文档文本内容
第02 讲 常用的逻辑用语
考向一 充分条件与必要条件的判断
1、要明确推出的含义，是
成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合
【例1-1】（2025 高一上·福建厦门·专题练习）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若
，则
，充分性成立；
若
，当
时，满足
，而
不成立，必要性不成立.
则“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
【例1-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知
，q：复数
为纯虚数，
则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当
时，复数
为纯虚数；
当复数
为纯虚数时，有
，解得
；
综上，p 为q 的充要条件.
故选：C
【一隅三反】
1．（2026 浙江嘉兴）“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】由题可知，
，解得
或
，
所以“
”是“
”的必要非充分条件，
故选：B.
2．（2026·黑龙江大庆·二模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为函数
在
上单调递增，所以
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
3．（24-25 吉林延边 ）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
，解得
或
，
即不等式的解对应集合
，
由
或
，解得
或
，
即不等式的解对应集合
，
显然A 是B 的真子集，所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：
.
4．（2025·四川成都·模拟预测）“
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当
时，满足
，但是此时
；
当
，满足
，但此时
；
故“
是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5．（25-26 高三上·吉林四平·月考）已知直线
，则“
”
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】当
，直线
，此时
，故“
”是“
”的充分
条件，由
，得
，解得
，故“
”是“
”的必要条件，
故“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
考向二 充分必要条件的选择
1、一定是小集合推出大集合，注意包含关系
2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参
数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错
【例2-1】（25-26 高三上·安徽·开学考试）“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，“
”是“
”的充分必要条件，不合题意；
对于B，由
推不出
，但是由
可以推出
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件，不合题意；
对于C，由
推不出
，但是由
可以推出
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，符合题意；
对于D，由
推不出
，比如
满足
，不满足
，
但是由
可以推出
，所以“
”是“
”的必要不充分条件，不合题意．
故选：C
【例2-2】（2025·山东聊城·模拟预测）“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，
故“
”是“
”的一个充分不必要条件.
故选：B.
【例2-3】．（2025·浙江宁波·一模）下面四个条件中，使
成立的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，
，而
不能推出
，例如
而
.
所以
是
的充分不必要条件，故A 不正确
对于B，
不能推出
，例如
，但
；而
所以
是
的必要不充分条件，故B 正确.
对于C，
不能推出
，例如
但
；
不能推出
，例如
，但
.所
以
是
的既不充分也不必要条件，故C 错误.
对于D,因为
是增函数，所以
，故
是
的充要条件.所以D 不正确.
故选：B
【一隅三反】
1.（2026·江苏）使
或
}成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
【答案】B
【解析】对于A，因为
或
或
，故错误；
对于B，因为
或
或
，故正确；
对于C，因为
或
或
，故错误；
对于D，因为
不是
或
的真子集，故错误.
故选：B.
2．（2026·四川宜宾·一模）下列四个条件中，使
成立的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于AB，取
，都满足
，而
不成立，
因此
都不是
成立的充分条件，AB 不是；
对于C，
，因此
是
成立的充分不必要条件，C 不是；
对于D，
，因此
是
成立的充要条件，D 是.
故选：D
3．（2025·四川乐山·模拟预测）已知，，
，使
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A：若
，则
，即
，
所以
是
的充分条件；
若
，则
，所以
是
的必要条件；
综上，
是
的充要条件，A 错误；
对于B：取
，则
，但
，
所以
不是
的充分条件，B 错误；
对于C：取
，则
，但
，
所以
不是
的充分条件，C 错误；
对于D：若
，因为函数
是增函数，所以
，
即
是
的充分条件；
若
，满足
，但
无意义，
所以
不是
的必要条件；
所以
是
的充分不必要条件，D 正确；
故选：D.
考向三 已知充分、必要条件求参数
1.一定是小集合推出大集合，注意包含关系
2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参
数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错
【例3-1】（2026·山西）已知
，
，若
是的充分不必要条件，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设集合
，集合
，若
是的充分不必要条件，
所以
是
的真子集，可得
，
故选：D.
【例3-2】（2025·北京）设
且
，“
”的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
【答案】A
【解析】不等式
，可整理得
，解得
且
.
故
是
的必要不充分条件；而CD 不满足必要性，B 为充要条件.故选：A.
【一隅三反】
1．（25-26 高三上·山西·月考）若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
.
因为“
”是“
”的必要不充分条件，所以集合
是集合
的真子集.
所以
.故选：C
2．（2025·陕西西安·模拟预测）若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，解不等式
，即
，
解得
或
，即不等式的解集为
或
．
若“
”是“
”的必要不充分条件，
则集合
是集合
或
的真子集，所以
．
故选：C
3．（2025·广西河池·三模）“
，
”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不等式
可化为:
,
时，
，所以
，
故
是
的一个充分不必要条件，其他选项不合题意.故选：
4．（2026·河南）若“
”是“
”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，且
，
又
，
，
则
解得
，故选：D．
考向四 全称量词命题与存在量词命题
1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论
2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可
3.全称量词命题与存在量词命题互为非命题，前换字母后否定
【例4-1】（2025·甘肃武威·模拟预测）命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】命题“
，
”的否定为
，
.
故选：C.
【例4-2】（2026·四川巴中·一模）下列命题中为真命题的是（ ）．
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】对于A：
,都有
，所以
，故不存在
使得
成立，所以是假命
题，故A 错误.
对于B：当
时，
，所以是假命题，故B 错误.
对于C：
，
为非负整数，且自然数集
包含所有非负整数，故该命题是真命题，故C 正确.
对于D：
，
，故不存在，所以是假命题，故D 错误.
故选：C
【一隅三反】
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知命题
，
，则命题
的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】“
，
”的否定是“
，
”.
故选：B.
2．（2025·河北唐山·一模）已知命题
；命题
．则（ ）
A．
和都是真命题 B．
是假命题，是真命题
C．
是真命题，是假命题 D．
和都是假命题
【答案】B
【解析】对于命题
，因为当
时，
，故命题
是假命题；
对于命题
，当
时，
，故命题是真命题.
故选：B.
3．（24-25 福建）已知命题
，命题
，则（ ）
A．
和都是真命题
B．
和都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】对于
而言，取
，则
，故
是假命题，
是真命题.
对于而言，令
，
，
，
由零点存在性定理可知，存在
，使得
，
故是真命题，
是假命题.
综上，
和都是真命题.
故选：B
4．（2025·陕西榆林·一模）已知命题
；命题
，则（ ）
A．
和都是真命题
B．
和都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】命题
，当
时，
，故为假命题；
命题
，当
或
时，
，故为真命题；
所以，
和都是真命题，
和
是假命题.
故选：B
5．（25-26 高三上·江苏常州·期中）下列四个命题中，是假命题的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，取
，
，A 是真命题；
对于B，取
，
，B 是真命题；
对于C，
，当且仅当
，即
时取等号，
因此当
时，
，C 是真命题；
对于D，当
时，
，D 是假命题.故选：D
考向五 根据命题的真假求参数
1.求参数的取值范围，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题的补集即可
2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到
【例5-1】（2024·黑龙江）（多选）已知命题“
，
”为真命题，则实数m 的可
能取值是（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】AB
【解析】因为命题“
，
”为真命题，所以
，
，
令
，
，则
，
可知
为增函数，当
时，
有最小值
，
故实数m 的取值范围为
，故选：AB.
【例5-2】（2026·湖南）命题“
，
”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】若命题“
，
”为真命题，则
，
因为
，
，
，
所以，命题“
，
”为真命题的一个充分不必要条件是BD 选项.
故选：BD.
【一隅三反】
1．（2024·西藏拉萨·一模）已知命题：“
，
”为真命题，则
的取值为
.
【答案】
【解析】因为命题：“
，
”为真命题，即等式
恒成立，
则
，解得
，故答案为：
.
2．（2025·辽宁·二模）命题p:“
，
”是假命题，则m 的取值范围是
．
【答案】
【解析】由题，
为真命题，所以
，对
，
又
在
上的最小值为
，
，
所以实数
的取值范围为
.故答案为：
.
3．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意
，
”为假命题，则实数的取值范围是
.
【答案】
【解析】若命题任意“
，
”为假命题，则命题存在
，
为真命题，
因为
时，
，令
，则
，则
在
上单调递增，
所以
，所以
.故答案为：
.
4．（24-25 山东）命题
，命题
若命题
､一真一假，则
实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】若命题
为真命题，
即方程
在
上有解，则满足
，解得
，
若命题
为真命题，
即不等式
在
上恒成立，则满足
，解得
，
当命题
为真命题且为假命题时，则满足
；
当命题
为假命题且为真命题时，则满足
；
所以命题
､一真一假时，可得
或
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
一．单选题
1．（2025·陕西·模拟预测）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为
，所以“
”等价于“
”，
所以“
”是“
”的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知向量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】已知向量
，
若
，则
，解得
或
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2025·上海闵行·一模）已知非零实数、，则“
”是“
”成立的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】取
，满足
，但
不成立，充分性不成立；
取
，满足
，但
不成立，必要性不成立.
由题意可知：“
”是“
”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．（23-24 高三上·安徽合肥·月考）已知数列
是无穷项等比数列，公比为，则“
”是
“数列
单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】若
，
，则数列
单调递减，故
不能推出数列
单调递增；
若
单调递增，则
，
，或
，
，不能推出
，
所以“
”是“数列
单调递增”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
5．（2026·辽宁）已知条件
，条件
，则p 是q 的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由题意
或
，
或
，
若
，则条件
成立，但条件
不成立，
若
，则条件
成立，但条件
不成立，
因此p 是q 的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知向量
，
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【解析】若
，则
，解得
或
，
但由
推不出
，
是
的充分条件，故A 错误；
同理
但由
推不出
，
是
的充分条件，故C 正确；
若
，则
，解得
或
，
即
等价于
或
，与
无关，
“
”不是“
”的必要条件，故B 错误；
当
时，
，由
，故得不出
，
“
”不是“
”的充分条件，故D 错误．
故选：C．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知直线
、与平面
、
、
，则能使
的充分不必要
条件是（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【解析】对于A 选项，若
，
，则
、
平行或相交，A 不满足要求；
对于B 选项，若
，
，
，则
、
平行或相交，B 不满足要求；
对于C 选项，若
，
，
，则
、
斜交或垂直，C 不满足要求；
对于D 选项，如下图所示：
因为
，过直线
作平面
，使得
，
由线面平行的性质定理可得
，
因为
，则
，因为
，故
；而反过来不成立；D 满足要求.
故选：D.
8．（2025·福建泉州·模拟预测）设
，
，若
是
的充分条件，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，得
，因为
是
的充分条件，
所以
即
，
已知二次函数
，开口向上，与轴交于
，
仅当
满足
．
故选：D．
9．（2025·河南·模拟预测）已知集合
，则使得“
且
”成立的一个充分
不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知
且
，解得
，
所以使得“
且
”成立的一个充分不必要条件是集合
的一个真子集，
因为只有选项A 中的
是
的真子集，
故选：A
10．（2024·山东济南·二模）已知
，若“
”是“
”的充分不必
要条件，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为“
”是“
”的充分不必要条件，所以
，所以
.
故选：D.
11．（2025·江西）集合
，若
的充分条件是
，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，因为
的充分条件是
，所以
，
则
，故选：B.
12．（2024·山东·二模）已知
，
，若
是的充分不必要条件，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】命题
，即
，
因为
是的充分不必要条件，
显然当
时满足
，
所以当
时
恒成立，
则
在
上恒成立，
又函数
在
上单调递增，且
，
所以
.
故选：A
13．（2026·陕西西安·一模）命题
，则命题
的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
存在量词命题
的否定形式为全称量词命题
，
命题
的否定为
，故D 正确．
故选：D．
14．（24-25 高三上·江苏扬州·开学考试）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】命题“
”的否定是
.
故选：D.
15．（25-26 高一上·全国·单元测试）命题“
”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题可得原命题的否定为“
”.
故选：C
16．（2025·云南·一模）已知命题“
”是真命题，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于该命题是真命题，则
在
上恒成立，
设函数
，则
．
因为
，所以
.
故选:A．
17．（2025·广东江门·模拟预测）若命题“
”的否定是真命题，则实数的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】命题“
”的否定是“
”，
则“
”是真命题，
则有
，解得
.
故选：C.
18．（24-25 高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“
”是假命题，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】命题“
”是假命题，
则
是真命题，
∴
，
解得：
或
，
即a 的范围是
故选：D.
19．（2024·河南·模拟预测）已知命题“
”是假命题，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知原命题为假命题，那么它的否定“
”为真命题.
对于一元二次函数
，要使其对于任意实数都大于等于.
因为
恒成立，所以
，即
，解得
.
故选：A.
20．（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“
，使
”是假命题，则实数的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为命题“
，使
”是假命题，
则命题“
，
”为真命题，则
，解得
，
故实数的取值范围是
.
故选：D.
21．（2026·河北·一模）已知命题
，命题
，则
（ ）
A．p 和q 都是假命题
B．p 是真命题，q 是假命题
C．p 是假命题，q 是真命题
D．p 和q 都是真命题
【答案】C
【解析】命题
是全称量词命题，当
时，
，所以
是假命题；
命题是存在量词命题，当
时，
，所以是真命题.
故选：C
22．（2025·陕西汉中·一模）若
，使得
成立，则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将题中条件转化为不等式
，在区间
上至少有一个解，
这等价于
的值大于该区间上x 的最小值，
因为当
时，x 的最小值为
，
所以必有
，解得以
.
故选：B.
23．（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题
；命题
，则以下为真命
题的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】B
【解析】由不等式
，可得
或
，解得
或
，
所以命题
为假命题，则
为真命题，
又由
，解得
或
或
，所以命题为真命题，则
为假命题，
故选：B.
24．（2025·辽宁·一模）若命题“
”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为“
”是假命题，所以“
”是真命题；
即a 要小于等于
的最小值，又当
时，
，故
.
故选：C
25．（2025 吉林长春 ）命题
：“
，
”为假命题，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】“
，
”为假命题，
等价于“
，
”为真命题.
当
时，
，成立；
当
时，需满足
，
解得
；
综上：
.
故选：A
26．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“
，
”为假命题，则实数的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知命题“
”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，
可知其否定“
”为真命题.
由
，
，移项可得
，
因为
，两边同时除以，得到
在
上恒成立.
在
中，因为
，所以2x 和
都是正实数，则
，
当且仅当
，即
时等号成立.
因为
在
上恒成立，所以要小于等于
的最小值
，即
，
所以实数的取值范围是
.
故选：A.
二．多选题
27．（2025·安徽·一模）若
，则“
”的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】
，故“
”是“
”的充要条件，故A 错误
由
得
，能推出
，反之不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
若
不成立，故充分性不成立，
若
不成立，故必要性不成立，
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件，故C 错误；
，所以“
”是“
”的充分不必要条件，故D 正确.
故选：BD.
28．（2024·海南）已知集合
，集合
，能使
成立的充分不必要条
件有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】
当且仅当
是
的子集，当且仅当
，即
，
对比选项可知使得
成立的充分不必要条件有
，
.
故选：CD.
29．（24-25 江苏盐城）下列命题是真命题的有（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】AD
【解析】对于A，B，当
时，
，故A 正确，B 错误；
对于C：由
，解得
，所以不存在
，使得
，故C 错误；
对于D：因为
，所以
，所以
，
，故D 正确.
故选：AD
30（25-26 浙江）下列结论正确的是（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．“
”是“
”的充分不必要条件
D．命题“
”是真命题
【答案】ABC
【解析】对于A，由
，故
成立，故A 正确；
对于B，
，
不等式
的解集为
，故B 正确；
对于C，不等式
，解得
或
，
“
”是“
”的充分不必要条件，故C 正确；
对于D，方程
，解得
，
则命题“
”是假命题，故D 错误．
故选：ABC．
三、填空题
31．（2025 江西抚州）命题
，
.若的一个充分不必要条件是
，则的取值范围
是 .
【答案】
【解析】设
，
，
因为的一个充分不必要条件是
，则
是的充分不必要条件，
则
是
的真子集，所以
.
故答案为：
.
32．（25-26 高三上·陕西咸阳·月考）若命题“
，使得
”为真命题时，实数的
取值集合为
，则
.
【答案】
【解析】因为命题“
，使得
”为真命题，
所以
在
时有解，所以
，
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
，
故答案为：
.
33．（25-26 湖南永州）已知
恒成立，
.如果
中有且仅
有一个为真命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】若
为真命题，当
时，可得
恒成立，满足题意，
当
时，则有
，解得
，
综上，当
为真命题时，实数满足
；
若为真命题，则有
，解得
，
故当为真命题时，实数满足
；
中有且仅有一个为真命题，
当
为真命题，为假命题时，实数满足
，解得
；
当
为假命题，为真命题时，实数满足
，解得
.
综上，当
中有且仅有一个为真命题时，实数的取值范围是
.
故答案为：
.
34．（25-26 高三上·江苏扬州·开学考试）若“
”为真命题，则实数的取值范
围是 .
【答案】
【解析】设
，
，即
，在
上有解，
则
，由
变形得
，
当
时，
，根据
有解，得
.
故答案为：
.
