文档文本内容
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
（含爪子定理）
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 基底的概念及辨析..........................................................................................................4
考点二 平面向量的基本定理综合..............................................................................................5
考点三 “爪子定理”的综合应用..............................................................................................8
考点四 坐标表示..........................................................................................................................9
三阶突破训练...............................................................................................................12
基础过关......................................................................................................................................12
能力提升......................................................................................................................................15
真题感知......................................................................................................................................21
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第6 题,5 分
坐标计算向量的模
平面向量线性运算的坐标表
示
向量坐标的线性运算解决几何问题
2025 年全国二卷，第12 题,5 分
坐标计算向量的模
平面向量线性运算的坐标表
示
向量垂直的坐标表示
2024 年全国甲卷理数，第9
题,5 分
由向量共线(平行)的坐标表示
求参数
判断命题的充分不必要条件
向量垂直的坐标表示
2023 年全国乙卷文数，第6
题,5 分
用基底表示向量
数量积的运算律
数量积的坐标表示
2022 年新I 卷，第3 题,5 分
用基底表示向量
无
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5 分
【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量
4.会综合应用平面向量基本定理求解
5.会坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易
理解，易得分，需重点复习。
知识点1 平面向量基本定理
条件
e
→
1，e
→
2是同一平面内的两个 不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a
→
，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a
→
＝λ1 e
→
1＋λ2 e
→
2
基底
若e
→
1，e
→
2不共线，把{e
→
1, e
→
2)叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
知识点2 平面向量的坐标表示
设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量⃗v =⃗OP都可用从原点O出发的有向线段⃗OP表示．原点O到
E1(1,0)，E2(0,1)的向量⃗e1=⃗O E1，⃗e2=⃗O E2分别是x轴正方向和y轴正方向上的单位向量，组成标准正
交基，则⃗v =⃗OP = x⃗e1+ y⃗e2的坐标 ( x , y) 视为⃗v在这组基下的坐标，等于向量终点P( x , y)的坐标．
知识点3 平面向量线性运算的坐标表示
已知⃗a=(x1, y1)，⃗b=(x2, y2)，则：
（1）⃗a+⃗b= (x1+ x2, y1+ y2) ，⃗a−⃗b= (x1−x2, y1−y2) ，
即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
（2）若点A 坐标为(x1, y1)，点B 坐标为(x2, y2)，O 为坐标原点，
则⃗OA = (x1, y1) ，⃗OB = (x2, y2) ，⃗AB =⃗OB−⃗OA =(x2, y2)−(x1, y1)=
(x2−x1, y2−y1) ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标 ；
(4)设向量a
→
=(x1, y1)，则λ a
→
= (λ x1, λ y1) ．
(5)中点坐标公式：若P1, P2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段P1 P2的中点P 的坐标为(x , y)，则
{
x = x1+ x2
2
y = y1+ y2
2 )
考点一 基底的概念及辨析
典例1．下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线.
【详解】A 选项：
，
与
共线，
A 错误；
对于B，由
，B 错误；
对于C，两向量不存在倍数关系，所以C 正确，
对于D，
，
与
共线，
D 错误；
故选：C.
典例2．（2025·山西·二模）若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可.
【详解】对于选项A，
，两向量共线，不符合基底的定义，故A 错误；
对于选项B，
，两向量共线，不符合基底的定义，故B 错误；
对于选项C，不存在实数
，使得
，故C 正确；
对于选项D，
，两向量共线，不符合基底的定义，故D 错误.
故选：C.
跟踪训练1．（多选）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】通过向量是否共线，逐项判断即可；
【详解】对于A，易知
，共线，所以不可以；
对于B，由
，所以不共线，可以；
对于C，易知
，共线，不可以；
对于D，易知
，共线不可以；
故选：ACD
跟踪训练2．（多选）设
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是
（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】CD
【分析】由共线定理和基底定义逐一分析即可得解.
【详解】对于A，假设
，则
使得
，
则因为
不共线得
且
，则
无解，故
不共线可作为一组基底，故A 不正确；
对于B，假设
，则
使得
，
则因为
不共线得
且
，则
无解，故
不共线可作为一组基底，故B 不正确；
对于C，因为
，所以
不能作为基底，故C 正确.
对于D，因为
，所以
不能作为基底，故D 正确.
故选：CD
考点二 平面向量的基本定理综合
典例1．（2025·甘肃甘南·三模）
中，若
，
，
，则向量
可用
，
表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算直接求解即可.
【详解】在
中，
，
则
.
又因为
，所以
.
故选：A
典例2．如图：在平行四边形
中，已知
，直线
交于O，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，用
表示出
，根据共线定理推论求出
，然后可求解.
【详解】设
，则
，
又
，所以
，
因为
三点共线，所以
，解得
，
所以
.
故选：D
跟踪训练1．（2025·辽宁·模拟预测）在
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算可得出
关于
、
的表达式.
【详解】如下图所示：
由题意得
.
故选：C.
跟踪训练2．（2025·四川绵阳·模拟预测）设在
中，点D 为
边上一点，且
，点E 为
边上的中点. 若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算，即可用基底表示.
【详解】
因为
，所以
为
中点，即
，
又因为点E 为
边上的中点，所以
，
由
，
因为
，
，所以
，
故选：D.
考点三 “爪子定理”的综合应用
典例1．设
为
所在平面内一点，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：A
A
B
C
D
解析：由图可想到“爪字形图得：
，解得：
典例2．如图，在
中，
，
是
上的一点，若
，则实数
的值
为（ ）
A.
B.
C.
D.
解：观察到
三点共线，利用“爪”字型图，可得
，且
，由
可得
，
所以
，由已知
可得：
，所以
答案：C
跟踪训练1．△ABC中，若⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗BD =3⃗DC，则向量⃗AD可用⃗a，⃗b表示为（ ）
A．1
4⃗a+ 3
4⃗b
B．⃗a+ 3
4⃗b
C．1
4⃗a+ 1
4⃗b
D．3
4⃗a+ 1
4⃗b
【答案】A
【详解】在△ABC中，⃗BD =3⃗DC，
则⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ 3
4⃗BC =⃗AB+ 3
4 (⃗AC −⃗AB)
=⃗AB+ 3
4⃗AC −3
4⃗AB = 1
4⃗AB+ 3
4⃗AC.
又因为⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，所以⃗AD = 1
4⃗a+ 3
4⃗b.
故选：A
跟踪训练2．如图，已知⃗AP = 4
3⃗AB，用⃗OA，⃗OB表示⃗OP，则⃗OP等于（ ）
A．1
2⃗OA −4
3⃗OB B．1
2⃗OA + 4
3⃗OB
C．−1
3⃗OA + 4
3⃗OB
D．1
3⃗OA −4
3⃗OB
【答案】C
【详解】因为⃗AP = 4
3⃗AB
所以⃗OP =⃗OA +⃗AP =⃗OA + 4
3⃗AB =⃗OA + 4
3 (⃗OB−⃗OA)=−1
3⃗OA + 4
3⃗OB.
故选：C.
考点四 坐标表示
典例1．（2025·海南·模拟预测）已知向量
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】由题意结合向量平行坐标表示可得答案.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，所以
．
故选：B．
典例2．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量
，
，
.若
、
、
三点共线，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出向量
，由题意可得
，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于
的等式，解之
即可.
【详解】因为向量
，
，
，
所以，
，
因为
、
、
三点共线，则
，所以，
，解得
.
故选：C.
典例3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
或
C．
或1
D．
【答案】B
【分析】应用向量数量积的运算律将条件化为
，再由向量模长的坐标运算列方程求参数值.
【详解】由
两边平方化简得
，
所以
，即
，
化简得
，解得
或
.
故选：B
跟踪训练1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知向量
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】向量
，
若
，则
，即
，解得
或
，
故“
”是“
”的充分而不必要条件.
故选：A
跟踪训练2．在平面直角坐标系
中，已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
，
，
.设
，通过向量的坐标运算解得
和
的值即可判断选项A，B；同理可判断选项C，D.
【详解】由题可得
，
，
.
设
，∴
，解得
，∴
，故选项A
正确，选项B 错误；
设
，∴
，解得
，∴
，故
选项C 错误，选项D 错误.
故选：A.
跟踪训练3．（2025·陕西咸阳·三模）已知向量
满足
，则
＝
（ ）
A．5
B．－5
C．－11
D．11
【答案】B
【分析】由题可求
，再求值即可.
【详解】
，
，
，
所以
.
故选：B.
一、单选题
1．（2025·云南·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量相减的坐标表示，得到
的坐标表示，再使用公式计算模长即可.
【详解】
.
故选：A．
2．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知平面向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标表示以及充分条件和必要条件的定义即可求解．
【详解】因为
，
，
若
，则
，解得：
，
所以“
”可得出“
”，
由“
”不一定得出
，
所以“
”是“
”充分不必要条件，
故选：A．
3．（2025·江西·模拟预测）已知向量
满足
，则
.
【答案】
【分析】先根据数量积的坐标运算求得
，再根据向量的线性坐标运算求解即可.
【详解】因为
，解得
，
则
，所以
.
故答案为：
4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量
，
，若
与
共线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意
，结合向量共线的充要条件即可求解.
【详解】因为向量
，
，所以
，
因为
与
共线，则
，即
.
故选：A.
5．（2025·辽宁盘锦·三模）已知
，
，
，
，若
与
共线，则
（ ）
A．1
B．2
C．
或2
D．
或1
【答案】D
【分析】首先求出
与
的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为
，
，
，
，
所以
，
，
又
与
共线，故
，解得
或
．
故选：D
6．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量线性运算坐标运算及向量模长坐标运算计算即可.
【详解】因为
，
，
所以
，
因为
，即
，解得
.
故选：B
7．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知直线
的一个方向向量为
，向量
，若
与
是共线向量，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．8
【答案】A
【分析】根据直线方程，可得
，利用向量共线的坐标表示可求
.
【详解】取
，由
可得
，解得
．
故选：A.
8．已知
中，点
，
满足
，
，设
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题设条件和向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】如图，由
得
，则
，
，
又
，所以
，
则
，
故选：A.
9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知
为
所在平面内的点，且
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理转化计算，即可得出答案.
【详解】因为
，所以
，所以
，所以
，故
.
故选：A.
10．在
中，点D 为边BC 上一点，且
，设
，
，试用
，
表示
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算即可求解．
【详解】由题意，画出图象如下：
可得
．
故选：D．
一、单选题
11．（2025·黑龙江佳木斯·三模）若向量
与向量
共线，则
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由向量共线的坐标表示求出
，再由坐标计算模长即可.
【详解】由题意可得
，
所以
，
则
.
故选：B.
12．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形
中，
，
，记
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可求解.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
，
所以
.
故选：B.
13．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形
中，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】法一，在
中分别利用向量加法的三角形法则表示
，
，再根据平面
向量共线定理及向量相等转化即可表示出
；
法二，在
中利用向量加法的三角形法则表示
，再根据平面向量共线定理及向量相等转化即可表
示出
.
【详解】在平行四边形
中，有
.
已知
，
，
法一：
.
法二：
.
故选：D
14．（2025·浙江·二模）已知向量
，
，则
，
（
，
），则下
列表述正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对
，使得
B．存在唯一的实数对
，使得
C．存在唯一的实数对
，使得
D．存在唯一的实数对
，使得
【答案】C
【分析】由题意
，
，由向量平行的充要条件判断A；由
向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D.
【详解】因为向量
，
，则
，
，
对于A，
当且仅当
，即
，
即
，由此可知存在无数组实数对
，使得
，故A 错误；
对于B，
当且仅当
，
即
，即
，
当
时，该方程不成立，此时不存在实数对
，使得
，
当
时，此时
，由此可知存在实数对
，使得
，
当
且
时，此时存在无数对实数对
，使得
，故B 错误；
对于C，
当且仅当
，解得
，故C 正确；
对于D，
，
即
，进而可得
故当
或者
时，此时有无数组实数对
，使得
，故D 错误.
故选：C.
15．（2025·云南·模拟预测）在平行四边形
中，点E 是
边上的四等分点（靠近点D），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得
，利用向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意有
，所以
，
故选：A.
16．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形
中，
为边
的中点，
为边
上靠近点
的三等分点，
为
的中点，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算可得
，计算即可求解.
【详解】由题意可得
，
，
因为
为
的中点，
所以
，
则
，所以
.
故选：A
二、填空题
17．（2025·北京西城·一模）设平面向量
，
，
，且
，则使得向量
与
共线的一组值
，
．
【答案】
（答案不唯一，填也对） （答案不唯一，第一空填
，则第二空填，第一空
填，则第二空填
）
【分析】由条件根据向量的模的坐标公式，向量共线的坐标表示列方程求
，
的关系，由此可得结论.
【详解】因为
，
，
所以
，即
，
因为
，
，所以
，
又向量
与
共线，
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
或
，
所以
或
，
故答案为：
；（答；
也对）
18．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在
中，
，
，点D 在
上且
，则
的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，
，可得
，利用
，即可求得
的取值范围.
【详解】
由题意，以A 为坐标原点，
方向为
轴建立平面直角坐标系，
设
，
因为在
中，
，
，
则
，
又点D 在
上且
，
设
，则
，
又
，则
，
解得
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
19．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形
中，
，
，
，E 是
的中点，若
，则
.
【答案】
【分析】首先用
将向量
表述出来，然后化简原等式，从而可求出
的值，从而得到答案.
【详解】
，
而
，所以
，解得
.
所以
.
故答案为：1.
20．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形
的边
，
，点
，
分别在边
，
上.
若
，
，则用
和
表示
；若
，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用
和
表示
，若
且
，
，由已知得
，
，应用向量数量积的定义求值.
【详解】由
，
，则
，
，
由
，
若
且
，
，则
，
所以
，
，
所以
，而
，
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
；
21．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
22．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
23．（2024·上海·高考真题）已知
，且
，则
的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，
，解得
．
故答案为：15．
24．（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，
用
表示
；若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合
为
的中点进行求解；空2：用
表示出
，结合上一
空答案，于是
可由
表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
故答案为：
；
.
