文档文本内容
专题 2.5 圆周角（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:19)........................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:19)................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:30)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:19)............................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:43)(cid:24)(cid:19)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 90(cid:46)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:47)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:19)............................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:34)(cid:24)(cid:53)(cid:54)(cid:19)........................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:25)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:19)........................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:63)(cid:25)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:60)(cid:19)........................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:67)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:25)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:20)(cid:19)..........................................................................................10
知识点1 圆周角
1. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)
(cid:77)(cid:71)(cid:78)(cid:22)(cid:36)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:51)(cid:83)(cid:61)(cid:22)(cid:42)(cid:84)(cid:25)(cid:24)(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:87)
2. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)
(cid:88)1(cid:89)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:79) =1 (cid:87)
2
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝑂𝐶
(cid:88)2(cid:89)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:30)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:79) = = (cid:87)
𝐴𝐶 𝐵𝐷⇒∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷
(cid:88)3(cid:89)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:43)(cid:24)(cid:79)90(cid:46)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:47)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:87)
(cid:90)(cid:36)(cid:91)(cid:79)AB(cid:45)(cid:43)(cid:44) = =90°(cid:92) =90° AB(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:87)
⇒∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵 ⇒3. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:93)(cid:94)
圆心角 圆周角
顶点在(cid:22)(cid:37) 顶点在(cid:22)(cid:36)
区别
在同圆中，一条弧所对的圆心角是(cid:95)(cid:38)的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有(cid:96)(cid:29)个
联系 (cid:82)(cid:51)(cid:83)(cid:61)(cid:22)(cid:42)(cid:84)
知识点2 圆内接四边形
1. (cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:55)(cid:76)
(cid:90)(cid:97)(cid:38)(cid:98)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)4(cid:98)(cid:77)(cid:71)(cid:83)(cid:78)(cid:40)(cid:38)(cid:98)(cid:22)(cid:36)(cid:79)(cid:99)(cid:98)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:79)(cid:99)(cid:98)(cid:22)(cid:85)(cid:86)(cid:99)(cid:98)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:100)
(cid:49)(cid:22)(cid:87)
2. (cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)
(cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:34)(cid:24)(cid:53)(cid:54)(cid:92)
(cid:103)(cid:104)(cid:10)(cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:105)(cid:38)(cid:98)(cid:100)(cid:24)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:48)(cid:34)(cid:24)(cid:87)
【题型1 圆周角的概念】
(cid:15)(cid:106)1(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)(cid:91)(cid:72)(cid:107)(cid:108)(cid:25)4(cid:98)(cid:24)(cid:72)(cid:79)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:109)(cid:88)(cid:110)(cid:110)(cid:89)
A(cid:87)1(cid:98) B(cid:87)2(cid:98) C(cid:87)3(cid:98) D(cid:87)4(cid:98)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)1-1(cid:19)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:91)(cid:72)(cid:79) (cid:116)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:45)(cid:88)(cid:110)(cid:110)(cid:89)
∠𝐵𝐴𝐶
A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)1-2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)·(cid:124)(cid:72)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:71) (cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:71) (cid:78) (cid:100)(cid:79) (cid:61) (cid:84)(cid:31)(cid:71)
(cid:79) (cid:79) (cid:31)(cid:71) (cid:87)(cid:113)(cid:114)(cid:24)(cid:72)(cid:79)(cid:35) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:88) 𝐴(cid:89),𝐵,𝐶 ⊙𝑂 𝐷 ⊙𝑂 𝐶𝐷 ⊙𝑂
𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝐹 𝐴𝐸A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)∠1𝐴-3𝐷(cid:19)𝐸(cid:90)(cid:91)(cid:79)A(cid:79)B(cid:79)∠C𝐴(cid:79)𝐵D𝐸(cid:79)E(cid:45) O(cid:36)(cid:25)(cid:125)∠(cid:98)𝐴𝐹(cid:71)𝐸(cid:79)(cid:126)(cid:91)(cid:72)(cid:127)(cid:109) ∠ 𝐴𝑂(cid:98)𝐸(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:79)(cid:128)(cid:94)(cid:45) (cid:87)
⊙
【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】
(cid:15)(cid:106)2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:50)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:124)(cid:132)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:100)(cid:49)(cid:22)(cid:79)(cid:133)(cid:134) (cid:31)(cid:71) (cid:79)
=70°(cid:79)(cid:126) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:116) (cid:87) ⊙𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝑂𝐷⊥𝐴𝐵 𝐷
∠𝐵𝑂𝐷 ∠𝐶
(cid:15)(cid:111)(cid:112)2-1(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)·(cid:124)(cid:132)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:71) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)(cid:139)(cid:140) (cid:141) (cid:87)(cid:142)
=35°(cid:79)(cid:126) (cid:25)(cid:143)(cid:144)(cid:116)(cid:88) (cid:89) △𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝑂𝐴 𝑂𝐶
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝑂𝐴𝐶
A(cid:87)45° B(cid:87)55° C(cid:87)65° D(cid:87)70°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)2-2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)BC(cid:116) (cid:25)(cid:47)(cid:79)(cid:71)A(cid:79)D(cid:78) (cid:36)(cid:79) (cid:79)
=30°(cid:79) =2 3(cid:79)(cid:126) (cid:25)(cid:137)(cid:116) (cid:87) ⊙𝑂 ⊙𝑂 𝑂𝐴⊥𝐵𝐶
∠𝐴𝐷𝐵 𝐵𝐶 𝑂𝐶(cid:15)(cid:111)(cid:112)2-3(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:145)(cid:146)·(cid:124)(cid:132)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:153)(cid:125)(cid:51)(cid:52) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)P(cid:116) (cid:36)(cid:38)(cid:71)(cid:79)(cid:139)(cid:49) (cid:79)
(cid:79)(cid:126) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:116)(cid:88) (cid:89) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝑃𝐴
𝑃𝐸 ∠𝐴𝑃𝐸
A(cid:87)18° B(cid:87)36° C(cid:87)54° D(cid:87)72°
【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】
(cid:15)(cid:106)3(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:148)·(cid:124)(cid:132)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78) (cid:72)(cid:79)(cid:47) (cid:42)(cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79) =40 (cid:79) =35 (cid:79)
∘ ∘
(cid:126) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:116)(cid:88)(cid:110)(cid:110)(cid:89) ⊙𝑂 𝐴𝐵,𝐶𝐷 𝑃 ∠𝐴 ∠𝐵
∠𝐴𝑃𝐷
A(cid:87)75 B(cid:87)65 C(cid:87)70 D(cid:87)80
∘ ∘ ∘ ∘
(cid:15)(cid:111)(cid:112)3-1(cid:19)(cid:88)2025·(cid:157)(cid:158)(cid:158)(cid:159)·(cid:62)(cid:160)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)(cid:71)D(cid:116)(cid:161)(cid:35) (cid:36)(cid:38)(cid:71)(cid:79)(cid:139)(cid:49)
(cid:141) (cid:141) (cid:79)(cid:142) = (cid:79) =50°(cid:79)(cid:126)△𝐴(cid:25)𝐵(cid:28)𝐶(cid:29)(cid:116) ⊙ 𝑂°(cid:87) 𝐴𝐵
𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐷 ∠𝐴
(cid:15)(cid:111)(cid:112)3-2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:157)(cid:158)(cid:158)(cid:159)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79) (cid:116) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:81)
(cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:139)(cid:49) (cid:87)(cid:142) =35°(cid:79) =15°(cid:79)(cid:126) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:116)△(cid:88)𝐴𝐵 𝐶 (cid:89) ⊙𝑂 𝐷𝐸 ⊙𝑂 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
𝐹 𝐶𝐸 ∠𝐴 ∠𝐶𝐸𝐷 ∠𝐵A(cid:87)65° B(cid:87)70° C(cid:87)75° D(cid:87)80°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)3-3(cid:19)(cid:88)2025·(cid:162)(cid:16)(cid:163)(cid:164)·(cid:165)(cid:160)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:47) (cid:79)(cid:71) (cid:78) (cid:36)(cid:87)(cid:142) = 3 (cid:79)
2
(cid:126) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:116) (cid:87) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐸
𝐶𝐷
【题型4 直径所对的圆周角是直角】
(cid:15)(cid:106)4(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:120)(cid:121)(cid:120)(cid:148)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)(cid:166)(cid:71) (cid:116)(cid:22)(cid:37)(cid:25)(cid:39)(cid:22)(cid:72)(cid:79) (cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:79) + =
(cid:79)(cid:139)(cid:49) (cid:79) (cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:139)(cid:49) (cid:84) (cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:142) =
1 𝑂
(cid:79)(cid:126) (cid:25)(cid:74)(cid:45)(cid:88)
𝐴 𝐵
(cid:89)
𝐴𝐷 𝐵𝐶
2
𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐸 𝑂𝐶 𝐵𝐷 𝐹 𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐸:𝐶𝐴
2 2 3 3
A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
3 2 4 3
(cid:15)(cid:111)(cid:112)4-1(cid:19)(cid:88)2025·(cid:50)(cid:129)(cid:163)(cid:167)·(cid:165)(cid:160)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:71) (cid:79) (cid:45) (cid:36)(cid:168)(cid:31)(cid:43)(cid:44) (cid:82)(cid:169)(cid:25)(cid:71)(cid:79)(cid:139)
(cid:49) (cid:79) (cid:79)(cid:81) = (cid:79)(cid:126) = (cid:28)𝐴𝐵(cid:87) ⊙𝑂 𝐶 𝐷 ⊙𝑂 𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷(cid:15)(cid:111)(cid:112)4-2(cid:19)(cid:88)2025(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:113)·(cid:170)(cid:164)·(cid:11)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:47)(cid:79)D(cid:116) (cid:36)(cid:38)(cid:71)(cid:79)
(cid:174)(cid:71)D(cid:175) (cid:79)(cid:84) (cid:31)(cid:71)E(cid:79)(cid:84) (cid:31)(cid:71)F(cid:79) 𝐴=𝐵 ⊙(cid:79)(cid:139)𝑂(cid:49) (cid:79) 𝐴𝐶(cid:87)(cid:142)⊙𝑂= =8(cid:79)⊙(cid:126)𝑂 (cid:25)(cid:137)
(cid:116) (cid:87)𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐷𝐹 𝐴𝐶 𝑂𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐹 4𝐴𝐸 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:111)(cid:112)4-3(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:39)(cid:44)(cid:116)5(cid:25) (cid:72)(cid:79)(cid:47) (cid:79) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:128)
(cid:94)(cid:45) (cid:79) (cid:79)(cid:142) =6(cid:79) + =180°(cid:79)(cid:126)(cid:47) (cid:25)(cid:137)(cid:30)⊙(cid:31)𝐴(cid:88) (cid:89) 𝐵𝐶 𝐸𝐷
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐸𝐴𝐷 𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐸𝐴𝐷 𝐵𝐶
A(cid:87)8 B(cid:87)10 C(cid:87)11 D(cid:87)12
【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】
(cid:15)(cid:106)5(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:162)(cid:16)(cid:180)(cid:181)·(cid:124)(cid:132)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:47)(cid:79) =2(cid:79)
=30°(cid:79)(cid:142)(cid:71)D(cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:81) =60°(cid:79)𝐴(cid:126)𝐵 ⊙(cid:137)(cid:116)𝑂 (cid:87)𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝐴𝐵
∠𝐵𝐴𝐶 ⊙𝑂 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:111)(cid:112)5-1(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)Rt (cid:25)(cid:182)(cid:51)(cid:61)(cid:39)(cid:22)(cid:25)(cid:43)(cid:44) (cid:183)(cid:65)(cid:184)(cid:185)(cid:79) =90°(cid:79)(cid:71) (cid:116) (cid:36)(cid:186)(cid:187)(cid:38)(cid:71)(cid:79)(cid:139)(cid:49)
(cid:84)(cid:39)(cid:22)(cid:31) (cid:71)(cid:79)(cid:139)(cid:49)△𝐴𝐶(cid:79)𝐵(cid:142) =35°(cid:79)(cid:126) 𝐴𝐵 (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:116)(cid:88)∠ 𝐴 𝐶 (cid:89)𝐵 𝑀 𝐴𝐵
𝐶𝑀 𝑁 𝐵𝑁 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝑁𝐶A(cid:87)60° B(cid:87)55° C(cid:87)50° D(cid:87)30°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)5-2(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)(cid:188)(cid:189)(cid:43)(cid:24)(cid:190)(cid:107)(cid:191)(cid:72)(cid:79)(cid:71) (cid:116)(cid:190)(cid:107)(cid:192)(cid:71)(cid:79)(cid:71) (cid:78)(cid:193)(cid:38)(cid:194)(cid:195)(cid:79) (cid:174)(cid:192)(cid:71)(cid:79)(cid:81)(cid:61) (cid:196)(cid:141) (cid:196)
(cid:84)(cid:31)(cid:71)A(cid:79) (cid:79)(cid:71)A(cid:25)(cid:190)(cid:107)(cid:116)(6,0)(cid:79) (cid:25)(cid:43)𝑂(cid:44)(cid:116)10(cid:87)(cid:126)(cid:71) (cid:25)𝑃(cid:190)(cid:107)(cid:116) (cid:87)⊙𝑃 𝑥 𝑦
𝐵 ⊙𝑃 𝐵
(cid:15)(cid:111)(cid:112)5-3(cid:19)(cid:88)2025·(cid:197)(cid:170)(cid:198)(cid:177)·(cid:160)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)(cid:202) (cid:203)(cid:71) (cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)90°(cid:209)(cid:210)
(cid:79)(cid:71) (cid:25)(cid:34)(cid:59)(cid:71) (cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:139)(cid:49) (cid:87)(cid:126)(cid:50)△(cid:51)𝐴(cid:52)𝐵𝐶 (cid:25)(cid:189)⊙(cid:211)𝑂(cid:88) (cid:89)△𝐴𝐵𝐶 𝐴
△𝐴𝐷𝐸 𝐶 𝐸 ⊙𝑂 𝐵𝐸 𝐴𝐶𝐵𝐸
A(cid:87)(cid:212)(cid:61) (cid:25)(cid:137)(cid:109)(cid:3) B(cid:87)(cid:212)(cid:61) (cid:25)(cid:137)(cid:109)(cid:3)
C(cid:87)(cid:212)(cid:61)𝐴𝐶(cid:25)(cid:137)(cid:109)(cid:3) D(cid:87)(cid:212)(cid:61)𝐴𝐵(cid:25)(cid:137)(cid:109)(cid:3)
【题型6 圆 𝐵𝐶 内接四边形对角互补】 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:106)6(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:213)(cid:163)(cid:214)(cid:215)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:50)(cid:51)(cid:52) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79) = (cid:79) (cid:79)
=70°(cid:79)(cid:139)(cid:49) (cid:79)(cid:126) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:116)(cid:88) (cid:89) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵∥𝐶𝐷
∠𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷
A(cid:87)25° B(cid:87)28° C(cid:87)30° D(cid:87)35°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)6-1(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:162)(cid:158)(cid:36)(cid:216)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45)(cid:153)(cid:217)(cid:52) (cid:25)(cid:100)(cid:49)(cid:22)(cid:79)(cid:71) (cid:116) (cid:36)(cid:186)(cid:187)
(cid:38)(cid:71)(cid:79)(cid:139)(cid:49) (cid:79) (cid:79)(cid:126) = (cid:87) ⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶
𝐵𝐸 𝐶𝐸 ∠𝐵𝐸𝐶(cid:15)(cid:111)(cid:112)6-2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:157)(cid:158)(cid:218)(cid:163)·(cid:124)(cid:72)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)(cid:71) (cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:139)(cid:49) (cid:141) (cid:141)
(cid:79) (cid:79)(cid:142) =25°(cid:79)(cid:126) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:45)(cid:88) △(cid:89)𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐷 ⊙𝑂 𝐷𝐶 𝐷𝐴
𝑂𝐴 𝑂𝐴⊥𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐶𝐴𝐵
A(cid:87)140° B(cid:87)130° C(cid:87)120° D(cid:87)110°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)6-3(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:162)(cid:16)(cid:163)(cid:164)·(cid:124)(cid:132)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:202) (cid:219)(cid:220)(cid:47) (cid:221)(cid:222)(cid:79)(cid:71) (cid:79) (cid:128)(cid:94)(cid:78)(cid:223)(cid:35) (cid:224)(cid:161)(cid:35)
(cid:36)(cid:79)(cid:142) =65°(cid:79)(cid:126) = °(cid:87) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵
𝐴𝐵 ∠𝐶 ∠𝐷
【题型7 圆周角定理的实际应用】
(cid:15)(cid:106)7(cid:19)(cid:88)2025·(cid:157)(cid:158)(cid:158)(cid:159)·(cid:160)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:89)(cid:225)(cid:226)(cid:175)(cid:116)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:143)(cid:25)(cid:232)(cid:67)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:215)(cid:79)(cid:78)(cid:232)(cid:67)(cid:235)(cid:104)(cid:236)(cid:36)(cid:187)(cid:76)(cid:237)(cid:238)(cid:87)(cid:91)
②(cid:45)(cid:239)(cid:153)(cid:189)(cid:240)(cid:210)(cid:25)(cid:38)(cid:98)(cid:225)(cid:226)(cid:88)(cid:91)①(cid:89)(cid:25)(cid:52)(cid:241)(cid:242)(cid:187)(cid:91)(cid:79)(cid:225)(cid:226) (cid:61)(cid:232)(cid:189)(cid:128)(cid:94)(cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79) (cid:79)(cid:139)(cid:49) (cid:79) (cid:79)(cid:71)
(cid:78) (cid:25)(cid:243)(cid:137)(cid:244)(cid:36)(cid:87)(cid:142) =110°(cid:79)(cid:126) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:116)(cid:88) ⊙ (cid:89)𝑂 𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵
𝑀 𝐴𝐵 ∠𝑃𝐵𝑀 ∠𝐴𝑃𝐶
A(cid:87)20° B(cid:87)30° C(cid:87)55° D(cid:87)70°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)7-1(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:179)(cid:245)(cid:246)(cid:247)·(cid:124)(cid:132)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:36)(cid:109)(cid:38)(cid:22)(cid:52)(cid:104)(cid:242)(cid:93)(cid:79)(cid:78)(cid:252)(cid:22)(cid:52)(cid:51)(cid:253)(cid:25)(cid:71)P(cid:254)(cid:159)(cid:255)(cid:256)(cid:38)(cid:247)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:79)(cid:32)(cid:25)(cid:257)(cid:260)(cid:24)(cid:28)(cid:45)56°(cid:79)(cid:116)(cid:256)(cid:257)(cid:260)(cid:261)(cid:98)(cid:104)(cid:93)(cid:79)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:78)(cid:22)(cid:52)(cid:51)(cid:253)(cid:36)(cid:127)(cid:159)(cid:255)(cid:99)(cid:266)(cid:25)(cid:257)(cid:258)(cid:259)
(cid:247)(cid:87)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)7-2(cid:19)(cid:88)2025·(cid:157)(cid:158)(cid:267)(cid:129)·(cid:160)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:89)(cid:268)(cid:163)(cid:88)(cid:90)(cid:91)1(cid:89)(cid:45)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:269)(cid:94)(cid:217)(cid:270)(cid:60)(cid:25)(cid:38)(cid:271)(cid:272)(cid:259)(cid:79)(cid:45)(cid:273)(cid:163)(cid:206)(cid:25)(cid:274)
(cid:275)(cid:87)(cid:268)(cid:163)(cid:25)(cid:72)(cid:276)(cid:116)(cid:38)(cid:22)(cid:52)(cid:79)(cid:90)(cid:91)2(cid:79)(cid:22)(cid:37)(cid:116)O(cid:79)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:98)(cid:217)(cid:168)(cid:202) (cid:279)(cid:30)(cid:128)(cid:88)(cid:91)2(cid:72)(cid:25)(cid:71) (cid:116)(cid:279)(cid:98)(cid:30)(cid:128)
(cid:71)(cid:89)(cid:79)(cid:139)(cid:49) (cid:141) (cid:141) (cid:79) (cid:61) (cid:25)(cid:243)(cid:137)(cid:244)(cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:126) (cid:25)(cid:28)⊙(cid:29)𝑂(cid:116)(cid:88) (cid:89) 𝐴∼𝐻
𝐴𝐷 𝐴𝐻 𝐷𝐺 𝐴𝐻 𝐷𝐺 𝑃 ∠𝑃
A(cid:87)60° B(cid:87)50° C(cid:87)45° D(cid:87)30°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)7-3(cid:19)(cid:225)(cid:226)(cid:45)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:235)(cid:215)(cid:25)(cid:38)(cid:271)(cid:232)(cid:67)(cid:233)(cid:234)(cid:280)(cid:281)(cid:79)(cid:282)(cid:252)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:79)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:78)(cid:291)(cid:171)(cid:292)(cid:293)(cid:72)(cid:294)(cid:295)(cid:296)
(cid:60)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:225)(cid:226)(cid:25)(cid:39)(cid:44)(cid:116)2m(cid:79)(cid:225)(cid:226)(cid:36)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:185)(cid:256)12(cid:98)(cid:300)(cid:232)(cid:225)(cid:79)(cid:252)(cid:72)A(cid:79)B(cid:79)C(cid:45)(cid:42)(cid:301)(cid:25)(cid:62)(cid:98)(cid:300)(cid:232)(cid:225)(cid:79)(cid:78)(cid:232)
(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:55)(cid:25)(cid:305)(cid:306)(cid:113)(cid:79)(cid:225)(cid:226)(cid:36)(cid:25)(cid:105)(cid:38)(cid:98)(cid:300)(cid:232)(cid:225)(cid:83)(cid:86)(cid:298)(cid:307)(cid:66)(cid:308)(cid:87)(cid:309)(cid:174)(cid:310)(cid:311)(cid:79)(cid:312)A(cid:313)(cid:314)(cid:232)(cid:189)(cid:205)(cid:79)C(cid:315)(cid:316)(cid:314)(cid:274)(cid:317)(cid:318)
(cid:232)(cid:72)(cid:79)(cid:105)(cid:98)(cid:300)(cid:232)(cid:225)(cid:283)(cid:174)(cid:232)(cid:302)(cid:60)(cid:205)3(cid:319)(cid:79)(cid:313)(cid:314)(cid:232)(cid:189)6(cid:319)(cid:320)(cid:232)(cid:314)(cid:274)(cid:321)(cid:108)(cid:79)(cid:116)(cid:296)(cid:49)(cid:232)(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:323)(cid:327)(cid:328)(cid:49)(cid:210)(cid:232)(cid:79)
(cid:126)(cid:49)(cid:232)(cid:322)(cid:329)(cid:313)(cid:232)(cid:189)(cid:25)(cid:262)(cid:143)(cid:330)(cid:28)(cid:45)(cid:88) (cid:89)
A(cid:87)(2+ 8)m B(cid:87)2 3m C(cid:87)2m D(cid:87)3m
【题型8 圆周角定理与三角板的综合运用】
(cid:15)(cid:106)8(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:303)(cid:24)(cid:259)(cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:61)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:63) (cid:25)(cid:182)(cid:51) (cid:183)(cid:65)(cid:79)(cid:252)(cid:72)(cid:303)(cid:24)(cid:259)0(cid:331)(cid:28)(cid:244)(cid:25)(cid:332)(cid:71)P(cid:61)(cid:71)C(cid:183)(cid:65)(cid:79)
(cid:333)(cid:244) (cid:239) (cid:254)(cid:108)(cid:235)(cid:203)(cid:71)B(cid:219)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:217)(cid:270)(cid:166)𝐴(cid:105)𝐵(cid:319)𝐶 2(cid:28)(cid:25)𝐴(cid:307)𝐶(cid:28)(cid:207)(cid:208)(cid:79) (cid:61)(cid:303)(cid:24)(cid:259)(cid:25)(cid:39)(cid:22)(cid:35)(cid:84)(cid:31)(cid:71)E(cid:79)(cid:193)13(cid:319)
𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷(cid:205)(cid:79)(cid:71)E(cid:78)(cid:303)(cid:24)(cid:259)(cid:36)(cid:34)(cid:59)(cid:25)(cid:334)(cid:29)(cid:45) (cid:28)(cid:87)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)8-1(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:242)(cid:79)(cid:335)(cid:308)(cid:336)(cid:72)(cid:337)(cid:337)(cid:202)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:63)45°(cid:24)(cid:25)(cid:77)(cid:71)P(cid:338)(cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:82)(cid:51)(cid:128)(cid:94)(cid:84) (cid:31)(cid:71)A(cid:79)
B(cid:87)(cid:339)(cid:235)(cid:340)(cid:303)(cid:108) (cid:25)(cid:137)(cid:79)(cid:341)(cid:326)(cid:73) (cid:25)(cid:39)(cid:44)(cid:79)(cid:312) =8(cid:205)(cid:79) (cid:25)(cid:39)(cid:44)(cid:116)⊙(cid:88)𝑂 (cid:89) ⊙𝑂
𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐴𝐵 ⊙𝑂
A(cid:87)2 2 B(cid:87)2 3 C(cid:87)4 D(cid:87)4 2
(cid:15)(cid:111)(cid:112)8-2(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:342)30°(cid:24)(cid:25)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:63) (cid:25)(cid:182)(cid:51) (cid:61)(cid:303)(cid:24)(cid:259)(cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:183)(cid:65)(cid:79)(cid:71) (cid:224)(cid:71) (cid:78)(cid:303)(cid:24)(cid:259)(cid:25)(cid:39)(cid:22)(cid:36)(cid:79)
(cid:142)(cid:71) (cid:78)(cid:303)(cid:24)(cid:259)(cid:36)(cid:34)(cid:59)(cid:25)(cid:334)(cid:29)(cid:45)50°(cid:79)(cid:126) 𝐴𝐵𝐶(cid:25)(cid:28)(cid:29)𝐴(cid:45)𝐵 (cid:92) 𝐶 𝐷
𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:15)(cid:111)(cid:112)8-3(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:38)(cid:343)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:63)(cid:25)30°(cid:24)(cid:25)(cid:77)(cid:71) (cid:338)(cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:82)(cid:51)(cid:128)(cid:94)(cid:84) (cid:31) (cid:79) (cid:82)(cid:71)(cid:79)(cid:142) (cid:25)
(cid:43)(cid:44)(cid:116)8(cid:79)(cid:126)(cid:47) (cid:25)(cid:137)(cid:116) (cid:87) 𝑃 ⊙𝑂 ⊙𝑂 𝐴 𝐵 ⊙𝑂
𝐴𝐵
【题型9 利用圆周角定理解决格点中的求值问题】
(cid:15)(cid:106)9(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)6×6(cid:25)(cid:153)(cid:217)(cid:52)(cid:344)(cid:70)(cid:91)(cid:52) (cid:72)(cid:79)(cid:105)(cid:98)(cid:144)(cid:153)(cid:217)(cid:52)(cid:25)(cid:51)(cid:137)(cid:116)1(cid:79)M(cid:141)N(cid:128)(cid:94)(cid:45) (cid:141) (cid:36)(cid:25)(cid:70)
(cid:71)(cid:87)(cid:142)(cid:71)P(cid:45)(cid:99)(cid:98)(cid:344)(cid:70)(cid:91)(cid:52)(cid:72)(cid:25)(cid:70)(cid:71)(cid:79)(cid:139)𝐴(cid:49)𝐵𝐶𝐷(cid:141) (cid:79)(cid:126)(cid:345)(cid:346) =45°(cid:25)(cid:71)P(cid:109)(cid:88)(cid:110)(cid:110)(cid:89)𝐴𝐵(cid:98) 𝐵𝐶
𝑃𝑀 𝑃𝑁 ∠𝑀𝑃𝑁A(cid:87)3 B(cid:87)4 C(cid:87)5 D(cid:87)6
(cid:15)(cid:111)(cid:112)9-1(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:344)(cid:70)(cid:91)(cid:72)(cid:25)(cid:105)(cid:98)(cid:144)(cid:153)(cid:217)(cid:52)(cid:25)(cid:51)(cid:137)(cid:297)(cid:116)1(cid:79)(cid:71)A(cid:141)B(cid:141)C(cid:141)D(cid:116)(cid:70)(cid:71)(cid:79)(cid:299)(cid:283)(cid:174)(cid:91)(cid:72)(cid:70)(cid:71)A(cid:141)
B(cid:141)C(cid:62)(cid:71)(cid:25)(cid:22)(cid:35)(cid:61) (cid:84)(cid:31)E(cid:79)(cid:126)AE(cid:25)(cid:137)(cid:116) (cid:87)
𝐴𝐷
(cid:15)(cid:111)(cid:112)9-2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:36)·(cid:145)(cid:146)(cid:158)(cid:347)·(cid:124)(cid:132)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)(cid:105)(cid:98)(cid:144)(cid:153)(cid:217)(cid:52)(cid:25)(cid:51)(cid:137)(cid:116)1(cid:25)(cid:344)(cid:70)(cid:72)(cid:79) (cid:48)(cid:49)(cid:31)
(cid:22)(cid:79)(cid:81)(cid:77)(cid:71)A(cid:79)B(cid:297)(cid:78)(cid:70)(cid:71)(cid:36)(cid:87) △𝐴𝐵𝐶
(cid:88)1(cid:89)(cid:244)(cid:150) (cid:25)(cid:137)(cid:116) (cid:92)
(cid:88)2(cid:89)(cid:348)(cid:60)(cid:96)𝐴𝐵(cid:331)(cid:28)(cid:25)(cid:43)(cid:349)(cid:79)(cid:78)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:242)(cid:25)(cid:344)(cid:70)(cid:72)(cid:79)(cid:78)(cid:22)(cid:36)(cid:350)(cid:108)(cid:71)M(cid:79)(cid:296) + =90°(cid:79)(cid:80)(cid:351)(cid:265)(cid:352)(cid:215)(cid:71)
M(cid:25)(cid:168)(cid:185)(cid:45)(cid:90)(cid:353)(cid:354)(cid:210)(cid:25)(cid:88)(cid:355)(cid:265)(cid:73)(cid:356)(cid:215)(cid:89) (cid:87) ∠𝑀𝐶𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:111)(cid:112)9-3(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)(cid:105)(cid:98)(cid:144)(cid:153)(cid:217)(cid:52)(cid:25)(cid:51)(cid:137)(cid:116)1(cid:25)(cid:344)(cid:70)(cid:72)(cid:79) (cid:25)(cid:77)(cid:71)(cid:297)(cid:338)(cid:78)(cid:70)(cid:71)(cid:36)(cid:87)
△𝐴𝐵𝐶(cid:88)1(cid:89)(cid:244)(cid:150) (cid:25)(cid:137)(cid:30)(cid:31) (cid:92)
(cid:88)2(cid:89)(cid:166) 𝐵 (cid:116) 𝐶 (cid:43)(cid:44)(cid:175)(cid:39)(cid:22)(cid:79)(cid:78)(cid:39)(cid:22)(cid:36)(cid:354)(cid:38)(cid:71) (cid:79)(cid:345)(cid:346) = 1 (cid:92)(cid:78) (cid:36)(cid:354)(cid:38)(cid:71) (cid:79)(cid:345)(cid:346) = 2 (cid:79)(cid:348)
4 2
(cid:60)(cid:96)(cid:331)(cid:28)𝐴(cid:25)𝐵(cid:43)(cid:349)(cid:79)(cid:78)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:242)(cid:25)(cid:344)(cid:70)(cid:72)(cid:79)(cid:350)𝐹(cid:108)(cid:71) (cid:224)∠(cid:71)𝐴𝐹𝐶(cid:79)(cid:80)(cid:351)∠𝐵(cid:265)𝐴(cid:352)𝐶(cid:215)(cid:32)𝐴(cid:357)𝐵(cid:25)(cid:168)(cid:185)(cid:45)𝐺(cid:90)(cid:353)(cid:354)(cid:210)𝐴(cid:25)𝐺(cid:88)(cid:355)(cid:265)𝐴𝐶(cid:73)(cid:356)
(cid:215)(cid:89) (cid:87) 𝐹 𝐺
