文档文本内容
第02 讲 等差数列及其前n 项和
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳
型技巧
题
知识解构
知识点1 等差数列基础概念
知识点2 等差数列前n 项和Sn
知识点3 等差数列的性质
题型破译 (含超链接）
题型
1
等差数列的基本量运算
题型
2
等差数列的判定与证明
【方法技巧】证明等差数列的两种方法
题型
3
等差数列的性质
【方法技巧】下标等量代换法
题型
4
等差数列前
n 项和的性质
题型
5
等差数列前
n 项和的最值
【方法技巧】求最值双解法
题型
6
等差数列的实际应用及数学文化
题型
7
等差数列奇偶项问题
【方法技巧】奇偶分组对比法
题型
8
含绝对值的等差数列求和问题
【方法技巧】分段去绝对值求和法
题型
9
等差数列中的范围与恒成立问题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
等差数列基本量
的运算
全国一卷T7（5 分）
全国二卷T12（5 分）
全国二卷T7（5 分）
全国II 卷T12（1）（6
分）
全国I 卷T19（17 分）
等差数列的证明
全国一卷T16（1）（7
分）
等差数列的性质
——
——
全国甲卷（理）T4（5
分）
考情分析
近三年考情显示，该内容为高考必考考点，分值稳定。选择、填空常单独命题，侧重
首项、公差等基本量运算、数列性质与奇偶项求和，难度偏低。解答题常与等比数列
综合设问，也会结合函数最值、不等式出题，含绝对值求和、恒成立等难点，综合性
更强，是大题高频考点。
复习目标
1.理解等差数列、等差中项定义，熟练掌握判定方法。
2.熟记通项、前n 项和公式，灵活运用基本量与下标性质快速计算。
3.分清等差数列和一次、二次函数的关联，会借助函数求解最值。
4.能处理奇偶项、绝对值求和、恒成立问题，可结合实际情境建立等差模型解题。
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 等差数列基础概念
1.等差数列定义
从第2 项起，每一项与前一项的差为同一个常数d（公差），满足：an+1−an=d（d为常数）。
2.等差中项
若a, A ,b成等差数列，则A为a、b的等差中项，关系式：2 A =a+b。
3.通项公式与变形
设首项a1，公差d
通项：an=a1+(n−1)d
变形1：am=a1+(m−1)d 变形2：an=am+(n−m)d
自主检测
1．在等差数列
中，若
，则
的公差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】在等差数列
中，有
，得
，
则
的公差为
．
2．已知数列
满足：
.求证：
为等差数列.
【答案】证明见解析
【详解】因为
，两边同时取倒数可得
，
所以
，
因为
，
所以
是以1 为首项，3 为公差的等差数列.
知识点2 等差数列前n项和Sn
1.两个求和公式
Sn= n(a1+an)
2
Sn=na1+ n(n−1)
2
d
2.函数特征
整理得：Sn= d
2 n
2+(a1−d
2)n
①d ≠0：Sn是关于n的二次函数，无常数项，对应图像为离散孤立点；
②d =0：Sn是关于n的一次函数（常数列时为常数），图像为直线上离散点。
自主检测
3．已知等差数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．13
【答案】C
【详解】因为数列
是等差数列，所以
，
所以
.
4．已知
是等差数列
的前n 项和，若
，则
的公差为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】设等差数列
的公差为
，
因为
，
，
所以
，解得
所以
的公差为1.
知识点3 等差数列的性质
1.项下标相关性质
（1）若m+n= p+q，则am+an=ap+aq；
（2）若m+n=2k，则am+an=2ak；
（3）下标成等差的项，构成新等差数列，公差为md。
2.数列线性运算性质
设an公差为d，
（1）{an+c }：公差仍为d（c为常数）
（2）{c an}：公差为cd（c为常数）
（3）{an+k }：公差仍为d（k为常数）
（4）{pan±qbn}：公差为pd1±q d2（{bn}公差d2）
3.片段和相关性质
设an前n项和Sn
（1）{
Sn
n }为等差数列，首项a1，公差d
2 ；
（2）Sk ,S2k−Sk ,S3k−S2k …成等差数列，公差k
2d；
（3）项数为2k：S2k =k(ak +ak +1)，S偶−S奇=kd；
（4）项数为2k −1：S2k −1=(2k −1)ak，S奇
S偶
=
k
k −1；
自主检测
5．已知数列
是等差数列，且
，
，则
（ ）
A．20
B．15
C．10
D．5
【答案】C
【详解】在等差数列
中，
，
，
则
，所以
.
6．已知数列
为等差数列，
为其前
项和，且
，则
（ ）
A．200
B．400
C．320
D．160
【答案】D
【详解】因为数列
是等差数列，所以
成等差数列，
则
，即
，所以
.
题●型●破●译
题型1 等差数列的基本量运算
例1-1（2025·广西贺州·三模）记
为等差数列
的前
项和，
，
，则
（ ）
A．5
B．4
C．6
D．7
【答案】C
【详解】设等差数列
首项
，公差
，
则
，解得
，
所以
，则
.
例1-2（2025·海南三沙·二模）
为公差不为0 的等差数列
的前
项和，若
，则
等于（ ）
A．16
B．17
C．15
D．14
【答案】A
【详解】设数列公差为
，由题设可得
.
即
，结合
,可得
【变式1-1】（2026·山西临汾·一模）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
__________．
【答案】11
【详解】设公差为
，由
，
，得
，即
，解得
，所
以
.
【变式1-2】（2025·广西崇左·一模）（多选）若等差数列
的公差
，且
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】由题意得
，即
，
即
，由于
，则
，故A 正确，
，因为
，
则
，故B 正确，
，
因为
，故无法确定
的正负，故C 错误，
，因
，则
，故D 正确.
【变式1-3】（2025·广西来宾·三模）（多选）等差数列
的公差为
，前
项和为
，当首项
和
变
化时，
是一个定值，则下列各项也为定值的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】因为数列
是公差为
的等差数列，
所以
，
又
是一个定值，所以
为定值，
又
为定值，故B 和C 正确，
因为
，所以
变化时，
不为定值，故A 错误，
又
，
当首项
和
变化时，
不为定值，故D 错误.
题型2 等差数列的判定与证明
例2-1（2026·辽宁盘锦·模拟预测）已知数列
满足
，且
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明：由
，
两边同时除以
，得
，即
，
又
，故数列
是以1 为首项，2 为公差的等差数列．
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）由（1）得
，故
，
故
，
，
两式相减，得
，
因此
．
例2-2（2025·海南海口·三模）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)记
，数列
的前
项的和为
，求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由递推关系
，两边取倒数可得：
，
整理可得：
，所以数列
为等差数列；
（2）由
可知，数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，
即
，即
，
又因为
，
所以
.
方法技巧 证明等差数列的两种方法
1.定义法：证明an+1−an=d（d为常数，n∈N
∗），适用于已知递推关系式的题型。
2.等差中项法：证明2an+1=an+an+2，无需计算公差，适合仅给出三项关系的证明题。
【变式2-1】（2025·山东青岛·模拟预测）在正项数列
中，
.
(1)证明：
是等差数列．
(2)记
，数列
的前n 项和为
，证明：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由
，得
，
因为
为正项数列，所以
，即
，
所以
是以13 为首项，4 为公差的等差数列；
（2）由（1）可知，
，
则
，
所以
，
因为
，所以
，所以
.
【变式2-2】（2025·广西柳州·三模）已知数列
满足
，
．
(1)求证：数列
为等差数列，并求
；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求证：
．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由
，
，得
，
所以数列
是以1 为首项1 为公差的等差数列，
即
，化简得
.
（2）因为
，所以
，所以
，
可得
，即
，
所以
，
因为
，
所以
,
所以
.
【变式2-3·变角度】（2025·安徽黄山·二模）已知数列
满足
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设
，求
.
【答案】(1)由
，两边同除以
，
得
，即
.
令
，则
，
所以
是首项为1，公差为1 的等差数列，即
是等差数列.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）由（1）可知，
，即
，
时，
也满足.
由
，
得
，又
，
所以
.
所以
，
令
，
则
，
两式相减，得
，
所以
，即
.
题型3 等差数列的性质
例3-1（2025·广东广州·模拟预测）已知数列
与
均为等差数列，且
，则
（ ）
A．14
B．7
C．10
D．5
【答案】B
【详解】因为
，所以
，即
，
又数列
与
均为等差数列，所以
，解得
.
故选：B.
例3-2（2025·福建漳州·二模）已知等差数列
，则“
”是“
”成立的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】设等差数列
公差为
，则有
，
由
，则
，
则
时，
，
成立，“
”是“
”成立的充分条件.
时，有
，即可推出
或
的结论，
故“
”不是“
”成立的必要条件.故A 正确.
方法技巧 下标等量代换法
1.下标和相等性质：若m+n= p+q，则am+an=ap+aq；若m+n=2k，则am+an=2ak，快速实现项的转
化。
2.下标等差性质：下标成等差数列的项，构成新等差数列，公差为原公差的倍数。
3.线性运算性质：an+c、c an、an+k仍为等差数列，直接用于化简复合数列。
【变式3-1】（2026·湖北十堰·三模）在等差数列
中，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设数列
的公差为
，
因为
是等差数列，所以
，
由
，可得
，解得
，
所以
．
【变式3-2】（2026·河北张家口·三模）已知等差数列
满足
，则
（ ）
A．
B．14
C．
D．21
【答案】B
【详解】由等差数列
满足
，得
，
所以
，所以
.
【变式3-3】（2025·福建南平·二模）设等差数列
的前n 项和为
，若
，则
＝______．
【答案】
7
【详解】等差数列
的前n 项和为
，若
，
则
，所以
.
则
．
题型4 等差数列前n 项和的性质
例4-1（2025·甘肃陇南·一模）记
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
______________．
【答案】
【详解】若
为等差数列，其前
项和
满足：
仍成等差数列，
所以
，则
解得
.
例4-2（2025·湖南长沙·模拟预测）设等差数列
的前
项和分别为
，且
，则
__________.
【答案】
【详解】
，同理可得
，
则
.
【变式4-1】（2026·河南漯河·二模）设等差数列
的前
项和为
，公差为
，若
，则
（ ）
A．15
B．14
C．13
D．12
【答案】A
【详解】
，
由等差数列前
项和的性质可知
，即
，
又
，
，
，
，
.
【变式4-2】（2025·广东梅州·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
__________．
【答案】6
【详解】因为
成等差数列，设其公差为
，
所以
，所以
，
所以
，所以
．
【变式4-3】（2026·黑龙江鸡西·一模）已知等差数列
和
的前
项和分别为
和
，且
，则
____________．
【答案】
【详解】
.
题型5 等差数列前n 项和的最值
例5-1（2025·安徽安庆·二模）已知公差为d 的等差数列
的前n 项和为
，
，
是
中的唯
一最大项，则d 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
是
中的唯一最大项可得：
，即
，
代入
，解得
.
例5-2（2025·广东佛山·模拟预测）已知数列
的前
项和
满足
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
的最大值.
【答案】(1)
(2)42
【分析】
【详解】（1）由
，得
当
时，
；
当
时，
，
又
时，
，符合上式，
故数列
的通项公式为
（
）.
（2）
，
由于
为正整数，
且
，
，
故
.
方法技巧 求最值双解法
1.通项不等式法：求最大项令{
an≥0
an+1≤0；求最小项令{
an≤0
an+1≥0，解出n的正整数取值。
2.二次函数法：Sn= d
2 n
2+(a1−d
2)n，根据二次函数开口、对称轴判断最值位置，注意n取正整数。
3.常数列d =0时，所有项相等，Sn无增减变化；d >0和d <0分开讨论单调性。
4.对称轴为小数时，取相邻整数对比Sn大小确定最值。
【变式5-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）（多选）首项为正数的等差数列
的前n 项和为
，且
，当
取到最大值时，n 的取值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】BC
【详解】因为
，所以
，所以
.
故
，又
，所以
，
所以
，
而
，所以n 取值是6 或7 时，
取最大.
【变式5-2】（2026·湖北咸宁·三模）已知等差数列
前
项和为
，
，
，则
的最小
值为_________．
【答案】
【详解】设等差数列
的公差为
，
，
，
，解得
．
．
令
，解得
，
时，前
项和
取得最小值，为
．
【变式5-3】（2025·云南丽江·模拟预测）已知公差为
的等差数列
的前
项和为
，若
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
为等差数列，且
，
所以
，
又
，
故
，解得
.
因为
，所以
，所以当
时，
取得最大值，
所以
，又
，
故
，解得
.
故选：C.
题型6 等差数列的实际应用及数学文化
例6-1（2025·云南昆明·模拟预测）某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，
每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1 层的构件有4 个，从第2 层起每层
的构件比前一层多3 个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【详解】由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中
，公差
，
则其前
项和
，
整理可得
，即
，
解得
或
（舍去），所以该层数为8.
例6-2（2025·安徽阜阳·二模）《九章算术
均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹
・
思路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增
采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购 16 箱，往后每一年都比上一年多采购 3 箱；受原材料
价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价 4 元，价格每年变为原来的 3 倍.项目财务
制度约定，前
年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第
年年末，按照当期最新市场
单价一次性核算全部货款.则项目运行满 4 年时，结算总货款为______元；运行
年末核算总货款的最简
代数式为______
【答案】
【详解】设第
年采购的组件箱数为
，
由题意
是首项
、公差
的等差数列，
则
，
前
年总采购箱数为
的前
项和：
，
设第
年组件单价为
，由题意
是首项
、公比
的等比数列，
第
年末的单价为：
，
计算满
年的总货款： 代入
，得
，
，故总货款
；
计算
年末总货款： 根据题意总货款为总箱数乘以第
年末单价，
即
.
【变式6-1】（2025·四川遂宁·二模）某AI 芯片运行时，前10 秒算力匀速提升，10 秒后达到上限保持不变.
已知第3 秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6 秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算
力为（ ）TFLOPS.
A．29
B．32
C．35
D．38
【答案】C
【详解】由题意知，前10 秒每秒的算力构成等差数列，
设等差数列
的公差为
，首项为
，且最大算力为
，10 秒后算力保持
不变.
则
，
，
联立解得
，
.
所以最大算力
，单位为TFLOPS.
【变式6-2】（2026·福建泉州·二模）把300 毫升溶液分给5 个实验小组，使每组所得成等差数列，且较多
三组之和的
是较少两组之和，则最少的那个组分得溶液__________毫升.
【答案】5
【详解】设这5 组的公差为
，
，每组各为
，
且
，解得
，
由题意得
，解得
，
则最少的那个组分得溶液
毫升.
【变式6-3】（2025·广东肇庆·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今
有白米一百八十石，令三人从上级和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：
“今有白米一百八十石，甲乙丙三人来分，他们分得的白米数依此构成等差数列，只知道甲比丙多分三
､
､
十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为_____.
【答案】
石
【详解】依题意，设甲乙丙分得的米重量分别为
､
､
，
，
，公差为
，
则
，
且
，解得
，
，
所以
，
所以甲应该分得白米为
石.
题型7 等差数列奇偶项问题
例7-1（2026·海南三亚·一模）等差数列
中，前
项和为104，其中奇数项之和为40，且
，
则数列
公差为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】前
项中，奇数项共
项，偶数项共
项，
由前
项和为
，奇数项和为
，
因此偶数项和为
，
设等差数列的公差为
，
每一个偶数项比对应前一个奇数项多1 个公差
，共
组，
因此S偶−S奇= md
64 40=
−
⟹
md⟹md =24，
由
，得
，
两式相减md
(
−m
1)
−
d=24 21
−
⟹d=3，
因此数列公差为.
例7-2（2025·辽宁朝阳·一模）在等差数列
中，公差
，且
，则
（ ）
A．5
B．50
C．60
D．105
【答案】A
【详解】解:因为等差数列
中，
，
，
所以
，
即
，
所以
方法技巧 奇偶分组对比法
1.总项数为2k（偶数）：S2k =k(ak +ak +1)，S偶−S奇=kd，S奇
S偶
= ak
ak +1
。
2.总项数为2k −1（奇数）：S2k −1=(2k −1)ak，S奇−S偶=ak，S奇
S偶
=
k
k −1。
3.题目给出奇偶和差值、比值，直接套用公式建立方程，快速求解公差、中间项。
【变式7-1】（2025·湖南永州·一模）等差数列
的前16 项和为640，前16 项中偶数项和与奇数项和之
比为11：9，则公差
的值分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】在等差数列
中，设
，
依题意，
，解得
，
而
，
，
所以
.
故选：D
【变式7-2】（2025·广东中山·二模）在项数为奇数的等差数列
中，奇数项之和为220，偶数项之和为
165，则此数列的中间项是______.
【答案】55
【详解】设等差数列
的项数为
，
＝
＝
，
＝
＝
，
所以
，解得
，所以项数
，
所以此数列的中间项为
，又
，
所以
为所求中间项.
【变式7-3】（2026·辽宁沈阳·二模）已知等差数列
中，前
项的和是99，其中奇数项和是55，且
，则
通项公式为______．
【答案】
【详解】设该等差数列的公差为
，
因为前
项的和是99，其中奇数项和
，
所以偶数项和
，
，
所以
，所以由
，解得
，
因为
，
.
故答案为：
题型8 含绝对值的等差数列求和问题
例8-1（2025·四川乐山·二模）已知公差大于0 的等差数列
的前
项和为
，若
，
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，
设数列
的公差为
，则
，所以
，
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
，
所以
.
例8-2（2025·江西抚州·三模）已知数列
的首项
，前
项和为
，且数列
是公差为
的等
差数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）因
，则
为首项为23，公差为
的等差数列，
则
.
又
，则
，
时，
,
又
满足，则
；
（2）由（1），当
时，令
，可得
；
.
则当
时，
；
当
时，
.
综上：
.
方法技巧 分段去绝对值求和法
1.第一步解不等式an≥0，确定正负项分界点k；分界前项为正，分界后项为负。
2.当n≤k，绝对值不改变符号，T n= Sn；当n>k，负数取相反数，T n=2Sk−Sn。
3.分段书写最终求和表达式，不可合并为单一式子。
4.计算时先求出原数列前k项和，再结合Sn公式代入化简，注意符号变换。
【变式8-1】（2025·浙江杭州·三模）已知数列
的通项公式为
，则其前10 项和
的值为
________，数列
的前
项和
________．
【答案】
【详解】因为
，所以
；
因为
，
所以当
时，
；
当
时，
．
所以
【变式8-2】（2025·广东东莞·一模）已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】
【详解】（1）设公差为
，公比为
，
，
故
，
，
，故
，联立
，解得
或
（舍去），
故
，
；
（2）令
，设数列
的前
项和为
，
则
，
由
，解得
，
当
时，
，
则
，
当
时，
，则
，
综上：
.
【变式8-3】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知数列
的前
项和
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
所以当
时，
，
当
时，
，
显然
满足
式，所以
；
（2）由（1）可得
时
，
时
，
所以当
时
，所以
，
当
时
，所以
，
所以
.
题型9 等差数列中的范围与恒成立问题
例9-1（2026·辽宁锦州·一模）已知数列
的前
项和为
．
(1)证明：数列
为等差数列，并求数列
的通项公式：
(2)若
对任意
恒成立．求实数
的取值范围．
【答案】(1)
证明：由
，则
，即
，
又
，所以数列
是首项、公差均为
的等差数列，
所以
，所以
.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）解：由
，
则
，
所以
，
所以
.
因为
对任意
恒成立．
所以
，整理得
对任意
恒成立，
令
，则
，
当
时
，当
时
，当
时
，
所以
，即
的最小值为
，
综上，实数
的取值范围为
.
例9-2（2025·广东深圳·模拟预测）已知等差数列
的各项均大于零，前n 项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式
和前n 项和
；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
．
(2)
【分析】
【详解】（1）等差数列
中，
，则
，
故
，
∵
，∴
，
．
（2）∵
对任意
，
恒成立，
∴
对任意
，
恒成立．
当n 为奇数时，
，∴
对正奇数n 恒成立．
设
．
∵
对正奇数n 恒成立，
∴
，∴
，∴
；
当n 为偶数时，
，∴
对正偶数n 恒成立．
设
．
∵
对正偶数n 恒成立，
∴
，∴
，∴
．
综上，
．
【变式9-1】（2025·广东湛江·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
若对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】已知数列
的前n 项和为
，且满足
，
则当
时，
，整理得
，
所以
，
又当
时，
，
故数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，故
，
所以
，
当
时，
，则
，
当
时，
，所以
，
综上可得：
，
若对任意
，
恒成立，则
，故实数
的取值范围是
.
故选：A.
【变式9-2】（2026·黑龙江牡丹江·二模）已知在正项数列
中，
且
，其中
为数列
的前n 项和.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若对于任意
，
恒成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
在数列
中，
①，
又因为
②，
，所以
得
．
又因为
，所以数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列；
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）略
（2）由（1）知，数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，所以
．
当
时，
，
当
时，
，也满足上式，
所以数列
的通项公式为
；
（3）由（2）知，
，
因为对于任意
恒成立，所以
恒成立．
设
，则
，
当
和
时，
，即
；
当
时，
，
所以
，
所以数列
的最大项是
，所以
，
即实数
的取值范围为
．
【变式9-3】（2025·安徽铜陵·一模）设
为数列
的前n 项和，且
.
(1)求
；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
，
，得
.
，则
，
两式相减得
，
即
①
②
②①得
，
即
，故数列
为等差数列.
因此公差为
，则
（2）由（I）可得
，
由
得
对任意正整数
恒成立，
，
令
，
，
当
时，
，当
时，
，
，
.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的
历史文化闻名遐迩．该塔群共有108 座塔，依山势自上而下排成12 行，将第行中塔的座数记为
，其中
，
，
，且
，
，…，
是一个首项为7，公差为2 的
等差数列．将
，
，…，
分为6 组，每组2 个数，使得每组的2 个数之和可构成一个项数为6 且公差
为
的等差数列，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【详解】由已知
，
，
，
，
，
设新数列为
，
，
由已知数列
为等差数列，设其公差为
，
，
又
的前
项都为奇数，
所有项都为偶数，
由已知
为正偶数，
为正偶数，
则
，故
，
若
，则
，矛盾，
若
，则
，矛盾，
若
，则
，矛盾，
若
，则
，此时可取
，
，
，
，
，
，满足要求.
2．（2025·北京·高考真题）已知
是公差不为零的等差数列，
，若
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．18
【答案】C
【详解】设等差数列
的公差为
，
因为
成等比数列，且
，
所以
，即
，解得
或
（舍去），
所以
.
故选：C.
3．（2025·天津·高考真题）
，则数列
的前
项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
【答案】C
【详解】因为
，
所以当
时，
，
当
时，
，
经检验，
满足上式，
所以
，令
，
，
设数列
的前n 项和为
，
则数列
的前
项和为
数列
的前
项和为
.
故选：C
4．（2025·全国二卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和.若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设等差数列
的公差为d，则由题可得
，
所以
.
故选：B.
5．（2026·北京·高考真题）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则公差
________，若
恒成立，则符合条件的
的一个取值为________．
【答案】
（答案不唯一，满足
即可）
【详解】等差数列的前
项和公式为
，通项公式为
.
∵
，
，
∴
.
由
，得
，
消去等式两侧的
，整理得
，解得
.
∵
，等差数列
为递减数列，且
恒成立，
∴
为前
项和的最大值，即数列前项非负，第
项及以后非正，即
，
代入通项公式得
，解得
，
取
即为符合条件的一个取值.
6．（2026·全国二卷·高考真题）记
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
__________．
【答案】24
【详解】由等差数列通项公式
，
代入
可得
，解得
.
因为
，所以
，
故
.
7．（2024·上海·高考真题）数列
，
，c 的取值范围为___________．
【答案】
【详解】因为
，则
，
可知数列
为等差数列，
则
，解得
，
所以c 的取值范围为
.
故答案为：
.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1．已知在等差数列
中，
，
．求
．
【答案】
【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列
中，
，
2．在等差数列
中，
为其前n 项的和，若
，
，求
．
【答案】72
【详解】设等差数列的公差为
，
则
，解得
，
则
.
3．已知数列
的前n 项和
．求这个数列的通项公式．
【答案】
【详解】当
时，
,
当
时，
，
当
时，
，
所以
.
4．根据下列等差数列
中的已知量，求相应的未知量：
（1）
，
，
，求d 及n；
（2）
，
，
，求
及
﹔
（3）
，
，
，求n 及
；
（4）
，
，
，求
及
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
.
【分析】
【详解】（1）因为等差数列
中，
，
，
，
所以
，
；
（2）因为等差数列
中，
，
，
，
所以
，
解得
；
（3）因为等差数列
中，
，
，
，
所以
，
整理得
，解得
，或
（舍去），
；
（4）因为等差数列
中，
，
，
，
，
.
5．已知数列
，
都是等差数列，公差分别为
，
，数列
满足
．
（1）数列
是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若
，
的公差都等于2，
，求数列
的通项公式．
【答案】（1）数列
是等差数列，证明见解析；（2）
.
【分析】
【详解】（1）数列
是等差数列，
证明：因为数列
，
都是等差数列，公差分别为
，
，
所以
，
又因为
，
故
，
而
，所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列.
（2）由（1）知：数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
而
，
，
所以
.
6．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间
一项的值以及项数．
【答案】此数列中间一项是
，项数为
.
【详解】设等差数列的项数为
，
设所有的奇数项和为，则
，
设所有的偶数项和为
，则
，
，解得
，
项数
，中间项为
，
由
，
所以此数列中间一项是
，项数为
.
7．已知一个多边形的周长等于
，所有各边的长成等差数列，最大的边长为
，公差为
、求
这个多边形的边数．
【答案】4
【详解】由题意可知：
，
，
则
， 即
，得
解得：
或
（舍去）
故这个多边形的边数为4.
8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”
的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球……设各层球数构成一个数列
．
（1）写出数列
的一个递推公式；
（2）根据（1）中的递推公式，写出数列
的一个通项公式．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】
【详解】（1）由题意可知，
，
，
，
，
；
所以数列
的一个递推公式为
；
（2）由题意，
，
故
，
所以数列
的一个通项公式为
.
