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专题07 碰撞模型及其拓展
目录
1．碰撞问题遵循的三条原则....................................................................................................................................1
2．两种碰撞模型的特点............................................................................................................................................1
3．碰撞模型拓展........................................................................................................................................................2
(1)“保守型”碰撞拓展模型................................................................................................................................2
(2)“耗散型”碰撞拓展模型................................................................................................................................2
1．碰撞问题遵循的三条原则
2．两种碰撞模型的特点
(1)弹性碰撞
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒定律和机械能守恒定律。
以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性正碰为例，有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v1
2＝m1v1′2＋m2v2′2
解得v1′＝，v2′＝。
结论：
①当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。
②当m1＞m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都沿速度v1的方向运动。
③当m1＜m2时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。
④当m1≫m2时，v1′＝v1，v2′＝2v1。
(2)完全非弹性碰撞
动量守恒，末速度相同，m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v 共，机械能损失最多，机械能的损失ΔE＝m1v1
2＋m2v2
2－
(m1＋m2)v 共2。
3．碰撞模型拓展
(1)“保守型”碰撞拓展模型
图例(水平面光滑)
小球－弹簧模型
小球－曲面模型
小球－小球模型
达到共速
相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝(m＋M)v
共，损失的动能最大，分别转化为弹性势能、重力势能或电势能
再次分离
相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝mv1＋Mv2，机械
能守恒，满足mv0
2＝mv1
2＋Mv2
2
(2)“耗散型”碰撞拓展模型
图例(水平面或
水平导轨光滑)
达到共速
相当于完全非弹性碰撞，动量满足mv0＝(m＋M)v 共，损失的动能最大，
分别转化为内能或电能
【典例1】如图(a)，一质量为m 的物块A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块B 向A 运动，t＝0
时与弹簧接触，到t＝2t0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B 的v－t 图像如图(b)所示。已知从t＝0 到t
＝t0时间内，物块A 运动的距离为0.36v0t0。A、B 分离后，A 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面
上运动的B 再次碰撞，之后A 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为θ(sin θ＝0.6)，与
水平面平滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
(1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
(2)第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
(3)物块A 与斜面间的动摩擦因数。
【答案】(1)0.6mv0
2 (2)0.768v0t0 (3)0.45
【解析】(1)当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时A、B 速度相等，即在t＝t0时刻，
根据动量守恒定律有mB·1.2v0＝(mB＋m)v0
根据能量守恒定律有
Epmax＝mB(1.2v0)2－(mB＋m)v0
2
联立解得mB＝5m，Epmax＝0.6mv0
2
(2)B 接触弹簧后，压缩弹簧的过程中，A、B 动量守恒，有mB·1.2v0＝mBvB＋mvA
对方程两边同时乘以时间Δt，有
6mv0Δt＝5mvBΔt＋mvAΔt
0～t0之间，根据位移等于速度在时间上的累积，可得6mv0t0＝5msB＋msA，将sA＝0.36v0t0
代入可得sB＝1.128v0t0
则第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值
Δs＝sB－sA＝0.768v0t0
(3)物块A 第二次到达斜面的最高点与第一次相同，说明物块A 第二次与B 分离后速度大小仍为2v0，方向
水平向右，设物块A 第一次滑下斜面的速度大小为vA′，取向左为正方向，根据动量守恒定律可得mvA′
－5m·0.8v0＝m·(－2v0)＋5mvB′
根据能量守恒定律可得
mvA′2＋·5 m·(0.8v0)2＝ m·(－2v0)2＋·5mvB′2
联立解得vA′＝v0
方法一：设在斜面上滑行的长度为L，上滑过程，根据动能定理可得
－mgLsin θ－μmgLcos θ＝0－m(2v0)2
下滑过程，根据动能定理可得
mgLsin θ－μmgLcos θ＝mvA′2－0
联立解得μ＝0.45
方法二：根据牛顿第二定律，可以分别计算出滑块A 上滑和下滑时的加速度大小，
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma 上
mgsin θ－μmgcos θ＝ma 下
上滑时末速度为0，下滑时初速度为0，设在斜面上滑行的位移为L，由匀变速直线运动的位移速度关系可
得2a 上L＝(2v0)2－0,2a 下L＝vA′2
联立可解得μ＝0.45。
【题后总结】
【典例2】如图，质量为
、半径
的
圆弧形凹槽N 放在光滑水平面上，质量为
、
初速度
的小球P 从凹槽底端水平滑入。已知小球从滑入凹槽到分离过程中因两者的摩擦而产生的
热量
，重力加速度
。
在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球和凹槽组成的系统因合外力不做功而机械能守恒
B．小球和凹槽组成的系统因水平方向合外力为零而水平方向动量守恒
C．小球能从凹槽顶端冲出并继续上升的最大高度为0.125m
D．小球与凹槽分离后并以
的速度向右做平抛运动
【答案】BD
【详解】A．小球和凹槽组成的系统因有摩擦力做功而机械能不守恒，故A 错误；
B．由于水平面光滑，球和凹槽组成的系统水平方向合外力为零，所以系统水平方向动量守恒，故B 正确；
Ｃ．设小球能从凹槽顶端冲出而分离，并且从凹槽顶端冲出并继续上升的最大高度为h，小球和凹槽组成
的系统水平方向动量守恒，两者的共同速度大小是v1
小球和凹槽组成的系统，由能量守恒定律得
代入数据，解得
，说明小球不能从凹槽顶端冲出，故C 错误；
D．小球不能从凹槽顶端冲出，则小球从凹槽下滑后才与凹槽分离，小球从滑入凹槽到分离过程中因两者
的摩擦而产生的热量
。假设小球与凹槽分离时小球速度为，凹槽速度为
，则由动量守恒
再根据能量守恒
两式联立解得
或
因小球与凹槽需
，第二组解不符合实际，需舍掉；即小球与凹槽分离后并以
的速度向右做平
抛运动，故D 正确。故选BD。
【总结提升】
【典例3】在光滑水平面上，A、B 两个物体在同一直线上沿同一方向运动，A 的动量为18kg∙m/s，B 的动
量为
。A 从后面追上B，它们相互作用一段时间后，B 的动量增大为
，方向不变。下
列说法正确的是（ ）
A．若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为
B．若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为
C．若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为
D．若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为
【答案】B
【详解】AC．碰前，有
解得
碰
过程中，有
解得
碰后，有
解得
综上可得
若为弹性碰撞，则两物体的质量之比为
A、C 错误；
BD．若为非弹性碰撞，则两物体的质量之比为
B 正确、D 错误。
故选B。
【典例4】如图所示，在光滑的水平面上有一质量M＝4 kg 的平板车，小车右端固定一竖直挡板，挡板的
质量不计，一轻质弹簧右端固定在挡板上，在平板车左端P 处有一可以视为质点的小滑块，其质量m＝2
kg。平板车上表面Q 点的左侧粗糙，右侧光滑，PQ 间的距离L＝10 m。某时刻平板车以v1＝1 m/s 的速度
向左滑行，同时小滑块以v2＝8 m/s 的速度向右滑行。一段时间后，小滑块与平板车达到相对静止，此时小
滑块与Q 点相距d＝5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)小滑块与平板车相对静止时的速度v；
(2)小滑块与平板车之间的动摩擦因数μ；
(3)弹簧可能获得的最大弹性势能Ep。
【答案】(1)2 m/s，方向水平向右 (2)0.54 或0.18 (3)18 J
【解析】(1)设M、m 共同速度为v，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有
mv2－Mv1＝(M＋m)v
解得v＝2 m/s，方向水平向右
(2)如果小滑块尚未越过Q 点就与平板车达到相对静止，对平板车与滑块组成的系统
由能量守恒有
Mv1
2＋mv2
2－(M＋m)v2＝μmg×(L－d)
解得μ＝0.54
如果小滑块越过Q 点与弹簧相互作用后，再返回与平板车达到相对静止，对平板车与滑块组成的系统，由
能量守恒
Mv1
2＋mv2
2－(M＋m)v2＝μmg×(L＋d)
解得μ＝0.18
(3)如果小滑块尚未越过Q 点就与平板车达到相对静止，弹簧的弹性势能为零。如果小滑块越过Q 点与弹簧
相互作用后，再返回平板车达到相对静止，对平板车、滑块和弹簧组成的系统，由能量守恒
Mv1
2＋mv2
2－(M＋m)v2＝μmgL＋Ep
得Ep＝18 J
所以弹簧可能获得的最大弹性势能为18 J。
【提炼总结】1．木板在光滑地面上滑动时，滑块和木板组成的系统满足动量守恒。
2．滑块不从木板上掉下的条件是两者达到共同速度，恰好不掉下的临界条件是滑块到达木板末端时两者
共速。
3．应注意区分滑块、木板各自的相对地面位移和它们的相对位移，用运动学公式或动能定理列式时位移
指相对地面位移；求系统摩擦生热时用相对位移(或相对路程)，即Q＝Ff·Δs(Δs 为相对位移)。
1．在水平气垫导轨上，运动的滑块
与静止的滑块
碰撞，碰后二者结合在一起。碰撞前后两滑块的速度
随时间的变化如图所示，根据图像可知（ ）
A．碰撞过程中滑块
动能的减小量等于滑块
动能的增加量
B．碰撞过程中滑块
速度的减小量等于滑块
速度的增加量
C．碰撞过程中滑块
动量的减小量等于滑块
动量的增加量
D．滑块
的质量大于滑块
的质量
【答案】C
【详解】ACD．由图像可知，碰撞前
匀速运动，碰撞后
一起匀速运动，可知导轨阻力可以忽略。
碰撞过程系统动量守恒，即碰撞过程中滑块
动量的减小量等于滑块
动量的增加量，根据动量守恒
定律可得
可得
碰前
动能为
碰后
动能为
，
动能的减小量为
动能的增加量
比较可得碰撞过程滑块
动能的减小量大于滑块
动能的增加量，即碰撞过程系统的动能有损失。故AD 错
误，C 正确；
B．由图像可知，碰撞过程滑块
速度的减小量大于滑块
速度的增加量。故B 错误。
故选C。
2．如图所示，光滑的水平地面上放置了两个完全相同的物块
，一竖直轻杆固定在物块
上，轻杆上
端系一长
的不可伸长的轻绳，轻绳另一端连接小球C。现用外力将球C 拉起直至轻绳处于水平状
态后，将小球C 由静止释放，小球C 摆到最低点的同时物块
恰好发生碰撞，此后
粘在一起运动，
不计一切阻力，已知
，
均可视为质点，重力加速度
取
，下列
说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，
、
、C 组成的系统动量守恒
B．木块
碰撞后的速度大小为
C．木块
间的初始距离为
D．小球C 经过最低点后向左摆动所能上升的最大高度为
【答案】D
【详解】A．木块A、B 和小球C 组成的系统由于竖直方向动量不守恒，水平方向动量守恒，所以系统的总
动量不守恒，故A 错误；
B．C 球第一次摆到最低点过程中，以向左为正方向，由系统水平方向动量守恒可得
由系统机械能守恒可得
联立解得
，
木块
碰撞过程
解得木块
碰撞后的速度大小为
，故B 错误；
C．C 球第一次摆到最低点过程中，根据题意有
又
联立可得木块
间的初始距离为
，故C 错误；
D．小球C 经过最低点后向左摆动，当三者共速时，到达最大高度，根据动量守恒可知，初态水平总动量
为零，末态水平总动量为零，速度为零，根据能量守恒
解得
，故D 正确。
故选D。
3．（多选）如图所示，光滑水平面上静止一小球B，小球B 的左端固定一轻弹簧，小球A 位于小球B 的左
侧，某时刻小球A 获得向右的初速度，动能的大小为
，已知小球A 的质量为小球B 质量的一半。下列说
法正确的是（ ）
A．弹簧的弹性势能最大时，小球B 的动能为
B．弹簧的最大弹性势能为
C．弹簧恢复原长时，小球A 与小球B 的速率之比为2：1
D．弹簧恢复原长时，小球A 的动能与初动能之比为1：9
【答案】AD
【详解】A．设A 质量为m，则B 质量为2m，则
轻弹簧被压缩到最短时A 和B 的速度相等，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒有
可得
则此时小球B 的动能为
，故A 正确；
B．弹簧的最大弹性势能为
，故B 错误；
C．弹簧恢复原长时，有
，
可得
，
小球A 与小球B 的速率之比为1：2，故C 错误；
D．小球A 速率变为原来的
，则动能变为原来的
，即小球A 的动能与初动能之比为1：9，故D 正确。
故选AD。
4．（多选）如图所示，质量为2m 的小球B 静止在光滑水平面上，质量为m 的小球A 以某一速度向右运动，
经过一段时间与小球B 发生碰撞，已知碰前小球A 的动能为E0，下列说法正确的是（ ）
A．若两球发生的是完全非弹性碰撞，则碰后小球A 的动能为
B．若两球发生的是完全非弹性碰撞，则碰后小球B 的动能为
C．若两球发生的是弹性碰撞，则碰后小球B 的动能为
D．若两球发生的是弹性碰撞，则碰后小球A 的动能为
【答案】BD
【详解】AB．设碰前小球A 的速度为v0，则有
若两球发生的是完全非弹性碰撞，设碰后的速度为v，则由动量守恒定律得mv0 = (m+2m)v
解得
，小球A 的动能为
解得
小球B 的动能为
解得
，A 错误，B 正确；
CD．若两球发生的是弹性碰撞，设碰后小球A、B 的速度大小为分别为v1、v2，则由动量守恒定律以及机械
能守恒定律得mv0=mv1+2mv2，
解得
，
小球A 的动能为
解得
小球B 的动能为
解得
，故C 错误，D 正确。
故选BD。
5．（多选）如图所示，三个半径相同的刚性小球A、B、C 穿在光滑、足够长的硬杆MN 和M1N1上，硬杆
MN 和M1N1在同一竖直平面内且相互平行，A、B、C 的质量分别为mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg。刚开始三个
小球均静止，B、C 两球之间连着一根轻弹簧，轻弹簧处于原长且与硬杆垂直。某一时刻小球A 获得大小为
v0=18m/s 的速度向左匀速运动，与同一杆上的B 球碰撞后粘在一起（作用时间极短），则下列说法正确的
是（ ）
A．A 球与B 球碰后瞬间AB 的速度大小为6m/s
B．在以后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为54J
C．在以后的运动过程中，C 球的最大速度为4m/s
D．在以后的运动过程中，B 球的最小速度为2m/s
【答案】AC
【详解】A．A、B 碰撞过程中，由动量守恒
解得
，A 正确；
B．在以后的运动过程中，AB 的组合体与C 的速度相等时，弹性势能最大，根据动量守恒可知：
解得
最大弹性势能
解得
，B 错误；
CD．弹簧再次恢复原长时，C 球速度最大，根据动量守恒和机械能守恒可知
，
解得
，
此时B 反向，C 速度最大，而B 由于速度由正向到反向，因此最小速度为零，C 正确，D 错误；
故选AC。
6．（多选）在某次冰壶比赛中，红壶沿直线运动，一段时间后与静止的蓝壶在大本营中心发生对心碰撞
（时间极短），如图甲所示，碰撞前后两壶运动的v-t 图像如图乙中的实线所示，其中红壶碰撞前后的图
线平行，两冰壶的质量相等，取红壶的初速度方向为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．蓝壶与冰面的动摩擦因数更小
B．红壶碰撞前后瞬间的速度变化量为1m/s
C．碰撞后蓝壶的位移大小为2m
D．碰撞后蓝壶的位移大小为4m
【答案】AC
【详解】A．
图线的斜率表示加速度，由题图乙可知，蓝壶图线的斜率较小，即加速度较小，又由牛
顿第二定律
可得
即，蓝壶与冰面的动摩擦因数更小，故A 正确；
B．由图乙可知，红壶碰撞前后瞬间的速度变化量为
，故B 错误；
CD．设两冰壶的质量均为
，碰后瞬间蓝壶的速度为
，根据动量守恒有
其中，由图乙可知
，
解得
由题中图像可知，蓝壶图线与时间轴的交点为
，则碰后蓝壶的位移大小为
其中
解得
，故C 正确，D 错误。
故选AC。
7．如图所示，小球
从距水平地面高度为处开始做自由落体运动，运动
时，小球
速度水平向右，与
小球
在水平方向上发生弹性碰撞，碰撞时间极短，两球碰前瞬间的速度大小相等，
，重力加速
度大小为
，不计空气阻力，求：
(1)小球
碰前瞬间的速度大小；
(2)小球
碰后瞬间的速度大小
；
(3)两小球落地的时间差
；
(4)两小球在水平地面上的落点间的距离
。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）小球
做自由落体运动，有
两球碰前瞬间的速度大小相等
解得
（2）两小球在水平方向上发生弹性碰撞，有
，
解得
此时小球b 的速度
解得
（3）小球
碰后在竖直方向上做自由落体运动，有
小球
碰后在竖直方向上做匀加速直线运动，有
则落地的时间差
解得
（4）两小球在水平方向上都做匀速直线运动，有
解得
8．如图所示，足够长的光滑水平面上静止放置两个形状完全相同的弹性小物块A、B，物块A 的质量
。在物块B 右侧的竖直墙壁里有一水平轻质长细杆，杆的左端与一轻质弹簧相连，杆、弹簧及
两物块的中心在同一水平线上，杆与墙壁作用的最大静摩擦力为9N。若弹簧作用一直在弹性限度范围内，
弹簧的弹性势能表达式为
，
。现给物块A 施加一水平向右的恒力
，其大小为
10N，作用1.6m 后撤去，然后物块A 与物块B 发生弹性碰撞，碰撞后两物块速度大小相等，B 向右压缩弹
簧，并将杆向墙里推移。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
(1)撤去恒力
瞬间物块A 的速度大小；
(2)物块B 的质量及物块A 的最终速度；
(3)物块B 的最终速度大小。
【答案】(1)8m/s
(2)1.5kg，4m/s
(3)0.6m/s
【详解】（1）根据动能定理有
解得v0=8m/s
（2）A、B 碰撞过程，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得mB=1.5kg，v=4m/s
（3）由题可知，物块B 在压缩弹簧的过程中，当弹簧弹力等于杆的滑动摩擦力时，杆开始移动，弹簧弹
力不变，后将压缩的弹性势能转化为B 的动能。设最终B 的速度为
，根据
解得x=0.06m
此时的弹性势能小于B 的入射动能，根据
解得vB=0.6m/s
9．如图所示，一质量为
的小球A 从某位置以初速度
平抛后从
点无碰撞进入光滑圆弧形轨道HF。已
知弧形轨道对应的圆心角
，OF 竖直，半径
。弧形轨道固定在光滑的水平面上，
点
右侧某处放置有两个大小与A 相同的球B、C，质量分别是
与
，两球用轻质弹簧相连，弹簧初始处于
原长状态，A、B 碰后结合成一个整体。重力加速度为
，小球均可视为质点，忽略空气阻力。
(1)求小球A 在
点的速度大小及在
点对轨道的压力大小；
(2)求之后弹簧弹性势能的最大值；
(3)若在A、B 碰撞的同时，在C 球的右侧某位置放置一个竖直弹性挡板，C 球与挡板碰后原速率反弹，且碰
后瞬间撤去挡板及HF 轨道。由于挡板所放位置的不同，弹簧最大压缩量也可能不同，求C 球与挡板碰后
弹簧弹性势能最大值的取值范围。
【答案】(1)
；
(2)
(3)
【详解】（1）质量为
的小球A 从某位置以初速度
平抛后从
点无碰撞进入光滑圆弧形轨道，则有
解得
小球从H 点到F 点，根据动能定理有
在F 点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知，在
点对轨道的压力大小为
。
（2）小球A、B 碰撞，根据动量守恒定律有
之后运动过程中，当弹簧弹性势能最大时，三物体共速，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
解得
（3）若竖直挡板紧靠C 球，则最大弹性势能为
若挡板恰好位于三球共速的位置，则最大弹性势能为
所以C 球与挡板碰后弹簧弹性势能最大值的取值范围为
10．如图所示，质量为
的长木板锁定在光滑水平面上，质量为
的物块
放在上，质量为
的物
块
以初速度
从的左端滑上长木板，
与
碰撞前瞬间的速度为
，在
、
弹性碰撞后瞬间解除的
锁定，已知
、
与的动摩擦因数均为
，最终
没有滑离，重力加速度为
，不计物块的大小，求：
(1)初始
、
间的距离；
(2)
、
碰撞后瞬间的速度大小；
(3)开始时
到右端的距离至少为多少。
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【详解】（1）设初始
、
间的距离为
，根据动能定理有
解得初始
、
间的距离为
（2）设
、
碰后瞬间速度大小分别为
、
，以初速度方向为正方向，据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律
解得
，
所以
、
碰撞后瞬间的速度均为
。
（3）解除的锁定后，
、
、相对滑动过程中，对物块
受力分析，由牛顿第二定律
解得
做减速运动的加速度大小
对物块b 受力分析，由牛顿第二定律
解得
做减速运动的加速度大小
对长木板c 受力分析，由牛顿第二定律
解得做加速运动的加速度大小
设从
、
碰撞到
、刚好共速经过的时间为，则有
解得
这段时间内，
相对的位移
解得
与共速后，由于
，此后
、不再发生相对滑动。
因此开始时
到的右端距离至少为
。
11．如图所示，置于光滑水平面上的轻弹簧左端固定，右端放置质量为
的小球
，小球
置于弹簧原
长位置。质量为
的小球
和质量为
、半径为
的光滑四分之一圆弧体C 静止在足够长的光滑水平面
上，圆弧体C 的水平面刚好与圆弧面的最底端相切。用力向左推动小球
压缩弹簧，由静止释放小球
后
与小球
发生弹性碰撞。小球
运动到圆弧体的最高点时，恰好与圆弧体相对静止。两小球均可视为质
点，重力加速度为
。求：
(1)小球
压缩弹簧时弹簧所具有的弹性势能；
(2)小球
与圆弧体C 第一次分离时小球
的速度大小；
(3)小球
第一次返回到圆弧体底端时对圆弧面的压力大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设小球A 以速度
跟小球B 碰撞，碰后小球A、B 的速度分别为
、
，以水平向右为正方
向，根据动量守恒有
根据机械能守恒定律有
小球B 滑上圆弧体C 最高点过程中，根据水平方向动量守恒有
根据机械能守恒定律有
由静止释放小球A，弹簧对小球A 做功，根据功能关系有
解得
（2）小球B 第一次返回到圆弧体底端的过程中，根据小球与圆弧体C 水平方向动量守恒有
根据机械能守恒定律有
解得小球B 与圆弧体C 第一次分离时小球B 的速度大小
（3）由第（2）问可得小球B 第一次返回到圆弧体底端时圆弧体C 的速度大小
小球B 第一次返回到圆弧体底端时，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知，小球B 对圆弧面的压力大小
12．如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为3m 的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为，圆管长度
为
。一质量为
的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力是
其重力大小的
倍。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰
撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度为
。求：
(1)第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度；
(2)在第二次碰撞前圆盘下滑的距离；
(3)圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。
【答案】(1)小球碰后速度大小
，方向竖直向上；圆盘速度大小为
，方向竖直向下；
(2)
(3)7 次
【详解】（1）规定竖直向下为正方向，小球释放后自由下落，下降l，根据机械能守恒定律
解得
小球以初速度v0与静止圆盘发生弹性碰撞，根据能量守恒定律和动量守恒定律分别有
mv0=mv1+3mv2
解得
，
小球碰后速度v1大小
，方向竖直向上；圆盘速度v2大小为
，方向竖直向下；
（2）第一次碰撞后小球做竖直上抛运动，圆盘做匀减速运动，由3mg-Ff=3ma
解得圆盘加速度
由
解得圆盘运动的距离
第一次碰撞后，由0-v2=at2
解得圆盘运动时间
小球在t2时间内运动的位移
可见，当圆盘速度为零时，小球刚好与之第二次碰撞，即第一次碰撞后圆盘下滑的距离为
（3）第二次碰撞前小球的速度
接下来运动和小球第一次碰撞相同，因此每次碰撞圆盘向下移动
，碰撞次数
小球和圆盘碰撞次数为7 次。
13．如图所示，光滑水平地面的右侧平滑连接一竖直放置的半圆形光滑轨道CD，轨道半径R=0.5m。物块
A 和B 分别置于水平地面的不同位置，mA=3kg，mB=2kg。现使物块A 以某一初速度向右运动，一段时间后
与静止的物块B 发生正碰，碰后物块A 恰好通过圆轨道最高点D。物块A、B 通过D 点后做平抛运动，平
抛运动落地点间的距离为
，重力加速度g 取10m/s2。
(1)求物块B 通过D 点时的速度大小
(2)求物块B 通过半圆形光滑轨道CD 的过程中，所受合外力的冲量大小
(3)判断A、B 间的碰撞是否为弹性碰撞（不要求写计算过程）
【答案】(1)
(2)
(3)不是弹性碰撞
【详解】（1）在D 点根据牛顿第二定律，对A，
根据平抛运动知识
，
得
代入得
且
根据
解得
（2）根据动能定理对物块B 通过半圆形轨道的过程有
解得B 通过C 时的速度大小
根据动量定理对B，有
解得
（3）根据动能定理对物块A 通过半圆形轨道的过程有
解得
如果是弹性碰撞
，
解得
而实际为
，所以不是弹性碰撞。
14．如图所示，水平面上有两相同滑块c、d，
kg，滑块d 静止，其左边水平面光滑，右边水平
面粗糙，滑块c 以
m/s 的速度与滑块d 相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起，已知滑块与粗糙
面间的动摩擦因数
，取重力加速度大小
，求：
(1)滑块d 滑行的位移大小x；
(2)因摩擦产生的热量Q。
【答案】(1)2m
(2)32J
【详解】（1）两滑块c、d 碰撞过程动量守恒，有
根据动能定理
解得滑块d 滑行的位移大小
（2）根据能量守恒
解得因摩擦产生的热量
15．如图所示，在一段水平光滑直道上每间隔
铺设有宽度均为
、与光滑直道等高的固定矩形
防滑带。在第1 个防滑带的左边缘
点静止有质量为
的小物块P，另一质量为
的小物块Q
以垂直于防滑带边缘、大小为
的水平速度向右运动并与P 发生正碰，碰后Q 的速度恰好为0，
碰撞时间极短。已知P 与防滑带间的动摩擦因数均为
。P、Q 可视为质点，重力加速度
取
。
求∶
(1)碰撞前后P、Q 组成的系统的机械能的变化量
，并判断碰撞类型；
(2)P 最终停在第几个防滑带上，并求出其停止位置到
点的距离。
【答案】(1)
，非完全弹性碰撞；
(2)第4 个，9.6m
【详解】（1）P、Q 碰撞瞬间动量守恒，有
得
碰撞前后P、Q 组成的系统的机械能的变化量
求得
系统机械能减少且碰后两物块速度不同，是非完全弹性碰撞。
（2）设P 减速至停止过程中在防滑带上通过的位移
，根据动能定理有
求得
因
故P 最终停在第4 个防滑带上，其停止位置到O 点的距离
16．如图所示，长木板在光滑水平面上以
的速度做匀速直线运动，长木板质量
，某时
刻在长木板的右端轻放一个可视为质点的小物块，小物块的质量
，长木板右侧有一固定挡板，挡
板下方留有仅允许长木板通过的缺口，小物块与木板之间的动摩擦因数
，木板右端到挡板的距离足
够大，使得木板与物块共速后，小物块与挡板发生正碰，碰撞是弹性碰撞。
，
(1)若要小物块不从长木板上滑下，试求长木板的长度至少是多少？
(2)若长木板的长度足够长，质量变为4.5kg，试求小物块和挡板第一次与第二次相碰之间的时间。
(3)在第二问的基础上，小物块与挡板第n 次碰撞到第
次碰撞过程中，物块相对于长木板的位移是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设长木板和小物块向右运动过程中第一次达到共速时的速度为
，则由动量守恒定律得
解得
小物块与挡板发生弹性碰撞后，速度反向，大小不变，设长木板与小物块再次共速时速度为
，则由动量
守恒定律得
由能量守恒定律可得
联立解得
（2）更换长木板后，设长木板与小物块第一次共速时速度为v，由动量守恒定律可得
解得
小物块与挡板发生第一次弹性碰撞后，速度反向，大小不变，但系统总动量方向水平向右，故物块与木板
将向右达到共速状态，根据动量守恒定律可得
解得
对小物块，由牛顿第二定律可得
解得
对物块在共速前则有
解得
由匀变速直线运动规律可得
解得
故有
小物块和挡板第一次与第二次相碰之间的时间
（3）设小物块与挡板第二次碰撞前的速度为
，由动量守恒定律可得
解得
设第三次碰撞前、第四次碰撞前，小物块和木板的共同速度为
、
，同理可得
，
则第
次碰撞前的共同速度为
物块与挡板第n 次碰撞到第
次碰撞过程中，相对于长小板的位移是x，由能量守恒定律可得
解得
17．某同学研究小球碰撞现象．如图所示，光滑水平面上放置有两个半径相同的小球A、B，质量分别是
m，km，两小球一开始均处于静止状态．现给A 球一个水平向右的瞬时冲量I，A 球向右运动与B 发生正碰，
不计一切摩擦．求：
(1)A 运动的初速度
；
(2)若
，A 与B 发生碰撞后系统总动能损失了
，求碰后两球的速度
、
；
(3)若A 与B 碰撞后，系统的总动能损失了75％，求k 可能的取值范围．
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【详解】（1）对A 球，由动量定理，有
解得
（2）当
时，对小球A、B，由动量守恒定律，有
碰后系统总动能损失了
，剩余
，则有
联立解得
，
（3）A 与B 碰撞中，发生完全非弹性碰撞时动能损失最多，此时
由动量守恒得
可得
损失的动能为
损失动能的比值为：
所以需要满足
％
解得
18．一光滑圆弧轨道与粗糙水平面相切，一质量为
的物块
静止在圆弧轨道底端，另一质量为
的物
块
从圆弧轨道上距水平地面高为处由静止释放，
与
发生非弹性碰撞后，两者均向前运动最终均停
在水平面上，且
在水平面上的运动时间是
在水平面上运动时间的2 倍，
、
与水平面间的动摩擦因
数相同，重力加速度为
，碰撞时间不计，求：
(1)
、
在水平面上运动的加速度大小之比；
(2)碰撞结束瞬间
、
的速率之比；
(3)碰撞结束瞬间物块
的速率。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在水平面上运动过程，对P、Q 由牛顿第二定律有
，
联立解得
（2）设碰撞后瞬间P、Q 的速率分别为
、
，Q 在水平面上运动的时间为，由速度公式有
，
联立解得
（3）物块Q 下滑过程有
规定向右正方向，碰撞过程动量守恒有
联立解得
19．如图所示，C 球固定一轻质弹簧静止于光滑的水平面上，A 球以速度v0沿B、C 两球球心的连线向B 球
运动，碰后A、B 两球粘在一起，然后压缩弹簧，已知A、B 球质量都为m，C 球质量为2m，弹簧始终在弹
性限度内。求：
(1)整个过程中弹簧弹性势能最大值
；
(2)C 球速度的最大值vC
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）A 球以速度v0沿B、C 两球球心的连线向B 球运动，碰后A、B 两球粘在一起，设碰后A、B
两球的速度为
，根据动量守恒可得
解得
当三球速度相等时弹簧的弹性势能最大，设最大弹性势能为
，从A、B 两球粘在一起到三球速度相等时，
根据动量守恒有
根据机械能守恒有
解得
（2）A、B 两球的总质量与C 球质量相等，从A、B 两球碰撞结束到弹簧第一次恢复原长的过程中，C 球一
直做加速运动，即此时C 球的速度达到最大，设为
，A、B 两球的速度为
，根据动量守恒和机械能守恒
有
，
相当于A、B 两球作为整体与C 球发生弹性碰撞，速度交换，可得此时C 球的速度
即C 球速度的最大值
20．内壁光滑的“
”字形的管道平放并固定在水平地面上，俯视图如图所示。管道的左右两部分均可看
作半径为R 的圆，圆心分别为P、Q，衔接点为K。C、D 为过P、Q、K 直线与管道的两交点。将质量为
的小球A 放置于C 点，质量为
的小球B 放置于K 点。
时小球A 从C 点以速度
开始在管道内运
动，小球运动过程中不考虑管道叠放部分的高度差。
(1)若
，两小球发生弹性碰撞且碰撞时间极短，求小球A 第1 次回到C 点的时刻；
(2)若
，
，两小球发生弹性碰撞且碰撞时间极短，求小球A、B 发生第2 次碰撞的时刻；
(3)物体在实际碰撞过程中，其形变并不能完全恢复，为描述此现象可引入恢复系数e。若
，
，小球A、B 每次发生碰撞恢复系数均为
，求小球A、B 发生第3 次碰撞的时刻。（恢复系数
e 等于碰撞后两物体的分离速度
与碰撞前两物体的接近速度
的比值，即
，式中
、
为两物体碰撞前的速度，
、
为两物体碰撞后的速度。）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）球A 从开始运动经
时间与球B 碰撞，
A、B 碰撞过程，动量守恒，机械能守恒，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
，
解得：
，
撞后球B 经
时间在K 点与球A 发生弹性碰撞，
由前两式可知，二者再次交换速度，
，
经
时间小球A 再次回到C 点，
小球A 再次回到C 点的时间
（2）若
，
，经
，两球发生第1 次碰撞，A 碰B 过程，动量守恒，机械能守恒，根据
动量守恒定律和机械能守恒定律有
，
联立可得：
，
A、B 发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间
小球A、B 发生第2 次碰撞的时刻
（3）当恢复系数
时，
从开始运动到第1 次碰撞需时时间，
设AB 第1 次碰撞后，A 的速度为
，B 的速度为
，满足
，
解得：
根据相对运动，从第1 次碰撞到第2 次碰撞所用时间
设AB 第2 次碰撞后，A 的速度为
，B 的速度为
，满足
，
解得：
根据相对运动，从第2 次碰撞到第3 次碰撞所用时间
小球A、B 发生第3 次碰撞的时刻
21．如图所示，在一头固定在
点且不可伸长的轻绳上系一个可视作质点的小球
，当把小球
拉到使轻
绳与水平面成
角时，轻轻释放小球
，运动到最低点时，小球
恰好与放在光滑水平面上同可视作
质点的小球
对心正碰。碰后粘在一起向左摆动，此后轻绳与竖直方向之间的最大偏角
，忽略空气
阻力，求：
(1)小球
的质量比
；
(2)小球
在碰撞过程中损失的机械能
与小球
在碰前的最大动能
之比。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设绳长为，如图所示
小球A 先做自由落体运动，下落到释放点下方与水平成
的位置，则
此时轻绳绷紧，绳对小球有一个冲量作用，在极短的时间内小球沿绳子方向的速度
减为零，而垂直于轻
绳方向的速度分量
不变，则有
小球A 再运动到最低点，根据动能定理有
小球
相碰后粘在一起，规定向左为正方向，由动量守恒有
共同向左边摆起最大摆角
，由机械能守恒有
联立解出
（2）小球
在碰撞过程中损失的机械能
小球A 在最低点与小球B 相碰前的动能最大
联立解得
22．将质量为
的物体
以一定初速度
从地面竖直向上抛出，
到达最高点时与水平飞来的质量为
的物体
发生碰撞，已知碰前物体
的速度大小为，碰后两物体粘在一起，碰撞时间极短。空气阻力不
计，两物体均可视为质点，重力加速度大小为
。求：
(1)物体A 从抛出到最高点所用的时间；
(2)两物体粘在一起后的落地点与
抛出点的间距
；
(3)两物体碰撞中损失的机械能
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据竖直上抛运动规律，可得物体A 从抛出到最高点所用的时间
（2）设两物体粘在一起平抛时的速度为
，水平方向动量守恒，根据动量守恒可得
解得两物体平抛运动得速度
根据运动的对称性可知，两物体落地的时间
则两物体粘在一起后的落地点与
抛出点的间距
（3）两物体碰撞过程损失的能量
23．如图所示，质量为
的物块A 静止在光滑水平轨道上，轨道右端与一半圆形 粗糙轨道相切，
轨道半径R=0.1m 。质量为
的物块B 以初速度
滑向A，A 和B 碰后粘在一起运动，恰好
通过圆弧轨道最高点P。物块A 和物块B 可视为质点，重力加速度g 取10m/s²，求 ：
(1)A 和B 碰撞过程中损失的机械能
；
(2)A 和B 粘合体在刚进入圆轨道时，对轨道的压力大小F；
(3)A 和B 在半圆形粗糙轨道上运动过程中摩擦力所做的功W。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对A 和B 系统，碰撞过程由动量守恒可得
解得
由能量守恒可得碰撞过程损失的机械能
（2）对AB 粘合体受力分析，根据牛顿第二定律可得
解得轨道对AB 粘合体支持力的大小为
根据牛顿第三定律可知，AB 粘合体对轨道的压力大小
（3）对A 和B 系统，到达半圆弧轨道最高点P 点时，由牛顿第二定律可得
由动能定理可得
联立代入数据解得
24．如图所示，可看成质点的B 物体叠放在上表面粗糙的A 板上，一起以v₀ 的速度沿光滑的水平轨道匀速
运动，A 与静止在同一光滑水平轨道上的C 物体发生完全非弹性碰撞，且A 与C 碰后立即取走C（该操作对
A 不产生影响），B 在A 上滑行，恰好能到达A 板的最右端。已知A、B、C 质量均相等，且为m，木板A
长为L，重力加速度为g。求：
(1)B 物体最终的速度大小；
(2)A、B 之间的动摩擦因数；
(3)B 在木板A 上滑行的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）A 与C 碰撞过程中动量守恒，令A 与C 碰后的共同速度大小为
，以初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得
解得
C 被取走，B 在A 上滑行，恰好能到达A 板的最右端。设B 物体最终的速度大小为
，A、B 动量守恒可得
解得
（2）A 与C 碰后到B 在A 上共速，根据能量守恒可得
解得A、B 之间的动摩擦因数
（3）A、B 最终的速度为
，对B 物体，根据牛顿第二定律可得
解得
根据速度公式可得
解得B 在木板A 上滑行的时间
25．如图所示，质量为2m 的小球Q 静止在光滑水平面上，其左侧有一光滑弧面槽A 静止在水平面上，弧
面槽A 轨道的截面可视为在竖直平面内半径为R 的四分之一光滑圆弧，轨道的最低点与水平面相切。球Q
的右侧有与轻弹簧一端连接的小球P，质量为m。当球P 以
的速度沿水平地面向左运动，与球Q
发生相互作用，分离后，球Q 冲上弧面槽A 恰能到达圆弧轨道的最高点。小球P、Q 均视为质点，弹簧始
终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)弧面槽A 的质量。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小球P、Q 共速时弹簧有最大弹性势能，有
弹簧的最大弹性势能
（2）小球P、Q 弹性碰撞，有
设弧面槽A 的质量
，球Q 冲上弧面槽A 恰能到达圆弧轨道的最高点，水平方向有
联立得弧面槽A 的质量
