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第23 讲 圆周运动的临界问题
核心考点
考点一 水平面内圆周运动的临界问题........................................................................................1
考点二 竖直面内圆周运动的临界问题........................................................................................7
考点三 斜面上圆周运动的临界问题..........................................................................................15
考点一 水平面内圆周运动的临界问题
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝mv
2
r ，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个
恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩
擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
【例1】（2025·河南·模拟预测）如图所示，半径为r3=5r 的圆形餐桌中心有一转盘，其半径
为r2=3r，可绕其中心轴转动。a、b 为两个相同的杯子，其中a 置于距中心轴r1=r 处，b 置于
转盘边缘。两个杯子与转盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加
速度为g，转盘厚度及转盘与餐桌的间隙不计，餐桌始终保持静止，两个杯子均可视为质点，
现缓慢增大转盘的角速度。
(1)求a、b 分别相对转盘刚发生滑动时转盘的角速度之比；
基础过关
(2)b 相对转盘滑下后，恰不从餐桌边缘掉下，求杯子与桌面间的动摩擦因数μ'。
【例2】（2025·内蒙古包头·二模）如图所示，小木块a 和b（可视为质点）用轻绳连接置于
水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a 的质量为3m，b 的质量为m。它们分居
圆心两侧，与圆心的距离分别为r 和2r，a、b 与盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于
滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，
a、b 所受摩擦力大小分别为
随
变化的图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】（2025·陕西商洛·二模）如图所示，光滑水平面上固定一光滑竖直硬杆，一原长
L=1m、劲度系数k=20N/m 的轻质弹簧套在杆上，弹簧下端固定在水平面上。质量均为
m=0.5kg 的小球a、b，固定在长L=1m 的轻质细杆的两端，其中有小孔的a 球套在杆上，b 球
放置在水平面上。给小球b 以不同的角速度ω，使其绕竖直杆做匀速圆周运动。重力加速度g
取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹力随角速度ω 的增大而增大
B．轻质细杆的弹力与ω2成正比
C．当ω=5rad/s 时，弹簧的弹力大小为10N
D．当ω 分别为
和
时，a、b 小球及弹簧构成的系统机械能之差
大于3J
【例4】（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图甲所示，绕着竖直转轴转动的水平转盘上放有质量
为
的斜面体，斜面体上放有一物块，物块质量也为
。某时刻转盘开始转动，角速度从零
缓慢增大到
，斜面体和物块始终与转盘保持相对静止，斜面体到转轴的水平距离为
，物
块到转轴的水平距离为
，均远大于物块和斜面体的尺寸，如图乙所示，下列说法正确的是
（ ）
A．转盘对斜面体的摩擦力始终背向转轴
B．斜面体对转盘的压力小于
C．当转盘角速度为
时，斜面体所受圆盘的摩擦力小于
D．物块所受斜面体的摩擦力沿斜面向上，并一直增大
【例5】（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，两完全相同的滑块P、Q 用长为L 的轻绳拴
接，轻绳刚好拉直，放在水平的圆形转台上，转台的圆心O 与P、Q 在同一条直线上，
，两滑块的质量均为m，与转台间的动摩擦因数为μ。现让转台的角速度从0 逐渐增
加，当角速度为ω1时，Q 所受的摩擦力达到最大静摩擦力，当角速度为ω2时，滑块刚好相对
转台滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两滑块均视为质点，重力加速度为g。下列
说法正确的是（ ）
A．滑块P、Q 所受的摩擦力大小之比始终等于1 3∶
B．
C．
D．转台的角速度为
时，轻绳的拉力大小为
1．解决临界问题的注意事项
(1)先确定研究对象受力情况，看哪些力提供向心力，哪些力可能突变引起临界问题。
(2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随转盘转速的变化而发生的变化。
(3)关注临界状态，即静摩擦力达到最大值时。物体随转盘转动，静摩擦力提供向心力，
随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应
的角速度为临界角速度。
考点二 竖直面内圆周运动的临界问题
1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)
合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。
2.在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分力提
供向心力，只改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。
3.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理
或能量守恒解题。
4.竖直面内圆周运动的两类模型
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
小球最高点没有支撑
小球最高点有支撑
最高点受力特征
除重力外，物体受到的弹
除重力外，物体受到的弹力方
精讲考点
基础过关
力方向：向下或等于零
向：向下、等于零或向上
最高点受力示意图
动力学方程
mg＋F 弹＝mv
2
R
mg±F 弹＝mv
2
R
临界特征
F 弹＝0
mg＝mvmin
2
R
即vmin＝❑√gR
①恰好过最高点，v＝0，F 弹
＝mg
②恰好无弹力，F 弹＝0，v＝
❑√gR
过最高点的条件
在最高点的速度
v≥❑√gR
v≥0
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要
的向心力。
【例6】（2025·湖北武汉·三模）如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管（管
道内径极小），一质量为m 的小球放置于管内顶端A 点，其直径略小于管道内径。现给小球
一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B 点与管道的圆心O 等高，C 点是管道的最低
点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是（ ）
A．小球不可能回到A 点
B．小球对细管的作用力不可能为零
C．从A 点运动到C 点，小球对细管的作用力一直增大
D．从A 点运动到B 点，小球对细管的作用力先减小后增大
【例7】（2025·山东济南·二模）如图所示，竖直圆形光滑轨道固定在水平地面上，右侧为管
状结构，左侧为单层，外圆半径为R。将质量为m 的小球置于轨道最高点，给小球一个轻微
的扰动，让小球从右侧由静止滑下。已知管的内径略大于小球直径，且远小于外圆半径，重
力加速度为g。关于小球的运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球一定能够回到轨道最高点
B．小球运动过程中对轨道的最大压力为6mg
C．小球脱离轨道时的速度大小为
D．小球脱离轨道时离地面的高度为
【例8】（2024·安徽·一模）为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建用于滑板训练
的场地。老师和同学们围绕物体在起伏地面上的运动问题，讨论并设计了如图所示的路面，
其中AB 是倾角为53°的斜面，凹圆弧
和凸圆弧
的半径均为R，且D、F 两点处于
同一高度，B、E 两点处于另一高度，整个路面无摩擦且各段之间平滑连接。在斜面AB 上距
离水平面BE 高度为h（未知量）的地方放置一个质量为m 的小球（可视为质点），让它由静
止开始运动。已知重力加速度为g，取
，
。
(1)当
时，求小球经过最低点C 时，路面受到的压力大小FN'；
(2)若小球一定能沿路面运动到F 点，求h 的取值范围；
(3)在某次试验中，小球运动到
段的G 点时，重力功率出现了极大值，已知该点路面倾角
，求h 的值。
【例9】（2025·陕西渭南·三模）如图甲，光滑圆轨道固定在竖直面内，小球沿轨道始终做完
整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N，动能为Ek。改变小球在最低点
的动能，小球对轨道压力N 的大小随之改变。小球的N-Ek图线如图乙，其左端点坐标为（①，
②），其延长线与坐标轴的交点分别为（0，a）、（-b，0）。重力加速度为g，则下列说法
正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．圆轨道的半径为
C．图乙①处应为3b
D．图乙②处应为6a
【例10】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图所示为一游戏装置的竖直截面图，A、B、D、E、
H、I 处于同一水平面上，在A 端的弹簧装置能将质量
的滑块（可视为质点）水平
弹出，并从B 点顺利进入曲线轨道BC、半径
的螺旋圆轨道
、曲线轨道
，
在E 点连接了倾角
的斜面EF 和水平平台FG，平台FG 高度
、长度
，质量
的小车靠在平台右侧且上表面与平台FG 齐平，小车的长度
，在B、F 处均设置了转向防脱离轨道装置。已知滑块与斜面EF、平台FG 间的动摩
擦因数均为
，滑块与小车上表面间的动摩擦因数
，其余部分均光滑，各处
平滑连接，不计空气阻力，
，
。求：
(1)若滑块经过D 点的速度大小
，则此时滑块对轨道的压力大小；
(2)若螺旋圆轨道
能承受的最大压力
，则弹簧储存的最大弹性势能；
(3)若要求滑块最终停在小车上，则小车获得的动能和弹簧储存的弹性势能
之间应满足的
关系式。
1．分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
考点三 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力
大小相等。
物体在转动过程中，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝
mω2R。
【例11】（2025·河北·模拟预测）如图甲所示，倾角为
的光滑斜面固定在水平地面上，细
线一端与质量为m、可看成质点的小球相连，另一端穿入小孔O 与力传感器（位于斜面体内
部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及小球走过的路程s。初始时，细线水平，小球位
于小孔O 的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度
，此后传感器记录
细线拉力T 的大小随小球走过的路程s 的变化图像如图乙所示，小球到O 点距离为L，重力
加速度为g。下列说法正确的是（ ）
精讲考点
基础过关
A．小球通过最高点时速度为
B．小球位于初始位置时加速度的大小为
C．小球通过最低点时速度为
D．细线拉力最大值为
【例12】（2025·山东临沂·三模）游乐场里有一个半径为5m 的倾斜匀质圆盘，盘面与水平面
的夹角为30°，圆盘可绕过圆盘圆心O 且垂直于盘面的固定对称轴以1rad/s 的角速度匀速转动，
如图所示。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距O 点距离r 处，小孩与盘面间的动摩擦因
数为
，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s²。要保证小孩与圆盘始终保持相对
静止，则距离r 的可能取值范围为（ ）
A．0<r≤2.5m
B．1m≤r≤3.5m
C．2.5m≤r≤4m
D．2.5m≤r≤5m
【例13】（2025·云南昆明·一模）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面
ABCD 是边长为d=3.2m 的正方形，在其中心O 处用长为L=0.6m 的轻绳悬挂一可视为质点的
小球，使小球静止。现给小球一个垂直于绳方向的初速度
，小球恰好能在斜面上做完整的
圆周运动。取重力加速度g=10m/s2。求：
(1)
的大小；
(2)若小球沿斜面向上运动到与O 点等高时，剪断轻绳，从剪断轻绳到小球离开斜面所用的时
间。
【例14】（2023 高三·全国·专题练习）如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面
上，斜劈上表面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O 点，另一端系一小球。在图示位置垂
直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O 点到小球球心的距离为
l，重力加速度为g，整个过程中斜劈静止，下列说法正确的是（ ）
A．小球在顶端时，速度大小为
B．小球在底端时，速度大小为
C．小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变
D．小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
【例15】（2025·四川遂宁·二模）如图甲所示，倾角为
的光滑斜面固定在水平地面上，细
线一端与可看成质点的质量为
的小球相连，另一端穿入小孔
与力传感器（位于斜面体内
部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小
孔
的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度
，此后传感器记录细线
拉力
的大小随细线扫过角度
的变化图像如图乙所示，图中
已知，小球到
点距离为，
重力加速度为
，则下列说法不正确的是（ ）
A．小球位于初始位置时的加速度为
B．小球通过最高点时速度为
C．小球通过最高点时速度为
D．小球通过最低点时速度为
1．题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、
绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
2．解题关键——重力的分解和视图
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持
力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
精讲考点
