专题01一元函数的导数及其应用（知识清单）（教师版）_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_2027年高考数学一轮复习讲义+练习+课件（新教材新高考）-G55_2027版

专题 01 一元函数的导数及其应用
目 录 导 航
01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基 ▶高阶思维・探究拓展
考点01导数的概念 难点解读01过定点的多切线问题
考点02导数的运算 难点解读02函数的隐零点问题
考点03导数与函数的单调性 难点解读03极值点偏移问题
考点04导数与函数的极值、最值
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究 技法点拨03曲线“过”某点的切线问题
技法点拨04两曲线的公切线问题
题型01曲线切线方程求解
技法点拨05已知函数的单调性求参数
题型02利用导数研究函数的极值与最值
技法点拨06利用导数求函数的极值或极值点
题型03导数综合应用
技法点拨07已知函数的极值求参数
▶重点突破・考法深研
技法点拨08利用导数研究函数的最值
重点01含参函数的单调性讨论
▶易错剖析・避坑攻略
重点02单变量不等式恒成立问题
易错点01复合函数求导“漏层”或“错层”致错
重点03双变量不等式恒成立问题
易错点02误解“导数为0”与“有极值”的关系
重点04导数与函数的零点问题
易错点03误解“导数符号”与“函数单调性”关
重点05导数构造法解函数不等式
系
▶技法提炼・审题点拨
易错点04误解导数正负与函数图象升降关系
技法点拨01导数定义在极限中的应用
技法点拨02曲线“在”某点处的切线问题
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x 处的导数定义
0
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x
0 0 0
＝x，即f′(x)＝lim＝lim．
0 0
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，y)处的切线的斜率(瞬时速度就是
0 0 0 0
位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
【新题对点练】（2026·福建福州·模拟预测）曲线 在 处的切线的倾斜角为__________．
【答案】 /
【解析】设 ，函数定义域为 ，
得到 ，所以 ，即曲线在 处的切线斜率为 .
设切线的倾斜角为 ，其中 ，由斜率定义可知 ，解得 .考点02 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式表
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
3、复合函数的导数
（1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量 ， 可以表示
成 的函数，那么称这个函数为 和 的复合函数，记作 ．
（2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数 的导数和函数 ， 的导数间
的关系为 ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
规律：从内到外层层求导，乘法连接．
【新题对点练】（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】 ，
故 ，所以 ．
考点03 导数与函数的单调性
1、导数与函数的单调性的关系在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；
如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内 （ ）是函数 在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数 在 上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 （ ）
且 在 上的任何子区间内都不恒为零．
2、导数法求函数单调区间的步骤
f x
（1）确定函数 的定义域；
fx
（2）求 （通分合并、因式分解）；
fx0
（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
fx0
（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【新题对点练】（25-26高三上·山东烟台·期中）已知函数 ，则 的单调递
增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，则 ，
因为 ，由 ，可得 ，
故函数 的单调递增区间为 .故选：A.
考点04 导数与函数的极值、最值
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝
0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y
＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝
0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y
＝f(x)的极大值．2、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上
单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、函数极值与最值的关系
（1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极
大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个．
（2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值．
【新题对点练】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知函数 ，则 在 上
的极值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得： ，
令 ，得 或 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的极小值为 ，
在 上 无极大值.故选：C.
难点解读01 过定点的多切线问题
已知f (x)，过点 ，可作曲线的 （ ）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第四步：将 代入切线方程，得： ，整理成关于 得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于 的方程就有几个实数解．难点破解
【典例1】（25-26高三上·江苏南通·期中）若曲线 有两条过点 的切线，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点坐标为 ， ，
所以斜率 ，
则切线方程为 ，
又 在切线上，所以
因为曲线有两条过 的切线，所以方程 有两个解，
整理得 ，所以 ，解得 或 .故选：D.
【典例2】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数 ，过点 可作出曲线 的三条
切线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设曲线 在点 处的切线过点 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
因为从点 可向曲线 引三条不同切线，
所以 有三个不同的解，即 有三个不同的解，
设 ，则该函数有三个不同零点，求导得 ，
令 ，则 或 ，
当 和 时， ，当 时， ，
所以函数 在 区间单调递减，在 和 区间上单调递增，
所以函数在 和 处分别取得极大值和极小值，要想函数 有三个不同零点，则 ，即 ，解得 ，即 的取值范围是 .故选：B.
难点解读02 函数的隐零点问题
导函数的零点不可求时的应对策略：
1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下
原则：①在含有 的函数中，通常选取 ，特别地，选当 时， 来试探；②在含有 的函
数中，通常选取 ，特别地，选取当 时， 来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导
函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决．
2、“虚设和代换”法：当导函数 的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚
设为 ，接下来通常有两个方向：①由 得到一个关于 的方程，再将这个关于 的方程的整
体或局部代入 ，从而求得 ，然后解决相关的问题；②根据导函数 的单调性，得出 两
侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解．
【典例1】（26-27高三上·河南濮阳·阶段检测）若函数 的最小值为 ，则正实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知函数 ，则 ，
令 ，由于 ，正实数 ，所以得 ，
令 ，则 ，由于 ，正实数 ，所以 恒成立，
所以 是一个单调递增的函数，当 时， ；当 时， ；
因此方程 有且仅有一个实数根，设为 ，即 ，
因为 ，当 时，有 ，解得 ，矛盾，因此 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递减；
当 时， ，即 ，函数 单调递增；
所以函数 在 处取得最小值，由于函数 的最小值为 ，即 ，则有 ，
同时极值点 满足 ，
代入上式得 ，解得 ，
则有 ，解得 ，故A正确.
【典例2】（2026·四川成都·二模）已知函数 在 处的切线方程为
．
(1)求 ， ；
(2)设 是方程 的两根，求证： ．
（注： …是自然对数的底数）
【答案】(1) ；(2)见解析
【解析】（1）由题意可得 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ，即 ，解方程得 .
（2）令 ， ，
由题意可知方程 的两根 ， 即为函数 的两个零点，不妨设 .
求导 ，因为 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，
所以函数 在区间 上单调递增，又 ， ，
根据零点存在定理可知存在唯一的 使得 .
所以当 ， ，函数 在区间 上单调递减；
当 ， ，函数 在区间 上单调递增.
由 ，得 ，从而 ，
又因为 ， ，所以 ，故 .
难点解读03 极值点偏移问题
极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了
不等式转化为单变量问题是解题的难点。
证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，
注意将 和 化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式．
【典例1】（2026高三下·重庆·专题练习）已知函数 ．若函数 有两个不相等的
零点 ．
(1)求a的取值范围；
(2)证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】（1）由题意可知： ，
若 ，则 恒成立，即 单调递增，不存在两个不等零点，
故 ，
显然当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以若要符合题意，需 ，
此时有 ，且 ，
令 ，
而 ，
即 在 上递减，故 ，所以 ，
又 ，
故在区间 和 上函数 存在各一个零点，符合题意，综上 ；
（2）结合（1），不妨令 ，
构造函数 ，
则 ，
即 单调递减，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
由（1）知 在 上单调递增，所以由 ，
故 .
【典例2】（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知函数 ， .
(1)若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个零点 ，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1）结合题意：对于任意 ，都有 ，所以 ，
因为 ，所以只需 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以只需 ；
（2） 等价于 ，
设函数 ， ，易知 在区间 上单调递增； 上单调递减，
由 知 且 ， ，设函数 ，其中 ，
知 ，
知 在区间 上单调递增，即 时 ，
即 时， ，
即 ，
又由已知由 且 ，
有 且 ，由 在 上单调递减，
所以 ，即 .
素养进阶·答题技法突破
题型01函数切线方程求解
考情定位：选填高频基础题，难度偏低，常单独命题或融入解答第一问，侧重导数几何意义基础运算．
核心考法：已知切点求切线、过外部点求切线、两条曲线公切线、切线斜率 / 倾斜角反求参数．
解题要点：切点同时满足曲线与切线方程，斜率等于切点导数值；过点切线需设切点坐标联立方程求解，
公切线联立斜率与截距两组等式．
【典例1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切
线，则 __________.
【答案】
【解析】由 得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，切线方程为 ，
根据两切线重合,所以 ，解得 .
故答案为：
【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线 是曲线 的一条切线，则 ________.
【答案】
【解析】法一：对于 ，其导数为 ，
因为直线 是曲线的切线，直线的斜率为2，
令 ，即 ，解得 ，
将 代入切线方程 ，可得 ，
所以切点坐标为 ，
因为切点 在曲线 上，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为： .
法二：对于 ，其导数为 ，
假设 与 的切点为 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
题型02 利用导数研究函数的极值与最值
考情定位：导数基础模块，常单独设问或作为综合大题中间步骤，是零点、恒成立问题的必备基础．
核心考法：求解函数极值、判定极值点；求指定闭区间上函数最大值与最小值；根据极值、最值条件反向
求解参数取值．
解题要点：先确定函数定义域，求出全部临界点（导数为0或导数不存在的点）；通过临界点左右导函数
符号区分极大值、极小值；闭区间最值需同步计算端点函数值，将极值与端点值对比得到最终最值；已知
极值/最值求参后，务必回代检验参数是否符合题意．
【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）若 是函数 的极值点，则
___________
【答案】
【解析】由题意有 ，所以 ，
因为 是函数 极值点，所以 ，得 ，
当 时， ，
当 单调递增，当 单调递减，
当 单调递增，
所以 是函数 的极小值点，符合题意；
所以 .
故答案为： .
【典例2】（2026·全国一卷·高考真题）已知函数 的最大值为1，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】法1：（1）当 时，由 ，解得 ，
故函数 定义域为 .
①当 时， ，
当 ，则 ，故不存在最大值，不合题意；
②当 时，此时 ， ，
故最大值不为 ，不合题意；
③当 时， ，
当 ，则 ，故不存在最大值，不合题意；
（2）当 时，则 ，则函数 定义域为 .
且由 最大值为 可知， ，
即 对任意 恒成立，且等号能取到.
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
故 ，当且仅当 时， ，由 对任意 恒成立，可知 ，
又当 时，恒有 ，取不到等号，所以有 ，故选：B.
法2： ，
由选项知 ，则定义域为 ，
故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为 ，
由 ，
则由 ，可得 ①，
且 ，即 ②，
联立①②解得 .
验证：当 时， ，
则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
，且 ，
且当 ， ；当 ， ；
作出函数 的大致图象，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
则 ，满足题意，故 .法3：由选项知 ，则定义域为 ，
由 ，解得 .
同法2验证可得，故 满足题意，由选项唯一可得..
法4：由选项知 ，则定义域为 ，
由 ，解得 .
验证：当 时，由不等式 可得 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
故 满足题意，由选项唯一可得.
题型03 导数综合应用
考情定位：导数解答题核心大题，分值占比高，综合性极强，完整覆盖导数中档到压轴全部考点，是试卷
区分度核心题型．
核心考法：不含参与含参函数单调区间讨论；根据零点个数求解参数范围；不等式恒成立、存在性求参；
构造函数证明不等式、隐零点代换应用．
解题要点：解题第一步锁定函数定义域；含参单调性按二次项系数、判别式、零点顺序分层讨论；零点问
题数形结合，对比极值与 0 的大小；恒成立优先参变分离转化为最值问题；证明类题型构造辅助函数，
必要时借助二阶导分析函数走势，严格验证等号成立条件．
【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处的切
线方程为 ．
(1)求 ， ；
(2)当 时， ，求 的取值范围；
(3)当 时， ，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1） ，
由切点 在直线 上，也在函数 图象上，
可知 且 ，可得 ；
由 ，则切线的斜率为 ，解得 ；
故 .
（2）由（1）知， ，则
，
故题意可转化为 对任意 恒成立，
法一：令 ， ，
则 ，
当 时，由 且 ，
则 ，即 ，
则 在 上单调递增，又 ，
要使 对任意 恒成立，
则 ，解得 ；
当 时， 不成立；
当 时， ， ，且 ，
则 ，
即 ，则 在 上单调递减，
又当 时， ，不满足题意；
综上所述， 的取值范围为 .
法二：
不等式 可转化为 ，
即 对任意 恒成立，
当 时， 不成立；
当 时，设 ， ，
当 时，由 ，可知 ，
，
这与 对任意 恒成立矛盾；
当 时， ，
，
由 ，故 在 上单调递增，
故 在 上存在唯一零点，设为 ，且当 时， ，即 ，
此时不等式 不成立；
当 时， ，
则 在 上单调递增，
由 ，故 ，
故不等式 ，即 恒成立，
综上所述， 的取值范围为 ；
（3）法一：设 ，
则 ，
令 ，
则 ，
其中 ， ， .
当 时， ，
则 在 上单调递增，故 ，
故 在 上单调递增，故 ，
即当 时， 恒成立，满足题意；
当 时，设
，
由 ，可知 且 ，
则 ，可知 在 上单调递增，
故 ，即 ，
故 在 上单调递增，故 ，
故 在 上单调递增，故 ，
即当 时， 恒成立，满足题意；
当 时，此时 ，又 ，
则存在正实数 ，使得 ， ，
则 在 上单调递减，则 ，
即当 ， ，不满足题意；综上所述， ，即 的最小值为 .
法二：由 可得
，
则 ，即 ，
则 ，
由 ，可知 ，则 ，
故原不等式可转化为 ，
由 ，
设 ， ，
则 ，
设 ， ，令 ，
则 ， ，
由 ，
再令 ，
，故 在 上单调递增，
故 ，则 ，故 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 在 上单调递减，
又由洛必达法则可知 ，
故要使当 时， 恒成立，则 ，
即 的最小值为 .
【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ，其中 ．
(1)证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点；(2)设 分别为 在区间 的极值点和零点.
（i）设函数 .证明： 在区间 单调递减；
（ii）比较 与 的大小，并证明你的结论．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：由题得 ，
因为 ，所以 ，设 ，
则 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
，令 ，
所以当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上存在唯一极值点，
对函数 有 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
又因为 ， 时 ，
所以 时 ，
所以存在唯一 使得 ，即 在 上存在唯一零点.
(2)（i）证明：由（1）知 ，则 ， ，
，
则
，
，，
即 在 上单调递减.
（ii） ，证明如下：
由（i）知：函数 在区间 上单调递减，
所以 即 ，又 ，
由（1）可知 在 上单调递减， ，且对任意 ，
所以 .
重点01 含参函数的单调性讨论
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论．
【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数 ，当 时，求
函数 的单调递增区间．
【答案】当 时， 的递增区间是 ，
当 时， 的递增区间是
当 时， 的递增区间是 ， ．
【解析】因为 定义域为 ，
所以 ，
当 ，即 时，由 ，解得 或 ；当 时， 恒成立，
当 ，即 时，由 ，解得 或 ，
综上，当 时， 的递增区间是 ， ；
当 时， 的递增区间是 ；
当 时， 的递增区间是 ， ．
【典例2】（25-26高二下·山东烟台·期末）已知函数 .
(1)当 时，求过点 且与曲线 相切的直线的方程；
(2)讨论 的单调性.
【答案】(1) ；(2)当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，无单调递增区间；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【解析】（1）当 时， ，所以 .
设切点为 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）因为函数 的定义域为 ，
且
当 时，由 ，得 ， 在 上单调递增，
，得 ， 在 上单调递减；当 时，因为 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时，因为 ，
由 ，得 或 ， 在 上单调递减，
由 ，得 ， 在 上单调递增；
当 时，因为 ，
由 ，得 或 ， 在 上单调递减，
由 ，得 ， 在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，无单调递增区间；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
重点02 单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
m f x m f x
xD
1、 ， min
m f x m f x
xD
2、 ， max
m f x m f x
xD
3、 ， max
m f x m f x
xD
4、 ， min．
【典例1】（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】函数 ，由不等式 恒成立，
即 恒成立，
设 ，可得 ，可得 ，
所以 为单调递增函数，可得 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以实数 的最大值为 .
【典例2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知函数 ，若 对一切
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
当 ， ，
， ，不符；
当 ，对于 ， ，
单调递增，
当 ， ， ， ， ，
此时 ，不符；
当 ，对于 ， ，
令 ， ，
令 ， ， 单调递增，
令 ， ， 单调递减，
所以 ，
的最小值为 ，
易知，若 存在两个零点，则两个零点互为相反数，
而 与 图像的存在两个交点时，交点横坐标都为正数，即函数 不存在互为相反数的零点，
所以 与 的变号零点不可能完全相同，
故要使 对一切 恒成立，
， ，则 ，解得 .
重点03 双变量不等式恒成立问题
一般地，已知函数y f x,xa,b ，ygx,xc,d
（1）若x a,b ，x c,d ，总有 f x gx  成立，故 f x gx ；
1 2 1 2 max min
（2）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx  成立，故 f x gx ；
1 2 1 2 max max
（3）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx  成立，故 f x gx ；
1 2 1 2 min min
（4）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx  成立，故 f x gx ．
1 2 1 2 min max
【典例1】（2026·四川成都·模拟预测）已知函数 ， ，若
， ，使得 ，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】 ，得 或 ，
因为 ，所以 ，得 ，
当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增，
， ， ，所以函数 在区间 的值域是 ，
，在区间 恒成立，所以 在区间 单调递增，
所以 在区间 的值域为 ，
由条件可知函数 在区间 的值域是 在区间 的值域的子集，
即 是 的子集，
即 ，解得： ，所以实数 的取值范围是 .
【典例2】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知 ， ，其中 是自然对数的底数．
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ， ．存在 ， ，使得 成立，试求实数 的取值范围．
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上
单调递增；
(2)
【解析】（1）由题 ， .
当 ，则 ，则此时 在 上单调递减；
当 ，则 .
若 ，即 时，令 得 ，令 得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ，即 时，此时 在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2） 时，由（1）可得 ；
又 ，则 ，得 在 上单调递增，
则 .
又注意到存在 ， ，使得 ，等价于 时， ，
则 ，又 ，
则 .
重点04 导数与函数的零点问题
利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问
题（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调
性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
【典例1】（2026·河南周口·三模）若函数 有且仅有2个零点，则 ______.
【答案】3
【解析】因为 ，则 ，可知0不为 的零点，
令 ，且 ，可得 ，
令 ， ，可知 与 有且仅有2个交点，
因为 ，
当 时， ，可知 在 内单调递增，
且当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于0时， 趋近于 ；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 ，
当 趋近于0或 时， 趋近于 ；
综上所述：可得 的图象，如图所示：若 与 有且仅有2个交点，则 .
【典例2】（2026·湖北孝感·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论 的零点个数；
【答案】(1) ；(2)当 时， 的零点个数为0；当 时， 的零点个数为1；当
时， 的零点个数为2.
【解析】（1）当 时， ．
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ．
（2）因为 ，令 ，得 ，即 .
令 ，所以 的零点个数等价于 与 的图象交点的个数.
又因为 ，当 时， ；当 时， .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，有极大值也是最大值 ，如图：
由图可知，当 时，函数 与 的图象无交点；当 时，函数 与 的图象有1个交点；
当 时，函数 与 的图象有2个交点.
综上， 时， 的零点个数为0； 时， 的零点个数为1；
时， 的零点个数为2.
重点05 导数构造法解函数不等式
关系式为“加”型构造：
f(x)g(x) f(x)g(x) [f(x)g(x)] f(x)g(x) f(x)g(x)
（1） 构造
xf '(x) f(x)0 [xf(x)]'  xf'(x) f(x)
（2） 构造
f '(x) f(x)0 [ex f(x)]' ex[f '(x) f(x)]
（3） 构造
xf '(x)nf(x)0 [xnf(x)]'  xnf '(x)nxn1f(x) xn1[xf'(x)nf(x)] x
（4） 构造 （注意 的符号）
f(x)f(x) [f(x)ex] f(x)ex f(x)ex ex[f(x)f(x)]
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
f(x) f(x)g(x) f(x)g(x)
[ ]
f(x)g(x) f(x)g(x) g(x) [g(x)]2
（6） 构造
f(x) xf '(x) f(x)
[ ]' 
（7） xf '(x) f(x)0 构造 x x2
f(x) f'(x)ex  f(x)ex f '(x) f(x)
[ ]'  
f '(x) f(x)0 ex (ex)2 ex
（8） 构造
f(x) xnf'(x)nxn1f(x) xf '(x)nf(x)
[ ]'  
xf '(x)nf(x)0 xn (xn)2 xn1 x
（9） 构造 （注意 的符号）
f(x) f(x)ex f(x)ex f(x)f(x)
[ ] 
f(x)f(x) ex [ex]2 ex
（10） 构造 ．
【典例1】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 .若对任意 ，都有
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】令 ，则 ，
所以 在R上递增，
又 ，
则不等式 等价于 ，所以 ，
即不等式 的解集为 .
【典例2】（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在 上的函数 ， 是 的导函数，满足
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
所以 在 上单调递减；
因为 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 ．
技法点拨01 导数定义在极限中的应用
瞬时变化率的变形形式
f (x +∆x)-f(x ) f (x -∆x)-f (x ) f (x +n∆x)-f(x ) f (x +∆x)-f(x -∆x)
lim 0 0 = lim 0 0 = lim 0 0 = lim 0 0 =f '(x )
∆x -∆x n∆x 2∆x 0
∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0
．【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数 ，则 ____.
【答案】
【解析】根据导数的定义，极限 表示函数 在 处的导数值 ，
因为 求导， ，
所以 .
【典例2】（25-26高三上·河北·阶段检测）已知函数 在 处可导，若
，则 （ ）
A．27 B．2 C．3 D．7
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 .故选：C.
技法点拨02 曲线“在”某点处的切线问题
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
 x , f x  f(x )
第一步（求斜率）：求出曲线在点 0 0 处切线的斜率 0
y f(x ) f(x )(xx )
第二步（写方程）：用点斜式 0 0 0
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式．
【典例1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数 的图象在 处的切线过点 ，则
_____________．
【答案】
【解析】 ，当 时 ，切点坐标为 ，
求导得 ，则 ，
切线方程为： ，即 ，
代入点 得， ，解得 ．【典例2】（2026·河北秦皇岛·二模）曲线 在点 处的切线与直线 平行，则
________.
【答案】
【解析】对函数求导可得 ，
由于曲线 在点 处的切线与直线 平行，那么
即 ，解得 .
技法点拨03 曲线“过”某点的切线问题
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
Q  x , f x 
第一步：设切点为 0 0 ；
y  f(x) x f(x )
第二步：求出函数 在点 0处的导数 0 ；
f(x )k x f(x )
第三步：利用Q在曲线上和 0 PQ，解出 0及 0 ；
y f(x ) f(x )(xx )
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 0 0 0 ．
【典例1】（2026·重庆·模拟预测）过原点的直线 与曲线 相切，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点坐标为 ， .
由 ，求导得 ，则切线 的斜率 .
因为切线 过原点 和切点 ，所以斜率 .
又切点在曲线上，则 ，即得 .
解得 ，即 .将其代入曲线方程得 ，所以切点坐标为 .
【典例2】（2026·福建福州·模拟预测）曲线 过点 的两条切线的方程为________，________.
【答案】
【解析】当 时， ，
设切点为 ，所以切线斜率为 ，所以 ，
所以切点为 ，即得切线方程为 ，所以切线方程为 ，
当 时， ，
设切点为 ，所以切线斜率为 ，所以 ，
所以切点为 ，即得切线方程为 ，所以切线方程为 .
技法点拨04 两曲线的公切线问题
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐
标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．
【典例1】（2026·河南南阳·三模）已知函数 的图象在点 处的切线也是函数
的图象的切线，则实数 _____.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，则 ，
切线斜率 ，切线方程：为 ，即 ，
设 与 相切于点 ，
因此 ，切点 在切线 上，
，
即 .【典例2】（2026·河北秦皇岛·三模）若直线 同时是曲线 和曲线 的切线，则
斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线 与 切于 ，与 切于 .
求导得 ， ，因此公切线斜率 ，
整理得 ①.
的切线方程为 ；
的切线方程为 .
同一直线截距相等，消去同类项得 ②，
将①代入②，得 关于 的函数 .
对 求导得 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因此 时 取最小值，即 .
技法点拨05 已知函数单调性求参数
（1）函数
f x
在区间D上单调增（单减）
f(x)（0 0）
在区间D上恒成立；
（2）函数
f x
在区间D上存在单调增（单减）区间
f(x)（0 0）
在区间D上能成立；
f x f(x)
（3）已知函数 在区间D内单调 不存在变号零点
f x f(x)
（4）已知函数 在区间D内不单调 存在变号零点．
【典例1】（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）已知函数 为增函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】函数 的定义域为R，求导得 ，
由函数 是增函数，得 ， 恒成立，
令函数 ，求导得 ，
令函数 ，求导得 ，
函数 ，即 在R上单调递增，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，则 ，
所以 的取值范围是 .
【典例2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数 在 上单调递减，则a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
依题意 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
令 ， ，
则 ，
当 单调递增，当 单调递减，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围是 .故选：A
技法点拨06 利用导数求函数的极值或极值点利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）观察在每个根x 附近，从左到右导函数 的符号如何变化．
0
①如果 的符号由正变负，则 是极大值；
②如果由负变正，则 是极小值．
③如果在 的根x＝x 的左右侧 的符号不变，则不是极值点．
0
【典例1】（25-26高三上·云南·阶段检测）函数 的极小值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】B【解析】由 ，
可得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 的极小值为 .故选：B．
【典例2】（25-26高三上·湖南湘西·阶段检测）已知函数 的定义域为 ，若 ，则
的极大值点为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】设 ，则 ， ，即 ，
令 ，解得 或 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
则 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
所以 的极大值点为 ．故选：B．
技法点拨07 已知函数的极值求参数根据函数 的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：
根据函数 的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出 ，然后分析的根的个数：
①分类讨论法分析 的根的个数并求解参数范围；
②参变分离法分析 的根的个数并求解参数范围；
③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围．
【典例1】（2026·河北·二模）已知函数 的极值点为0，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
因为 ，所以 ．
当 时，由 得 ，由 得 ，
由 得 ，
所以 的极小值点为0，故 ．
【典例2】（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）若函数 恰有两个极值点，则实数m
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 ，其定义域为 ，且 ，
因为函数 恰有两个极值点，即 在 上有两个不同的解，
显然 ，即 在 上有两个不同的解，
即 与 的图象在 上有两个不同的交点，又由 对应的抛物线开口向上，且对称轴为 ，且 ，
如图所示，可得 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .故选：C.
技法点拨08 利用导数研究函数的最值
函数 在区间 上连续，在 内可导，则求函数 最值的步骤为：
（1）求函数 在区间 上的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点．
【典例1】（25-26高三下·海南·阶段检测）函数 在 上的最小值为______．
【答案】1
【解析】根据题意可得 ，令 ，解得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 是区间 上的极小值点，也是最小值点，
则 .
【典例2】（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数 ， 在 上的最小
值为 ，则 的最大值为_____________．【答案】1
【解析】函数 ，
当 时， .
若 ，则 ， ，所以 在 上单调递增，
在 上的最小值为 ，符合题意；
若 ，则 ， ，所以 在 上单调递减，
在 上的最小值为 ，不符合题意；
若 ，则当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上的最小值为 ，不
符合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
所以 的最大值为 .
易错点01 复合函数求导“漏层”或“错层”致错
辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合
层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写．
【典例1】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）函数 的导函数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的导函数 .故选：C
【典例2】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）函数 的导数为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】依题意， .故选：D
易错点02 误解“导数为0”与“有极值”的关系
辨析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右
两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是
对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，
充要条件是 两侧异号．
【典例1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则
下列选项正确的是（ ）
A． 有2个极值点 B． 在 处取得极大值
C． 在 上单调递增 D． 有极小值，没有极大值
【答案】D
【解析】由图象得，当 时， ，当且仅当 时取等号；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此函数 有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确.故选：D
【典例2】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数 的导函数 的图象如图所示，
下列选项中正确的有（ ）A．函数 必有极值 B．函数 必有最值
C．函数 必有零点 D．函数 必为非奇非偶函数
【答案】ABD
【解析】由图可知 ， ，当且仅当 时 ，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数有极大值和最大值均为 ，且导函数图象不关于原点对称也不关于y轴对称，
故函数 必为非奇非偶函数，
导数反映的是函数单调性，无条件可明确函数值正负情况，故函数 零点情况不确定.故选：ABD
易错点03 误解“导数符号”与“函数单调性”关系
辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等
于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数
在此区间上单调增（减）的充分条件．
【典例1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）设函数 在区间 上单调递减，则 的最大值
是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上是减函数，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，因为 时， ，所以 ，
所以 的最大值是 .故选：A.
【典例2】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 ， ，
因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，
即： ，即 ，
因为 时 ，所以 ，
令 ，则只需 （ ），
，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 在 处取得唯一极大值，也是区间 上的最大值，
且 ，则 .
则实数 的取值范围是 .
易错点04 误解导数正负与函数图象升降关系
辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导
函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负．
【典例1】（2026·广东广州·三模）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列选项中
最有可能为 图象的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 且 递减，则函数 在 上单调递减，
且函数 图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”，
当 时， 且 递增，则函数 在 上单调递减，
且函数 图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意.
【典例2】（2026·广东东莞·二模）已知函数 的图象如图所示，则其导函数 图象可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知，在整个定义域内， 始终单调递减， ，
在 从 到 的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数；
在 从 到 的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数.
故只有C选项，导函数图象满足题意.优题精练·专题实战通关
一、单选题
1．（2026·河南信阳·二模）已知函数 ，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】D
【解析】 ，
由 可得 ．
2．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数 ，则曲线 在 处的切
线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，令 ，则 ，解得 ，
则曲线 在 处的切线的倾斜角为 .
3．（25-26高三上·福建·期中）若函数 的极大值为 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】 ，
当 时， 恒成立， 单调递增，无极值点，所以 .
所以 为 的极大值点，或 为 的极大值点.
因为 ，所以 不是 的极大值点，
为 的极大值点，且 ，
，解得 .故选:C.4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数 有且只有一个极值点，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，定义域为 ， ，
因为函数 有且只有一个极值点，
所以方程 有一个根大于0，一个根小于等于0，
所以 .故选：C
5．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知 是定义域为 的函数 的导函数，且函数
的图象如图所示，则（ ）
A． 的极大值点为1，无极小值点 B． 的极小值点为1，无极大值点
C． 的极大值点为0，极小值点为1 D． 的极小值点为0，极大值点为1
【答案】D
【解析】由图象可得，当 时， ，故 ，
当 时， ，故 ，
当 时， ，故 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值点为1，极小值点为0故选：D
6．（2026·江苏南京·模拟预测）若函数 在区间 内存在最小值，则实数a可以取（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】由题意，得 ，令 ，解得 或 ，
当 时， ， 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
因为 ， ，再令 ，解得 或者0，所以 大致图像如图所示，
结合图像，要使函数 在区间 内存在最小值，
所以 ，解得 ，所以a可取2.
7．（2026·山西忻州·模拟预测）设 ，若函数 在 上恰有一个零点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知 ，函数 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
所以 在 处取到最小值，
因为函数 在 上恰有一个零点，则必有 ，解得 .
8．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数 在 上有三个零点，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】函数 在 上有三个零点，即方程 有三个根 ，
不妨设 ．设 ，则函数 的图象与直线 有三个交点．
函数
当 时，
在 上单调递增，且 ；
当 时， ，当 时， ，当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，作出
函数 的大致图象，如图所示．
由图可知，当 时，函数 的图象与直线 有三个交点，即实数 的取值范围是 ．
二、多选题
9．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】 ，故A错误；，故B正确；
，故C错误；
，故D正确，
故选：BD.
10．（2026·湖南·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B．当 时，
C． 的零点个数为3
D．不等式 的解集为 且
【答案】AD
【解析】 ，由 ，解得 ，
由 ，解得 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ， 分别为 的极小值点和极大值点，
则 有两个极值点，故A正确；
因为 ，所以 ，
根据 在区间 上单调递增，所以 ，故B错误；
， ， ，
结合 的单调性，作出 的大致图象，由下图可知， 有两个零点，故C错误；
结合图象可知不等式 的解集为 且 ，故D正确．
11．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数 ，则（ ）A． 在 内单调递增
B．当方程 有三个不等的实根时，
C．当不等式 恰有三个不等的正整数解时，
D．当过点 可作曲线 的三条切线时，
【答案】BC
【解析】由题意，在 中， ， ， ，
当 时，解得 或 ，
当 即 ， 时，函数单调递减，
当 即 时，函数单调递增，
∴ 在 内单调递增，在 内单调递减，故A错误；
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
当方程 有三个不等的实根时，
∴ ，即 ，故B正确；
当不等式 恰有三个不等的正整数解时，
的图象在 上方的正整数解有3个，
∵ ， ， ， ，
在 ， 内单调递减，在 内单调递增，
∴当 即 时， 的图象在 上方的正整数解为 ，C正确；
设切点为 ，则切线斜率 ，
切线方程为 ，
∵切线过点 ，∴ ，
当 时，切线方程为 ，满足过点 且与 相切条件；当 时，得 ，即 ，
∵过点 可作曲线 的三条切线，
∴方程 有两个不同的非零实根，
∴ 且 ，即 且 ，
解得 或 或 ，D选项错误.故选：BC
三、填空题
12．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）若 在 上单调递增，则 的取值范围
是________．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
∵函数 在区间 上单调递增，
∴ 在区间 上恒成立，
由于 在区间 上单调递增，
∴必须且只需 ，解得 ，
故答案为： .
13．（25-26高三上·四川自贡·期末）若曲线 与曲线 有三条公切线，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】设 ， ，则 ， .
设公切线与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 ，
则公切线的斜率 ，消去 ，得 .
因为 ，所以 ，即 ，
将其代入 并分离参数，得 .
令 ，则 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
则 的极小值为 ，极大值为 .
当 时， ，当 时， .
因为曲线 与曲线 有三条公切线，
所以关于 的方程 恰有3个不同的实数解，
则 ，即 .
14．（2026·广东肇庆·二模）已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则不等式
的解集为__________.（结果用区间表示）
【答案】
【解析】因为 ，构造函数 ，
因为 ，所以函数 是增函数，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以原不等式即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
四、解答题
15．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上的最小值为 ，求 的值．
【答案】(1) ， 在 上单调递增； ， 在 上单调递减，在 上单调递
增
(2)
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，当 时， 恒成立，故 ， 在 上单调递增，
当 时，令 得 ，
当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）可得：若 ，则 在 上单调递增，最小值为 ，与 矛盾，
若 ，则 的极小值点为 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递增，最小值为 ，与 矛盾，
②当 ，即 时， 在 上单调递减，最小值为 ，解得 ，满足 ，
③当 ，即 时，最小值为 ，解得 ，即 ，但 ，
不满足 ，故舍去，
综上， .
16．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)判断函数 的零点个数；
(3)若对任意的 ，都有 成立，求整数 的最大值．
【答案】(1) ；(2)两个零点；(3)3
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）因为 ， ，所以 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 处取得极小值，也是最小值， ．
因为当 时， ， ，
所以由函数零点存在定理，得 在 内和 内各存在一个零点，
所以函数 有两个零点．
（3）因为对任意的 ，都有 ，所以 ．
设 ， ，
则 ．
由（2）知， 在 上单调递增．
因为 ， ，
所以 在 内存在唯一的零点 ，即 ．
所以当 时， ，所以 ， 在 上单调递减；
当 时， ，所以 ， 在 上单调递增．
所以 在 处取得极小值，也是最小值，
．
因为 ，所以 ．
所以 ，所以整数 的最大值为 ．