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第21 课时 专题强化：圆周运动的临界问题
目标要求 1.会分析水平面内、竖直面内及倾斜面内物体做圆周运动的向心力来源及动力学问题。2.掌握
分析判断临界问题的方法。
考点一 水平面内圆周运动的临界问题
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝m v
2
r
，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动
的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心
和沿半径指向圆心。
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
例1 (2024·江苏卷·8)生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处
处相同(台面足够大)，则( )
A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大
B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小
C.陶屑只能分布在圆台边缘
D.陶屑只能分布在某一半径的圆内
例2 (多选)如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO'的
距离为l，b 与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大
小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω 表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A.b 一定比a 先开始滑动
B.a、b 所受的摩擦力始终相等
C.ω＝√
kg
2l 是b 开始滑动的临界角速度
1
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D.当ω＝√
2kg
3l 时，a 所受摩擦力的大小为kmg
例3 (多选)(2024·山东临沂市质检)质量为m 的小球(视为质点)由轻绳a 和b 分别系于一轻质细杆的A
点和B 点，如图所示，当轻杆绕轴以角速度ω 匀速转动时，a 绳与水平方向成θ 角，b 绳在水平方向上
且长为l。重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.a 绳的弹力随角速度的增大而增大
B.当角速度ω>√
g
l tanθ 时，b 绳中产生弹力
C.当b 绳中产生弹力后，角速度再增大时a 绳的弹力不变
D.当b 绳突然被剪断时，a 绳的弹力一定发生变化
物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，
进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线
速度从小逐渐增大，分析各物理量的变化，找出临界状态。
考点二 竖直面内圆周运动的临界问题
1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向
圆心，其他位置合外力不指向圆心。
2.在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分力提供向心力，只
改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。
3.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理或能量守恒解
题。
4.竖直面内圆周运动的两类模型
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
小球最高点没有支撑
小球最高点有支撑
最高点
受力特征
除重力外，物体受到的弹力方
向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向：
向下、等于零或向上
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最高点受
力示意图
动力学
方程
mg+F 弹＝mv
2
R
mg±F 弹＝mv
2
R
临界特征
F 弹＝0
mg＝mvmin
2
R
即vmin＝√gR
①恰好过最高点，v＝0，F 弹＝mg
②恰好无弹力，F 弹＝0，v＝√gR
过最高点
的条件
在最高点的速度
v≥√gR
v≥0
例4 (多选)(2025·山东德州市校考)如图所示，一质量为m＝0.5 kg 的小球(可视为质点)，用长为0.4 m
的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，重力加速度g 取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s
B.当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力大小为15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4√2 m/s
D.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
例5 (多选)(2025·山东烟台市校考)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球
直径略小于管道的尺寸，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点时的最小速度vmin＝√g( R+r )
B.小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
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思考 如图，固定在水平面上的光滑半圆柱体(截面为半圆)顶端A 处，小滑块从静止开始沿半圆面下滑
至P 点(图中未画出)离开圆面，已知圆半径为R，求P 点距水平面的高度。
考点三 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等。
物体在转动过程中，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R。
例6 (2024·山东青岛市期中)如图所示，一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角
速度匀速转动，盘面上距离转轴l＝5 cm 处有一可视为质点的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。
已知物块与盘面间的动摩擦因数为√3
2 ，盘面与水平面间的夹角θ＝30°，重力加速度大小g 取10 m/s2，
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A.若圆盘角速度逐渐增大，物块会在最高点发生相对滑动
B.圆盘转动时角速度可能为5√3 rad/s
C.物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D.物块运动到与圆盘圆心等高点时，摩擦力的方向垂直于物体和圆盘圆心的连线
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答案精析
例1 D [与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，
半径最大，设为r，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2r，解得r＝μg
ω
2，μ 与ω 均一定，故r 与陶屑质量无关
且为定值，即陶屑只能分布在某一半径的圆内，故A、B、C 错误，D 正确。]
例2 AC [小木块a、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦
力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a 有Ffa＝mωa
2l，当Ffa＝kmg 时，kmg＝mωa
2
l，ωa＝√
kg
l ；对木块b 有Ffb＝mωb
2·2l，当Ffb＝kmg 时，kmg＝mωb
2·2l，ωb＝√
kg
2l ，则ω＝√
kg
2l 是b 开始
滑动的临界角速度，即b 比a 先开始滑动，选项A、C 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝
mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa<Ffb，选项B 错误；ω＝√
2kg
3l <ωa＝√
kg
l ，a 没有滑动，则Ffa'＝mω2l＝2
3kmg，选项
D 错误。]
例3 BC [当b 绳的弹力刚好为零时，小球受重力和a 绳的弹力，合力提供向心力，有mg
tanθ ＝mlω2，解
得ω＝√
g
l tanθ ，可知当角速度ω>√
g
l tanθ 时，b 绳出现弹力，故B 正确；根据竖直方向上受力平衡得Fasin
θ＝mg，解得Fa＝mg
sinθ，可知θ 不变时，a 绳的弹力不变，故A 错误，C 正确；
由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断时，a 绳的弹力可能不变，故D 错误。]
例4 ABC [设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝mv0
2
R
，解得v0＝2 m/s，
故A 正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s 时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT+mg＝m
v1
2
R
，解得FT＝15 N，故B 正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定
律有FTm－mg＝mvm
2
R
，解得vm＝4√2 m/s，故C 正确，D 错误。]
例5 BC [小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，故A 错误，B 正确；小球在水平线ab 以下的管道
中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即FN
－Fmg＝m v
2
R+r ，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧管壁无作用力，C 正确；小球在水平线ab
以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，小球做圆周运动所需的向心力可能由内
侧壁对小球的作用力和重力的合力提供，D 错误。]
思考 设P 点与圆心的连线OP 与水平面间夹角为θ，小滑块恰好离开圆面，FN＝0
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在P 点mgsin θ＝mv
2
R
①
从最高点A 至P 点的过程中
mgR(1－sin θ)＝1
2mv2 ②
由①②得：sin θ＝2
3
又sin θ＝h
R
故P 点距水平面的高度h＝2
3R。
例6 C [物块在最低点即将滑动时，此时圆盘角速度最大，由牛顿第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°＝m
ω1
2l，解得ω1＝5√2 rad/s，故B 错误；物块在最高点恰好不受摩擦力时，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝
mω2
2l，解得ω2＝10 rad/s>5√2 rad/s，物块运动到最高点摩擦力一定背离圆心，但不会发生相对滑动，故A
错误，C 正确；由于物块做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，重力沿盘面的下滑分力与摩擦力的合
力提供向心力，则与圆盘圆心等高点处摩擦力的方向不垂直于物块和圆盘圆心的连线，故D 错误。]
6
