
．
2．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，
，当
时，函数
单调递增，
当
时，函数取得最小
值，最小值为
；当
时，函数取得最大值，最大值为
，
函数
的值域为
.故选：A.
3．函数
，
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．5
D．
+4
【答案】B
【详解】由
在
上单调递增，所以
.故选：B
4．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】化简可得：
，设
,则
.由对勾函数的性值可知：
函数
是奇函数，在
上单调递减，
上单调递增，当
时，在
处取得最小值
，当
或
时，
，所以
的值域为
，所以函数
值域为
，故选：C.
5．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，则
的定义域为
．易得
是增函数，所以
，即
的值域为
．故选： B.
6．（2025 高三·全国·专题）（多选）若函数
的定义域为
，最大值、最小值分别为
，
，则实数
的值可能为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】ABC
【详解】由
，得函数的对称轴为
，当
时，函数
取的最小
值为
，当
或
时，函数值为
，函数
的定义域为
，值域为
，所以
，实数
的值可能为
．故选：ABC
7．（2025·浙江金华·三模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】求导得
，要满足函数
在区间
上单调递增，
则
，即
，因为
，所以
，即
，故选：B.
8．（2023·四川泸州·一模）已知
的值域为
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．2
C．
D．1
【答案】D
【详解】因为
的值域为
，当
时
，显然值域不为
，
故舍去；当
时函数
单调递减，即
，又
，函数
的值域
不为
，故舍去；所以
，此时当
时
，函数单调递增，又函数
在
上
单调递减，在
上单调递增，且
时
，当
时，只需满足
，解得
，
当
时，只需满足
，解得
，综上可得
，即
的最小值为.故选：D
强化训练：
1．函数
在区间
上的值域为 ．
【答案】
【详解】令
，
，
，则
，
在
上单调递增，则当
时，
，当
时，
，即
在区间
上的值域为
.故答案为：
.
2．函数
在区间
的最大值为 .
【答案】
【详解】（1）由
，所以
的定义域
,
令
，开口向下，对称轴
，根据复合函数的单调性可知，
的单调递增区间是
；单调递减区间是
,
在区间
的最大值为
.
3．函数
的最小值是 ．
【答案】
【详解】由
得
的定义域为
．又函数
在区间
上单调递增，函数
在区间
上单调递增，所以函数
在区间
上单调递增．所以
．
4．函数
的最小值为 ．
【答案】
【详解】由
，可得
，所以函数
的定义域为
，
与
在
上
均为增函数，
在
上为单调递增函数，∴当
时，
．故答案为
.
5．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，即
．又
在
上单调递增，故
当
时，函数取最大值为
，即
的值域为
．故选：A.
6．（2024 高三·全国·专题）函数
的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【详解】设
，
，则
，则函数
等价于
，
，
∵
在
上是增函数，
．∴函数
的最小值是3．
故选：A．
7．函数
的最小值为 ．
【答案】3
【详解】令
，则
，可得
，由对勾函数的性质，易知函数
在
上单调递减，则
，所以函数
的最小值为3.故答案为：3.
8．（多选）下列函数中，最小值为2 的函数有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】对于A，
时等号成立，故A 正确；
对于B，
时等号成立，故B 正确；
对于C，由
可知：
，所以由基本不等式有
，
当且仅当
，即
时，等号成立；故C 错误；
对于D，
，故D 错误.
故选：AB
9．（2025·湖北·模拟预测）函数
的最小值为 ，此时
.
【答案】
【详解】由
所以可知当
，即
时，函数
取到最小值
，
故答案为：①
；②
.
考点五：不等恒（能）成立问题
经典例题：
1．（2024·贵州遵义·模拟预测）
，关于
的一元二次不等式
恒成立，则实数
的取值
范围是 .
【答案】
【详解】由题意可知，
，得
.故答案为：
2．（2024·陕西西安·模拟预测）当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
.
【详解】当
时，不等式
恒成立，所以当
时，
恒成立，则
，令
，则
在
单调递增，所以
，所以
.
故答案为：
.
3．（2025·山东·二模）已知不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的最小值为
．
【答案】
【详解】根据已知条件，令
对任意的
成立.对函数求导得：
.
当
时，
，即
，此时，该函数在
上单调递增；当
时，
，即
，此时，该函数在
上单调递减.若
，即
时，该函数在
上单调递增，在
上单调递减.此时函数在
内的最小值为
.解得
，因为
，所以此时
的范围为：
.若
，即
时，该函数在
上的最小值为
，符合题意.综上所述，
的
取值范围为
.所以
的最小值为
.故答案为：
.
4．（2023·广西·模拟预测）若不等式
对
恒成立，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由不等式
对
恒成立，可转化为
对
恒成立，即
，而
，当
时，
有最大值
，所
以
，故答案为：
．
5．（多选）已知不等式
在
上有解，则实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】由
，即
，
，故
在
上有解，设
，
则
，则
，因为函数
在
上单
调递减，在
上单调递增，且当
时，
；当
时，
，则
的最大值为
，故
.故选：AB.
6．若命题
²
2
2
3
0
x
x
mx
m
R，
为真命题，则m 的取值范围为 .
【答案】
, 3
1,
【详解】由题意，不等式
2
2
2
3
0
x
mx
m
有解，即不等式
2
2
2
3
0
x
mx
m
有解，设
2
2
2
3
f x
x
mx
m
，则函数图象开口向上，要使不等式
0
f x
有解，则函数
f x
图象与x 轴有交
点，则
2
Δ
4
4
2
3
0
m
m
，化简得
2
2
3
0
m
m
，解得
3
m 或
1
m ．
7．已知函数
2
2
f x
x
x
，若存在
2,4
x
，使得不等式
2
3
f x
a
a
成立，则实数a 的取值范围为
.
【答案】
, 3
0,
【详解】因为函数
的对称轴为
1
x ，所以当
时，该二次函数单调递增，所以
min
2
0
f x
f
，因为存在
，使得不等式
2
3
f x
a
a
成立，所以有
2
3
0
0
a
a
a
，或
3
a ，因此实数a 的取值范围为
, 3
0,
，故答案为：
, 3
0,
8．已知函数
，
.若“
，
，使得
成立”为真
命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
，有
.
，
，使得
成立，
等价于
，
.即
在
上恒成立，参变分离可得
.
当
，
，当且仅当
时取等号，所以
，故选:C.
9．已知
，
，若“
，
，使得
成立”为真
命题，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】当
，有
，则
，
，使得
成立，
等价于
，
，即
，在
上恒成立，参变分离可得，
，而当
，
，当且仅当
，即
时取等号，所以
.
10．（2025 高三·全国·专题）已知函数
，
，若对任意的
，总
存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，所以
，因为
，所以
在
上是增函数，因为
，所以
，因为对任意的
，总存在
，使得
成立，所以
，所以
，
解得
，即实数
的取值范围是
.故选：
.
强化训练：
1．（24-25 高三上·山东·阶段）已知不等式
的解集为空集，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
不等式
的解集为空集，
不等式
在
上恒成立，
，
，即
的取值范围是
.故选：D.
2．（2023·江苏连云港·模拟预测）（多选）若对于任意实数x，不等式
恒成立，
则实数a 可能是（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】ABD
【详解】当
时，不等式为
恒成立，故满足题意；当
时，要满足
，而
，所以解得
；综上，实数a 的取值范围是
；
所以对比选项得，实数a 可能是
，0，1.故选：ABD.
3．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的
恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，而当
时，
，当且仅当
，即
时取等号，则
，所以m 的取值范围是
.故选：C
4．（22-23 高三下·黑龙江哈尔滨·开学考）对任意的
，不等式
都成立，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为对任意的
，都有
恒成立，∴
对任意的
恒成立．设
，
，
，
当
，即
时，
，
∴实数a 的取值范围是
.故选：D.
5．（2024·四川成都·二模）若函数
对
恒成立，则
的取值范围是
.
【答案】
【详解】因为
在
上恒成立.设
，
，则
在
恒成立.则
.故答案为：
6．（2022·湖北武汉·三模）若
，使
成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由
可得，
，因为
，所以
，根据题意，
即可，设
，易知
在
单调递减，在
单调递增，所以
，所以
，故答案为：
7．（22-23 高三上·河北·阶段）若关于
的不等式
在区间
内有解，则实数
的取值范
围是 .
【答案】
【详解】不等式
在区间
内有解，即不等式
在区间
内有解，设
，
，即
，即
不大于函数
在区间
上的最大值，函数
的图象为开口向上，对称轴是直线
的抛物线，∴
，
，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，∵
，
，∴
，∴
，即实数
的取值范围为
.故答案为：
.
8．关于x 的不等式
2
2
1
0
ax
x
在
0,2
上有解，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
,1
【详解】由不等式
2
2
1
0
ax
x
以及
0,2
x
可得
2
2
1
x
a
x
，依题意可知
2
max
2
1
,
0,2
x
a
x
x
即可，
令
2
0,2
2
1,
y
x
x
x
，又
2
2
2
1
1
1
1
x
y
x
x
，由
0,2
x
可得
1
1 ,
2
x
，利用二次函数性质可
知
2
max
1 1
1
1
y
，即可得
1
a ；即实数a 的取值范围是
,1
.故答案为：
,1
9．已知
，若
，对
均有
成立，则实数m 的取值范围
为 .
【答案】
【详解】令
，因为
，对
均有
成立，
所以
，因为
，所以函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，当
时，
在
上单调递增，所以
，所以
，所以
；当
时，
在
上恒
成立，所以
，所以
，符合题意；当
时，
在
上单调递减，所以
，所以
，所以
.综上，满足题意的实数m 的取值范围为
.故答案为：
.
10．已知函数
．若“
，使得
成立”为真命
题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，使得
成立，
，又由
在
x∈[2,4]上单调递增，
，即
对
恒成立，
，
即
对
恒成立，
，又由
在
上单调递增，
时，
时，
，
.故选：B．
三、达标检测：
《函数的单调性与最值》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．已知
过点
，则
在区间
内的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可得
，解得
，故
，所以函数
在区间
内单调递减，
则
，故
的值域为
．故选：A.
2．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
有意义，则
，解得
．设
，其图象开口向下，对称
轴为直线
，当
时，
单调递增，当
时，
单调递减．又
在定义域内
单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当
单调递增时，
单调递增．
3．已知函数
，
的最小值为，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，因为
在
上的最小值为，所以
时，
，所以
，易知反比例型函数
在
单调递减.
所以
在
处取到的最小值为，即
，所以
.故选：D
4．已知函数
是实数集
上的减函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由函数
是
上的减函数，又
，所以
，解得
.故选：C
5．设
，则“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】函数
的对称轴为
，由函数
在
上单调递增可得
，即
，所以“
”是“函数
在
上单调递增”的充分不必要条件.故选：A
6．高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，
同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作
，是指不超过实数x 的最大整数，例如
，
，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数
，
则当
时，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，解得
，则
的定义域为
，当
时，令
，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
的值域为
，又因
，所以根据高斯函数定义可知
的值域为
．故选：C
7．已知函数
是定义在
上的增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
是定义在
上的增函数，所以
，解得
.故选：B
8．已知函数
．若“
，使得
成立”为真命
题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，使得
成立，
，又由
在
x∈[2,4]上单调递增，
，即
对
恒成立，
，
即
对
恒成立，
，又由
在
上单调递增，
时，
时，
，
.故选：B．
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．若函数
的定义域为
，最大值、最小值分别为
，
，则实数
的值可能为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】ABC
【详解】由
，得函数的对称轴为
，当
时，函数
取的最小
值为
，当
或
时，函数值为
，函数
的定义域为
，值域为
，所以
，实数
的值可能为
．故选：ABC
10．若函数
在
上不单调，则实数
的值可以是（ ）
A．-6
B．-4
C．0
D．4
【答案】BC
【详解】函数
图像开口向上，对称轴为
，若函数
在
上
不单调，则
.故选：BC.
11．已知不等式
在
上有解，则实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】由
，即
，
，故
在
上有解，设
，
则
，则
，因为函数
在
上单
调递减，在
上单调递增，且当
时，
；当
时，
，则
的最大值为
，故
.故选：AB.
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．若函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为
在区间
上单调递增，所以
，即
，因为
，
所以
的最小值为.故答案为：.
13．已知
，当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由
可知，函数对称轴为
，当
时，
在
上单调递增，
，所以要使
恒成立，即
，即
，解得
；当
时，
在
上单调递增，所以
，则
，解得
；综上所述，
的取值范围是
.故答案为：
14．已知函数
，若
且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
时，
是增函数，且
，
时，
是增函数，且
，如
图，
且
，则
，
，由
得
（负值舍去），因此
，
，
，
，
，所以
时，
取得最大值
，
时，
取得最小值
，所以
的取值范围是
．
故答案为：
．
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
A
A
D
C
A
C
B
B
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
ABC
BC
AB
答案:
1
