专题四 概率与统计
第1 讲 统计与成对数据的统计分析
一、考点透析
考点1 用样本估计总体
方向1 图表分析估计总体
1. （多选题）(2025·安徽省六安市·模拟题)据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日
14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房(含点映、预售及海外票房)已超149.81亿元，
成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所
有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，
则( )
A. a=0.019
B. 观众年龄的众数估计为35
C. 观众年龄的平均数估计为30.2
D. 观众年龄的第70百分位数估计为38
2．（25-26 高三上·上海宝山·期末）某场篮球比赛中，甲、乙两队各5 名队员进行比赛，他
们得分的茎叶图如图．已知
，且
．
(1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中
和
的值；
(2)从得分在20 分及以上的队员中随机抽取2 名，求至少有1 名来自乙队的概率；
(3)若甲乙两队的队员平均分相等，求
的最大值，并写出此时
和
的值．
方向2 用样本的数字特征估计总体
1.(2025·福建省三明市·模拟)“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024
年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则
这组数据的( )
A. 第85百分位数为18 B. 众数为12 C. 中位数为17 D. 平均成绩为14
2.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知样本数据x1, x2,⋯, x15的平均数为6，方差为16；
样本数据y1, y2,⋯, y10的平均数为11，方差为21，现将两组样本数据合并，则新的样本
数据x1, x2,⋯, x15, y1, y2，⋯, y10的方差为( )
A. 18
B. 24
C. 26
D. 28
考点2 回归模型分析
1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)已知变量x和y的统计数据如下表：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若x和y线性相关，则y关于x的回归直线方程为( )(附：回归直线方程^y = ^a+ ^b x中斜率和
截距的最小二乘估计公式分别为b̂ =
∑
i=1
n
xi yi−n x y
∑
i=1
n
xi
2−n x
2
, â = y −b̂ x)
A. y =5 x +25
B. y =5.5 x +22.5
C. y =6 x +20
D. y =6.5 x +17.5
2.(2025·山东省淄博市·模拟)某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系，记录了1月
到8月的物流成本x(单位：万元)和企业利润y(单位：万元)的数据(xi, yi)(i=1,2,⋯,8)，
已知其中一组数据为(80,106)且∑
i=1
8
xi=672，根据最小二乘法公式求得经验回归方程为
ŷ =2.7 x −111.8
，则( )
A. 若企业9月份物流成本预计为85万元，预测9月企业利润约为117.7万元
B. 1月到8月企业的月平均利润约为115万元
C. 数据(80,106)对应的残差为−1.8
D. 删除一组数据(80,106)后，重新求得的回归直线的斜率变小
3.(2025·湖南省·模拟)某科技公司对2012年至2024年的生产成本y(万元)进行统计，根据统
计数据作出如下散点图：
由此散点图，判断最适合作为该公司的生产成本y与时间变量x( x的值依次为1,2,⋯,13)
的经验回归方程类型的是( )
A. y =a x
2+b(a>0)
B. y =ax +b(a>0)
C. y =aln x +b(a<0)
D. y = a
x +b(a<0)
考点3 独立性检验
1.(2025· 湖北省襄阳市· 模拟) 在2×2列联表(表一)的卡方独立性检验中，
χ
2=
∑
1⩽i⩽2,1⩽j⩽2
( Ai, j−Bi, j)
2
Bi, j
，其中Ai, j为第i行第j列的实际频数，如A1,2=b，而Bi, j=第
i行的行频率×第j列的列频率×总频数，为第i行第j列的理论频数，如
B1,2=
a+b
a+b+c +d ×
b+d
a+b+c +d ×(a+b+c +d)．
a
b
c
d
(表一)
10
20
30
40
(表二)
(1)求表二2×2列联表的χ
2值；
(2)求
证
：
题
干
中
χ
2=
∑
1⩽i⩽2,1⩽j⩽2
( Ai, j−Bi, j)
2
Bi, j
与
课
本
公
式
χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(a+c)(b+d )(c +d )
等价，其中n=a+b+c +d．
2.(2025·吉林省松原市·模拟)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级
品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情
况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
s
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
t
400
(1)求s，t；
(2)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(3)依据小概率值α =0.01的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量
有差异？
参考公式：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )
，n=a+b+c +d．
附：
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
二、跟踪练习
1.(2025·浙江省·模拟)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图(1)形成对
称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判
断，不正确的是( )
A. 图(1)的平均数=中位数=众数
B. 图(2)的众数<中位数<平均数
C. 图(2)的平均数<众数<中位数
D. 图(3)的平均数<中位数<众数
2.(2025·四川省眉山市·模拟题)2024年12月26日，Deep Seek — V 3首个版本正式上线，
截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题
.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行
调查研究，下列说法正确的是( )
A. 甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数
r ≈0.97，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱
B. 乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为
ŷ =0.3 x +8
，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次
C. 丙小组用决定系数R
2来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的R
2分别约为
0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多
D. 丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值α =0.1的χ
2独立性检
验，计算得到χ
2=3.837>2.706= x0.1
，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异
3.（多选题）(2025·湖北省武汉市·模拟)下列说法中正确的是( )
A. 若一组样本数据( xi, yi)(i=1,2,⋯,n)的对应样本点都在直线y = 1
2 x−1上，则这组样
本数据的相关系数为1
2
B. 若样本数据x1，x2，⋯，x9的方差为4,则数据3 x1+1，3 x2+1，⋯，3 x9+1的标准差
是6
C. 以模型y =c e
kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z = ln y，求得线性回归方程
为ẑ =0.3 x + 4
，则c，k的值分别为e
4和0.3
D. 按从小到大排序的两组数据：甲组数据为29，31，37，40，41，50;乙组数据为24，
30，33，44，48，52，60，68，70，80.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40
百分位数之和为75
4.（多选题）(2025·四川省绵阳市·模拟)某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一
次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布
直方图如图，根据图中数据，下列说法正确的是( )
A. a=0.005
B. 评分在[50,60)的人数约为20
C. 估计评分的下四分位数为65
D. 估计评分的平均数为76.5
5.(2025·湖北省武汉市·模拟)近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市
场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主
要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期
的统计数据：
日期代码x
1
2
3
4
5
电池级碳酸锂价格y(十万元/吨)
4.1
3.9
3.8
m
3.9
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为ŷ =−0.05 x + â
，根据数据计算出在样本点
(3,3.8)处的残差为−0.1，则â −m
的值为 ．
6.(2025·陕西省西安市·模拟)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，
得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如表．
亩
产
量
[900,950) [950,1000) [1000,1050) [1050,1100) [1100,1150) [1150,1200)
频
数
10
11
22
30
20
7
记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为x
−，标准差的估计值为s.(同一组中的数据用该
组区间的中点值为代表)
(1)求x
−，s
2；
(2)判断该新型水稻能否推广种植(在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在
( x
−
−3 s
2 , x
−
+ 3 s
2 )内，则认为该新型水稻能推广种植)．
