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专题3.2 导数与函数的单调性
重难点题型1 利用导函数与原函数的关系确定图像
1．（2025·河北·模拟预测）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列结论
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数
及其导函数
的部分
图象如图所示，则（ ）
目录●重难点题型分布
A．函数
在区间
上单调递增
B．函数
在区间
上单调递减
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
在区间
上单调递减
3．（23-24 高三上·浙江·阶段练习）已知函数
的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022 高三·全国·专题练习）函数
的导函数
的图象如图所示，则函数
的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二上·陕西咸阳·期末）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．
是函数
的极大值点
B．函数
在区间
上单调递增
C．
是函数
的最小值点
D．曲线
在
处切线的斜率小于零
6．（21-22 高二下·黑龙江牡丹江·开学考试）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则下列结论
正确的是（ ）
A．当
时，函数
取得极小值
B．函数
在区间
上是单调递增的
C．当
时，函数
取得极大值
D．函数
在区间
上是单调递增的
7．（2025·海南海口·模拟预测）（多选题）
是定义在区间
上的函数，其导函数
的图象如
图所示，则在区间
内（ ）
A．函数
有三个极值点
B．函数
的单调增区间为
C．函数
的最大值可能为
D．函数
的最小值可能为
8．（24-25 高三下·重庆·开学考试）（多选题）已知函数
，
的图象是一条连续不断的曲线，
设其导数为
，函数
的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
处取最大值
B．
是
的极大值点
C．
没有极小值点
D．
可能不是导函数
的极大值点
重难点题型2 求函数的单调区间（不含参数）
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正
或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0 的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导
函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶
导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求
导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间
段）；
1．（24-25 高三上·甘肃定西·阶段练习）若函数
，则函数
的单调递减区间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数
，则
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·吉林·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．当
时，函数
的单调递减区间是
B．当
时，函数
的单调递增区间是
C．
是函数
的极大值
D．函数
有且只有一个零点
4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数
的单调递减区间是 .
5．（2025·福建南平·三模）已知函数
，其导函数为
.
(1)求
的单调区间；
(2)证明：
.
6．（2025·河北·模拟预测）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间.
7．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知
，
(1)求
的单调递增区间；
(2)若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围.
8．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)将
的图象绕原点
逆时针旋转
后，得到的曲线仍是函数图象，求
的取值范围.
重难点题型3 已知含参数函数的单调区间，求参数的取值范围
1．（23-24 高三上·福建泉州·阶段练习）若函数
在
上存在单调递增区间，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·广西玉林·二模）若函数
在
上为增函数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·浙江金华·三模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2025·山东菏泽·二模）已知函数
在
上单调递增，则
的最小值为
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
5．（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
，使得
为单调函数
B．
，
的图象恒有对称中心
C．当
时，
D．若
，
，
是方程
的三个不同的根，则
6．（2025·新疆·模拟预测）（多选题）若函数
是区间
上的单调函数，
则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·山西·一模）设
，若函数
在区间
上单调，则
的取值范围是
．
8．（2024·河南·模拟预测）若函数
的减区间为
，则
的值为 .
重难点题型4 求函数的单调性(含有参数)
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一
个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正
或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
考向1 类一次函数类型（大于0、小于0 与等于0）
1．（2025·甘肃白银·三模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
2．（24-25 高二下·四川资阳·期中）已知函数
，
．
(1)若
的最大值是0，求
的值；
(2)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
（a 为常数）.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若存在两个不相等的整数
，
满足
，求证：
.
(3)若
有两个零点
，
，证明：
.
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调区间；
(2)证明：
．
考向2 类 二次函数类型（可分解因式）
5．（24-25 高二下·广西南宁·期中）已知函数
．
(1)设
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有唯一零点，求实数
的取值范围．
6．（2025·河南·二模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性.
(2)若存在两个不同的
，
满足
，证明：
.
7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
在
恒成立，求
的取值范围.
8．（2025·山东临沂·二模）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)设函数
，已知
有两个极值点
．
①求
的取值范围；
②求证：
．
考向3 类二次函数类型（不可分解因式）
9．（2025·天津河西·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)已知
，证明：
（其中是自然对数的底数）.
10．（22-23 高三下·河北石家庄·期中）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)求证：
．
11．（2024·山东枣庄·一模）已知
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围.
12．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)令
，若
恒成立，求实数a 的取值范围.
重难点题型5 挑战压轴题
1．（2025·四川成都·三模）若
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知
，若
，则下列结论一
定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·全国·一模）（多选题）设a，b 为正数，若函数
在区间
上有且仅有两个
零点，则（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
的最小值为
D．
的最小值为
4．（2025·北京丰台·一模）已知函数
.给出下列四个结论：
①当
时，
在区间
上单调递增；
②对任意实数a，
都没有最小值；
③当
时，设
的零点从大到小依次为
，
，
，，则对任意正整数i，都有
；
④对任意实数a，m，存在实数
，当
时，恒有
.
其中所有正确结论的序号为 .
