文档文本内容
第13 讲 圆周运动常考模型
目
录
01 考情解码·命题预警...............................................................................................................错误！未定义书签。
02 体系构建·思维可视.............................................................................................................................................2
03 核心突破·靶向攻坚.............................................................................................................................................4
考点一 圆周运动中的运动学分析 ............................................................................................................4
知识点一 描述圆周运动各物理量间的关系............................................................................................4
知识点二 常见的三种传动方式及特点....................................................................................................4
考向1 描述圆周运动的物理量的分析及其计算.......................................................................................5
考向2 传动分析............................................................................................................................................7
考点二 圆周运动的动力学分析 ................................................................................................................8
知识点 圆周运动的动力学分析及模型....................................................................................................9
考向1 圆锥摆问题......................................................................................................................................10
考向2 生活中的圆周运动.........................................................................................................................13
考点三 圆周运动中的临界极值问题 ......................................................................................................15
知识点一 水平面内圆周运动的临界和极值问题..................................................................................15
知识点二 竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型..........................................................15
考向1 水平面上汽车转弯类问题.............................................................................................................16
考向2 火车转弯类问题.............................................................................................................................18
考向3 圆锥摆的临界和极值问题.............................................................................................................22
考向4 水平转盘上的圆周运动及其临界问题.........................................................................................25
考向5 竖直面内圆周运动的“绳”模型.................................................................................................27
考向6 竖直面内圆周运动的“杆”模型.................................................................................................29
考点四 斜面上圆周运动的分析 ..............................................................................................................32
知识点一 斜面上圆周运动的分析..........................................................................................................32
考向1 静摩擦力作用下斜面上的圆周运动.............................................................................................32
考向2 轻绳作用下斜面上的圆周运动.....................................................................................................35
考点五 圆周运动与图像结合问题 ..........................................................................................................38
考向1 水平面内圆周运动与图像结合问题.............................................................................................38
考向2 竖直面内圆周运动与图像结合问题.............................................................................................42
04 真题溯源·考向感知...........................................................................................................................................45
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
圆周运动中的运
动学分析
选择题
非选择题
安徽卷T6，4 分
圆周运动中的临
界极值问题
选择题
非选择题
安徽卷T14（2），3
分
考情分析：
“圆周运动”在选择题中仍会倾向单独命题，但也可能会与功能关系相结合，设置综合性较强的试题；带
电粒子在电磁场中做圆周运动的考题必会考查圆周运动的向心力，此类问题也由原有的平面运动变成了现
在的三维运动，对学生空间想象力提出了很高的要求，这要引起每位老师的高度重视，在备考中应对此类
问题强化训练，让学生形成新的认识，面对此类问题时学生才有可能从容应对。试题情境
生活实践类：汽车、火车、自行车转弯、圆锥摆等；
学习探究类：生活中的圆周运动等。
复习目标：
目
一：
标
掌握描述
周运
的各物理量及关系
圆
动
。
目
二：
标
会分析匀速
周运
的周期性及多解
。
圆
动
问题
目标三：会分析
周运
向心力的来源，并利用
周运
的相关知
解决生活中的
周运
。
圆
动
圆
动
识
圆
动
考点一 圆周运动中的运动学分析
知识点一 描述圆周运动各物理量间的关系
知识点二 常见的三种传动方式及特点
1.皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
2.摩擦(齿轮)传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA
＝vB。
3.同轴转动：如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
得分速记
1．同一传送带上各点线速度大小相等；
2．同轴转动的物体各点的角速度相等。
考向1 描述圆周运动的物理量的分析及其计算
例1 （2025·江苏宿迁·三模）如图所示，自行车在平直路面上匀速行驶，车轮与路面不打滑，轴心O 点的
速度大小为v。则轮边缘最高点P 处的速度大小为（ ）
A．0
B．v
C．2v
D．3v
【答案】C
【详解】P 点和O 点都在绕着车轮与地面的接触点运动，由于这三点共线，则P 点和O 点角速度相等，又
P 点到车轮与地面的接触点的距离是O 点的2 倍，根据
可知，P 处的速度为O 点速度的2 倍，即P
处的速度大小为
。
故选C。
【变式训练1·变考法】（2025·广东揭阳·二模）如图，为了将地面上长L 的钢管竖直放置，横梁上的电机
水平向左移动，同时启动电机内的牵引绳回收装置，使钢管在绳的作用下，绕定点O 逆时针转动，且绳始
终沿竖直方向，若绳端M 点相对于电机的速度恒为v，则钢管与水平方向的夹角从30°增大到60°的过程中
（ ）
A．电机移动的速度一直大于v
B．电机移动的速度一直小于v
C．钢管的角速度一直大于
D．钢管的角速度一直小于
【答案】C
【详解】AB．由三角知识可得
故电机水平移动速度为
由题意知
在30°到60°之间，
联立可得
故A、B 均错误；
CD．当钢管与地面夹角为
时，钢管顶端M 点做圆周运动，速度方向与杆垂直
由矢量的合成知识可得
由圆周运动知识得
由题意知
在30°到60°之间，
联立解得
故C 正确，D 错误；
故选C。
【变式训练2】
【传统文化与学科知识结合】（2025·陕西汉中·二模）陶瓷是中华瑰宝，是中华
文明的重要名片。在陶瓷制作过程中有一道工序叫利坯，将陶瓷粗坯固定在绕竖直轴转动的水平转台上，
用刀旋削，使坯体厚度适当，表里光洁。对应的简化模型如图所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合。
当转台匀速转动时，关于粗坯上的P、Q 两点，下列说法正确的是（ ）
A．P、Q 两点的加速度大小相等
B．P、Q 两点的加速度均指向转轴OO′
C．相同时间内P 点转过的角度比Q 点大
D．一个周期内P 点通过的位移比Q 点大
【答案】B
【详解】AB．P、Q 两点的角速度相同，半径不同，根据
可知向心加速度大小不相等，但向心加速
度均指向圆心，故A 错误，B 正确；
C．由于P、Q 两点的角速度相同，根据
得相同时间内P 点转过的角度和Q 点转过的角度相等，故
C 错误；
D．一个周期内P 点和Q 点通过的位移均为0，故D 错误。
故选B。
考向2 传动分析
例2 （2025·河南·模拟预测）【生产生活与学科知识结合】自行车是常见的代步工具。主要构成部件有前
后轮、飞轮、链条、链轮等，其部分示意图如图所示，其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为
、
和
，假设脚踏板的转速为
，则该自行车前进的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】大齿轮转动的角速度为
大齿轮边缘点转动的线速度为
小齿轮边缘点转动的线速度与大齿轮边缘点转动的线速度相等，即
小齿轮和车轮的角速度相等，则
所以自行车前进的速度大小
。
故选D。
【变式训练1】（2025·辽宁·三模）绞车的原理如图所示，将一根圆轴削成同心而半径不同的大小辘轳，在
其上绕以绳索，绳下加动滑轮，滑轮下挂上重物，人转动把手带动辘轳旋转便可轻松将重物吊起。已知大、
小辘轳的半径分别为
、，把手的旋转半径为
，在重物沿竖直方向被匀速吊起的过程中，把手的线
速度大小为，则重物上升的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】辘轳的角速度
动滑轮左侧细绳的速度大小为
，右侧细绳的速度大小为
，重物上升的速度大小为
故选A。
【变式训练2·变考法】无级变速是在变速范围内任意连续变换速度的变速系统。如图所示是无级变速模
型示意图，主动轮、从动轮中间有一个滚轮，各轮间不打滑，通过滚轮位置改变实现无级变速。A、B 为
滚轮轴上两点，则( )
A．从动轮和主动轮转动方向始终相反
B．滚轮在A 处，从动轮转速大于主动轮转速
C．滚轮在B 处，从动轮转速大于主动轮转速
D．滚轮从A 到B，从动轮转速先变大后变小
【答案】B
【解析】主动轮和滚轮之间为摩擦传动，转动方向相反，滚轮和从动轮之间为摩擦传动，转动方向相反，
则主动轮和从动轮转动方向相同，故A 错误；设主动轮和从动轮与滚轮接触位置的线速度分别为v1、v2，
则v1＝v2，又因为v＝ωr，故＝，由题图可知，滚轮在A 处时r1>r2，故ω1<ω2，又ω＝2πn，则有n1<n2，同
理，滚轮在B 处时，因r1<r2，则有ω1>ω2，故n1>n2，故B 正确，C 错误；由前面分析可知，从动轮转速n2
＝n1，滚轮从A 到B，主动轮转动的转速n1不变，而由题图知一直变小，则从动轮转速一直变小，故D 错
误。
考点二 圆周运动的动力学分析
知识点 圆周运动的动力学分析及模型
1．向心力
是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩擦力等各种力提供，也可以是几个力的合力或某个力的
分力提供。在受力分析中不要再另外添加一个叫作“向心力”的力。
2．圆锥摆模型
(1)圆锥摆模型的受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
(2)运动实例
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗
内做匀速圆周运动
得分速记
1．向心力多种表达式：Fn＝man＝m＝mrω2＝mωv＝mr＝4mπ2f2r；
2．圆锥摆周期公式：T＝2π；
3．圆锥摆规律总结：（1）摆高h＝Lcosθ，周期T 越小，圆锥摆转得越快，θ 越大；
（2）摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F 越大；
（3）摆球的加速度a＝gtanθ。
考向1 圆锥摆问题
例1 （2025·河北·模拟预测）如图甲所示，游乐场的“旋转飞椅”给许多人带来生活乐趣，其结构为用不
同长度的绳子将座椅悬挂在一个转盘下方，在转盘带动下随转盘一起转动，装置可简化为如图乙所示。若
有三个相同的转椅A、B、C，B、C 两个转椅悬绳长度相同，B 距转轴近，A 的悬绳长度较长，A、C 悬点
与转轴距离相同，某段时间内三个转椅随转盘一起匀速转动，悬绳重力及空气阻力均不计，有关悬绳与竖
直方向的夹角，下列说法正确的是（ ）
A．A、C 两个转椅的悬绳与竖直方向夹角相同
B．
、
两个转椅的悬绳与竖直方向夹角相同
C．A 转椅的悬绳与竖直方向夹角最大
D．B 转椅的悬绳与竖直方向夹角最大
【答案】C
【详解】设悬绳与竖直方向的夹角为
，悬绳延长线与转轴的交点与座椅间的高度差为，悬点到转轴的
距离为，由牛顿第二定律可得
可得
可知A、B、C 三个座椅的相同，由
可知当相同时，
越大，
越大，所以
；当
相同时，越大，
越大，所以
。
故选C。
圆锥摆特点：
圆锥摆模型的受力特点：受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动
【变式训练1】（2025·江西鹰潭·二模）如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为
，质量为
的
带孔小球穿于环上，同时有一长为
的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力
为
，重力加速度的大小为
，当圆环以角速度
绕竖直直径转动时，下列说法正确的是（ ）
A．圆环角速度
等于
时，小球受到2 个力的作用
B．圆环角速度
等于
时，小球受到3 个力的作用
C．圆环角速度
等于
时，细绳将断裂
D．圆环角速度
大于
时，小球受到2 个力的作用
【答案】ABD
【详解】①若绳的拉力恰好为零，由支持力和重力提供向心力，设绳子与水平的夹角为
有
解得
，
②若绳的拉力恰好为
有
解得
A．圆环角速度
等于
时，绳子处于松弛状态，小球受到2 个力的作用，A 正确；
B．圆环角速度
等于
时，绳子有拉力，小球受到3 个力的作用，B 正确；
C．圆环角速度
等于
时，小于
，绳子没有断，C 错误；
D．圆环角速度
大于
时，绳子断开，小球受到2 个力的作用，D 正确。
故选ABD。
【变式训练2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，一半径为R 的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴转动
的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO'重合，此时一质量为m 的小物块恰好静止在陶罐内，
它和球心O 的连线与竖直方向的夹角为θ=37°，现让陶罐随转台绕转轴OO'一起转动，小物块在陶罐内始
终未滑动，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求物块与陶罐之间的动摩擦因数
；
(2)当转台以恒定的角速度
匀速转动，求小物块受到的摩擦力的大小和方向。
【答案】(1)
；(2)
，方向沿切线向下
【详解】（1）小物块恰好静止时，由平衡条件可知
，
所以
（2）设支持力N，摩擦力
，物块在竖直方向平衡，水平方向做匀速圆周运动，设摩擦力方向沿罐壁相
切斜向下，有
，
解得
由于摩擦力为正，说明摩擦力实际方向与假设相同，所以方向沿切线向下。
考向2 生活中的圆周运动
例2 如图所示，赛车手驾驶摩托车在水平路面上转弯时车身向内侧倾斜一定角度，在摩托车转弯过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．地面对车轮的支持力垂直于水平路面向上
B．地面对车轮的支持力沿车身的方向斜向上
C．如果摩托车发生侧滑是因为赛车手与摩托车整体受到向外的力作用
D．赛车手与摩托车整体受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
【答案】A
【详解】AB．弹力的方向总是垂直于接触面的。地面对车轮的支持力垂直于水平路面向上，A 正确，B 错
误；
C．如果摩托车发生侧滑是因为摩擦力不足，赛车手与摩托车整体做离心运动，赛车手与摩托车整体不受
向外的力，C 错误；
D．赛车手与摩托车整体受到重力、支持力、摩擦力的作用，这三个力的合力是向心力，D 错误。
故选A。
【变式训练1】在模拟救援演练中，一架无人机执行侦查任务，需持续监控地面上静止的模拟伤员（可视
为质点）。操控员让无人机在目标正上方一水平面内做半径为、周期为
的匀速圆周运动。已知无人机
质量为
，重力加速度为
，则（ ）
A．无人机受到重力、空气的作用力、向心力
B．空气对无人机的作用力方向竖直向上
C．空气对无人机的作用力大小等于
D．空气对无人机的作用力大小等于
【答案】D
【详解】A．向心力是效果力，不是实际受到的力，无人机实际受到重力和空气的作用力，故A 错误；
B．分析可知无人机受到的重力和空气作用力的合力提供其向心力，向心力方向指向圆心。无人机受重力
竖直向下，由平行四边形定则可知空气对无人机的作用力应该斜向上，故B 错误；
CD．由平行四边形定则可知空气对无人机的作用力大小为
故C 错误，D 正确。
故选D。
【变式训练2】（多选）某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现
车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面（与车厢底板平行）上水杯内的
水面，已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（ ）
A．列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用
B．列车转弯过程中的向心加速度为gtanθ，方向与水平面的夹角为θ
C．水杯与桌面间无摩擦
D．水杯内水面与桌面不平行
【答案】AC
【详解】B．设玩具小熊的质量为m，则玩具小熊受到的重力mg、细线的拉力FT的合力提供玩具小熊随列
车做水平面内圆周运动的向心力F（如图）
有mgtanθ=ma
可知列车在转弯过程中的向心加速度大小为a=gtanθ
方向与水平面平行，所以B 错误；
A．列车的向心加速度a=gtanθ，由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，故列车的轮缘对轨道无侧向挤
压作用，所以A 正确；
C．水杯的向心加速度a=gtanθ，由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，则水杯与桌面间的静摩擦力为
零，所以C 正确；
D．在杯内水面取一微小质量元，此质量元受到的重力与支持力的合力产生的加速度大小为a=gtanθ，可知
水杯内水面与水平方向的倾斜角等于θ，与桌面平行，故D 错误。
故选AC。
考点三 圆周运动中的临界极值问题
知识点一 水平面内圆周运动的临界和极值问题
1.物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变
化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
2.圆锥摆的临界和极值问题，常常与弹力有关
(1)绳子松弛的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力；绳子断开的临界条件是：绳上的拉力恰好达最大值。
(2)两物体接触或脱离的临界条件是：两物体间的弹力恰好为零。
(3)对于半圆形碗内的水平圆周运动，有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②恰好发生相对滑动。
3.水平转盘上的圆周运动及其临界问题
水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，
则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。
(2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设
条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉
力等)。
知识点二 竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与
绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动
等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型
杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力
特征
除重力外，物体受到的弹力向下或
等于零
除重力外，物体受到的弹力向下、等
于零或向上
受力
示意图
过最高
点的临
界条件
由mg＝m 得v 临＝
由小球恰能做完整的圆周运动得v 临＝
0
讨论
分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，
绳、圆轨道对球产生弹力FN；
(2)不能过最高点时，v<，在到达最
高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN为支持
力，沿半径背离圆心；
(2)当0<v<时，mg－FN＝m，FN背离圆
心，随v 的增大而减小；
(3)当v＝时，FN＝0；
(4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆
心，并随v 的增大而增大
得分速记
做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何
知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解
考向1 水平面上汽车转弯类问题
例1 汽车在水平方向转弯时，轮胎承受的负荷和力量显著增加，因此车速不能过快。如图所示，一质量
为
的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为
，当汽车经过半径为
的圆弧弯道时，下列判断正确的是（ ）
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为
时所需的向心力为
C．汽车转弯的速度为
时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度最大为
【答案】C
【详解】A．汽车在水平面转弯时，做圆周运动，重力与支持力平衡，径向静摩擦力提供向心力，不能说
受到向心力，故A 错误；
B．如果车速达到
，需要的向心力
故B 错误；
C．车速达到
时，需要的向心力
径向最大静摩擦力为
，则
，所以汽车会发生侧滑，故C 正确；
D．汽车能安全转弯的向心加速度最大值为
故D 错误。
故选C。
【变式训练1·变载体】图甲是某市区中心的环岛路，可以简化为图乙。假设汽车与路面的动摩擦因数相同，
当A、B 两车以大小相等的线速度绕环岛运动时，下列说法正确的是（ ）
A．A、B 两车的向心加速度大小相等
B．A 车的角速度比B 车的角速度小
C．B 车所受的合力大小一定比A 车所受的合力大
D．若两车逐渐增加相同的线速度，A 车更容易侧滑
【答案】D
【详解】A．根据
可知线速度大小相等，由于A 的轨道半径小一些，则A 的向心加速度大一些，故
A 错误；
B．根据
可知线速度大小相等，由于A 的轨道半径小一些，则A 的角速度大一些，故B 错误；
C．车做匀速圆周运动，由所受外力的合力提供向心力，则由
可知线速度大小相等，A 的轨道半径
小一些，由于两车质量关系不确定，则辆车所受的合力大小不能确定，故C 错误；
D．对车进行分析，重力与地面支持力平衡，合力等于沿着半径方向的静摩擦力，即由静摩擦力提供向心
力，则有
即有
由于线速度大小相等，汽车与路面的动摩擦因数相同，A 的轨道半径小一些，则A 与地面之间的摩擦力先
达到最大静摩擦力，可知，若两车逐渐增加相同的线速度，A 车更容易侧滑，故D 正确。
故选D。
【变式训练2】如图所示为一辆厢式货车的后视图。该厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的
半径R＝8 m，车轮与路面间的最大径向摩擦力为车对路面压力的0.8 倍。货车内顶部用细线悬挂一个小球
P，在悬点O 处装有拉力传感器。车沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数F＝4 N。取重力加速度g＝
10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，车的最大速度vmax是多大？
(2)该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为
N，此时细线与竖直方向的夹角θ
是多大？货车的速度v′有多大？
【答案】(1)
；(2)37°；
【详解】（1）设货车的总质量为M，转弯时不发生侧滑有
解得
车的最大速度是
。
（2）货车匀速运动时
此次货车转弯时小球受绳的拉力
N，分析有
解得
由牛顿第二定律有
解得
考向2 火车转弯类问题
例2 钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目。图（a）是比赛中一名运动员通过滑行区某弯道时的照
片。假设可视为质点的运动员和车的总质量为m，其在弯道P 处做水平面内圆周运动可简化为图（b）所
示模型，车在P 处的速率为v，弯道表面与水平面成
角，此时车相对弯道无侧向滑动，不计摩擦阻力和
空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．在P 处车对弯道的压力大小为
B．在P 处运动员和车的向心加速度大小为
C．在P 处运动员和车做圆周运动的半径为
D．若雪车在更靠近轨道内侧的位置无侧滑通过该处弯道，则速率比原来大
【答案】C
【详解】A．对人和车受力分析，如图所示
根据几何关系可知
根据牛顿第三定律，车对弯道的压力大小为
，故A 错误；
BC．根据牛顿第二定律可得
解得
，
故C 正确，B 错误；
D．若人滑行的位置更加靠近轨道内侧，则圆周运动的半径减小，根据
可知，当圆周运动的半径减小，则其速率比原来小，故D 错误。
故选C。
【变式训练1·变考法】当驾车过弯道时，为防止侧滑，行驶速度不能过大。图1 为一弯道路段，其俯视图
如图2 所示，其中一中心线位于同一水平面内的圆弧形车道，半径r。一汽车沿该车道中心线做匀速圆周
运动，已知汽车轮胎与路面间的最大静摩擦力等于压力的k 倍。（计算时汽车可视为质点，且在该路段行
驶过程阻力不计，结果可用根式表示）
(1)若此弯道的路面设计成水平，求该汽车不发生侧滑的最大速度v1：
(2)若此弯道的路面设计成倾斜（外高内低），路基截面可简化为图3，路面与水平面夹角
，已知
：
①为使汽车转弯时与路面间恰好无摩擦，求它行驶的速度大小v2；
②假如k =0.6，r=99 米，当汽车的速度为v3=15m/s 时，汽车有没有受到侧向摩擦力作用？方向如何？
【答案】(1)
；(2)①
②汽车受到沿斜面向下的摩擦力
【详解】（1）摩擦力提供向心力
解得
（2）①如图所示
重力与支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
解得
②若没有摩擦力，重力与支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
代入数据解得
所以汽车受到沿斜面向下的摩擦力。
【变式训练2】(1)质量为2000kg 的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为14000N。汽
车经过半径为50m 的弯路时。如果车速达到72km/h。这辆车会不会发生侧滑？请通过计算说明。
(2)如图所示是场地自行车比赛的圆形赛道。路面与水平面的夹角为15°，不考虑空气阻力，g 取10m/s2。
为方便计算，取sin15°≈0.259=0.3，cos15°≈0.966=1。
①某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为60m，要使自行车不受摩擦力作用，其速
度应等于多少（结果保留根号）？
②若该运动员骑自行车以18m/s 的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动，自行车和运动员的质量一共是
100kg，此时自行车所受摩擦力的大小又是多少（结果保留整数）？方向如何？
【答案】(1)会侧滑，见解析；(2)①
；②
，沿斜面向下
【详解】（1）当汽车在水平面上以
做圆周运动，所需要的向心力
故汽车会发生侧滑；
（2）①设人和自行车的总质量为m，若不受摩擦力作用则由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿
第二定律可得
解得
②当自行车速为
此时重力和支持力的合力不足以提供向心力，斜面对人和自行车施加沿斜面向下的静摩擦力，其受力分析
如图所示
在y 轴方向，根据平衡条件可得
在x 轴方向，根据牛顿第二定律可得
联立解得
考向3 圆锥摆的临界和极值问题
例3 （2025·河北·模拟预测）如图所示，一质量
的小球C 用轻绳AC 和BC 系在竖直杆AB 上，
现在小球绕AB 杆匀速转动，轻绳伸直，OC 垂直于AB，此时
，
。已知轻绳AC 长
为1.0m，足够结实，轻绳BC 能承受的最大拉力为1.44N，小球C 可视为质点，g 取
，
，
。那么小球做圆周运动的角速度（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当轻绳AC 和BC 的拉力达到最大时，小球C 的角速度最大，在竖直方向，有
在水平方向，根据牛顿第二定律，有
解得
当轻绳BC 的拉力为零时，小球C 的角速度最小，在竖直方向，有
在水平方向，根据牛顿第二定律，有
解得
所以小球做圆周运动的角速度满足
故选A。
【变式训练1·变考法】（2025·河南·模拟预测）（多选）一根粗糙的轻杆OA 上端固定在竖直转轴上，轻
杆与竖直方向夹角始终为
，可以以某一角速度
绕竖直轴匀速转动。轻杆上套有轻质弹簧，弹簧一
端与轻杆端点O 拴接，一端与套在杆上的小球相连。弹簧原长为L，劲度系数
，小球质量为m，
在B 点相对于杆静止，
。小球和杆之间的动摩擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重
力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．若
，小球受到的摩擦力沿杆向上
B．无论角速度
多大，小球受到的摩擦力不可能沿杆向下
C．小球刚要与杆发生相对滑动时，小球所受的摩擦力大小为
D．小球与杆发生相对滑动时的临界角速度为
【答案】BD
【详解】A．由题知弹簧原长为L，在B 点相对于杆静止，
，根据胡克定律可得弹簧弹力
小球相对杆静止，若
，此时重力沿杆向下的分力
则小球受到的摩擦力
故A 错误；
B．当
时，小球有沿杆向下运动的趋势，摩擦力始终沿杆向上，故B 正确；
CD．小球与杆刚要发生相对滑动时，对小球受力分析，水平方向有
竖直方向有
又有
联立解得
，
故C 错误，D 正确。
故选BD。
【变式训练2】如图1 所示，一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小的速
度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥
摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。小球（可视为质点）质量为
，细线
长度为
，重力加速度为
。
(1)在紧贴着小球运动的水平面上加一光滑平板，使小球在板上做匀速圆周运动，此时细线与竖直方向所成
夹角为
，如图2 所示，当小球的角速度
大于某一值
时，小球将脱离平板，求
的大小；
(2)撤去光滑平板，再用一根细线，同样一端系在该小球上，另一端固定在细杆上的
点，且当两条细线均
伸直时，如图3 所示，各部分长度之比
，则当小球以
匀速转动时，两细
线对小球的拉力分别多大。
【答案】(1)
；(2)
，
【详解】（1）当平板对小球支持力为零时，小球恰好脱离平板，此时重力和绳子拉力的合力提供向心力，
根据牛顿第二定律得
解得
（2）当细线
恰好伸直时，由几何关系得，
与竖直方向所成夹角为37°，同理可得，此时小球的角
速度为
则
时细线
末伸直，即
设此时细线AC 与竖直方向的夹角为
，由上得
解得
根据平衡条件得
考向4 水平转盘上的圆周运动及其临界问题
例4 （2025·安徽芜湖·二模）如图所示静止的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物
体
和
，
的质量为
，
的质量为
。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为
，
，
A、B 与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
与圆盘一起绕中轴线由静止缓慢转
动且角速度不断增大；绳子出现张力时角速度为
，
与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为
。转动过程中轻绳未断，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当绳中开始出现张力时，摩擦力提供向心力且达到最大值，即
解得
当A、B 与圆盘一起绕中轴线匀速转动达到最大角速度ω2时，对B 有
对A 有
解得
则有
故选C。
【变式训练1·变考法】（2025·内蒙古包头·二模）如图所示，小木块a 和b（可视为质点）用轻绳连接置于
水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a 的质量为3m，b 的质量为m。它们分居圆心两侧，与
圆心的距离分别为r 和2r，a、b 与盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止
开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b 所受摩擦力大小分别为
随
变
化的图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当圆盘减速度较小时，两木块均由静摩擦力提供向心力，对a 物块有
对b 物块有
则b 物块受到的摩擦力较小，当角速度
时，b 物块所受摩擦力达最大值，则
此时a 物块所受摩擦力为
，即仍未达最大值；
此后随着圆盘角速度逐渐增大，b 物块所受摩擦力保持不变，a 物块所受摩擦力继续增大；当角速度
时，
a 物块所受摩擦力达最大值，设绳子拉力为
，对a、b 分别有
继续增大圆盘角速度，绳子拉力继续变大，b 物块所需向心力较小，所以b 物块所受摩擦力将逐渐减小至
零后反向再增大，此过程a 物块所受摩擦力为最大值保持不变。
故选C。
【变式训练2】（2025·河南·模拟预测）如图所示，半径为r3=5r 的圆形餐桌中心有一转盘，其半径为
r2=3r，可绕其中心轴转动。a、b 为两个相同的杯子，其中a 置于距中心轴r1=r 处，b 置于转盘边缘。两个
杯子与转盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，转盘厚度及转盘与
餐桌的间隙不计，餐桌始终保持静止，两个杯子均可视为质点，现缓慢增大转盘的角速度。
(1)求a、b 分别相对转盘刚发生滑动时转盘的角速度之比；
(2)b 相对转盘滑下后，恰不从餐桌边缘掉下，求杯子与桌面间的动摩擦因数μ'。
【答案】(1)
；(2)
【详解】（1）杯子相对转盘发生滑动时，根据摩擦力提供向心力可得
解得
即
、
相对转盘发生滑动时转盘的角速度之比为
（2）
相对转盘滑动
线速度与角速度的关系
b 沿切线滑到桌面上
由牛顿第二定律可得
解得b 沿切线滑到桌面上的加速度大小为
结合运动学公式
解得
联立可得
考向5 竖直面内圆周运动的“绳”模型
例5 （2025·辽宁鞍山·二模）如图所示，轻质绳一端固定在天花板上，另一端栓接一个小球，小球在水
平力
的作用下静止，此时轻绳与竖直方向的夹角为
，绳中的拉力大小为
。撤掉
，小球摆动至右
侧最高点处时，绳中拉力的大小为
，不计一切阻力。则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】小球在水平力
的作用下静止，根据平衡条件可得
撤掉
，小球摆动至右侧最高点处时，沿半径方向速度为零，向心力为零，由平衡条件可得
解得
故选C。
【变式训练1·变考法】 （2025·四川达州·二模）2025 年春节联欢晚会上最大的亮点莫过于机器人和真人
一起跳舞，也标志中国的人形机器人处于国际领先水平。如图为机器人在竖直平面上转动手帕的情景，已
知手帕直径约为40cm。要想把该手帕在竖直平面内以帕中心为转轴转动起来，重力加速度g 取10m/s²，则
需提供的最小转速约为（ ）
A．0.61r/s
B．0.79r/s
C．1.12r/s
D．2.50r/s
【答案】C
【详解】选取手帕边缘的一个质量为m 的质点为研究对象，则要想经过最高点则需满足
解得
故选C。
【变式训练2】（2025·福建福州·一模）《水流星》是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着里
面倒上水的两个碗，迅速地旋转着绳子做各种精彩表演，即使碗底朝上，碗里的水也不会洒出来。假设水
的质量为m，绳子长度为L，重力加速度为g，不计空气阻力。绳子的长度远远大于碗口直径。杂技演员手
拿绳子的中点，让碗在空中旋转。
(1)两碗在竖直平面内做圆周运动，若碗通过最高点时，水对碗的压力等于mg，求碗通过最高点时的线速
度；
(2)若两只碗在竖直平面内做圆周运动，两碗的线速度大小始终相等，如图甲所示，当正上方碗内的水恰好
不流出来时，求正下方碗内的水对碗的压力；
(3)若两只碗绕着同一点在水平面内做匀速圆周运动，碗的质量为M。如图乙所示，已知绳与竖直方向的夹
角为
，求碗和水转动的角速度大小。
【答案】(1)
；(2)2mg，方向竖直向下；(3)
【详解】（1）碗通过最高点时，水对碗的压力等于mg，根据牛顿第二定律可得
其中
，
解得
（2）当正上方碗内的水恰好不流出来时，设速度为
，此时重力提供向心力，则
设最低点碗对水的支持力为
，则有
解得
由牛顿第三定律可知，正下方碗内的水对碗的压力为2mg，方向竖直向下。
（3）绳子的拉力为F，以碗和水为整体，竖直方向有
水平方向上根据牛顿第二定律可得
又
联立解得
考向6 竖直面内圆周运动的“杆”模型
例6 （2025·辽宁·三模）如图所示，有一质量为m 的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大
于小球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C 为管道的最高点和最低点，B 为管道上与圆心等
高的点，D 为管道上的一点，且D 与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是
（ ）
A．若小球在A 点的速度大小为
，则外侧管壁对小球有作用力
B．若小球在B 点的速度大小为
，则内侧管壁对小球有作用力
C．若小球在C 点的速度大小为
，则小球对管道的内外壁均无作用力
D．若小球在D 点的速度大小为
，则外侧管壁对小球有作用力
【答案】D
【详解】A．若小球在A 点的速度大小为
，则小球在A 点只受重力，管壁对小球无作用力，故A 错误；
B．在B 点，外侧管壁对小球的作用力提供小球做圆周运动的向心力，且有
故B 错误；
C．在C 点，小球受向下的重力和竖直向上的弹力，该弹力为外壁对小球的作用力，且有
解得
故C 错误；
D．在D 点时，若只受重力，则
解得
由于
，故外侧管壁对小球有指向圆心的作用力，故D 正确。
故选D。
【变式训练1·变考法】（2025·内蒙古赤峰·三模）（多选）机器人扭秧歌成了2025 年年初的头条热点，
机器人的3 分钟表演让国内外都为之震撼。如图机器人转动的手绢好像 “死死地” 黏在机器人的手上一
样。此情景可以简化为长为
的轻杆一端固定在水平转轴上的
点，另一端固定一质量为
的小球，
在竖直平面内做角速度为
的匀速圆周运动，重力加速度为
。下列说法正确的是（ ）
A．小球转到最低点D 时， 轻杆对小球的弹力的大小一定大于重力
B．小球转到最高点C 时，轻杆对小球的弹力的大小一定大于重力
C．小球在最左端
时，轻杆对小球的作用力的大小为
D．小球在最右端
时，轻杆对小球的作用力的大小为
【答案】AD
【详解】A．小球转到最低点D 时，其合力指向圆心方向，故轻杆对小球的弹力的大小一定大于重力，故
A 正确；
B．小球转到最高点C 时速度为
，可知此时轻杆对小球的弹力的大小为0，小于其重力，故B 错误；
CD．小球在最左端
或最右端B 时，小球受重力和轻杆对小球的作用力而做匀速圆周运动，合力指向圆
心方向，根据平行四边形定则，可知轻杆对小球的作用力的大小为
故C 错误，D 正确。
故选AD。
【变式训练2】（2025·江西景德镇·三模）如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和
B，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球
B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g。则球B 在最高点时
（ ）
A．球B 的速度为零
B．球A 的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为mg
D．水平转轴对杆的作用力为2mg
【答案】B
【详解】A．球B 运动到最高点时，球B 对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有
解得
故A 错误；
B．由于A、B 两球的角速度相等，由v=ωr
得球A 的速度大小为
故B 正确；
CD．杆对A 球的作用力
则
B 球到最高点时，对杆无弹力，所以水平转轴对杆的作用力为1.5mg，CD 错误。
故选B。
考点四 斜面上圆周运动的分析
知识点一 斜面上圆周运动的分析
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制(图甲)、轻绳控制(图乙)、轻杆控制
(图丙)，物体的受力情况和临界条件也不相同。
由于重力沿斜面的分力，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类
似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还
要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动
摩擦力。
考向1 静摩擦力作用下斜面上的圆周运动
例1（2025·山东临沂·三模）游乐场里有一个半径为5m 的倾斜匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30°，圆
盘可绕过圆盘圆心O 且垂直于盘面的固定对称轴以1rad/s 的角速度匀速转动，如图所示。一个小孩（可视
为质点）坐在盘面上距O 点距离r 处，小孩与盘面间的动摩擦因数为
，已知最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，g 取10m/s²。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则距离r 的可能取值范围为（ ）
A．0<r≤2.5m
B．1m≤r≤3.5m
C．2.5m≤r≤4m
D．2.5m≤r≤5m
【答案】A
【详解】当小物体转到圆盘的最低点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，设半径为
，
根据牛顿第二定律有
解得
当小物体转到圆盘的最高点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大时，设半径为
，根据牛顿
第二定律有
解得
可知
，故
不符合要求。
故距离r 的可能取值范围为
故选A。
【变式训练1·变载体】（多选）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心
且与盘面垂直的转轴以角速度
匀速转动，
盘面有一可视为质点的物块随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块的质量为0.1kg，物块到转轴的距离为
0.5m，物块与盘面的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面夹角
，重力
加速度
。下列说法正确的是（ ）
A．角速度
的最大值为
B．运动过程中摩擦力方向始终通过圆盘中心
C．
越大物块在最高点受到的摩擦力一定越大
D．物块在最高点受到的摩擦力最小值为0.25N
【答案】AD
【详解】A．小物块在最低点即将滑动时，由牛顿第二定律有μmgcos30°-mgsin30°=mω2
maxr
代入数据解得角速度的最大值
，选项A 正确；
B．由于做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，除掉最高点和最低点外其他位置摩擦力方向均不通过
圆盘中心，故B 错误；
C．小物块在最高点不受摩擦力，根据牛顿第二定律有
解得小物块在最高点不受摩擦力时的角速度
则在最高点当
时
越大物块在最高点受到的摩擦力一定越小；当
时
越大物块在最高点受到
的摩擦力一定越大，选项C 错误；
D．由于物体与圆盘相对静止，故角速度最大值
，则在最高点时摩擦力最小值为
解得
，故D 正确；
故选AD。
【变式训练2】一个“L”形支架固定在水平转台上，如图所示，支架两边与水平面的夹角分别为
和
，
且
。转台绕过支架顶点
的竖直轴线以角速度
匀速转动，两个小物块
、
随支架转动且与支架
相对静止。已知
、
距离水平转台的高度相同，下列说法正确的是（ ）
A．物块
、
的向心加速度大小相等
B．物块
、
受到的摩擦力不可能同时为零
C．当物块
受到的摩擦力为零时，
受到的摩擦力一定沿支架右边平面向下
D．若物块
受到的摩擦力为零时，
受到的摩擦力一定沿支架左边平面向下
【答案】BC
【详解】A．由
依题意
相同，
解得
，A 错误；
B．如图所示，若物块A 恰好不受摩擦力作用，由牛顿第二定律
有
设物块
、
距离水平转台的高度为
有
解得
若物块B 恰好不受摩擦力作用
同理可得
依题意
解得
故物块
、
受到的摩擦力不可能同时为零，B 正确；
C．由前面分析可知，当物块A 恰好不受摩擦力作用时，转台的角速度为
当物块B 恰好不受摩擦力作用时，转台的角速度为
因为
有
由
得当物块
受到的摩擦力为零时，物块
需要的向心力大于重力、支持力能提供的合力，物块B 有沿斜面
向上滑的趋势，故
受到的摩擦力一定沿支架右边平面向下，C 正确；
D．由前面分析可知，当物块
受到的摩擦力为零，由
，物块A 需要的向心力小于重力、支持力能
提供的合力，物块A 有沿斜面向下滑的趋势，故
受到的摩擦力一定沿支架左边平面向上，D 错误。
故选BC。
考向2 轻绳作用下斜面上的圆周运动
例2 （2025·四川遂宁·二模）如图甲所示，倾角为
的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质
点的质量为
的小球相连，另一端穿入小孔
与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细
线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔
的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行
于斜面向上的初速度
，此后传感器记录细线拉力
的大小随细线扫过角度
的变化图像如图乙所示，图
中
已知，小球到
点距离为，重力加速度为
，则下列说法不正确的是（ ）
A．小球位于初始位置时的加速度为
B．小球通过最高点时速度为
C．小球通过最高点时速度为
D．小球通过最低点时速度为
【答案】A
【详解】A．位于初始位置时的向心加速度大小为
沿斜面向下的加速度大小为
根据平行四边形定则知，则小球位于初始位置时的加速度大于
，故A 错误，满足题意要求；
B．由图乙可知，小球通过最高点时细线的拉力最小，为零，则有
解得小球通过最高点时的速度
故B 正确，不满足题意要求；
C．小球在初始位置时，有
则小球通过最高点时的速度
故C 正确，不满足题意要求；
D．小球通过最低点时，细线的拉力最大，根据牛顿第二定律有
联立解得小球通过最低点的速度为
故D 正确，不满足题意要求。
故选A。
【变式训练1·变考法】如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面ABCD 是边长为d=3.2m
的正方形，在其中心O 处用长为L=0.6m 的轻绳悬挂一可视为质点的小球，使小球静止。现给小球一个垂
直于绳方向的初速度
，小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。取重力加速度g=10m/s2。求：
(1)
的大小；
(2)若小球沿斜面向上运动到与O 点等高时，剪断轻绳，从剪断轻绳到小球离开斜面所用的时间。
【答案】(1)
；(2)
【详解】（1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，当小球恰过最高点时，由牛顿第二定律得
小球从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得
联立解得
（2）小球从最低点运动到与O 点等高处的过程中，由动能定理得
解得
剪断轻绳后，小球沿斜面向上做匀减速直线运动，设小球向上运动的最大位移为x，根据运动学公式可得
由牛顿第二定律得
联立解得
由于
，因此小球不会从CD 边离开斜面。剪断轻绳后，小球先沿斜面向上做匀减速直线运
动，然后向下做匀加速直线运动。小球向上运动的过程中，由匀变速直线运动的规律得
解得
小球向下运动的过程中，由匀变速直线运动的规律得
解得
从剪断轻绳到小球离开斜面所用的时间为
【变式训练2】（2025·广西南宁·二模）（多选）如图所示，长为
的细绳一端固定在倾角为
的光滑斜面
上的
点，另一端拴接质量为
的小球（可视为质点）。小球在斜面上绕
点做圆周运动，到最高点
时
细绳拉力恰好为零。重力加速度为
。则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最低点
时，细绳的拉力大小为
B．小球运动到最低点
时，细绳的拉力大小为
C．小球运动到与圆心等高的位置时，速度大小为
D．小球运动到与圆心等高的位置时，速度大小为
【答案】AD
【详解】AB．小球到最高点P 时细绳拉力恰好为零，根据牛顿第二定律有
小球从最高点运动到最低点Q 的过程由动能定理有
小球运动到最低点Q 时，由牛顿第二定律有
解得
故A 正确，B 错误；
CD．小球从最高点运动到与圆心等高的过程由动能定理有
代入数据可得
故C 错误，D 正确。
故选AD。
考点五 圆周运动与图像结合问题
考向1 水平面内圆周运动与图像结合问题
例1（2025·安徽合肥·模拟预测）当做圆周运动的物体角速度
变化时，我们可以引用角加速度
来描述
角速度
的变化快慢，即
。图甲中某转盘自
时由静止开始转动，其前4s 内角加速度
随时间
变化如图乙所示。则（ ）
A．
时刻，
B．
时刻，
C．0~1s 过程中，圆盘转过的角度
D．0~1s 过程中，圆盘边缘的某质点所需向心力随时间正比例增加
【答案】B
【详解】A．由角加速度
定义可知，β-t 图像面积大小为角速度ω 的增加量，得t=1s 时刻的角速度
ω1=2.5rad/s，故A 错误；
B．t=3s 时刻，ω3=17.5rad/s，故B 正确；
C．0~1s 过程中，平均角速度
，转过的角度
，故C 错误；
D．由牛顿第二定律可知
设0~1s 过程中图线斜率为k，有
即有Fn∝t4，故D 错误。
故选B。
【变式训练1·变载体】（多选）如图甲所示，两个完全一样的小木块a 和b（可视为质点）用轻绳连接置
于水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对
静止。ω 表示圆盘转动的角速度，a、b 与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关
系，图中f2= 3f1，下列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体b
B．绳长为2l
C．
D．ω = ω2时绳上张力大小为
【答案】ABD
【详解】A．根据图像刚开始为过原点的直线，可得开始时有
f = mω2r
则刚开始时绳子无拉力，摩擦力提供各自的向心力为
，
因为
，所以有
则图线（1）对应物体b，A 正确；
B．当
时，对物体ab 有
，
，
可得
解得
所以绳子长度为
B 正确；
CD．当
时，对b 有
得
当
时，设此时绳子拉力为
，对物体ab 有
，
联立解得
，
C 错误，D 正确。
故选ABD。
【变式训练2】如图甲所示，三个物体A、B 和C 放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接A、B
和B、C．物块A、B、C 与圆心距离分别为rA、rB和rC，已知
，
，物块A、B、C 与圆盘
间的动摩擦因数均为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度ω 绕轴OO＇匀速转
动时，A、B 之间绳中弹力
和B、C 之间绳中弹力
随
的变化关系如图乙所示，取
，下列
说法正确的是（ ）
A．物体A 的质量
B．物体C 与圆心距离
C．当角速度为1rad/s 时，圆盘对B 的静摩擦力大小为0.5N
D．当角速度为
时，A、B 即将与圆盘发生滑动
【答案】D
【详解】A．根据题中条件无法求出A 的质量，A 错误；
B．由图乙可知，B、C 绳中先出现弹力，根据
当
时
当
时
代入数据解得
B 错误；
C．当角速度为1rad/s 时
由图可知
B、C 间绳的拉力均为1N，对B 只有摩擦力提供向心力，有
选项C 错误；
D．根据题图可得
A、B 即将与圆盘发生滑动时，满足
代入
、
可得
解得
D 正确。
故选D。
考向2 竖直面内圆周运动与图像结合问题
例2（2025·江苏宿迁·三模）如图所示，不可伸长的细线一端固定，另一端系一小球，小球从与悬点等高
处由静止释放后做圆周运动，不计空气阻力。小球从释放向最低点运动的过程中，设细线与水平方向夹角
为θ，则线中拉力的大小F、小球沿圆弧切线方向加速度的大小a 随sinθ 变化的图像可能正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】CD．沿切线方向，根据牛顿第二定律得
解得
当细线水平时
，
，加速度a 最大，最大值为
当细线竖直时
，
，加速度a 最小，最小值为
CD 错误；
AB．沿半径方向，根据牛顿第二定律得
根据机械能守恒定律得
解得
A 正确，B 错误。
故选A。
【变式训练1·变载体】（2025·福建厦门·三模）（多选）如图甲所示，轻杆的一端固定一小球（可视为质
点），另一端套在光滑的水平轴O 上，水平轴的正上方有一速度传感器（图中未画出），可以测量小球通
过最高点时的速度大小v，水平轴O 处有一力传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时水平轴
受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F 的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F﹣v2（v 为
小球在最高点时的速度）图像如图乙所示，取重力加速度大小g＝10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为10kg
B．轻杆的长度为1.8m
C．若小球通过最高点时的速度大小为3.6m/s，则轻杆对小球的作用力大小为6.4N
D．若小球通过最高点时的速度大小为6m/s，则小球受到的合力为10N
【答案】CD
【详解】AB．设杆的长度为L，水平轴受到的杆的作用力F 与杆对小球的作用力大小相等、方向相反，因
此对小球受力分析则有
整理可得
对比题图乙可知m＝1kg，L＝3.6m
AB 错误；
CD．当v＝3.6m/s 时，代入上式得F＝6.4N，即杆对小球的作用力大小为6.4N，若小球通过最高点时的速
度大小为6m/s，则小球受到的合力
CD 正确。
故选CD。
【变式训练2】（2025·云南·模拟预测）（多选）竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC（图甲），B 点
为AC 轨道的中点，小球以一定的初速度从最低点A 冲上轨道，小球在半圆形轨道上从A 运动到C 的过程
中，其速度的平方与对应高度的关系图象如图乙。已知小球在最高点C 受到轨道的弹力为
，不计空气
阻力，
，则（ ）
A．图乙中
B．小球质量为
C．小球在B 点所受合力等于
D．小球在B 点所受合力大于
【答案】BD
【详解】A．由机械能守恒定律
解得
由图乙可知，当
时，
代入上式，得
又当
时，
，即
，故A 错误；
B．由题图乙可知，轨道半径
，小球在C 点的速度
，由牛顿第二定律可得
解得
故B 正确；
C D．小球从A 到B 过程中由机械能守恒有
在B 点，
代入数据得
由于小球还受重力作用，小球在B 点所受合力大于 26 N，故C 错误，D 正确。
故选BD。
1．（2025·山东·高考真题）某同学用不可伸长的细线系一个质量为
的发光小球，让小球在竖直面内
绕一固定点做半径为
的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为
。由于
小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径
的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的
拉力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意可知在曝光时间内小球运动的长度为
近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有
在最低点根据牛顿第二定律有
代入数据解得T=7N
故选C。
2．（2025·安徽·高考真题）在竖直平面内，质点M 绕定点O 沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N 沿竖
直方向做直线运动，M、N 在运动过程中始终处于同一高度。
时，M、N 与O 点位于同一直线上，如
图所示。此后在M 运动一周的过程中，N 运动的速度v 随时间t 变化的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为M、N 在运动过程中始终处于同一高度，所以N 的速度
与M 在竖直方向的分速度
大小
相等，
设M 做匀速圆周运动的角速度为
，半径为r，其竖直方向分速度
即
则D 正确，ABC 错误。
故选D。
3．（2023·全国甲卷·高考真题）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n 次方成正比，
运动周期与轨道半径成反比，则n 等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】质点做匀速圆周运动，根据题意设周期
合外力等于向心力，根据
联立可得
其中
为常数，的指数为3，故题中
故选C。
4．（2024·江苏·高考真题）如图所示，轻绳的一端拴一个蜂鸣器，另一端穿过竖直管握在手中。蜂鸣器在
水平面
内做匀速圆周运动，缓慢下拉绳子，使蜂鸣器升高到水平面
内继续做匀速圆周运动。不计空气
阻力和摩擦力，与升高前相比，蜂鸣器（ ）
A．角速度不变
B．线速度减小
C．向心加速度增大
D．所受拉力大小不变
【答案】C
【详解】设绳子与竖直方向夹角为θ，小球做圆周运动的半径为r，小球质量为m。
CD．对小球分析有
，
根据a、b 两个位置可知，b 位置更高，则θb > θa，代入上式，故此
FTb > FTa，anb > ana
故C 正确、D 错误；
AB．根据
ma = mωr2
可有
ωb > ωa
线速度大小无法判断，故AB 错误。
故选C。
5．（2025·广东·高考真题）（多选）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速
圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R 为
，小球所在位置处的切面与水平面夹角
为
，小球
质量为
，重力加速度g 取
。关于该小球，下列说法正确的有（ ）
A．角速度为
B．线速度大小为
C．向心加速度大小为
D．所受支持力大小为
【答案】AC
【详解】A．对小球受力分析可知
解得
故A 正确；
B．线速度大小为
故B 错误；
C．向心加速度大小为
故C 正确；
D．所受支持力大小为
故D 错误。
故选AC。
6．（2024·海南·高考真题）水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图（a）所示，图（b）为
俯视图，测得圆盘直径D = 42.02cm，圆柱体质量m = 30.0g，圆盘绕过盘心O 的竖直轴匀速转动，转动
时小圆柱体相对圆盘静止。
为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了如下实验步骤：
(1)用秒表测圆盘转动10 周所用的时间t = 62.8s，则圆盘转动的角速度ω = rad/s（π 取3.14）
(2)用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径，某次测量的示数如图（c）所示，该读数d = mm，多
次测量后，得到平均值恰好与d 相等。
(3)写出小圆柱体所需向心力表达式F = （用D、m、ω、d 表示），其大小为 N（保留2 位有效
数字）
【答案】(1)1；(2)16.2；(3)
6.1 × 10－3
【详解】（1）圆盘转动10 周所用的时间t = 62.8s，则圆盘转动的周期为
根据角速度与周期的关系有
（2）根据游标卡尺的读数规则有
1.6cm＋2 × 0.1mm = 16.2mm
（3）[1]小圆柱体做圆周运动的半径为
则小圆柱体所需向心力表达式
[2]带入数据有
F = 6.1 × 10－3N
7．（2023·江苏·高考真题）“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m 的发光物体放在半径为r 的
碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A 点做匀速圆周运动。当角
速度为
时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小
和受到的静摩擦力大小f。
【答案】
；
【详解】发光体的速度
发光体做匀速圆周运动，则静摩擦力充当做圆周运动的向心力，则静摩擦力大小为
8．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图
（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O 点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘
A 处固定连接一轻绳，轻绳另一端B 连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相
等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度
匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O 点做半
径为
的匀速圆周运动。求
与
之间夹角
的正切值。
（2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕
点做半径为
的匀
速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为
，绳子在水平雪地上的投影
与
的夹角为
。求此时圆盘
的角速度
。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线
方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得
联立解得
（2）设此时轻绳拉力为
，沿
和垂直
竖直向上的分力分别为
，
对转椅根据牛顿第二定律得
沿切线方向
竖直方向
联立解得
