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第06 讲 诱导公式及恒等变化
考向一 诱导公式
诱导公式使用特征
1. 大角变小角
2. 90°的倍数
【例1-1】（25-26 高三上·宁夏银川·期中）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
【例1-2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
．故选：D
【例1-3】（2025·山东烟台·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2024·山东·一模）已知
，且
是第二象限角，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
，
又因为
，且
是第二象限角，所以
.
故选：C.
2．（2025·四川德阳·一模）若角
的终边过点
，则
的终边与单位圆交点的横坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可得
，
所以
，
所以
的终边与单位圆交点在第四象限，横坐标为
.
故选：D
3．（2025·海南省）（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由
，得
，
，
则
，A 错误；
，B 正确；
，C 正确；
，D 正确.
故选：BCD
考向二 两角和差
两角和差
1. 条件3 个角，其中处理一个角，找角之间的关系
2. 条件4 个角，处理两个角，找角之间的关系
3. 正弦异名同号，余弦同名异号
【例2-1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.
故选：D.
【例2-2】（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为
，则
（ ）
A．
B．
C．-5
D．5
【答案】A
【解析】因为倾斜角为的直线的方向向量为
，所以
所以
.故选：A.
【一隅三反】
1．（2025·四川资阳·一模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】B
【解析】由
，
，则
，所以
，
则
.
故选：B
2．（2025·广东·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，又
，所以
，
又
，所以
，所以
，
所以
，
故选：D.
3．（2025·黑龙江大庆·一模）已知
，则
（ ）
A．-3
B．-5
C．5
D．3
【答案】A
【解析】
，可得
，所以
.
故答案为：
.
4．（25-26 安徽）（多选）已知
，
为锐角，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】因为
，
为锐角，所以
，
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，
选项A：
，所以选项A 正确；
选项B：
，所以选
项B 正确；
选项CD：因为
，所以
，所以
；
，所以C 正确，D 错误.
故选：ABC.
考向三 二倍角
【例3】（2026·黑龙江大庆·二模）已知角
的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点
在角
的终边上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
，
所以
.
故选：B
【一隅三反】
1．（2026·四川宜宾·一模）在平面直角坐标系
中，设角
的顶点与坐标原点
重合，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为角
终边经过点
，所以
，则
.
故选：A
2．（2025·海南·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
故
，
故选：D.
3．（2026·山东·一模）若
，
，则
．
【答案】
【解析】
.
故答案为：
.
4．（2025·云南昭通·模拟预测）已知
，则
．
【答案】
【解析】
．
故答案为：
5．（2025·云南大理·模拟预测）若
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
.故答案为：
.
考向四 角的拼凑
【例4-1】（2025 浙江·期末）若
，则
【答案】
【解析】
，
．
【例4-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知
，
，则
．
【答案】
【解析】
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
【例4-3】（2026·海南）若
，则
【答案】
【解析】由题意有
，
【一隅三反】
1．（24-25 安徽·月考）已知
，则
【答案】
【解析】由
.
2．（2025·广东茂名·模拟预测）已知
，且
，求
的值为
【答案】
【解析】
，
，
．
．
3．（2025·青海·模拟预测）已知
，则
．
【答案】
/0.6
【解析】已知
，解得
．故答案为：
4．（2025·甘肃白银·一模）已知
，则
【答案】
【解析】
.
.
5．（2026·陕西西安·一模）已知
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
+
+
即
故答案为：
考向五 辅助角
辅助角：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)
【例5】将下列式子化成
（1）
（2)
（3)
（4)
【答案】见解析
【解析】（1）
（2）由
，
（3）
.
（4）
，
【一隅三反】
将下列式子化成
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】见解析
【解析】（1）
，
，
（2）
，
（3）
，
（4）
，
（5）
考向六 恒等变化
【例6-1】（25-26 天津）
【答案】8
【解析】原式
．
故答案为：8.
【例6-2】（2025 高三·全国·专题练习）
的值为
【答案】
【解析】解法一：原式
.
解法二：原式
.
【一隅三反】
1．（2026·重庆）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
故选：A．
2．（25-26 高三上·河北）（多选）下列各式化简结果为
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A：
，A 正确；
对于B：
，B 错误；
对于C：
，C 正确；
对于D：
，D 正确.
故选：ACD.
3．（25-26 安徽）（多选）下列各式中，值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】A:
，A 正确；
B：
，B 错误；
C：
=
=
=
，C 正确；
D：
，D 正确；
故选：ACD
【题组一 诱导公式】
1．（25-26 湖北省）
【答案】
【解析】
.
2．（25-26 广东深圳·期末）已知
，则
=
【答案】
【解析】因为
，所以
.
3．（2025·山东烟台·一模）已知
，则
【答案】
【解析】
．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
，则
【答案】
【解析】由诱导公式可得
，即
.
所以
，
5．（25-26 陕西）化简：
．
【答案】
【解析】化简：
,
故答案为：
6．（2025·江西宜春·模拟预测）已知
，则
．
【答案】
【解析】
，
，
．故答案为：
．
7．（25-26 高三上·上海·期中）已知
，则
．
【答案】
【解析】
.故答案为：
.
8．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若
，则
．
【答案】
/0.6
【解析】当
时，
.
故答案为：
9．（2025·上海徐汇·三模）已知
，且
，则
.
【答案】
/
【解析】由
，
，则
，故
.
故答案为：
【题组二 两角和差】
10．（2025·广西）
【答案】
【解析】
.
11．（2026·海南）已知
，则
【答案】
【解析】由
，得
，解得
，
所以
．
12．（2026·山东济南·一模）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，已知角
的
终边在第一象限，且
，将角
的终边按照逆时针方向旋转
，得到角
的终边，则
【答案】
【解析】因为
是第一象限角，所以
，所以
，
又由题意可知
，所以
13．（25-26 云南）已知
，则
【答案】
【解析】
，
，
又由
，得
，即
，
，即
．
14．（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为
，则
【答案】
【解析】因为倾斜角为的直线的方向向量为
，
所以
所以
.
15．（2025·湖南长沙·二模）设是锐角，
，则
【答案】
【解析】由题可得
，
即
即
，
两边同除
得到
，所以
因为是锐角，所以
，所以
；
16．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知点
在角
的终边上，若
，则
.
【答案】
/
【解析】由题意得：
，所以
，解得
，
所以
，所以
，
所以
，
故答案为：
.
17．（2026·陕西榆林·二模）已知
，则
．
【答案】
【解析】法1：因为
，所以
，即
，
所以
；
法2：因为
，所以
，即
，
所以
；
故答案为：
18．（25-26 高三上·湖北·期中）已知
，
为锐角，
，
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
为锐角，所以
，
，所以
，所以
.
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，
，
所以
.
.
，故答案为：
【题组三 二倍角】
19．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知
，则
【答案】
【解析】
20．（2026·云南大理·二模）已知
是第三象限角，
，则
【答案】
【解析】因为
，所以
．
21．（25-26 甘肃）已知
，
，则
【答案】
【解析】由
，故
，而
，故
，
则
，
，
所以
，则
.
22．（2025·全国·模拟预测）已知锐角满足方程
，则
的值为 .
【答案】
【解析】由
可得：
，
则
，即得
，
因
，则
，由
可得
，
于是
，
故
.
故答案为：
.
23．（2026·广东湛江·一模）已知
，则
．
【答案】
/
【解析】因为正切函数的最小正周期是
，所以
，
解得
，所以
．故答案为：
24．（2025·陕西·模拟预测）已知
为第一象限角，
，则
= ．
【答案】
【解析】由
，得
，解得
或
．
又
为第一象限角，所以
，所以
．
故答案为：
【题组四 角的拼凑】
25．（2026·四川雅安·一模）若
，则
【答案】
【解析】因为
，所以
.
26．（2025·四川绵阳·一模）已知
，则
【答案】
【解析】由
，
所以
.
27．（2025·河北衡水·模拟预测）已知
为锐角，且
，则
【答案】
【解析】令
，则
，则
，
故
，得
，
因为
为锐角，则
，则
.
28．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知
为锐角，
，则
【答案】
【解析】因为
为锐角，即
，则
，
又
，则
，且
，
所以
．
29．（2026·广东茂名·一模）已知
，则
【答案】
【解析】依题意，
，
所以
．
30．（25-26 北京）已知
，且
，则
.
【答案】
【解析】因为
，可得
，
因为
，可得
，
又由
.
故答案为：
.
31．（2026·四川攀枝花·一模）若
，则
．
【答案】
【解析】因为
，
所以
.
故答案为：
32．（2025·江苏·模拟预测）已知
，
，则
．
【答案】
【解析】因为
，则
，且
，
可得
，
，
则
，
所以
.
故答案为：
.
33．（25-26 山西·开学考试）若
，
为锐角，
，
，则
【答案】
【解析】因为
，则
，且
，
可得
，且
；
又因为
，则
，
且
，可得
；
所以
．
【题组五 辅助角】
34（2026 年广东潮州）将下列式子化成
（1）
.
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
【答案】见解析
【解析】（1）
，所以
（2）
，
（3）
，
（4）
，
（5）
．
（6）
，
（7）
（8）
＝
＝
＝
＝
，
（9）
，
（10）
.
（2）
.
【题组六 恒等变化】
35．（25-26 高三上·云南昆明·月考）化简
【答案】-1
【解析】
36．（2026·湖南永州·一模）
．
【答案】
/
【解析】原式
．
故答案为：
.
37．（2025 高三·全国·专题练习）化简：
.
【答案】
【解析】原式
.
故答案为：
.
38.（2026 湖南）化简
= .
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
，
所以原式
．
39.（2026 海南）化简
=
【答案】-1
【解析】原式
；
40.（2026 江苏）
=
【答案】1
【解析】原式
.
