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专题1 数列——裂项求和法
一、例题讲解：
1．已知等差数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
2．已知等差数列
的前
项和
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
.
3．已知等差数列
的前
项和为
，且满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
4．已知数列
是公差不为0 的等差数列，若
，且
，
，
成等比数列．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
；
5．等比数列
中的所有项均为整数，已知
，
.
(1)求
与前
项和
；
(2)设
，求数列
的前10 项的和
.
6．已知数列
是公差不为0 的等差数列，数列
是公比为2 的等比数列，
是
的
等比中项，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
7．在等比数列
中，
，
(1)求
的通项公式;
(2)若
为递增数列，
，求数列
的前n 项和
8．数列
是公比为
的等比数列，且
是
与
的等比中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，证明：
.
二、巩固强化：
9．设等差数列
的前n 项和为
，已知
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
10．已知
是等差数列
的前n 项和，且
，
(1)求
(2)若
，求数列
的前n 项和为
；
11．在等差数列
中，
(1)求
的通项公式；
(2)设
求数列
的前
项和
12．已知数列
是等差数列，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，求
.
13．等差数列
中，
，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
14．已知等差数列
的公差为
，前n 项和为
，满足
，
，且
是
与
的
等比中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
前n 项和
.
15．已知公差不为零的等差数列
的前
项和为
，若
，且
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
16．已知数列
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
，
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前n 项和
.
《专题1 数列——裂项求和法》参考答案
1．(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求公差，进而写出通项公式；
（2）应用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）若等差数列的公差为
，结合题设有
，
所以
，可得
，
故
.
（2）由（1）得
，
所以
.
2．(1)
(2)
【分析】（1）依次得
，
，
即可求解；
（2）由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由
可得
，
由
可得，
，
，
故
.
（2）由（1）得
，
故
则
.
3．(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件列方程组求出
，从而可求出
的通项公式；
（2）由（1）可求得
的通项公式，利用裂项相消法可求得数列
的前
项和
..
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由
，
，可得
，
整理得
，解得
，数列
的通项公式
；
（2）
，
所以
.
故数列
的前
项和
.
4．(1)
(2)
．
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，根据等比中项的性质得到方程，解得
，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得
，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
因为
，
，
成等比数列，
所以
．
即
，
即
，又
，且
，解得
所以
．
（2）由（1）知：
，
则
，
即
．
5．(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据等比数列的通项公式和已知条件，列首项
，公比
的方程组，即可得
其通项公式和前
项和公式；
（2）把（1）的结果代入
整理得
的表达式，利用裂项求和法即可求前
项和
．
【详解】（1）设
的公比为
，依题意得
，解得
或
，又因
为等比数列
中的所有项均为整数，则
，
因此，
.
（2）由（1）知
，
则
所以
.
6．(1)
，
；
(2)
.
【分析】（1）利用基本量，结合题意，列出方程组，求得
以及公差，即可求得两个
数列的通项公式；
（2）根据（1）中所求
，利用裂项求和法，即可求得
.
【详解】（1）设
的公差为
，因为
是
的等比中项，故
，
即
，
整理得：
，又
，故可得
；
又
，即
，故
，
，
解得
，
，
；
故
，
.
（2）由（1）可知，
，故
，
故
.
故数列
的前
项和
.
7．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用等比数列的通项公式先得基本量
，从而得解；
（2）先由（1）得到
，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）设等比数列
的公比为q，
由
，得
，有
，解得
，
当
时
，故数列
的通项公式为
当
时
，故数列
的通项公式为
（2）因为
为递增数列，所以
，
由
，
有
，
可得
8．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解；
（2）利用裂项相消求和求解即可.
【详解】（1）依题可得：
，
即：
，
解得
，
所以
.
（2）证明：设
，
则
，
所以
，
9．(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求
出
，即得数列通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求得
.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由
，即
，①
由
，②，联立①②，解得
，
则
的通项公式为
；
（2）设
，
则
.
10．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的基本量列方程求解即可；
（2）首先由（1）得到
，利用裂项相消的方法求和
.
【详解】（1）设等差数列
的公差为d，则由题意得：
，即
，
解得
，
故
，
（2）
，
11．(1)
(2)
【分析】（1）列出关于
和
的方程组即可求解；
（2）利用裂项相消即可求解.
【详解】（1）设
的首项为
，公差为
，
所以
，解得
，
故
的通项公式为
.
（2）因为
，
所以
.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的性质求出公差，再利用等差数列的通项公式即可求解，
（2）根据裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）由
可得
，故公差
，
所以
，
（2）由于
，
故
13．(1)
，
(2)
【分析】（1）由已知结合等差数列的性质列出方程组求解即可；
（2）根据裂项相消法求和即可．
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
，
，
，
解得，
，
，
，
．
（2）
，
．
14．(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d，代入等差数列的通项
公式即可得解；
（2）求出等差数列
的前n 项和，再由裂项相消法求数列
前n 项和为
.
【详解】（1）在等差数列
中，
是
与
的等比中项，
所以
所以
因为
，解得
，
所以
.
（2）因为
，
所以
，
所以
.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的基本量公式求解即可；
（2）利用裂项法求和即可.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，由
，得
，①
由
成等比数列，可得
，即
，②
由①②解得
，所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知
则
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）计算出公比、公差即可求解；
（2）由裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由题意
，解得
，所以
，
所以
，所以
，解得
，
所以
；
（2）因为
，
所以数列
的前n 项和
.
