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专题07 解答题15 题、16 题、17 题必会题
（6 阶题组）专项训练（一）
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)保持
的各项顺序不变，在
和
之间插入k 个1，使它们与数列
的项组成一个新的数列
，
记
的前n 项和为
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助
与
的关系计算可得
，再利用等比数列定义计算即可得；
（2）由题意可得
，数列
的其余项为1，则可借助分组求和计算即可得解.
【详解】（1）由
，得
，
则
，即
，
又
，满足
，所以
，
所以
是首项是
，公比为
的等比数列，故
；
（2）由题知
，数列
的其余项为1，
则
.
16．已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的
两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03．
(1)从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1 件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲
工厂生产的概率；
(2)用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3 件，记这3 件中正品与次品的
个数分别为X，Y，记随机变量
，求
的期望值；
(3)甲工厂为提高产品正品率，进行了技术改进，从改进后的第1 个月开始，第
个月的次品率y
（单位：%）如表：
x 1
2
3
4
5
y
5
.
8
5
.
4
4
.
8
4
.
5
4
.
0
根据上表数据求得y 关于x 的回归直线方程为
，求相关系数r（要求保留到小数点后两
位），并判断该回归直线方程是否有价值.
附公式：
，
，
，
．若
，则认为回归直线方程有价值.
【答案】(1)0.8
(2)2.7
(3)
，有价值
【分析】(1) 设“抽取的零部件为甲工厂生产”为事件
，“抽取的零部件为乙工厂生产”为事件
，
“抽取的零部件为次品”为事件B，由全概率公式计算
，最后利用条件概率公式即可求解；
（2）由
的取值依次为
，利用二项分布求出对应的概率即可求解；
（3）利用回归方程求
，代入公式计算相关系数r 即可求解.
【详解】（1）设“抽取的零部件为甲工厂生产”为事件
，“抽取的零部件为乙工厂生产”为事件
，
“抽取的零部件为次品”为事件B，
则
，
所以
检测该零部件为次品，则该零部件是甲工厂生产的概率为
．
（2）用频率代替概率，从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3 件，
则正品数
，
的取值依次为
，
，
，
，
．
所以
的分布列为
1
3
P
0.0001
25
0.0071
25
0.1353
75
0.8573
75
，
．
（3）由
的取值依次为1，2，3，4，5，得
，
，
因为回归直线方程为
，所以
，
所以
，所以
．
因为
，所以该回归直线方程有价值．
17．已知点
为抛物线
上的点，
，
为抛物线
上的两个动点，
为抛物线
的准线与
轴的交点，
为抛物线
的焦点．
(1)若
，求证：直线
恒过定点；
(2)若直线
过点
，
，
在
轴下方，点
在
，
之间，且
，求
的面积和
的面积之比．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）根据
，可得，
,利用韦达定理求解；
（2）方法一：利用直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理可得
，，从而可求解；方法二：
结合
可得
，利用韦达定理和向量夹角的坐标表示即可求解.
【详解】（1）设直线
的方程为
，
，
将
代入抛物线方程得
联立
,
∵
∴
,
,
或
,
若
，直线
的方程为
，恒过定点
，不合题意舍；
若
，直线
的方程为
，恒过定点
．
（2）方法1：设直线
的方程为
，
，
不妨设直线
的倾斜
角为
，
则
∴
，
，
,
∵
，∴
,
∵
∴
，
，
共线，∴
．
方法2：设直线
的方程为
，
，
,
∵
，
，
，
，
∴
由于直线
过点
，
，
在
轴下方，∴
代入
得
，
,∴
∵
∴
，
，
共线，∴
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)若
成等差数列，求
的面积；
(2)若
，求
.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据等差数列的性质得到
，再利用余弦定理求得
的值，进而利用三角形的面积
公式求解；
（2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解.
【详解】（1）因为
成等差数列，所以
，
又
，所以
①，
在
中，由余弦定理可得：
，
又
，所以
②，
由①②得
，
所以
的面积
.
（2）因为
，所以
，
又因为
且
，所以
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
.
16．某新能源汽车公司对其销售的
、
两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽
车的消费者中各随机抽取了
名，调查结果统计如下表：
满意程度
汽车款式
合计
款
款
满意
不满意
合计
(1)补全
列联表，并根据小概率值
的独立性检验，能否认为消费者对A、B 两款汽车的售后
服务的满意度有差异？
(2)用频率估计概率，现从购买
、
款汽车的消费者中随机抽取
人，
表示这
名消费者中对
款汽车
的售后服务持满意态度的人数，求
的分布列和数学期望．
附：
，
.
【答案】(1)列联表见解析，无差异
(2)证明见解析，
【分析】（1）完善
列联表，提出零假设
消费者对
、
款汽车售后服务的满意度无差异， 计
算出
的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知
，利用二项分布可得出随机变量
的分布列，进一步可求得
的值.
【详解】（1）
列联表为：
满意程度
汽车款式
合计
款
款
满意
不满意
合计
零假设
消费者对
、
款汽车售后服务的满意度无差异，
根据列联表中的数据，计算得，
，
根据小概率值
的独立性检验，没有充分理由推断
不成立，
故消费者对
、
款汽车的售后服务的满意度无差异．
（2）从
名消费者中随机抽人，对
款车的售后服务持满意态度的频率为
，
所以从购买
、
款汽车的消费者中随机抽取人，
则该人对
款汽车的售后服务持满意态度的概率为
，
X 的可能取值为
、、
、、
，且
，
，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
（或
）．
17．如图，四边形
为菱形，
平面
，过
的平面交平面
于
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，
，且四棱锥
的体积是
．
①求
的长；
②求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①6；②
.
【分析】（1）根据题意，由面面平行的判定定理可得平面
平面
，再由其性质定理即可得到
平面
；
（2）①通过四棱锥
的体积即可得结果；②建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即
可得到结果.
【详解】（1）证明：∵
平面
，过
的平面交平面
于
，
∴
，又∵
，∴四边形
为菱形
∴
，∵
平面
，
平面
，∴
平面
.
又∵四边形
为菱形，∴同理
平面
，
∵
，
平面
，∴平面
平面
，
又
平面
，∴
平面
；
（2）①连接
交
于点
，连接
，
∵
，且
，则
为等边三角形，
又四边形
为菱形，则
为
中点，∴
又∵平面
平面
，且交线为
∴
平面
∵
，∴
∴
∴
.
②建系：以
为原点，
为
轴，
为
轴，建立直角坐标系，
∴
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
令平面
的法向量为
，则
，
，∴
设
与平面
所成角为
，
∴
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．在
中，内角
的对边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小：
(2)若
的周长为
，求
的边
上的高.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和代换，再利用诱导公式和正弦定理角化边，即可得
；
（2）由题可得
，利用余弦定理可得
，再利用等面积公式即可求出高.
【详解】（1）因为
，
所以
，
结合正弦定理可得
，即
，
可得
，因为
，所以
.
（2）因为
的周长为
，所以
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，所以
又
的面积
，设
边
上的高为，所以
，解得
.
16．已知函数
在
处有极值.
(1)求
的值；
(2)若函数
恰有3 个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得
，根据
，求得
，结合函数的单调性和极值点定
义，即可求解；
（2）由（1）中，函数
的单调性，求得
的极值，画出函数
的图象，转化为函数
与
的图象有三个公共点，即可图象，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
，可得
，
因为
在
处取极值，可得
，解得
，
当
时，
，
当
或
时，
；当
，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
单调递增，
故满足
在
处取极值，所以
.
（2）解：由（1）知：函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
单调
递增，
所以
，
，
由于当
时，
，
时，
，
时，
，当
时，
，
画出函数
的图象，如图所示，
又因为方程
有3 个实数根时，即函数
与
的图象有三个公共点，
结合图象，可得
，
所以
恰有3 个零点时，实数
的取值范围为
.
17．随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为
年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
4.1
4.4
4.8
5.5
6.3
(1)由上面数据可知，可用指数型函数模型
拟合
与
的关系，请建立
关于
的回归方程（
，
的值精确到
）；
(2)数据显示2024 年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为
，用频率估计概率，
现从2024 年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3 人，记购买过运动防护类的消费者人数为
，
求
的分布列与数学期望
.
参考数据：
其中
.
参考公式：对于一组数据
，
，
，
，其经验回归直线
的斜率与截距的最
小二乘法公式为：
，
.
【答案】(1)
(2)答案详见解析
【分析】（1）由
，得模型线性化为：
，然后利用最小二乘法的公式计算
即
可；
（2）利用二项分布的概率计算公式与期望计算公式可得答案.
【详解】（1）由
，则模型线性化为：
，
，
，
，
由
，
，
得：
，
由
，
，
得：
，
代入最小二乘法估计公式，得：
，
，
，
故
关于
的回归方程为：
.
（2）由题意知：
服从二项分布，即
.
由二项分布的概率计算公式得：
，
，
，
，
故
的分布列为：
0
1
2
3
数学期望
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知数列
的首项
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列．
(2)令
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用等式变形，可以得到等差数列递推关系，从而问题得证；
（2）利用裂项法来求和，即可得解.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
由
，两边同时除以
可得：
，
两边再同时乘以
可得：
，
又
，所以数列
是首项为1，公差为1 的等差数列．
（2）由（1）可得：
，则
，
即
，
所以
.
16．为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这
是2016 年至2025 年该果园每年的投资金额
（单位：万元）与年利润增量
（单位：万元）的散点图．
模型①由最小二乘法可求得
与
的经验回归方程为
；
模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线
的附近，令
，则
，且
有
．
(1)根据所给的统计量，求模型②中
关于
的经验回归方程；
(2)已知2025 年的投资金额为20 万，年利润增量为40 万，分析这两种模型在2025 年时哪个模型的预报效
果更好．
参考公式与数据：
．
【答案】(1)
；
(2)模型②.
【分析】（1）根据给定的数据，利用最小二乘法公式求出经验回归方程.
（2）分别求出模型①、模型②中年利润增量，再比较它们与40 差的绝对值大小即可.
【详解】（1）由
，得
，
则
，
，
所以模型②中
关于
的经验回归方程为
.
（2）模型①，
，当
时，年利润增量
，
模型②，
，当
时，
，
因此年利润增量
，而
，
所以模型②的预报效果更好.
17．如图，四棱锥
的底面
是菱形，
是
的中点，
是
的中点，
．
(1)证明：
平面
．
(2)证明：
平面
．
(3)若
，求
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）设
,连接
,利用三角形中位线定理得到
,再利用线面平行的判定定理
证明即可；
（2）先证明
平面
,所以
，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（3）在平面
内，过点
作
,则根据条件以点
为原点建立空间直角坐标系，
利用空间向量求
与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）设
,连接
,所以
,
因为
，所以
,所以
为
中点；
又因为
是
的中点，所以
是三角形
的中位线；
所以
,
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）因为底面
是菱形，所以
;
又因为
，
,
平面
,
所以
平面
,
因为
平面
,
所以
又因为
，
,
平面
,
所以
平面
.
（3）在平面
内，过点
作
,所以
因为
平面
，以点
为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设
因为在菱形
中，
，所以
都是等边三角形，
所以
所以
,
因为
是
的中点，所以
,
则
,
设平面
的法向量为
则
，即
，令
，得到
设
与平面
所成角为
，
则
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．某物流公司为评估派送时效，从全部订单中随机抽取200 单作为样本，得到订单从入库到送达的时长
（单位：小时），并整理得下表：
从入
库到
送达
的时
长/
小时
频率
0.04
0.24
0.20
0.18
0.12
0.06
(1)求表中
的值并估计样本时长的中位数.
(2)公司拟在从入库到送达的时长位于
，
，
的这三组订单中，采用按比例分配的分层
随机抽样的方法共抽取24 单，求分别从这三组订单中各抽取多少单.
(3)已知落在
的样本从入库到送达的平均时长为7.2 小时，方差为0.49；落在
的样本从入库到
送达的平均时长为8.7 小时，方差为0.64.求这两组样本从入库到送达的时长的总平均数
与总体方差
.
参考公式：
，其中
为总样本平均数.
【答案】(1)
，中位数为
(2)从样本订单的时长位于
，
，
的订单中分别抽取的单数为12，8，4
(3)总平均数
（小时），总方差
【分析】（1）由各频率之和为1，可得
，再根据频率表求中位数即可；
（2）根据分层抽样的方式计算各组订单数即可；
（3）由分层抽样的方差计算公式求解．
【详解】（1）由题得
，解得
.
设样本时长的中位数为
，
，解得
；
（2）由数据知，样本订单从入库到送达的时长位于
的订单数为
，
样本订单从入库到送达的时长位于
的订单数为
，
样本订单从入库到送达的时长位于
的订单数为
，
所以采用按比例分配的分层抽样方法从样本订单的时长位于
，
，
的订单中分别抽取的单数为12，8，4；
（3）由表中数据知，从入库到送达的时长位于
的订单数为
，
从入库到送达的时长位于
的订单数为
，
所以总平均数
（小时），
总方差
．
16．如图，在直三棱柱
中，已知
，
，
，
，
是
的中点，
，
是
上的点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用“平行四边形法”在平面
内找“线”，通过线线平行，证明线面平行.
（2）利用
，等体积法求高.
（3）建系，利用空间向量求解面面夹角问题.
【详解】（1）证明：取
的中点
，连接
，
，如图：
由已知
是
的中点，所以
且
.
而
，所以
，则
且
，
所以
且
，故四边形
是平行四边形，则
.
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）因为
为直三棱柱，则平面
平面
，
又平面
平面
，
，所以
平面
.
又
平面
，则
.由
，
，
，
可得
，
.所以
.
而
，由
平面
可知，
点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离.
而由题意同理可证得
平面
，所以点
到平面
的距离即为
，
所以点
到平面
的距离
.
设点
到平面
的距离为
，因为
，
则
，即
，得
.
所以点
到平面
的距离为
.
（3）以
为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为
，
，
轴，
建立空间直角坐标系
，如（1）图.
则
，
，
，则
，
，
设平面
的法向量为
，由
得
，
令
，得
.由题可知，平面
的法向量可取
，
设平面
与平面
夹角为
，则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
17．已知正项数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)证明：
为等差数列，并求所有满足条件数列
的通项公式；
(2)把所有满足条件的项
从小到大依次排列，组成新的数列
，记数列
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)证明见解析，
或
(2)
【分析】（1）由
与
的关系求得数列通项公式；
（2）由（1）得到
，借助等差数列的前
项和公式求得
.
【详解】（1）令
，则
，
由
得
，解得
或
，
因为
，则
，
两式相减得
，
化简得
，
因式分解得
，
由已知
，故
.
所以
是公差为3 的等差数列.
当
时，数列
的通项公式为
，
当
时，数列
的通项公式为
.
（2）满足条件的数列有两个：
数列1：
，即1，4，7，10，13，…
数列2：
，即2，5，8，11，14，…
将这两项合并后按升序排列，得到
：1，2，4，5，7，8，10，11，13，…
所以数列
是所有不能被3 整除的正整数数列，
所以数列
的通项公式为
当
为偶数时，设
，则
，将
代入得
，
当
为奇数时，设
，
，则
，
将
代入得
，
因此
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．记数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用
的关系求
的通项公式；
（2）由题设写出
的通项公式，再应用错位相减法、等比数列的前n 项和公式求
.
【详解】（1）当
时，
，得
，
当
时，
，得
，整理得
，
所以
从
开始成公比为3 的等比数列，则
.
综上，
；
（2）由（1）得
，
当
时，
，
当
时，
，
则
，
两式相减，得
，
所以
也满足该式，
故
.
16．某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009 年至2024 年居民存款余额进行统计分析，将
2009 年看成第1 年，依次类推，得到第1~16 年的居民存款余额
（单位：万亿元）的散点图，如图所示：
(1)已知从2021 年开始，居民存款余额超过100 万亿元，若从2009 年至2024 年中任取2 年，求这2 年中
恰有一年居民存款余额超过100 万亿元的概率；
(2)由散点图知，
和的关系可用经验回归模型
进行拟合，求
关于的经验回归方程.
参考数据：设
，则
.
参考公式：对于一组数据
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计
分别为
.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）16 年中有4 年居民存款余额超过100 万亿元，根据组合知识求解概率；
（2）
两边取对数，再根据公式求出
，
，从而
，故
.
【详解】（1）由题意，16 年中有4 年居民存款余额超过100 万亿元，
故所求概率为
.
（2）
，
由题知，
，
，
，
，故
.
17．如图，在正四棱锥
中，点
在棱
上，点
在棱
上，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
分别为所在棱的中点，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）根据正四棱锥的性质，以及线面垂直的判定定理，证明结果即可.
（2）根据求面面夹角的余弦值向量方法，建立空间直角坐标系，求出平面法向量，进而求出结果.
【详解】（1）连接
，与
交于点
，连接
，如图所示，
根据正四棱锥的性质可知
平面
.
所以
，又
，又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
.
又
，又
平面
，
所以
平面
.
（2）连接
.由（1）知
平面
，所以
.
因为
是
的中点，
是
的中点，所以
，所以
.
又
是
的中点，所以
，从而
是正三角形.
如图，以直线
分别为
轴建立空间直角坐标系.
设
，则
.
因为
平面
，
所以平面
的一个法向量为
.
设平面
的法向量为
，因为
，
所以
，
令
，解得
，所以平面
的一个法向量为
.
所以
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
