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专题二 数列
第1 讲 等差数列、等比数列
【探究真题.明确方向】
1.(2023·新课标Ⅰ卷，T7)记Sn为数列{an}的前n 项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{
Sn
n }为等差数列，则(
)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.(2025·全国Ⅱ卷，T7)记Sn为等差数列{an}的前n 项和，若S3=6，S5=-5，则S6等于( )
A.-20
B.-15
C.-10
D.-5
3.(2025·全国Ⅰ卷，T13)若一个等比数列的各项均为正数，且前4 项的和等于4，前8 项的和等于68，则这
个数列的公比等于 .
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T20)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=n
2+n
an
，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}
的前n 项和.
(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99-T99=99，求d.
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，主要以解答题的形式出现，选择题、填
空题中也经常出现.分值约为11~24 分.
【考向预测】考查重点一是等差数列、等比数列的基本运算；二是等差数列、等比数列的性质及其应用；
三是等差数列、等比数列的判定与证明.
考点一 等差数列、等比数列的基本运算
【典例】1 (1)(多选)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n 项和，q 为{an}的公比，q>0，若
S3=7，a3=1，则( )
A.q=1
2
B.a5=1
9
C.S5=8
D.an+Sn=8
(2)(2025·唐山模拟)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，a3+a8+a13=-120，5S7-7S5=70，若Sk=Sk+1，则k 等
于( )
A.27
B.28
C.54
D.55
【变式训练】1 (1)(2025·南京模拟)已知等比数列{an}的前3 项和为168，a2-a5=42，则a6等于( )
A.7
B.6
C.3
D.2
(2)(2025·九江模拟)为备战某次马拉松，某同学制定了一个为期20 周的跑步训练计划.计划第1 周跑步2
公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2 倍；当周跑步量首次超过30 公里后，每周比前一周多
跑2 公里；当周跑步量首次超过全马里程(42.195 公里)后，保持这个周训练量直至训练结束，则训练计
划结束时，该同学跑步的总量是( )
A.736 公里
B.724 公里
C.692 公里
D.660 公里
考点二 等差数列、等比数列的性质
【典例】2 (1)(多选)(2025·厦门模拟)记等差数列{an}的前n 项和为Sn，公差为d，若a3+a18>0，S19<0，
则( )
A.S20<0
B.a11>0
C.d>0
D.Sn≥S10
(2)(2025·赣州模拟)设正项等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S20=21，S30=49，则S10等于( )
A.7
B.9
C.63
D.7 或63
【变式训练】2 (1)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为
261，则此数列的项数为( )
A.15
B.17
C.19
D.21
(2)已知正项递增等比数列{an}的前n 项之积为Tn，且T19=Tm(m≠19)，a15=1，则m= .
考点三 等差数列、等比数列的判定与证明
【典例】3 已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N*).
(1)证明：数列{an+1-an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若数列{bn}满足4
b1−1·4
b2−1·…·4
bn−1=(an+1)
bn(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列.
【变式训练】3 (多选)(2025·贵阳模拟)设首项为1 的数列{an}的前n 项和为Sn，已知Sn+1=2Sn+n-1，则
下列结论正确的是( )
A.数列{Sn+n}为等比数列
B.数列{an}的前n 项和Sn=2n-n
C.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1
D.数列{an+1}为等比数列
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·菏泽模拟)已知Sn为等比数列{an}的前n 项和，若a4=4a3-4a2，则
S4
a1+a2
等于( )
A.5
B.3
C.-3
D.-5
2.(2025·北京)已知{an}是公差不为0 的等差数列，a1=-2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10等于( )
A.-20
B.-18
C.16
D.18
3.(2025·重庆模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1，a9是关于x 的方程x2-mx+4=0 的两个实数根，
则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9等于( )
A.8
B.9
C.16
D.18
4.(2025·绵阳模拟)已知等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn，若Sn
T n
= 2n
3n+1，则a2+a8
b3+b7
等于( )
A.20
31
B.5
8
C.10
13
D. 9
14
5.(2025·福州模拟)设{an}是无穷数列，An=an+an+1(n∈N*)，则“{an}是等差数列”是“{An}是等差数列”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2025·长沙模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn，对任意的n∈N*，都有3Sn=an+64.若Tn是数列{an}的前n
项积，则Tn的最大值为( )
A.29
B.214
C.215
D.216
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·安徽省A10 联盟模拟)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n 项和为Sn，且S5=4a4-1，
{
2Sn
an }是以1 为公差的等差数列，则下列结论正确的是( )
A.d=1
B.S5=15
C.an=n
D.Sn=n(n−1)
2
8.(2025·洛阳模拟)在数列{an}中，an=an+1-1
4 an+2，a1=2，a2=8，Sn是数列{lo g2an}的前n 项和，则( )
A.数列{an+1−2an}是等比数列
B.数列{
an
2
n}是等差数列
C.a1+a2
2 +a3
3 +…+a10
10 =2 044
D.S5<22
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n 项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10= .
10.(2025·杭州模拟)已知数列{an}中，a1=1，且an+1
an
= n+1
2an+n，记数列{an−an+1}的前n 项和为Sn，则S2 025=
.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn=2an-n.
(1)证明：数列{an+1}为等比数列；(6 分)
(2)求数列{an}落入区间(1，2 024)内的所有项的和.(7 分)
12.(14 分)(2025·泉州模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1=1，且nSn+1=(n+1)Sn+n2+n.
(1)证明：数列{
Sn
n }为等差数列；(6 分)
(2)设bn=
n
Σ
i=1
Cn
i ai，求数列{bn}的通项公式.(8 分)
【拓展训练】(13 题6 分，14 题5 分，共11 分)
13.(多选)若数列{cn}满足cn+1=cn
2，则称{cn}为“平方递推数列”.已知数列{an}是“平方递推数列”，且
a1=2，则( )
A.{anan+1}是“平方递推数列”
B.{an+1+an}是“平方递推数列”
C.an=2·102(n-1)
D.an=2
2
n−1
14.(2025·苏州模拟)已知数列{an}满足a1=1，an+1
an
=1-1
2an，则( )
A.an+1>an
B.an>1
2
C.1 013a2 025<1
D.2 025a2 025<1
