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第23 讲 专题：圆周运动的临界问题
一、 考点精讲练
考点01：水平面内圆周运动的临界问题（必备知识+2 例+2 变式）
考点02：竖直面内圆周运动的临界问题（必备知识+2 例+2 变式+能力提升）
考点03：倾斜面上圆周运动的临界问题（必备知识+2 例+2 变式）
二、 巩固提升（精选15 道题）
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝m v
2
r
，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动
的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心
和沿半径指向圆心。
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
【例1-1】(2024·江苏卷·8)生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数
处处相同(台面足够大)，则( )
A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大
B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小
考点一
水平面内圆周运动的临界问题
本讲要点
C.陶屑只能分布在圆台边缘
D.陶屑只能分布在某一半径的圆内
【例1-2】如图所示，两完全相同的滑块P、Q 用长为L 的轻绳拴接，轻绳刚好拉直，放在水平的圆形转台
上，转台的圆心O 与P、Q 在同一条直线上，OP = L
2
，两滑块的质量均为m，与转台间的动摩擦因数为
μ。现让转台的角速度从0 逐渐增加，当角速度为ω1时，Q 所受的摩擦力达到最大静摩擦力，当角速度为
ω2时，滑块刚好相对转台滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两滑块均视为质点，重力加速度为
g。下列说法正确的是（ ）
A．滑块P、Q 所受的摩擦力大小之比始终等于1 3∶
B．ω1= ❑√
2 μg
3 L
C．ω2= ❑√
6 μg
L
D．转台的角速度为ω2时，轻绳的拉力大小为μmg
【变式1-1】图甲为“雪地转转”游戏，游戏时细转轴带动中心轮盘转动，中心轮盘通过轻绳牵引带动橡
胶圈在水平面内做圆周运动，游客在橡胶圈中乘坐体验游戏带来的快乐。游戏装置可简化为如图乙所示，
橡胶圈和游客可视为质点，牵引某橡胶圈的轻绳为AO。若橡胶圈做圆周运动的过程中半径始终不变，则
关于橡胶圈及游客整体下列说法正确的是（ ）
A．做匀速圆周运动时，受到沿轨迹切线方向的滑动摩擦力和指向圆心方向的静摩擦力
B．做匀速圆周运动时，轻绳AO 的延长线与转轴相交
C．角速度逐渐增大时，所受合力方向与其速度方向的夹角为锐角
D．角速度逐渐增大时，细绳拉力方向与橡胶圈的速度方向相垂直
【变式1-2】如图所示为水平转台的俯视图，转台上放有两个小物块A、B，A 物块的质量为m，B 物块的
质量为2m，两物块到圆心的距离满足rB=2rA，A、B 间用沿直径方向的细线相连，A、B 与转台之间的动摩
擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当转台以不同的角速度ω 匀速转动时，两物块均未滑动，
A 与转台间的摩擦力fA与ω2的关系图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向
圆心，其他位置合外力不指向圆心。
2.在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分力提供向心力，只
改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。
3.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理或能量守恒解
题。
4.竖直面内圆周运动的两类模型
轻绳模型
轻杆模型
考点二
竖直面内圆周运动的临界问题
常见类型
小球最高点没有支撑
小球最高点有支撑
最高点受力特征
除重力外，物体受到的弹力方
向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向：
向下、等于零或向上
最高点受力示意图
动力学方程
mg＋F 弹＝mv
2
R
mg±F 弹＝mv
2
R
临界特征
F 弹＝0
mg＝mvmin
2
R
即vmin＝❑√gR
①恰好过最高点，v＝0，F 弹＝mg
②恰好无弹力，F 弹＝0，v＝❑√gR
过最高点的条件
在最高点的速度
v≥❑√gR
v≥0
【例2-1】（2021·浙江·高考真题）质量为m 的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时
刻，下列说法正确的是（ ）
A．秋千对小明的作用力小于mg
B．秋千对小明的作用力大于mg
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
【例2-2】（2025·福建·高考真题）如图甲，水平地面上有A、B 两个物块，两物块质量均为0.2kg，A 与地
面动摩擦因数为μ=0.25，B 与地面无摩擦，两物块在外力F 的作用下向右前进，F 与位移x 的图如图乙所
示，P 为圆弧最低点，M 为最高点，水平地面长度大于4m，重力加速度g=10m/ s
2。
(1)求0﹣1m，F 做的功；
(2)x =1m时，A 与B 之间的弹力；
(3)要保证B 能到达M 点，圆弧半径满足的条件。
【变式2-1】(多选)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径略小于管道的
尺寸，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点时的最小速度vmin＝❑√g( R＋r )
B.小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【变式2-2】（2025·安徽·高考真题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距
L=0.5 m。一根长为3 L的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量m=0.1kg的小球，小球与水平地面接
触但无压力。t =0时，小球以水平向右的初速度v0=10 m /s开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳
子绕过N、M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视
为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取10 m /s
2。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在t =0时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。
【解题能力提升】
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小
相等。物体在转动过程中，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R。
【例3】（2025·山东临沂·三模）游乐场里有一个半径为5m 的倾斜匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为
30°，圆盘可绕过圆盘圆心O 且垂直于盘面的固定对称轴以1rad/s 的角速度匀速转动，如图所示。一个小
孩（可视为质点）坐在盘面上距O 点距离r 处，小孩与盘面间的动摩擦因数为
❑√3
2
，已知最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，g 取10m/s²。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则距离r 的可能取值范围为（ ）
A．0<r≤2.5m
B．1m≤r≤3.5m
C．2.5m≤r≤4m
D．2.5m≤r≤5m
【变式3】（2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴
OO
′上的O 点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O 点，另一端与套在杆上的圆
环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。
已知细杆长度L=0.2m，杆与竖直转轴的夹角a 始终为60°，弹簧原长x0=0.1m，弹簧劲度系数
考点三
倾斜面上圆周运动的临界问题
k =100 N/m，圆环质量m=1kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s
2，摩擦力可忽略不计
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O 点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P 时，细杆匀速转动的角速度大小。
1．（2019·海南·高考真题）如图，一硬币（可视为质点）置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO'的距离为
r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），重力加速度大小为g。若硬
币与圆盘一起绕OO
′轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为（ ）
A．1
2
❑√
μg
r
B．❑√
μg
r
C．❑√
2 μg
r
D．2❑√
μg
r
2．（2025·山东·模拟预测）猫猫很怕水，当其身上沾到水后，会通过高速抖动的方式将水甩干，于是gs
用这样一个模型来研究这一现象：如图所示，将猫猫的躯干视作轴线水平，半径为R 的圆柱（其腿长可忽
略），某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转，角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出，重
力加速度为g，则角速度ω 的最小值为（ ）
巩固提升
A．❑√
g
R
B．❑√
2g
R
C．❑√
3 g
R
D．2❑√
g
R
3．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，质量均为m 的小球1、2 分别固定在长为2L 的轻质硬杆的中点以及
一端点，硬杆可绕过另外顶端O 点的轴在竖直面内转动。若小球1 在最低点的速度大小为v，重力加速度
大小为g，不计阻力，则轴受到的作用力F1的大小为（ ）
A．3m v
2
2 L
B．2mg+ 3m v
2
2 L
C．2mg+ 3mv
2
L
D．mg+ 3mv
2
L
4．（2025·四川成都·模拟预测）圆周运动是生活中常见的一种运动。如图1 所示，一个小朋友坐在圆盘上
随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动；如图2 所示，将小球拴在细绳一端，用手握住绳的另一端，使小
球以O点为圆心在竖直面内做完整的圆周运动。已知小球的质量为m，细绳的长度为L，重力加速度为g，
不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．图1 小朋友所受摩擦力的方向沿轨迹的切线方向
B．图1 中，当小朋友的位置离圆心较近时，小朋友容易相对圆盘滑动
C．图2 小球可能在竖直面内做匀速圆周运动
D．图2 小球在最低点和最高点时，细绳对小球的拉力大小之差恒定
5．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图（a）所示，一根长度为l 的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定
一质量为m 的小球。轻杆随转轴在竖直平面内以角速度ω匀速转动。已知轻杆对小球的作用力大小随时间
的变化关系如图（b）所示，图中F1和F2分别为最小值和最大值，且F1>mg，其中g 为重力加速度。则（
）
A．ω=
π
t2−t1
，m= F2−F1
2g
B．ω= 2π
t2−t1
，m= F2−F1
g
C．ω= 2π
t2−t1
，m= (F2+ F1)(t2−t1)
2
8 π
2l
D．ω=
π
t2−t1
，m= (F2−F1)(t2−t1)
2
8 π
2l
6．（2025·辽宁·三模）如图所示，有一质量为m 的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小
球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C 为管道的最高点和最低点，B 为管道上与圆心等高的
点，D 为管道上的一点，且D 与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是（
）
A．若小球在A 点的速度大小为❑√gR，则外侧管壁对小球有作用力
B．若小球在B 点的速度大小为❑√gR，则内侧管壁对小球有作用力
C．若小球在C 点的速度大小为❑√gR，则小球对管道的内外壁均无作用力
D．若小球在D 点的速度大小为❑√gR，则外侧管壁对小球有作用力
7．如图甲所示为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施，简化模型如图乙，魔盘侧面与水平面的夹角为θ。
质量为m 的游客随魔盘以角速度ω一起匀速转动，半径为r，已知重力加速度大小为g，则（ ）
A．魔盘对游客的作用力沿水平方向指向转轴
B．游客受到的支持力可能等于mgcosθ
C．若魔盘角速度缓慢增加，游客受到魔盘的支持力会缓慢减小
D．若魔盘角速度缓慢增加，质量较小的游客先发生滑动
8．如图甲所示，我国第三艘航母福建舰正在进行顺时针急转弯训练，航母的运动可视作水平面内的匀速
圆周运动，运动半径为R。航母在运动中，船身发生了向外侧倾斜，且甲板法线与竖直方向夹角为θ，船
体后视简图如图乙所示。一质量为m 的小物块放在甲板上，与甲板始终保持相对静止。假设航母的运动半
径R、夹角θ 不随航速改变。下列说法正确的是（ ）
A．小物块可能只受重力、支持力两个力作用
B．甲板对小物块的支持力大小FN=mgcosθ
C．甲板对小物块的作用力方向为竖直向上
D．航母的航速越大，小物块受到的摩擦力越大
9．（2022·全国甲卷·高考真题）北京2022 年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a 处
由静止自由滑下，到b 处起跳，c 点为a、b 之间的最低点，a、c 两处的高度差为h。要求运动员经过c 点
时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k 倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c 点处
这一段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A．ℎ
k +1
B．ℎ
k
C．2ℎ
k
D．2ℎ
k −1
10．在水平面上放置一个半径为2 R的圆盘，圆盘上放置两个可视为质点的物体A和B（如图甲），其中B
在圆盘中心，A和B之间用长为2 R的轻绳连结。物体A的质量为m，物体B的质量为2m，且它们和圆盘的
动摩擦因数相同。现圆盘绕通过圆心的轴从静止缓慢加速转动，当角速度ω的大小为ω1时，A和B恰好与
圆盘发生相对滑动。如果把物体A和B沿直径放置在圆盘上（如图乙），此时物体A到圆心的距离为R，然
后再次让圆盘绕通过圆心的轴从静止缓慢加速转动，当角速度ω的大小为ω2时，A和B也恰好与圆盘发生
相对滑动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则ω1
ω2
的大小为（ ）
A．
❑√2
2
B．
❑√6
6
C．
❑√3
2
D．1
11．（多选）如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴OO′
的距离为l，b 与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小
为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω 表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动
摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．b 一定比a 先开始滑动
B．a、b 所受的摩擦力始终相等
C．ω= ❑√
kg
2l
是b 开始滑动的临界角速度
D．当ω= ❑√
2kg
3l
时，a 所受摩擦力的大小为kmg
12．（2025·湖北·模拟预测）如图（a）所示，倾斜圆盘与水平面的夹角为θ，它可绕过圆心且垂直于圆盘
的转轴匀速转动，在圆盘平面内以圆心O 为原点建立平面直角坐标系，x 轴沿水平方向，y 轴沿盘面向上。
圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y 轴的投影f x、f y的关系如图（b）所示。
则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为（ ）
A．8
3 tanθ
B．2tanθ
C．5
3 tanθ
D．tanθ
13．（多选）（2025·贵州黔东南·模拟预测）如图所示，两个可视为质点的相同木块A 和B 放在水平转盘
上，用不可伸长的轻绳相连，连线过转盘的圆心O，木块A、B 到转轴中心的距离分别为L 和2L，木块与
转盘之间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。开始时，轻绳恰好伸
直但无弹力，现让转盘在水平面内由静止开始绕转轴OO'做角速度ω 缓慢增大的圆周运动。以下说法正确
的是（ ）
A．当角速度ω 增大到❑√
μg
L
时，物块A 将相对转盘滑动
B．当角速度ω>❑√
2 μg
L
时，物块A 相对转盘滑动
C．角速度ω 在❑√
μg
2 L <ω<❑√
2 μg
L
范围内增大时，轻绳的拉力增大
D．角速度ω 在❑√
μg
2 L <ω<❑√
2 μg
L
范围内增大时，A 受到的摩擦力先减小后增大
14．（2022·福建·高考真题）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的
动作要领。500m短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前8m用时2s。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加
速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为10m的匀速圆周运动，速度大小为14m/s。已知武大靖的
质量为73kg，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，
如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小
取10 m /s
2，tan 22° =0.40、tan 27° =0.51、tan32° =0.62、tan37° =0.75）
15．（2025·北京海淀·一模）如图，一个质量为m=0.6kg的小球，在左侧平台上运行一段距离后从边缘A
点以v0= 20
3 m /s的速度水平飞出，恰能沿圆弧切线从P点进入固定在地面上的竖直的圆弧管道，并继续滑
行。已知圆弧管道口内径远小于圆弧半径R ,OP与竖直方向的夹角是θ =37
∘，平台到地面的高度差为
ℎ=1.45 m。取g=10 m /s
2，sin37° =0.6，cos37° =0.8。求：
(1)小球从A点运动到P点所需的时间t；
(2)P 点距地面的高度Δℎ和圆弧半径R；
(3)若通过最高点Q点时小球对管上壁的压力大小9 N，求小球经过Q点时的速度v大小。
