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专题3.1 导数的概念及运算
重难点题型1 导数的定义
1、导数的概念
函数
在
处瞬时变化率是
，我们称它为函数
在
处的导数，记作
或
．
2、几何意义
函数
在
处的导数
的几何意义即为函数
在点
处的切线的斜率．
1．（24-25 高二下·湖北黄石·阶段练习）黄石二中杰出校友何小鹏的小鹏汽车生产的2025 款小鹏X9 加速
目录●重难点题型分布
度表现出众，其中四驱高性能Max 版的
加速时间仅需3.5 秒．若某款车的速度v 关于时间t 的
函数为
（
），则
秒时的加速度为（ ）．
A．5.2
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则
【分析】利用加速度与速度的关系，结合导数的意义即可求解.
【详解】
（
），
，
故选：D.
2．（24-25 高二下·重庆·期中）已知火箭发射t 秒后，其高度（单位：米）为
，则火箭发射后第
10 秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式
【分析】求导即可求解.
【详解】由
可得
，
故
，
故选：D
3．（24-25 高二下·辽宁·期中）已知函数
，则
的值为（ ）
A．-1
B．3
C．8
D．16
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数定义中极限的简单计算
【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】根据题意，
，则
，
由导数的定义知，
．
故选：C．
4．（24-25 高二下·吉林长春·期中）已知
的值是（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算
【分析】利用导数的定义可求极限值.
【详解】根据导数值的定义，
.
故选：A.
5．（24-25 高二下·甘肃白银·期中）已知函数
，则
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】导数定义中极限的简单计算、简单复合函数的导数、求某点处的导数值
【分析】求出函数的导函数，即可求出
，再根据导数的极限定义计算即得.
【详解】因为
，所以
，
则
，
所以
.
故答案为：
6．（24-25 高二下·辽宁·期中）已知函数
，则
= ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】求导，即可代入求解
的值，进而根据导数的定义即可极限的运算性质即可求解.
【详解】
，故
，
故
，
故答案为：
重难点题型2 求函数的导数
1、求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（
为常数）
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：
；
（2）函数积的求导法则：
；
（3）函数商的求导法则：
，则
．
3、复合函数求导数
复合函数
的导数和函数
，
的导数间关系为
：
1．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．
(a 为常数)
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数
【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项.
【详解】A：因为a 为常数，所以
，故A 错误；
B：
，故B 正确；
C：
，故C 错误；
D：
，故D 错误.
故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，则
（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】求导，根据
即可求解
，代入即可求值.
【详解】由题意知
,所以
，解得
，则
，故
．
故选：B
3．（22-23 高三上·四川·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．5
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求某点处的导数值
【分析】利用导数运算求得
.
【详解】
，
令
得
.
故选：B
4．（2022·陕西咸阳·二模）下列导数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算.
【详解】
，A 错误；
，B 错误；
，C 错误，
，D 正确.
故选：D
5．（2024·江西南昌·三模）设函数
的导数为
，且
，则
.
【答案】
【难度】0.94
【知识点】简单复合函数的导数、求某点处的导数值
【分析】求导后，代入计算即可.
【详解】因为
，
所以
.
故答案为：
6．（21-22 高二下·上海宝山·期中）已知函数
的导函数为
，且满足关系式
，则
.
【答案】
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的加减法、求某点处的导数值
【分析】求导即得解.
【详解】解：由题得
所以
.
故答案为：
重难点题型3 几何意义在（或过）某点的切线方程
1、在点的切线方程
切线方程
的计算：函数
在点
处的切线方程为
，抓住关键
．
2、过点的切线方程
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，
又因为切线方程过点
，所以
然后解出
的值．（
有几个值，就有几
条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
1．（2023·陕西榆林·一模）已知函数
的图象在
处的切线方程为
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则
【分析】根据导数的几何意义可得
，从而可得
的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得
的
值，即可求得答案.
【详解】解：因为
，所以
.
又
的图象在
处的切线方程为
，
所以
，解得
，
则
，所以
，代入切线方程得
，解得
，
故
.
故选：B.
2．（2025·内蒙古赤峰·三模）曲线
在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、三角形面积公式及其应用
【分析】先对函数求导得出切线斜率，再得到切线方程，然后求出与坐标轴交点，最后计算面积.
【详解】设函数
，则
，则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，直线在坐标轴上的截距为
.
故曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
.
故选 ：A
3．（2024·江西景德镇·一模）过点
且与曲线
相切的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求过一点的切线方程
【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.
【详解】
，点
不在曲线上，
设切点为
，则
，
解得：
，得切点
，则
切线方程为：
，
故选：
．
4．（2024·内蒙古·三模）若过点
可以作曲线
的两条切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究方程的根、利用导
数研究函数图象及性质
【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入
，得到
，构造
，求导，得到函数单调性，从而得到
，结合当
时，
，当
时，
，从而得到答案.
【详解】在曲线
上任取一点
，对函数
求导，得
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
由题意可知，点
在直线
上，可得
.
令
，则
.
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
，且当
时，
，当
时，
，
又直线
与曲线
的图象有两个交点，
所以
的取值范围为
.
故选：C
5．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）（多选题）过点
向曲线
作切线，切线方程可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】设切点为
，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到
，解得
或
，即可求解.
【详解】令
，则
，设切点为
，
则切线方程为
，
将点
代入，整理得
，
即
，解得
或
，
当
时，切线方程为
；当
时，切线方程为
．
故答案为：AC.
6．（2024·四川·模拟预测）函数
的图象在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】
，
，
，
故函数
的图象在点
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
7．（2018·全国II 卷·高考真题）曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】求导
，可得斜率
，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】由
，得
，
则曲线
在点
处的切线的斜率为
，
则所求切线方程为
，即
.
【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的
点斜式方程；③化简整理.
8．（2024·天津和平·二模）过点
作曲线
的切线，则切点的坐标为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将
代入求解即可.
【详解】设切点的坐标为
，由
，
，
所以过切点的切线方程为：
，
把
代入得：
，即
，
所以
，则切点坐标为：
即
.
故答案为：
重难点题型4 几何意义之公切线
1．（2023·云南保山·统考二模）若函数
与函数
的图象存在公切线，
则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
，可得
，
因为
，设切点为
，则
，
则公切线方程为
，即
，
与
联立可得
，
所以
，整理可得
，
又由
，可得
，解得
，
令
，其中
，可得
，
令
，可得
，函数
在
上单调递增，且
，
当
时，
，即
，此时函数
单调递减，
当
时，
，即
，此时函数
单调递增，
所以
，且当
时，
，所以函数
的值域为
，所以
且
，
解得
，即实数
的取值范围为
.
故选：A.
2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数
，若曲线
与
有两条
公切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究函数的零点、简单复合函数的导数、
由导数求函数的最值（含参）
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个
零点，借助导数求出范围.
【详解】设公切线与曲线
、曲线
相切的切点分别为
，
而
，依题意，
，则
，因
，则
，
消去
得
，令函数
，
由曲线
与
有两条公切线，得函数
有两个不同的正零点，
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上递减，在
上递增，
，
而当从大于0 的方向趋近于0 时，
，当
时，
，
则当且仅当
，即
时，函数
有两个不同零点，
所以
的取值范围是
.
故选：C
3．（2024·海南·模拟预测）若函数
与
的图象有且只有一条公切线，则
实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【难度】0.15
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、根据极值点求参数
【分析】设公切线与函数
,
的图象分别切于点
，求出
，
，
可得公切线方程为
和
，则有
，可得
，令
，利用导数可得
，则
，即可解得实数
的值.
【详解】设公切线与函数
,
的图象分别切于点
，
因为
，所以
，
所以公切线方程为
，
即
，
因为
，所以
，
所以公切线方程为
，
即
，
因为函数
与
的图象有且只有一条公切线，
所以
，由
得
,
代入
，
则
，
整理得
，
令
，则
，
当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
，则函数
单调递减，
所以
时，
，
则当
时，
函数
与
的图象有且只有一条公切线，
即
，解得
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：因为函数
与
的图象有且只有一条公切线，设切点分别为
，分别得出
与
的公切线后，通过斜率，纵截距相等得到方程组，得到
关于
和
的关系后，利用导数得到关于
的函数的最大值，即可得到
的值.
4．（2025·辽宁·二模）若曲线
与曲线
存在公切线，则
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】设公切线分别与曲线
，
相切于点
，
，分别求切线方程，即可有
，
，得
，令
，
，利用导数研究单
调性，进而得
即可求解.
【详解】由题意知
，
，
设公切线分别与曲线
，
相切于点
，
，则
，
，
所以公切线方程为
，
，
即
，
，所以
，
，
所以
，
令
，
，
，
所以
，由
，得
,由
，得
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，且
时，
，
时，
，
所以
．
故答案为：
.
5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线
在
处的切线与曲线
相切，则
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则
【分析】利用导数的几何意义求出
在
处的切线方程，设切点为
，即可得到方程组，解
得即可.
【详解】由
，则
，则
，又当
时
，
所以曲线
在
处的切线为
；
对于
，可得
，设切点为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
6、（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线
与曲线
相切，直线
与曲
线
相切，则
的值为___________.
【答案】1
【解析】设
，则
，设切点为
，则
，
则切线方程为
，即
，
直线
过定点
，
所以
，所以
，
设
，则
，设切点为
，则
，
则切线方程为
，即
，
直线
过定点
，
所以
，所以
，
则
是函数
和
的图象与曲线
交点的横坐标，
易知
与
的图象关于直线
对称，而曲线
也关于直线
对称，
因此点
关于直线
对称，
从而
，
，
所以
．
故答案为：1.
重难点题型5 几何意义之切线的条数问题
1．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线
相切的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则、特殊角的三
角函数值
【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即
可.
【详解】设切点
，因为曲线
，所以
，
所以
，所以
，
所以
或
，
当
时，所以
，所以切线方程为
，即
；
当
时，所以
，所以切线方程为
，即
；
当
时，所以
，所以切线方程为
，即
；
所以切线有3 条.
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线
的切线，则切线共有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则
【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.
【详解】设切点为
，
由
可得
，
则过坐标原点的切线的斜率
，
故
，即
，
解得
，故过坐标原点的切线共有1 条．
故选：A．
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，过点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数
的极值
【分析】求出
的导函数，设切点坐标为
，写出切线方程，把
代入，得到关于
的方
程，根据方程解的个数即可得出切线的条数．
【详解】解法一 由
，得
．设切点坐标为
，
则切线方程为
，
把
代入可得
，即
，
因为
，所以该方程有2 个不同的实数解，故切线有2 条．
解法二 由
，得
，令
，得
．
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的极小值为
，且
，则点
在曲线
的下方，
数形结合可知，过点
可作曲线
的2 条切线．
故选：B
4．（2024·江苏淮安·模拟预测）（多选题）已知函数
.若曲线
存在两条过
点的
切线，则实数
的可能取值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式、导数的运算
法则
【分析】分析可得，过点
的两条切线与曲线
的切点横坐标分别在区间
和
内，表示
切线方程，结合切线过点
可得
的范围，即可确定选项.
【详解】当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
，
由题意得，过点
的两条切线与曲线
的切点横坐标分别在区间
和
内，
当切点横坐标在区间
内时，设切点为
，则切线斜率
，
∴切线方程为
，
∵切线过点
，∴
，
∴
，
∵
，∴
，故
.
当切点横坐标在区间
内时，设切点为
，则切线斜率
，
∴切线方程为
，
∵切线过点
，∴
，
∴
，
∵
，∴
，故
，
综上得，
.
∵
，∴符合题意的选项为B、C、D.
故选：BCD.
5．（2025·安徽·模拟预测）已知点
不在函数
的图象上，且过点
有三条直线与
的图象相切，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点
【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得
，将问题转化为函数有三个零
点问题，然后列出不等式，即可得到结果.
【详解】点
不在函数
的图象上，则
，即
，
设过点
的直线与
的图象相切于
，
则切线的斜率
，整理可得
，
则问题可转化为
有三个零点，
且
，令
，可得
或
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
即当
时，
有极大值，当
时，
有极小值，
要使
有三个零点，
则
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点
可作三条直线与曲线
相切，则实数a 的取
值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值
【分析】根据函数导数求解函数的切线方程，由切线过点
可得
.构造新函数
，结合函数导数判断函数的单调性求得极值，根据数形结合求得实数a 的取值范围.
【详解】由题意
，设点
为曲线
的切点，
则切线方程为
，整理得
，
将点
代入可得
.
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
又
，
，
当
时，方程
有3 个不同的实数根，
即当
时，有3 个不同的
满足方程
，
即过点
可作三条直线与曲线
相切.
故答案为：
.
重难点题型6 平行、垂直及重合问题
1．（2024·河北邢台·二模）已知函数
的图像在
，
两个不同点处的
切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本不等式求和的最小值
【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到
的关系，在结合不等式求
的取值范围即可.
【详解】因为
，
.
所以
，
.
由因为
在
，
两个不同点处的切线相互平行，
所以
，又
，所以
，故CD 错误；
因为
且
，所以
，故A 不成立；
当
时，
.故B 成立.
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
的图象上存在不同的两点
，使得曲线
在点
处的切线都与直线
垂直，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则
【分析】根据题意知
有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围.
【详解】由题意知
，因为切线与直线
垂直，
所以曲线
在点
处的切线斜率都是
，
即关于
的方程
有两个不相等的正实数根，
化简得，
有两个不相等的正实数根，
则
，解得
.
故选：A.
3．（2023·四川凉山·一模）函数
在区间
的图象上存在两条相互垂直的切线，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的加减法
【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.
【详解】由
，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为
，且
若
，则
恒成立，不符合题意，可排除A 项；
所以
，此时易知
单调递增，
要满足题意则需
.
故选：D
4．（2022·四川宜宾·模拟预测）若直线
与两曲线
分别交于
两点，且曲线
在点
处的切线为
，曲线
在点
处的切线为
，则下列结论：
①
，使得
；②当
时，
取得最小值；
③
的最小值为2；④
最小值小于
．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】先利用导数求得
两条切线方程，令
,可知
，故存在零点，①正
确；
，通过求导讨论单调性可知
有最小值，进而可以判断最小值范围，可以判断②正确，
③错误，④正确.
【详解】解：由直线
与两曲线
分别交于
两点可知：
曲线
上
点坐标
，可求导数
，则切线
斜率
，可知切线
：
.
曲线
上
点坐标
，可求导数
，则切线
斜率
.
令
，则
，令
，
，
由零点存在定理，
使
，即
，使
，即
，故①正确.
，令
，由
同理可知有
，使
，令
，
在
处取最小值，即当
时，
取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在
上是减函数，
，故③错误，④正确.
故选：C
5．（2025·山东青岛·一模）已知函数
图象的两条切线相互垂直，并分别交
轴于A，B 两点，
则
.
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】设函数
在点
和
处的两条切线互相垂直，
，
，
由题意分别表示出
，
，两直线相互垂直可得
，进而根据切线方程求出A，B 坐标，
进而求解即可.
【详解】设函数
在点
和
处的两条切线互相垂直，
如图，可得
的零点为1，故不妨设
，
，
则
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
则
，
．
所以
，即
．
因为
：
，即
，
：
，即
，
则
，
，因为
，且
，
故
.
故答案为：2.
6．（2024·北京朝阳·一模）已知函数
.若曲线
在点
处的切线与其在点
处的切线相互垂直，则
的一个取值为 .
【答案】
(答案不唯一)
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，
，再根据函数的取值，即可求解.
【详解】
，由题意可知，
，
即
，所以
，得
，
，
，
或
，得
，
，
，
所以
，
，
,
所以
的一个取值为
.
故答案为：
(答案不唯一)
重难点题型7 最值问题
1．（2021·湖南衡阳·二模）若函数
与
的图象存在公切线，则实数a 的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】法一：设公切线与
，
图象分别切于点
，写出
图象在A 处的切
线方程和
图象在B 处的切线方程，由两直线重合，消去
得到
，令
，再由
求解.方法二： 由
，
分别为上凸和下凸函数，要使
，
存在公切线，转化为
在
上恒成立求解.
【详解】法一：设公切线与
，
图象分别切于点
，
则
图象在A 处的切线方程为：
，
即
，
同理：
图象在B 处的切线方程为：
，
即
，
由上述两直线重合，
消元
可得，
，
令
，
则
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
则
，解得
，
方法二：在同一坐标系中作出
，
的图象如图所示：
由图象知：
，
分别为上凸和下凸函数，要使
，
存在公切线，
只须
在
上恒成立即可，
即
在
上恒成立
令
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
取得最大值为
，
所以
故选：A
【点睛】方法点睛：求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点
P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝
(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已
知点在切线上求解．
2．（20-21 高三上·安徽·阶段练习）已知函数
与
存在公切线，则实数a 的最小值
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】分别求出函数
与
的导数，设出切点写出切线方程，利用对应系数相等列出方程，构造
函数
，利用导数判断出单调性求出最值，可得实数a 的最小值．
【详解】
，
设
和
的切点分别为
，则
和
切线方程分别为
，
即
与
存在公切线，则方程
有解，即
，
在
上递减，在
递增，
在
处取到最小值，∴
的最小值为
，
即a 的最小值为
．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键点
是利用点斜式方程写出切线，列出方程，并构造函数求出导函数得出单调性和最值，可得a 的最小值，考
查学生计算能力，属于中档题．
3．（2023·河北·模拟预测）若曲线
与曲线
存在公切线，则实数
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】求出函数的导函数，设公切线与
切于点
，与曲线
切于点
，
，即可得到
，则
或
，从而得到
，在令
，
，利用导数求出函数的最小值，即可得解；
【详解】因为
，
，
所以
，
，
设公切线与
切于点
，与曲线
切于点
，
，
所以
，
所以
，所以
，所以
或
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
令
，
，
则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以实数
的最小值为
.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，
最后构造函数，利用导数求出函数的最值.
4．（2022·四川内江·模拟预测）若函数
与
的图象存在公共切线，则实数a 的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】分别设公切线与
和
的切点
，
，根据导数
的几何意义列式，再化简可得
，再求导分析
的最大值即可
【详解】
，
，设公切线与
的图象切于点
，与曲线
切于点
，
∴
，故
，所以
，∴
，∵
，故
，
设
，则
，
∴
在
上递增，在
上递减，∴
，
∴实数a 的最大值为e
故选：B.
5．（2024·广东江门·二模）若曲线
与曲线
存在公切线，则a 的最大值 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】设公切线与曲线
切与点
，与曲线
切与点
，由题意可得
，
化简可得
，则
，构造函数
，利用导数求出其最大值即可.
【详解】设公切线与曲线
切与点
，与曲线
切与点
，
由
，得
；由
得
.
则
，
所以
，所以
，即
.
设
，则
.
由
；由
.
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
.
即
的最大值为
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是设出两切点的
坐标，由切线为两曲线的公切线列方程组求解，考查数学转化思想和计算能力.
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线
与
有公共切线，则实数a 的最大值
为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、两条切线平行、垂直、重合（公
切线）问题
【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到
,构造函数
，转化为存在性问题，最终求最值即可.
【详解】设曲线
与
的切点分别为
，
，
∵
，
，∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，即
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
∴
，即
，即
，即
．
故答案为：
.
7．（2023·重庆·三模）已知函数
，
，若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，则
；若
，
对于任意
的
都成立，则
的最大值为 ．
【答案】 0
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、两条切线平行、垂直、重合
（公切线）问题、对数的运算性质的应用
【分析】运用两切线斜率相等列式及对数运算公式可求得结果；同构函数
，研究其单调性将问题
转化为
在
上恒成立，运用导数求函数
在
上的最小值即可.
【详解】由
得
，
由
得
，
依题意得
，
即
，
所以
，
即
；
由题意知，
，
对于任意的
恒成立，
又因为
，
即：
，
对于任意的
恒成立，
令
，
，
则
，
所以
在
上单调递增，
又因为
，即
，
所以
对于任意的
恒成立，
又因为
（
）,
即：
对于任意的
恒成立，
所以
，
，
令
，
，
则
，
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
所以
.
所以a 的最大值为.
故答案为：0；.
【点睛】同构法的三种基本模式：①乘积型，如
可以同构成
，进而构造函数
；②比商型，如
可以同构成
，进而构造函数
；③和差型，如
，同构后可以构造函数
f 或
.
8．（2022·海南·模拟预测）已知函数
和
，其中
为常数且
．若存在
斜率为1 的直线与曲线
同时相切，则
的最小值为 ．
【答案】2
【难度】0.4
【知识点】三元基本（均值）不等式、简单复合函数的导数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、
已知切线（斜率）求参数
【分析】分别设出切点，用导数的几何意义得到两切点坐标，利用两点间斜率公式得到
的关系，变形
后使用三个正数的基本不等式求解最小值.
【详解】
定义域为R，
的定义域为
，又
，
，
设
在切点
处的切线即为斜率为1 的直线，故
，所以
，则
，
设
在切点
，处的切线即为斜率为1 的直线，则
，则
，
则
，由两点间斜率公式得：
，则
，由于b>0，
则
，当且仅当
，
即
时，此时
等号成立，故
的最小值为2.
故答案为：2
重难点题型8 牛顿迭代法
1．（多选题）（2023·全国·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一
牛顿法.首先，设定一个起始点
，如图，在
处作
图象的切线，切线与
轴的交点横坐标记作
：
用
替代
重复上面的过程可得
；一直继续下去，可得到一系列的数
，
，
，…，
，…在一定
精确度下，用四舍五入法取值，当
，
近似值相等时，该值即作为函数
的一个零点.若
要求
的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数
，再用“牛顿法”求得零点的近似值，
即为
的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意
，
B．若
，且
，则对任意
，
C．当
时，需要作2 条切线即可确定的值
D．无论
在
上取任何有理数都有
【答案】BCD
【解析】A，因为
，则
，
设
，则切线方程为
，
切线与
轴的交点横坐标为
，所以
，故A 错误；
B，
处的切线方程为
，
所以与
轴的交点横坐标为
，故B 正确；
C，因为
，
，
所以两条切线可以确定的值，故C 正确；
D，由选项C 可知，
，所以无论
在
上取
任何有理数都有
，故D 正确.
故选：BCD
2．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）英国数学家牛顿在17 世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton-
Raphson method 译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设是
的根，选取
作为的初始近似值，过点
做曲线
的切线：
，则与
轴交点的横坐标为
，称
是的一次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中
，称
是的
次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点
大小，则函数
的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后3 位，参考数据：
）
A．2.207
B．2.208
C．2.205
D．2.204
【答案】C
【解析】易知
在定义域上单调递增，
，即函数的零点有
且只有一个，且在区间
上.
不妨取
作为初始近似值，
，
由题意知
.
故选：C.
3．（24-25 高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17 世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，
做法如下：如图，设是
的根，选取
作为的初始近似值，过点
作曲线
的切
线
，则与
轴的交点的横坐标
，称
是的第一次
近似值；过点
作曲线
的切线，则该切线与
轴的交点的横坐标为
，称
是的第二
次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中
，称
是的
次近
似值，这种求方程
近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程
的近似解，则下列正
确的是（ ）
A．若取初始近似值为1，则过点
作曲线
的切线
B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究方程的根、导数新定义
【分析】根据条件介绍的牛顿迭代法求近似解即可.
【详解】解：构造函数
，则
，
取初始近似值
，
，
，
则
，即
，则A 错误；
，
，B 错误；
根据题意，可知
，
上述式子相加，得
，
所以
，C 不正确，则D 正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛《解答本题的关键是理解牛顿迭代法的含义，并根据其含义去解决问题.
4．（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程
的根就是函数
的零点，取初始值
的图象在点
处的切线与
轴的交点的横坐标为
的图
象在点
处的切线与
轴的交点的横坐标为
，一直继续下去，得到
，它们越来越接
近．设函数
，
，用牛顿迭代法得到
，则实数
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法
【分析】求得
在
的切线方程，代入
求解即可．
【详解】
，
，
，
则
在
处的切线方程为
，
由题意得，切线过
代入得，
，解得
，
故选：D．
5．（22-23 高二下·北京海淀·期中）数学家高斯在21 岁时，证明了“任何复系数代数方程一定有根”，这
个结论被称作代数学基本定理；同样是21 岁的时候，法国数学家伽罗瓦证明了“五次及五次以上多项式
方程没有求根公式”.但随着科学技术的发展，很多领域需要求解高次方程，比如行星轨道的计算等等.为
此，数学家们想了很多办法，我们学过的“二分法”就是其中之一.牛顿和拉弗森在17 世纪提出了“牛顿
迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图，设是方程
的根，选取
作为初始近似值.
过点
作曲线
在
处的切线，切线方程为，当
时，称与
轴交点的横
坐标
是的1 次近似值；
过点
作曲线
的切线，设切点为
的切线方程为
，当
时，称
与
轴交
点的横坐标
是的2 次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列
.
当
时，的
次近似值
与
次近似值
可建立等式关系.
给出以下结论:
①切线的方程为
；
②
；
③若取
作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算
的2 次近似值为
.
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法
【分析】对于①，根据切线的几何意义，写出切线方程即可；对于②，根据题意求出
，
，再推理得
即可；对于③，设
，则
是
的正根，
，再根据②中结论，推理
的
2 次近似值即可.
【详解】对于①，根据题意，知切线的切点为
，则斜率
，所以切线方程为
，故①正确；
对于②，由①可知：
，
令
，得
，故②正确；
对于③，设
，则
是
的正根，
，
所以
，
时，
，
，故③正确.
综上，正确结论的个数为个.
故选：
.
6．（22-23 高三上·湖南湘潭·开学考试）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若
定义
是函数零点近似解的初始值，在点
的切线为
，切线与
轴交点的横坐标为
，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，X 满足精度的初始值即为函数
零点近似解．设函数
，满足
．应用上述方法，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】根据题意依次计算即可得出答案.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以在点
的切线方程为
，
令
得
，所以在点
的切线方程为
，
令
，得
，所以
，所以在点
的切线方程为
，
令
，得
，
故选：C．
