专题2.3 幂函数与二次函数（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 幂函数的定义】..........................................................................................................................................2
【题型2 比较幂值的大小】......................................................................................................................................3
【题型3 幂函数图象的判断及应用】......................................................................................................................5
【题型4 幂函数的图象与性质的综合应用】.........................................................................................................8
【题型5 求二次函数的值域或最值】....................................................................................................................10
【题型6 二次函数的图象问题】............................................................................................................................11
【题型7 二次函数的单调性问题】........................................................................................................................14
【题型8 二次函数的恒成立问题】........................................................................................................................16
1、幂函数与二次函数
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解幂函数的定义，掌
握幂函数的图象与性质
(2)熟练掌握二次函数的图
象与性质（单调性、对称
性与最值等）
2020 年江苏卷：第7 题，5 分
2024 年天津卷：第2 题，5 分
幂函数与二次函数是常见的重要
函数，在历年的高考中都占据着重要的
地位，是高考常考的热点内容，从近几
年的高考形势来看，幂函数较少单独考
查，常与指、对数函数结合考查，包括
比较指对幂的大小、解不等式等考法，
主要出现在选择题、填空题中，难度较
易；二次函数常与其他知识相结合，考
查二次函数的图象与性质.
知识点
1
幂函数的解题技巧
1．幂函数的解析式
幂函数的形式是
( ∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2．幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+
)上，幂函数
中指数越大，函数图象越远离 x 轴.
3．比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂
函数的图象和性质是解题的关键.
知识点
2
二次函数的解题技巧
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x 轴两交点坐标，选用零点式.
2．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上
关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的
开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
3．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指
的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
4．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象
求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1 幂函数的定义】
【例1】（25-26 高一上·全国·课后作业）下列函数中，属于幂函数的是（ ）
A．y =(2 x)
2
B．y = ❑√x
C．y =−1
x
D．y =2
x
【答案】B
【解题思路】由幂函数的定义即可求解.
【解答过程】形如y = x
α（α 为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1，
对比选项仅有B：y = ❑√x = x
1
2符合要求.
故选：B.
【变式1-1】（2025 高三·全国·专题练习）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．y = x
3
B．y = x
2
C．y = x
3+1
D．y = ❑√x
【答案】A
【解题思路】结合函数奇偶性的性质以及幂函数的定义与性质分别检验各选项即可．
【解答过程】根据幂函数的定义可知：y = x
3为幂函数，
且定义域为R ，满足f (−x)=(−x)
3=−x
3=−f ( x) 为奇函数，故A 正确；
y = x
2为偶函数,故排除B 选项；
令g( x)= x
3+1，∴g(−x)=−x
3+1≠g(x)≠−g(x)，所以为非奇非偶函数，C 错误；
y = ❑√x的定义域为[0,+ ∞) ，不关于原点对称，所以y = ❑√x为非奇非偶函数，故D 错误，
故选：A．
【变式1-2】（24-25 高一上·全国·课后作业）在函数y = x
−2，y =2 x
2，y =( x +1)
2，y =3 x中，幂函数的
个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解题思路】利用幂函数定义直接判断作答.
【解答过程】函数y = x
−2是幂函数，
函数y =2 x
2，y =( x +1)
2都是二次函数，函数y =3 x是一次函数，它们都不是幂函数，
所以所给函数中幂函数的个数是1.
故选：B.
【变式1-3】（24-25 高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在(0,+∞)上是减函数的是（ ）
A．y = x
2
B．y = x
1
3
C．y =2 x
−1
D．y = x
−2
3
【答案】D
【解题思路】利用幂函数的定义及性质逐项判断即得.
【解答过程】对于AB，y = x
2与y = x
1
3都是幂函数，在(0,+ ∞)上都单调递增，AB 不是；
对于C，函数y =2 x
−1不是幂函数，C 不是；
对于D，函数y = x
−2
3是幂函数，且在(0,+∞)上是减函数，D 是.
故选：D.
【题型2 比较幂值的大小】
【例2】（24-25 高一上·安徽安庆·阶段练习）已知a=2
0.2，b=0.4
0.2，c =0.15
0.1，则a，b，c 的大小关系
是（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．b>c>a
【答案】A
【解题思路】根据幂函数单调性分析判断即可.
【解答过程】因为y = x
0.2在R 上单调递增，所以2
0.2>0.4
0.2，即a>b，
又因为0.4
0.2=(0.4
2)
0.1=0.16
0.1，又且y = x
0.1在[0,+∞)上单调递增，
所以0.16
0.1>0.15
0.1，b>c，所以a>b>c.
故选：A.
【变式2-1】（24-25 高一上·陕西咸阳·期末）已知a、b∈(0,1)∪(1,+∞)且c>0，则“a>b>1”是“
a
c>b
c”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】利用幂函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解答过程】因为a、b∈(0,1)∪(1,+ ∞)且c>0，
因为幂函数y = x
c在(0,+ ∞)上为增函数，
若a>b>1，则a
c>b
c，即“a>b>1”⇒“a
c>b
c”，
若a
c>b
c，则a>b且a、b∈(0,1)∪(1,+ ∞)，即“a>b>1”⇐“a
c>b
c”，
所以，“a>b>1”是“a
c>b
c”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2-2】（24-25 高一上·安徽·期中）幂函数f ( x)=(m
2−m−1)x
m
2+2m−5在区间(0,+∞)上单调递增，
且a+b>0，则f (a)+ f (b)的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
【答案】A
【解题思路】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可．
【解答过程】由函数f ( x)=(m
2−m−1)x
m
2+2m−5是幂函数，可得m
2−m−1=1，解得m=2或m=−1.
当m=2时，f ( x)= x
3；当m=−1时，f ( x)= x
−6.
因为函数f ( x)在(0,+∞)上是单调递增函数，故f ( x)= x
3.
又a+b>0，所以a>−b，所以f (a)>f (−b)=−f (b)，则f (a)+ f (b)>0.
故选：A.
【变式2-3】（2025·湖北孝感·模拟预测）已知f ( x)为奇函数，当0≤x ≤2时，f ( x)=2 x−x
2，当x>2
时，f ( x)=|x−3)−1，则（ ）
A．−f (−❑√26)>f (2
0.3)>f (3
0.3)
B．f (2
0.3)>f (3
0.3)>−f (−❑√26)
C．−f (−❑√26)>f (3
0.3)>f (2
0.3)
D．f (3
0.3)>f (2
0.3)>−f (−❑√26)
【答案】A
【解题思路】利用题给条件求得f (x)在[1,3)上单调性，利用f ( x)为奇函数求得−f (−❑√26),f (1)的大小关
系，再利用幂函数性质比较3
0.3,2
0.3的大小关系，进而得到f (3
0.3),f (2
0.3),−f (−❑√26)三者间的大小关系.
【解答过程】因为当0≤x ≤2时，f (x)=2 x−x
2，
则f (x)在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，
当x>2时，f (x)=|x−3)−1，
则f (x)在(2,3)上单调递减，在[3,+ ∞)上单调递增.
且f (2)=0=|2−3)−1，所以f (x)在(0,1)上单调递增，
在[1,3)上单调递减，在(3,+ ∞)上单调递增.
因为−f (−❑√26)= f (❑√26)>f (5)=1= f (1)，1<2
0.3<3
0.3<3，
则f (1)>f (2
0.3)>f (3
0.3)
所以−f (−❑√26)>f (2
0.3)>f (3
0.3).
故选：A.
【题型3 幂函数图象的判断及应用】
【例3】（24-25 高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
A．y = 1
x
3
B．y = ❑√|x)
C．y = 1
x
2
D．y = x
2
3
【答案】C
【解题思路】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案.
【解答过程】对于A，y = 1
x
3，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，当x<0时，y = 1
x
3 <0，不符合题意；
对于B，当x =0时，y = ❑√|x)=0，不符合题意；
对于C，y = 1
x
2，定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，函数为偶函数，
且y = 1
x
2在(0,+ ∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递增，符合题意；
对于D，y = x
2
3，当x =0时，y =0，不符合题意，
故选：C.
【变式3-1】（24-25 高一上·辽宁·期末）如图，
对应四个幂函数的图象，则
对应的幂函数可以
①②③④
①
是（ ）
A．y = x
−1
2
B．y = x
2
3
C．y = x
3
4
D．y = x
3
2
【答案】C
【解题思路】结合图象及幂函数的性质判断即可.
【解答过程】由图可知，
对应的幂函数：函数的定义域为
①
[0,+∞)，在第一象限内单调递增，
且图象呈现上凸趋势，则指数α的值满足0<α <1，排除选项AD；
又y = x
2
3 =
3√x
2的定义域为R，y = x
3
4 =
4√x
3的定义域为[0,+ ∞)，
故y = x
3
4符合题意.
故选：C.
【变式3-2】（24-25 高一·全国·课后作业）已知幂函数y = x
p
q（p,q∈Z且p,q互质）的图象关于y 轴对
称，如图所示，则（ ）
A．p，q 均为奇数，且p
q >0
B．q 为偶数，p 为奇数，且p
q <0
C．q 为奇数，p 为偶数，且p
q >0
D．q 为奇数，p 为偶数，且p
q <0
【答案】D
【解题思路】根据函数的单调性可判断出p
q <0；根据函数的奇偶性及p，q互质可判断出p为偶数，q为奇
数.
【解答过程】因为函数y = x
p
q的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递减，
所以p
q <0，
因为函数y = x
p
q的图象关于y 轴对称，
所以函数y = x
p
q为偶函数，即p 为偶数，
又p、q 互质，所以q 为奇数，
所以选项D 正确，
故选：D.
【变式3-3】（24-25 高一上·上海浦东新·期中）图中C1、C2、C3分别为幂函数y = x
α1，y = x
α2，y = x
α3在
第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是（ ）
A．3，1
2 ，−1
B．3，−1，1
2
C．1
2 ，3，−1
D．1
2 ，−1，3
【答案】A
【解题思路】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到α1>1>α2>0>α3，即可得答案.
【解答过程】由幂函数y = x
α在第一象限，在x>1部分图象由下向上，α逐渐增大，
且α >0时y = x
α在第一象限递增，且递增速度以α =1为界点，α <0时y = x
α在第一象限递减，
所以α1>1>α2>0>α3，故A 满足.
故选：A.
【题型4 幂函数的图象与性质的综合应用】
【例4】（24-25 高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知点(
❑√3,
❑√3
3 )在幂函数f (x)的图象上，则f (x)是
（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．在x∈(−∞,0)∪(0,+∞)上单调递减
【答案】A
【解题思路】根据已知求出α =−1，从而函数f (x)= x
−1= 1
x ，根据奇偶性定义以及反比例函数得到答案．
【解答过程】点
∵(
❑√3,
❑√3
3 )在幂函数f (x)的图象上，设f (x)= x
α，
∴
❑√3
3 =(❑√3)
α，解得α =−1，
函数
∴
f (x)= x
−1= 1
x ，定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，关于原点对称，
∴f (−x)= 1
−x =−f (x)，
函数
∴
f (x)是奇函数，根据反比例图象f (x)在(−∞,0),(0,+ ∞)上单调递减．
故选：A．
【变式4-1】（24-25 高一上·广东汕头·期末）已知幂函数f (x)=(m
2−3m+1) x
m−1是R上的偶函数，且函数
g(x)= f (x)+(4−2n) x在区间[1,5)上单调，则实数n的取值范围为（ ）
A．(−∞,3)
B．[7 ,+ ∞)
C．[3,7)
D．(−∞,3¿∪)7 ,+ ∞¿¿
【答案】D
【解题思路】根据吗函数的定义和图象与性质可得f ( x)= x
2，进而求出g( x)，结合二次函数在区间上单调
性求出参数n即可.
【解答过程】由幂函数的定义知，m
2−3m+1=1，解得m=0或m=3，
当m=0时，f ( x)= x
−1，为奇函数，不符合题意；
当m=3时，f ( x)= x
2，为偶函数，符合题意，故f ( x)= x
2.
所以g( x)= x
2+(4−2n)x，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x =n−2，
又g( x)在[1,5]上单调，则n−2≤1或5≤n−2，
解得n≤3或n≥7，即实数n的取值范围为(−∞,3]∪[7,+∞).
故选：D.
【变式4-2】（24-25 高一上·江苏扬州·期末）若幂函数f (x)的图象经过点(4 , 1
8)，则下列说法正确的是
（ ）
A．f (x)为偶函数
B．方程f (x)=27的实数根为1
9
C．f (x)在(0,+ ∞)上为增函数
D．f (x)的值域为R
【答案】B
【解题思路】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可.
【解答过程】设f (x)= x
a，代入点(4 , 1
8)可得4
a= 1
8，所以a=−3
2，
所以f (x)= x
−3
2 = ❑√
1
x
3，因为x
3>0，所以x>0，即函数f (x)的定义域为(0,+∞)，
对于A：因为f (x)的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，
所以f (x)既不是为偶函数也不是奇函数，故A 错误；
对于B：令f (x)=27，所以❑√
1
x
3 =27，解得x = 1
9，故B 正确；
对于C，因为f (x)= x
−3
2，因为a=−3
2 <0，所以f (x)在(0,+∞)上为减函数，故C 错误；
对于D：因为f (x)= x
−3
2 = ❑√
1
x
3，所以x
3>0，所以f (x)>0，
f (x)的值域为(0,+ ∞)，故D 错误.
故选：B.
【变式4-3】（24-25 高一下·湖北·阶段练习）幂函数f (x)=(m
2−m−1) x
m,∀x1, x2∈(0,+∞)都有
f (x1)−f (x2)
x1−x2
<0成立，则下列说法正确的是（ ）
A．m=2
B．m=2或m=−1
C．f (x)是偶函数
D．f (x)是奇函数
【答案】D
【解题思路】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到m的值，再根据奇偶性定义可得到结果.
【解答过程】解：因为f (x)=(m
2−m−1) x
m是幂函数，所以m
2−m−1=1，解得m=−1或m=2，
因为∀x1, x2∈(0,+∞)，都有
f (x1)−f (x2)
x1−x2
<0成立，所以该函数在(0,+ ∞)是减函数，
所以m=−1，故A，B 错误；
f (x)= x
−1= 1
x ，定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，定义域关于原点对称，
又f (−x)= 1
−x =−f (x)，所以f (x)是奇函数，故D 正确，C 错误.
故选：D.
【题型5 求二次函数的值域或最值】
【例5】（2025 高二下·湖南郴州·学业考试）函数y =−x
2−4 x +3(x∈R)的值域为（ ）
A．[7 ,+ ∞)
B．(7 ,+ ∞)
C．(−∞,7)
D．(−∞,7)
【答案】D
【解题思路】利用配方法可求出原函数的值域.
【解答过程】因为y =−x
2−4 x +3=−(x +2)
2+7≤7，当且仅当x =−2时，等号成立，
故函数y =−x
2−4 x +3(x∈R)的值域为(−∞,7).
故选：D.
【变式5-1】（2025 高一上·河北保定·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数y = x
2+mx +m
2−m（m
为常数）的图象经过点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5
B．最大值15
4
C．最小值5
D．最小值15
4
【答案】D
【解题思路】由二次函数的性质求解即可.
【解答过程】由题意可得:6=m
2−m，解得m1=3,m2=−2,
因为二次函数y = x
2+mx +m
2−m图象的对称轴在y轴左侧，
∴−b
2a =−m
2 <0，即m>0,∴m=3，
∴y = x
2+3 x +6,∴二次函数有最小值为4 ac−b
2
4 a
= 4×1×6−3
2
4×1
= 15
4 .
故选：D.
【变式5-2】（24-25 高一上·新疆·期中）已知函数f ( x)= x
2−4 x +5在[m,n]上的值域是[1,10]，则n−m
的最大值是（ ）
A．3
B．6
C．4
D．8
【答案】B
【解题思路】根据二次函数图像特点，要使得区间长度最大，则对称轴两边（能取到对称轴的前提下）距
离越大，区间长度越大
【解答过程】f (x)= x
2−4 x +5=(x−2)
2+1，
因为值域为[1,10)，所以要取到最小值1，必须取到对称轴，
又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，
令f ( x)=10，得x =−1或x =5，
所以当n=5,m=−1时(n−m)max=6，
故选：B.
【变式5-3】（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知函数f ( x)=−x
2+2bx，若f (f ( x))的最大值与f ( x)的
最大值相等，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≤0
B．b≥1或b≤0
C．−1≤b≤0
D．b≥−1
【答案】B
【解题思路】根据题意，由二次函数的最值可得f ( x)max =b
2，然后由条件列出不等式，即可得到结果.
【解答过程】f ( x)=−x
2+2bx，当x =b，f ( x)max =−b
2+2b
2=b
2，
令t = f ( x)，则f (f ( x))= f (t )=−t
2+2bt，
当t =b≤b
2，即b≥1或b≤0时，f (f ( x))的最大值为b
2，
所以b≥1或b≤0时，f (f ( x))的最大值与f ( x)的最大值相等.
故选：B.
【题型6 二次函数的图象问题】
【例6】（24-25 高一上·重庆·期中）已知函数f (x)=a x
2+bx +c，若a>b>c ,a+b+c =0，则f (x)的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】判断出a,c的符号后可得正确的选项.
【解答过程】因为a>b>c ,a+b+c =0，故a+a+a>a+b+c =0即a>0，
而c +c +c<a+b+c =0，故c<0，
BC 中图象开口向下，不符合a>0，而A 中图象过原点，与c<0矛盾，
故选：D.
【变式6-1】（24-25 高一下·云南迪庆·期末）抛物线y =a x
2+bx +c(a≠0)的部分图象如图所示，下列说
法正确的是（ ）
A．abc>0
B．b=2a
C．3a+c<0
D．b
2<4 ac
【答案】C
【解题思路】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、 函数值、零点个数逐项判断即可.
【解答过程】∵抛物线的开口向下，∴ a<0，
∵抛物线的对称轴为x =1，∴ −b
2a >0，∴ b>0，
∵抛物线y =a x
2+bx +c(a≠0)与y轴相交于正半轴，∴ c>0，∴ abc<0，故A 错误；
∵抛物线的对称轴为x =1，∴ −b
2a =1，∴ b=−2a，故B 错误；
由图象可知，当x =−1时，函数值小于0，即y =a−b+c =a+2a+c =3a+c<0，
故C 正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴ b
2−4 ac>0，∴ b
2>4 ac，故D 错误.
故选：C.
【变式6-2】（24-25 高一上·福建福州·阶段练习）不等式c x
2+ax +b>0的解集为{x|−1< x< 1
2))，则函数
y =a x
2+bx−c的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据不等式的解集得到c<0，−1, 1
2为c x
2+ax +b=0的两个根，由韦达定理得到
a= 1
2 c<0,b=−1
2 c>0，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与y轴交点纵坐标的正负得到答案.
【解答过程】由题意得c<0，−1, 1
2为c x
2+ax +b=0的两个根，
故−1+ 1
2 =−a
c ,−1× 1
2 = b
c ，即a= 1
2 c<0,b=−1
2 c>0，
y =a x
2+bx−c开口向下，对称轴为x =−b
2a >0，与y轴交点纵坐标为−c>0
故选：B.
【变式6-3】（2025·陕西汉中·三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向
下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，
而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处
于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以
简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行
途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小
的线路是（ ）
A．P→A →Q
B．P→B→Q
C．P→C →Q
D．P→D→Q
【答案】C
【解题思路】根据游戏规则,分析被“盖帽”的可能性最小的情况下对二次函数的对称轴要求,根据对称轴
的位置确定轨迹.
【解答过程】篮球上升阶段越短, 被“盖帽”的可能性最越,则对称轴越靠近y轴越好,
设抛物线方程为y =a x
2+bx +c，当经过P(0,2), A(1,3),Q(4,3)时，
列方程组{
c =2
a+b+c =3
16a+ 4 b+c =3)，二次函数解析式为y =−1
4 x
2+ 5
4 x +2，对称轴为直线x = 5
2，
同理可得经过P ,B ,Q时，对称轴为直线x =3，经过P ,C ,Q时，对称轴为直线x = 31
14 ，经过P , D ,Q时，
对称轴为直线x = 7
3，
可知经过P ,C ,Q时篮球处于上升阶段的水平距离最短.
故选：C.
【题型7 二次函数的单调性问题】
【例7】（24-25 高一上·海南·阶段练习）若函数f (x)= x
2+(1+a) x +2在区间(3,+∞)上单调递增，则实数
a的取值范围是（ ）
A．(−∞,7)
B．[7 ,+ ∞)
C．[−7,+∞)
D．(−∞,−7)
【答案】C
【解题思路】依题意，只需使(3,+ ∞)为已知函数的递增区间的子集，列不等式，解之即得.
【解答过程】函数f (x)= x
2+(1+a) x +2的图象开口向上，对称轴为直线x =−1+a
2
，
由函数f (x)在区间(3,+∞)上单调递增，可得−1+a
2
≤3，解得a≥−7.
故选:C.
【变式7-1】（24-25 高二下·山东潍坊·期末）已知二次函数f ( x)=a x
2+bx +c(a>0)的图像与x 轴交点的
横坐标为−5和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）．
A．(−∞,−1]
B．[−1,+∞)
C．(−∞,2]
D．[2,+ ∞)
【答案】A
【解题思路】由题意求得对称轴，再由开口方向求解.
【解答过程】解：因为二次函数f ( x)=a x
2+bx +c(a>0)的图像与x 轴交点的横坐标为−5和3，
所以其对称轴方程为：x = −5+3
2
=−1，
又a>0，
所以二次函数的单调递减区间为(−∞,−1]，
故选：A.
【变式7-2】（24-25 高一上·陕西宝鸡·阶段练习）“m<−17”是“函数f (x)=−3 x
2+2(1−m) x−5在区
间(−∞,6)上单调递增”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据函数f (x)的单调性可得出关于实数m的不等式，解出m的取值范围，利用集合的包含关
系判断可得出结论.
【解答过程】若函数f (x)=−3 x
2+2(1−m) x−5在区间(−∞,6)上单调递增，
则2(1−m)
6
≥6，解得m≤−17，
因为{m|m<−17)){m|m≤−17))，
因此，“m<−17”是“函数f (x)=−3 x
2+2(1−m) x−5在区间(−∞,6)上单调递增”的充分不必要条
件，
故选：B.
【变式7-3】（24-25 高三上·陕西渭南·阶段练习）若二次函数f (x)=a x
2+2(a−1) x +2在(−∞,4)上为减
函数，则a的取值范围为（ ）
A．(
1
5 ,+∞)
B．[0, 1
5)
C．(−∞, 1
5)
D．(0, 1
5)
【答案】D
【解题思路】根据题意，由{
a>0
1−a
a
≥4)
求解.
【解答过程】解：因为二次函数f (x)=a x
2+2(a−1) x +2在(−∞,4)上为减函数，
所以{
a>0
1−a
a
≥4)
，解得0<a≤1
5，
所以a的取值范围为(0, 1
5)，
故选：D.
【题型8 二次函数的恒成立问题】
【例8】（24-25 高一下·贵州·阶段练习）对任意x∈[−1, 1)，不等式2 x
2−2 x +1−2m≥0恒成立，则实
数m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
4)
B．(−∞, 1
2)
C．(−∞, 5
2)
D．[
1
2 , +∞)
【答案】A
【解题思路】由已知可得(x
2−x + 1
2)min
≥m，再求函数y = x
2−x + 1
2，x∈[−1,1)的最小值即可得m取值
范围.
【解答过程】因为对任意x∈[−1,1)，不等式2 x
2−2 x +1−2m≥0恒成立.
所以(x
2−x + 1
2)min
≥m，其中x∈[−1,1)，
设y = x
2−x + 1
2，x∈[−1,1)，因为y = x
2−x + 1
2 =(x−1
2)
2
+ 1
4 ，
所以当x = 1
2时，函数y = x
2−x + 1
2，x∈[−1,1)取最小值，最小值为1
4 ，
所以m≤1
4 ，
故选：A.
【变式8-1】（2025·陕西西安·模拟预测）设函数f (x)=a x
2−2ax，命题“∃x∈[2,6)，f (x)≤−2a+3
”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(
3
2 ,+ ∞)
B．(3,+ ∞)
C．(2,+∞)
D．(−∞, 3
2)
【答案】A
【解题思路】根据特称名为假命题可得a x
2−2ax +2a−3>0，对∀x∈[2,6)恒成立，令
ℎ(x)=a x
2−2ax +2a−3，利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论.
【解答过程】因为命题“∃x∈[2,6)，f (x)≤−2a+3”是假命题，所以∀x∈[2,6)，f (x)>−2a+3恒
成立，
则a x
2−2ax +2a−3>0，对∀x∈[2,6)恒成立，
令ℎ(x)=a x
2−2ax +2a−3，则二次函数的对称轴为直线x =1，
要使得∀x∈[2,6)，ℎ(x)>0恒成立，则{
ℎ(2)=2a−3>0
ℎ(6)=26a−3>0)，解得a> 3
2，
所以实数a 的取值范围是(
3
2 ,+∞).
故选：A.
【变式8-2】（2025·上海黄浦·二模）设函数f (x)={
−x
2+ax +20,−4≤x ≤0
a x
2−2 x +3,0< x ≤4 )，若f ( x)>0恒成立，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．(1,+∞)
B．(0, 1
3)
C．(
5
16 ,1)
D．(
1
3 ,1)
【答案】D
【解题思路】分−4≤x ≤0和0< x ≤4两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.
【解答过程】当−4≤x ≤0时，−x
2+ax +20>0恒成立，即ax> x
2−20恒成立，
当x =0时，上式成立；
当−4≤x<0，a< x−20
x ，明显函数y = x−20
x 在[−4,0)上单调递增，
所以ymin=−4−20
−4 =1，所以a<1；
当0< x ≤4时，a x
2−2 x +3>0恒成立，即a> 2
x −3
x
2恒成立，
令t = 1
x ∈[
1
4 ,+ ∞)，则a>2t −3t
2在[
1
4 ,+ ∞)上恒成立，
又y =2t −3t
2开口向下，对称轴为t = 1
3 ∈[
1
4 ,+ ∞)，
所以y =2t −3t
2的最大值为2× 1
3 −3×(
1
3)
2
= 1
3，
所以a> 1
3，
综上：实数a 的取值范围是(
1
3 ,1).
故选：D.
【变式8-3】（2025·福建·模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x ≥0时，
f (x)= x
2−2 x +2. 若f (x)≥2 x +b对任意的x∈R恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,1)
C．(−∞,0)
D．(−∞,−2)
【答案】D
【解题思路】先在f (x)≥2 x +b的条件下证明b≤−2，然后在b≤−2的条件下证明f (x)≥2 x +b，即可说明
b的取值范围是(−∞,−2).
【解答过程】一方面，由于f (x)≥2 x +b对任意实数x恒成立，故f (2)≥2×2+b，即
2
2−2×2+2≥2×2+b，所以b≤−2.
另一方面，若b≤−2，则对x<0有f (x)= f (−x)=(−x)
2−2(−x)+2= x
2+2 x +2≥2 x ≥2 x −2≥2 x +b.
且对x ≥0有f (x)= x
2−2 x +2=(x
2−4 x + 4)+2 x −2=(x −2)
2+2 x −2≥2 x −2≥2 x +b.
故在b≤−2的情况下，必有f (x)≥2 x +b恒成立.
综合上述两个方面，可知实数b的取值范围是(−∞,−2).
故选：D.
一、单选题
1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数f (x)=(m
2+m−1) x
m的图象与坐标轴无公共点，则m=
（ ）
A．－2
B．1
C．－2 或1
D．－1 或2
【答案】A
【解题思路】本题可先根据幂函数的定义求出m的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确
定m的值.
【解答过程】因为f ( x)为幂函数，所以m
2+m−1=1，
即m
2+m−2=0，解得m=−2或m=1.
当m=−2时，f ( x)= x
−2= 1
x
2，其定义域为{x∣x≠0}，图象与坐标轴无公共点，符合题意；
当m=1时，f ( x)= x，其图象与坐标轴有公共点，不合题意.
综上，m=−2.
故选：A.
2．（2025·山东·模拟预测）设全集U = R，集合A ={ y|y)= x
2, x∈R}，B ={x|−1)< x<1}，则
{x|−1)< x<0}=（ ）
A．A ∪B
B．(∁U A )∩B
C．A ∩(∁U B)
D．∁U( A ∩B)
【答案】B
【解题思路】先求出二次函数的值域，即集合A，再根据集合的交并补运算即可确定选项.
【解答过程】当x∈R时，y = x
2≥0，即A ={x| x ≥0}，则∁U A ={x| x<0}，
又B ={x|−1)< x<1}，故{x|−1)< x<0}=(∁U A )∩B.
故选：B.
3．（2025·江苏盐城·三模）“m=2”是“f (x)=(m
2−m−1) x
m
2+2m−3为幂函数”的（ ）条件．
A．充要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充分不必要
【答案】D
【解题思路】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果.
【解答过程】当m=2时，f (x)= x
5，符合幂函数的形式，故充分性满足；
当f (x)=(m
2−m−1) x
m
2+2m−3为幂函数可得m
2−m−1=1，解得m=2或m=−1，
故必要性不满足，
所以“m=2”是“f (x)=(m
2−m−1) x
m
2+2m−3为幂函数”的充分不必要条件.
故选：D.
4．（24-25 高一上·北京·开学考试）已知二次函数y =m x
2−2mx（m为常数），当−1≤x ≤2时，函数值y
的最小值为−2，则m 的值是（ ）
A．−2
B．1
C．2 或−2
3
D．−1
【答案】C
【解题思路】利用二次函数的性质，先求得抛物线对称轴，分m>0和m<0，两种情况进行分析，求得m的
值即可．
【解答过程】∵y =m x
2−2mx，
抛物线的对称轴为直线
∴
x =1，
当
①
m>0时，抛物线的开口向上，
当
∵
−1≤x ≤2时，函数在x =1处取得最小值，
又函数值y 的最小值为−2，当
∴
x =1时，y =−2，∴m−2m=−2，解得m=2．
当
②
m<0时，抛物线的开口向下，
当
∵
−1≤x ≤2时，函数在x =−1处取得最小值，
又函数值y 的最小值为−2，当
∴
x =−1时，y =−2，∴m+2m=−2，解得：m=−2
3
故选：C．
5．（24-25 高一上·广西钦州·阶段练习）“m<−17”是“函数f (x)=−3 x
2+2(1−m) x−5在区间(−∞,6)
上单调递增”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据函数f (x)的单调性可得出关于实数m 的不等式，解出m 的取值范围后判断.
【解答过程】若函数f (x)=−3 x
2+2(1−m) x−5在区间(−∞,6)上单调递增，
则2(1−m)
6
≥6，解得m≤−17，m<−17可推出m≤−17反之不行，
因此，“m<−17”是“函数f (x)=−3 x
2+2(1−m) x−5在区间(−∞,6)上单调递增”的充分不必要条
件，
故选：B.
6．（2025·天津·二模）已知函数y =2a x
3(a<0)，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递减B．偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增
C．奇函数，且在区间(−∞,0)上单调递减D．奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增
【答案】C
【解题思路】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解.
【解答过程】因为函数f (x)=2a x
3(a<0)，定义域为R，
f (−x)=2a(−x)
3=−2a x
3=−f (x)，所以f (x)是奇函数，
因为y = x
3在区间(−∞,+∞)上单调递增，a<0，所以函数f (x)=2a x
3在区间(−∞,+∞)上单调递减，
故选：C.
7．（2025·江西·一模）若直线y =t(0<t <1)与幂函数y = x
3，y = ❑√x，y = 1
x 的图象从左到右依次交于不
同的三点A，B，C，则|AC)=（ ）
A．1
t −t
2
B．1
t −t
3
C．1
t −
3√t
D．3√t −t
2
【答案】A
【解题思路】求得交点A ,C的横坐标，比较大小可求|AC).
【解答过程】当y =t时，由y = x
3，得x =
3√t；由y = ❑√x，得x =t
2；由y = 1
x ，得x = 1
t .
因为0<t <1，所以y =t
x是关于x的减函数.
又−1< 1
3 <2，所以1
t >
3√t >t
2，所以|AC)= 1
t −t
2.
故选：A.
8．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)= x
2−2tx +2t
2−2t，则下列选项正确的是（ ）
A．f (x)的图象恒过点(0,0)
B．f (x)的图象必与x轴有两个不同的交点
C．f (x)的最小值可能为−2
D．f (x)的最小值可能为−1
【答案】D
【解题思路】举反例求f (0)与判别式可判断AB，求函数的最小值，再判断范围，即可判断CD.
【解答过程】A.当t =2时，f (0)=2t
2−2t =2×2
2−2×2≠0，
所以f (x)的图象不恒过点(0,0)，故A 错误；
B.当t =0时，Δ= 4 t
2−4(2t
2−2t)=−4 t
2+8t =0，
此时f (x)的图象必与x轴只有1 个交点，故B 错误；
CD.f (x)= x
2−2tx +2t
2−2t =(x −t )
2+t
2−2t，
则f (x)的最小值为t
2−2t =(t −1)
2−1≥−1，
所以函数的最小值不可能是−2，可能为−1，故C 错误，D 正确.
故选：D.
二、多选题
9．（24-25 高一上·贵州·阶段练习）现有4 个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（
）
A．p=3，m=2，q = 1
2，n=−3
B．p= 4，m=3，q = 1
3，n=−2
C．p=2，m=3，q =−1
2，n=−3
D．p= 1
2，m= 1
3，q =−2，n= 1
4
【答案】AB
【解题思路】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可.
【解答过程】对于幂函数y = x
α，若函数在(0,+∞)上单调递增，则α >0，若函数在(0,+∞)上单调递减，
则α <0，所以n<0，D 选项错误；
当x>1时，若y = x
α的图象在y = x的上方，则α >1，若y = x
α的图象在y = x的下方，则α <1，
所以p>1,m>1,0<q<1，C 选项错误；
因为当x>1时，指数越大，图象越高，所以p>m，
综上，p>m>1>q>0>n，AB 选项正确.
故选：AB.
10．（24-25 高一下·全国·课后作业）二次函数y = x
2+(2a−1) x−3在x∈[−1,3)上最大值为1，则实数
a 值为（ ）
A．−1
2
B．−1
3
C．−1
4
D．−1
【答案】BD
【解题思路】y = x
2+(2a−1) x−3，则图像开口向上，对称轴为直线x = 1−2a
2
，根据对称轴的位置分两
种情况讨论即可.
【解答过程】y = x
2+(2a−1) x−3，则图像开口向上，对称轴为直线x = 1−2a
2
.
当1−2a
2
≤1时，即a≥−1
2，x =3时有最大值1，
即9+(2a−1)×3−3=1，解得a=−1
3；
当1−2a
2
>1时，即a<−1
2，x =−1时有最大值1，
即1+(2a−1)×(−1)−3=1，得a=−1；
故a=−1或a=−1
3.
故选：BD．
11．（24-25 高一上·广东广州·期末）如图，二次函数y =a x
2+bx +c的对称轴为x =1，且与x轴交于点
A (−1,0)，则（ ）
A．a>0
B．∀m∈R ,a+b≥am
2+bm
C．ax +c>0的解集为{x∣x<3}
D．c x
2+bx +a<0的解集为{x|−1< x< 1
3))
【答案】BCD
【解题思路】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知a<0，ymax=a+b+c ≥am
2+bm+c可判断
A，B，由对称性知函数有两个零点−1,3，得b=−2a，c =−3a，代入不等式ax +c>0，c x
2+bx +a<0
结合a<0求解，即可判断C，D.
【解答过程】对于A，由图象开口向下，得a<0，故A 不正确；
对于B，对称轴为x =1，故对∀m∈R , ymax =a+b+c≥am
2+bm+c，
即a+b≥am
2+bm，故B 正确；
对于C，图像过点A (−1,0)，由对称性得y =a x
2+bx +c有两个零点−1,3，
所以−b
a =2, c
a =−3，故c =−3a，由a<0，
ax−3a>0，得x<3，故ax +c>0的解集为{x∣x<3}，故C 正确；
对于D，∵b=−2a，c =−3a，由c x
2+bx +a<0，得−3a x
2−2ax +a<0
又a<0，3 x
2+2 x−1<0，解得−1< x< 1
3，
∴c x
2+bx +a<0的解集为{x|−1< x< 1
3))，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数f (x)= x
a的定义域为R，其图象关于原点对称，且在(0,+ ∞)
上单调递增，则α的值可以是
.（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【解题思路】根据幂函数的性质确定出α值作答.
【解答过程】举例α =3，即f (x)= x
3，其定义域为R，
又f (−x)=(−x)
3=−x
3=−f (x)，所以f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，
且f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，所以f (x)= x
3满足题意.
故答案为：3（答案不唯一）.
13．（2025·辽宁·模拟预测）命题p：存在m∈[−1,1)，使得函数f (x)= x
2−2mx在区间[a,+∞)内单调，
若p的否定为真命题，则a的取值范围是 .
【答案】(−∞,−1)
【解题思路】先给出命题p 的否定，由函数f ( x)= x
2−2mx的单调性进行求解.
【解答过程】命题p 的否定为：任意m∈[−1,1)，使得函数f ( x)= x
2−2mx在区间[a,+∞)内不单调，
由函数f ( x)= x
2−2mx在(−∞,m)上单调递减，在(m,+ ∞)上单调递增，
则a<m，而m∈[−1,1)，
得a<−1，
故答案为：(−∞,−1).
14．（2024·河南·模拟预测）已知函数f (x)=|x
2−6 x +7)在[1,m)(m>1)上的最大值为A，在[m,2m−1)
上的最大值为B，若A ≥2B，则实数m的取值范围是 ．
【答案】[3−❑√3, 3
2)
【解题思路】作出f ( x)的图象，分1<m≤5和m>5两种情况讨论函数f ( x)在[1,m)(m>1)上的最大值和在
[m,2m−1)上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案.
【解答过程】由函数f (x)=|x
2−6 x +7)=|(x −3)
2−2)，作出f ( x)的图象如下：
由题得：f (1)= f (3)= f (5)=2，
当1<m≤5时，函数f (x)=|x
2−6 x +7)在[1,m)(m>1)上的最大值为2，即A =2，
要使A ≥2B，则B≤1，令f ( x)=1，解得：x1=3−❑√3，x2=2，x3= 4，x4=3+ ❑√3，
由图可得，要使函数f (x)=|x
2−6 x +7)在[m,2m−1)上的最大值为B，且B≤1，
则{
m≥3−❑√3
2m−1≤2)，或{
m≥4
2m−1≤3+ ❑√3)，解得：3−❑√3≤m≤3
2.
当m>5时，
由图，f (x)=|x
2−6 x +7)在[1,m)(m>1)上最大值A = f (m)=m
2−6m+7>0，
在[m,2m−1)上单调递增，最大值B = f (2m−1)>f (m)= A >0，
A ≥2B不可能成立，
综上，实数m的取值范围是[3−❑√3, 3
2)，
故答案为：[3−❑√3, 3
2).
四、解答题
15．（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数f ( x)= x
2−2ax−3．
(1)已知f ( x)在[3,+ ∞)上单调递增，求a的取值范围；
(2)求f ( x)在[−1,2)上的最小值．
【答案】(1)(−∞,3)．
(2)f (x)min={
2a−2,a<−1,
−a
2−3,−1≤a≤2,
1−4 a,a>2. )
【解题思路】（1）根据二次函数的图象特点，可得a≤3；
（2）讨论二次函数的对称轴x =a和区间[−1,2)的三种位置关系，再根据函数的单调性即可求得.
【解答过程】（1）由函数f ( x)= x
2−2ax−3，可得f ( x)的图象开口向上，且对称轴为x =a，
要使得f ( x)在[3,+ ∞)上单调递增，则满足a≤3，所以a的取值范围为(−∞,3)．
（2）由函数f ( x)= x
2−2ax−3，可得f ( x)的图象开口向上，且对称轴为x =a，
当a<−1时，函数f ( x)在[−1,2)上单调递增，所以f ( x)的最小值为f (−1)=2a−2；
当−1≤a≤2时，函数f ( x)在[−1,a)上单调递减，在[a,2)上单调递增，所以f ( x)的最小值为
f (a)=−a
2−3；
当a>2时，函数f ( x)在[−1,2)上单调递减，所以f ( x)的最小值为f (2)=1−4 a，
综上可得，f ( x)在[−1,2)上的最小值为f ( x)min={
2a−2,a<−1,
−a
2−3,−1≤a≤2,
1−4 a,a>2. )
16．（24-25 高一下·广东·阶段练习）已知幂函数f (x)=(3m
2−2m) x
m的定义域不为R.
(1)求f (x)的解析式；
(2)若不等式f (a+1)+ f (2a−3)<0恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)f (x)= 1
3√x
(2)(−∞,−1)∪(
2
3 , 3
2)
【解题思路】（1）由幂函数定义求得m=1或m=−1
3，再结合幂函数定义域不为R验证即可；
（2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解.
【解答过程】（1）由幂函数的定义可得3m
2−2m=1，解得m=1或m=−1
3，
若m=1，则f (x)= x的定义域为R，不符合题意，
若m=−1
3，则f (x)= x
−1
3 = 1
3√x
的定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，符合题意，
所以f (x)的解析式为f (x)= 1
3√x .
（2）由（1）得，f (x)的定义域(−∞,0)∪(0,+ ∞)关于原点对称，且f (−x)=
1
3√−x
=−1
3√x
=−f (x)，
所以f (x)为奇函数，
由f (a+1)+ f (2a−3)<0可得f (a+1)<−f (2a−3)= f (3−2a)，
因为f (x)在(−∞,0)上递减且恒负，在(0,+ ∞)上递减且恒正，
所以{
a+1>0
3−2a>0
a+1>3−2a)或{
a+1<0
3−2a<0
a+1>3−2a)或{
a+1<0
3−2a>0)，
解得a<−1或2
3 <a< 3
2，
所以a 的取值范围为(−∞,−1)∪(
2
3 , 3
2)．
17．（24-25 高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数f (x)= x
2−2ax +a(a∈R).
(1)若函数f (x)在[2a−4,2a−1)上单调，求a的取值范围：
(2)是否存在实数a，使得函数f (x)在区间[−1,1]上的最小值为−2?若存在，求出a的值；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)(−∞,1)∪[4 ,+ ∞)
(2)a=−1或a=3，理由见解析
【解题思路】（1）根据二次函数的对称轴，即可求出其单调区间，根据单调性即可求出求a的取值范围
（2）根据f (a)≤−2求出a的范围，再分类讨论，根据单调性求出最小值，即可求出a的值
【解答过程】（1）由题意可得f (x)= x
2−2ax +a(a∈R)开口向上，对称轴x =−−2a
2×1 =a，
函数在
∴
(−∞,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，
函数
∵
f (x)在[2a−4,2a−1)上单调，
∴2a−1≤a或2a−4≥a，
解得a≤1或a≥4，
∴a的取值范围为：(−∞,1)∪[4 ,+ ∞)
（2）由题意可得f (x)= x
2−2ax +a(a∈R)开口向上，对称轴x =−−2a
2×1 =a，函数在对称轴处取最小
值，
f (x)min= f (a)=a
2−2a⋅a+a=−a
2+a，
若函数f (x)在区间[−1,1]上的最小值为−2，
则f (x)min=−a
2+a≤−2，解得：a≤−1或a≥2，
当a≤−1时，f (x)在区间[−1,1]上单调递增，
此时函数的最小值为f (−1)=(−1)
2−2a×(−1)+a=3a+1=−2，
解得：a=−1，
当a≥2时，f (x)在区间[−1,1]上单调递减，
此时函数的最小值为f (1)=1
2−2a×1+a=−a+1=−2，
解得：a=3，
综上，存在实数a=−1或a=3，使得函数f ( x)在区间[−1,1]上的最小值为−2.
18．（24-25 高一上·北京·期中）已知幂函数f ( x)=(3m
2−2m)x
m(m∈R)在定义域上不单调．
(1)求函数f ( x)的解析式；
(2)函数f ( x)是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若f (a+1)+ f (2a−3)<0，求实数a的取值范围．
【答案】(1)f ( x)= 1
3√x
；
(2)奇函数，理由见解析；
(3)(−∞,−1)∪( 2
3 , 3
2 ).
【解题思路】（1）由幂函数的定义可得m=−1
3或m=1，结合函数f ( x)的单调性验证得解.
（2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【解答过程】（1）由幂函数f ( x)=(3m
2−2m)x
m，得3m
2−2m=1，解得m=1或m=−1
3，
若m=1，则f ( x)= x在定义域R内单调递增，不合题意；
若m=−1
3，则f ( x)= x
−1
3 = 1
3√x
在定义域(−∞,0),(0,+∞)内单调递减，
但f ( x)在定义域(−∞,0)∪(0,+ ∞)内不单调，符合题意；
所以函数f ( x)的解析式为f ( x)= 1
3√x .
（2）函数f ( x)为奇函数，理由如下：
函数f ( x)的定义域(−∞,0)∪(0,+ ∞)关于原点对称，
且f (−x)=
1
3√−x
=−1
3√x
=−f ( x)，所以函数f ( x)为奇函数.
（3）由f (a+1)+ f (2a−3)<0及f ( x)为奇函数，
得f (a+1)<−f (2a−3)= f (3−2a)，
即(a+1)
−1
3 <(3−2a)
−1
3，
而f (x)在(−∞,0)上递减且恒负，在(0,+∞)上递减且恒正，
所以{
a+1>0
3−2a>0
a+1>3−2a)或{
a+1<0
3−2a<0
a+1>3−2a)或{
a+1<0
3−2a>0)，解得a<−1或2
3 <a< 3
2，
所以实数a的取值范围(−∞,−1)∪( 2
3 , 3
2 ).
19．（24-25 高一上·天津滨海新·期末）已知二次函数f (x)= x
2+3 x−a，a∈R．
(1)若a= 4时，求不等式f (x)<0的解集；
(2)若函数f (x)在区间[a,a+1)上具有单调性，求实数a 的取值范围：
(3)解关于x 的不等式f (x)>ax +2a．
【答案】(1)(−4,1)
(2)(−∞,−5
2)∪[−3
2 ,+ ∞)
(3)当a<−3时，解集为：(−∞,a)∪(−3,+ ∞)；当a=−3时，解集为：(−∞,−3)∪(−3,+ ∞)；当
a>−3时，解集为：(−∞,−3)∪(a,+ ∞)．
【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可；
（2）求出函数的对称轴，根据函数f (x)在区间[a,a+1)上单调，对称轴x =−3
2需要位于此区间之外，进
行分类讨论即可求解；
（3）求出x
2+(3−a) x−3a=0的根，然后根据根的大小关系进行分类讨论，求解不等式的解集．
【解答过程】（1）当a= 4，函数f (x)= x
2+3 x−4，
将f (x)<0代入得x
2+3 x−4<0，
(x + 4)(x−1)<0，
不等式的解集为：(−4,1)；
（2）因为f (x)= x
2+3 x−a的对称轴为：x =−3
2，
为了使函数在区间[a,a+1)上单调，对称轴x =−3
2需要位于此区间之外，
a+1≤−3
2或a≥−3
2，
解得：a≤−5
2或a≥−3
2，
因此，实数a 的取值范围为：(−∞,−5
2)∪[−3
2 ,+ ∞)；
（3）将原不等式f (x)>ax +2a代入得x
2+3 x−a>ax +2a，
整理后得：x
2+(3−a) x−3a>0，即(x +3)(x−a)>0，
当
①
a<−3时，不等式的解集为：(−∞,a)∪(−3,+∞)，
当
②
a=−3时，不等式的解集为：(−∞,−3)∪(−3,+ ∞)，
当
③
a>−3时，不等式的解集为：(−∞,−3)∪(a,+∞)，
综上所述：当a<−3时，解集为：(−∞,a)∪(−3,+∞)；当a=−3时，解集为：(−∞,−3)∪(−3,+ ∞)
；当a>−3时，解集为：(−∞,−3)∪(a,+ ∞)．
