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专题2.1 函数概念及其表示
一、核心知识：
1.函数的概念：
一般地，设
是非空的数集，如果对于集合
中的任意一个数
，按照某种确定的对应关系
，在集
合
中都有唯一确定的
和它对应，那么就称
为从集合
到集合
的一个函数，记作
.
2.相等函数：
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3.分段函数：
在函数定义域内，对于自变量
取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段
函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示
的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。
4.基本的函数定义域限制:
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切
的定义域是
且
；
5.已知
的定义域求解
的定义域，或已知
的定义域求
的定义域:
（1）定义域是指自变量的取值范围；
（2）在同一对应法则
下，括号内式子的范围相同；
6.对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
7.基本初等函数的值域:
（1）
的值域是
．
（2 ）
的值域：当
时，值域为
；当
时，值域为
．
（3）
的值域是
．
（4）
且
的值域是
．
（5）
且
的值域是
．
二、考点聚焦：
考点一：函数的概念
经典例题：
1．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数
图象的是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③
【答案】D
【详解】∵一个
只能对应一个
，∴①③符合题意，对于②中，当
时，一个
对应两个
，不符合
函数的定义；对于④中，当
时，一个
对应两个
，不符合函数的定义.故选：D．
2．设
，
，函数
的定义域为
，值域为
，则
的图象可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为定义域为
，所以舍去A;因为值域为
，所以舍去D;因为对于定义域
内每一个x 有且只有一个y 值，所以去掉C；选B.
3．（2023 高三·全国·专题）下列对应是从集合A 到集合B 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对于A 选项，对集合A 中的任意一个数x，集合B 中都有唯一的数y 与之对应，是函数；对于B 选
项，
时，
，有两个y 与之对应，不是函数；对于C 选项，当
时，
不存在，不是函数；
对于D 选项，集合A 中的元素0 在集合B 中没有对应元素，不是函数.故选：A
4．下列函数中，与
是相同的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A 选项，函数
定义域为
，其解析式与函数
的解析式不一致，两个函数不
是同一函数；对于B 选项，函数
的定义域为
，其解析式与函数
的解析式一致，两个函
数是同一函数；对于C 选项，函数
的定义域为
，和函数
的定义域不一致，两个函数不
是同一函数；对于D 选项，
的定义域为
，但其解析式与函数
的解析式不一
致，两个函数不是同一函数.故选B.
5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A 中，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，两函数的定
义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数
和
的定义域不同，不是同一函数；
对于C 中，函数
与
的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；
对于D 中，函数
的定义域为
，
的定义域为
，两函数的定义域不同，不是同一
函数.故选：C.
6．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A，要使得根号下有意义，则
，即定义域为
，故A 错误；对于B，要使得对数有
意义，则真数
，即定义域为
，故B 正确；对于C，由指数函数的定义可知其定义域为
，故C
错误；对于D，要使得正切函数有意义，则
，即定义域为
，故D 错误；
故选：B.
7．若函数
的值域是
，则此函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数
的值域是
，所以当
时，
，
当
时，
，即
，解得
，所以函数的定义域为：
，故选：D
8．函数
的值域（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
的定义域为
，
，
所以函数
的值域为
.故选：D.
9．函数
的值域是
，则此函数的定义域为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由已知得
，即
.因为函数
的值域是
，所以
或
，解得
或
，所以此函数的定义域是
.
10．（多选）下列函数中，在
上的值域是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】函数
在
上单调递增，所以
，值域为
，选项A 正确；函数
，当
时，
，所以选项B 错误；函数
在
上单调递增，所以
，
值域为
，选项C 正确；函数
当
时，
，所以选项D 错误.故选：AC.
强化训练：
1．（多选）下列所给图形可以是函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】由函数的概念可知，
对于A，当
时，每一个
的值对应两个不同的
值，因此不是函数；
对于B，当
时，
有两个值，因此不是函数；
对于C,D，每一个
的值对应唯一的
值，因此是函数.
故选：CD.
2．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量
，有唯一的
值相对应，选项B 中的图像不是函数图像，
出现了一对多的情况，其中选项A、C、D 皆符合函数的定义，可以表示是函数.故选：ACD
3．（2024 高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A 到集合B 的一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A 选项：当x 为负数时，B 中没有元素与之对应，故A 选项不正确；
B 选项：当x 为零时，B 中没有元素与之对应，故B 选项不正确；
C 选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C 选项不正确；
D 选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D 选项正确．
故选：D
4．（22-23 高三上·福建宁德·阶段）（多选）下列函数中，与函数
是同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】函数
的定义域为R，A.
，定义域为R，解析式不同，故错误；B.
，定义域为R，故正确；C.
，定义域为
，定义域不同，故错误；
D.
，定义域为R，故正确；故选：BD
5．（2021·江西·模拟预测）（多选）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】AB
【详解】A 中两个函数定义域都是
，对应法则都是乘以2 后取绝对值，是同一函数；
B 中两个函数定义域都是
，对应法则都是取平方，是同一函数；
C 中
定义域是
，
的定义域是
，不是同一函数；
D 中
的定义域是
，
的定义域是
，不是同一函数．
故选：AB．
6．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】对于A 中，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，定义域相同，
对应法则相同，所以是同一个函数； 对于B 中，函数
和
的定义域都是
，但对应法则不同，所以不是同一个函数；对于C 中，函数
的定义域为
，函数
的定义
域为
，定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D 中，函数
的定义域为
，
的定义域为
，定义域不相同，所以不是同一个函数.故选：A．
7．函数
在
的值域为 .
【答案】
【详解】因为
，则
，可得
，所以
在
的值域为
.
故答案为：
.
8．函数
的值域为 .
【答案】
【详解】因为二次函数
的值域为
，所以
的定义域是
，
值域为
.故答案为：
.
9．已知集合
，
，则
．
【答案】
【详解】
，又因
，
所以
，所以
.即
.故答案为：
10．（多选）下列函数中值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】对于A，函数
的定义域为
，值域也为
，A 正确；
对于B，函数
，值域为
，B 正确；
对于C，函数
的定义域为
，值域为
，C 错误；
对于D，函数
的定义域为R，值域为
，D 错误．
故选：AB．
考点二：求函数定义域
经典例题：
1．（2024 高三·广东·学考）函数
的定义域为
.
【答案】
【详解】因为
，所以
,解得x≥1 且x≠2，x≠3，即函数的定义域为
，故答案为：
.
2．（2024·四川南充·三模）函数
的定义域为 .
【答案】
【详解】因为
，所以
且
，解得
且
，
故函数的定义域为
.故答案为：
3．（2020·上海虹口·二模）函数
的定义域为 .
【答案】
【详解】由
，得
，解得
.所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
4．（2024·山东·一模）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】要使函数有意义，则
，即
，所以
或
，解得
或
，
所以函数的定义域为
.故选：D.
5．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
的定义域为
，所以
，即
，解得
，
所以，函数
的定义域为
.故选：C
6．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数
的定义域为
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
的定义域为
，则
，可得
，所以函数
的定
义域为
，对于函数
，则有
，解得
，
因此函数
的定义域为
.故选：C.
7．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是
【答案】
【详解】由函数
的定义域是
，得
，则
，由
，解得
，所以
的定义域是
.故答案为：
8．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
的定义域为
，又函数
有意义，则有
，
解得
或
，所以函数
的定义域是
.故选：C
9．若函数
的定义域为
，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若函数
的定义域为
，则
对任意
恒成立．当
时，
不等式
化为
，恒成立；当
时，需满足
，解得
．
综上所述，实数a 的取值范围是
．
10．（2021·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
有定义，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可得
，解得
．因为
有定义，所以当
时，由
，得
；当
时，由
，得
；当
时，
，恒成立．综
上，实数
的取值范围是
．故选：D．
强化训练：
1．（2025·北京·二模）函数
的定义域为 ．
【答案】
【详解】由函数
有意义，则满足
，解得
且
，所以函数
的定义
域为
.故答案为：
.
2．（2023·北京朝阳·二模）函数
的定义域为 .
【答案】
【详解】令
，可得
，解得
.故函数
的定义域为
.
故答案为:
.
3．（2023·上海普陀·二模）函数
的定义域为 ．
【答案】
【详解】
，
，
或
，所以定义域为：
.
故答案为：
4．（2025·上海静安·模拟预测）已知集合
，则
．
【答案】
【详解】
，
，所以
.
故答案为：
5．（2025·湖南常德·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，
，所以
.故选：D.
6．（2024·湖北武汉·二模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
.
【答案】
【详解】由函数
的定义域为
，则有
，令
，解得
.
故答案为：
.
7．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数
的定义域为
.记
的定义域为集合
的定
义域为集合
.则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】∵函数
的定义域为
，所以
，令
，解得
，即
，即
，∵
，∴“
”是“
”的必要不充分条件，故选：C.
8．（2023·北京延庆·一模）已知函数
的定义域为
，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由
，可知
，解得
，故答案为：
.
9．（2024·河南信阳·一模）已知不等式
的解集为
，则函数
的定义域为 .
【答案】
【详解】由不等式
的解集为
，可得
和
是方程
的
两个根，且
，则
，解得
，所以函数
，要使得函数
有意义，则满足
，即
，解得
，所以函数
的定义域为
.
10．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数
定义域为
，则实数
实数b 的取值
范围 ．
【答案】2
【详解】函数
，故
，即
，函数
的定义域为
，故
.故答案为：2；
考点三：求函数解析式
经典例题：
1．（2022·山东济南·二模）已知函数
，则
．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
.
故答案为：
.
2．（2022·河北石家庄·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，令
，则
，所以
，因此，
.故选：B.
3．（2022·全国·模拟预测）已知
，则
．
【答案】
【详解】解法一：令
，可得
，令
，可得
，
故
．
解法二：令
，可得
，则
，
故
．故答案为：
4．已知f(x＋
)＝x2＋
，则函数f(x)＝ ．
【答案】x2－2(|x|≥2)
【解析】配凑法. f(x＋
)＝x2＋
＝(x2＋2＋
)－2＝(x＋
)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
5．（2022·河北保定·二模）若函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
.
从而
，当
时，
取得最小值，且最小值为
.故选：D
6．（2020·安徽蚌埠·三模）已知函数
是一次函数，且
恒成立，则
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】D
【详解】设
，
，则
因为
恒成立，所以
且
，解得
，所以
，即有
.故选：D.
7.已知
，那么
．
【答案】
【解析】∵
，
，∴
．联立方程组
，
解得
．故答案为：
.
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，将
换成
，可得
，即
，联立方程组
，解得
，
所以
.故选：B.
9．已知二次函数
满足
，
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
．
【解析】由二次函数
满足
，设
的表达式为
（
，
为常数），
则
；
，
根据
，得
，解得
，所以
，
令
，则
，解得
，所以
的解集为
．
故答案为：
．
10．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的
，都有
，则一次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，则
，因为
，即
，
则
，解得
，所以
.故选：C.
强化训练：
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，
，则
，
，所以
，
所以
的解析式为：
.故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）已知
，则
．
【答案】
/2.5
【详解】由题意得，
，令
，由
，得
，
∴
．故答案为：
.
3．一次函数
在
上单调递增，且
，则
.
【答案】
【解析】设
，则
，
，
则
.又
在
上单调递增，即
，所以
，
，则
.
故答案为：
4．已知函数
是一次函数，且
，则
的解析式为 .
【答案】
或
【解析】设
(
)，则
，
则
，解得
，
，或
，
，故
或
.
故答案为：
或
.
5．已知二次函数
，其图象过点
，且满足
，则
的解析式为 .
【答案】
【解析】根据题意可知
，又
恒相等，化简得到
恒相等，所以
，故
，
，
，所以
的解析式为
.故答案为：
.
6．（2022·全国·模拟预测）若函数
满足关系式
，则
.
【答案】6
【详解】因为
，所以
，解得
，所以
.
故选：6
7．（2023·河南·模拟预测）已知函数
对定义域
内的任意实数
满足
，则
.
【答案】
【详解】由
，得
，即
①，将
换为
，得
②，由①+2②，得
，故
.故答案为：
.
8．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数
满足
，
，则下列说法正确的
是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设
，则
，∴
，
．由
，
有
，即
，∴
．故选：D
9．（2024·四川·模拟预测）已知
为定义在
上的单调函数，且对
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，则
，所以
，即
，设
，易知
在
上单调递增，所以
，即
，故
，所以
．故选：B．
10．（2023·浙江·二模）已知函数
满足
，则
可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，
，则
，
，不满足
；
对于B，
，则
，
，不满足
；
对于C，
，则
，
，不满足
；
对于D，
，当
时，
，故
；当
时，
，故
，即此时
满足
，D 正确，
故选：D
考点四：分段函数
经典例题：
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若
则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】D
【详解】由已知，当
时，
，所以
．故选：D.
2．（2024·湖南益阳·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】D
【详解】根据已知
，所以
.故选：
.
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
，则
，所以
.故选：A
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数
满足
若
，则
（ ）
A．1
B．4
C．5
D．2024
【答案】A
【详解】因为
，所以
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，发现从
第6 项开始就是以3 为周期的周期函数，
，为3 的倍数，则
．故选：A
5．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数
且
，则
（ ）.
A．
.
B．
.
C．2.
D．4.
【答案】D
【详解】由题可知
，解得
，则
.故选：D.
6．（2022·江西南昌·一模）已知
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．0
【答案】B
【详解】作出函数
的图象，
在
，
上分别单调递增，
由
，因为当
时，不存在满足条件的a，所以
，即
，此时
，
，所以
，即
，解得
或
（不满足
，舍去）此时
满足题意，则
，故选：B.
7．设函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，不等式
等价于
或
，解得
或
或
，所以不等式
的解集为
.故选：B
8．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
（ ）
A．1
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【详解】
,故选：C
9．（2024·山西·三模）已知
是奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】因为
是奇函数，则
，且
，所以
.故选：B.
10．（2024·北京东城·二模）设函数
，则
，不等式
的解集
是 .
【答案】1
【详解】由题意
；因为
，当
，即
时，则
，可得
，不合题意；当
，即
时，可得
，解得
或
，所以
；当
，即
或
时，则
，可得
，符合题意；
综上所述：不等式
的解集是
.故答案为：1；
.
强化训练：
1．（2024·四川达州·二模）已知
，则
.
【答案】1
【详解】
.故答案为：1.
2．（2025·北京房山·一模）已知函数
，则
.
【答案】4
【详解】
，
，故
.故答案为：4
3．（2023·广西南宁·一模）已知函数
，那么
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【详解】因为
，所以
，所以
，故选D．
4．（2025·广西河池·二模）已知
，求
.
【答案】9
【详解】
，又
.故答案为：
5．（2025·山东济宁·二模）已知函数
则
的值为 .
【答案】
【详解】由题意
，所以
，
故答案为
.
6．（2024·山东泰安·二模）已知函数
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意知，当
时，
，得
，又
，所以方程无解；当
时，
，得
，即
，解得
，所以
.故选：D
7．已知函数
若
，则
．
【答案】
或
【详解】由题意知
．当
，即
时，有
，解
得
；当
，即
时，有
，解得
或
（不合题意，舍去）．故
或
．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集是 .
【答案】
【解析】当
时，由
得
，解得
，此时，
；当
时，由
得
，即
，解得
，此时，
.综上所述，不等式
的解集是
.故答案为：
.
9．（2025·上海宝山·二模）已知函数
则
= .
【答案】
【详解】由题意可得
.故答案为：.
10．（2025·安徽黄山·二模）已知函数
，则
．
【答案】0
【详解】由
，得
.故答案为0.
三、达标检测：
《函数概念及其表示》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．函数y=f(x)的图象与直线
的交点个数（ ）
A．至少1 个
B．至多1 个
C．仅有1 个
D．有0 个、1 个或多个
【答案】B
【解析】若1 不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线
没有交点，若1 在函数f(x)的定义域内，
y=f(x)的图象与直线
有1 个交点，故选：B.
2.已知函数
的定义域
，值域
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】∵
，由题意可得
，解得
，
可得
，故
.故选：B.
3．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】要使函数有意义，则
，即
，所以
或
，解得
或
，
所以函数的定义域为
.故选：D.
4．下列函数中与函数
相等的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的定义域为
，选项A：函数
，定义域为
，不满足题意；
选项B：函数
，不满足题意；选项C：函数
，不满足题意；选项D：函数
，定义域为
，与函数
的定义域和对应关系均相同，满足题意.故选：D.
5．已知函数
，那么
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【详解】因为
，所以
，所以
，
故选：D．
6．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
的定义域为
，又函数
有意义，则有
，解
得
或
，所以函数
的定义域是
.故选：C
7．已知函数
是一次函数，且
恒成立，则
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】D
【详解】设
，
，则
因为
恒成立，所以
且
，解得
，所以
，即有
.故选：D.
8．已知函数
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，将换成
，可得
，即
，联立方程组
，解得
，
所以
.故选：B.
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】AC
【详解】A 选项，
与
定义域都为，定义域、解析式均相同，是同一函数；B 选项，
的定
义域为，
的定义域为
，定义域不同，不是同一函数；C 选项，
，
与
定义域、解析式均相同，是同一函数；D 选项，
的定义域为，
，两函数定义域相同但解析式不同，不是同一函数.故选：AC
10．下列求函数定义域正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的定义域为
C．函数
的定义域为
D．函数
的定义域为
【答案】AD
【详解】对于A，对于
，有
，即
，所以
的定义域为
，故A 正确；
对于B，对于
，有
，解得
，所以
的定义域为
，
故B 错误；对于C，对于
，有
，所以
的定义域为
，故C 错误；
对于D，易知
的定义域为
，故D 正确.故选：AD.
11．若函数
的图象为如图所示的曲线m 和线段n，曲线m 与直线l 无限接近，但永不相交，则下
列说法正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．在
的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应
D．在
的值域内任取一个值，总有唯一的x 值与之对应
【答案】BC
【详解】由题意得：定义域为
，A 错误；
的最小值为1，故值域为
，B 正确；
由函数定义及图象可知：在
的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应，C 正确，在
的值
域内任取一个值
时，此时有两个x 值与之对应，D 错误.故选：BC
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．若函数
，则
.
【答案】9
【详解】令
，解得
，所以
，故答案为：9
13．（2025·上海宝山·二模）已知函数
则
= .
【答案】
【详解】由题意可得
.故答案为：.
14．已知函数
的定义域为，且
，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由
，可知
，解得
，故答案为：
.
附：常用基本初等函数图象及性质
一次函数
图象
O
x
y
y
x
O
定义域
R
R
值域
R
R
单调性
增
减
对称性
不固定
不固定
二次函数
图象
定义域
R
R
值域
单调性
先减后增
先减后增
对称性
关于
对称
关于
对称
反比例函数：
图象
定义域
值域
单调性
两个减区间
两个减区间
对称性
关于原点对称，是奇函数
关于原点对称，是奇函数
指数函数：
图象
定义域
R
R
值域
单调性
增
减
对称性
无
无
对数函数：
图象
定义域
值域
R
R
单调性
增
减
对称性
无
无
常用指数函数与对数函数图象：
幂函数：
图象
七、三角函数：
正弦函数：
正弦函数：
正弦函数：
图象
定义域
R
R
值域
R
单调性
增：
减：
增：
减：
增：
对称性
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心：
对称中心：
对勾函数：
图象
定义域
值域
单调性
增区间：
；
减区间：
增区间：
对称性
对称中心：
对称中心：
绝对值函数：
图象
定义域
值域
单调性
增区间：
；减区间：
增区间：
；减区间：
对称性
对称轴：
轴
对称轴：
轴
