文档文本内容
专题2.5 函数的图象
一、核心知识：
1.基本初等函数的图像
一次函数
图象
O
x
y
y
x
O
定义域
R
R
值域
R
R
单调性
增
减
对称性
不固定
不固定
二次函数
图象
定义域
R
R
值域
单调性
先减后增
先减后增
对称性
关于
对称
关于
对称
反比例函数：
图象
定义域
值域
单调性
两个减区间
两个减区间
对称性
关于原点对称，是奇函数
关于原点对称，是奇函数
指数函数：
图象
定义域
R
R
值域
单调性
增
减
对称性
无
无
对数函数：
图象
定义域
值域
R
R
单调性
增
减
对称性
无
无
常用指数函数与对数函数图象：
幂函数：
图象
七、三角函数：
正弦函数：
正弦函数：
正弦函数：
图象
定义域
R
R
值域
R
单调性
增：
减：
增：
减：
增：
对称性
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心：
对称中心：
对勾函数：
图象
定义域
值域
单调性
增区间：
；
减区间：
增区间：
对称性
对称中心：
对称中心：
绝对值函数：
图象
定义域
值域
单调性
增区间：
；减区间：
增区间：
；减区间：
对称性
对称轴：
轴
对称轴：
轴
2.图像的变换
（1）平移变换
①函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向左平移
个单位得到的；
②函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向右平移
个单位得到的；
③函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向上平移
个单位得到的；
④函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向下平移
个单位得到的；
（2）对称变换
①函数
与函数
的图像关于
轴对称；
函数
与函数的图像关于
轴对称；
函数
与函数
的图像关于坐标原点
对称；
②若函数
的图像关于直线
对称，则对定义域内的任意
都有
或
（实质上是图像上关于直线
对称的两点连线的中点横坐标为
，
即
为常数）；
若函数
的图像关于点
对称，则对定义域内的任意
都有
③
的图像是将函数
的图像保留
轴上方的部分不变，将
轴下方的部分关于
轴对称翻折上
来得到的（如图（a）和图（b））所示
④
的图像是将函数
的图像只保留
轴右边的部分不变，并将右边的图像关于
轴对称得到函
数
左边的图像即函数
是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：
的图像先保留
原来在
轴上方的图像，做出
轴下方的图像关于
轴对称图形，然后擦去
轴下方的图像得到；而
的图像是先保留
在
轴右方的图像，擦去
轴左方的图像，然后做出
轴右方的图像关于
轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数
与
的图像关于
对称．
（3）伸缩变换
①
的图像，可将
的图像上的每一点的纵坐标伸长
或缩短
到原来
的
倍得到．
②
的图像，可将
的图像上的每一点的横坐标伸长
或缩短
到原来
的
倍得到．
3.函数图象常用结论：
（1）若
恒成立，则
的图像关于直线
对称．
（2）设函数
定义在实数集上，则函数
与
的图象关于直线
对称．
（3）若
，对任意
恒成立，则
的图象关于直线
对称．
（4）函数
与函数
的图象关于直线
对称．
（5）函数
与函数
的图象关于直线
对称．
（6）函数
与函数
的图象关于点
中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
二、考点聚焦：
考点一：图象变换与作图
经典例题：
1．利用函数
的图象，作出下列各函数的图象．
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
；(5)
；(6)
．
【详解】（1）把
的图象关于
轴对称得到
的图象，如图：
（2）保留
图象在
轴右边部分，去掉
轴左侧的，并把
轴右侧部分关于
轴对称得到
的
图象，如图：
（3）把
图象向下平移一个单位得到
的图象，如图：
（4）结合（3），保留
上方部分，然后把
下方部分关于
轴翻折得到
的图象，如图：
（5）把
图象关于
轴对称得到
的图象，如图：
（6）把
的图象向右平移一个单位得到
的图象，如图：
2．作出下列函数的图像：
(1)
； (2)
； (3)
； (4)
；
(5)
；(6)
；(7)
．
【详解】（1）函数
，则其图象可看作由反比例函数
的图象，
先向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位得到，其图象如图示：
（2）
，其图象如图：
（3）设
，其图象如图：
（4）设
，其图象如图：
（5）设
，其图象可看作由函数
的图象向右平移1 个单位，再向下平移1 个单
位得到，而
，其图象可由
的图象保留
时的图象，然后将该部分关于y
轴对称得到，则
图象如图示：
（6）
的图象可由函数
的图象保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分
翻折到x 轴上方得到，图象如图：
（7）设
，则其图象可由
的图象向左平移1 个单位，再保留x 轴上方部分不
变，将x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到，如图：
3．（2023·四川成都·模拟预测）要得到函数
的图象，只需将指数函数
的图象（ ）
A．向左平移1 个单位
B．向右平移1 个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】D
【详解】由
向右平移
个单位，则
.故选：D
4．（2025·湖南娄底·模拟预测）（多选）下列函数，其图象平移后可得到函数
的图象的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，函数
的图象向右平移1 个单位长度可得到函数
的图象，故A 正确；对于B，
函数
的图象向上平移2 个单位长度可得到函数
的图象，故B 正确；对于C，函数
的图
象上点的横坐标伸长为原来的2 倍可得到函数
的图象，故C 错误；对于D，函数
，
其图象向左平移
个单位长度可得到函数
的图象，故D 正确．故选：ABD
5.（2025 高三·全国·专题）（多选）已知函数
是定义在
上的增函数，则函数
的图象可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】因为
是
上的偶函数，又因为函数
是定义在
上的增函数，则
是
上的增函数，所以
图象是关于
对称的，且在
单调递增，故选:BC．
6．（2020·湖南·二模）将函数
的图象向左平移1 个单位长度，得到函数
的图象，则函
数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
．因为
，即
，所以
为奇函数，排除A；令
，解得
，即
有唯－的零点
，排除C；由解析式可知
，排除D．只有B 符合条件．故选：B．
7.若函数
的定义域为
，则函数
与
的图象关于（ ）
A．直线
对称 B．直线
对称 C．直线
对称 D．直线
对称
【答案】C
【解析】因为函数
的图象是
的图象向右平移1 个单位得到的，
的图象是
的图象也向右平移1 个单位得到的；又因为
与
的图象是关于
轴（直线
）对称，
所以函数
与
的图象关于直线
对称.故选：
.
8．（2020·山东·高考真题）已知函数
是偶函数，当
时，
，则该函数在
上的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，
，所以
在
上递减，
是偶函数，所以
在
上递增.注意到
，所以B 选项符合.故选：B
9．（22-23 高三上·湖南长沙·阶段）若直线
与函数
（
且
）的图象有两个公共点，
则
的取值不可以是（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【详解】
的图象由
的图象向下平移一个单位，再将
轴下方的图象翻折到
轴上方得到，
分
和
两种情况分别作图.当
时，图象如下图所示：
此时需要
，即
，所以
；当
时，图象如下图所示：
此时需满足
，
都符合条件；综上可知,
的取值范围为
或
，所以
的取值不可以是D.故选：D
10．（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，方程
的根的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】当
时，
，故
是
的一个周期，又
时，
，则
，作出函数
和
的函数图象，
因
，
，结合图象可知，
和
的函
数图象交点个数为.故选：B
强化训练：
1．如图所示，函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】∵
，∴
时，
，当
时，函数
为
上的单调递增
函数，且
，当
时，函数
为
上的单调递减函数，且
，故选：B
2．已知函数
，则函数
的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
图像与
的图像关于
轴对称，由
解析式，作出
的
图像如图.
，从而可得
图像为D 选项.故选：D.
3．（21-22 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位
【答案】B
【详解】由题意得
，所以只需将函数
的图象向右平移个单位，即可得到
的图象.故选：B
4．（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）（多选）下列曲线平移后可得到曲线
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，曲线
向右平移3 个单位可得到曲线
，故A 正确；对于B，曲线
向
上平移3 个单位可得到曲线
，故B 正确；对于C，曲线
横坐标伸长为原来的3 倍可得到曲线
，故C 错误；对于D，曲线
，向左平移
个单位可得到曲线
，故D
正确；故选：ABD
5.（2023 春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数
的图象向右平移1 个单位长度后，再向上平移4 个
单位长度，所得函数图象与曲线
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】D
【详解】函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，将
的图象向下平移4 个单位
长度得到
的图象，再将
的图象向左平移1 个单位长度得到
的
图象，即
，故
.故选:D.
6．（2023 高三·全国·专题）（多选）函数
且
的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】当
时，
，显然当
时，函数单调递增，当
时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为
，而
，故A，B 不符合；对于C，D，因为渐近线为
，故
，故
时，
，故选项C 符合，D 不符合；当
时，
，当
时，函数单调递增，当
时，函数单调递减，函数图象的渐近线为
，而
，故B 符合，A，C，D 不符合；故选：BC.
7．（24-25 高三上·河北保定·期中）（多选）函数
的图象经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
【答案】ABC
【详解】由于
，所以
，函数
在
上单调递增，
的图象向下平移
个单位，得到
的图象，所以函数
的图象不经过第四象限，经过第一、二、三象限.
故选：ABC
8．（22-23 高三上·湖南娄底·期末）（多选）函数
的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】因为
，当
时，
在
上单调递增，且当
趋于
时，
趋于
；
在
上单调递减，当
趋于
时，
趋于
,故排除D；当
时，
在
上单调递减，当
趋于
时，
趋于
；
在
上单调递增，当
趋于
时，
趋于
,故排
除C.故选：AB.
9．（2013·陕西·模拟预测）已知函数f(x)=x-4+
，x∈(0，4)，当x=a 时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)=
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因x (0
∈
，4)，则x＋1>1，于是得
，当且仅当
，即x=2 时取等号，f(x)的最小值为1，则a=2，b=1，函数
，其图象关于直线x=-1
对称，当
时，
单调递减，只有B 选项满足.故选：B
10．（2020 高三下·山东·学业考）已知函数
，
，当
时，
取得最大值
，
则函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，
在
单调递减，在
单调递增，故可得
在
时，取得最大值
.故
，
，又
图象可以由
的图象经过关于
轴
的翻折变换，再向左平移1 个单位得到.故满足
的函数图象是选项
.故选：
考点二：函数图象与解析式
经典例题：
1．（24-25 高三上·重庆·开学考试）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
定义域为R，
，函数
为奇函数，图象
关于原点对称，排除AB；又
，排除D.故选：C.
2．（2025·天津和平·三模）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由于
，故
为奇函数，其图象关
于原点对称，此时可排除CD,又
，故排除B，故选：A
3.函数
的图象是下列的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
的定义域为
，解得：
，故B 错误.
，则函数
为奇函数，故C，D 错误；故选：A.
4．（2025·河北邢台·三模）函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
的定义域为
，故排除A；
，
，所以
，
，故
非奇非偶函数，故排除B，D.故选：C
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由已知，
定义域为
，且
，所以函数
为偶函数，故
图象关于
轴对称，又
，排除B，D 选项；当
时，
，排除C，故A 正确．故选：A．
6.（2024·宁夏固原·一模）已知函数
的部分图像如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于B，当
时，
，易知
，
，则
，不满足图象，
故B 错误；对于C，
，定义域为
，又
，
则
的图象关于
轴对称，故C 错误；对于D，当
时，
，由反比例函
数的性质可知，
在
上单调递减，故D 错误；检验选项A，
满足图中性质，故A
正确.故选：A.
7.（2024·天津·二模）函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数
为奇函数，且
，对于A，
，为偶函数，故A 错误；对于B，
，故B 错误；
对于C，
，为奇函数，当
时，
，因为
，
在
为单调递增函数，所以
在
单调递增，故C 正确；对于D，当
时，
，
，所以
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，故D 错误，故选：C.
8.（2024·湖南·二模）已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除
B；由图可知，当
时，
，而对于D 选项，当
时，
，故排除D.故选：A.
9．（2025·河南·二模）已知
是减函数，则函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
是减函数，且
是增函数，所以
，因为
，
又当
时，
，所以函数
的图象是对称轴为直线
，顶点为
，
开口向上的抛物线的一部分，只有选项B 符合题意.故选：B.
10．（2025·湖南长沙·一模）已知
，且
，则函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可知，
，故
，故函数
与函数
的单调性
相同，故选：B.
强化训练：
1．（2025·四川成都·三模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，函数
定义域为
，且
，所以函数
为奇
函数，图象关于原点对称，又
时，
，所以
，且
恒成立，则
，
所以只有D 满足.故选：D
2．（2025·河北·模拟预测）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，由余弦函数性质可知
，又
，且函数
在
上单
调递增，得
.所以当
时，
，BD 错误.又
时，
，得
，A 错误.故选：C.
3．（2025·陕西安康·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，知
的定义域为
，排除A，C；
，当
增大时，
减小，
也减小，即
在
上单调递减，排除D.故选：B.
4．（2025·辽宁·模拟预测）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，可得
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，排除B 项；
，排除C 项；当
时，
，
排除A 项.故选：D.
5．（2025·河南·三模）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
的定义域为
，排除D；因为
，
所以
为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C；当
时，
，排除A．
故选：B.
6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据图象可知，函数关于
对称，且当
时，
，故排除B、D 两项；当
时，函数
图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当
时，
单调递减，故排除C 项.故选：A.
7．（25-26 高三上·云南·阶段）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由图象过点
可知，AC 选项满足，BD 选项不满足，故排除BD；对A，
，
而对于C，
，故排除C.故选：A
8.（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数
的大致图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为
，与图象不符，故A 错误；对于选项B：因为
，与图象
不符，故B 错误；对于选项C：因为
，与图象不符，故C 错误；故选：D.
9.（2024·陕西安康·模拟预测）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图象可得函数
为偶函数，且
，
，当且仅当
时，
，对于A，因
为
，
，所以函数
是偶函数，又
，
，则
，所以函数
在
上单调递增，所以
，故解析式可
能为A，故A 正确；对于B，由
，不合题意，故B 错误；对于C，因为
，所以
且
，所以函数
是非奇非偶
函数，故C 错误；对于D，由
，不合题意，故D 错误.故选：A.
10．（2025 高三·全国·专题）已知
且
，则函数
与函数
的图象可能
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因
，故
，故
，而
与
关于
对称，
各选项中只有B 满足，故选：B.
考点三：函数图象的应用
经典例题：
1．（2026 高三·全国·专题练习）不等式
的解集是 ．
【答案】
【详解】在同一直角坐标系中作出函数
和
的大致图象，如图所示，
当
时，解得
，由图象知，
的解集是
．故答案为：
.
2．（2025·河北邢台·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
. 则不等式
在
上的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
是定义在
上的奇函数且
，所以当
时，
，则
；当
时，
，则
，
所以
；函数
的图象可由函数
的图象向左严移1 个单位长度得到，
作出函数
在
上的图象，如图所示，
，由图可知不等式
在
上的解集为
．故选：A．
3．（2025·河南·三模）若
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，结合题意作出
的大致图象，如图所示，
由图可知，不等式
的解集为
.故选：B.
4．（2024 高三·全国·专题）若
，则满足
的
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
，即
的图象在
图象的下方，由图可知，
．
故答案为：
.
5．（2025 高三下·全国·专题）已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】作出函数
与
的图象，如图，当
时，
，作出函数
与
的图象，由图象可知，此时解得
；当
时，
，作出函数
与
的图象，它们的交点坐标为
，
，结合图象知此时
．所以不等式
的解
集为
．故选：C.
6．（2025 高三·全国·专题）已知函数
，其中
表示
中的较大者.则不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】解：因为
，作出
的大致图象，如图所示，当
时，由
，得
；当
时，由，
得
，所以
的解集为
.故答案为：
7．（2025·陕西汉中·模拟预测）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】曲线
与
的图像如下，
所以交点个数为3，故选：B.
8．（2025·河南·模拟预测）已知函数
存在
，使得
，
则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】作出函数的图象，设
，依题意，
，且
，
，解得
，
，故
，因函数
在
上单调递减，故
，即
的取值范围是
.故答案为：
.
9．已知函数
若函数
图象与直线
有且仅有三个不同的交点，则实数k 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将
的图象向下平移1 个单位得到
，再将
的图象的
轴下方的图象以
轴
为对称轴翻转至
轴上方可得到
，将
的图象向右平移1 个单位得到
，所以
的图象如图所示，
由图可知，当
时，函数
与
图象有且仅有三个不同的交点.故选：B.
10．（2025·海南·模拟预测）对于函数
，若存在两点
，其中
，
则称
两点为函数
的一对“隐对称点”，若函数
，则
共有（ ）对
“隐对称点”．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】等价转化为函数
与函数
的图像的交点个数，作出函数
的大
致图象如图所示，再作出曲线
关于y 轴对称的曲线C：
的图像，数形结合可
知曲线
与曲线C 有3 个交点，所以
图象上“隐对称点”有3 对．故选：C．
.
强化训练：
1．（2025·河南·三模）若
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，结合题意作出
的大致图象，如图所示，
由图可知，不等式
的解集为
.故选：B.
2.（2023 秋·山东省烟台·高三期末）已知
表示
，
，中的最大值，例如
，若
函数
，则
的最小值为（ ）
A．2.5
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数
，
，
的图象，因为
，所以
的图象如图实线所示：由
可得
，由
可得
，由图知
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，所以当
时，
，当
时，
，所以
的最小值为，故选：B.
3．定义运算
，已知函数
，若
恒成立，则
的取值范围
为 ．
【答案】
【详解】由
，得
，因为函数
和
都是
上的增函数，所以
在
上单调递增，又
时，
，所以方程
有唯一解
；函数
和
的
图象如下：
，根据
，可得
，函数
的图象如下：
由
恒成立，得
恒成立，即
，
由图可知，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减；所以
，则
，解得
或
，则
的取值范围是
.故答案为：
．
4．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数
，若函数
恰有3 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】若函数
恰有3 个零点，即函数
与
的图象有3 个交点，
，当
时，
，当
时，
，函数
的图
象如下， 结合图象可得
.故选：A.
5．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数
，若方程
的实数解恰有两个，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【详解】当
时，函数
在
上单调递减，函数值集合为
，在
上单
调递增，函数值集合为
；当
时，
在
上递增，函数值集合为R，在直角坐
标系内作出函数
的图象与直线
，
由图象知，当
或
时，直
线
与函数
的图象有两个交点，即方程
有两个实数解.故选：C.
6．（2025·河北·三模）（多选）已知函数
，当
时，
，则下列结论正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
最小值为14
【答案】ACD
【详解】对于A，
的图象是由
的图象向右平移2 个单位长度而得到，如图：
，显然A 正确；对于B，
，所以
，即
，故B 不正确；对于C，由选项B 可知
，即
，解得
，当且仅当
时取等号，
，
，故C 正确；对于
D，
，当且仅当
，即
时取
等号，故D 正确.故选：ACD.
7．已知实数
，
是函数
的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意
的零点，即函数
与函数
的交点如图，
由图可得
，
，
，
，
，
，
综上，
.故选：B.
8．（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，方程
的根的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】当
时，
，故
是
的一个周期，又
时，
，则
，作出函数
和
的函数图象，
因
，
，结合图象可知，
和
的函数
图象交点个数为.故选：B
9.（2022·天津·统考高考真题）设
，对任意实数x，记
．若
至
少有3 个零点，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【详解】设
，
，由
可得
.要使得函数
至少有个零点，
则函数
至少有一个零点，则
，解得
或
.
①
当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，要使得函数
至少有个零点，则
，所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，要使得函数
至少有个零点，则
，可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.故答案为：
.
10. （2023·北京·统考高考真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
【详解】依题意，
，当
时，
，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当
时，
，易知其图像是，圆心为
，半径为
的圆在
轴上方的图像（即半
圆）；当
时，
，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取
，
则
的图像如下，
显然，当
，即
时，
在
上单调递增，故①错误；
对于②，当
时，当
时，
；当
时，
显然取得最
大值
；当
时，
，综上：
取得最大值
，故②正确；
对于③，结合图像，易知在
，
且接近于
处，
的
距离最小，
当
时，
，当
且接近于
处，
，此时，
，故③正确；
对于④，取
，则
的图像如下，
因为
，结合图像可知，要使
取得最小值，则点
在
上，点
在
，同时
的最小值为点
到
的距离减去半圆的半径
，此时，因为
的斜率为，则
，故直线
的方程为
，联立
，解得
，则
，显然
在
上，满足
取得最小值，即
也满足
存在最小值，故
的取值范围不仅仅
是
，故④错误.
故答案为：②③.
三、达标检测：
《函数的图象》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．要得到函数
的图象，只需将指数函数
的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位
【答案】D
【详解】因为
，
，所以，为了得到函数
的图象，只需将指数函数
的
图象向右平移
个单位，故选：D.
2.将函数
的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
关于直线
对称的函数为
，将
向下平移三个单位得到
，将
向左平移一个单位得到
，即
，
故
.故选：D
3.已知指数函数
，将函数
的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的
倍，
得到函数
的图象，再将
的图象向右平移
个单位长度，所得图象恰好与函数
的图象重合，
则a 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可得
，再将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
，
又因为
，所以，
，整理可得
，因为
且
，解得
.故选：D.
4．函数
的图象的大致形状是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵
，∴根据指数函数图像即可判断选项C 符合.故选：C.
5．函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
的定义域是
，关于原点对称，排除选项D，因为
，所以
是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，
当
时，
，（等号条件为
即
，故等号不成立），
当
时，
，（等号条件为
即
，故等号不
成立），排除C，只有选项B 符合题意.故选：B.
6．函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以函数
是奇函数，排除选项A；因为
，当
时，
，排除选项D；由
知函数
在
时的第一个零点为
，
且
，由图中所标的单位长度可知，选项B 正确，选项C 错误．故选：B．
7．已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数图像关于
轴对称可得，函数
为偶函数，又选项C 对应的函数为奇函数，则排除
选项C，又
，显然选项B 不满足题意，即排除选项B，又
，显然选项A 不满足题意，即
排除选项A，即
的解析式可能为D，故选：D.
8．已知函数
的部分图象如图，则函数
的解析式可能为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由于图像关于原点对称，所以
为奇函数，对于B：由
，得：
，
为偶函数，故可排除B；对于C：由
，得：
，为偶函数，故可排除C；
由图知图象不经过点
，而对于D：
，故可排除D；故选：A
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．对于函数
与
的图象，下列说法错误的是（ ）
A．
与
有三个交点 B．
与
有两个交点
C．
，当
时，
恒在
的下方 D．
，当
时，
恒在
的上方
【答案】BC
【详解】由
，
，
，
，可在同一坐标系内作出两函数图
象如下图所示，显然两函数有三个交点
，故A 正确，B 错误；由于指数函数的增长速度大于幂函数
的增长速度，所以当
时，
恒在
的上方，故C 错误，D 正确.故选：BC.
10．（2025·湖南郴州·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是增函数
C．不等式
的解集为
D．若函数
恰有两个零点，则
的取值范围为
【答案】CD
【详解】
的大致图象如图所示：
由图象可知：
的图象不关于原点对称，所以
不是奇函数，故A 错误；
在定义域内不单调，故B 错误；若
，则
或
，即不等
式
的解集为
，故C 正确；令
，则
，原题意等价于
与
有2 个交点，则
，所以
的取值范围为
，故D 正确；故选：CD.
11．已知函数
，则正确的是（ ）
A．
的值域为
B．
的解集为
C．
的图象与
的图象关于
轴对称
D．若关于
的方程
有且仅有一实根，则
【答案】AC
【详解】A：因为
的值域为
，所以
的值域为
，故A 正确；B：因为
，且
在
上单调递增，所以
，解得
，
故B 错误；C：
关于
轴对称的函数为
，即为
，所以
的图象与
的图象关于
轴对称，故C 正确；D：作出
的图象如下图所示，当
与
仅有一个交点时，此时关于
的方程
有且仅有一实根，由图象可知，
或
，故D 错误；
故选：AC.
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12.把函数
的图象向右平移
个单位，再把横坐标缩小为原来的
，所得图象的函数解析式是
__________．
【答案】
把函数
的图象向右平移
个单位，得函数
，再把横坐标缩小为
原来的
，得到函数
的图象.故答案为：
13．若函数
的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数
的图象与x 轴有公共点，即
有实数解．由于
，故
，解得
．
14．对于任意实数
，定义符号
，其意义为：当
时，
；当
时，
；若
，函数
，有4 个零点，则
取值
范围为 .
【答案】
【详解】由
，作出它们的图象，如图所示，
则
作图如图，
令
，即
，由图
象可知，当
时，
与
有4 个交点，故
有4 个零点，故
的取值范围为
.故答案为：
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
D
D
D
C
B
B
D
A
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
BC
CD
AC
答案:
