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专题1.10 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1
1．（5分）（2022春•小店区校级月考）若p： ＞1；q：（x﹣1）（3﹣x）≤0，则p是q的（ ）
x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
【解题思路】解不等式 ＞1和（x﹣1）（3﹣x）≤0，根据两不等式的解集判断p与q的关系．
x
1 1 1−x x−1
【解答过程】解：不等式 ＞1可化为 −1＞0，即 ＞0，即 ＜0，解得0＜x＜1，所以该不
x x x x
等式的解集为（0，1）；
不等式（x﹣1）（3﹣x）≤0可化为（x﹣1）（x﹣3）≥0，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为
（﹣∞，1]∪[3，+∞）；
因为（0，1）是（﹣∞，1]∪[3，+∞）的真子集，所以p是q的充分不必要条件．
故选：A．
2．（5分）（2022春•西山区校级期中）已知不等式﹣x2﹣x+6＞0，则该不等式的解集是（ ）
A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2或x＞3} C．{x|x＜﹣3或x＞2} D．{x{﹣3＜x＜2}
【解题思路】一元二次不等式求解即可．
【解答过程】解：﹣x2﹣x+6＞0，即x2+x﹣6＜0，
因式分解为：（x﹣2）（x+3）＜0，
解得：﹣3＜x＜2，
则该不等式的解集为{x|﹣3＜x＜2}．
故选：D．
3．（5分）（2022春•资阳期末）若x R，ax2+ax﹣1＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣4，0∈] C．[﹣4，0） D．[﹣4，0]
【解题思路】利用一元二次不等式的性质、解法直接求解．
【解答过程】解：∵x R，ax2+ax﹣1＜0，
∈
∴a＝0或{ a≠0 ，
Δ=a2+4a＜0
解得﹣4＜a≤0，∴实数a的取值范围是（﹣4，0]．
故选：B．
4．（5分）（2022春•池州期末）已知2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），则k+m的值为（
）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【解题思路】依题意可得x＝﹣1为方程2x2﹣kx+m＝0的根，代入计算可得．
【解答过程】解：∵2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），
∴x＝﹣1为2x2﹣kx+m＝0的根，所以k+m＝﹣2．
故选：B．
5．（5分）（2022春•南充期末）不等式（a﹣2）x2+4（a﹣2）x﹣12＜0的解集为R，则实数a的取值范
围是（ ）
A．[﹣1，2） B．（﹣1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣1，2]
【解题思路】当a＝2时，原不等式为﹣12＜0满足夹角为R；当a≠2时，根据一元二次不等式解法可
求得a范围，最后可求得正确选项．
【解答过程】解：当a＝2时，原不等式为﹣12＜0满足解集为R；
当a≠2时，根据题意得{ a−2＜0 ，解得a （﹣1，2）．
[4(a−2)] 2−4(a−2)×(−12)＜0
∈
综上，a的取值范围为（﹣1，2]．
故选：B．
1 1
6．（5分）（2022春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|− ＜x＜ }，则ax+b
2 3
＞0的解集为（ ）
1 1 1 1
A．(−∞，− ) B．(−∞， ) C．(− ，+∞) D．( ，+∞)
6 6 6 6
【解题思路】利用根于系数的关系先求出a，b，再解不等式即可．
1 1
【解答过程】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|− ＜x＜ }．则根据对应方程的韦达定理得到：
2 31 1 b
{ (− )+ =−
2 3 a．
1 1 2
(− )× =
2 3 a
{a=−12
解得 ，
b=−2
1
则解集为（﹣∞，− ）．
6
故选：A．
7．（5分）（2022春•让胡路区校级期末）若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，
则实数m的取值范围为（ ）
A．（6，7] B．[﹣1，0） C．[﹣1，0）∪（6，7] D．[﹣1，7]
【解题思路】讨论m的取值范围，求出不等式的解集，根据解集中恰有3个整数，由此求出m的取值范
围．
【解答过程】解：不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0可化为（x﹣3）（x﹣m）＜0，
当m＞3时，不等式的解集为（3，m），
要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；
当m＝3时，不等式的解集为 ，此时不符合题意；
当m＜3时，不等式的解集为∅（m，3），
要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，所以﹣1≤m＜0；
综上知，m的取值范围是{m|﹣1≤m＜0或6＜m≤7}，
即为[﹣1，0）∪（6，7]．
故选：C．
8．（5分）（2021春•百色期末）对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值
范围是（ ）
A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜0
【解题思路】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求．
【解答过程】解：1°a＜0时，Δ＝4a2+4a（a+2）＝8a2+8a＜0，∴8a（a+1）＜0，∴﹣1＜a＜0
2°a＝0时，﹣2＜0成立
综上，实数a的取值范围是﹣1＜a≤0
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021秋•锡山区校级期中）下列叙述中正确的是（ ）
A．a，b，c R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0
B．“a＞0且∈Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件
C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
1
D．“a＞1”是“ ＜1”的充分不必要条件
a
【解题思路】利用一元二次方程的根与判别式之间的关系可判断A的正误，利用充分条件、必要条件及
充要条件的概念可判断BCD的正误．
1
【解答过程】解：对于A，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则Δ＝b2﹣4ac＜0 ac＞ b2≥0，故A正
4
⇔
确；
对于B，若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R，则a＝b＝0，c≥0或a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，
故“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充分不必要条件，故B
错误；
对于C，若方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根，则a＜0，
故“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件，故C错误；
1 1
对于D，若a＞1，则 ＜1，反之，不可，则“a＞1”是“ ＜1”的充分不必要条件，故D正确，
a a
故选：AD．
10．（5分）（2021秋•上饶期末）下列关于不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集讨论正确的是（ ）
A．当a＝1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为
B．当a＞1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为（∅ a，+∞）
C．当a＜1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为{x|x＜a或x＞1}
D．无论a取何值时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集
【解题思路】根据题意，分别求解各选项的解集即可．
【解答过程】解：a＝1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣1）2＞0，解得x≠1，
所以不等式的解集为{x|x≠1}，选项A错误；
a＞1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜1或x＞a，
所以不等式的解集为（﹣∞，1）∪（a，+∞），选项B错误；
a＜1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜a或x＞1，
所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}，选项C正确；
由选项A、B、C知，无论a取何值，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集，选项D正确．故选：CD．
11．（5分）（2022春•安徽期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（
）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣3，1）
D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【解题思路】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．
【解答过程】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则a＜0，正确．
B：由题意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c
＞0，正确．
b c
C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，则由韦达定理得 =−1， =−2，即bx2+cx+3a＞0变为﹣
a a
ax2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或x＞1，
关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C错误，D正确．
故选：ABD．
12．（5分）（2022春•辽宁期末）已知ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），则下列说法正确的是（ ）
1 1
A．不等式cx2+bx+a＜0的解集是(− ， )
2 3
12 8
B． +b的最小值是
3b+4 3
b+4
C．若m2−m＞ 有解，则m的取值范围是m＜﹣1或m＞2
√b+3
D．当c＝2时，f（x）＝3ax2+6bx，x [n ，n ]的值域是[﹣3，1]，则n ﹣n 的取值范围是[2，4]
1 2 2 1
【解题思路】根据给定条件，得到b∈＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，解不等式判定A；利用均值定理判断B；
利用对勾函数求范围，判断C；探讨二次函数的值域判断D．
【解答过程】解：∵ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），
∴﹣2，3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，
b
{− =1
∴ a ，∴b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，
c
=−6
a1 1
对于A，不等式cx2+bx+a＜0化为6x2+x﹣1＜0，解得− ＜x＜ ，故A正确；
2 3
12 12 1 √ 12 1 4 8
对于B，b＞0， +b= + (3b+4)≥2 ⋅ (3b+4)− = ，
3b+4 3b+4 3 3b+4 3 3 3
12 1 2
当且仅当 = (3b+4)，即b= 时，取等号，故B正确；
3b+4 3 3
b+4 1
对于C，b＞0，令√b+3=t＞√3，则 =t+ 在t （√3，+∞）上单调递增，
√b+3 t
∈
b+4 4
即有 ＞ ，
√b+3 √3
b+4 4
∵m2−m＞ 有解，∴m2−m＞
，
√b+3 √3
解得m 1 1√ 16或m 1 1√ 16，故C错误；
＜ − 1+ ＞ + 1+
2 2 √3 2 2 √3
1
对于D，当c＝2时，b＝﹣a= ，则f（x）＝3ax2+6bx＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
3
f（x） ＝f（1）＝1，
max
依题意，n ≤1≤n ，由f（x）＝﹣3得x＝﹣1或x＝3，
1 2
∵f（x）在[n ，n ]上的最小值为﹣3，
1 2
∴n ＝﹣1，1≤n ≤3或﹣1≤n ≤1，n ＝3，
1 2 1 2
∴2≤n ﹣n ≤4，故D正确．
2 1
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•西宁期末）不等式x2+6x+8＞0的解集为 （﹣∞，﹣ 4 ）∪（﹣ 2 ， + ∞） ．
【解题思路】根据一元二次不等式的解法直接求解．
【解答过程】解：不等式x2+6x+8＞0化为（x+2）（x+4）＞0，∴x＞﹣2或x＜﹣4，
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．
14．（5分）（2022春•福州期末）已知a＞0，若关于x的不等式（x﹣1）2＞（ax）2的解集中的整数恰有
3
2个，则实数a的取值范围是 [ ， 2 ） ．
2
【解题思路】本题可将不等式化为同解不等式，然后根据a＝1，0＜a＜1，a＞1三种情况来分类讨论，
找到原不等式解集中的2个整数分别为﹣1，0即可．【解答过程】解：由题意，不等式可转化为（a2﹣1）x2+2x﹣1＜0，
1
①当a2﹣1＝0，即a＝1时，不等式解集为{x|x＜ }，
2
很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意，
②当a2﹣1＜0，即0＜a＜1时，
此时Δ＝4+4（a2﹣1）＝4a2，∵0＜a＜1，∴Δ＞0，
则不等式可转化为[（a+1）x﹣1]•[（a﹣1）x+1]＜0，
1 1
此时解集为{x|x＜ ，或x＞− }，
a+1 a−1
很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意，
③当a2﹣1＞0，即a＞1时，
此时Δ＝4+4（a2﹣1）＝4a2．∵a＞1，∴Δ＞0，
则不等式可转化为[（a+1）x﹣1]•[（a﹣1）x+1]＜0，
1 1
此时解集为{x|− ＜x＜ }，
a−1 a+1
1 1 1
当a＞1时，0＜ ＜ ，− ＜0，
a+1 2 a−1
∴原不等式解集中的2个整数分别为﹣1，0，
1 3
∴﹣2≤− ＜−1，解得 ≤a＜2．
a−1 2
3
综上所述，可得实数a的取值范围是[ ，2）．
2
3
故答案为：[ ，2）．
2
15．（5分）（2022春•尧都区校级月考）关于实数x的不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞4}，
1 1
则关于x的不等式cx2﹣bx﹣1＞0的解集是 （﹣∞，− ）∪（ ， + ∞） ．
4 3
【解题思路】根据不等式﹣x2+bx+c＜0的解集求出b、c的值，代入不等式cx2﹣bx﹣1＞0中求解集即可．
【解答过程】解：因为不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞4}，
所以﹣3和4是方程﹣x2+bx+c＝0的解，
{ −3+4=b
所以 ，
−3×4=−c
解得b＝1，c＝12，所以不等式cx2﹣bx﹣1＞0可化为12x2﹣x﹣1＞0，
1 1
解得x＜− 或x＞ ，
4 3
1 1
则所求不等式的解集是（﹣∞，− ）∪（ ，+∞）．
4 3
1 1
故答案为：（﹣∞，− ）∪（ ，+∞）．
4 3
1
16．（5分）（2022春•青羊区校级期中）若对 x＞0，关于x的不等式 mx2+mx﹣lnx＞x+1恒成立，则整
2
∀
数m的最小值为 2 ．
2lnx+2x+2
【解题思路】利用分离常数法可得m＞ 在（0，+∞）上恒成立，构造函数，结合函数的
x2+2x
单调性及零点判定定理即可求解．
1
【解答过程】解：对 x＞0，关于x的不等式 mx2+mx﹣lnx＞x+1恒成立，
2
∀
可得，m（x2+2x）＞2lnx+2x+2在（0，+∞）上恒成立，
因为x2+2x＞0，
2lnx+2x+2
所以m＞ 在（0，+∞）上恒成立，
x2+2x
2lnx+2x+2
令g（x）= ，x＞0，
x2+2x
则g′（x） −2(x+1)(x+2lnx)，令h（x）＝x+2lnx，x＞0，
=
(x2+2x) 2
2
则h′（x）＝1+ ＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
x
1 1
因为h（ ）= −2ln2＜0，h（1）＝1＞0，
2 2
1
所以 x （ ，1）使得x +2lnx ＝0，
0 0 0
2
∃ ∈
所以当x （0，x ）时，h（x）＜0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
0
当x （x∈，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
0
∈
所以g（x） ＝g（x ） 2lnx +2x +2 1 （1，2），
max 0 = 0 0 =
x (x +2) x
0 0 0
∈所以m≥2，即整数m的最小值2．
故答案为：2．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春•浙江期中）已知关于x的不等式ax2+bx﹣3＞0（a，b R）．
3 ∈
（1）若不等式的解集为(−1，− )，求实数a，b的值；
5
（2）若b＝a﹣3，求此不等式的解集．
【解题思路】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，列方程组求出a、b的值．
（2）把b＝a﹣3代入不等式，利用分类讨论法求出不等式的解集．
3
【解答过程】解：（1）因为不等式ax2+bx﹣3＞0的解集为(−1，− )，
5
3
所以﹣1和− 是方程ax2+bx﹣3＝0的两个实数根，
5
3 b
{ −1− =−
所以 5 a ，解得a＝﹣5，b＝﹣8．
3 3
−1×(− )=−
5 a
（2）b＝a﹣3时，不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，
当a＝0时，解不等式得x＜﹣1；
3 3 3
当a＞0时，不等式化为（x− ）（x+1）＞0，且 ＞−1，解不等式得x＜﹣1或x＞ ；
a a a
3
当a＜0时，不等式化为（x− ）（x+1）＜0，
a
3
若a＝﹣3，则 =−1，不等式化为（x+1）2＜0，不等式无解；
a
3 3
若﹣3＜a＜0，则 ＜−1，解不等式得 ＜x＜﹣1；
a a
3 3
若a＜﹣3，则 ＞−1，解不等式得﹣1＜x＜ ；
a a
综上知，a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）；
3
a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（ ，+∞）；
a
a＝﹣3时，不等式的解集为 ；
∅3
﹣3＜a＜0时，不等式的解集为（ ，﹣1）；
a
3
a＜﹣3时，不等式的解集为（﹣1， ）．
a
18．（12分）（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：
（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．
（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax∈（a R）的解集．
【解题思路】（1）由题意可是1和b为方程x∈2﹣3x+2a2＝0的两根，利用韦达定理得以方程组，解得即
可；
（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，讨论a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，
﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
【解答过程】解：（1）∵关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根， ∈
∴{ 1+b=3 ，解得{ b=2 ．
1×b=2a2 a=±1
（2）关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a R），
即ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+∈1）＞0，
当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜﹣1}；
3
当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根为x = ，x =−1，
1 a 2
3 3
∴①当a＞0时， ＞−1，∴原不等式的解集为{x|x＞ 或x＜﹣1}；
a a
3 3
②当﹣3＜a＜0时， ＜−1，∴原不等式的解集为{x| ＜x＜﹣1}；
a a
3
③当a＝﹣3时， =−1，∴原不等式的解集为 ；
a
∅
3 3
④当a＜﹣3时， ＞−1，∴原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜ }．
a a
19．（12分）（2021秋•东莞市校级期中）某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车
1 1
刹车后由于惯性往前滑行的距离）sm和汽车车速xkm/h有如下关系：s=− x+ x2．在一次交通事
2 18
故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？【解题思路】利用函数关系式，根据在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5m，建立不
等式，解不等式即可求得结论．
1 1
【解答过程】解：由题设条件应列式为− x+ x2≥22.5，
2 18
移项、整理、化简得不等式x2﹣9x﹣405≥0．
∵Δ＞0，∴方程x2﹣9x﹣405＝0有两个实数根x ＝﹣9，x ＝45，
1 2
∴不等式的解为{x|x≤﹣9或x≥45}．
在这个实际问题中x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h．
20．（12分）（2022春•金台区期末）设函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a，
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的x [﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【解题思路】（1）∈x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．对a分类讨论即可解
出．
（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，由x [﹣1，1]，可得x﹣2 [﹣3，﹣1]，可得a＜﹣
x+2恒成立．即可得出． ∈ ∈
【解答过程】解：（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．
a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜2﹣a}；
a＝0时，不等式的解集为{x|x≠2}；
a＜0时，不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜2}．
（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，
∵x [﹣1，1]，∴x﹣2 [﹣3，﹣1]，∴a＜﹣x+2恒成立．
易知∈ （﹣x+2）
min
＝1∈，∴a的取值范围为：a＜1．
21．（12分）（2022春•南京期末）已知函数f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x+4．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（1，m），求实数m，k的值；
（2）存在x＞0，使得f（x）＜0成立，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）由题意知，1和m是方程x2﹣2（k﹣1）x+4＝0的两根，再结合韦达定理求解即可；
4
（2）通过参变分离法，可将原问题转化为存在x （0，+∞），使得2(k−1)＞x+ 成立，再结合基
x
∈
本不等式，即可得解．
【解答过程】解：（1）由题意知，1和m是方程x2﹣2（k﹣1）x+4＝0的两根，
7
所以1+m＝2（k﹣1）且1×m＝4，解得m＝4，k= ．
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（2）由f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x+4＜0，且x＞0，得2(k−1)＞x+ ，
x
4
故原问题可转化为存在x （0，+∞），使得2(k−1)＞x+ 成立，
x
∈
4 √ 4
因为当x （0，+∞）时，x+ ≥2 x⋅ =4，当且仅当x＝2时取等号，
x x
∈
所以2（k﹣1）＞4，解得k＞3，
即实数k的取值范围为（3，+∞）．
22．（12分）（2021秋•上蔡县校级月考）已知不等式mx2+2x﹣m+2＜0．
（1）当m＝3时，求不等式解集；
（2）是否存在实数m对所有的实数x使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说
明理由．
【解题思路】（1）当m＝3时，不等式为3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，从而即可求出该不
等式的解集；
（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，等价于函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象恒在x轴下方，从而分类讨
论m＝0和m≠0两种情况即可判断是否存在满足题意的实数m．
1
【解答过程】（1）当m＝3时，不等式为3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，则解集为（﹣1，
3
），
（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，即函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象在x轴下方．
当m＝0时，2+2x＜0，则x＜﹣1，不满足题意；
当m≠0时，函数y＝mx2+2x﹣m+2为二次函数，其图象需满足开口向下且与x轴没有公共点，
{ m＜0
则 ，不等式组的解集为空集，即m不存在．
Δ=4−4m(2−m)＜0
综上，不存在这样的实数m使不等式恒成立．
