第02 讲 常用逻辑用语
内容导航
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
——
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 充分条件与必要条件 知识点2 全称量词与存在量词
题型破译 (含超链接）
题型
1 充分必要条件的判断
【方法技巧】充分必要条件的快速判断
【易错分析】混淆定义
题型
2
充分必要条件的
证明
【方法技巧】充要条件证明的规范步骤
【易错分析】遗漏过程
题型
3
全称、存在量词命题的否定与真假判断
【方法技巧】含量词命题的解题要点
【易错分析】遗漏量词符号的改变
题型
4 根据命题真假
/ 充要关系求参数范围
【方法技巧】求参数范围的解题思路
【易错分析】忽略条件
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
考
核心
点
2026 年
2025 年
2024 年
分
充
条件与必要条件
——
——
全国甲卷（理） T9
（5 分）
全称量词与存在量词
——
——
全国Ⅱ卷 T2（3 分）
考情分析
新教材删除了四种命题及其关系和简单逻辑联结词（且、或、非） 两个知识
点，考查范围大幅聚焦，题型以选择题第 2-3 题为主，分值固定 5 分，整体难
度中等偏下，属于必得分板块。
考查方向：
1.
充分条件、必要条件、充要条件的判断（核心高频）
2.
全称量词命题与存在量词命题的否定及真假判断
3.
根据命题真假 / 充要关系求参数的取值范围
4.
充要条件的严谨证明（新教材新增重点考查）
常结合函数单调性与奇偶性、一元二次不等式、立体几何线面关系、解析几何基
本概念考查，侧重逻辑推理核心素养，强调数学语言的严谨性。
复习目标
1.
理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，掌握定义法、集合法、等价转
化法三种判断方法。
2.
能规范书写充要条件的证明过程（分充分性和必要性两步）。
3.
理解全称量词（∀）与存在量词（∃）的意义，能正确写出全称量词命题和
存在量词命题的否定。
4.
能判断全称量词命题和存在量词命题的真假，掌握 举反例 和 找特例
“
”
“
”
的判断技巧。
5.
能根据命题真假性或充要关系，求解参数的取值范围，具备分类讨论与等价
转化思想。
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
——
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
——
知识解构
●
●
●
知识点1
分
充
条件与必要条件
1、核心辨析
“p 是q 的充分条件 等价于 只要有
”
“
p，就一定有q”；
“p 是q 的必要条件 等价于 没有
”
“
p，就一定没有q”；
充要条件是数学定义的标准形式，如 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 就是充要条件。
“
”
2、集合关系与充要条件的对应（新教材重点）
集合关系
逻辑关系
条件类型
A⫋B
p⇒q 且q⇏p
p 是q 的
B⫋A
p⇏q 且q⇒p
p 是q 的
A=B
p⟺q
p 是q 的充要条件
A⊈B 且B⊈A
p⇏q 且q⇏p
p 是q 的既不充分
也不必要条件
3、充要条件证明规范
第一步：证明充分性（由条件推结论）；
第二步：证明必要性（由结论推条件）；
最后下结论：综上，
“
p 是q 的充要条件。
”
自主检测（2026·福建名校联盟·适应性）已知函数f (x)= x
2+mx +1（m∈R），则“∃x0>0，f (x0)=0”
是“m≤-2 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分必要条件
知识点2 全称量词与存在量词
1.
命题否定的易错点
不能只否定结论，必须同时改变量词；
常见结论的否定：是
不是；都是
“
”→“
”
“
”→“ ；至少有一个
”
“
”→“ ；至多有一个
”
“
”→“
。
”
2.
含量词命题的真假判断技巧
全称量词命题找反例：只要找到一个不满足的元素，命题即为假。
存在量词命题找特例：只要找到一个满足的元素，命题即为真。
3.
新教材术语规范：统一使用 全称量词命题
存在量词命题。
“
”“
”
自主检测（2026·长沙铁一中·学考模拟（二））下列命题中，是存在量词命题的是（ ）
A．正方形的四条边相等
B．有三个角是60°的三角形是等边三角形
C．正数的平方根不等于0
D．至少有一个正整数是奇数
题型破译
●
●
●
题型1
分
充
必要条件的判断
例1-1 已知命题p:∀x<3，2
x -2 >2，命题q:∃x<0，x
2= ❑√- x，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．p和¬q都是真命题
C．¬ p和q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
例1-2（2026·天津南开·二模）设x , y ∈R，则“x
3+ y
3>0 是
”
“x + y >0 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
方法技巧 充分必要条件的快速判断
1、定义法：适用于逻辑关系清晰的命题，直接推导两个方向的真假
2、集合法：适用于条件和结论都能转化为集合范围的命题，如不等式解集
3、等价转化法：适用于否定形式的命题，转化为判断其逆否命题
易错分析 混淆定义
1、混淆 “p 是q 的充分条件 和
”
“p 的充分条件是q”
2、忽略特殊情况，如空集、零向量、常数函数等
3、立体几何中线面关系的判定定理和性质定理混淆
【变式训练1-1·变载体】（2026·天津耀华中学·一模）“θ = 2π
3 +2k π或θ = 4π
3 +2k π，（k ∈Z）是
”
“tanθ =2cos(
π
2 +θ) 的（
”
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知a,b,c∈R，则（ ）
A．“a>b 是
”
“a
2>b
2 的充分条件
”
B．“a>b 是
”
“a
2>b
2 的必要条件
”
C．“a>b 是
”
“ac
2>bc
2 的充分条件
”
D．“a>b 是
”
“ac
2>bc
2 的必要条件
”
【变式训练1-3】（2026·四川遂宁·二诊）设a,b∈R ,a>b，且a,b≠0，则“1
a > 1
b 是
”
“ab<0 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-4】（2026·安徽蚌埠·适应性考试）已知集合A = {2,5,8}，B = {a-1,2}，则“a=6 是
”
“
A ∩B = B 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-5】（2026·哈尔滨师大附中·模拟）“x
2+ x -2<0 是
”
“|x|<2 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-6·变载体】（2025·辽宁大连·适应性演练一）已知函数f (x)=a
x¿，对于m,n∈R，若命题
p:a
m>a
n， 命题q:m>n，则p 是q 的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-7】（2025·北京丰台·二模）已知关于x的方程x
2+bx +c =0(b,c∈R)的两实根为x1, x2，则
“|x1|=|x2| 是关于
”
“
x的不等式x
2+bx +c<0的解集为∅的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
题型2
分
充
必要条件的证明
例2-1（2026·天津耀华中学·二模）设a，b∈R，则“a>b 是
”
“a|a|>b|b| 成立的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例2-2（24-25 高三上·安徽铜陵一中&安徽师大附中·12 月联考）设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1<0”
是“S3<S2 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
方法技巧 充要条件证明的规范步骤
1、明确证明方向：分充分性和必要性两步 。
2、充分性：假设条件成立，推导结论成立 。
3、必要性：假设结论成立，推导条件成立 。
4、最后总结：综上，
“
p 是q 的充要条件。
”
易错分析 遗漏过程
1、只证明一个方向，遗漏另一个方向 。
2、证明过程中逻辑不严谨，出现循环论证 。
3、混淆充分性和必要性的推导方向。
【变式训练2-1】数列{an}的前n 项和记为Sn，则数列
“
{Sn}为等差数列是数列
”
“
{an}为常数列的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练2-2·变考法】下列命题错误的是（ ）
A．“x =2 是
”
“x
2- 4 x + 4 =0 的充要条件
”
B．若等比数列{an}公比为q，则“q>1 是
”
“{an}为递增数列的充要条件
”
C．在△ABC中，若“A >B ，则
”
“sin A >sin B”
D．命题若
“
m≥- 1
4 ，则方程x
2+ x -m=0有实根的逆命题为真命题
”
【变式训练2-3】设甲：a>2且b>1，乙：a+b>3且ab>2，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【变式训练2-4·变考法】（25-26 高三下·江苏如皋中学·培优）设集合A ={x | x
2-(a+1) x +a=0}，集合
B =¿，则“A ∩B = {3} 的一个必要不充分条件是（
”
）
A．a=3
B．a∈{2,3}
C．a=1
D．a∈{1,2}
【变式训练2-5】命题p:a>1,b>2是命题q:¿成立的（ ） 条件.
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【变式训练2-6】已知p：log2( x +1)≤2，q：1
x ≥1
3，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练2-7·变考法】（25-26 高三上·安徽皖南八校·第一次联考）（多选题）若a,b∈R，则“a
3<b
3”
的充分不必要条件是（ ）
A．a<b
B．❑√b-a>1
C．a
2<b
2
D．0< 1
b < 1
a
【变式训练2-8】已知集合A ={x ¿，B ={x ¿.
(1)若A ∩B = B，求实数m 的取值范围；
(2)设p: x∈A，q: x∈B，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
题型3
题
真
全称、存在量词命
的否定与
假判断
例3-1（2026·四川巴中·一诊模拟）下列命题中为真命题的是（ ）．
A．∃x∈R，x
2+1<0
B．∀x∈R，x +|x|>0
C．∀x∈Z，|x|∈N
D．∃x∈R，x
2-3 x +10=0
例3-2 命题“∀x>0，x
2- x +1>0 的否定为（
”
）
A．∀x>0，x
2- x +1≤0
B．∀x ≤0，x
2- x +1≤0
C．∃x>0，x
2- x +1≤0
D．∃x ≤0，x
2- x +1≤0
方法技巧 含量词命题的解题要点
1、否定：严格遵循 改量词，否结论 的规则。
“
”
2、真假判断：全称命题找反例，特称命题找特例。
3、常见结论否定：“≥”→“<”；“≤”→“>”；所有
存在；存在
所有。
“
”→“
”
“
”→“
”
易错分析 遗漏量词符号的改变
1、只否定结论，不改变量词。
2、对 都是
至少有一个 等结论的否定错误。
“
”“
”
3、忽略量词的取值范围，如x∈N 包含x=0。
【变式训练3-1】（2025·广西桂林·一模）“∃x∈R，使a x
2- 4 x -3>0 的一个充分不必要条件是（
”
）
A．a≤0
B．a<- 4
3
C．a≥1
D．a<- 4
3 或a≥0
【变式训练3-2·变考法】（2025·天枢杯·联考）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2 的偶数都可写成两个
质数之和．定义P为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（ ）
A．¬∃n0∈N ∩[2,+ ∞)，∀p1∈P，∀p2∈P，p1+ p2≠2n0
B．{p1+ p2|p1∈P , p2∈P}⊇¿
C．¿
D．∀m∈N , 2m≤2或P∩{2m- p∣p∈P}≠0
【变式训练3-3】（2024·武汉华师一附中·高考模拟）若命题“∃a∈[1,3],a x
2+(a-2) x -2>0”是假命题，
则x不能等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
3
【变式训练3-4·变载体】（2024·湖南衡阳·二模）下列命题中的真命题是（ ）
A．∀x∈N，x
2≥1
B．命题“∃a,b∈R , b
a + a
b >2 的否定
”
C．直线
“
l1与直线l2垂直的充要条件是它们的斜率之积一定等于
”
“
-1”
D．“m>-1 是方程
”
“
x
2
2+m -
y
2
m+1 =1表示双曲线的充分不必要条件
”
【变式训练3-5】使命题p:“∃x∈(1,2),m≤x
2+1 为假命题的一个必要不充分条件是（
”
）
A．m≥4
B．m>5
C．m≤2
D．m≤5
【变式训练3-6】命题“∃x∈R，x
2+ x +1>0 的否定为（
”
）
A．∃x∈R，x
2+ x +1<0
B．∃x∈R，x
2+ x +1≤0
C．∀x∈R，x
2+ x +1>0
D．∀x∈R，x
2+ x +1≤0
【变式训练3-7】（2026·西安高新一中·三模）已知命题p:∀x∈R ,|x +1|>1；命题q:∃x>0, x
3= x，
则以下为真命题的是（ ）
A．p和q
B．¬ p和q
C．p和¬q
D．¬ p和¬q
【变式训练3-8】（2026·河南邓州十校联考·模拟）（多选题）下列结论正确的有（ ）
A．∀x∈R，x
2+ 4>2 x
B．“∃x∈R，| x -1|+1<0 是假命题
”
C．有理数的平方是有理数是存在量词命题
“
”
D．“∀x∈R，x + 4 x
4≥0 的否定是
”
“∀x∉R，x + 4 x
4<0”
【变式训练3-9】（2025·河北·模拟）（多选题）已知集合A =¿，则下列结论正确的是（ ）
A．∃a∈R , A ∩B = A
B．∃a∈R , A ∩B = B
C．∀a∈R , A ∩B≠∅
D．∃a∈R , A ∪(∁R B)= R
题型4
题真
根据命
假/充要关系求参数范围
例4-1 若命题“∃x0∈R，x0
2+ x0+m<0 为假命题，则
”
m的取值范围是（ ）
A．(-∞,- 1
4]
B．(-∞, 1
4]
C．(0, 1
4]
D．[
1
4 ,+∞)
例4-2 已知命题“∀x∈R , x
2+ax + 1
4 >0 是假命题，则实数
”
a的取值范围是（ ）
A．(-∞,-1)∪(1,+ ∞)
B．¿
C．(-1,1)
D．[-1,1]
方法技巧 求参数范围的解题思路
1、先分别求出每个命题为真时参数的取值范围。
2、根据复合命题真假或充要关系，转化为集合间的包含关系。
3、利用数轴画出集合范围，列不等式组求解。
4、注意端点值的取舍，单独验证。
易错分析 忽略条件
1、忽略参数使集合为空集的情况。
2、端点值取舍错误，导致范围扩大或缩小。
3、分类讨论不全面，遗漏参数的取值情况。
【变式训练4-1】（25-26 高三上·陕西汉中·一调）若∃x∈{x∣-3≤x ≤3}，使得x - 4 a-13<0成立，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞,3)
B．(- 4 ,+∞)
C．(-3,+∞)
D．(-∞,- 4)
【变式训练4-2】（2025·西南名校联盟·四诊）已知命题：“∃x∈(0,+ ∞)，2 x
2-ax +1<0 为假命题，则
”
实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞,2❑√2]
B．(-∞,2]
C．(-∞,1]
D．(-∞, 1
2]
【变式训练4-3】若命题“∃x ∈R ,(k
2-1) x
2+2(k -1) x -1>0 是假命题，则
”
k的值可以为（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．3
【变式训练4-4·变考法】（2025·福建·适应性（二））（多选题）若平面点集M满足：任意点
( x , y)∈M，存在t ∈(0,+∞)，都有(tx , ty )∈M，则称该点集M是t阶聚合点集．下列命题为真命题
的是（ ）
A．若M =¿，则M是3 阶聚合点集
B．存在M对任意正数t，使M不是t阶聚合点集
C．若M =¿，则M不是1
3阶聚合点集
D．“t ∈[1,+ ∞）是
”
“M =¿是t阶聚合点集的充要条件
”
【变式训练4-5·变载体】若“∃x∈(0,π),sin 2 x -msin x<0 是假命题，则
”
m的取值范围为__________．
【变式训练4-6】已知命题存在
“
x∈{x|-1< x<2}，使得等式3 x -m=0成立是假命题，则实数
”
m的取
值范围是_____________
【变式训练4-7】（2025·江西吉安一中·模拟二）若命题“∃x∈[-1,2]，使得2 x
2+mx -m-10≥0 是假命
”
题，则m 的取值范围是______．
【变式训练4-8】（2023·吉林吉林·二调）若命题：“∃x∈R，a x
2+ x +1<0 为假命题，则实数
”
a 的取值
范围为____________.
【变式训练4-9·变考法】（2026·福建部分高中·一模）若实数λ使得命题：“∃c∈R，使得∀a,b∈R，
均有λ a
2+b
2-2ab+2b+c≠0 是假命题，则
”
λ的取值范围是___________．
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
——
一、单选题
1．（2025·北京·高考）已知函数f ( x)的定义域为D，则“f ( x)的值域为R 是对任意
”
“
M ∈R，存在x0∈D，
使得|f (x0)|> M 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
2．（2025·天津·高考）设x∈R，则“x =0 是
”
“sin 2 x =0 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024·全国甲卷·高考）设向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =-3 是
”
“⃗a⊥⃗b 的必要条件
”
B．“x =1+ ❑√3 是
”
“⃗a//⃗b 的必要条件
”
C．“x =0 是
”
“⃗a⊥⃗b 的充分条件
”
D．“x =-1+ ❑√3 是
”
“⃗a//⃗b 的充分条件
”
4．（2024·天津·高考）已知a,b∈R，则“a
3=b
3 是
”
“3
a=3
b 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2024·新课标全国Ⅱ卷·高考）已知命题p：∀x∈R，| x +1|>1；命题q：∃x>0，x
3= x，则
（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．¬ p和q 都是真命题
C．p 和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
6．（2023·北京·高考）若xy ≠0，则“x + y =0 是
”
“ y
x + x
y =-2 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2024·上海·高考）定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P1, P2, P3∈Ω，存在不
全为0 的实数λ1, λ2, λ3，使得λ1⃗OP1+ λ2⃗O P2+ λ3⃗O P3=⃗0．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条
件是（ ）
A．(0,0,0)∈Ω
B．(-1,0,0)∈Ω
C．(0,1,0)∈Ω
D．(0,0,-1)∈Ω
8．（2024·北京·高考）设 ⃗a，⃗b是向量，则“(⃗a+⃗b)·(⃗a-⃗b)=0 是
”
“⃗a=-⃗b或⃗a=⃗b 的（
”
）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（2023·全国甲卷·高考）设甲：sin
2α +sin
2 β =1，乙：sin α +cos β =0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
10．（2023·新课标全国
卷
Ⅰ
·高考）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{ Sn
n }为等差
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11．（2023·天津·高考）已知a,b∈R，“a
2=b
2 是
”
“a
2+b
2=2ab 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
课本典例·高考素材
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一、解答题
1．（高一上·人教A 版·单元测试）如图，直线a 与b 被直线1 所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和∠4.请
根据这些信息，写出几个“a∥b 的充分条件和必要条件
”
.
2．（高一上·人教A 版·单元测试）下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p: xy >0，q: x>0，y >0；
（4）p: x =1是一元二次方程a x
2+bx +c =0的一个根，q:a+b+c =0(a≠0).
3．（高一上·人教A 版·单元测试）下列若
“
p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？
（1）若直线l 与⊙o有且仅有一个交点，则l 为⊙o的一条切线；
（2）若x 是无理数，则x
2也是无理数.
4．（高一上·人教A 版·单元测试）下列若
“
p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？
（1）若平面内点P 在线段AB的垂直平分线上，则PA = PB；
（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
5．（高一上·人教A 版·单元测试）下列若
“
p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（4）若x =1，则x
2=1；
（5）若ac =bc，则a=b；
（6）若xy为无理数，则x，y 为无理数.
6．（高一上·第一章·小结）设a,b,c 分别是△ABC的三条边,且a⩽b⩽c.我们知道,如果△ABC为直角三角
形,那么a
2+b
2=c
2(勾股定理).反过来,如果a
2+b
2=c
2,那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可
知,△ABC为直角三角形的充要条件是a
2+b
2=c
2.请利用边长a,b,c 分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三
角形的一个充要条件,并证明.
7．（高一上·第一章·小结）设a,b,c∈R证明:a
2+b
2+c
2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c.
8．（高一上·第一章·小结）判断下列命题的真假:
(1)点P 到圆心O 的距离大于圆的半径是点P 在⊙O外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
(3)A ∪B = A是B⊆A的必要不充分条件;
(4)x 或y 为有理数是xy 为有理数的既不充分又不必要条件.
9．（高一上·第一章·小结）在下列各题中,判断p 是q 的什么条件(请用充分不必要条件
必要不充分条件
“
”“
”
充要条件
既不充分又不必要条件回答
“
”“
”
):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中，p: a x
2+bx +c =0有实数根，q:b
2- 4 ac⩾0;
(3)p:a∈P∩Q ,q:a∈P;
(4)p:a∈P∪Q , q:a∈P;
(5)p: x> y ,q: x
2> y
2.
10．（高一上·第一章·小结）举例说明:
(1)p 是q 的充分不必要条件;
(2)p 是q 的必要不充分条件;
(3)p 是q 的充要条件.
