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专题4.1 三角函数基本公式与三角恒等变换
重难点题型一 扇形、弓形的周长与面积
1．（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为
，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】弧长的有关计算、圆锥表面积的有关计算
【分析】设圆锥母线长为，利用侧面面积求得圆锥的母线长，进而可求圆锥的侧面展开图的圆心角.
【详解】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为
，
由题意可得
，解得
，
目录●重难点题型分布
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为
.
故选：D.
2．（2025·甘肃白银·二模）已知动点
的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4 的
正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】将图分为八部分，通过切割的思想即可得结果.
【详解】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为
.
故选：D.
3．（2025·安徽滁州·一模）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现
有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为
，上板长为
若把该扇面围成一个圆台，则
圆台的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】弧长的有关计算、圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算
【分析】应用几何扇形弧长计算，结合圆台的几何特征计算即可.
【详解】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为
，
设圆台的上下底面半径分别为
，
则
，
所以
，
所以
，
所以圆台的高为
故选：
4．（2024·江西·模拟预测）如图所示的圆形中心阴影部分为镂空的图案是我国古代建筑中的一种图案，形
若铜钱，寓意富贵吉祥.已知图中外圆的半径为1，阴影部分由四条四分之一圆弧围成，则图案的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】设
是外圆的圆心，
是相邻的两个四等分点，计算弓形
的面积的面积，可求图案面积.
【详解】设
是外圆的圆心，
是相邻的两个四等分点，
由题意可知
，又
，
所以弓形
的面积为
，
所以图案的面积为
.
故选：C.
5．（2025·甘肃·一模）如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的
圆
周，内弧半径为
米，路宽为米，两人均从外弧
点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点
，又
沿内弧
跑至点
处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上
点处，再沿外弧
跑至点
处
后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是 （填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝
对值约为 米.（结果精确到
米，参考数据：
，
）
【答案】 甲
【难度】0.65
【知识点】弧长的有关计算
【分析】连接
、
，求出
的值，可求出
、
的长，可求出甲、乙两人的跑动的距离，即
可得解.
【详解】连接
、
，可知
，
，则
，
，
在
中，
，
所以，
，
所以，
，
，
所以，
，则甲跑步的距离约为
米，
因为
，
，则乙跑步的距离约为
米，
所以甲跑动的距离更短，少跑
米.
故答案为：甲；
.
6．（24-25 高三上·北京西城·期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某
折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设
，
，则扇面（图中扇环）部分
的面积是 ，
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】扇形面积的有关计算、已知数量积求模
【分析】根据扇形面积公式，即可求解扇面的面积；根据向量数量积公式求模.
【详解】由条可知，
，
，
所以扇形
的面积
，扇形
的面积
,
所以扇面的面积是
；
.
故答案为：
；
7．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）下图是第19 届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环
ABCD．已知
，
．且该扇环
的面积为
，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆
台的体积为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、台体体积的有关计算
【分析】设
，
，
，由题意
，
，
，可知圆台上、下底面的半径
和高，利用圆台的体积公式求解即可.
【详解】如图，设
，
，
，
由题意可知，
，解得
，
，
则
，将该扇面作为侧面围成一圆台，
则圆台上、下底面的半径分别为1 和2，
所以其高为
，
故该圆台的体积为
.
故答案为：
.
8．（2023·广西柳州·模拟预测）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出
的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖
拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，
所在圆的圆心O 在线段AB 上，若
，
，则扇形OAC 的面积为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】扇形面积的有关计算、三角函数在生活中的应用
【分析】过点
作
，在
中，表示出
.然后在
中，根据勾股定理，得出
.进而根据已知，结合三角形的面积公式，即可得出答案.
【详解】
如图，过点
作
，设
所在圆的半径为
，则
，
在
中，
，
，
所以
，
，
所以，
.
在
中，有
，
即
，
整理可得，
.
因为
，所以
，
所以，扇形OAC 的面积为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：作
，得到两个直角三角形.表示出各边关系，进而求得扇形的半径.
重难点题型二 任意角的三角函数及弦切互化
1．（2025·云南·模拟预测）已知角
的顶点在坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】利用三角函数定义求出
，再根据两角和的正弦公式即可求得答案.
【详解】由题意知角
的终边经过点
，则
，
故
,
故选：D
2．（2025·湖北·模拟预测）已知角
的终边经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式
【分析】利用任意角的三角函数的定义和二倍角公式即可求解结果．
【详解】因为角
的终边经过点
，
所以
，
则
.
故选：D.
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）(多选题)已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【难度】0.94
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六
【分析】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可.
【详解】由题意
，
从而
.
故选：AD.
4．（2025·云南大理·模拟预测）(多选题)已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解即可.
【详解】由角
的终边经过点
，得点
到原点
的距离
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，D 错误.
故选：AC
5．（2024·四川眉山·一模）(多选题)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和
中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为
、
，其中小正方形的面积为
，大正方形面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为
B．
C．
D．
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】利用定义求某角的三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】结合勾股定理，求出直角三角形的直角边的长度，再逐项验证即可.
【详解】如图：
设
，
，则
，所以
.
所以
，
.
对于A 选项：每个直角三角形的面积为：
，故A 正确；
对于B 选项：
，故B 错误；
对于C 选项：
，故C 正确；
对于D 选项：
，故D 正确.
故选：ACD
6．（2025·湖南长沙·二模）已知角
终边上一点
，则
；
【答案】
/0.5
【难度】0.85
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】运用三角函数定义求出
，再结合二倍角公式化简计算即可.
【详解】根据三角函数定义，可得
，则
.
故答案为：
.
7．（2024·山东·二模）在平面直角坐标系中，角
的始边与
轴非负半轴重合，终边经过点
，则
．
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】先利用角
的终边所经过的点求出
，再求
.
【详解】因为角
的始边与
轴非负半轴重合，终边经过点
，
所以
，
；
.
故答案为：
8．（23-24 高一下·安徽淮北·阶段练习）已知
，若
，则
的值为 .
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一、基本（均值）不等式的应用
【分析】根据余弦函数的有界性，借助于基本不等式推理得到
，求出
，再求
的值.
【详解】由
可得
，即
，
又因
，故得
，所以
，
，
因此
.
故答案为：
.
重难点题型三 利用诱导公式化简求值
1．（2025·河北张家口·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式
【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为
，
则
.
故选：D
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式、给值求值型问题
【分析】先由两角差的正弦公式化简题设得
，再结合诱导公式和倍角公式即可求解.
【详解】由
得
，
所以
．
故选：A．
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
为锐角，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解.
【详解】由
，得
.
故选：D
4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）(多选题)已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、二倍角的余弦公式
【分析】结合
的范围，利用二倍角公式求出
、
，
，再由诱导公式逐项判断可得答案.
【详解】因为
，所以
，
由
得
，
解得
舍去，或
，所以
，
所以
，
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确.
故选：BD.
5．（2025·河南·二模）已知
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式
【分析】由
，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】
.
故答案为：
.
6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知
是第一象限角，且
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六
【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系求解即可.
【详解】由题意可得
，即
，
因为
是第一象限角，所以
，
，
，
所以
，
，
所以
，
故答案为：
重难点题型四 三角恒等变换的公式的正用与逆用
1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式
【分析】应用同角三角函数关系结合已知条件计算得出
，再结合两角和余弦公式计算求解.
【详解】因为
，且
，
所以
，
，
则
.
故选：A.
2．（2025·陕西安康·模拟预测）计算：
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】根据两角和的正切公式化简即可．
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
故选：D．
3．（2025·云南·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】二倍角的正弦公式、sinα±cosα 和sinα·cosα 的关系
【分析】将已知条件同时平方，再根据
，化简得
，再根据正弦二倍角公式
即可求得.
【详解】已知
，两边同时平方得
，即
，
又
，得
，即
，所以
.
故选：A.
4．（2022·浙江·高考真题）若
，则
，
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、辅助角公式
【分析】先通过诱导公式变形，得到
的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求
出
，接下来再求
．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵
，∴
，即
，
即
，令
，
，
则
，∴
，即
，
∴
，
则
.
故答案为：
；
.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵
，∴
，即
，
又
，将
代入得
，解得
，
则
.
故答案为：
；
.
5．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若
，则
．
【答案】
/0.6
【难度】0.85
【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、诱导公式五、六
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的正弦公式，结合正余弦齐次式法求值.
【详解】当
时，
.
故答案为：
6．（2025·上海·三模）已知
，则
.
【答案】
【难度】0.94
【知识点】二倍角的余弦公式
【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：
.
7．（2025·四川眉山·模拟预测）已知
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式
【分析】运用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
所以
所以
，
故答案为：
8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知
，则
．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】化简
，可得
，由
，代入数据即可求解.
【详解】由
，得
，解得
，
所以
．
故答案为：
9．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若
，且
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式、半角公式
【分析】由
，结合余弦二倍角公式求得
，再结合半角公式即可求解.
【详解】由
，得
，解得
或
，
又
，所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：
10．（2025·辽宁·二模）图1 所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由
对（
个）平
行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2 所示．一个星形十二面体有 个星芒
（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是
．（参考数据：
）
【答案】
【难度】0.4
【知识点】二倍角的正切公式、棱锥表面积的有关计算
【分析】结合图形可判断出星芒的个数；将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个
正五角星，计算出正五棱锥侧面积和底面积之比即可.
【详解】由图可知，每个星形十二面体有
个星芒，
将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星，
则这个正五角星的五个顶点在圆
上，连接
，则
垂直平分
，设
，
正五棱锥的侧面积等于
，底面积等于
，
正五边形的每个内角为
，则
，故
，
则
，所以，
，
，
设
，则
，则
，
，则
，
所以，将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为
，
故答案为：
；
.
重难点题型五 角的变换问题
1．（2025·广西·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、
用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】结合和差角公式及同角基本关系进行化简即可求解．
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
，即
故选：A.
2．（2025·河北·模拟预测）已知角
、
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍
角的余弦公式
【分析】结合两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系可求得
，进而根据二倍角公式
求解即可.
【详解】由
，
则
，
则
，
则
，
又
，
则
，即
，
所以
.
故选：D.
3．（2025·河北·模拟预测）已知
，
均为锐角，
为钝角，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求积的最大值
【分析】根据正弦和差角公式以及弦切互化可得
，即可利用正切的和角公式，结合基本不
等式求解.
【详解】由
可得
，
由于
，
均为锐角，故
，
同除
得
，
故
，
即
，故
，
当且仅当
时取到等号，
因此
，
故选：B
4．（2025·湖北·模拟预测）已知
，
都是锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式化简求值即可得解.
【详解】∵
，∴
，
∴
，
∴
，
，
从而
．
由
知
，则
，
那么
，
故选：D
5．（2025·湖北宜昌·二模）(多选题)已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值
【分析】由余弦的和差角公式可判断AB，由正切与正余弦关系可判断C，由和化积公式可判断D.
【详解】由
，且
，
则
，故A 正确；
由
，故B 错误；
由
，故C 正确；
由
，故D 正确.
故选：ACD.
6．（2025·浙江杭州·模拟预测）(多选题)已知
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差
角的正弦公式化简、求值
【分析】利用同角公式，两角和差公式，结合角的范围和变角思想：
来求解即
可.
【详解】由
，
，所以
，即
，故A 错误；
由于
，所以
，则有
，
即
，故B 正确；
因为
，
，所以
，
又因为
，所以
，故C 错误；
由
，
因为
，
，所以
，
则
，故D 正确；
故选：BD.
7．（2025·重庆九龙坡·三模）设
，已知
，则
.
【答案】
/0.96
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍
角的正弦公式
【分析】根据弦切互化可得
，进而代入余弦的差角公式可得
，根据同角关系即可
结合二倍角公式求解.
【详解】
可得
，
又
，
故
，
由于
，所以
，结合
，所以
，
故
，
故答案为：
8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知
，
，则
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、
求值
【分析】由两角和差的正弦、余弦结合弦切互化可得
，故可求
的
值.
【详解】因为
，
故
，
由题设
，故
，
故
即
，
故答案为：
重难点题型六 给角求值
1．（2024·安徽·模拟预测）
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】给角求值型问题、二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解.
【详解】由题意可得：
.
故选：D.
2．（2023·重庆·模拟预测）式子
化简的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给角求值型问题
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
故选：B.
3．（2020·辽宁·二模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】二倍角的余弦公式、给角求值型问题
【解析】根据题意得到
进而得到
，
，从而有
.
【详解】∵
，
∴
，
则
，
，
∴
，
故选A.
【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.
4．（24-25 高三上·辽宁大连·期中）下(多选题)列式子的运算结果为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、辅助角公式、给角求值型问题
【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判
断C.
【详解】对于A：
，故A 正确；
对于B：
，
所以
，故B 正确；
对于C：
，故C 正确；
对于D：
，故D 错误.
故选：ABC
5．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：
.
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】给角求值型问题、二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——诱导公式
【详解】由题意可得：
．
故答案为：
．
6．（23-24 高三上·安徽·期中）
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】给角求值型问题、二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值.
【详解】
.
故
.
故答案为：
.
重难点题型七 给值求值
1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】给值求值型问题、正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(
)，进行齐次化处
理，化为正切的表达式，代入
即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用
，求出
的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过
齐次化处理，可以避开了这一讨论．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、给值求值型问题
【分析】先由辅助角公式得
，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由
得
，即
，
所以
，
故选：D
3．（2022·安徽安庆·三模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二倍角的正切公式、给值求值型问题、用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】利用二倍角正切公式求得
，再利用拆角的方法结合两角差的正切公式，即可求得答
案.
【详解】由
得，
，
而
，
故
，
故选：B
4．（2023·山西·模拟预测）(多选题)已知
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】给值求角型问题、给值求值型问题、二倍角的正弦公式
【分析】由正切关系得到正余弦关系，结合
，分别求出
和
，判断出AB 选
项，再由二倍角公式和和差角公式判断出CD 选项.
【详解】∵
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，B 选项正确，
∴
，A 选项错误，
∴
，C 选项正确
，
∵
，∴
，∴
，D 选项错误.
故选：BC
5．（23-24 高三上·山西大同·期末）(多选题)若
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和（差）的正弦余弦公式逐一判断即可.
【详解】由题意可得
，
所以
，故A 错误；
，
因为
，
所以
，所以
，故B 正确；
因为
，所以
，
所以
，故C 错误：
即
，
因为
，所以
，
故
，所以
，故D 正确.
故选：BD
6．（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知
，
，则
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】给值求值型问题
【分析】根据
结合两角差的余弦公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知
，
，则
.
【答案】
/0.25
【难度】0.65
【知识点】给值求值型问题、正、余弦齐次式的计算
【分析】根据题意利用三角恒等变换可得
，再利用倍角公式以及齐次化问题分析求解.
【详解】因为
，则
，
显然
，可得
，
整理得
，解得
或
，
又因为
，则
，可得
，
所以
.
故答案为：
.
8．（2023·山东济宁·三模）已知
，则
.
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、给值求值型问题
【分析】由辅助角公式和二倍角的余弦公式化简即可得出答案.
【详解】因为
，
则
.
故答案为：
.
9．（16-17 高一下·湖北黄冈·期末）若
，则
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】正、余弦齐次式的计算、给值求值型问题
【分析】只需对分子分母同时除以
，将原式转化成关于
的表达式，最后利用方程思想求出
．
再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．
【详解】
解：
，
即
，
故答案为：
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．
10．（2022·四川宜宾·三模）已知
，则
．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】给值求值型问题、正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】根据两角和的正切公式求得
，利用三角恒等变换将
化为
，即可求得答案.
【详解】由
得：
，
即得
，
故
，
故答案为：
重难点题型八 给值求角
1．（2024·江西九江·二模）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求角型问题
【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出
、
，
再求出
即可.
【详解】因为
，
，
所以
，
解得
，
所以
，
又
，所以
，所以
.
故选：A
2．（2022·广东深圳·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】辅助角公式、给值求值型问题、给值求角型问题
【分析】由
，易得
，
，从而可求出
，即可得出答案.
【详解】解：因为
，
所以
，即
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
或
，
所以
或
，
，
当
时，
，不合题意，舍去，
当
时，
，
所以
.
故选：C.
3．（2019 高三·全国·专题练习）已知
，
，
是锐角，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】给值求角型问题
【分析】先利用同角三角函数基本关系求得cos
和cos（α
β
﹣），进而根据
利用两角
和公式求得答案．
【详解】因为
是锐角，
，所以
cos
，cos（α
β
﹣）
.
∴
β
∵为锐角
β
∴
故选C．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用和正弦的两角和公式．属基础题．
4．（2024·四川·模拟预测）已知
，
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、解正弦不等式、逆用和、差角的余弦公式
化简、求值、给值求角型问题
【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角
的范围即可求解.
【详解】由
，
，得
，
，
∴
，即
，
∴
，解得
.
又
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
.
故选：A.
5．（22-23 高三·全国·期末）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】给值求角型问题、三角恒等变换的化简问题、用和、差角的余弦公式化简、求值
【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据
，
的范围即可求出结果.
【详解】由已知可将
，
，
则
，
，
，即
或
．
又
，所以
，
所以
，所以选项A，B 错误，
即
，则
，所以
．则C 错，D 对，
故选：D
6．（2022·河北石家庄·一模）已知角
，
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】给值求角型问题
【分析】化简
，即可得到
，再根据
的范围，即可求出结果.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，则
.
故答案为：
.
7．（2024·陕西铜川·模拟预测）若
，且
，则
的值为 ．
【答案】
或
.
【难度】0.85
【知识点】二倍角的余弦公式、给值求角型问题
【分析】由二倍角公式及两角差的正弦公式得到
，再分
与
两种情况讨论，分别求出
即可.
【详解】由
，
得
，
即
，
当
时，
，即
，由
，得
；
当
时，
，所以
，
即
，由
，得
，
所以
，所以
．
故
的值为
或
．
故答案为：
或
.
8．（2021·湖南株洲·三模）若
，
，且
，
，则
的值
是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、给值求角型问题
【分析】根据同角三角函数的平方关系式，解出相关角的三角函数值，继而求得
的余弦值，结合角
的范围即可求解.
【详解】因为
，所以
，
且
，所以
，
则
，且
，
由
，所以
，
又
，所以
，
则
，
所以
，
又
，
所以
.
故答案为:
.
重难点题型九 三角函数式的化简、求值与证明
1．（2023·全国·模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】三角恒等变换的化简问题
【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
.
故选：B.
2．（2023·吉林延边·二模）下列化简不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、
求值、二倍角的余弦公式
【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.
【详解】A 选项，
，所以A 选项正确.
B 选项，
，B 选项正确.
C 选项，
，C 选项正确.
D 选项，
，D 选项错误.
故选：D
3．（2024·天津北辰·三模）已知函数
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于点
对称
C．若
是偶函数，则
，
D．
在区间
上的值域为
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、三角
恒等变换的化简问题
【分析】A 项，化简函数求出
，即可得出周期；B 项，计算出函数为0 时自变量的取值范围，即可得出
函数的对称点，即可得出结论；C 项，利用偶函数即可求出的取值范围；D 项，计算出
时
的范围，即可得出值域.
【详解】由题意，
在
中，
，
A 项，
，A 正确；
B 项，令
, 得
,
当
时,
,
所以
的图象关于点
对称,故B 正确;
C 项，
是偶函数，
∴
,
，
解得：
, 故C 正确；
D 项, 当
时,
,
所以
,
所以
在区间
上的值域为
，故D 错误.
故选：D.
4．（2024·江西南昌·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、诱导公式五、六
【分析】利用余弦的和角公式化简得
，再根据二倍角公式及诱导公式计算即可.
【详解】由已知知：
，
化简得
，
令
，则
，
，
所以
.
故选：D
5．（2024·湖南·二模）(多选题)已知
，下列结论正确的是（ ）
A．若
的最小正周期为
，则
B．若
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称，则
C．若
在
上恰有4 个极值点，则
的取值范围为
D．存在
，使得
在
上单调递减
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx 型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的
解析式、三角恒等变换的化简问题
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式先化简函数式，再利用三角函数的图象与性质一一判定选项即可.
【详解】由
，
对于A，若
的最小正周期为
，则
，故A 正确；
对于B，若
的图象向左平移
个单位长度后得
，其图象关于
纵轴对称，
则有
，显然
，故B 正确；
对于C，
，
根据题意有
，故C 正确；
对于D，
，
显然
，
，即该区间为包含
的连续区间，
根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D 错误.
故选：ABC
6．（2024·安徽合肥·二模）已知函数
，则（ ）
A．函数
在
上单调递减
B．函数
为奇函数
C．当
时，函数
恰有两个零点
D．设数列
是首项为
，公差为
的等差数列，则
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】三角恒等变换的化简问题、求sinx 型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、裂项
相消法求和
【分析】利用三角恒等变换化简
，再利用正弦函数单调性奇偶性判断ABC，利用裂项相消及累加求和
判断D.
【详解】易知
，
同理
，
对A,
先减后增，故A 错误；
对B,
为奇函数，故B 正确；
对C,
,
则
在
单调递增，
在
单调递减，即
在
单调递增，在
单调递减，
又
，
，
故函数
恰有两个零点，故C 正确；
对D,易知
，令
，则
，
，
,
……………………..
,
则
，
故
，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质及数列求和应用，关键是利用利用裂项相消及累加求和判
断D.
7．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知
，则
．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】给值求值型问题、三角恒等变换的化简问题、万能公式
【分析】由条件等式右边含有
，可联想到
中分离出
来处理，设
，待求表达式中用
表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设
，于是
，
整理可得
，根据万能公式，
，
整理可得
，
由
可得，
，
故
，
根据诱导公式，
，
根据两角和的正切公式，
，
故
.
故答案为：
8．（2023·全国·模拟预测）若
，则
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题
【分析】利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得
，然后由
可解.
【详解】因为
，
所以
，
所以
．
故答案为：
9．（2023·湖北荆门·模拟预测）若
，则
.
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差
角的正切公式化简、求值
【分析】根据两角和的正弦公式可得
，从而求
，再根据诱导公式及两
角和的正切公式即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，即
.
所以
，解得
.
所以
.
故答案为:
.
10．（2024·四川绵阳·模拟预测）若
为锐角，
＝
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角
恒等变换的化简问题
【分析】由
为锐角，
，运用三角函数的同角公式，可得
，进而可得
的值，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．
【详解】
为锐角，
，
又
，
，
，
，
故答案为：
．
