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第04 讲 平面向量
考向一 概念的辨析
1.定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
2.向量的模：向量
的大小，也就是向量
的长度，记作
．
3.特殊向量：
①零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1 个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
⑥共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与
向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点
无关．
【例1-1】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（ ）
A．长度一样的两个向量相等
B．平行的两个向量为共线向量
C．零向量的大小为0 且没有方向
D．方向相反的两个向量互为相反向量
【答案】B
【解析】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A 错误；
选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共
线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B 正确；
选项C：长度为0 的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C 错误；
选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D 错误.故选：B.
【例1-2】（2025 重庆）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．
就是
所在的直线平行于
所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．
【答案】AB
【解析】对于A，若
，则
的方向相同或相反，
所在的直线与
所在的直线平行或在
同一直线上，故A 不正确；
对于B，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故B 不正确；
对于C，长度为0 的向量为零向量，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：AB.
【一隅三反】
1．（2026 湖北）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．向量可以用有向线段表示
B．非零向量与非零向量共线，则与的方向相同或相反
C．向量
与向量
共线，则
，
，
，
四点在一条直线上
D．如果
，那么
【答案】CD
【解析】对于A，可以用有向线段表示向量，故A 不符合题意；
对于B，非零向量与非零向量共线即平行，则与的方向相同或相反，故B 不符合题意；
对于C，例如在平行四边形
中，向量
与向量
共线，
但
，
，
，
四点不在一条直线上，故C 符合题意；
对于D，如果
，那么
，但
，故D 符合题意.
故选：CD.
2．（2025 安徽 ）以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行
B．若
，
，则
C．若
(
为实数)，
则必为零
D．和
都是单位向量，则
【答案】A
【解析】对于A,零向量与任意向量平行，故A 正确；
对于B，
时，满足
，
，但
不一定成立，故错误；
对于C,
时，
或
，故错误；
对于D，和
都是单位向量，则
，但
不一定成立，故错误．
故选：A．
3．（2025 北京）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若
，
，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若
且与方向相同，则
D．
恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A 选项，取
，满足
，
，但、不一定共线，A 错；
对于B 选项，若与共线且模长相等，则
或
，B 错；
对于C 选项，任何两个向量不能比大小，C 错；
对于D 选项，
恒成立，D 对.
故选：ABC.
考向二 垂直向量的坐标运算
【例2-1】（2026·吉林白山·一模）已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，故选：D
【例2-2】（2026·重庆九龙坡·一模）已知平面向量
，若
，则
=
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，解得
.故选：D
【一隅三反】
1．（2026·吉林长春·一模）已知向量
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，解得：
.故选：D
2．（2025·湖北·模拟预测）已知
，
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】由题可知，
，因为
，所以
，解得
.选：A.
3．（2025·河南濮阳·二模）已知向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，则
，
由
，得
，即
，所以
，解得
．
故选：C．
4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知向量
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
.
因为
，所以
，所以
，解得
.故选：D.
考向三 平行向量的坐标运算
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：
①若
，
，则
的充要条件是
；
②若
，则
．
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，
也可以利用坐标对应成比例来求解．
【例3-1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量
，
，若与共线，则实数m=
（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．4
【答案】D
【解析】由题意得，
，所以
.故选：D．
【例3-2】（2025·四川内江·一模）已知向量
，若
与
共线，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【解析】
，
，由
与
共线，可得
，
解得
，故选：A
【一隅三反】
1．（25-26 高三上·吉林四平·月考）已知向量
，若与共线，则实数
（ ）
A．
B．2
C．
或2
D．
或
【答案】D
【解析】因为与共线，所以
，即
，解得
或
.
故选：D.
2．（2025·云南·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．-6
D．6
【答案】A
【解析】因为
，所以有
，解得
．故选：A
3．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量
．若
为实数，且
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】因为向量
，所以
.
因为
，所以
，解得
.故选：D.
4．（2026·河北沧州·一模）已知向量
，
，若
，且
，则
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，即
，解得
或
.
当
时，
，
，此时
，
，满足
；
当
时，
，
，此时
，
，不满足
，舍去；
因此
，
，
，
所以
．
故答案为：
.
考向四 数量积
【例4-1】（2025·云南·模拟预测）已知向量
，
，则向量与的夹角的正
切值等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】设向量与的夹角为，
1. 已知非零向量
，
，
为向量
、
的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与
的关系
（当且仅当
时等号成
立）
2.已知向量
、
、和实数
，则：
①
； ②
；③
．
3.设
、
都是非零向量，是与
方向相同的单位向量，
是
与的夹角，则
①
．②
．
③当
与
同向时，
；当
与
反向时，
．
特别地，
或
．
④
．⑤
．
因为
，
，所以
，
所以
，故
.故选：C.
【例4-2】．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量
满足
，与的夹角为
，则
（ ）．
A．7
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
.故选：B.
【例4-3】（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足
，
，与的夹角为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】C
【解析】法一：
，即
；
法二由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，
若
，
，
，
，
，则
，
，故
.
故选：C.
【例4-4】（2025·江苏·模拟预测）已知平面向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．24
【答案】C
【解析】因为
，所以
，又
，则
，所以
，
所以
，所以
，故选：C
【例4-5】（2025·四川凉山·一模）已知向量，满足
，
，则在上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因
，
，则在上的投影向量为
.故选：A.
【一隅三反】
1．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量与的夹角为
，且
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．4
D．2
【答案】D
【解析】由
得，
，又
，则
．
故选：D.
2.（2025 湖南）已知向量，
满足
，且与
的夹角为
，则
（ ）
A．6
B．8
C．10
D．14
【答案】B
【解析】`由
，且与
的夹角为
，
所以
.故选：B.
3.（2025 北京）已知
，
，向量在
方向上投影向量是
，则
为（ ）
A．12
B．8
C．-8
D．2
【答案】A
【解析】在
方向上投影向量为
，
，
.
故选：A
4．（24-25 四川）已知向量，的夹角为120°，
，则
（ ）
A．
B．
C．7
D．13
【答案】A
【解析】由
可得
，
所以
.故选：A.
5．（24-25·黑龙江绥化·期中）已知
，
，与的夹角为
，则向量在方向上的投
影向量为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，与的夹角为
，
所以向量在方向上的投影向量为
.故选：D.
6．（23-24 四川自贡·期末）（多选）设向量
满足
，且
，则以下结论正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．向量
与
夹角为
【答案】AC
【解析】向量
满足
，且
，
则
，所以
，故
，A 正确；
，B 错误；
，C 正确；
由
，得
，D 错误.
故选：AC
7．（2026·重庆·一模）已知点
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】已知点
，
，
，则
，
，投影向量为
，
，
，
所以
.故选：C
8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量
，
满足
，则向量
与的
夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，解得
，所以
，
所以
，又
，所以向量
与的夹角为
，
故选：B
9．（2025·广东·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】因为
，所以
．故选：A．
考向五 平面向量的基本定理
【例5-1】（2025·四川资阳·一模）如图，D 是
的边AC 的中点，点E 在BD 上，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，
.
故选：D
【例5-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在
中，点D 为边
上一点，且
，
设
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
则
．故选：B．
【例5-3】（24-25 湖南岳阳·期末）如图，在
中，
，P 是
上一点，若
，则实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
，
，
是线段
上一点，
三点共线，
，解得
.故选A.
【一隅三反】
1．（2025·湖南长沙·二模）设
为
所在平面内一点，若
，则下列关系中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
= −
+
.
【答案】D
【解析】如图
则
.
故选：D
2．（2025·四川眉山·模拟预测）在
中，
是线段
的中点，
是线段
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是线段
的中点，所以
.
因为
是线段
的中点，所以
，
则
.故选：D
3．（2026·河北沧州·一模）在
中，点
在边
上，
，记
，则
分
别是（ ）
A．
B．
，4
C．4，3
D．3，4
【答案】B
【解析】如图，
，
，则
.
故选：B.
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在
中，
为线段
上一点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因
，则
，
故
，
因
三点共线，故设
，则
，
因
，则
，解得
．
故选：D．
一．单选题
1．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知向量
，
，
，则
（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，得
.故选：C
2．（2025·广东·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．4
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，
因为
，所以
，即
，解得
．
故选：C.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为向量
，则
，
若
，则
，解得
.
故选：C.
4．（2025·广东·模拟预测）已知向量
，
，且
与
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得
，
，
由
与
垂直可得
，解得
．
故选：C．
5．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
的值可以为
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【解析】因为
，
，所以
，
因为
，所以
，
即
，解得
或
.
故选：A.
6．（2025·四川南充·一模）已知向量
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．5
【答案】C
【解析】因为
，
，
，所以
，
因为
，所以
，解得
.
故选：C.
7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．20
【答案】B
【解析】向量
，
，由
，得
，则
，
所以
.
故选：B
8．（2025·全国·模拟预测）已知向量
，若与同向共线，则为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【解析】∵与共线，∴
，即
，解得
．
当
时，
，与同向共线，符合题意．
当
时，
，
，与反向共线，不符合题意，舍去．
综上，
，
故选：A．
9．（2025·安徽）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为向量
，且
，
则
，即
，可得
，
则
，所以
.
故选：A.
10．（2025 甘肃）已知向量
与的夹角为
，则
（ ）
A．6
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】因为向量
与的夹角为
，所以
，
所以
，故选：A.
11．（2024 吉林长春·阶段练习）已知向量，是单位向量，且
，则向量与的夹角是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设向量，的夹角为，
，由，为单位向量，得
，
由
，得
，解得
，所以
.故选：C
12（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形
中，点
是
的中点，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
为
的中点，所以
，故选：B
13．（2025·云南·模拟预测）在平行四边形
中，点E 是
边上的四等分点（靠近点D），
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意有
，所以
，
故选：A.
14．（2025·甘肃甘南·三模）
中，若
，
，
，则向量
可用，表示
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在
中，
，
则
.
又因为
，所以
.故选：A
15．（2025·海南三亚·一模）已知
为平行四边形，
为
的中点，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为
的中点，所以
，
所以
.
故选：C
16．（2025·河南·二模）在
中，D 是AC 边的中点，且点M 满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
①，
②，
由
，得
，所以
，
即
，
，所以
.
故选：D.
17．（24-25 福建）如图，点
是
的重心，点
是边
上一点，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】D
【解析】如图所示，
延长
交
于
，由已知
为
的重心，则点
为
的中点，
可得
，且
，又由
，
可得
是
的三等分点，则
，
因为
，所以
，
，所以
．
故选：D.
18．（2026·河南洛阳·模拟预测）在
中，
是
的中点，过点
的直线分别交直线
，
于点
，
，设
，
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【解析】如图，由点O 是BC 的中点，得
，
由
三点共线，得
，
，
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
取得最小值2.故选：B
二、多选题
19．（23-24 山东泰安·阶段练习）已知向量
满足
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．与的夹角为
D．与的夹角为
【答案】AC
【解析】因为
，
，
所以
，即
，解得
，A 正确；
因为
，所以B 错误；
因为
，所以与的夹角为
，C 正确，D 错误．
故答案为：AC
20．（23-24 福建福州）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AB
【解析】对于A，由
，可得
，故A 正确；
对于B，根据在方向上的投影向量定义即得，故B 正确；
对于C，由
，解得
，因
，故
，即
C 错误；
对于D，由
，得
，即
，故
，即D 错误.
故选：AB.
21．（2024·安徽安庆 ）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AB
【解析】对于A，因为，是单位向量，
所以
，
所以
，故A 正确；
对于B，因为，是单位向量，
所以在方向上的投影向量为
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，
又因为
，所以
，故C 错误；对于D，因为
，所以
，
所以
，所以
，故D 错误；选：AB．
22．（2025 山东菏泽 ）设向量，满足
，且
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．向量
夹角为60°
【答案】AC
【解析】
，又因为
，所以
，故
，所以A 正确，D 不正
确；
，故
，所以B 不正确，
，所以
，
正确．故选：
．
23．（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形
中，
，．且
为
的中点．若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A：
，故选项 A 正确；
对于B：由
知
在
上，且
，则
，
计算得：
，故选项B 错误；
对于C：
为
中点，则
，于是：
，故选项C 正确；
对于D：
，其中
，
则：
，故选项 D 正确.
故选：ACD
24．（2026·陕西咸阳·一模）已知空间向量
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
空间向量
，
，
，
，故A 正确，
，
，
而
，所以
和不平行，故B 错误，
，
，
，故C 正确，
因为
，
在上的投影向量为
，故D 正确.
故选：ACD.
25．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零向量
满足
，则下列两个向量的夹角为
的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】AB
【解析】如图，在菱形
中，且
，则三角形
为等边三角形，
记
，则
，
，且能保证
成立，
易得和及和
的夹角为
，和
的夹角为
，和
的夹角为
．
故选：AB．
三、填空题
26．（2026·吉林·模拟预测）已知平面向量
，若
，则
.
【答案】
【解析】由
，可得
，
由
，可得
，解得
，
所以
，
.
故答案为：
.
27．（2026·陕西渭南·一模）已知向量
，
，若
，则
.
【答案】
【解析】由
，所以
，所以
，
故答案为：.
28．（2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足
，
，则
．
【答案】
【解析】法1：由题意可得，
，
，
故
，
，
故
.
法2：由题意可得，
.
故答案为：
29．（2026·重庆·模拟预测）若向量
，则
.
【答案】
【解析】因为
，则
，
又因为
，
所以
，解得
.
所以
，
，
故答案为：
.
30．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设
为单位向量，且
，则
．
【答案】1
【解析】因为
为单位向量，所以
.
由
可得
，
解得
.
故答案为：1.
31．（25-26 高三上·湖北咸宁·月考）已知向量，满足
，
，且
，则
.
【答案】
【解析】由
，
，得
，
.
由
，
所以
，
所以
.
故答案为：
32．（2025·四川成都·模拟预测）已知平面向量
，
，且
，则实数
.
【答案】5
【解析】由已知，
，
，
，
即
，
.
故答案为：5
33．（2025·河南·模拟预测）已知向量
，若
，则
.
【答案】
或3
【解析】向量
，由
，得
，
所以
或
.
故答案为：
或3
34．（25-26 高三上·四川遂宁·期中）已知平面向量
，
，若
，则
．
【答案】
【解析】
，
，
解得
．
故答案为：
．
35．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知平面向量
，
，若
，则实数
.
【答案】1
【解析】由
，则
，即
，解得
.
故答案为：1.
36．（24-25 四川凉山·期末）已知向量
，
，若
，则实数
.
【答案】
【解析】因为
，
所以
.
因为
，所以
，
解得
.
故答案为：
.
37．（2025·四川遂宁·二模）已知
，若在方向上的投影向量为
，则与的夹
角为 .
【答案】
/
【解析】因为在方向上的投影向量为
，
所以
，
又
，且
，
所以
．
故答案为：
．
38．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且
，则与的夹角
为 ．
【答案】
【解析】由
可得，
，即
，
因为，，均为单位向量，所以
，
所以
，即
.
设与的夹角为
，
则
，所以
.
故答案为：
39．（2026·河南鹤壁·一模）已知
是夹角为
的两个单位向量，若
，则实数
．
【答案】4
【解析】由
是夹角为
的两个单位向量，得
，
由
，得
，即
，所以
.
故答案为：4
40．（2025·四川泸州·一模）已知平面向量与均为单位向量，
，则与的夹角为
.
【答案】
/
【解析】由题意，
，
，
则
，即
，
则
，所以
，
又
，则
.
故答案为：
.
41．（2025·四川自贡·一模）若非零向量、的夹角为
，且
，则
．
【答案】
【解析】因为非零向量、的夹角为
，且
，
则
.
故答案为：.
42．（2025 高三下·山西临汾·月考）已知向量
，若
与
垂
直，则实数
.
【答案】1
【解析】向量
，
，则
（1，1+λ），
（﹣2，1），因为
与
垂直，所以
故答案为：．
