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专题05 抛体模型的运动学问题与功能动量
目录
一．平抛运动的运动描述..........................................................................................................................................1
二．平抛与斜面、台阶、圆问题.............................................................................................................................. 2
三．平抛的临界问题..................................................................................................................................................3
四．平抛运动与功能动量..........................................................................................................................................4
五、平抛运动的轨迹..................................................................................................................................................5
一．平抛运动的运动描述
1． 平抛运动中的物理量
两个三角形，速度与位移；
九个物理量，知二能求一；
时间和角度，桥梁和纽带；
时间为明线，角度为暗线。
2．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由
知，运动时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h 共同决定。
3．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt 内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。
(2)位移的变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt 内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2。
4.平抛运动常用三种解法
①正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出
；
分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出
；
α
θ
v0
v
x
h
②推论法：若已知h、x，可求出
；
③动能定理法：若已知h、v0，动能定理：
，可求出
。
5． 重要推论的两种表述
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻速度的反向延长线一定通过此时
水平位移的中点，如图甲中A 点和B 点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水
平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙
所示。
二．平抛与斜面、台阶、圆问题
1． 斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，y＝gt2，
tan θ＝，可求得t＝。
2． 斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛
初速度大
小如何，落到斜面速度方向相同。
3． 与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
4． 垂直撞斜面平抛运动的时间的计算
5． 撞斜面平抛运动中的最小位移问题
6． 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
v0
θ(
v
)θ
dm
x
y
v0
θ(
v
)θ
dm
)θ
g
θ
x
y
x
H-y
H
)θ
v0
)α
)α
θ(
v0
7． 台阶平抛运动问题
方法
①临界速度法
②虚构斜面法
示意图
8． 半圆模型的平抛运动时间的计算
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t 或v0。
9． 平抛与圆相切问题
10．半圆模型平抛运动的推论
从半圆端点平抛，落在圆面时的速度不可能垂直圆面。根据推论速度的反向延长线交于水平位移的中点，
则不可能过圆心，也就不可能垂直圆面。
三．平抛的临界问题
1．平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
v1=s1√
g
2(h1−h2)
出界的临界速度
v2=(s1+s2)√
g
2h1
2．既擦网又压线的双临界问题
v0
h
s
v0
h
s
θ(
)θ
θ
)θ
v0
v1
s1
h2
s2
v2
h1
s1
h2
s2
h1
根据
h=1
2 g(
s
v0)
2
，可得比值：
h1−h2
h1
=
s
12
(s1+s2)2
3．撞墙平抛运动的时间的计算
若已知x 和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间
，则竖直速度为v=gt、高度为
.
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
5． 平抛的相遇问题
平抛与自由落体
平抛与竖直上抛
平抛与平抛
平抛与匀速
x:l=vt;
y:空中相遇t<√
2h
g
联立得
l
v <√
2h
g
x:s=v1t;
y:½gt2+v2t-½gt2=H,
t=H/v2
联立得H/v2=s/t
球1 比球2 先抛
t1>t2、v1<v2；
球3、4 同时抛
t1=t2、v3>v4；
x:l=(v1-t2)t;
y:t=√
2H
g
6． 斜抛运动
水平方向——匀速直线运动
；
竖直方向——竖直上抛运动
①一分为二:从最高点分为两个平抛运动
②逆向思维
四．平抛运动与功能动量
1.做平抛运动的物体：
2.做平抛运动的物体重力的瞬时功率：
v2
v1
v3
v4
y
v0
o
θ
vx
vy
x
v0cosθ
vx
x
x/2
xv0
x
v0
3.做平抛运动的物体重力的平均功率：
4.做平抛运动的物体：
5.做平抛运动的物体动量变化率恒定：
6.做平抛运动的物体处于完全失重状态；只有重力做功机械能守恒。
五、平抛运动的轨迹
1．平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x 及竖直位移y，就可求出初速度v0，因x＝v0t，y＝gt2，
故v0＝x 。
2.平抛轨迹残缺(即无抛出点)
如图所示，在轨迹上任取三点A、B、C，使A、B 间及B、C 间的水平距离相等，由平抛运动的规
律可知，A、B 间与B、C 间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2，所以t＝，所以初速度v0
＝＝x 。
【典例1】如图为小球做平抛运动的示意图。发射口距地面高为h，小球发射的速度为v，落地位置到发射
口的水平距离为R，小球在空中运动的时间为t。下列说法中错误的是（ ）
A．h 一定时，v 越大，R 越大
B．h 一定时，v 越大，t 越长
C．v 一定时，h 越大，R 越大
D．v 一定时，h 越大，t 越长
【答案】B
【详解】A．根据平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，则有
水平方向则有
联立解得
因此h 一定时，v 越大，R 越大，故A 正确，不符合题意；
B．根据平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，则有
解得
h 一定时，t 不变，与v 的大小无关，故B 错误，符合题意；
C ．根据平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，则有
水平方向则有
联立解得
v 一定时，h 越大，R 越大，故C 正确，不符合题意；
D．根据平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，则有
解得
因此v 一定时，h 越大，t 越长，故D 正确，不符合题意。
故选B。
【典例2】在水平地面上的
点将小球1 以初速度与水平方向成
角斜向右上方抛出，轨迹如图中虚线
所示，虚线的最高点
与抛出点
的水平距离为
。若在小球1 抛出的同时，在
点将小球2 以
的速度
水平向右抛出。不计空气阻力，则两球着地的时间差
以及着地点间的距离
分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由于小球2 在
点水平抛出，且平抛的速度
，即为小球1 做斜抛运动的水平速度，所
以小球2 做平抛运动的轨迹与小球1 的运动轨迹的右半部分重合，所以两小球的着地点重合，即
；
两球着地的时间差为小球1 从
到
点的时间，所以
故选D。
【典例3】如图所示，每一级台阶的高度
，宽度
，将一小球从最上面台阶的边沿以某初速
度水平抛出。取重力加速度大小
，不计空气阻力。若小球落在台阶3 上，则小球的初速度大小
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】若小球恰好落到台阶2 的右边沿，竖直方向有
解得
水平方向有
解得
若小球恰好落到台阶3 的右边沿，则有
解得
又因为
解得
故小球落在台阶3 上初速度大小应满足的条件
故选CD。
【典例4】如图，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架
，边长为L，从顶点A 以不
同速率沿不同方向水平抛出同一小球(可视为质点，不计空气阻力)。关于小球的运动，下列说法正确的是
（ ）
A．落点在A1B1C1D1内的小球，运动时间可能不同
B．落点在A1B1C1D1内的小球，击中C1点的小球初速度最大
C．落点在A1B1C1D1内的小球，击中
、D1点时速度相同
D．运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同
【答案】BD
【详解】AB．落点在A1B1C1D1内的小球，运动时间均为
但落到C1点的小球水平位移最大，故其初速度最大，故A 错误，B 正确；
C．击中D1点，此时初速度方向沿AD 方向，故合速度方向在平面
内；若击中
点，此时初速度方
向沿AB 方向，故合速度方向在平面
内；故速度方向不同，则速度不同，故C 错误；
D．运动轨迹与
相交的小球，位移的偏向角均相同，均为
速度的偏向角
可知速度偏向角都相同，即在与
交点处的速度方向都相同， 故D 正确。
故选BD。
【典例5】图（a）为某景区的蛙口喷泉，两次喷出水的轨迹A、B 如图（b）所示，最大高度相同，轨迹A
的落点M 恰好在轨迹B 最高点的正下方，不计空气阻力，对轨迹A、B 的说法正确的是（ ）
A．水滴在空中运动的时间不相同
B．水滴的初速度大小相等
C．水滴在最高点速度均为0
D．质量相同的水滴在空中运动过程中动量的变化量相同
【答案】D
【详解】A．取其中一个质量为m 的水滴进行分析，水滴做斜抛运动，根据对称性，可以将其运动看为左
右两个对称的平抛运动，令最大高度为h，利用逆向思维，则有
解得
由于最大高度相同，则水滴在空中运动的时间相同，故A 错误；
B．水滴竖直方向做竖直上抛运动，令初速度与始终方向夹角为
，利用逆向思维，则有
解得
根据上述，运动时间相等，由图（b）可知，轨迹A 的初速度与竖直方向夹角小于轨迹B 的初速度与竖直
方向夹角，可知，轨迹A 的初速度小于轨迹B 的初速度，故B 错误；
C．水滴在水平方向上做匀速直线运动，可知，水滴在最高点速度为
，结合上述可知，轨迹A 在最高
点的速度小于轨迹B 在最高点的速度，均不为0，故C 错误；
D．水滴做斜抛运动，仅仅受到重力作用，根据动量定理有
水滴运动时间相等，可知，质量相同的水滴在空中运动过程中动量的变化量相同，故D 正确。
故选D。
1．将同一小球从同一高度以不同水平初速度v1、v2（v1＞v2）水平抛出，忽略空气阻力，下列说法正确的
是（ ）
A．小球的落地时间t1＞t2
B．小球的水平位移x1＞x2
C．小球落地时的竖直分速度vy1＞vy2
D．小球落地时的合速度大小v1 合＝v2 合
【答案】B
【详解】A．平抛运动竖直方向上是自由落体运动，由
，可知平抛运动的落地时间仅由竖直方向
的高度决定，两球高度相同，故
，故A 错误；
B．水平位移
，因
且
，故
，故B 正确；
C．竖直分速度
，由于高度相同，故
，故C 错误；
D．合速度
，因
且
相同，故
，故D 错误。
故选B。
2．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托
面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水
平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度
为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（ ）
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3 倍
D．若初速度为
，则
【答案】C
【详解】A．小面圈的运动视为平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则由
可得小面圈在空中运动的时间为
由于相同，所以所有小面圈在空中运动的时间也都相同，故A 正确，不符合题意；
B．根据
可得，由于所有小面圈在空中运动的时间都相同，所以所有小面圈的速度变化量都相同，
故B 正确，不符合题意；
D．由题意可知，小面圈运动过程水平位移的取值范围为
由于平抛运动水平方向为匀速直线运动，则水平初速度的最小值为
同理水平初速度的最大值为
所以水平初速度的取值范围为
，故D 正确，不符合题意；
C．落入锅中时，最大速度为
最小速度为
则
即最大速度不是最小速度的3 倍，故C 错误，符合题意。
故选C。
3．“高空抛物”是极其危险的行为，监控设备为寻找抛物者提供依据。根据影像中的一段运动轨迹，可
测算出水平抛出物体的初速度
。在已知
和重力加速度g 的情况下，若估算抛出点距地面高度，还需测
量的下列物理量是（ ）
A．楼房整体的高度
B．抛出物体的质量
C．监控设备距地面的高度
D．抛出物体运动全程的水平位移
【答案】D
【详解】物体做平抛运动，根据平抛运动规律有
，
可得
在已知
和重力加加速度g 的情况下，若估算抛出点距地面高度，还需测量抛出物体运动全程的水平位移。
故选D。
4．故宫太和殿每逢大雨就会出现“九龙吐水”的壮观景象。一次雨后，某出水口水平喷出的水落地时到
该出水口的水平距离为2m，该出水口到水平地面的高度为5m，出水口的横截面积为
，不计空气
阻力，重力加速度大小
，水的密度
，则这次雨后该出水口“吐”出水柱在空中的
质量约为（ ）
A．0.2kg
B．2kg
C．1kg
D．0.1kg
【答案】A
【详解】水从出水口水平喷出后做平抛运动，竖直方向上则有
解得水在空中运动的时间
水平方向则有
解得水喷出的初速度
在 t=1s 时间内流出的水的体积为
空中水的质量为
故选A。
5.台风“桦加沙”影响期间,一架救援飞机在灾区上空沿水平方向做匀减速直线运动，沿途连续投放救灾物
资。若不计空气的阻力，则下列四幅图中能反映救灾物资落地前排列的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因飞机做匀减速直线运动，故抛出的救灾物资都应在飞机的右下方，设某个救灾物资抛出时的速
度为
，飞机水平方向的加速度大小为
，则从这个救灾物资抛出开始经历时间，这个救灾物资与飞机
水平方向和竖直方向的距离分别为
，
则这个救灾物资与飞机的连线和水平方向夹角的正切
即任一时刻抛出的所有救灾物资与飞机的连线与水平方向的夹角都相等，故任一时刻空中的救灾物资都应
在一条直线上。
故选D。
6.某同学用无人机练习投弹，无人机在离地高为h 处沿水平直线匀速飞行，某时刻无人机开始沿水平方向
做匀减速直线飞行并实施投弹，当速度为
时释放第一个炸弹，当第一个炸弹击中目标
时释放第二个炸
弹，结果第二个炸弹也击中目标
，重力加速度为g，不计空气阻力，则无人机做匀减速飞行的加速度大
小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】炸弹做平抛运动，竖直方向自由下落，时间由高度决定，在空中运动时间为
设第一个炸弹释放时无人机速度为
，其水平位移为
，击中目标
无人机在时间内做匀减速运动，此时无人机速度为
这段时间无人机的位移为
第二个炸弹释放后，击中目标
，运动时间不变，可知其水平位移为
根据位移关系可得
联立解得
故选C。
7．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H 的固定点以速
率
水平向右抛球，小孩以速率
水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平
距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】若小孩能接到球，则有
，
联立解得
故选B。
8．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。
让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h 时，钢球在木
板上的落点离桌边的水平距离为x，则（ ）
A．钢球平抛初速度为
B．钢球在空中飞行时间为
C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变
D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变
【答案】B
【详解】AB．根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为
钢球平抛初速度为
，A 错误，B 正确；
C．钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角满足
可知，增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C 错误；
D．根据
可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x 减小，D 错误。
故选B。
9．（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A 从距离地面
处自由下落，
末恰好被小球B 从左侧水平击
中，小球A 落地时的水平位移为
。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g 取
，则
碰撞前小球B 的速度大小v 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，小球A 和B 碰撞过程中，水平方向上动量守恒，竖直方向上A 球的竖直速度不变，
设碰撞后A 球水平速度为
，B 球水平速度为
，则有
碰撞为完全弹性碰撞，则由能量守恒定律有
联立解得
，
小球A 在竖直方向上做匀加速直线运动，则有
解得
可知，碰撞后，小球A 运动
落地，则水平方向上有
解得
故选B。
9．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O 点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M 点
和N 点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（ ）
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N 点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M 点接到的鸟食平抛的初速度较大
【答案】D
【详解】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有
由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N 点接到的鸟食先抛出，故AB 错误；
CD．在水平方向有x = v0t，如图
过M 点作一水平面，可看出在相同高度处M 点的水平位移大，则M 点接到的鸟食平抛的初速度较大，故
C 错误，D 正确。
故选D。
10．（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为
、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后
网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】网球水平方向上做匀速直线运动，有
设球网高度为h，则对斜向下发出的球，有
对斜向上发出的球，有
联立以上各式，可得
故选C。
11.某一冰雪项目的训练场地，分为覆盖着冰层的平台和雪地两部分，如图所示。运动员从距平台边缘
处收起滑雪杖，保持姿态不变，以
的初速度向平台边缘滑去，离开平台后落至雪地。已
知平台和雪地的高度差
，运动员与冰面间的动摩擦因数
，不计空气阻力，重力加速度
。求运动员：
(1)在平台上收起滑雪杖后加速度的大小a；
(2)滑离平台时速度的大小v；
(3)落至雪地时与平台边缘的水平距离x。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在平台上收起滑雪杖后，由牛顿第二定律得
解得加速度大小为
（2）设滑雪者离开平台的速度为v，由运动学公式可得
代入数据解得滑离平台时的速度大小为
（3）滑雪者离开平台做平抛运动，竖直方向有
解得
则落至雪地时与平台边缘的水平距离为
12.如图所示，高为
，横截面直径为
，内壁光滑的圆钢管竖直固定在水平地面上。一只小球从钢管
顶端的A 点以某一初速度沿钢管轴心方向水平抛出，运动过程中先后跟钢管内壁的B、C 两点相碰（碰撞
中没有动能损失，碰撞时间极短可以忽略不计），最后恰好落在底面的圆心D 点。取
，求小球
落在D 点时的速度大小。
【答案】
【详解】由题意可知，小球在竖直方向做自由落体运动，有
解得
小球在水平方向的速度大小不变，根据对称性，易知轨迹
可以“剪贴”成抛物线
，如图所
示，小球的运动可以等效为从A 点平抛到
点，
其等效的水平位移为
由
得
又有
所以
13.如图所示，运动员将网球从
点以速度
水平击出，网球经过
点时速度方向与竖直方向的夹角为
,
落到水平地面上的
点时速度方向与竖直方向的夹角为
, 不计空气阻力，重力加速度大小为
，求：
(1)网球从
点运动到
点的时间；
(2)
、
两点间的水平距离；
(3)
点距水平地面的高度。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）小球做平抛运动，在
点速度分解为水平速度和竖直速度，则有
解得
同理在
点速度分解为水平速度和竖直速度，则有
解得
竖直方向是自由落体运动，则有
解得
（2）水平方向做匀速直线运动，则有
（3）竖直方向根据运动学公式有
代入解得
14.如图所示，将一小球从
点水平抛出，
、
为其运动轨迹上的两点，两点间的竖直距离为
。已知小
球在
点时速度方向与水平方向的夹角为
，小球运动到
点时速度方向与水平方向的夹角为
，不计
空气阻力，重力加速度为
。求：
(1)小球的初速度大小；
(2)
、
两点间的水平距离。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设小球做平抛运动的初速度大小为
，小球在
点时的速度大小为
小球在
点时的速度大小为
小球从
点运动到
点的过程中，根据动能定理有
联立解得
（2）小球从
点运动到
点的过程中，速度的变化量大小为
小球从
点运动到
点所用的时间为
小球从
点运动到
点的过程中，水平方向的位移大小为
15．（2025·北京·高考真题）某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t 到达最高点。在最高点
该物体炸裂成
两部分，质量分别为
和m，其中A 以速度v 沿水平方向飞出。重力加速度为g，不
计空气阻力。求：
(1)该物体抛出时的初速度大小
；
(2)炸裂后瞬间B 的速度大小
；
(3)
落地点之间的距离d。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）物体竖直上抛至最高点时速度为0，由运动学公式
可得
（2）爆炸瞬间水平方向动量守恒，爆炸前总动量为0。A 速度为v，设B 速度为vB，由动量守恒定律得
解得
即大小为2v
（3）根据竖直上抛运动的对称性可知下落时间与上升时间相等为t，则A 的水平位移
B 的水平位移
所以落地点A、B 之间的距离
16．（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m 的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg 的小物块
以3m/s 的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，
不考虑空气阻力，重力加速度g 取10m/s2。
(1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。
(2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计
1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。
【答案】(1)0.6m (2)IN = 0.1N·s；vx′ = 0
【详解】（1）小物块在平台做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有a = μg
则小物块从开始运动到离开平台有
小物块从平台飞出后做平抛运动有
，x = vxt1
联立解得x = 0.6m
（2）物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，则物块弹起至最大高度所用时间和弹起的初速度有
，vy2 = gt2
则物块与地面接触的时间Δt = t－t1－t2 = 0.1s
物块与地面接触的过程中根据动量定理，取竖直向上为正，在竖直方向有IN－mgΔt = mvy2－m(－vy1)，vy1
= gt1
解得IN = 0.1N·s
取水平向右为正，在水平方向有
，
解得vx′ = －1m/s
但由于vx′减小为0 将无相对运动和相对运动的趋势，故vx′ = 0
17（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m 的
小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为
。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与
弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；
垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的
。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度
大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知
得小球离开桌面时速度大小为
（2）离开桌面后由平抛运动规律可得
第一次碰撞前速度的竖直分量为
，由题可知
离开桌面后由平抛运动规律得
，
解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为
18．（2022·全国·统考高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪
仪每隔
发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。
图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3 个影像，所标出的两个线段的长度
和
之比为3：7。重力加速度大小取
，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【答案】
【详解】频闪仪每隔0.05s 发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3 个影像，故相邻两球的时间间隔为
设抛出瞬间小球的速度为
，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为
、
，根
据平抛运动位移公式有
令
，则有
已标注的线段
、
分别为
则有
整理得
故在抛出瞬间小球的速度大小为
19．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，将一质量为0.2kg 可视为质点的小球从离水平地面3.2m 高的
P 点水平向右击出，测得第一次落点A 与P 点的水平距离为2.4m。小球落地后反弹，反弹后离地的最大高
度为1.8m，第一次落点A 与第二次落点B 之间的距离为2.4m。不计空气阻力，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）小球被击出时的速度大小；
（2）小球第一次与地面接触过程中所受合外力的冲量大小。
【答案】（1）3m/s；（2）
【详解】（1）设小球刚被击出时的速度大小为v0，小球被击出到第一次落地前瞬间，根据平抛运动的规
律可得
解得
（2）小球第一次落地前瞬间，在竖直方向的速度大小为
设小球第一次落地被反弹后运动到最高点的时间为t2，此过程中小球在竖直方向的分运动是匀减速直线运
动，则
小球第一次被反弹后瞬间沿竖直方向的速度大小为
规定竖直向上为正方向，则小球在竖直方向的合外力的冲量为
设小球第一次被反弹后瞬间沿水平方向的速度大小为vx，则
规定水平向右为正方向，则小球在水平方向的合外力的冲量为
小球第一次与地面碰撞过程中合外力的冲量大小为
解得
20．如图所示，风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风力，一个质量为m 的小球在O 点以水平初
速度v0抛出，恰好能沿水平方向运动到P 点，O、P 间的距离为L，将风力调大，小球仍由O 点以水平初
速度v0抛出，结果恰好经过P 点正上方的Q 点，P，Q 间的距离为
，重力加速度为g，求：
（1）调节后的风力大小；
（2）小球运动到Q 点时的速度大小和方向。
【答案】（1）
；（2）
；方向斜向右上，与水平方向的夹角为45°
【详解】（1）开始时小球从O 点运动到P 点所用时间
，增大后的风力设为F，则
解得
（2）设小球到Q 点时速度大小为v，沿竖直方向的分速度
因此
方向斜向右上，与水平方向的夹角为45°。
21．在光滑水平桌面内建一个直角坐标系如图所示，一个质量为m 的小球放在第二象限的A 点，给小球沿
x 轴正方向的初速度v0，同时对小球施加沿y 轴负方向的恒力F 作用，当小球运动到原点O 时，速度方向
与x 轴正方向的夹角为45°，此时突然将力F 方向变为沿x 轴负方向，大小不变，一段时间后小球经过y 轴
上的B 点。
（1）A 点的坐标；
（2）B 点的坐标。
【答案】(1)(
，
)；(2)(0，
)
【详解】小球从A 到O 做类平抛运动，在O 点时由速度偏角公式可得
其中
联立解得
，
沿x 轴位移为
沿y 轴位移为
故A 点的坐标为(
，
)。
(2)小球从O 到B 过程，做斜抛运动，沿x 轴先减速为零后反向加速，由对称性可知，运动时间为
O、B 距离为
联立解得
故B 点的坐标为(0，
)。
