专题4.2 三角函数的图像与性质
重难点题型一 由图像，求三角函数解析式
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则下
列说法正确的是（ ）
目录●重难点题型分布
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．将
的图象向右平移
个单位长度后所得函数的图象在
上单调递增
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求sinx 型三角函数的单调性、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、由图象确定正
（余）弦型函数解析式、解正弦不等式
【分析】由图象求出
的表达式后逐一验证选项即可.
【详解】由函数图象可知，最小正周期为
，所以
，
将点
代入
，得
，
又
，所以
，故
，故A 错误；
所以
，故B 错误；
令
，则
，所以
，
，解得
，
，
所以不等式
的解集为
，故C 正确；
将
的图象向右平移
个单位长度后，得到
的图象，令
，
，
解得
，
，
令
得
，因为
，故D 错误.
故选：C.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）函数
的部分图象如图所示，下列
说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的最小正周期为
C．函数
在
上单调递减
D．函数
的图象上的所有点向左平移
个单位长度后，所得的图象关于
轴对称
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】根据图象求出函数
的解析式，再对选项中的命题分析判断正误即可．
【详解】由
得
，
，
所以
，又
，所以
，故A 错误；
时，
，所以
，
，故B 错误；
，令
，则
，
时，
，此时
单调递增，
单调递减，
故
在
上单调递减，故C 正确；
的图象上的所有点向左平移
个单位长度，
得到
，图象关于原点对称，故D 错误.
故选：C.
3．（2023·山东·一模）（多选题）已知函数
的部分图象如图
所示，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．当
时，
的值域为
C．将函数
的图象向右平移
个单位长度可得函数
的图象
D．将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的
解析式
【分析】先根据
中
，
，
的几何意义，求得
的解析式，再结合正弦函数的图象与
性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．
【详解】由图可知，
，函数
的最小正周期
，故A 正确；
由
，知
，
因为
，所以
，所以
，
，即
，
，
又
，所以
，所以
，
对于B，当
时，
，所以
，
所以
的值域为
，故B 错误；
对于C，将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到
的图象，故C 正确；
对于D，将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到
的图象，
因为当
时，
，所以得到的函数图象关于点
对称，故D 正确．
故选：ACD．
4．（23-24 高一上·四川宜宾·期末）（多选题）已知函数
的
部分图象如图所示，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．当
时，
的值域为
C．将函数
的图象向右平移
个单位长度可得函数
的图象
D．将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）
弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式
【分析】利用图象求函数解析式，根据解析式求函数最小正周期和区间内的值域，求出函数图象变换后的
解析式，判断新图象的对称中心.
【详解】由函数图象可知，
，
的最小正周期为
，A 选项正确；
，
，
，
则
，由
，得
，
所以
.
当
时，
，
，
的值域为
，B 选项错误；
将函数
的图象向右平移
个单位长度可得函数
的图象，C 选项
错误；
将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到的函数
的图
象，
，函数
的图象关于点
对称，D 选项正确.
故选：AD
5．（2023·广西·模拟预测）已知函数
（
，
）的部分图象如图所示．将函数
图象上所有的点向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则
的值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数图象的综合应用、求图象变化前
（后）的解析式
【分析】根据图象可知半个周期，求得
，代入点的坐标结合已知可求得
，再利用图象平移即可得
出
的解析式，进而求出
.
【详解】由图象可知
的最小正周期为
，
解得
，
代入
可得
，
解得
，
又
，所以
，
故
，
左移
个单位长度得
，
故
．
故答案为：
6．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数
，（
，
，
）的大致图象
如图所示，将函数
的图象上点的横坐标拉伸为原来的3 倍后，再向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则函数
的一个单调递增区间为 .
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求含cosx 的函数的单调性
【分析】先根据
的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出
的解析式，再根据函数图
象的伸缩变换和平移变换得到
的解析式，后可求
的单调递增区间.
【详解】由图可知
， 得
，所以
，
，
，
所以
，
由图
，得
，
，
又
，所以
，
故
，
由题意
，
令
，
，得
，
故函数
的单调递增区间为
，
，
当
时，函数
的一个单调递增区间为
，
故答案为：
（答案不唯一）
重难点题型二 三角函数与其它函数的综合问题（识图）
1．（24-25 高三上·重庆·开学考试）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】求出
为奇函数，排除AB；由
排除D，得到答案.
【详解】
定义域为R，
，函数
为奇函数，
图象关于原点对称，排除AB；
又
，排除D.
故选：C.
2．（2025·天津南开·二模）函数
的部分图象大致为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】由奇偶函数的定义可排除BC，再由特值法可排除A.
【详解】
的定义域为
，
则
，
所以
为奇函数，故排除BC，
令
，则
或
，
则
或
，解得：
或
，
所以当
时，
的最小
为1，
则
，故A 错误，D 正确.
故选：D.
3．（2025·四川成都·三模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】根据函数
为奇函数，且
时，
可得解.
【详解】根据题意，函数
定义域为
，
且
，
所以函数
为奇函数，图象关于原点对称，
又
时，
，所以
，且
恒成立，
则
，所以只有D 满足.
故选：D
4．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】函数图象关于
轴对称，排除A ，C，由
排除B，利用排除法即可.
【详解】函数图像关于
轴对称，则函数是偶函数，
对于A，
,
,
,
即函数
是奇函数，故A 错，
对于B，
，
，
，
是偶函数，
当
时，
，故B 错，
对于C ，
，
，
，
是奇函数，故C 错，
对于D，
，
，
，
是偶函数，
，符合题意，故D 正确.
故选：D
5．（2024·福建·模拟预测）函数
在
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断.
【详解】因为
，所以
，
所以函数
为偶函数，图象关于
轴对称，故排除答案CD，
又
，
，
设
，
，则
，
.
所以
在
上为增函数，又
，
所以
在
上恒成立，即
在
上单调递增，故排除B.
故选：A
6．（2025·天津河北·二模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、求含cosx 的函数的
奇偶性
【分析】根据奇偶性的定义判断
为奇函数，再结合
的符合及排除法，即可得.
【详解】由
，且定义域为R，
所以
为奇函数，排除A、B；
，排除D.
故选：C
重难点题型三 三角函数图像变换
1．（2025·甘肃·模拟预测）若将函数
的图象向右平移
个单位长度后，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式
【分析】首先化简函数
的解析式，再利用平移规律求函数
的解析式，最后代入求值.
【详解】
，
将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，
所以
.
故选：C
2．（2025·湖北·三模）将函数
的图象向左平移
个单位长度后与函数
的图象重合，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求图象变化前（后）的解析式
【分析】利用图象平移法则，得到向左平移
个单位长度后的函数为
，再结合条件
得到
，即可求解.
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度后，
得到
，
由题有
，即
，取
，得到
，
故选：A.
3．（2025·江苏南京·二模）把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再将
图象上所有的点向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
.
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求图象变化前（后）的解析式
【分析】求出把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将
图象上所有的点向右平移
个单位长度后的函数.
【详解】把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）后的函数为
，
再将图象上所有的点向右平移
个单位长度后的函数为
.
故选：B.
4．（2025·天津和平·二模）函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，要
得到
的图象，只需将函数
的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动
个单位长度
C．横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度
D．横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再向左平行移动
个单位长度
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求图象变化前
（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
【分析】由图象，根据正弦函数的图象与性质求得
，结合三角函数图象的平移伸缩变
换即可求解.
【详解】由图可知，
，得
，
又
，由
解得
；
将点
代入
，得
，
在函数单调减区间上，则
，
，
解得
，又
，所以
，.
得
.
将
的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度，
得
的图象.
故选：A
5．（2025·河南南阳·模拟预测）（多选题）将函数
的图象上每个点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的零点为
，
C．
图象的对称轴方程为
，
D．
的单调递减区间为
，
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】求函数的零点、求cosx 型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象
变化前（后）的解析式
【分析】由图象变换得到
解析式，根据余弦型函数的周期、零点、对称轴、单调递减区间即可计算得
到正确选项.
【详解】
的图象上每个点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变）得到
图象，
再将所有的点向左平移
个单位长度得到
的图象，
对于A，
的最小正周期
，A 错误；
对于B，令
，得
，解得
，则
的零点为
，B 正确；
对于C，令
，得
，则
图象的对称轴方程为
，C 正确；
对于D，令
，得
，
的单调递减区间为
，D
错误.
故选：BC
6．（2025·江西九江·三模）若将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，
则
．
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】诱导公式二、三、四、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先根据余弦函数相位变换及诱导公式求得函数
解析式，然后利用特殊角的余弦值求解即可.
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度，所得图象对应的函数解析式为
，
所以
．
故答案为：
7．（2025·北京昌平·二模）已知将函数
的图象向右平移
个单位后，所得函数图象关于
原点对称，则常数
的一个取值为 ．
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】首先求出平移后的函数图象解析式，再根据余弦函数的性质求出
的取值.
【详解】将函数
的图象向右平移得到
的图象，
又
的图象关于原点对称，所以
，
即
，
，当
时，
.
故答案为：
（答案不唯一）.
8．（2025·河南·一模）已知函数
的最小正周期为
，若将
的图象
向右平移
个单位长度后所得的图象与曲线
关于直线
对称，则
．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的周期性求值
【分析】由函数
的最小正周期为
，结合周期公式求
，再求出平移后图象的函数解析式结合条件列
方程求
即可.
【详解】因为函数
的最小正周期为
，且
，
所以
，故
，
所以
，
将
的图象向右平移
个单位长度可得
的图象，
因为
的图象与曲线
关于直线
对称，
所以
，
即
，
所以
或
恒成立，
化简可得
或
（不是对任意实数
恒成立）
解得
，
又
，所以
．
故答案为：
.
重难点题型四 三角函数的单调性及其应用
1．（2025·陕西汉中·二模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求sinx 型三角函数的单调性
【分析】利用正弦函数的单调性列出不等式求解即可.
【详解】依题意，函数
的递增区间，即为函数
的递减区间，
由
，解得
，
所以
的单调递增区间为
.
故选：A.
2．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数
单调递减的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求正切型三角函数的单调性
【分析】整体代入由正切函数的单调性可得.
【详解】令
，解得
，
令
，可得
.
故选：A.
3．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用正切函数的单调性求参数
【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解.
【详解】当
时，
，由
在区间
上单调递增，
得
，解得
.
故选：C.
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数
，在区间
上单调递
增，在
上单调递减，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】根据题设有
，进而求得
、
，再求函数值.
【详解】由题设
或
，
，
所以
或
，则
（舍）或
，
所以
，
，又
，则
，
所以
，故
.
故选：A
5．（2025·天津南开·二模）函数
的部分图象如图所示，则
的单
调递增区间为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx 型三角函数的单调性
【分析】利用函数图象确定周期，从而可求出
，再利用最低点代入可求出
，再由正弦函数的单调增区
间即可求解.
【详解】
由图可得：周期
，所以
，
代入最低点
得：
，
可得：
，解得
，
所以有
，
再由
，解得
，
故函数
的增区间为
，
故选：A.
6．（2024·全国·二模）已知函数
，
，则函数
的单调递减区间为
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求cosx 型三角函数的单调性
【分析】利用整体代换法求出余弦函数的单调递减区间即可.
【详解】由题意知，
，
由
，得
，
令
，得
，令
，则
，
即函数
的单调递减区间为
.
故答案为：
7．（2025·山西·三模）已知
．
(1)求函数
的最小正周期及单调递增区间；
(2)设
，若函数
和
在
有相同的最大值，求
的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为
，
，
(2)
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、求sinx 型三角
函数的单调性
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得
，利用
和整体代换法计算
即可求解；
（2）根据正弦函数的图象与性质求出
在
上的最大值，进而得
在
上的最大值，
建立关于
的方程，得
，即可求解.
【详解】（1）
，
所以函数
的最小正周期为
．
由
，
，
得
，
，
所以
的单调递增区间为
，
．
（2）当
，得
，
所以
在
上的最大值为
，
则
在
上的最大值也是
．
由
，
，得
，
，
因为
，所以
，
，
又
，所以
或
．
综上,
的取值范围为
.
8．（2025·陕西·二模）已知函数
.
(1)求
的最小正周期及单调递增区间；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
，
(2)
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、求sinx 型三角函数的单调性
【分析】（1）由正余弦二倍角公式及辅助角公式化简得到
，再由周期公式及整体代
入法即可求解；
（2）由余弦二倍角公式即可求解.
【详解】（1）
，
最小正周期
.
令
，得
.
因此
的单调递增区间为
.
（2）由
，得
.
所以
.
重难点题型五 三角函数的周期性及其应用
1．（2025·甘肃·模拟预测）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期
【分析】结合二倍角公式及辅助角公式化简
，进而结合正弦型函数的周期公式
求解即可.
【详解】由
，
则函数
的最小正周期
.
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）设函数
.已知
，
，且
的最小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：
为
的最小值点，
为
的最大值点，
则
，即
，
且
，所以
.
故选：B.
3．（2021·全国乙卷·高考真题）函数
的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．
和
B．
和2
C．
和
D．
和2
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式化简
，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，
，所以
的最小正周期
为
，最大值为
.
故选：C．
4．（2025·甘肃白银·三模）函数
的最小值和最小正周期分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】二倍角的余弦公式、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的最值
【分析】利用平方关系及二倍角余弦公式化简
，再根据三角函数的性质求解即可．
【详解】因为
，
所以当
时，函数
取最小值
，
函数
的最小正周期为
．
故选：C
5．（2025·陕西渭南·二模）下列函数中，最小正周期为
，且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求
cosx 型三角函数的单调性
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性与单调性判断．
【详解】选项A 中
，选项B 中
，选项C 中
，选项D 中
，排除AB，
时，
，
递减，则
递增，
时，
，
递增，则
递减，
故选：C．
6．（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为
，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求sinx 型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求cosx 型三角函数的单调性、求正弦
（型）函数的最小正周期
【分析】根据三角函数性质对选项中的函数周期、单调性逐一判断可得结论.
【详解】对于A，易知
的最小正周期为
，但在区间
上单调递减，即A 错误；
对于B，易知
的最小正周期为
，所以B 错误；
对于C，
的最小正周期为
，且在区间
上单调递增，即C 正确；
对于D，显然
的最小正周期为
，即D 错误.
故选：C
7．（2025·浙江·二模）（多选题）已知函数
，则下列正确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
在区间
上单调递减
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】求cosx 型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及
对称中心
【分析】通过三角恒等式化简函数表达式为
，利用函数周期性的定义可判断A
选项；利用函数对称性的定义可判断B,C 选项；利用复合函数的单调性可判断D 选项.
【详解】
，
因为
,
是函数的一个周期，故A 正确；
因为
,
不恒为0，故B 错误；
因为
, 所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
当
时，
,则
在
时单调递增，且
又
单调递减，由复合函数的单调性可得
在区间
上单调递减，故D 正确.
故选：ACD.
8．（2025·陕西汉中·一模）若函数
（
）的最小正周期为
，则
【答案】
/
【难度】0.94
【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期
【分析】利用余弦型函数周期公式计算得解.
【详解】由函数
的最小正周期为4，得
，所以
.
故答案为：
重难点题型六 三角函数的奇偶性及其应用
1．（2025·甘肃白银·三模）若函数
的导函数
为偶函数，则
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx 的函数的奇偶性、导数的加减法
【分析】逐一判断各选项中导函数
的奇偶性即可.
【详解】对于选项A，
为奇函数，A 错误；
对于选项B，
为非奇非偶函数，B 错误；
对于选项C，
，且
，
，
，
则
不是偶函数，C 错误；
对于选项D，
为偶函数，D 正确.
故选：D.
2．（2025·江西·三模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的应用、求余弦（型）函数的奇偶性
【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由
，
，可排除B.
【详解】因为
，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当
时，
，所以
，排除B.
故选：A.
3．（2025·内蒙古通辽·三模）已知函数
是偶函数，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数
【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可.
【详解】由
是偶函数，
则
，
，即
，
，
则
时，
，
时，
，
时，
，
则
的最小值是
.
故选：A.
4．（2024·全国·模拟预测）若函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数
【分析】分0 在定义域内和0 不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案.
【详解】若0 在定义域内，由
时，
得，
；
若0 不在定义域内，由
时，
无意义，得
．
综上，
．
故选：C．
5．（2025·湖北鄂州·一模）将函数
向右平移
个单位后，所得的函数
为奇函
数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】辅助角公式、求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数
【分析】利用辅助角公式化简函数
的解析式，利用三角函数图象变换可得出
的解析式，利用正
弦型函数的奇偶性可求得
的表达式，即可求得正数
的最小值.
【详解】因为
，
将该函数的图象向右平移
个单位后，所得的函数
为奇函数，
则
，且有
，则
，
因为
，故当
时，
取最小值
.
故选：C.
6．（2022·全国·模拟预测）若
的最大值和最小值分别为
，
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、求正弦（型）函数的奇偶性
【分析】构造
，确定函数为奇函数，
，根据奇函数性质计算得到答案.
【详解】设
，函数定义域为
，则
，即
为奇函数，
其图象关于原点对称，则
的最大值与最小值之和为0，
，故
.
故选：D.
7．（2025·陕西咸阳·三模）写出一个同时具有下列性质的函数
的解析式： ．
①
是奇函数 ②
是偶函数 ③函数
有极值
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、由余弦（型）函数的奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据①③可取
，再根据正弦函数的性质结合诱导公式写出符合题意的函数形式
即可.
【详解】因为
是奇函数及函数
有极值，
因此不妨假设
，
可知
，因为
是偶函数，
所以
，可以取
，所以
故答案为：
（答案不唯一）
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数
，
的部分图象如图所示．若将
函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象．若函数
为奇函数，则的最小值
是 ．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正弦（型）函数的奇
偶性求参数
【分析】根据给定条件，求出函数
的解析式，进而求出
的解析式，再利用正弦函数的性质列式
计算即得.
【详解】由函数的图象知，
的周期
，
，
又
，解得
，而
，则
，
于是
，
，
由函数
为奇函数，得
，而
，则
，
所以当
时，
.
故答案为：
9．（2024·浙江杭州·模拟预测）设
，函数
(1)是否存在
使得
为奇函数，说明理由；
(2)若方程
有解，求
的取值范围
【答案】(1)存在，理由见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求
值、辅助角公式
【分析】（1）由奇函数可得
，得出
，代入化简可得
，可得结果；
（2）代入结合两角和与差的正弦公式化简可得
，结合三角函数的有界性以
及辅助角公式可得
，解出
即可.
【详解】（1）若存在
使得
为奇函数，则有必要条件
，
代入解得
，即
，
由于
，
时，
，满足要求
因此存在
，使得
为奇函数．
（2）方程
有解，
即
有解，
化简得
，
注意到
，
因而
，
即
，平方得
，
解得
重难点题型七 三角函数的对称性及其应用
1．（2025·山东·二模）已知函数
在
上单调递增，且其图象关于点
对称，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、求函数值
【分析】根据给定条件，利用最小正周期及对称中心求出
，进而求出函数值.
【详解】由函数
在
上单调递增，得
，
解得
，由
的图象关于点
对称，得
，
解得
，于是
，
，
所以
.
故选：C
2．（24-25 高三下·安徽·阶段练习）把函数
的图象向左平移
个单位长度后，得
到函数
的图象，则
的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的正弦公式、
辅助角公式
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用平移变换求出
，进而求出其对称轴方程得解.
【详解】依题意，
，
则
，
由
，解得
，
因此函数
的图象的对称轴方程为
，
取
，得
，C 正确，不存在整数
使得ABD 成立.
故选：C
3．（2024·陕西·模拟预测）已知函数
，则
的图像（ ）
A．关于直线
对称
B．关于直线
对称
C．关于
中心对称
D．关于
中心对称
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题
【分析】利用三角恒等变换公式化简函数
，再结合余弦函数的图象性质逐项判断即得.
【详解】
，
对于A，
，函数
关于直线
对称，A 正确；
对于B，
，函数
关于直线
不对称，B 错误；
对于C，
，函数
关于
不成中心对称，C 错误；
对于D，
，函数
关于
中心对称，D 错误.
故选：A
4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数
的图象如图所示，将其向左平移
个单位长度，得到
的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
在
上单调递减
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求cosx 型三角函数的
单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】利用函数
的图象过点
，代入解析式中即可求得
的值，判断A 选项；根据
的值可写
出函数
的解析式，再写出对称中心即可判断B 选项；通过图象平移得到
的解析式，进而可求
得对称轴，判断C 选项；利用
的解析式写出
的解析式，可判断单调性.
【详解】对于A 选项，由图可知，函数
的图象过点
，
，
，
，解得
，
，
，故A 正确；
对于B 选项，
，令
，则
，
的图象关于
对称，
当
时，函数
关于
对称，故B 正确；
对于C 选项，将
向左平移
个单位长度，得到
，
则
的对称轴为
，故C 错误；
对于D 选项，函数
，
当
时，
，
函数
在
上单调递减，故D 正确.
故选：C.
5．（2024·天津河东·一模）关于函数
，下列结论正确的为（ ）
A．
的最小正周期为
B．
是
的对称中心
C．当
时，
的最小值为0
D．当
时，
单调递增
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期
【分析】利用正切函数的最小正周期的计算方法判断A，利用对称中心的计算方法判断B，举反例判断C，
D 即可.
【详解】对于A，易知
，则
的最小正周期为
，故A 错误，
对于B，易知
，
，解得
，
，当
时，
，
此时对称中心为
，故B 正确，
对于C，当
时，
，故
的最小值不为0，故C 错误，
对于D，易知
，
，故当
时，
并非单调递增，故D 错误.
故选：B
6．（2025·浙江·二模）（多选题）已知函数
，则下列正确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
在区间
上单调递减
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】求cosx 型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最
小正周期
【分析】通过三角恒等式化简函数表达式为
，利用函数周期性的定义可判断A
选项；利用函数对称性的定义可判断B,C 选项；利用复合函数的单调性可判断D 选项.
【详解】
，
因为
,
是函数的一个周期，故A 正确；
因为
,
不恒为0，故B 错误；
因为
, 所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
当
时，
,则
在
时单调递增，且
又
单调递减，由复合函数的单调性可得
在区间
上单调递减，故D 正确.
故选：ACD.
7．（2025·河南·二模）（多选题）已知如图是函数
的部分图象，则
（ ）
A．
的图象关于
中心对称
B．
在
单调递增
C．
在点
处的切线方程为
D．
的图象向左平移
个单位长度后为偶函数
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求cosx 型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对
称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据函数图像上的点,求出函数参数,根据函数解析式判断各选项正误.
【详解】函数图形经过
,代入得
,解得
,因为
，
.
过
点,得
,解得
,
有图像可知
,即
，解得
，则
.
可得
，
对称中心为
,解得
,所以A 错误.
函数在
上单增,解得
当
时,增区间为
,所以B 正确.
可知
,则
,
切线方程为
,化简得
,所以C 正确.
平移后得
,是偶函数,所以D 正确.
故选:BCD.
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）（多选题）已知函数
的部分图象如图所
示，则（ ）
A．
B．
C．曲线
的图象与y 轴交点的纵坐标为
D．函数
的图象关于直线
对称
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】求正切（型）函数的对称中心、由图象确定正切（型）函数解析式
【分析】对于A，由图结合周期公式可求出
进行判断，对于B，由图可知，
的图象关于点
对
称，代入函数中可求出
进行判断，对于C，由选项AB 可得
的解析式，然后求解
进行判断，对
于D，通过计算
进行判断.
【详解】对于A，由图可知，
的最小正周期为
，由
得，
，A 错误；
对于B，由于
,由图可知，
的图象关于点
对称，所以
，解得
，
B 正确；
对于C，由上面得，
，令
得，
，
所以曲线
与y 轴交点的纵坐标为
，C 正确；
对于D，因为
，所以
的图象关于
对称，
所以函数
的图象关于直线
对称，D 正确.
故选：BCD.
9．（2025·北京昌平·二模）已知将函数
的图象向右平移
个单位后，所得函数图象关于
原点对称，则常数
的一个取值为 ．
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】首先求出平移后的函数图象解析式，再根据余弦函数的性质求出
的取值.
【详解】将函数
的图象向右平移得到
的图象，
又
的图象关于原点对称，所以
，
即
，
，当
时，
.
故答案为：
（答案不唯一）.
10．（2025·湖南常德·一模）已知函数
在区间
上有且仅有1 个零点和1 条对
称轴，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用cosx（型）函数的对称性求参数
【分析】求出相位的取值范围，再由零点及对称轴情况列出不等式求解.
【详解】当
时，
，
由函数
在区间
上有且仅有1 个零点和1 条对称轴，
，
得
或
，解得
或
，
则
，所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
重难点题型八 三角函数的值域问题（最大值与最小值）
1．（2025·山西·模拟预测）设函数
在区间
的最小值和最大值分别为
和
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】由正弦函数的性质，即可得到结果.
【详解】若
，则
，
由正弦函数的性质可知，
当
时，函数取得最小值，即
，
当
时，函数取得最大值，即
，
所以
.
故选：B
2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
的图象关于
对称，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式化简函数
，又由函数的图象关于
对称，得到
，计算即可求解.
【详解】由题意，函数
，
又由函数的图象关于
对称，所以
，
即
，解得
，
即
，所以
的最大值为
.
故选：D.
3．（2025·海南·三模）已知函数
在
上的最小值为
，则
的最小值
为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】通过换元
，问题转换成
在
可取到
，进而可
求解；
【详解】由
，可得：
，
令
由题意可知：
在
可取到
，
结合余弦函数的性质可知需满足：
，
解得
，
所以
的最小值为
，
故答案为：
4．（2022·安徽安庆·三模）函数
的值域是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求cosx(型)函数的值域、求含cosx 的二次式的最值
【分析】先化简
，再根据余弦函数和二次函数的性质求解即可.
【详解】
，
因为
，
，
令
，
，
所以
，对称轴为
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
，
所以函数
的值域是
.
故答案为：
.
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数
．
(1)若
的最小正周期为
，求当
时
的值域；
(2)若
在区间
内无零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）先利用辅助角公式将函数化简，再根据周期公式求出
的值，最后结合给定区间求出函数
的值域.
（2）通过令函数值为
求出零点表达式，再根据函数在给定区间内无零点的条件，确定
的取值范围.
【详解】（1）由已知，
．
因为
的最小正周期为
，则
，所以
．
当
时，
，则
，所以
的值域是
．
（2）法一：令
，则
，即
．
因为
在
内无零点，则
，
所以
，且
，
即
，且
．
因为
，则
，且
，即
．因为
，则
．
所以
的取值范围是
．
法二：令
，则当
时，
．
据题意，函数
在区间
内无零点，
则
，且
，
即
，且
．
因为
，则
，且
，即
．因为
，则
．
所以
的取值范围是
．
6．（2025·广东中山·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
上的值域；
(2)在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，若
的最小正周期是
，
，
，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定
理解三角形
【分析】（1）根据三角恒等变换将
化为一般式，再利用整体法，结合正弦函数单调性，即可求得值
域；
（2）根据题意，求得
，利用余弦定理，求得
，再求三角形面积即可.
【详解】（1）
,
当
时，
，又
，故
，
又
在
上单调递增，在
单调递减，且
，
故函数
在
上的值域为
.
（2）由（1）知，
，由其最小正周期为
，
可得
，又
，解得
，则
；
由
，即
，
又
，可得
，则
，即
，
又
，
在三角形
中由余弦定理可得
，
即
，
将
代入上式可得：
，即
，
解得
，或
（舍去）；
故
的面积为
.
7．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】求含cosx 的函数的单调性、利用余弦函数的单调性求参数、求cosx(型)函数的值域
【分析】（1）直接由题意得
，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得
，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数
的单
调区间.
【详解】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
8．（2024·上海嘉定·一模）已知
，其中
.
(1)若
，求函数
的值域；
(2)若
，且函数
在
内有极小值，但无极大值，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)7 或15.
【难度】0.65
【知识点】求cosx(型)函数的值域、函数极值点的辨析、根据极值点求参数
【分析】（1）把
代入，求出
时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域.
（2）由已知可得
，再利用给定区间及极值情况求出
范围即可得解.
【详解】（1）当
时，
，由
，得
，
则
，
，
所以函数
的值域是
.
（2）由
，得
，解得
，
当
时，而
，则
，
又函数
在
内有极小值，无极大值，则
，
解得
，于是
或
，解得
或
，
当
时，
，又
，无解；
当
时，
，又
，则
；
当
时，
，又
，则
；
当
时，
，又
，无解，
所以
的值是7 或15.
重难点题型九 与三角函数有点的零点、极值点问题
1．设函数
，若对于任意实数
，函数
在区间
上至少有3 个零点，
至多有4 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用、相位变换及解析式特征
【分析】根据
为任意实数，转化为研究函数
在任意一个长度为
的区间上的零点
问题，求出函数
在
轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为
，相邻五个零点之间的距离为
，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于
，相邻五个零点之间
的距离大于
，列式可求出结果.
【详解】因为
为任意实数，故函数
的图象可以任意平移，从而研究函数
在区间
上的零
点问题，即研究函数
在任意一个长度为
的区间上的零点问题，
令
，得
，则它在
轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为
，
，
，
，
，
，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为
，
，
，
，
，
故相邻四个零点之间的最大距离为
，相邻五个零点之间的距离为
，
所以要使函数
在区间
上至少有3 个零点，至多有4 个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离
不大于
，相邻五个零点之间的距离大于
，
即
，解得
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的
以及区间
是干扰
因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
2．定义在
上的函数
满足在区间
内恰有两个零点和一个极值点，
则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．将
的图象向右平移
个单位长度后关于原点对称
C．
图象的一个对称中心为
D．
在区间
上单调递增
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前
（后）的解析式、求sinx 型三角函数的单调性
【分析】根据题意可求出
的值，从而可得到
的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【详解】依题可知
，于是
，于是
，
∴
，∴
，∴
，
对于A，由
，则
的最小正周期为
，故A 错误；
对于B，将
的图象向右平移
个单位长度后得
，
则
，所以
不关于原点对称，故B 错误；
对于C，由
，所以
不是
图象的一个对称中心，故C 错误；
对于D，由
，则
，所以
在区间
上单调递增，故D 正确．
故选：D．
3．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，所得图象在区间
上恰有两个零点，且在
上单调递减，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用余弦函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析
式
【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在
上恰有两个零点以及在
上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案.
【详解】依题意可得
，
因为
，所以
，
因为
在
恰有2 个零点，且
，
，
所以
，解得
，
令
，
，得
，
，
令
，得
在
上单调递减，
所以
，
所以
，又
，解得
．
综上所述，
，故
的取值范围是
．
故选：C.
4．已知
、
是函数
的两个零点，且
的最小值为
，若将函
数
的图象向左平移
个单位后得到的图象关于原点对称，则函数
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数、求正切（型）函数的周期、求图象变化前（后）的解析式
【分析】求出函数
的最小正周期，可得出
的值，然后利用三角函数图象变换可得出平移后所得函
数的解析式，根据正切型函数的奇偶性可得出关于
的等式，解出
的表达式，即可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，函数
的最小正周期为
，所以
，
所以
，
将函数
的图象向左平移
个单位后得到的图象关于原点对称，
可得出函数
为奇函数，
所以，
，解得
，A 选项合乎题意.
故选：A.
5．函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图象与
直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】三角函数图象的综合应用、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先利用三角函数平移的性质求得
，再作出
与
的部分大致图像，考
虑特殊点处
与
的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为
向左平移
个单位所得函数为
，
所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为.
故选：C.
6．将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，若
在区间
上有且仅有一
个零点，则实数m 的一个取值为 .
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用、求图象变化前（后）的解析式
【分析】由图象平移写出
解析式，再由
，根据正弦函数图象及零点个数求参数范
围，即得结果.
【详解】由题设
，
在
，则
，要使
在区间
上有且仅有一个零点，
所以
，即
，故
满足要求.
故答案为：
（答案不唯一）
7．先将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，所得图象与函数
的图象关于x 轴对称，若函数
在
上恰有两个零
点，且在
上单调递增，则
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解
析式
【分析】先根据题目的要求平移伸缩对称变换得到
的解析式，然后结合函数在
上恰有两个零
点以及在
上单调递增，列出不等式组，即可求得本题答案.
【详解】函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，得到
的图象，因为函数
的
图象与
的图象关于x 轴对称，
所以
，
因为
，所以
，
又因为
在
恰有2 个零点，且
，
，
所以
，解得
，
令
，
，得
，
，令
，得
在
上单调递增，所以
，
所以
，又
，解得
．
综上所述，
，故
的取值范围是
．
故答案为：
8．将函数
的图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
倍后，所得函
数
的图像在区间
上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则
的值为 ．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先求函数
的解析式，画出大致图像，再结合已知条件即可求出
的值.
【详解】由题可知
．
因为
，所以
．
所以
的图像大致如图所示，
要使
的图像在区间
上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，
则
，解得
，
因为
，所以
．
故答案为：2
重难点题型十 三角函数图像性质的综合应用
1．（2025·浙江·三模）已知函数
和函数
的图象上相
邻的四个交点构成的四边形的面积为
，且
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】三角函数综合
【分析】先计算两个函数的交点坐标，得出相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，即可计算其面积，
得出
的值，再利用
得出
.
【详解】由
得，
，
则
，即
，
则当
时，
（
为奇数）或
（
为偶数），
则交点坐标为
（
为奇数），
（
为偶数），
则相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，
因相邻的交点之间的横坐标差的绝对值为
，
则平行四边形的面积为
，得
，
由
，得
，即
，
因为
，所以
.
故选： C
2．（2020·云南昆明·三模）设函数
，下述四个结论：
①
是偶函数
②
的图象关于直线
对称
③
的最小值为
④
在
上有且仅有一个极值点
其中所有正确结论的编号是
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】三角函数综合
【分析】对四个结论逐一分析：
①判断
与
是否相等；
②判断
与
是否相等；
③去绝对值，求最值；
④由
，化简
，可判断极值点的个数.
【详解】①
是偶函数，①正确；
②
,
故
的图象不关于直线
对称，②错误；
③去绝对值，则
故
，则
，
，则
，
综合得
，即
的最小值为
，③错误；
④由
，化简
，
令
，则
，
此时
有且仅有一个极小值点，
故
在
上有且仅有一个极值点. ④正确.
故选：B
【点睛】本题考查了含绝对值的三角函数的性质：奇偶性、对称性、最值、极值，是一道三角函数性质的
综合应用题.
3．（2024·浙江金华·一模）（多选题）设函数
，则（ ）
A．
的图象有对称轴
B．
是周期函数
C．
在区间
上单调递增
D．
的图象关于点
中心对称
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】三角函数综合
【分析】A 选项由偶函数得到
轴是其中一条对称轴；B 选项用周期的定义找到其中一个周期为
；C 选
项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间
不是单调递增；D 选项由中心对称的定义验证是否
成立即可.
【详解】∵
，
∴
是偶函数，关于
轴对称，故A 正确；
∵
，
∴
是函数
的一个周期，故B 正确；
，∵
，
，
显然
，故
在区间
上不单调递增，故C 错误；
，
∴
的图象关于点
中心对称.
故选：ABD.
4．（2021·全国·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
为周期函数
B．
的图像关于点
对称
C．
有最大值
D．
在
上单调递增
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、三角函数综合
【分析】先将函数解析式化简整理，得到
，计算得
，可判断A 正确；计
算得
，可判断B 正确；由
，可判断C 错；对函数求导，可判断D
正确.
【详解】因为
，
所以
，即函数
是周期函数，故A 正确；
又
，
，
，
则
，所以
的图像关于点
对称；故B 正确；
因为
，故
不是
的最大值，即C 错；
又
，
当
时，
，所以
，则此时
恒成立，因此
在
上单调递增，即D 正确；
故选：ABD.
5．（2023·四川自贡·一模）已知函数
，
在区间
上有且仅有2 个零
点，对于下列4 个结论：
①
的取值范围是
；
②在区间
上存在
，
，满足
；
③
在区间
上单调递减；
④
在区间
有且仅有1 个极大值点；
其中所有正确结论的编号为 .
【答案】①②
【难度】0.4
【知识点】三角函数综合、正弦函数图象的应用、利用正弦型函数的单调性求参数、函数极值点的辨析
【分析】对于①：令
，求出
的范围，根据
在区间
上有且仅有2 个零点即可限制
的取值范围，从而得到
的取值范围；
对于②：在
的范围内可以找到一个最大值一个最小值满足条件；
对于③：当
时，求出
的范围，判断是否在
的减区间内；
对于④：根据条件，
对应的
也可能为一个极大值点.
【详解】对于①：
，
令
，则
由题意，
在
上只能有两解
和
，
解得
，所以①成立；
对于②：因为在
上必有
，故在
上存在
满足
，所
以②成立；
对于③：当
时，
，由于
，故
，此时
是增函数，从而
在
上单调递增.
所以③不成立；
对应的
（显然在
上)一定是极大值点，因
对应的
值有可能在
上，故④结论错误；
综上，①②成立.
故答案为：①②
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用整体思想，根据
整体的范围结合
的图象解决零点
个数，单调性，最值个数，对称性等问题.
6．（2025·上海松江·二模）设
，若函数
在区间
内恰好有6 个
零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、三角函数综合
【分析】由
最多有两个零点，可得
至少四个根，分别讨论当
和
时两个函数零点的个数情况，再结合考虑求解即可.
【详解】当
时，令
，则
，
解得
.因为
，所以
，
当
时，
，其对称轴为
，二次函数最多两个零点.
当二次函数有两个零点时：
结合二次函数图象性质，
解
得
，即
；
解
得
，即
，
，
所以当二次函数有两个零点时，
的取值范围是
.
此时
应有四个解，即
有四个解.
当
时，
；所以
，即
当
时，
；所以
，即
当
时，
；所以
，即
当
时，
；所以
，即
所以当
有四个解时
所以当
在区间
内恰好有6 个零点时
的取值范围是
.
当二次函数有一个零点时：
或
，即
或
，
此时
应有五个解，即
有五个解，即
，
所以
；
当二次函数有零个零点时：
，即
，
此时
应有六个解，即
有六个解，即
，
所以此时无符合条件的
的值.
终上所述：
的取值范围是
.
故答案为：
