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专题3.1 导数的概念及运算
重难点题型1 导数的定义
1、导数的概念
函数
在
处瞬时变化率是
，我们称它为函数
在
处的导数，记作
或
．
2、几何意义
函数
在
处的导数
的几何意义即为函数
在点
处的切线的斜率．
1．（24-25 高二下·湖北黄石·阶段练习）黄石二中杰出校友何小鹏的小鹏汽车生产的2025 款小鹏X9 加速
目录●重难点题型分布
度表现出众，其中四驱高性能Max 版的
加速时间仅需3.5 秒．若某款车的速度v 关于时间t 的
函数为
（
），则
秒时的加速度为（ ）．
A．5.2
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·重庆·期中）已知火箭发射t 秒后，其高度（单位：米）为
，则火箭发射后第
10 秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·辽宁·期中）已知函数
，则
的值为（ ）
A．-1
B．3
C．8
D．16
4．（24-25 高二下·吉林长春·期中）已知
的值是（ ）
A．2
B．1
C．
D．
5．（24-25 高二下·甘肃白银·期中）已知函数
，则
．
6．（24-25 高二下·辽宁·期中）已知函数
，则
= ．
重难点题型2 求函数的导数
1、求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（
为常数）
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：
；
（2）函数积的求导法则：
；
（3）函数商的求导法则：
，则
．
3、复合函数求导数
复合函数
的导数和函数
，
的导数间关系为
：
1．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．
(a 为常数)
B．
C．
D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，则
（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
3．（22-23 高三上·四川·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．5
4．（2022·陕西咸阳·二模）下列导数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·江西南昌·三模）设函数
的导数为
，且
，则
.
6．（21-22 高二下·上海宝山·期中）已知函数
的导函数为
，且满足关系式
，则
.
重难点题型3 几何意义在（或过）某点的切线方程
1、在点的切线方程
切线方程
的计算：函数
在点
处的切线方程为
，抓住关键
．
2、过点的切线方程
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，
又因为切线方程过点
，所以
然后解出
的值．（
有几个值，就有几
条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
1．（2023·陕西榆林·一模）已知函数
的图象在
处的切线方程为
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
2．（2025·内蒙古赤峰·三模）曲线
在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．（2024·江西景德镇·一模）过点
且与曲线
相切的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·内蒙古·三模）若过点
可以作曲线
的两条切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）（多选题）过点
向曲线
作切线，切线方程可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·四川·模拟预测）函数
的图象在点
处的切线方程为 ．
7．（2018·全国II 卷·高考真题）曲线
在点
处的切线方程为 ．
8．（2024·天津和平·二模）过点
作曲线
的切线，则切点的坐标为 ．
重难点题型4 几何意义之公切线
1．（2023·云南保山·统考二模）若函数
与函数
的图象存在公切线，
则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数
，若曲线
与
有两条
公切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·海南·模拟预测）若函数
与
的图象有且只有一条公切线，则
实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
4．（2025·辽宁·二模）若曲线
与曲线
存在公切线，则
的取值范围是 ．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线
在
处的切线与曲线
相切，则
．
6、（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线
与曲线
相切，直线
与曲
线
相切，则
的值为___________.
重难点题型5 几何意义之切线的条数问题
1．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线
相切的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
2．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线
的切线，则切线共有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，过点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2024·江苏淮安·模拟预测）（多选题）已知函数
.若曲线
存在两条过
点的
切线，则实数
的可能取值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
5．（2025·安徽·模拟预测）已知点
不在函数
的图象上，且过点
有三条直线与
的图象相切，则实数
的取值范围为 ．
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点
可作三条直线与曲线
相切，则实数a 的取
值范围为 .
重难点题型6 平行、垂直及重合问题
1．（2024·河北邢台·二模）已知函数
的图像在
，
两个不同点处的
切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
的图象上存在不同的两点
，使得曲线
在点
处的切线都与直线
垂直，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·四川凉山·一模）函数
在区间
的图象上存在两条相互垂直的切线，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·四川宜宾·模拟预测）若直线
与两曲线
分别交于
两点，且曲线
在点
处的切线为
，曲线
在点
处的切线为
，则下列结论：
①
，使得
；②当
时，
取得最小值；
③
的最小值为2；④
最小值小于
．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（2025·山东青岛·一模）已知函数
图象的两条切线相互垂直，并分别交
轴于A，B 两点，
则
.
6．（2024·北京朝阳·一模）已知函数
.若曲线
在点
处的切线与其在点
处的切线相互垂直，则
的一个取值为 .
重难点题型7 最值问题
1．（2021·湖南衡阳·二模）若函数
与
的图象存在公切线，则实数a 的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（20-21 高三上·安徽·阶段练习）已知函数
与
存在公切线，则实数a 的最小值
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·河北·模拟预测）若曲线
与曲线
存在公切线，则实数
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·四川内江·模拟预测）若函数
与
的图象存在公共切线，则实数a 的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·广东江门·二模）若曲线
与曲线
存在公切线，则a 的最大值 ．
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线
与
有公共切线，则实数a 的最大值
为 ．
7．（2023·重庆·三模）已知函数
，
，若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，则
；若
，
对于任意
的
都成立，则
的最大值为 ．
8．（2022·海南·模拟预测）已知函数
和
，其中
为常数且
．若存在
斜率为1 的直线与曲线
同时相切，则
的最小值为 ．
重难点题型8 牛顿迭代法
1．（多选题）（2023·全国·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一
牛顿法.首先，设定一个起始点
，如图，在
处作
图象的切线，切线与
轴的交点横坐标记作
：
用
替代
重复上面的过程可得
；一直继续下去，可得到一系列的数
，
，
，…，
，…在一定
精确度下，用四舍五入法取值，当
，
近似值相等时，该值即作为函数
的一个零点.若
要求
的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数
，再用“牛顿法”求得零点的近似值，
即为
的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意
，
B．若
，且
，则对任意
，
C．当
时，需要作2 条切线即可确定的值
D．无论
在
上取任何有理数都有
2．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）英国数学家牛顿在17 世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton-
Raphson method 译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设是
的根，选取
作为的初始近似值，过点
做曲线
的切线：
，则与
轴交点的横坐标为
，称
是的一次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中
，称
是的
次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点
大小，则函数
的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后3 位，参考数据：
）
A．2.207
B．2.208
C．2.205
D．2.204
3．（24-25 高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17 世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，
做法如下：如图，设是
的根，选取
作为的初始近似值，过点
作曲线
的切
线
，则与
轴的交点的横坐标
，称
是的第一次
近似值；过点
作曲线
的切线，则该切线与
轴的交点的横坐标为
，称
是的第二
次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中
，称
是的
次近
似值，这种求方程
近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程
的近似解，则下列正
确的是（ ）
A．若取初始近似值为1，则过点
作曲线
的切线
B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为
C．
D．
4．（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程
的根就是函数
的零点，取初始值
的图象在点
处的切线与
轴的交点的横坐标为
的图
象在点
处的切线与
轴的交点的横坐标为
，一直继续下去，得到
，它们越来越接
近．设函数
，
，用牛顿迭代法得到
，则实数
（ ）
A．1
B．
C．
D．
5．（22-23 高二下·北京海淀·期中）数学家高斯在21 岁时，证明了“任何复系数代数方程一定有根”，这
个结论被称作代数学基本定理；同样是21 岁的时候，法国数学家伽罗瓦证明了“五次及五次以上多项式
方程没有求根公式”.但随着科学技术的发展，很多领域需要求解高次方程，比如行星轨道的计算等等.为
此，数学家们想了很多办法，我们学过的“二分法”就是其中之一.牛顿和拉弗森在17 世纪提出了“牛顿
迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图，设是方程
的根，选取
作为初始近似值.
过点
作曲线
在
处的切线，切线方程为，当
时，称与
轴交点的横
坐标
是的1 次近似值；
过点
作曲线
的切线，设切点为
的切线方程为
，当
时，称
与
轴交
点的横坐标
是的2 次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列
.
当
时，的
次近似值
与
次近似值
可建立等式关系.
给出以下结论:
①切线的方程为
；
②
；
③若取
作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算
的2 次近似值为
.
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
6．（22-23 高三上·湖南湘潭·开学考试）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若
定义
是函数零点近似解的初始值，在点
的切线为
，切线与
轴交点的横坐标为
，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，X 满足精度的初始值即为函数
零点近似解．设函数
，满足
．应用上述方法，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
