文档文本内容
第03 讲 幂函数与二次函数
目录
01 常考题型过关练
型
题
01
函数的
幂
图象
型
题
02
函数的
性与奇偶性
幂
单调
型
题
03
函数比
大小
幂
较
型
题
04
函数的
合
用
幂
综
应
型
题
05 一元二次不等式
型
题
06 分式、
、高次不等式
绝对值
型
题
07 二次函数的解析式
型
题
08 二次函数的图象与性质
型
题
09 二次函数的
根分布
实
型
题
10 二次函数的
性与最
单调
值
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 幂函数的图象
1．（多选）当
时，幂函数
的图象不可能经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】BD
【分析】根据幂函数性质确定选项.
【详解】因为
经过第一、三象限；
经过第一象限；
经过第一、三象限；
经过第一、三象限；
所以不可能经过的象限是第二、四象限
故选：BD．
2．幂函数
及直线
，
，
将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，
④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）．那么幂函数
的图象经过的“卦限”是（ ）
A．④⑦
B．④⑧
C．③⑧
D．①⑤
【答案】D
【详解】取
得
，故在第⑤卦限；再取
得
，故在第①
卦限．
3．若函数
的图象如图所示，则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定的幂函数图象可得
，再变形函数
并由函数值的特性得解.
【详解】由幂函数图象可得
，
函数
定义域为
，
而
，则
恒成立，BCD 错误，A 正确.
故选：A
4．下列四个图象中，函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的性质来判断即可.
【详解】因为
，即
，所以
，解得
，即函数的定义域为
，
故排除A、C、D，且函数在定义域上单调递增，故B 正确.
故选:B.
5．如图所示，幂函数
，
，
，
在第一象限内的图象依次为 ．
【答案】
，
，
，
【分析】由幂函数的性质，得到
的幂指数大于0，
的幂指数小于0，再由图象的变化速度得到
答案.
【详解】观察题目所给出的坐标系可以明确，四个函数均在第一象限内，
根据幂函数
的性质，第一象限内的图象当
时函数值递增，与此同时
越大，
函数值的递增速度越快，当
时函数值递减，同时
越大，图象越陡，
那么结合四个函数的
的大小，可以发现：
的
值大于
的
值，
图中
的递增速度明显快于
；
的
值大于
的
值，图中
更陡．
可以确定
的图象为
，
的图象为
，
的图象为
，
的图象为
．
故答案为：
，
，
，
02 幂函数的单调性与奇偶性
6．下列函数中是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据初等函数的单调性判断即可.
【详解】根据一次函数的单调性，可得
是减函数，故A 错误；
根据指数函数的单调性，可得
都是减函数，故B，C 均错误；
根据幂函数的单调性，可得
是增函数，故D 正确.
故选：D.
7．已知幂函数
的图象经过点
，函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为奇函数
C．
为增函数
D．
为减函数
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义与求解
，从而可得
的单调性，于是可得
的单调性与奇偶性.
【详解】因为
是幂函数，所以
，即
，
又
的图象经过点
，所以
，解得
，
所以
，则
为
上的增函数，
则
，则函数
的定义域为
，
所以
非奇非偶函数，且
为
上的减函数.
故选：D.
8．已知函数
的定义域为
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
的单调性，根据自变量的大小即可比出函数值的大小.
【详解】由题意得
是减函数，因为
，
所以
．
故选：B.
9．已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单
调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出
的值，可得出函数
的解析式，再利用二次函数的单调性
可得出关于实数
的不等式，即可解得实数
的取值范围.
【详解】因为幂函数
是
上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是定义域为
的奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，合乎题意.
所以，
，则
，其对称轴方程为
，
因为
在区间
上单调递增，则
，解得
.
故选：B．
10．已知定义在
上的函数
，则不等式
的解集是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数并确定其奇偶性及单调性，再求解不等式.
【详解】令
，函数
定义域为
，关于原点对称，
又
，则函数
是奇函数，
又函数
和
在
上都单调递增，则函数
在
上单调递增，
不等式
，
因此
，解得
，
所以不等式
的解集是
.
故答案为：
03 幂函数比较大小
11．（多选）若
，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据指数函数的单调性逐项比较指数式的大小关系即可得结论.
【详解】对A，当
时，
是减函数，所以
，故A 错误；
对B，当
时，函数
在
上单调递增，故
，故B 正确；
对C，当
时，
，则
是增函数，故
，故C 错误；
对D，当
时，
是减函数，
，D 正确．
故选：BD.
12．已知
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用幂函数的单调性和指数的运算性质比较大小即可.
【详解】
，
因为
在
上单调递增，且
，
所以
，即
，
因为
，
，且
，
所以
，所以
，
所以
.
故选：C
13．若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性比较
大小关系，通过指数幂运算比较
大小关系，由此结果可知.
【详解】因为
，
，
，
因为幂函数
在
上单调递增，所以
，
又因为
，所以
，
由上可知
，
故选：B.
14．已知函数
是幂函数，对任意
，
，且
，满足
，若a，
，且
，则
的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
【答案】A
【分析】先通过函数
是幂函数以及单调性求出
的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案.
【详解】因为函数
是幂函数，
所以
，解得
或
，
又因为对任意
，且
，满足
，
即对任意
，都有
，
故函数
是幂函数且在
上单调递增，
所以
，
所以
，
则
，明显
为
上的奇函数，
由
得
，
所以
，
所以
.
故选：A.
15．已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，
，由对数函数的单调性可判断
；根据对数的性质可判断
；
由幂函数的性质可判断
；由指数函数的单调性可判断
.
【详解】由题意知，
，
而
，
所以
在定义域内单调递减，
故
，则
错误；
，故
错误；
由
在第一象限内单调递增，知
，故
错误；
因为
在定义域内单调递减，即
，故
正确.
故选：
.
04 幂函数的综合应用
16．（多选）已知函数
与
的图象如图所示，则（ ）
A．
为奇函数
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
的值域为
【答案】AC
【分析】现根据图象判断出函数
与
的定义域、奇偶性、单调性，利用奇偶性的定义判断
选项A；根据单调性的定义判断选项C；取
说明选项BD 错误即可.
【详解】由图象知，
定义域为
，是偶函数，在
上单调递增，在
单调递减；
定义域为
，是奇函数，在
上单调递增，在
单调递增；
对于A，
定义域为
，
又因为
，所以
是奇函数，故A 正确；
对于B，令
，则
，
,
但
，
，
，故B 错误；
对于C，
，由图象知
，
因为
在
上单调递增，所以
，
又因为
在
上单调递减，所以
，
即
在
上单调递减，故C 正确；
对于D，令
，则
，
当
接近正无穷大时，函数值接近0，故
的值域不能为
，故D 错误；
故选：AC.
17．若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先分别求两段函数单调递增得出参数范围，再根据分段函数解析式的特点得出分界点的不等关系，
解出不等式组即可判断参数范围.
【详解】二次函数
的图象开口向下，
对称轴为直线
，所以
，即得
,
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
所以当
时，
,此时函数
单调递增，又
单调递增，
则
，
单调递增；
所以
解得
，
故
的取值范围为
．
故选：A.
18．已知函数
既是二次函数又是幂函数，若函数
，则
（ ）
A．2024
B．2025
C．4048
D．4049
【答案】D
【分析】根据已知有
，进而可得
、
，利用对称性求目标式的值.
【详解】由题可知：
，则
，
所以
，且
，
则
.
故选：D
19．若
，
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用幂函数
的单调性即可比较得
，利用幂函数
的单调性可得
，进而根
据指数函数
的单调性可得
，即可求解，或者举特殊值求解.
【详解】方法一：因为
，所以函数
在
上单调递增．
因为
，所以
，即
．
同理，由函数
在
上单调递增，得
，即
．
因为
，所以
．
因为
，所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，即
，
所以
．
方法二：
由
，令
，
，
则
，
，
，
．
因为
，所以
．
故选：B．
20．（多选）已知幂函数
的图象经过点
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．
C．函数
的值域为
D．当
时，
【答案】AD
【分析】先求出
，再根据幂函数图象性质解决即可.
【详解】设幂函数为
将
代入解析式得
，故
，所以
，
定义域为
，
因为
，故函数为奇函数，故A 正确；
函数
，故B 错误；
显然
的值域为
，故C 错误；
当
时，
，
即满足
，故D 正确
故选：AD
21．（多选）已知幂函数
的图象关于
轴对称，
.下列表述正确的
是（ ）
A．
B．函数
在
上单调递减
C．函数
恒过定点
D．当
时，函数
在
的值域为
【答案】BD
【分析】根据幂函数定义计算可得
，函数
在
上单调递减，可得A 错误，即B 正确；
由指数函数图象性质可得
恒过定点
判断C，由指数函数单调性计算可得D 正确.
【详解】因为函数
为幂函数，
所以
，解得
或
，
当
时，
，图象不关于
轴对称，故舍去，
当
时，
，图象关于
轴对称，
所以
符合题意，故A 不正确，
易知
时在
上单调递减，即B 正确；
由指数函数性质可得函数
，易知恒过定点
，故C 不正确；
易知当
时，函数
在
为减函数，
所以其值域为
，故D 正确.
故选：BD.
22．已知函数
是减函数，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知条件及分段函数单调性分段处理的原则，结合一次函数与幂函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数
是
上的减函数，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
05 一元二次不等式
23．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法求
，根据对数函数的单调性求
后可求
.
【详解】
，
，
故
，
故选：D.
24．已知集合
，
，
，若集合C 有3 个真子集，则
实数m 的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由集合
有3 个真子集可得
中有两个不同的元素，故求出
的范围后可得正确的选项.
【详解】因为
有3 个真子集，所以
中有2 个元素，故
中有两个元素，
故
且
，则
，
解得
且
.
故选：C.
25．（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名字命名，该函数解析
式为
，
，其中
为有理数集，则下列关于函数
的说法正确的是（ ）
A．不等式
的解集为
B．
，
C．
，
D．关于
的方程
有四个不同的实数根
【答案】CD
【分析】对于A 选项，分
是有理数和无理数两种情况，根据
的值解不等式
，发现无理数
情况矛盾. 对于B 选项，通过取特殊值
，
，验证
与
是否相等， 对于C
选项，同样分
是有理数和无理数，结合是有理数，判断
和
的情况，得出
. 对
于D 选项，还是分
是有理数和无理数，根据
的值解方程
，得到四个不同解.
【详解】对于选项A：当
为有理数时，
，由
得
，得
且
；
当
为无理数时，
，由
得
，解得
，与
为无理数矛盾，故A 错误.
对于选项B：取
，
，显然
，故B 错误.
对于选项C：当
为有理数时，因为
，所以
，
均为有理数，所以
；
当
为无理数时，因为
，所以
，
均为无理数，所以
，故C 正确.
对于选项D：当
为有理数时，
，由
得
，解得
或
，符
合题意；
当
为无理数时，
，由
得
，解得
或
，符合题意.
所以关于
的方程
有四个不同的实数根，故D 正确.
故选：CD.
26．（多选）已知
，满足
，且
，则下列结论正确的有
（ ）
A．
B．
C．
的最大值为2
D．
的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据完全平方公式即可判断AB；构造以
为两根的一元二次方程
，结
合
即可判断CD．
【详解】
，
所以
，
解得
，故A 正确；
所以
，即
，故B 错误；
由
得，
，
，
构造以
为两根的一元二次方程
，
则
，故CD 正确；
故选：ACD．
27．向量
，
满足
，且
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及定义，结合一元二次不等式恒成立列式求得答案.
【详解】由
，得
，
因为
，
，
则
，
即
，整理得
，
即
，所以
，
故选：C.
28．函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】根据题意，由函数的解析式可得
，求出x 的取值范围，即可得到函数的定义
域．
【详解】
，
则
，解得
，
所以
，
即函数的定义域为
.
故答案为：
29．已知二次不等式
的解集为
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得
，即可求解.
【详解】因为二次不等式
的解集为
，
则
的两根为
，则
，
所以
，解得
，
故答案为：
.
06 分式、绝对值、高次不等式
30．已知集合
，
则
【答案】
【分析】首先化简B，利用数形结合求出
在
部分，再由交集的定义求解即可
【详解】
，
因为
单调递增，
在
单调递增，
又当
或
时，
成立，
分别画出
和
，
因为
，要求
只需考虑
在
部分即可；
由图象可知，
时，
成立，
所以
故答案为：
31．不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】移项通分得
，即
，再利用穿根法即可得到答案.
【详解】
，即
，即
，
则
，根据穿根法解得
，
故答案为：
.
32．不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】由函数定义域解不等式即可得
，对
在不同区间内的取值进行分类讨
论即可求得不等式的解集.
【详解】根据题意可知
，解得
；
当
时，易知
，满足题意；
当
时，
，所以
，符合题意；
当
时，当
时，
，原不等式成立；
当
时，
，若要满足题意只需
，解得
，所以可得
；
综上可知，原不等式的解集为
.
故答案为：
33．求下列关于
的不等式的解集：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1){
或
}
(2)答案见解析
【分析】（1）移项、通分，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集；
（2）分
、
、
三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集.
【详解】（1）由
，得
，解得
或
，
故不等式
的解集为{
或
}；
（2）当
时，原不等式即为
，该不等式的解集为
；
当
时，
，原不等式即为
.
①若
，则
，原不等式的解集为{
或
}；
②若
，则
，原不等式的解集为{
或
}.
综上所述，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为{
或
}；
当
时，原不等式的解集为{
或
}.
07 二次函数的解析式
34．已知
为二次函数且
，
，则
．
【答案】
【分析】根据条件设二次函数为
，代入条件求解即可．
【详解】设
，
，
，
．
又
，
.
故答案为：
35．已知函数
为二次函数，
的图象过点
，对称轴为
，函数
在R 上最小值为
，
则
的解析式为 .
【答案】
【分析】根据题意，假设出二次函数的顶点式，再将点
代入即可得解.
【详解】因为
的对称轴为
，函数
在
上最小值为
，
所以可设
，
将
代入
，得
，解得
，
故
.
故答案为：
.
36．二次函数
满足
，且
．
(1)求
的解析式；
(2)在区间
上，
的图象恒在
图象的上方，试确定实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）由函数
为二次函数，设出其解析式为
，然后利用题目条件确定系数，
从而求得函数
的解析式；
（2）将在区间
上，
的图象恒在
图象的上方，转化为
在
上恒成
立，即
在
上最小值大于零，即可求解.
【详解】（1）由题设
，
．又
，
，
．
（2）当
时，
的图象恒在
图象上方，
所以当
时，
恒成立，即
恒成立．
令
，对称轴为
，故函数
在
上单调递减，
当
时，
，
故
，解得
，所以实数
的取值范围为
．
37．已知二次函数
的最小值为
，且
是其一个零点，
都有
．
(1)求
的解析式；
(2)求
在区间
上的最小值；
(3)若关于x 的不等式
在区间
上有解，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；
（2）分
和
讨论即可；
（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出
的范围.
【详解】（1）因为对
都有
，
所以
的图象关于直线
对称，
又因为二次函数
的最小值为
，
所以可设二次函数的解析式为
，
又因为
是其一个零点，
所以
，解得
，
所以
的解析式为
.
（2）由（1）可知，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，当
时，
，
当
时，
，
.
（3）因为关于
的不等式
在区间
上有解，
即不等式
在
上有解，所以
，
记
，因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为4，
所以
，即
，
故存在实数
符合题意，所求实数
的取值范围为
.
08 二次函数的图象与性质
38．（多选）若函数
的定义域为
，最大值、最小值分别为
，
，则实数
的值可能
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质求参数．
【详解】由
，得函数的对称轴为
，
当
时，函数
取的最小值为
，
当
或
时，函数值为
，
函数
的定义域为
，值域为
，
所以
，实数
的值可能为
．
故选：ABC
39．设函数
的定义域为
，且
，当
时，
，若对于
，都有
恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
和当
时
可以逐次推出
，
，
上的
解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求
时，函数值等于
时的自变量的值，得
到满足
的
的范围，即得t 的取值范围.
【详解】当
时，
，
；
因
，即x 每增大
，对应的纵坐标都变原来的
倍.
当
时，
，故
，
则
，
；
当
时，
，故
，
则
，
；
当
时，
，故
，
则
，
.
当
时，由
，可得
，解得
或
，
如下图所示：
由图可知，当
时，
恒成立，故实数的取值范围是
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.对于递推倍减函数的恒成立问题，解题
关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范
围.
40．函数
的最大值为1，最小值为
，则
.
【答案】
/
【分析】由题意得
，令
，
，求出对称轴，对
分
，
，和
讨论最值即可求解.
【详解】
，
令
，
，对称轴方程为
，
①当
时，
，
，
解得
，
，
②当
时，
，
，
解得
，
，
③当
时，
，
，
即
或
，无满足条件的解，
综上，
.
故答案为：
.
41．若函数
在
上的最大值为2，则实数
．
【答案】2
【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解.
【详解】令
，则
在
上的最大值
，
最小值
．
当
时，
，解得
．
当
时，
，解得
（舍去）．
综上，
．
故答案为：2
42．已知函数
在
时有最大值
和最小值
，设
.若关于
的
方程
有三个不同的实数解，求实数
的取值范围
【答案】
【分析】根据题意得
，再根据二次函数单调性列方程求解
；再用换元法化简方程
为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的
知识求得
的取值范围.
【详解】
，
因为，当
时，
，为常函数，不满足题意；
所以，
，
在
上单调递增，
因为函数
在
时有最大值
和最小值
，
所以
，解得
，
方程
等价于
，
即
，
，
令
，则方程化为
，
，
因为方程
有三个不同的实数解，
所以，画出
的图象如下图所示，
所以
，
，有两个根
､
，且
或
，
.
记
，
所以，
，即
，此时
或
得
，此时
无解，
综上，
，即实数
的取值范围
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于令
，进而结合题意，数形结合得
，
，有两个根
､
，且
或
，
，再根据零点存在性定理求解即可.
43．已知函数
.
(1)若函数
在区间
上具有单调性，求实数
的取值范围；
(2)若函数
，且对
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据二次函数的解析式可得其对称轴，利用二次函数的性质，可得不等式，可得答案；
（2）根据指数函数的单调性求得最值，利用分类讨论思想，由题意建立不等式，可得答案.
【详解】（1）由二次函数
，则其对称轴为
，
由函数
在区间
上具有单调性，则
，即
或
.
（2）由函数
在
上单调递减，则
，
易知二次函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，函数
在
上的最小值
，
由题意可得
，则
，解得
，此时
无解；
当
时，函数
在
上的最小值
，
由题意可得
，则
，
，解得
，此时
；
当
时，函数
在
上的最小值
，
由题意可得
，则
，解得
，此时
；
综上所述，可得
.
09 二次函数的实根分布
44．函数
在
上有零点，则实数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式
分三大类讨论；当
时，再
按区间端点处函数值是否为0 及符号分类讨论可得.
【详解】对于函数
，开口向上，对称轴为
，
令
，由题意得方程
在区间
内有根.
，
当
，即
时，
没有零点，不符合题意；
当
，即
或
时，
当
时，
，零点为
，
，不符合题意；
当
时，
，零点为
，
，符合题意；
当
，即
或
时，方程有两个不相等的根
，
由题意方程至少有一个根在区间
内.
① 若
，解得
，
此时
，故零点为0 或
，符合题意；
② 若
，解得
，同上成立；
③若
，要使函数在
有零点，
，又
，即
；
综上可得
.
故选：D.
45．（多选）已知函数
，若方程
有4 个不同的实数根，则下列选项
正确的为（ ）
A．方程
有2 个不相等实数根
B．函数
在
上单调递增
C．函数
无最值
D．实数
的取值范围为
【答案】AC
【分析】画出函数图象，根据图象可以判断ABC 是否正确，对于D 选项，将方程
是
为一元二次方程，利用韦达定理，结合分段函数的图象性质，得到根的分布，进而求出参数的取值范围．
【详解】由函数
解析式，可得函数图象如图：
由图知方程
有2 个的不相等实数根，函数
没有最值，故A、C 正确；
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故B 错误；
由于方程
有4 个不同的实数根，令
，
则
有2 个不同的实数根，所以
恒成立，
设
两个不等的实根为
，由韦达定理知：
，
则
异号，由图可知：
，
即函数
有两零点
，解得
，故D 错误.
故选：AC.
46．已知函数
，若方程
有4 个不相等的实数根，则实数
取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】画出
的图象，结合函数的图象可得方程
的解
、
满足
，根据根分
布可求实数
取值范围．
【详解】
的图象如图所示：
∵方程
有4 个不相等的实数根，
设
，结合图象可知
有两个不等实根，
设此关于方程的解为
、
，其中
均不为零且
．
由题设可得关于
的方程
和
共有4 个不同的解，
，
故
不能都大于2，不能都小于等于1，
故
（舍）或
或
（舍）．
令
，其开口向上，
需满足
，即
，解得
．
故选：D．
【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层
函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复
合函数在不同范围下的零点个数.
47．已知函数
的两个零点为2，3．若函数
的两个零点分别在区间
内，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据函数的零点定义求得
的值，即得
，再结合二次函数的图象性质与
函数的零点存在定理列出不等式组，解之即得.
【详解】依题意，
为方程
的两根，
则
，解得
，
故
，则
，
因函数
的两个零点分别在区间
内，
则
，即
，解得
，
故实数m 的取值范围是
．
故答案为：
10 二次函数的单调性与最值
48．若对
，
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，
，分
和
两种情况讨论，分别求出
，即可得到不等
式组，从而求出参数的取值范围.
【详解】令
，
，依题意可得
，
恒成立，
当
时，则
，解得
；
当
时，则
，解得
；
综上可得
的取值范围是
.
故选：B
49．已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，“函数
在
上单调”等价于“函数
在
上单调”，求出
的对称轴方程，分
在
上单调递增和
在
上单
调递减两种情况求解.
【详解】
，令
，
则“函数
在
上单调”等价于“函数
在
上单调”，
的对称轴为
，若
在
上单调递增，
则
，解得
，若
在
上单调递减，
则
，解得
，综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：D.
50．若函数
在区间
上的最小值、最大值分别为
，
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，通过函数的最小值为
及定义域可知函数在
处取得最小值，再通过对函数的
分段讨论及函数的最大值为
求出实数
的取值范围即可．
【详解】令
，解得
或
，
∵函数定义域为
，∴
，即函数在
处取得最小值
，
且
，即
，则
，
∵函数的值域为
，∴
，
当
时，有
，即
，
解得
，即
；当
时，有
，
即
，解得
，即
．
综上，实数a 的取值范围为
，故D 正确.
故选：D．
51．已知函数
在区间
上的最大值为5，最小值为
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意结合二次函数性质和图象分析求解即可.
【详解】因为函数
，
可知函数
图象的对称轴为直线
，且函数
的最小值为
．
令
，解得
或4，
因为
在区间
上的最大值为5，最小值为
，
所以
的取值范围是
．
故答案为：
.
52．已知函数
．若对于任意
，都有
成立，求实数
的
取值范围．
【答案】
．
【分析】由解析式得到函数对称轴，讨论对称轴的位置，分别得到函数在区间
上的最值，让最大值与
最小值的差小于等于4，然后求得实数
的取值范围.
【详解】由题意得
则
，对称轴
．
由题意，
，都有
成立．
∵
，
∴只需
在
上恒成立即可．
①当
，即
时，
在
上单调递增，
∴
解得
，此时
．
②当
，即
时，
在
上单调递减，
∴
，
，
解得
，此时，
．
③当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
的最大值是
与
中的较大者．
ⅰ）当
，即
时，∵
，∴
，
∴
，解得
，此时，
．
ⅱ）当
，即
时，∵
，∴
，
∴
，即
，解得
，
此时
．
综上，实数
的取值范围是
．
53．已知函数
．
(1)若函数
的定义域为R，值域为
，求实数a 的值；
(2)若函数
在
上为增函数，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)1 或
(2)
【分析】（1）由
求出
的最小值
，再利用配方法可得答案；
（2） 利用复合函数的单调性可得答案．
【详解】（1）
函数
的值域为
，
，又
，
而函数
的定义域为R，
的最小值
．
而
，
，解得
，即
，
实数a 的值为1 或
；
（2）
在
上为增函数，
函数
在
上是减函数，
∴函数
在
上为减函数且
，
，解得
，
即
，故实数a 的取值范围为
．
54．已知幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上是减函数．
(1)求
和
的值；
(2)若实数
满足
，求
的最小值.
【答案】(1)
或1，
(2)2
【分析】（1）根据幂函数的概念和性质求解；
（2）由（1）得
，变形可得
，然后利用基本不等式中1 的妙用求出最小值．
【详解】（1）幂函数
，则
，解得
或1，
又幂函数在
上是减函数，故
，解得
，
因为
，故
或
，
当
时，幂函数为
，图象关于
轴对称，符合题意；
当
时，幂函数为
，图象关于原点对称，不合题意，
综上所述：
或1，
；
（2）∵实数
满足
，
∴
，则
，
∴
.
当且仅当
且
，即
时等号成立.
所以
的最小值是2.
1．
已知函数
是定义在
上奇函数，且满足
，当
时，
，则当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】B
【分析】由
可求得函数的周期为4，由函数为奇函数结合已知解析式求出
时的
解析式，再结合周期可求得结果.
【详解】由
，
因此可以得到：
，所以函数的周期为4，
当
时，
，
设
，则
，所以
，
因为
是定义在
上奇函数，
所以
，得
，
当
时，
，
所以
，
所以当
时，函数
的最小值为
.
故选：B
2．（多选）有如下命题，其中为真命题的是（ ）
A．若幂函数
的图象过点
，则
B．函数
（
且
）的图象恒过定点
C．函数
有两个零点
D．若函数
在区间
上的最大值为4，最小值为3，则实数
的取值范围是
【答案】BD
【分析】根据幂函数的定义判断选项A，由指数的性质判断选项B，由零点存在性定理的应用判断选项
C，由二次函数的图象和性质判断选项D．
【详解】设幂函数
，代入
，得到
，∴
，∴
，则
，故A
错误；
由于
恒过定点
，因此令
，即
时，恒有
，
即图象恒过定点
，故B 正确；
转化
，即
，
函数
与
在同一直角坐标系下的图象如图1 所示，
两个函数只有一个交点，故函数
只有一个零点，故C 错误.
函数
中，得
，
，
如图2 所示，可得若函数在区间
上的最大值为4，最小值为3，
则实数
的取值范围是
，故D 正确.
故选：BD.
3．
已知函数
当
时，函数
的最大值、最小值分别为
，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
时，
的范围，进而可知
的范围为
，再进行分类讨论求
出
的取值即可．
【详解】函数
的图象如图所示，
当
时，
，此时
，
当
时，
或
；
时，
或
而由题意得函数
的值域为
，
当
，即
时，需满足
，此时
满足不等式；
当
，即
时，需满足
，此时
满足不等式；
综上所述：实数
的取值集合为
，
故选：B．
4．
已知
为奇函数，则
的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可得
，结合二次函数单调性分析求解即可.
【详解】令
，解得
可知函数
的定义域为
，
因为
为奇函数，则
，解得
，
则
，可得
，
可知
为奇函数，即
符合题意，
则
，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线
，
所以
的单调递增区间是
．
故答案为：
.
5．已知函数
为幂函数，且在区间
上单调递增，令
．
(1)求函数
的解析式；
(2)当
时，求函数
在区间
上的值域；
(3)若
对任意
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数定义以及性质求解；
（2）利用二次函数性质求解；
（3）对参数
的取值进行分类讨论，结合二次函数性质即可求解.
【详解】（1）依题意
，解得
或
；
当
时，
在区间
上单调递减，不合题意，舍去；
当
时，
在区间
上单调递增，符合题意，
所以
；
（2）当
时，可得
，
令
，因为
，所以
，
即可得
，
当
时，
，当
时，
；
所以函数
在区间
上的值域为
（3）令
，因为
，所以
，
即可得
，
因为
对任意
恒成立，所以
对于任意
恒成立；
所以
.
当
时，
在
上单调递减，可得
，符合题意；
当
时，
图象的对称轴为
，
易知
恒成立，因此
在
上的最小值为
，符合题意；
当
时，若
，此时
，可得
，此时不等式无解，不
符合题意；
当
时，
，此时
在
上的最小值为
，解得
.
综上可知，实数a 的取值范围为
.
6．
已知幂函数
在
上单调递减.
(1)求函数
的解析式；
(2)解关于
的不等式
(3)若对任意
，都存在
，使
成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由幂函数的定义结合单调性即可求解；
（2）通过
和
两类情况讨论即可；
（3）由题意得到
，再得到存在
，使得
，进而可求解.
【详解】（1）由幂函数
在
上单调递减，
可得
，解得
，所以
（2）当
时，
，解集为
，
当
时，
，得
，
，
当
时，
，
方程
的两根为
所以不等式的解为
，
当
时，
，不等式的解集为
，
综上可知，当
时，解集为
，
当0≤a<1 时，解集为
.
（3）由（1）知
，因为对
，使得
都成立，
所以
，易知
，
所以
，
因为存在
，使得
成立，
可得
，
因为
，所以
是关于
的单调递增函数，
所以
，
解得：
或
，
所以的取值范围为
.
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
，由交集的概念即可得解.
【详解】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
2．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
3．（2024·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
4．（2025·天津·高考真题）已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由
时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数
和函数
为奇函数，故排除选项AB；
又当
时
，此时
，
由图可知当
时，
，故C 不符合，D 符合.
故选：D
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小关系，结合符号
分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析
的符号，进而可得
的符号，即可得
，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求
、
的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
