文档文本内容
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 平面向量的基本定理...........................................................................................4
知识点2 平面向量的正交分解...........................................................................................4
知识点3 平面向量的坐标运算...........................................................................................5
知识点4 向量坐标的坐标表示...........................................................................................6
题型破译................................................................................................................................................7
题型1 对基向量概念的理解...............................................................................................7
题型2 用基底表示向量
..............................................................................................10
题型3 利用平面向量基本定理求参数
.......................................................................13
【方法技巧】对应系数相等求参数
【易错分析】向量的分解易错
题型4 平面向量的坐标运算.............................................................................................16
题型5 向量共线的坐标表示.............................................................................................17
04
题
真
溯源·考向
知
感
........................................................................................................................19
05
本
课
典例·
考
高
素材........................................................................................................................24
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）理解平面向量基本定
理及其意义，在平面内，当
一组基选定后，会用这组基
来表示其他向量；
（2）借助平面坐标系，掌
握平面向量的坐标表示；
（3）理解向量坐标的运算
及中点坐标公式；
（4）掌握平面向量平行的
坐标表示．
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷，
12 题，5 分
新课标I 卷，第3 题，5
分
全国甲卷，第9 题，5
分
上海卷，第5 题，4 分
新课标I 卷，第3 题，5
分
考情分析：
掌握平面向量的正交分解及其坐
表示；
标
会用坐
表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
标
理解用坐
表示的平面向量共
的条件。
标
线
复习目标：
（1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题；
（2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平
面向量的计算问题；
（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用．
知识点1 平面向量的基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋
λ 2e2
基底
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
自主检测在
中，点
满足
，点
满足
，
，
分别是
，
的中点，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则即可求解.
【详解】
∵
，
，∴
，
.
∵
，
分别是
，
的中点，∴
，
.
又
，
，∴
，即
.
故选：A.
知识点2 平面向量的正交分解
1、正交基、正交分解及标准正交基
（1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基；
（2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解；
（3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．
（4）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
自主检测已知平行四边形
的三个顶点
的坐标分别是
．
(1)用坐标表示
；
(2)求
的模长；
(3)求顶点A 的坐标．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）利用终点坐标和始点坐标即可得解；
（2）求出
的坐标，由模长公式可得；
（3）利用相等向量列方程组求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
.
（2）因为
，
所以
，
所以
，所以
.
（3）设点
坐标为
，则
，
因为四边形
为平行四边形，所以
，
则
，解得
，即点
坐标为
知识点3 平面向量的坐标运算
1、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为标准正交基．对于坐
标平面内的任意向量a，以坐标原点O 为起点作OP＝a（通常称OP为位置向量）．
由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使OP＝xi＋yj．
因此，a＝xi＋yj．
我们把(x，y)称为向量a 在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a 可以表示为a＝(x，
y)．
2、点的坐标与向量坐标间的关系
在平面直角坐标系中，点
的位置被它的位置向量
所唯一确定，设点
的坐标为
，容易看出
，即点
的位置向量
的坐标
也就是点
的坐标；反之，点
在平面直角
坐标系中的坐标也是点
所决定的位置向量
的坐标．
3、平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
数学公式
文字语言表述
向量加法
a＋b＝(x1＋
x 2，
y 1＋
y 2)
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝(x1－
x 2，
y 1－
y 2)
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
向量数乘
λa＝(λx1，
λy
1)
实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相
应坐标的乘积
自主检测若向量
，
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算求得结果.
【详解】由
，
，
则
.
故选：A.
知识点4 向量坐标的坐标表示
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量
，
即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．
自主检测已知向量
，
，若
，则y 的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】由
，则
，解得
.
故选：D.
题型1 对基向量概念的理解
例1-1 若已知
、
是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【分析】由基底的定义可判断选项正误.
【详解】因
、
是平面上的一组基底，则
、
不共线，据此可得ABC 选项所对应向量组均不共线，
可作为基底，
D 选项，
与
共线，则不可以作为一组基底.
故选：D
例1-2（多选）设
，
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】ABD
【分析】根据向量基底的定义逐一分析即可判断.
【详解】对于
：由
可得
和
不共线，
所以
和
能作为基底，故
正确；
对于
：由
可得
和
不共线，
所以
和
能作为基底，故
正确；
对于
：由
，可得
，
所以
和
共线，故不能作为基底，故
错误；
对于
：由
可得
和
不共线，
所以
和
能作为基底，故
正确.
故选：
.
方法技巧
向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1 个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【变式训练1-1】若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可.
【详解】对于A，设存在唯一的实数
使
，
则
，此方程无解，故
能作为平面向量的基底，故A 不符合题意；
对于B，设存在唯一的实数
使
，
则
，此方程无解，故
能作为平面向量的基底，故B 不符合题意；
对于C，由
，所以
与
共线，
故
不能作为平面向量的基底，故C 符合题意；
对于B，设存在唯一的实数
使
，
则
，此方程无解，故
能作为平面向量的基底，故D 不符合题意.
故选：C.
【变式训练1-2】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．与向量
方向相同的单位向量的坐标为
B．
为非零向量，则向量
在向量
上的投影向量为
C．
为非零向量，且相互不共线，则
D．若
与
共线，则
【答案】AD
【分析】对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算，可得其正误；对于
C，根据数量积的概念，由向量的减法，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误.
【详解】对于A，与向量
方向相同的单位向量为
，故A 正确；
对于B，向量
在向量
上的投影向量为
，故B 错误；
对于C，由
与
为数字，且
不共线，则
，故C 错误；
对于D，由
与
共线，则
，解得
，故D 正确.
故选：AD.
【变式训练1-3】若
是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①
和
②
和
③
和
④
和
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解.
【详解】对于①中，由
和
，可得
，
所以
和
是共线向量，不能作为一组基底向量；
对于②中，设
，可得
，方程组无解，
所以
和
不共线，可以作为一组基底向量；
对于③中，设
，可得
，方程组无解，
所以
和
不共线，可以作为一组基底向量；
对于④中，设
，可得
，解得
所以
和
是共线向量，不能作为一组基底向量.
故选：B.
题型2 用基底表示向量
例2-1 已知点
为
的重心（
三条中线的交点），记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解.
【详解】取
的中点为
，连接
，如下图所示：
因为
是
的重心，所以
.
故选：B.
例2-2 在
中，
为
边上的中线，
为
上靠近
的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依据平面向量共线基本定理和向量的加减运算法则求解.
【详解】如下图所示，
.
故选：D
方法技巧
判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
由基的定义可知，要判断两个向量a，b 能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共
线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb 成立．另外，作为基的向量必为非零向量
【变式训练2-1】若点O 是平行四边形
两条对角线的交点，
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算即可求解.
【详解】
．
故选：B．
【变式训练2-2·变考法】（多选）在
中，已知
是
的中点，若P 是
上
的一点，且满足
与
交于点E，则（ ）
A．
B．
在
上的投影向量为
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据向量的线性运算可得；对于B，由
，结合
可直接得到投
影向量；对于C，根据向量的数量积可直接计算判断；对于D，设
，再结合
三点共线，
列出方程组可求
.
【详解】
对于A，
，
，故A 正确；
对于B，
，且
，
在
上的投影向量为
，故B 错误；
对于C，
是
的中点，
，
则
，
又
，所以
，
即
，故C 正确；
对于D，设
，
三点共线，
，
则
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式训练2-3·变载体】在平行四边形
中，
，
，若
为线段
上靠近
的三等分点，
交
于
，则
.（用
，
表示）
【答案】
【分析】由
得到
，结合图形，由平面向量的线性运算可得结果.
【详解】由
为线段
上靠近
的三等分点，则
，
由题意，易得
，所以
，
故有
，
所以
.
故答案为：
.
题型3 利用平面向量基本定理求参数
例3-1
在
中，点
是
边的中点，点
是
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算可得出
关于
、
的表达式，结合平面向量基本定理求出
、
的值，即可得解.
【详解】如下图所示：
因为
为
的中点，所以
，
因为
为
的中点，所以
，
所以
，
因为
、
不共线，且
，所以
，
，
故
.
故选：B.
例3-2（2026 高三·全国·专题练习）已知点M 为
中
边上的中点，点N 满足
，过点N
的直线与
分别交于P，Q 两点，且设
，则
的值为（ ）
A．5
B．6
C．9
D．10
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理可把
用
表示出来，再由平面向量共线定理的推论即可得出答案.
【详解】根据题意，得
，
三点共线，
，即
.
故选：D.
例3-3 如图所示，
中，点
是线段
的中点，
是线段
上的动点，若
，则
的值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．8
【答案】A
【分析】由题意可得
，从而可得
，再由
三点共线，即可得答案.
【详解】因为点
是线段
的中点，则
，
则
，
因为
三点共线，
所以
.
故选：A.
方法技巧
若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表
示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，
解方程或方程组即得．
【变式训练3-1】在平行四边形
中，
，
交
于点
，若
，则
.
【答案】
/
【分析】由三角形相似推出
，利用平面向量基本定理将
用
线性表示，对照系数即得.
【详解】如图，
中，
，则
与
相似，
因
，则
，
故
，
即
，故
.
故答案为：
.
【变式训练3-2】如图所示，在
中，
是BN 上的一点，若
，则实数m
的值为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得
，再利用共线向量的推论列式计算作答.
【详解】在
中，
，即
，
又
，即
，
因此
，而点B，P，N 共线，于是
，解得
.
故答案为：
题型4 平面向量的坐标运算
例4-1 与向量
平行的单位向量是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】与向量
平行的单位向量是
，即可求解．
【详解】因为与向量
平行的单位向量是
，
，
所以所求单位向量为
，即
或
故选：D
例4-2 在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为
，若向量
，则点A 的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点A 的坐标为
，根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向
量相等列出方程，计算即可求出点A 的坐标.
【详解】设点A 的坐标为
，因为点B 的坐标为
，
所以向量
，
向量
，所以
，解得
，
所以点A 的坐标为
.
故答案为：
方法技巧
求向量的坐标的一般方法
1、数形结合法：根据正交分解，求向量在
轴、
轴上的坐标分量；
2、平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标；
3、若已知
、
，则
．
【变式训练4-1】已知向量
，
，则
与
（ ）
A．互为相等向量B．互为相反向量
C．相互垂直
D．均为零向量
【答案】B
【分析】由坐标表示
可得答案.
【详解】因为
，所以
，即
互为相反向量．
故选：B．
【变式训练4-2·变载体】已知点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量的坐标运算即可求解.
【详解】为
，所以
，
则
．
故选：A
题型5 向量共线的坐标表示
例5-1 已知非零向量
，
，若A，B，C 三点共线，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．无解
【答案】A
【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可.
【详解】根据A，B，C 三点共线可知存在实数
满足
，
可知
且
，
解得
，此时
，满足题意.
故选：A
例5-2 已知平面向量
，
，且
，则
.
【答案】
/
【分析】根据向量平行的坐标表示的结论求参数
的值.
【详解】由
，得
.
故答案为：
.
例5-3 已知点
，点
，且
，则点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点
，根据平面向量的坐标运算及
，可得出关于
、
的方程组，解出这两个
未知数的值，即可得出点
的坐标.
【详解】设点
，因为点
，点
，且
，
所以
，即
，解得
，
故点
的坐标为
.
故答案为：
.
方法技巧
1、判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量
平行的坐标来判断，即先求出
，
，若
，则
．
2、由向量共线求参数的值
已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知
两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的
方程或方程组求解．
【变式训练5-1】已知
，
，若线段
的一个三等分点为
，则
的坐标为
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】B
【分析】由题意
或
，结合向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】由线段
的一个三等分点为
，得
或
，
若
，则
，所以
；
若
，则
，所以
．
故选：B.
【变式训练5-2】设向量
其中
为坐标原点，
，若
三点共线， 则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由向量共线的坐标表示可得
，再应用基本不等式及“1”的代换求目标式的最小值.
【详解】由
，
由
三点共线，且
，
所以
，
则
，
当且仅当
时取等.
故答案为：6
【变式训练5-3 已知向量
，
，
，若
与平行，则实数
.
【答案】
【分析】由题意
，结合向量平行的充要条件列方程即可求解.
【详解】由题意
，若
与平行，则
，解得
.
故答案为：1.
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
，求出
，进而可以用向量
表示出
，即可解出．
【详解】因为
，
，
由
平方可得，
，所以
．
，
，
所以，
，
又
，即
，
所以
，即
，
故选：D.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
是
”
“
的必要条件
”
B．“
是
”
“
的必要条件
”
C．“
是
”
“
的充分条件
”
D．“
是
”
“
的充分条件
”
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
3．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量
满足
，
所以
.
故选：B
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
5．（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，
用
表示
；若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合
为
的中点进行求解；空2：用
表示出
，结合上一
空答案，于是
可由
表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
故答案为：
；
.
6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆
，
，A 是
的右顶点．
(1)若
的焦点
，求离心率e；
(2)若
，且
上存在一点P，满足
，求m；
(3)已知AM 的中垂线l 的斜率为2，l 与
交于C、D 两点，
为钝角，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程可得
，再由焦点坐标得，从而求出
得离心率；
（2）设点
坐标，由向量关系
坐标化可解得
坐标，代入椭圆方程可得
；
（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不
等式
，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得
范围.
【详解】（1）由题意知，
，则
，
由右焦点
，可知
，则
，
故离心率
.
（2）由题意
，
由
得，
，
解得
，代入
，
得
，又
，解得
.
（3）由线段
的中垂线的斜率为
，所以直线
的斜率为
，
则
，解得
，
由
得
中点坐标为
，
故直线
，显然直线过椭圆内点
，
故直线与椭圆恒有两不同交点，
设
，
由
消
得
，
由韦达定理得
，
因为
为钝角，则
，且
，
则有
，
所以
，
即
，解得
，
又
，
故
，即
的取值范围是
.
1.已知
的两条对角线相交于点O，以
，
为基向量，则
.
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，结合图形即可得出答案.
【详解】
根据平行四边形的性质可知，
.
故答案为：
.
2.已知
，
，
，当
时，求实数x，y 应满足的关系式．
【答案】
【分析】根据已知求出
，进而根据向量共线的充要条件列出关系式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
.
因为
，所以
，
所以有
，
整理可得，
.
3.已知
，
，
，求
的顶点
的坐标．
【答案】
【分析】设
，根据
得到方程组，解得即可.
【详解】设
，因为
，
，
，
所以
，
，
在
中，
，则
，解得
，即
.
4.已知
，
，求
的坐标．
【答案】
【分析】根据平面向量的坐标与线性运算求解即可.
【详解】
5.已知向量
，
，
，求
，并用标准正交基
表示.
【答案】
，
【分析】根据向量的线性坐标运算即可求解向量坐标，根据坐标定义即可用标准正交基表示.
【详解】因为向量
，
，
，
所以
，
所以根据向量坐标概念易知
.
6.已知
，
，求
，
，
的坐标．
【答案】
，
，
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】由题意，
，
，
.
7.如图，点B 与点C 关于点A 对称，点D 在线段OB 上，
，DC 和OA 交于点E.设
，
，用
和
表示向量
，
.
【答案】
，
【分析】根据向量数乘运算及平面向量基本定理求解.
【详解】∵点
与点
关于点
对称，
∴
是
的中点，
，
，
，
，
且
，
.
综上：
，
.
14．（9-10 高一下·吉林松原·期末）如图，在
中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，
.
求证：M，N，C 三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】利用向量证明三点共线.
【详解】设
，
则
所以
，
又因为
有公共起点C，所以M，N，C 三点共线.
