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专题1.1 数列经典题型攻坚：子数列问题及数列放缩技巧
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速度提升
技巧掌握
手感养成
分析考情·探趋势
锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标
破解重难·冲高分
方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化
拔尖冲优·夺满分
巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力
近三年：子数列问题考查内容稳定，基本上是以数列解答题的形式呈现，偶尔伴随着填空题的形式出现，
主要是以考查 奇数项偶数项问题，衍生数列问题（数列公共项问题，数列增减项问题，）。数列放缩一
般是以压轴题形式与导数结合进行切线放缩及其他放缩形式出现。
预测2026 年：数列与导数结合进行放缩将是一个重要的考试方向（主要是转化成不等式链）
ex≥x+1>x>x−1>ln x≥1−1
x
考向01 奇数项与偶数项问题
一、等差、等比数列奇偶项和的性质
1、等差数列
①若项数为偶数
，则
；
；
．
②若项数为奇数
，则
；
；
．
2、等比数列中，若项数为
，则
；若项数为
，则
．
二、含奇偶项的数列求和问题
1、项数问题
①数列项数是2n 项，那么奇数和偶数分别是n 项；
②数列项数是2n+1 项，那么奇数为n+1 项，偶数为n 项；
③当项数是n 项时，要分n 为奇数和n 为偶数；
2、常见类型
通项公式分奇、偶项有不同表达式，例如：
角度1：求
的前
项和
角度2：求
的前
项和
常见奇偶数列模型:
(1)若
，则
，相减得
.
当
为奇数时，数列为以
为首项，
为公差得等差数列.
当
为偶数时，数列为以
为首项，
为公差得等差数列.
(2)若
，则
，相除得
.
当
为奇数时，数列为以
为首项，
为公差得等比数列.
当
为偶数时，数列为以
为首项，
为公差得等比数列.
(3)若
，则直接按奇偶分开讨论
1 ．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为等差数列，
，记
，
分别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，用
表示
及
，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出
，
，再分奇偶结合分组求和法求出
，并与
作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出
，
，再分奇偶借助等差数列前n 项和公式求出
，并与
作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，而
，
则
，
于是
，解得
，
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）方法1：由（1）知，
，
，
当
为偶数时，
，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
.
方法2：由（1）知，
，
，
当
为偶数时，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，
，显然
满足上式，因此当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，所以当
时，
.
2 （25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知
为等差数列，
，记
分别为数列
的前n 项和，
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意结合等差数列性质可得
，
，进而求
，即可得公差；
（2）根据等差数列求和公式结合分组求和法分别求
，进而比较大小.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
因为
，即
，
又因为
，则
，
，
，
可得
，即
，
则
，解得
，
所以数列
的通项公式
.
（2）由（1）可知：
，
，
则
，
且
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
.
3．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知等比数列
的前n 项和为
，
，
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前2n 项和
；
(3)若存在正整数n，使得
成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
【分析】（1）设等比数列
的公比为q，由题设求得
，
，可得
；
（2）由分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式，即可求得；
（3）由（1）得
，分n 为偶数和奇数，结合
与
的单调性，可求得m 的取值范围．
【详解】（1）设等比数列
的公比为q，则
，
由
，解得
，
所以
；
（2）由
有
，
所以
；
（3）由(1)知，
，
存在正整数n，使得
成立，
当n 为偶数时，
，
，
由
，得
，
因为
单调递增，所以
的最小值为
，
因为
单调递减，所以
的最大值为
，
所以
，
当n 为奇数时，
，
，
由
，得
，
因为
单调递减，所以
的最大值为
，
因为
单调递增，所以
的最小值为
，所以
，
综上，m 的取值范围是
考向02 衍生数列问题
解衍生数列题，关键在于理清新旧数列的关系。下面梳理了4 种常见题型的解题“套路”和易错点，帮
你快速抓住解题要害：
1、插入数构成等差数列
在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等差数列，可通过构造新数列
来求解
个数构成等差数列，公差记为
，所以：
题型：
2、插入数构成等比数列
在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等比数列，可通过构造新数列
来求解
个数构成等比数列，公差记为
，所以：
题型：
3、插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列
提供了多少项，其余都是插入进来的。
题型：在
和
之间插入
个
，组成新数列
4、添加项问题
给定两个数列{an},{bn}，增添项问题一般的形式为在数列{an}中，将第ak ,ak+1项之间插入k 个（bk
个）相同的数，或者其他的形式，构成一个新的数列{cn}，求数列{cn}的前r 项和.
此时求和的方法就是分组（并项）求和，需要解决两个关键点：第一个是数列{cn}的前r 项和有多少
{an}，第一个是数列{cn}的前r 项和有多少个插入项，第一个问题很好计数，第二个问题就涉及到先对
{bk}求和，估计出最大的k 值，然后再确定会有多少个{an}，最后分组求和即可.
特别地，在求和项数较少的条件下，枚举也是一个很好的方法.
5.删减项问题
给定两个数列{an},{bn}，删减项问题一般的形式为在数列{an}中，删掉{bn}后构成一个新的数列{cn}
，这个{cn}中，有可能只是{an}中的个别项被删掉（类似函数的交点问题），或者有明显的规律，核
心就是做估计和找规律.
方法点拨：这类问题把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公
式分组求和即可.求这个数列的前
项和，需分清
和
各有多少项，分组求和.
1（25-26 高三上·山东青岛·期中）在正项等比数列
中已知
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，若
，若在数列
任意相邻两项
与
之间插入一个实数
（
），
从而形成一个新的数列
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，列方程组，即可求解；
（2）首先求
，再根据分组求和法，公式法和错位相减法求和.
【详解】（1）设等比数列的公比为
，
则
，且
，所以
；
（2）
，则
，
，
，
，
设
，
设
，
则
，
，
，
，
，
所以
，
所以
.
2（25-26 高三上·天津·期中）已知数列
满足
，
，数列
满足
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
，
之间插入
项，从而构成一个新
数列
，设
的前
项和为
，求
（请用数字作答）.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）构造等比数列可求
，利用通项与和的关系可求
；
（2）根据新数列的特点，分析前100 项的构成，分别求和可得答案.
【详解】（1）对于数列
，由
可得
，又
，
所以
，
所以数列
是首项为4，公比为2 的等比数列，
故
，得
.
对于数列
，设
，
则当
时，
，得
，
时验证成立，故
.
（2）新数列
结构为：
后插1 项，
后插3 项，
后插
项，到
为止总项数为
.
当
时，到
共
项，
和为
，
插入的
到
和为
，
故
.
第92 到100 项为
后插的前9 项，
即
到
，和为
，
故
.
3（25-26 高三上·福建厦门·期中）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
；数列
满足
（
）
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
；
(3)在
和
，
中插入
个相同的数
，构成一个新数列
：
，1，
，
，
，
，
3，3，3，
，…，求数列
的前2025 项和．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）设出公差，借助等差数列基本量计算可得
；由题意可得
，则可得
，作差计算即可得
，再验证
时是否符合即可得；
（2）借助裂项相消法计算即可得；
（3）易得
中从
到
共有
项，再由
时，有2016 项，然
后借助等差数列求和公式与并项求和法计算即可得解.
【详解】（1）设数列
的公差为
，则有
，解得
，
故
；
由
，则
，
则
时，有
，
故
，即
；
当
时，
，符合上式；
故
；
（2）
，
则
；
（3）
：
，
从
到
共有
项，
所以，当
时，
，
，
，
，
.
4．（25-26 高二上·江苏苏州·月考）已知公差不为0 的等差数列
的前n 项和为
成等
比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在数列
中剔除与数列
中的相同项后，按从小到大重新排列得数列
，求数列
的前20
项的和
；
(3)若
，且
成等差数列，求出所有的正整数
．
【答案】(1)
(2)608
(3)2，7
【分析】（1）把条件转化成关于首项与公差的方程，解方程即可；
（2）先令
，得到剔除项的项数的规律，然后分析可得到
是由
的前25 项和减去剔除的5
项和，分别求和即可；
（3）由条件可得到
，然后由
为整数，可得到
为9 的正因数，再分析即可得答案.
【详解】（1）设首项为
，公差为
（
）。
由题意得：
，
化简得：
，解方程得：
，
故数列
的通项公式为：
.
（2）公共项满足
，解得
（
)，
剔除这些项（即
）后，剩余项按原顺序排列得到
，
经分析：
的前25 项剔除
项刚好可得到
的前20 项.
，
，
剔除项：
，
，
，
，
，
剔除项和：
，
.
（3）已知
，
，
，
由题意得：
，
即：
，
故：
，即：
，
交叉相乘：
，
展开：
，
，
，
，
因为
需为正整数，且
，
所以
是9 的因数，
又
（因
且
)，故
，
9 的因数：1， 3， 9，
大于等于4 的因数只有 9.
故
，
.
故：
.
5．（25-26 高三上·上海·期中）已知数列
满足
，
.
(1)求
的值；
(2)证明：数列
为等比数列，并求
的通项公式；
(3)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在不同
的三项
、
、
（其中
、
、
成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的
、
、
；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）分别令
，
，，由数列的递推式可得所求值；
（2）对已知数列的递推式的两边同时加上3，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（3）由等差数列的通项公式和等差数列与等比数列的中项性质，结合在数列
中假设存在不同的三项
、
、
（其中
、
、
成等差数列成等比数列，推得矛盾，可得结论.
【详解】（1）由
，
，
可得
，
，
；
（2）由
，则
，
则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
即
，
即
；
（3）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，
可得
，
在数列
中假设存在不同的三项
、
、
（其中
、
、
成等差数列成等比数列，
可得
，即
，
由
，可得
，
则
，
则
，
为方程
的两根，可得
，
这与
、
、
互异矛盾，
则在数列
中不存在不同的三项
、
、
成等比数列.
6．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）设数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3 项
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由；
(3)已知函数
，其中
表示不超过
的最大整数，设
，数列
的前
项和为
，求
除以16 的余数.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)10
【分析】（1）利用
和等比数列的定义即可求解；
（2）先利用等差数列的通项公式求得
，假设在数列
中存在3 项
（其中
成等差数列）
成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可求解；
（3）利用函数新定义及二项式定理得当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，然后利用
等比数列求和和分组求和思想求得
，最后再利用二项式定理求解余数即可.
【详解】（1）当
时，
，得
；
当
时，
，作差得
，
即
，
所以
是以2 为首项，6 为公比的等比数列，
所以
.
（2）因为
，由题意知：
，
所以
.
假设在数列
中存在3 项
（其中
成等差数列）成等比数列，
则
，即
，
化简得：
，
又因为
成等差数列，所以
，
所以
，即
，
又
，所以
，
即
，所以
，这与题设矛盾.
所以在数列
中不存在3 项
（其中
成等差数列）成等比数列.
（3）由（1）可知
，
因为
，
所以当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
所以
，
而
，
考虑到当
时，
能被16 整除，
也能被16 整除，
所以
除以16 的余数等于
除以16 的余数，
而
，
所以
除以16 的余数等于10.
考向 03 数列求和 SK≤k(常数)的数列不等式证明
1．已知函数
且
的图象经过点
，记数列
的前
项和为
，且
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据题意求出
，再利用
求数列的通项公式；
（2）利用裂项求和法求
，易证
，再根据单调性即可证明结论.
【详解】（1）由题意
，
所以数列
的前
项和为
，
当
时，
；
当
时，
.
时，上式亦成立.
所以数列
的通项公式为
.
（2）
，
所以
，
因为
，所以
又因为
时，
单调递增，所以
，
所以
.
2．记
为数列
的前
项和，已知
，
．
(1)判断
是否为等比数列，并求出
的通项公式；
(2)设递增的等差数列
满足
，且
、
、
成等比数列．设
，证
明：
．
【答案】(1)
不是等比数列，且
(2)证明见解析
【分析】（1）当
时，求出
的值，当
时，由
可得
，两式作差可得出
，结合
可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列
的通项公式；
（2）设等差数列
的公差为
，由题意可知
，根据题中条件可得出关于
的方程，解出
的值，
可得出数列
的通项公式，放缩可得
，结合裂项相消法可证得所证不等式成立.
【详解】（1）因为
，且对任意的
，
，
当
时，
，
当
时，由
可得
，
上述两个等式作差得
，即
，所以
，
又因为
，
故数列
不是等比数列，且该数列是从第
项开始成公比为
的等比数列，
当
时，
，即
，
综上所述，
.
（2）设等差数列
的公差为
，由题意可知
，且
，
，
，
，
所以
，
，
，
因为
、
、
成等比数列，所以
，
整理得
，解得
或
（舍去），
所以
，
所以
，
所以
，故原不等式得证.
3．记
为数列
的前n 项和，满足
，
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
【答案】(1)
；
(2)证明见解析
【分析】（1）由
，可得
，从而得
，利用累乘法可求得通项公式
；
（2）令
，由裂项相消法求得
，令
，可
判定
单调递减，从而得
单调递增，即可证明结论．
【详解】（1）因为
，
当
时，
，
所以
，
整理得：
，即
，
所以
，
显然对于
也成立，
故
的通项公式
；
（2）证明：令
，
则
，
则
，
令
，
则
，
所以
单调递减，所以
单调递增，
当
时，
，当
时，
，
所以
考向 04 数列求和 Sn≤f (n)的数列不等式证明
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题
相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利
用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
方向一：常见的放缩技巧
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）
；
（13）
．
（14）
．
方向二：放缩技巧
核心不等式链ex≥x+1>x>x−1>ln x≥1−1
x （等号仅在特定点成立，x=0 或者是x=1 时成立
）对
于数列应用场景，应用此类放缩一般是数列与导数结合相应的压轴题。
方向三：数学归纳法
对于某些与自然数
有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当
取第一个值
时命
题成立；然后假设当
（
，
）时命题成立，证明当
时命题也成立这种证明方法
就叫做数学归纳法
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数
，如果当
时，命题成立，再假设当
（
，
）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当
时，命
题也成立，那么就可以递推出对所有不小于
的正整数
，
，…，命题都成立．
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当
取第一个值
结论正确；
（2）假设当
（
，
）时结论正确，证明当
时结论也正确
由（1），（2）可知，命题对于从
开始的所有正整数
都正确
②用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始
．
不一定恒为1，也可能
或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找
与
的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问
题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个
证明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设
时结论成立，利用此假设证明
时结论也成立”是数学归
纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的
严谨
1（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知
是等差数列，其前
项和为
是等比数列，已知
，
是
和
的等比中项．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)记
，求证：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由
求出
，利用又
是
和
的等比中项、
求出
；
（2）利用错位相减法求出
；
（3）利用放缩法和裂项相消法求和可得答案.
【详解】（1）由题意
，
，
又
是
和
的等比中项，得
，
又
，解得
，
；
（2）由（1）
，设
，
则
，
将以上两式相减得
，
；
（3）
，
，
，
.
结论得证.
2 （2025·四川南充·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
在区间
上的单调性；
(3)设
，证明：
．
【答案】(1)
的极小值为
，无极大值；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）当
时，
，求导判断其单调性，进而可求得其极值；
（2）求出导数，通过对
的取值进行分类讨论，判断导数的正负情况，进而可得函数
的单调区间；
（3）令数列
的前
项和为
，且
，可求得
，
再令数列
满足
，则原不等式等价于
，整理变形后，结合函数
的性质即可证明.
【详解】（1）由题意，当
时，
，
，
则
，
令
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
故当
时，函数
取得极小值，为
，无极大值.
（2）因
，
则
，
因为
，
，所以
，
当
时，恒有
，则
恒成立，即
在
上单调递增；
当
时，令
，解得
（舍去），
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）令数列
的前
项和为
，且
，数列
满足
，
当
时，
，
当
时，
，
则原不等式
，等价于
，
当
时，
，
，显然成立；
当
时，要证
，即证
，需证
，
令
，则
，又
，所以
，
则不等式
，等价于
，等价于
，
由（2）得，当
时，函数
在
上单调递增，
又
，则
，即
，
故
得证.
即当
时，
成立，故
，
又当
时，
，
综上所述，
成立，不等式得证
3．（25-26 高三上·河北沧州·期中）已知数列
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
(3)设函数
，若
，
，求λ 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，所以当
时，
．
因为
，所以
．
当
时，
，所以
，
所以
是首项为1，公差为2 的等差数列，
所以
，即
．
是首项为2，公差为2 的等差数列，所以
，即
，
故
．
（2）因为
，
所以
．
（3）因为
，
所以
．
因为
，
所以
，
所以
．
不等式
可化为
．
令
，
，
则
．
当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，
所以
，故λ 的最大值为
．
4．（25-26 高三上·河南·期中）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且对任意的
恒成立，求的取值范围；
(3)若
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析；(2)
；(3)证明见解析.
【分析】（1）求导得
，再对分类讨论即可；
（2）设
，求导后再对进行分类讨论；
（3）根据（2）得到结论
对任意
恒成立，再令
，最利用累加法和裂项相消法
即可得到证明.
【详解】（1）由题意得
的定义域为
．
当
时，
在
上单调递减；
当
时，由
，得
，由
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上可知，当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
上单
调递增．
（2）依题意可得当
时，
对任意
恒成立．
令
，则
．
①当
时，
，
则
，所以
，
则
在
上单调递增，则
，符合题意．
②当
时，
有两根
，
因为
且
，所以
，
所以由
，即
，得
，
由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，则
不符合题意．
故的取值范围是
．
（3）由（2）可得，当
时，
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立．
令
，则
，
当
时，
，此时满足
，即不等式成立．
当
时，
，
所以
，
，
以上累加得
，
则
，即
．
综上可知，对所有的
．
考向 05 数列
n
前项积T n≤f (n)的数列不等式证明
1 ．设数列
是等差数列，
是等比数列.已知
，
，
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
（
），求数列
的前
项和
；
(3)设
（
），数列
的前
项积为
，求
的最大值.
【答案】(1)
，
.
(2)
(3)
【分析】（1）公式法求出通项公式；
（2）裂项相消法求数列
的奇数项的和，错位相减法求偶数项的和，两部分的和即为所求；
（3）作差法判断
的单调性，再求
的最大值.
【详解】（1）设
的公差为
，
的公比为
（
），
，
，又
，
，
，
（2）当
为奇数时，
，
数列
的前
项中所有奇数项之和
，
当
为偶数时，
，
数列
的前
项中所有偶数项之和
，①
，②
①－②得
.
.
.
（3）
，
，
当
和
时，
；
当
时，
，即
又
，
，
，
，
，
，
，当
时，
，
的最大值为
.
2．设数列
是等差数列，
是等比数列.已知
(1)求
和
的通项公式;
(2)设
，（
），求数列{
}的前2n 项和
.
(3)设
数列
的前n 项积为
，证明:
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)证明见解析
【分析】（1）解方程组求出数列的公差以及公比，即可求得答案；
（2）确定
的表达式，利用错位相减法，即可求得答案；
（3）确定
的表达式，判断其单调性，即可证明结论.
【详解】（1）设
的公差为d，设
的公比为q，
因为
，
故
，解得
，
故
；
（2）
，
,
则
，
则
故
，
故
；
（3）
，则
，
当
时，
；当
时，
；
即可得
，
，
又数列
的前n 项积为
，则
，
当
时，
，
故
考向 06 数列新定义问题
数列新定义题的核心技巧是“翻译定义+回归基础”，解题时抓住“理解定义→转化条件→用常规
方法求解”三步，就能快速突破陌生感，以下是关键技巧：
1.精准“翻译”定义，拆解核心条件
新定义本质是“用熟悉概念组合的新规则”，先逐字分析定义关键词（如“递增数列”“周期数
列”“差数列”“累乘数列”等），将抽象表述转化为数学式子或具体例子。
2.用特殊值“试算”，快速找规律
新定义题常可通过计算前3-5 项，直观发现数列的周期性、单调性、递推关系或通项特征，避免直
接推导的复杂。
3.回归常规方法，对接已知模型
新定义数列最终可转化为等差数列、等比数列或可递推数列（累加法、累乘法、构造法）求解，关
键是将翻译后的条件与常规模型挂钩：
若定义涉及“差”，用累加法；
若涉及“比”，用累乘法；
若涉及“线性递推”，用构造等比数列。
4.关注定义域与边界条件
新定义可能限定数列的项数、首项、取值范围（如“正整数数列”“从第2 项起满足定义”），忽
略边界条件易出错，解题时先标注已知限制。
5.验证答案，避免逻辑漏洞
新定义题易因理解偏差出错，求出通项或某一项后，代入定义验证
1．（25-26 高三上·四川·月考）定义：若
，且
和
是公比不相同的等比数列，则称
为
“混双等比数列”.已知数列
满足
，其中常数
且
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)设
的前
项和为
，若
是“混双等比数列”，求
的值；
(3)若“混双等比数列”
满足
的前
项和为
也是“混双等比数
列”，证明：当
时，
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）证法一：根据题设推导可得
，进而求证即可；
证法二：根据题设可得
，利用累加法求得
，再求出
即可求证；
（2）解法一：由（1）中证法一可得
，再利用分组求和法求解即可；
解法二：由（1）中证法二可得
，再根据分组求和法求解即可；
（3）根据分组求和先求得
，结合混双等比数列的定义可得
，且
，设
，可得
，进而分
、
两种情况讨
论求解即可.
【详解】（1）证法一：由
，则
，
则
，
所以
，
又
，
所以
是以
为首项，3 为公比的等比数列.
证法二：由
，得
，即
，
则
，
，
则
，即
，
，
显然
满足上式，则
，
所以
，
因为
，所以
，所以
是以
为首项，3 为公比的等比数列.
（2）解法一：由（1）证法一可得
，
又因为
，
所以
，即
，
则
，
因为
是“混双等比数列”，所以
，解得
.
解法二：由（1）证法二可得
，
所以
，
即
.
因为
是“混双等比数列”，所以
，解得
.
（3）证明：
，
因为
是“混双等比数列”，所以
，且
.
设
，则
.
因为
，所以当
时，
是递增数列，
；
当
时，
是递减数列，
.
故当
时，
.
2．（25-26 高三上·北京顺义·期中）对于数列
：
，
，…，
，定义变换
，
将数列
变换
成数列
：
，
，…，
，
，记
，
，
.对于数列
：
，
，…，
与
：
，
，…，
，定义
.若数列
：
，
，…，
满
足
，则称数列
为
数列.
(1)若
：
，1，
，1，1，
，写出
，并求
；
(2)对于任意给定的正整数
，是否存在
数列
，使得
？若存在，写出一个数列
，
若不存在，说明理由：
(3)若
数列
满足
，求数列
的个数.
【答案】(1)
：1，
，1，1，
，
，
；
(2)不存在适合题意的数列
；
(3)
.
【分析】（1）利用变换
的定义即可；
（2）利用
数列的定义，记
中有个
，有
个，则
，进而即得；
（3）由题可得
，进而可得
，然后结合条件即得.
【详解】（1）由
：
，1，
，1，1，
，
可得
：1，
，1，1，
，
，
，1，1，
，
，1.
∴
；
（2）∵
，
由数列A 为
数列，所以
，
对于数列
，
，…，
中相邻的两项
，
令
，若
，则
，若
，则
，
记
中有个
，有
个，则
，
因为
与
的奇偶性相同，而
与
的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列
；
（3）首先证明
，
对于数列
，
，…，
，有
，
，…，
，
，
，
，…，
，
，
，
，…，
，
，
，
，…，
，
，
，
，…，
，
，
∵
，
，
∴
，
故
，
其次，由数列
为
数列可知，
，
解得
，
这说明数列
中任意相邻两项不同的情况有2 次，
若数列
中
的个数为
个，此时数列
有
个，
所以数列
的个数为
个.
3．（25-26 高三上·辽宁·期中）设
，
，若正项数列
满足
，则称数列
具有
性质“
”．
(1)若数列，
，
，，
具有性质“
”，求实数
的取值范围；
(2)设数列
的通项公式为
，则是否存在，使得数列
具有性质“
”？若存在，
求的最小值，若不存在，请说明理由；
(3)设函数
，正项数列
的前
项和为
，且满足
，
，证明：数列
具
有性质“
”，并比较
与
的大小．
【答案】(1)
(2)存在，的最小值为3；
(3)证明见解析，
【分析】（1）由题意可得
，
，解出即可得；
（2）假设存在，则有
，再分别根据
及
计算即可得解；
（3）由题意可得
，则要证
，转化后只需证
，构造函数
，结合导数研究单调性后计算即可得；再证
，转化后只需证
，
构造函数
后，结合导数研究其单调性后即可得，即得证数列
具有性质“
”；
再由该性质可得
，从而可得
，即可结合等比数列求和公式比较
与
的大小.
【详解】（1）已知数列，
，
，，
具有性质“
”，
则
，
，
，
，
由
，可得
，由
，可得
，
综上，
，则实数
的取值范围是
；
（2）假设数列
具有性质“
”，
则
，即
，
由
，得
，
即
，
所以
，
因为
，所以
，且
时，
，所以
，
由
，可得
，所以
，
因为
，所以
，则
．
综上，
，
因为
，所以的最小值为3；
（3）函数
，数列
中，
，由
，得
，
则
，要证
，即证
，即证
，
只需证
；
令函数
，
，求导得
，
则函数
在
上单调递增，
，
所以
，故
得证；
要证
，即证
，只需证
，
令
，
，求导得
，
令函数
，
，求导得
，
故
在
上单调递增，
则
，即
，函数
在
上单调递增，
则
，即
，所以
成立，
由
，得
，而
，
则当
时，
，
故
，
又
，所以
．
4．（2025·安徽·模拟预测）对于非空数集，
，若
，则称数集具有性质
.
(1)若数集具有性质
，证明：
；判断
，
是否具有性质
，并说明理由.
(2)若
满足①
；②
，当
时，都有
.
（i）判断“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ii）已知数集具有性质
且
，
，求数集
具有性质
的概率.
【答案】(1)证明见解析；
具有性质
；
不具有性质
.
(2)（i）是，理由见解析；（ii）
.
【分析】（1）令
，由集合新定义可证明；由集合新定义判断可得；
（2）（i）由等差数列的性质结合集合新定义证明可得；
（ii）由等差数列的性质得到数列
的通项，再结合集合新定义分集合中元素的个数讨论，最后由古典
概率计算可得.
【详解】（1）令
，则
，又数集具有性质
，即
，所以
.
，所以
具有性质
；
，所以
，所以
不具有性质
.
（2）（i）“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件.
先证明必要性：由题知，数列
单调递增，当其为等差数列时，设公差为
，则
，
则
，显然
，所以数集具有性质
.
再证明充分性：显然
，其中
，有
个元素，
，
，
又
，数集具有性质
，即
，
则
，所以
，
所以
，又
，
所以数列
是以0 为首项，
为公差的等差数列.
综上，“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件.
（ii）由（i）知数列
是以0 为首项，
为公差的等差数列，即
，
由
知
，共有11 个元素，子集数为
个，
，当
中只有一个元素，且具有性质
时，
，共1 个；
当
中元素个数大于等于2，且具有性质
时，记
，
结合（i），
当
时，则
，
，共10 个；
当
时，则
，
，共5 个；
当
时，则
，
，共3 个；
当
时，则
，
，共2 个；
当
时，则
，
，共2 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
综上，具有性质
的集合
共有28 个，所以数集
具有性质
的概率为
.
（建议用时：60 分钟）
一、填空题
1．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在
的求和运算中，提出了
倒序相加法的原理．现有函数
，设数列
满足
，若存在
使不等式
成立，
则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先计算出
的图像关于点
成中心对称，利用倒序相加求出
，从而得到
，
结合对勾函数的单调性得到
，求出
的取值范围.
【详解】因为
，所以
的图像关于点
成中心对称．
因为
，
所以
，
两式相加得
，所以
．
由
，得
，
所以
．
令
，
则当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
单调递增．
又
，所以
，所以
，
即
的取值范围是
．
故答案为：
.
2．设数列
满足
（
），
，
.在数列
的任意
与
项之间，都插入
（
）个相同的数
，组成数列
，记数列
的前
项的和为
，求
.
【答案】84
【分析】由条件证明数列
为等比数列，利用累加法求数列
的通项公式，数列
中在
之前
共有
项，由此确定前
项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案.
【详解】因为
，所以
，
又
，
，所以数列
为首项为1，公比为2 的等比数列，
所以
，所以当
时，
，
，
，
，
所以
，
所以当
时，
，又
也满足该关系，
所以数列
的通项公式为
；
数列
中在
之前共有
项，
当
时，
，当
时，
，
所以
.
故答案为：84
3．无穷数列
满足：对于
，
，其中p 为常数，则称数列
为P 数列．若一个公比
为
的等比数列
为“P 数列”，则
；若
，
，
是首项为1，公比为3 的等比数
列，在
与
之间依次插入数列
中的k 项构成新数列
：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，则数列
前30 项的和
【答案】
1622
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，列出“
数列”的式子，变形后得
，
与
无关，即可求解；
（2）由题意确定数列
中前30 项含有
的前7 项和数列
的前23 项，结合等差和等比数列的前
项和公式，即可求解．
【详解】数列
是等比数列，则
，
，
则
，
因为
与
无关，所以
，即
；
由题意可知，
，而
，所以
，
是首项为1，公比为3 的等比数列，
而新数列
中
项（含
）前共有
项，
令
，结合
，解得：
，
故数列
中前30 项含有
的前7 项和数列
的前23 项，
所以数列
中前30 项的和
.
故答案为：
；1622．
4．在数列
中，
，
，且对任意的
，都有
，则
的通项公式为
；若
，则数列
的前
项和
.
【答案】
【分析】由
，可得
，即
是等比数列，可求得
，变形为
，即可得到
是等差数列，可求得
，从而求得
；
，利用分组求和以及等差等比前
项和公式，先求出
为正偶数时
的表达式，
再求
为正奇数时
的表达式，即可得到.
【详解】因为
，
，所以
.
因为
，所以
，
又
，则有
，
所以
，
所以
是以4 为首项，2 为公比的等比数列.
所以
，
所以
，
又
，所以
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，所以
.
由题意可得
，
则
的奇数项为以
为首项，
为公比的等比数列；偶数项是以
为首项，
为公差的等差数
列.
所以当
为偶数，且
时，
；
当
为奇数，且
时，
为偶数，
.
时，
，满足.
所以，当
为奇数，且
时，有
.
综上，
.
故答案为：
；
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加
法、累积法求通项的方法分析、探讨项与项之间的关系而解决问题.
二、解答题
5．已知数列
是等比数列，其前
项和为
，数列
是等差数列，满足
，
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，求
；
(3)证明：
.
【答案】(1)
；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）结合等差、等比数列通项公式可构造方程求得公比
和公差
，由此可得
；
（2）由（1）可得
，分别讨论
为奇数和
为偶数的情况，采用分组求和的方式，结合错位相减法可求
得
；
（3）采用放缩法可得
，采用裂项相消法求和即可证得结论.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，等差数列
的公差为
，
，
，
，
，又
，
；
，
，
，解得：
，
.
（2）由（1）知：
，
当
为奇数时，
；当
为偶数时，
；
；
令
，
则
，
，
；
令
，
则
，
，
；
.
（3）由（1）得：
，
.
6．已知
是等差数列，其前
项和为
是等比数列，已知
，
是
和
的等比
中项．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)记
，求证：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由
求出
，利用又
是
和
的等比中项、
求出
；
（2）利用错位相减法求出
；
（3）利用放缩法和裂项相消法求和可得答案.
【详解】（1）由题意
，
，
又
是
和
的等比中项，得
，
又
，解得
，
；
（2）由（1）
，设
，
则
，
将以上两式相减得
，
；
（3）
，
，
，
.
结论得证.
7．已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)令
，数列
的前
项和为
.求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题设易得
，即可得证；
（2）由（1）可得
，进而根据等比数列的求和公式分组求和即可；
（3）由题设可得
，即可证明
，分析可得
，即证
，再
结合数学归纳法证得
，即可得到
，当且仅当
时取等，进而求证即
可.
【详解】（1）由
，则
，
又
，所以数列
是以4 为首项4 为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
，则
，
所以
.
（3）由
，
则
，
由于
，则
，
所以
.
由
，则
，
要证
，即证
，
由
，则
，
则
，
下面证明
，
当
时，
，即
；
假设
，
，
时，
，
则
时，
.
综上所述，
，则
，
所以
，
则
，当且仅当
时取等，
则
，即
.
综上所述，
.
8．已知函数
．
(1)求函数
在x=1 处的切线方程；
(2)记数列
的前
项和为
．
（i）若
，证明：
．
（ii）已知函数
，若
，
，
，证明：
．
【答案】(1)
(2)（i）证明见详解；（ii）证明见详解
【分析】（1）由
求
，由
知道切线斜率，
得到切线经过的点，然后得到切线方程；
（2）（i）由
得到
，利用错位相减化简
，即可得证；
（ii）得到函数
解析式，由
大小关系得到当
时，
，结合题意得
，
由累乘法得到
，再由分组求和得到
的范围，即可得证.
【详解】（1）因为
．所以
所以
．切线的斜率为0
又
，所以函数在
处的切线方程为
（2）（i）因为
，
所以
，
则
，
所以
，
即
，
所以
（ii）函数
，
因为当
时，令
，
则
，即函数
在
上单调递减，
则
，即
,所以当
时，
，
所以当
时，
，因此
，
故
，即
.
因为
，
所以当
时，
，
综上，
，所以
，
所以
，
即
．
9．已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
；数列
满足
（
）
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
；
(3)在
和
，
中插入
个相同的数
，构成一个新数列
：
，1，
，
，
，
，
3，3，3，
，…，求数列
的前2025 项和．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）设出公差，借助等差数列基本量计算可得
；由题意可得
，则可得
，作差计算即可得
，再验证
时是否符合即可得；
（2）借助裂项相消法计算即可得；
（3）易得
中从
到
共有
项，再由
时，有2016 项，然
后借助等差数列求和公式与并项求和法计算即可得解.
【详解】（1）设数列
的公差为
，则有
，解得
，
故
；
由
，则
，
则
时，有
，
故
，即
；
当
时，
，符合上式；
故
；
（2）
，
则
；
（3）
：
，
从
到
共有
项，
所以，当
时，
，
，
，
，
.
10．已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
【答案】(1)在
上单调递减，在
上单调递增；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把
代入，利用导数求出函数的单调性.
（2）利用导数讨论单调性，分
和
两者情况分别讨论求解.
（3）由（2）的信息可得
，取
并代入不等式变形，利用裂项相消法求
和推理得证.
【详解】（1）当
时，函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）函数
，求导得
，
,
令
，求导得
，
，
①当
，即
时，由
，则存在
，使得当
时，
，
函数
在
上单调递增，当
时，
，
函数
在
上单调递增，因此
与
矛盾；
②当
，即
时，此时
，
，
下面证明
恒成立即可，即证
，
令
，求导得
，
函数
在
上单调递减，因此
恒成立，
则
，即
，因此
，即
恒成立，
所以a 的取值范围为
.
（3）由（2）知，当
时，
，
取
，则
，
因此
，即
，
则
，
所以
.
11．已知数列
的首项
，前
项和为
，若对任意的正整数
，均有
成立，其中
和
是实数，则称此数列为“
”数列.
(1)若等差数列
是“
”数列，求
的值；
(2)若正项数列
是“
”数列，求数列
的通项公式；
(3)对于给定的
，是否存在三个不同的数列
为“
”数列，且
？若存在，求
的取值范围；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据
可直接得到结果；
（2）根据“
”数列定义可推导得到
，由等比数列通项公式可求得
，根据
与
关系可求
得
；
（3）令
，可推导得到
，分别讨论
和
的情况，构造关
于
的表达式后结合双勾函数即可求得结果.
【详解】（1）
等差数列
是“
”数列，
，
，
存在
，
.
（2）
正项数列
是“
”数列，
，
，
，即
，
又
，
数列
是以为首项，
为公比的等比数列，
，
当
时，
，
当
时，
不满足
，
.
（3）由“
”数列定义知：
，又
，
，
令
，则
，故
，且
，且
，
，
；
若
，则
恒成立，则
，
若
，则
，
因为存在三个不同的数列
为“
”数列，
故
有解，故
有解且解不为1，
由双勾函数的单调性可得
，
，即实数
的取值范围为
.
12．已知等差数列
和等比数列
满足：
，
，
，
．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)设数列
是数列
和数列
的相同项从小到大组成的新数列，
是数列
的前n 项和，求
，
并判断
是否为数列
中的项（不必说明理由）？
【答案】(1)
，
(2)
，
必为数列
中的项．
【分析】（1）根据题意分别可得关于等差数列
的公差
和等比数列
的公比为
的方程，解方程可
得
和
，从而可得数列
，
的通项公式；
（2）由（1）知道数列
和数列
的相同项即为数列
的所有大于等于3 的奇数项，即可求解.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
则
，
解得
，
．
，
解得
，
，
即
，
（2）由（1）知道数列
和数列
的相同项即为数列
的所有大于等于3 的奇数项，
即是：22，24，26，28，210，212，…，即
，
所以
，且必为偶数，所以
必为数列
中的项．
13．已知
，
．
(1)证明：
为等差数列，并求
的通项公式；
(2)令
，
为
的前
项之积，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知可得
，且
，由等差数列的定义写出通项公式即可；
（2）利用导数证明
，进而得到
，可得
，累加即可证.
【详解】（1）由
，又由题意知，
，
左右同时除以
得
，
又因为
，则
，则
，
故
是以3 为首项，3 为公差的等差数列，
所以
，可得
.
（2）因为
，则
，
所以
，
令函数
，求导得
，
所以
在
上单调递增，
，即
，
取
，则
，于是
，
所以
，
则
.
