专题2.3 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三
复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作
用和实际意义
(2)结合具体函数，了解奇偶性和对称性的概念和几何意义
(3)了解周期性的概念和几何意义
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
函数的性
质：单调
性、奇偶
性、对称性
与周期性
新课标I 卷：第6
题，5 分
新课标
卷
Ⅱ
：第8
题，5 分
全国一卷：第5 题，5
分
全国二卷：第10 题，
6 分
天津卷：第3 题，5
分
全国一卷：第19 题，
17 分
全国二卷：第8 题，5
分
上海卷（秋考）：第
5 题，4 分
上海卷（秋考）：第
21 题，18 分
北京卷：第5 题，5
分
命题规律
分析
1、函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性
函数的性质是历年高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，
函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单
调性、奇偶性结合在一起进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结
合思想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中渗透考查；对
于选择题和填空题部分，重点考查函数的单调性问题，以及求函数的最
值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，侧重考查函
数新定义，试题综合性强，考查难度较大。
知识点
1
函数的单调性
1．求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)复合函数的单调性：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循
函数的性质
考点1
“同增异减”的原则.
知识点
2
函数的最值的求法
1．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
2．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
知识点
3
函数的奇偶性及其应用
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数
或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
3．常见奇偶性函数模型
(1)奇函数：
①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
(2)偶函数：
①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数.
知识点
4
函数的周期性与对称性的常用结论
1．函数的周期性常用结论(a 是不为0 的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2 a ；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2 a ；
(4)若f(x+a)=
，则T=2a；
(5)若f(x+a)=
，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线
对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点
对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点
对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
(2)若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
(3)若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
.
【题型1 确定函数的单调性（区间）】
【例1】（2026·山西·模拟预测）函数y =| x−3|的单调递减区间为（ ）
A．(−∞,+∞)
B．[3,+ ∞)
C．(−∞,3)
D．(−∞,−3)
【变式1-1】（25-26 高一上·青海·期中）函数y =
❑√x
2−5 x + 4
的单调递减区间是（ ）
A．[
5
2 ,+∞)
B．(−∞,1)
C．[ 4 ,+∞)
D．(−∞, 5
2)
【变式1-2】（25-26 高一上·全国·课后作业）设f (x)= x，g(x)=−1
x
，则（ ）
A．f (x)+ g(x)在区间(0,+ ∞)上单调递增
B．f (x)+ g(x)在区间(0,+ ∞)上单调递减
C．f (x)−g(x)在区间(0,+∞)上单调递增
D．f (x)−g(x)在区间(0,+∞)上单调递减
【变式1-3】（25-26 高一上·广东深圳·期中）已知函数f (x)=(x−2)|3−x)，则函数f (x)的单调增区间是
（ ）
A．(−∞,2.5)和(3,+ ∞)
B．(−∞,2.5)
C．(2,2.5)和(3,+ ∞)
D．(2,2.5)
【题型2 根据函数的单调性求参数】
【例2】（2026·广东茂名·一模）已知函数f (x)=
❑√x
2−6 x +5
在区间(a,+ ∞)上单调递增，则a的取值范围
为（ ）
A．(−∞,1)
B．(−∞,3)
C．[3,+ ∞)
D．[5,+ ∞)
【变式2-1】（2026·山西·二模）若函数f ( x)= ❑√x + a
❑√x
在(0,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(0,2]
B．(0,4 ]
C．[2,+ ∞)
D．[ 4 ,+∞)
【变式2-2】（2026·甘肃白银·三模）“k >0”是“函数f (x)=|x +k )在(0,+ ∞)上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】（2026·安徽合肥·一模）若f (x)=¿是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．(1,+∞)
B．[1,+∞)
C．(2,+∞)
D．[2,+ ∞)
【题型3 求函数的最值】
【例3】（2026·江西南昌·二模）已知函数f ( x)={
a−x , x<0
x + 4
x , x>0)
在定义域内有最小值，则实数a的取值范围
是（ ）
A．(−∞,2)
B．[2,+∞)
C．(−∞,4)
D．[4 ,+∞)
【变式3-1】（2026·湖南·模拟预测）已知函数f (x)，则“∀x∈(0,+∞)，f (x)≥2”是“f (x)在(0,+∞)
上的最小值为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式3-2】（25-26 高一上·辽宁锦州·期末）若函数f (x)= 2 x +m
x +1
在区间[0,1)上的最大值为1，则实数m=
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．0 或1
【变式3-3】（25-26 高一上·河北张家口·期末）函数f (x)=
x
x +2
在区间[2,4)上的最大值、最小值分别为
（ ）
A．3
5
，1
2
B．2
3
，1
2
C．2
3
，1
3
D．3
5
，1
3
【题型4 函数单调性的应用：比较大小、解不等式】
【例4】（25-26 高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数f (x)的定义域为R，且它的图象关于x =−2对称，
当x1< x2<−2时，f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0恒成立，设a= f (−3)，b= f (0)，c = f (2)，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<b<a
【变式4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在R上的函数f (x)满足∀x1, x2∈R，x1≠x2，都有
f (x2)−f (x1)
x2−x1
>0成立，则不等式(x−1)⋅[f (x)−f (4−x))<0的解集为（ ）
A．(1,2)
B．(−∞,1)
C．(2,+∞)
D．(−∞,0)∪(1,2)
【变式4-2】（25-26 高一·江苏·寒假作业）已知定义在R上的函数f (x)满足：f (−x)+ f (x)=0，
f (2−x)= f (x)，且f (x)在[−1,1]内单调递增，则（ ）
A．f (8)<f (5.5)<f (−3)
B．f (8)>f (5.5)>f (−3)
C．f (8)>f (−3)>f (5.5)
D．f (8)<f (−3)<f (5.5)
【变式4-3】（2026·河北石家庄·三模）已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x1、x2∈(0, +∞)且x1≠x2
时，都有x2f (x1)−x1f (x2)
x1 x2(x1−x2)
>0成立，f (2025)=2025，则不等式f (x)−x>0的解集为（ ）
A．(−∞, −2025)∪(2025, +∞)
B．(−2025, 0)∪(2025, +∞)
C．(−2025, 2025)
D．(−
1
2025 ,
1
2025)
【题型5 函数的奇偶性及应用】
【例5】（2026·山东潍坊·三模）已知a>1，函数f (x)=a
a+ x−3a
2−x，(x∈R)为奇函数，则f (2)=（ ）
A．13
B．24
C．80
D．240
【变式5-1】（2026·四川成都·三模）已知奇函数f (x)满足f (x +2)=−f (x)，当x∈[0,1)时，f (x)= 4
x+a
，则f (101.5)=（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5
【变式5-2】（2026·天津北辰·三模）函数f ( x)= x cos2 x
ln( x
2+1)的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2026·安徽安庆·三模）定义在R上的偶函数f (x)，当x ≥0时，f (x)=e
x，则满足
f (1−2 x)<f (3)的x的取值范围是（ ）
A．(−1,2)
B．(−2,1)
C．[−1,2)
D．(−2,1)
【题型6 函数的周期性及应用】
【例6】（2026·福建南平·二模）已知f (x)是定义在R上且周期为4 的奇函数，当−2< x<0时，f (x)=e
x，
则f (2)+ f (ln2)=（ ）
A．-2
B．−1
2
C．1
2
D．2
【变式6-1】（2026·江西·模拟预测）已知y = f (x)是定义在R上周期为4 的奇函数，则f (2)=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【变式6-2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，且f (x−2)是奇函数，f (2 x−1)是
偶函数，则f (2026)=（ ）
A．−2
B．0
C．1
D．2
【变式6-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)的图象关于x = 3
2
对称，且
f (x)+ f (x +3)= f (2031)，若f (7)=1，则∑
i=1
2026
f (i)=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．-2
【题型7 函数的对称性】
【例7】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线y =(x−a)log2(1−2
x)关于直线x =b对称，则a−b=
（ ）
A．−2
B．2
C．0
D．1
【变式7-1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)，g(x)的图象分别关于点(1,2)，(1,3)
对称，则下列点一定是函数h(x)= f (x)+ g(x)的图象的对称中心是（ ）
A．(1,5)
B．(1, 5
2)
C．(1,1)
D．(2,5)
【变式7-2】（2026·湖北宜昌·二模）已知函数f (x)=( x−a)
3ln x +b
x
的图象关于直线x =1对称，则a+b=
（ ）
A．2
B．0
C．−1
D．−2
【变式7-3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数f (x), g(x)的定义域均为R，f (4−x)+ f (x)=2，g(x)
的图象关于直线x = 4对称，g(4)=1，且f (x)= g(4+ x)+3，则g(19)+ g(24)+ g(25)=（ ）
A．−9
B．−4
C．1
D．4
【题型8 函数性质的综合应用】
【例8】（2026·山东聊城·三模）已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (x)= g(x−1)−1，
g(x)= f (2−x)+1，若f (x)是偶函数，且f (20)=3，则f (1)+ g(1)=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式8-1】（2026·湖南·三模）已知f (x)是定义在R上的奇函数，f (2 x +2)的图象关于x =−1
2
对称，
f (−1)=−3，则f (985)=（ ）
A．0
B．−3
C．3
D．4
【变式8-2】（2026·四川成都·三模）已知y = f (x +1)是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[1,2)时，
f (x)=log2 x，设a= f(
1
2)，b= f(
4
3)，c = f(−5
4)，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．c<a<b
C．b<c<a
D．c<b<a
【变式8-3】（2026·吉林·三模）已知函数f (x)的定义域为R，f (2 x +1)为偶函数，f(
1
2 −2 x)为奇函数，
则（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f (x)为偶函数
C．f (x)的最小正周期为4
D．f (x)在(1,2)上单调递增
【题型9 抽象函数的性质】
【例9】（2026·甘肃·模拟预测）已知偶函数f (x)满足：f
2(x)+ f
2(x +2)= 4，且f (x)f(x + 1
2)>0，若
f (2)<0，则f (2025)=（ ）
A．1
B．❑√2
C．−❑√2
D．−1
【变式9-1】（2026·河南·模拟预测）已知f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意x , y，都有
f (x)+ f ( y)= f (x + y)+a，则a=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．−1
【变式9-2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为{x|x ≠0))的函数f (x)满足
f (x + y)[f (x)+ f ( y))= f (x)f ( y)，f (1)=2，且当x∈(0,+∞)时，f (x)>0恒成立，则下列结论正确的是
（ ）
A．f(
2
3)=6
B．f (2 x)=2f (x)
C．f (x)为奇函数
D．f (x)在区间(0,+∞)是单调递增函数
【变式9-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，函数F (x)= f (1+ x)−(1+ x)为偶函
数，函数G (x)= f (2+3 x)−1为奇函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数f (x)的一个对称中心为(2,1)
B．f (0)=−1
C．函数f (x)为周期函数，且一个周期为4
D．f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)=6
【题型10 函数新定义】
【例10】（2026·甘肃定西·模拟预测）若定义在Z上的函数f (x)满足对任意x , y ∈Z均有
f (x + y)= f (x)f (2−y)+ f (2−x)f ( y)，则称f (x)为“S−2函数”.已知f (x)为“S−2函数”，且f (2)=1
，f (−1)<0，则f (0)+ f (47)=（ ）
A．−
❑√2
2
B．0
C．
❑√2
2
D．1
【变式10-1】（2026·上海闵行·一模）如果“若p，则q”和“若q，则p”中有且仅有一个真命题，称p与
q具有“U－关系”．已知函数y = f ( x)的定义域为R，p: y = f ( x)为偶函数，则p与下列选项中的q具有
“U－关系”的为（ ）
A．q：对任意x∈R都有−f ( x)≥f ( x)
B．q：对任意x∈R都有f (−x)≥f ( x)
C．q：对任意x∈R都有f (−x)=|f ( x)|
D．q：对任意x∈R都有f (−x)= f (| x|)
【变式10-2】（2026·上海·三模）设s,t ∈R，对于定义域为D 的函数y = f (x)与y = g(x)，
h(x)= sf (x)+tg(x)，若函数y =h(x)是区间D 上的单调函数，则称y = f (x)与y = g(x)在区间D 上满足
“性质M (s,t )”．
(1)设D =[2,+∞)，f (x)= x
2，g(x)= x，若y = f (x)与y = g(x)在区间D 上满足“性质M (1,t )”，求t 的取
值范围；
(2)设s>0，D =(0,1)，f (x)= x，g(x)=−3
2 x
．若y = f (x)与y = g(x)在区间D 上满足“性质M (s,t )”，
求t
s
的取值范围；
(3)设D =R，若对任意s、t，函数y = f (x)与y = g(x)在R上都满足“性质M (s,t )”．求证：存在不全为零
的实数A、B，使得函数y = Af (x)+ Bg(x)为常值函数．
【变式10-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R 的连续函数f (x)满足对任意x1，x2∈R，
当|x1|＜) x2)时，都有|f (x1))＜|f (x2))，则称函数f (x)为“绝对值严格增函数”．
(1)若f (x)为“绝对值严格增函数”，试判断f (x)是否可能具有周期性；
(2)求证：f (x)=a|x)为“绝对值严格增函数”是g(x)= ln (x−1)+ 2a x
2−1
x−1
始终在h(x)=2 x +3图像上方的
充要条件；
(3)若“绝对值严格增函数”f (x)的值域为[m,1)且在[0,﹢∞)上为严格增函数，试讨论f (x)的奇偶性．
一、单选题
1．（2026·山东·模拟预测）已知定义在R上的函数f ( x)满足：f ( x +1)为奇函数，且f (0)=2，则f (2)=
（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2
2．（25-26 高一上·重庆·期末）函数f (x)=a x
2−(a−1) x−2在区间(−∞,2)上是增函数，则实数a的取值
范围是（ ）
A．[−1
3 ,0)
B．[−1
3 ,+∞)
C．(−∞,−1
3)
D．[−1
3 ,0)
3．（2026·云南·模拟预测）函数f (x)={
a
2 x , x>1
3−2 x , x ≤1)
是R上的严格减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,0)
B．(−∞,2)
C．(0,2)
D．(0,+∞)
4．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为R的函数f ( x)满足f ( x)= f (4−x)，且对任意x1，
x2∈(−∞,2]，当x1≠x2时，都有f (x1)−f (x2)
x1−x2
<0，则（ ）
A．f (2)<f (−3)<f (4)
B．f (2)<f (4)<f (−3)
C．f (4)<f (2)<f (−3)
D．f (4)<f (−3)<f (2)
5．（2026·北京西城·二模）已知函数f (x)在R上单调递增，设g(x)= f (−x)−f (x)，则函数g(x)是（ ）
A．奇函数，且在R上单调递增
B．偶函数，且在R上单调递增
C．奇函数，且在R上单调递减
D．偶函数，且在R上单调递减
6．（2026·山西大同·三模）已知f (x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=(x−1)f (x)的图象关于点(1,0)对
称，且满足∑
i=1
26
f (i)=2 ，则g(−1)=（ ）
A．−4
B．−2
C．2
D．4
7．（25-26 高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在R上的函数f (x)满足：f (−x)+ f (x)=0，
f (2−x)= f (x)，且f (x)在[−1,1)内单调递增，则（ ）
A．f (8)<f (5.5)<f (−3)
B．f (8)>f (5.5)>f (−3)
C．f (8)>f (−3)>f (5.5)
D．f (8)<f (−3)<f (5.5)
8．（2026·甘肃张掖·二模）已知定义在R上的函数f (x)和g(x)满足f (x +1)−g(x + 4)=−1，
g(x)+ f (1−x)=3，若f (x)是偶函数，且f (0)=3，则∑
i=1
18
g(i+1)=（ ）
A．34
B．36
C．38
D．40
二、多选题
9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数f ( x)满足f (1)=−10，f ( x)f ( y)=10 f ( x + y)+10 f ( x−y)，
则（ ）
A．f (0)=20
B．f (2)=10
C．f ( x)为偶函数
D．f ( x)= f ( x +3)
10．（2026·陕西西安·三模）已知定义在R上的奇函数f (x)满足对任意实数x，都有f (x +2)= f (−x)，且当
x∈[0,1)时，f (x)=2 x，则（ ）
A．f (x)是周期为4 的周期函数
B．f (1)+ f (2)+ f (3)+⋯+ f (2026)=2
C．f (x)在[1,2)上单调递增
D．f (x)的图象关于直线x =1对称
11．（2026·河南濮阳·一模）已知函数f ( x)的定义域为R，且f (x + y)f (x−y)= f
2(x)−f
2( y),f (1)=2，
f (3 x−1)为偶函数，则（ ）
A．f ( x)为偶函数
B．f (0)=0
C．f (2+ x)=−f (2−x)
D．∑
i=1
2026
f (i)=2
三、填空题
12．（2026·河南·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，若f (x +2)=−f (x)，f (3)=−3，则f (2025)=
__________.
13．（2026·全国·模拟预测）已知函数f ( x)是定义域为R的奇函数.设g( x)= f ( x−1)+1，若f ( x)在
(0,+∞)的最小值为2，则g( x)在(−∞,1)的最大值为__________.
14．（2026·青海·模拟预测）已知f ( x)是定义在(m−5,4 m)上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0,4 m)，当
x1≠x2时，(x2
2+1)f (x1)−(x1
2+1)f (x2)
x1−x2
>0恒成立．若f (1)= 4，则关于x的不等式
f ( x −m)>2 x
2−4 x + 4的解集为__________．
四、解答题
15．（2026·四川绵阳·一模）设函数f (x)= x|x +m).
(1)若m=2，写出函数f (x)的单调区间；
(2)当x∈[1,2)时，f (x)≤2，求实数m的取值范围.
16．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x =1对称．
(1)求证：f (x)是周期为4 的周期函数；
(2)若f (x)= ❑√x(0< x ≤1)，求x∈[−5,−4)时，函数f (x)的解析式．
17．（25-26 高一上·上海·阶段检测）设y = f (x)是定义在R 上的奇函数，且对于任意的实数x，恒有
f (x +3)=−f (x)．当x∈[0,3)时，f (x)= x
2−3 x．
(1)求证：y = f (x)是周期函数，并指出其最小正周期；
(2)求方程f (x)=−2在区间[−12,12)上解的个数．
18．（25-26 高一上·天津·阶段检测）已知f (x)= 2ax
x
2+ 4
在定义域[2b,b+3)上为奇函数，且f(
1
2)= 2
17 .
(1)求a，b的值；
(2)判断并证明函数f (x)在定义域内的单调性；
(3)若f (t
2−3)+ f (1−t )<0，求实数t的取值范围.
19．（25-26 高一下·上海闵行·期中）已知定义域为R的函数y = f (x)为偶函数，它的图像是连续的曲线．
任取a∈R，定义U a={x)f (x)≥f (a))．
(1)已知f (x)= x
4，求U 2；
(2)若任取a∈R，都有a+2π∈U a，求证：函数y = f (x)，x∈R为周期函数；
(3)若任取a∈R，只要存在m∈U a、n∈U a且m≠n，都有[m,n)⊆U a．试判断函数y = f (x)在(−∞,0)
上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格
减区间”之一），并证明你的结论．
