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专题3.2 导数与函数的单调性
重难点题型1 利用导函数与原函数的关系确定图像
1．（2025·河北·模拟预测）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列结论
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数与导函数图象之间的关系
【分析】求导可得
，再由二次函数的图象性质即可判断.
目录●重难点题型分布
【详解】
，
如图：因为
的图象是开口向上的抛物线，所以
；
应为函数图象关于
轴对称，即
为偶函数，所以
；
因为
有两根且互为相反数，所以
.
综上：
.
故选：B．
2．（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数
及其导函数
的部分
图象如图所示，则（ ）
A．函数
在区间
上单调递增
B．函数
在区间
上单调递减
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
在区间
上单调递减
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系
【分析】首先分析哪一个函数图象为
、
的图象，再根据导数的运算法则求出选项中的导
函数，最后分析其正负，即可判断其单调性.
【详解】如图，不妨令上面的曲线为
，
与
的轴交点横坐标分别为，
，
下面的曲线为
，
与
的轴交点横坐标为，
由
的图象可知，当
时函数值小于
，当
时函数值大于
，且
的图象从左至右呈上升趋势；
由
的图象可知，当
时函数值小于
，当
或
时函数值大于
，且
的图象从左至右
呈先下降，后上升趋势；
又这两个函数图象为函数
及其导函数
的图象，
所以
对应的是
，
对应的是
；
所以当
时
，
单调递减，且
，
当
时
，
单调递增，且当
时
，当
时
；
对于A、B：由
，所以
，
显然
，当
时
，所以
，则
在
上单调递减，
当
时
，所以
，则
在
上单调递增，故A、B 错误；
对于C、D：
，则
，
显然
，且当
时
，即
，
所以
，所以
在区间
上单调递增，故C 正确，D 错误.
故选：C
3．（23-24 高三上·浙江·阶段练习）已知函数
的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数与导函数图象之间的关系
【解析】结合
的图象，利用导数的正负与函数的单调性间的关系求解.
【详解】由
的图象可知：当
或
时
，函数
递减；
当
时，
，函数
递增；
故选：B
【点睛】本题主要考查导数的正负与函数的单调性间的关系，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
4．（2022 高三·全国·专题练习）函数
的导函数
的图象如图所示，则函数
的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】函数与导函数图象之间的关系
【分析】本题利用导函数的性质，便可以解题.
，函数为增函数，
，函数为减函数，根据
导函数图形找到对应区间就可以得出答案.
【详解】由
图象知，当
或
时，
，函数为增函数，当
或
时，
，函数为减函数，对应图象为A.
故选：A．
5．（23-24 高二上·陕西咸阳·期末）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．
是函数
的极大值点
B．函数
在区间
上单调递增
C．
是函数
的最小值点
D．曲线
在
处切线的斜率小于零
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系
【分析】根据导函数
的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；
【详解】解：由导函数
的图象可知，当
时
，当
时
，当
时
，当
或
时
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
函数在
处取得极小值即最小值，所以
是函数的极小值点与最小值点，因为
，所以曲线
在
处切线的斜率大于零，
故选：B
6．（21-22 高二下·黑龙江牡丹江·开学考试）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则下列结论
正确的是（ ）
A．当
时，函数
取得极小值
B．函数
在区间
上是单调递增的
C．当
时，函数
取得极大值
D．函数
在区间
上是单调递增的
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系
【分析】通过导函数
的正负情况判断原函数的单调性，进而得到极值.
【详解】由图像可知，
时，
，所以
单调递减，故B 错误；
时，
，所以
单调递增，
所以当
时，函数
取得极小值，故A 正确；
当
时，函数
取得极大值，不是
的极值，故C 错误；
导函数
在区间
上存在
使得
，
所以函数
在区间
上是先减后增，故D 错误；
故选：A.
7．（2025·海南海口·模拟预测）（多选题）
是定义在区间
上的函数，其导函数
的图象如
图所示，则在区间
内（ ）
A．函数
有三个极值点
B．函数
的单调增区间为
C．函数
的最大值可能为
D．函数
的最小值可能为
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析
【分析】利用导数图象分析函数
的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于AB 选项，由图象可知，当
或
时，
，当
时，
.
所以，函数
的减区间为
、
，增区间为
，
所以，函数
只有两个极值点，A 错，
函数
的单调增区间为
，B 对；
对于CD 选项，函数
的最大值可能为
，C 对，
因为函数
在
上单调递减，则
，故函数
的最小值不可能为
，D 错.
故选：BC.
8．（24-25 高三下·重庆·开学考试）（多选题）已知函数
，
的图象是一条连续不断的曲线，
设其导数为
，函数
的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
处取最大值
B．
是
的极大值点
C．
没有极小值点
D．
可能不是导函数
的极大值点
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数（导函数）图象与极值的关系、由导数求函数的最
值（不含参）、函数极值点的辨析
【分析】根据
的图象，先分析出
的正负性，即可得
的单调性，从而可判断A，B，C，再由
和
时，
，而
不一定等于0，可判断D.
【详解】当
时，
，
函数
单调递增，
同理可得：当
时，
，函数
单调递减，
所以
为函数
的极大值，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
函数
单调递减，
所以函数
在
上单调递减，
从而
在
处取最大值，且没有极小值点，故A,C 正确，B 错误；
又
和
时，
，
，而
在
时等于0，所以
不一定等于0，
当
时，
是导函数
的极大值点，
当
时，
不是导函数
的极大值点，所以D 正确.
故选：ACD.
重难点题型2 求函数的单调区间（不含参数）
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正
或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0 的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导
函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶
导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求
导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间
段）；
1．（24-25 高三上·甘肃定西·阶段练习）若函数
，则函数
的单调递减区间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求函数
的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果.
【详解】函数
，定义域为
，
由
，令
，解得
，
则函数
的单调递减区间为
.
故选：C.
2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数
，则
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求导，根据导数为负即可求解.
【详解】
的定义域为
，
，
令
，解得
，
故
的单调递减区间为
，
故选：B
3．（2025·吉林·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．当
时，函数
的单调递减区间是
B．当
时，函数
的单调递增区间是
C．
是函数
的极大值
D．函数
有且只有一个零点
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数、求已知函数的极值、利用
导数研究函数的零点
【分析】当
时，利用导数求函数
的单调性，判断AB；分
和
研究函数
的单调性
和最值，从而判断CD.
【详解】当
时，
,
则
，
当
时，
，
则函数
的单调递减区间是
和
，
当
时，
，则函数
的单调递增区间是
，
故A 错误，B 正确；
因为
，则
，
当
时，当
时，
，
则函数
的单调递减区间是
和
，
当
时，
，则函数
的单调递增区间是
，
所以
是函数
的极大值点，极大值为
，
当
时，当
时，
，
则函数
的单调递增区间是
和
，
当
时，
，则函数
的单调递减区间是
，
所以
是函数
的极大值点，极大值为
，故C 正确；
根据上面研究，当
时，函数
的单调递减区间是
和
，
单调递增区间是
，且
，所以当
时，
，
当
时，
，所以函数
只有一零点，
当
时，函数
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
，且
，所以
当
时，
，
当
时，
，所以函数
只有一零点，D 正确.
故选：BCD
4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数
的单调递减区间是 .
【答案】
（写成
，
，
，
同样给分）
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解.
【详解】因为
，
，
令
，得
，解得
，
所以
的单调递减区间是
.
故答案为：
5．（2025·福建南平·三模）已知函数
，其导函数为
.
(1)求
的单调区间；
(2)证明：
.
【答案】(1)函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
(2)证明见解析.
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式
【分析】（1）利用导数工具研究函数导函数的值的正负情况即可得解；
（2）利用导数工具二次求导研究函数
的单调性即可得证.
【详解】（1）由题函数定义域为R，
，令
，
所以当
时，
，
当
时，
，
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）证明：由（1）
，
所以
在
上恒成立，
所以函数
即
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
单调递增，
所以
，即
.
6．（2025·河北·模拟预测）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间.
【答案】(1)
(2)递增区间为
和
，递减区间为
和
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、利用导
数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求出导函数
，计算出
，
，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求
解；
（2）令
即可求出函数
的单调递增区间，令
即可求出函数
的单调递减区间.
【详解】（1）由题意知
，
则
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）
的定义域为
，
由（1）知
，
令
得
或
；令
得，
且
，
所以
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
和
.
7．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知
，
(1)求
的单调递增区间；
(2)若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数
的零点
【分析】（1）求导，由
求解即可；
（2）求导，分析函数
的单调性，进而结合题意求解即可.
【详解】（1）
的定义域为
，
，
令
，得
，
的单调递增区间是
.
（2）由已知得
，
则
，
，则当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
，
，
，
若
在
上有两个零点，则
，
，即
，
即实数
的取值范围为
.
8．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)将
的图象绕原点
逆时针旋转
后，得到的曲线仍是函数图象，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.15
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、极坐标与直角坐标的互化、含参分类讨论求函数的单
调区间
【分析】（1）首先对函数求导，然后分情况讨论
的不同取值范围下，函数的单调性从而得到函数的单调
区间.
（2）利用函数图像旋转后仍是函数图像的条件，转化为斜率的问题进行求解.可先取曲线上一点，利用该
点旋转前后的坐标，列出关系式，构造函数，对函数的单调性进行讨论，进而求出
的取值范围.
【详解】（1）由
，得
当
时，
为常数函数，无单调区间
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）法一：旋转+函数定义
设
为
的图象上任意一点，
绕原点
逆时针旋转
后点
对应点为
，
设
与
轴正半轴夹角为
，
可得：
化简可得
令
，则
，所以
令
，
要使函数图象绕原点
逆时针旋转
后仍为某函数的图象，
则
为单调函数，即
恒成立，或
恒成立
因为
，又
，故
不恒成立，
所以
恒成立，当
时，
；当
时，
，得
.
令
，则
，
易得当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
，故
当
时，
，得
令
，则
，
在
单调递增，
的值域为
综上：
法二：旋转+导函数值域
当
时，
绕原点
逆时针旋转
后
得到
是函数图象，符合题意；
当
时，由
，得
，由
，得
，
在
单调递增，在
单调递减，
其图象如图1 所示绕原点
逆时针旋转
后，得到的曲线不是任何函数的图象；
当
时，由
，得
，由
，得
，
在
单调递减，在
单调递增，其图象如图2 所示绕原点
逆时针旋转
后，得到的曲
线要是函数的图象，必有
，
即
在
上恒成立，令
，则
时，
单调递减，
时，
单调递增，
，故—
综上：
.
重难点题型3 已知含参数函数的单调区间，求参数的取值范围
1．（23-24 高三上·福建泉州·阶段练习）若函数
在
上存在单调递增区间，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数的单调区间求参数
【分析】根据条件得出存在
，使
成立，即存在
，使
成立，构
造函数
，
，求出
的最值即可解决问题.
【详解】因为函数
在
上存在单调递增区间，
所以存在
，使
成立，即存在
，使
成立，
令
，
， 变形得
，因为
，所以
，
所以当
，即
时，
，所以
，
故选：D．
2．（2023·广西玉林·二模）若函数
在
上为增函数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】对函数求导，根据题意可得
对
恒成立，列出不等式组，解之即可
求解.
【详解】依题意得
对
恒成立，
即
对
恒成立．
因为y＝ax＋a＋1 的图象为直线，
所以
，解得
．
故选：B.
3．（2025·浙江金华·三模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】利用导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想即可求解.
【详解】求导得
，
要满足函数
在区间
上单调递增，
则
，即
，
因为
，所以
，即
，
故选：B.
4．（2025·山东菏泽·二模）已知函数
在
上单调递增，则
的最小值为
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】根据函数
在
单调递增，即
在
恒成立，解得
，再构造函数
，
通过导数求单调性即可求解.
【详解】由题意，函数
的定义域为
，
导函数为
，
因为函数
在
单调递增，
所以
在
恒成立，
所以
，即
，
故
，
令
，则
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，
所以
的最小值为.
故选：B.
5．（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
，使得
为单调函数
B．
，
的图象恒有对称中心
C．当
时，
D．若
，
，
是方程
的三个不同的根，则
【答案】ABD
【难度】0.4
【知识点】函数对称性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】A 对函数求导，假设函数单调，并结合二次函数性质列不等式求参数范围，即可判断；B 由
，再结合
即可判断；C 应用特
殊值
判断；D 由
并展开，结合已知表达式，即可判断.
【详解】A：由题设
，所以
是开口向上的抛物线，
要使
为单调函数，只需
恒成立，即
，得
，
所以
，使得
为单调函数，对；
B：对于
，
所以
，即
恒关于点
对称，对；
C：由题设
，若
，显然
，错；
D：由题设
，
又
，则
，对.
故选：ABD
6．（2025·新疆·模拟预测）（多选题）若函数
是区间
上的单调函数，
则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】利用导数求出函数
的增区间和减区间，结合题意可得出区间的包含关系，可求出实数
的
取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】因为
，则
，
由
可得
，由
可得
或
，
所以，函数
的增区间为
和
，减区间为
，
若函数
在
上单调递减，则
，
且
成立，则
，无解；
若函数
在
上单调递增，
则
或
，
即
或
，解得
或
，
故选：ACD．
7．（2025·山西·一模）设
，若函数
在区间
上单调，则
的取值范围是
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由函数的单调区间求参数
【分析】由题意
，设
，利用导数可得
在
上单调递减，
由
，进而可得
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，进而可得.
【详解】
，
设
，则
，
故
在
上单调递减，又
，可知
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，故
，
的取值范围是
.
故答案为：
8．（2024·河南·模拟预测）若函数
的减区间为
，则
的值为 .
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性
求参数
【分析】由
的解集，求出
的值.
【详解】
的解集为
，
即
的解集为
，所以
，
解得
.
故答案为：.
重难点题型4 求函数的单调性(含有参数)
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一
个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正
或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
考向1 类一次函数类型（大于0、小于0 与等于0）
1．（2025·甘肃白银·三模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单
调区间
【分析】（1）先对函数
求导得
，再根据
的取值范围讨论导数正负.确定函数的单调区
间.
（2）把
恒成立转化为
.令
，对其求导得
，根据导数正负确定
单调性，求出
最大值，进而得到
的取值范围.
【详解】（1）
，
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，由
得
，由
得
，所以函数
在
，
上单调递减，
在
上单调递增．
综上所述，当
时，函数
在
上单调递减，当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）
恒成立等价于
，即
．
令
，当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，即
．
所以
的取值范围为
．
2．（24-25 高二下·四川资阳·期中）已知函数
，
．
(1)若
的最大值是0，求
的值；
(2)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值
的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求得
，分
和
，两种讨论，函数
的最大值，从而求解；
（2）根据题意，转化为分离参数得
在
上恒成立，设函数
，利
用导数，求得函数
的最小值，进而
的取值范围．
【详解】（1）解：由函数
，可得其定义域为
，且
．
若
，则
，
在定义域内单调递增，无最大值，不符合题意，舍去；
若
，则当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
取得极大值，也是最大值，
其最大值为
，解得
，
显然
符合题意，所以
的值为1．
（2）解：对任意
，
恒成立，即
在
上恒成立，
设
，可得
，
设
，可得
，
所以
在
上单调递增，且
，
，
所以
有唯一零点
，且
，
所以
，
构造函数
，则
．
又由函数
在
上是增函数，所以
，
由
在
上单调递减，在
上单调递增，
可得
，
所以
，解得
，所以
的取值范围是
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
（a 为常数）.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若存在两个不相等的整数
，
满足
，求证：
.
(3)若
有两个零点
，
，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、对数不等式
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）利用对数均值不等式
（
，
，
）即可得证.
（3）由题意得
，要证
，只需证：
，利用换元，令
，
只需证：
，由对数均值不等式即得.
【详解】（1）由
，得函数的定义域为
，
又
，
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，得
；令
，得
；
所以，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）由
，得
，
故欲证
，只需证：
，即证
，
又
，
，
，
不妨设
，
，等价于
，令
（
），
等价于
（
），
，所以
在
单调递增，而
，
所以，当
时，
恒成立.
所以
，
所以
.
（3）函数
有两个零点
，
，所以
，
，
不妨设
，
，
即
，要证：
，
需证：
只需证：
，只需证：
，
只需证：
，只需证：
，
令
，只需证：
，
令
，
，
所以
在
上单调递减，所以
，即
，
故
.
也可由对数均值不等式
（
），即
，
令
（
），则
，即
，
所以
.
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调区间；
(2)证明：
．
【答案】(1)当
时，
单调递增；当
时，
单调递减
(2)证明见解析
【难度】0.85
【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导后，令导数等于0 即可得出函数的单调区间；
（2）只需证明函数的最大值
即可，从而可以构造一个关于
的函数，结合导数来证明即
可.
【详解】（1）
，
，令
，得
．
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.
（2）
．
设
，则
，
令
，得
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减．
所以
，即
，
由（1）知，
，得证．
考向2 类 二次函数类型（可分解因式）
5．（24-25 高二下·广西南宁·期中）已知函数
．
(1)设
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有唯一零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单
调区间
【分析】（1）首先求出函数解析式，然后通过求导可以求出切线斜率，进而能够求出切线方程.
（2）首先求出函数的导函数，然后分三种情况讨论
的不同范围下（
）函数
的单调
区间.
（3）基于（2）中分情况讨论的函数的单调性，依然要分三种情况（
）讨论使得
有
唯一零点的
的取值范围.
【详解】（1）因为
，所以函数
.
对函数求导得：
.
因为点
在曲线
上，所以曲线
在点
处的切线斜率为-1，
故曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
（2）因为
，所以
.
令
，则
.
当
时，
或
时，
;
时，
.
此时，
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
.
当
时，
或
时，
;
时，
.
此时，
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
.
当
时，
，此时函数
在
上单调递增.
综上所述，当
时，
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
；
当
时，
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
；
当
时，函数
在
上单调递增.
（3）当
时，
，令
，
解得
，此时，
有唯一零点，符合题意.
当
时，由（2）知，
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
.
此时函数的极大值为
，极小值为
.
因为当
时，
；当
时，
.
因为
有唯一零点，所以极大值
，解得
，
此时
的取值范围为
.
当
时，由（2）知，
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
.
此时函数的极小值为
，极大值为
.
因为当
时，
；当
时，
.
因为
有唯一零点，所以极大值
，解得
，
此时
的取值范围为
.
综上，实数
的取值范围为
.
6．（2025·河南·二模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性.
(2)若存在两个不同的
，
满足
，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】（1）先求得导函数，再按实数
分类讨论函数
的单调性即可；
（2）结合（1）讨论可得当且仅当
时
有两个零点，令
，求
导研究函数的单调性，进而证得结果.
【详解】（1）
的定义域为
，且
，
①当
时，由
，得
，由
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
②当
时，
恒成立，故函数
在
上单调递增；
③当
时，由
，得
，由
，得
或
，
所以函数
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
④当
时，由
，得
，由
，得
或
，
所以函数
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
综上：当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
，
上单调递增.
（2）由（1）知，当
时，
，所以
不可能有两个零点；
当
时，
，所以
不可能有两个零点；
当
时，
在
上单调递增，所以
不可能有两个零点；
若要
有两个零点，当
时，
，此时
（舍），
，不符合题意故舍去，当且
仅当
，所以
，
设
，令
，
则
，
所以
在
上单调递减，则
，即
，
所以
，又
，所以
，
因为
，
，由（1）知
在
上单调递增，
所以
，即
.
7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
在
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式
恒成立问题
【分析】（1）利用导数讨论含参函数的单调性，令
、
即可求解；
（2）由（1）可得
，利用二阶导数讨论可知
在
上单调递减，
且
，解不等式即可求解.
【详解】（1）由
，
，
，
求导得
.
当
，由
，解得
或
；由
，解得
.
当
时，
恒成立.
当
时，由
，解得
或
；由
，解得
.
综上，当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
的
在单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）知，当
时，函数
在
单调递减，在
单调递增，
所以
.
令
，
，得
.
令
，
，得
，
所以
在
单调递减，得
，
所以
.所以
在
上单调递减.
因为
且
，所以
，
则
，所以a 的取值范围为
.
8．（2025·山东临沂·二模）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)设函数
，已知
有两个极值点
．
①求
的取值范围；
②求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)①
；②证明过程见解析
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、根
据极值点求参数
【分析】（1）求导，根据导数零点大小对
分类讨论即可得解；
（2）①根据
分离参数即可求解；②理由韦达定理将
转换为
的函数，利用导
数研究函数的单调性即可得证.
【详解】（1）对函数
求导得，
，
若
，则
，
若
，
，此时
在定义域
上单调递增，
若
，则
，当
或
时，
，当
时，
，
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
若
，则
，当
或
时，
，当
时，
，
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上所述，若
，则
在定义域
上单调递增；
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递减；
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）①
，
求导得
，
因为
有两个极值点
，所以
有两个“变号”零点，
即
有两个零点，
令
，
是一一对应的，
从而
有两个零点，
设
，该二次函数开口向下，对称轴是
，
注意到
，所以
，
即
的取值范围是
；
②由（2）①不妨设
，即
，
等价于
，
由韦达定理有
，
，
，
令
，
，
所以
单调递增，
从而
.
考向3 类二次函数类型（不可分解因式）
9．（2025·天津河西·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)已知
，证明：
（其中是自然对数的底数）.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜
率）、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；
（2）求出函数的定义域与导函数，再分
、
、
三种情况讨论，分别求出函数的单调
性；
（3）依题意即证
，当
恒成立，当
时，只需证
，即证
，分别构造函数，利用导数求出
，
，即可得证.
【详解】（1）当
时，
，
，
当
时，
，
，
切线方程为
，整理得
，
所以曲线
在
处的切线方程为
.
（2）函数
的定义域为
，
，
对于关于
的方程
，有
，
当
时，
，则
恒成立，
在
上单调递减；
当
时，方程
有两根
，
，
若
，则
，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增；
时，
，所以
在
上单调递减；
若
，则
，
当
和
时，
，当
时，
；
即
在
与
上单调递减，在
上单调递增；
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
与
上单调递减，
在
上单调递增.
（3）要证
，即证
，
因为
，
，所以
，
当
时，不等式
显然成立；
当
时，因为
，则
，
所以只需证
，即证
，
令
，
，则
，
由
得
；由
，得
，
则
在
上为单调递增，在
上单调递减，故
；
令
，
，则
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上为单调递减，在
上为单调递增，
所以
，
所以
恒成立，即
.
10．（22-23 高三下·河北石家庄·期中）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）对函数求导，构造
，讨论参数a，结合二次函数性质判断导数
符号，进而确定单调区间；
（2）由（1）知
有
，取
得
，取
则
，两侧累加即可证结论.
【详解】（1）
，
令
，则
．
当
，即
时
，即
恒成立，则
在
上单调递增；
当
时，
、
在
上均单调递增，所以
在
上单调递增；
当
时，由
得
，
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
综上，当
时，
的单调递增区间是
，无递减区间；
当
时，
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
．
（2）由（1）知，当
时，
在
上单调递增，
若
，则
，即
，
取
，则
，
即
，取
，则
，
于是有
，
，…，
，
，
所以
，
即
，
整理得
．
【点睛】关键点点睛：第二问，根据
有
，取
得到不等式恒成立，应用换元法、
累加证结论.
11．（2024·山东枣庄·一模）已知
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
.
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导得
，分
，
两种情况，求方程
的解，分析
的
符号，进而可得
的单调性．
（2）化简不等式，证明
，函数
有唯一零点，由此证明
，证明
时，满足条件，
时不满足条件即可.
【详解】（1）由题意知
定义域为
，
且
.
令
，
①当
时，
，所以
在
上单调递增.
②当
时，
，记
的两根为
，
则
，且
.
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减.
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）
，化简得
.
设
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
又
，所以
，当且仅当
取等号，
令
，因为
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增.
又因为
，
所以存在唯一
，使得
①，
所以
，当且仅当
时取等号.
①当
时，
成立.
②当
时，由①知
.
所以
与
恒成立矛盾，不符合题意.
综上
.
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：若
有最值.
（1）
恒成立⇔
；（2）
恒成立⇔
.
12．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)令
，若
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
．
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导得
，利用判别式分类讨论可求单调区间；
（2）
，可得
，进而证明
时
恒成立，利用放缩法与构造函数法可求解.
【详解】（1）由
，
，
①当
时，
，可得
，此时函数
在R 上单调递增；
②当
时，
，关于x 的一元方程
的两根为
，
此时函数
的减区间为
，增区间为
，
；
（2）若
恒成立，必有
，可得
，
下面证明
时
恒成立.
由
及
，有
，
要证不等式
，只需证
，
又由
，只需证
，
令
，
有
，
令
，有
，
①当
时，
，
，
有
；
②当
时，
，
，
有
．
由①②可知
，故函数
单调递增，
又由
，可知当
时
，即
；
当
时
，即
，可得函数
的减区间为
，增区间为
，
有
．
由上知，若
恒成立，则实数a 的取值范围为
.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
重难点题型5 挑战压轴题
1．（2025·四川成都·三模）若
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.15
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系、比较对数
式的大小
【分析】通过对已知等式进行变形，构造
，利用函数单调性来比较变量之间的大小关系，结
合特殊值法，逐个判断.
【详解】已知
，将等式进行移项可得
.
根据对数运算法则
，进一步变形为
.
因为
，则
，
所以
，
令
，对
求导可得
，所以
在
上单调递增.
因为
，
，
，
所以
，
根据
的单调性可知
，即
，
再根据对数函数的性质，所以
，C 错，D 对；
若
，此时
，且
，
而
，
所以
，则
，此时
，排除A，
若
，此时
，且
，
若
时，
，必有
，排除B；
故选：D.
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知
，若
，则下列结论一
定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.15
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较正弦值的大小、比较余弦值的大小
【分析】构造函数
并利用导函数判断函数的单调性，然后分
三
种情况讨论，然后根据三角函数的单调性即可得
【详解】令
，得
，
若
，则
所以
在
上单调递增，
当
时，则
，
所以
，
又
在
上单调递增，所以
，
，
当
时，
，
又
在
上单调递增，所以
，不合题意；
当
时，
，
所以
，
又
在
上单调递增，
所以
，所以
，
，
综上可得
，
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造
判断单调性，然后分类讨论，利用放缩法对
变形，结合正余弦函数的单调性即可得.
3．（2025·全国·一模）（多选题）设a，b 为正数，若函数
在区间
上有且仅有两个
零点，则（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】BC
【难度】0.15
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用不等式求值或取值范围、用导数判断或证明已知函数的
单调性、基本不等式求和的最小值
【分析】对于AB，由
的零点题意可得
，
对应范围，然后由不等式性质可判断选项正
误；对于C，注意到
，由AB 分析结合导数知识可判断选项正误；对于D，由基本不等式
结合基本不等式取等条件及题意可判断选项正误.
【详解】对于A，由
，可得
或
，
.
则
或
，
.
因a，b 为正数，且函数
在区间
上有且仅有两个零点，
则
或
或
，其中
.
当
时，可得
；
当
时，类似可得
；
当
时，类似可得
.
综上可得
有最小值
，无最大值，故A 错误，B 正确；
对于C，注意到
，又由AB 分析知，
当
时，
，
，则此时
；
当
时，同理可得：
，
其中
.令
，则
，
，
构造函数
，则
，
即
在
上单调递增，
则
；
当
时，同理可得：
，
其中
.令
，则
，
，
构造函数
，则
，
即
在
上单调递增，则
；
因
，综上可知，
的最小值为
，故C 正确；
对于D，由以上分析可知
，由基本不等式，
，
当且仅当
时取等号，此时，
为
，因
，
则此时
只有一个零点，不满足题意，则取等条件不成立，
则
，故D 错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题涉及三角函数的零点，所涉情况较多，故适当分组，分组讨论解决问题；C 选项
中，若难以注意到
，可由待定系数法确定相关系数；
要使用基本不等式，需满足一正，二定，三相等，三个条件缺一不可.
4．（2025·北京丰台·一模）已知函数
.给出下列四个结论：
①当
时，
在区间
上单调递增；
②对任意实数a，
都没有最小值；
③当
时，设
的零点从大到小依次为
，
，
，，则对任意正整数i，都有
；
④对任意实数a，m，存在实数
，当
时，恒有
.
其中所有正确结论的序号为 .
【答案】②④
【难度】0.15
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】①取特殊值，根据导数与函数的单调性的关系即可判断；
②对
进行分类讨论，即可判断；
③结合①②的情况进行判断即可.
【详解】对于①，当
时，
，则
，存在
，使得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，故①错误；
对于②，当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
,
,
,则
在
上没有最小值；
当
时，
,
,
,则
在
上没有最小值；
故②正确；
对于③，结合①②，当
时，
在
的零点，最大的①中的
，
，
当
时，
当
时，
存在零点，
所以
这两个零点距离大于
，故③错误；
对于④，
，
因为
是对勾函数，可以取到
，
，所以
可以取到
,故④正确.
故答案为：②④.
